Serie 1 - Universität Basel

Numerische Verfahren zur Wellenausbreitung
Prof. Dr. M. Grote, J. H. Tang
Mathematik, FS 2017
Universität Basel
Serie 1
zur 8. KW (20.02. – 24.02.2017)
Aufgabe 1.1
Sei φ ∈ C2 (R3 ; R) eine skalare Funktion und sei ψ ∈ C2 (R3 ; R3 ) eine vektorwertige Funktion. Zeigen Sie, dass
(i) ∇ × ∇φ = 0,
(ii) ∇ · (∇ × ψ) = 0
und
(iii) ∇ × (∇ × ψ) = ∇(∇ · ψ) − ∆ψ
gelten.
Hinweis: Sei ψ ∈ C1 (R3 ; R3 ). Dann wird der Rotationsoperator durch
#|
" z
∂ψy ∂ψ x ∂ψz ∂ψy ∂ψ x
∂ψ
−
−
−
rot(ψ) = ∇ × ψ =
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
definiert.
Aufgabe 1.2
Betrachten Sie eine elektromagnetische ebene Welle:
 0
 0
E x 
H x 
 0  i(kx−ωt)
 
E(x, y, z, t) = Ey  · e
, H(x, y, z, t) = Hy0  · ei(kx−ωt) ,
 0
 0
Ez
Hz
√
wobei ω > 0, k = ω/c und c = 1/ εµ, die sich in positiver x-Richtung im Vakuum
ausbreitet.
(a) Zeigen Sie, dass E 0x = H x0 = 0 sein muss.
(b) Seien Ey0 = 1 und Ez0 = 0. Bestimmen Sie Hy0 und Hz0 . Zeichnen Sie per Hand die
Graphen x 7→ (Ey , Ez ) und x 7→ (Hy , Hz ) zum Zeitpunkt t = 0.
Aufgabe 1.3
Betrachten Sie eine Kette verschiedener Massen mi , i = 0, 1, . . . , N + 1, die paarweise durch
eine Feder der Länge h = 1/(N + 1) und mit Federkonstante k > 0 miteinander verbunden
sind. Sei xi (t), i = 0, 1, . . . , N + 1 die Position der i-ten Masse zum Zeitpunkt t, xi = ih
deren Ruhezustand, mit x0 (t) = 0, xN+1 (t) = 1, ∀t ≥ 0.
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(a) Benutzen Sie das Newtonsche Gesetz F~ = m~a und das Hooksche Gesetz F~ = −k~x,
welches für kleine Auslenkungen ~x = xi (t) − ih gilt, zur Herleitung der Differentialgleichung
mi ẍi (t) = −k(−xi+1 (t) + 2xi (t) − xi−1 (t)),
i = 1, . . . , N.
(1)
(b) Zeigen Sie, dass die relativen Verschiebungen, yi (t) := xi (t) − ih derselben Differentialgleichung (1) mit y0 = yN+1 = 0 genügen und schreiben Sie diese als System
M Ÿ(t) = −kAY(t),
Y(t) = [y1 (t), . . . , yN (t)]> ,
(2)
wobei A und M beide N × N Matrizen sind. Wie bestimmt man die allgemeine Lösung
von (2)?
Hinweis: Evtl. auftretende Eigenwerte müssen nicht explizit berechnet werden.
Aufgabe 1.4 (P)
Approximieren Sie in (2) Ÿ(t) durch einen zentrierten finite Differenzenquotienten
Ÿ(t j ) '
Y j+1 − 2Y j + Y j−1
∆t2
mit Zeitschritt ∆t und definieren Sie einen Algorithmus zur Berechnung von Y j ' Y(t j ), t j =
j∆t, j = 2, 3, . . . , wobei Y 0 und Y 1 durch die Anfangsbedingungen Y(0) und Ẏ(0) bestimmt
sind. Y 1 erhalten Sie durch Taylorentwicklung um 0 bis zum Term zweiter Ordnung. Die
dann erscheinende zweite Ableitung ersetzen Sie mithilfe von (2).
Schreiben Sie einen MATLAB-Code zur numerischen Lösung des Problems (2). Zeichnen
Sie die Lösungen für 0 ≤ t ≤ 50, mit k = 1, mi = 1, ∀i, N = 12, 36, einer geeigneten
Anfangsbedingung (z.B. Auslenkung nur einer Masse) und verschiedenen Werten von ∆t.
Wiederholen Sie die Simulation mit m1 = · · · = mN = 1 und mN/2 = 0.1. Was beobachten
Sie? Was ist der Einfluss auf die Wahl von ∆t?
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://tinyurl.com/NumPDEIIFS2017
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