Universität Stuttgart SS 03 Prof. Dr. Tilman Pfau ¨Ubungen zur

Universität Stuttgart
Prof. Dr. Tilman Pfau
SS 03
Übungen zur Experimentalphysik II
Blatt 17
Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind für Elektrotechniker freiwillig.
Aufgabe 82 Elektrisches Feld
a) Gegeben sei ein homogen geladener Vollzylinder mit Länge L, Radius R und Gesamtladung Q. Berechnen Sie
die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb des Zylinders (Randeffekte an den Enden des Zylinders können
vernachlässigt werden). Skizzieren Sie den Verlauf der Feldstärke als Funktion des radialen Abstandes r von der Zylinderachse.
b) Betrachten Sie nun eine homogen geladene Kreisscheibe mit Radius R und Flächenladungsdichte σ. Berechnen
Sie das elektrische Feld im Abstand z von der Scheibe auf der Achse senkrecht durch den Mittelpunkt der Scheibe.
Vereinfachen Sie das Ergebnis für z À R.
1
.
Hinweis: cos(arctan(x)) = √1+x
2
Aufgabe 83 Ionenkristall
Wie groß ist die potentielle Energie pro Ion bei einem unendlich ausgedehnten eindimensionalen Ionenkristall, d.h.
einer linearen Anordnung, in der die Ladungen +e und -e sich in äquidistanten Abständen einander abwechseln?
Kleine Hilfe:
x3
x4
x2
+
−
+ ...
(1)
ln(1 + x) = x −
2
3
4
Aufgabe 84 Probeladung in einer Hohlkugel *
Betrachten Sie eine leitende Hohlkugel mit Radius R und Dicke b (b ¿ R). Die Gesamtladung der Kugelschale sei Q.
a) Wie groß ist die Kraft auf eine Probeladung q, die sich an beliebiger Position im Inneren der Hohlkugel befindet?
Anleitung: Machen Sie sich die Parallelen (und die Unterschiede!) des Problems im Vergleich zur Gravitation klar und
verfahren sie analog zu Aufgabe 46 (Blatt 9 im Wintersemester1 ). Im Text zu jener Aufgabe sind Berechnungshinweise
und Zwischenschritte angegeben, die sich (teilweise) übertragen lassen.
b) Was folgt aus diesem Ergebnis für das elektrische Feld und das Potential im Inneren der Hohlkugel?
c) Warum bewegen sich in den Innenraum eingebrachte Ladungen trotzdem an die Kugeloberfläche?
d) Wo wird dieser Effekt ausgenutzt?
Bemerkung: Machen Sie sich die Bedeutung der r12 -Abhängigkeit der Coulomb-Kraft auf das Ergebnis in a) bewußt.
1
Überlegen Sie, was bei einer Proportionalität der Form r2+ε
mit ε 6= 0 passieren würde.
1 siehe
http://www.physik.uni-stuttgart.de/institute/pi/5/lehre/exphys1-2002/exphys.html# Übungsblätter
Aufgabe 85 Laplace-Operator und Poisson-Gleichung
Der Laplace-Operator ist definiert durch
∆f = div(gradf ) = ∇2f
(2)
Seine Darstellung lautet in
kartesischen Koordinaten:
∆f =
∂ 2f
∂x2
Kugelkoordinaten:
∆f =
2 ∂f
r ∂r
+
+
∂ 2f
∂y 2
∂ 2f
∂r 2
+
+
∂ 2f
∂z 2
2
1 ∂ f
r 2 ∂θ 2
+
∂f
1
r 2 tan θ ∂θ
+
∂ 2f
1
r 2 sin2 θ ∂φ
Der Laplace-Operator findet u.a. Anwendung in der Poisson-Gleichung, die das elektrische Potential mit der Ladungsverteilung verknüpft:
1
∆φ(~r) = − %(~r)
(3)
ε0
a) Bestimmen Sie die Ladungsverteilung %(r), die folgendem radialsymmetrischen Potential zugrunde liegt:
´
³
(
Q
r2
3
r<R
− 2R
2
4πε
R
2
0
φ(r) =
Q
r>R
4πε0 r
(4)
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Poisson-Gleichung die elektrische Feldstärke und das Potential im Zwischenraum zweier
planparalleler leitenden Platten.
Hinweise: Berücksichtigung von Randbedingungen, im Zwischenraum % = 0.
Logikaufgabe
Teilen Sie Figur a) mit einem Schnitt in zwei deckungsgleiche Hälften! (der Schnitt darf krummlinig sein und Ecken
enthalten)
Teilen Sie Figur b) so in zwei Teile, daß sich die zwei Stücke zu einem Quadrat zusammenfügen lassen!
a)
b)
3
1
3
2
D
6
2