4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion - Delta

Experimentalphysik II
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Shaukat . Khan @ TU - Dortmund . de
Kapitel 4
4.2 Die Lenzsche Regel
Der durch eine induzierte Spannung fließende Strom ist so gerichtet, dass er ein
Magnetfeld erzeugt, das der Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt.
Beispiel:
Wirbelströme bremsen die Bewegung einer metallischen Scheibe durch ein
Magnetfeld - wird als Fahrzeugbremse verwendet ("Wirbelstrombremse")
Konsistent mit der Lorentzkraft - Beispiel:
Heinrich Lenz
(1804-1865)
Ring bewegt sich auf Nordpol zu, d.h. Elektronen bewegen
sich im Magnetfeld und erfahren eine Lorentzkraft, wobei
es auf die Feldkomponente senkrecht zur Bewegung ankommt
(3-Finger-Regel der linken Hand, weil Elektronen negativ sind).
Aus der resultierenden (technischen) Stromrichtung und der
Rechte-Hand-Regel ergibt sich ein Magnetfeld, das dem
zunehmenden Feld des Magneten entgegensteht.
Versuche
Ein Ring springt beim Einschalten des
Magneten aufgrund des Induktionsstroms
nach oben (Lenzsche Regel), ein
geschlitzter Ring bleibt liegen.
An einem Leiter, der durch ein Magnetfeld
bewegt wird, wird eine Spannung induziert
und es fliesst ein Strom (Generator). Legt
man an den Leiter eine äußere Spannung
an, bewegt er sich (Motor).
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Kapitel 4
a) Stab bewegt sich nach rechts, Fluss durch die Schleife
vergrößert sich. Vom Strom I bewirktes Feld in der
Schleife ist dem äußeren Feld entgegengesetzt.
a)
b) Stab bewegt sich nach rechts, Fluss durch die Schleife
verkleinert sich. Vom Strom I bewirktes Feld in der
Schleife ist dem äußeren Feld richtungsgleich.
U ind   B 
dA
 B  b  v
dt
c) Stab bewegt sich nach rechts, Lorentzkraft wirkt auf
b)
bewegte Elektronen, so dass eine Spannung zwischen
den Enden entsteht.
U
W F b q v  B b


 B bv
q
q
q
d) Strom fließt durch den Stab, die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter bewegt ihn nach links.
c)
Beispiel: Flugzeug im Erdmagnetfeld
Boeing 747, Spannweite b = 70 m, v = 1000 km/h = 278 m/s
Erdmagnetfeld B = 0,05 mT
d)
Annahme: v senkrecht zu B. Ergebnis:
induzierte Spannung zwischen den Flügelenden ca. 1 V
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Kapitel 4
Das Betatron
Das durch Induktion erzeugte elektrische Feld hat eine Rotation  0,
d.h. ein geladenes Teilchen kann auf einer Kreisbahn Energie gewinnen.
Beim Betatron (Donald Kerst 1940) wird durch Änderung eines B-Felds
eine Beschleunigungsspannung erzeugt:
 
 
U   E  ds   B  dA
A
2  R  E    R 2  B

E
1
R  B
2

F  p 
e
R  B
2
Das B-Feld dienst andererseits dazu, die Elektronen auf ihrer
Kreisbahn zu halten
p  e  R  BR
1
B R  B
2

p  e  R  B R 
BR 
e
R  B
2
1
B  B0
2
Wideröe-Bedingung (nach Rolf Wideröe 1923): Die Änderung des B-Felds
auf der Kreisbahn muss genau halb so groß sein wie die Änderung des
mittleren eingeschlossenen Felds, das die Induktionsspannung hervorruft.
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Kapitel 4
4.3 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion
Selbstinduktion
U ind  
d
m
dt
t2
 m, 2   m ,1    U ind  dt

t1
Für eine gegebene Leiterschleife oder Spule ist der magnetische Fluss proportional zum Strom.
 
 m   B  dA  L  I
U ind   L 
L  1 V  s  1 H
dI
dt
A
Selbstinduktionskoeffizient, Induktivität
(Henry)
Ändert sich der Strom durch die Spule, so wird eine Induktionsspannung induziert. Dies nennt man
"Selbstinduktion", also Induktion aufgrund des Spulenfelds, nicht eines äußeren Magnetfelds.
Induktivität einer Spule
Magnetfeld einer Spule mit Windungsdichte n:
B  0  n  I
U ind  n  l 
n
mit
N
l
 m  0  n  I  A
d m
dI
dI
 n  l  0  n   A   L 
dt
dt
dt

L  0  n 2  l  A  0  n 2 V
Energiedichte


Wm   U  I  dt  L  
0
0
dI
1
 I  dt  L  I 02
dt
2
1
0  n 2 V  I 02
2
W
1 B2
wm  m  
mit
w 2 0
weil
d
I  I  I  I  I  I  2  I  I
dt
Wm 
B  0  n  I 0
bzw.
wm 
1
BH
2
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Einschalten einer Stromquelle
Spule mit Induktion L und Widerstand R im Stromkreis:
dI
(Induktionsspannung wirkt der Quellenspannung entgegen)
U 0  U ind  U R
 U0  R  I  L 
dt
U /RI
dI U 0  R  I

 R 0
dt
L
L
I
t
dI
R
0 U 0 / R  I  L  0 dt
U / R  I  R
I
   t
 ln U 0 / R  I  0   ln U 0 / R  I   ln U 0 / R    ln  0
U
/
R
0

 L
U0 / R  I
 R 
 exp    t 
U0 / R
 L 
U
I (t )  I 0  1  exp  t /   mit
I0  0
und   L / R
R
Ausschalten einer Stromquelle
(Giancoli)
Spule mit Induktion L und Widerstand R im Stromkreis:
dI
0  U R  U ind  R  I  L 
dt
dI
RI

dt
L
I
t
dI
R



dt
0 I
L 0
 I 
R
I
ln I  I  ln I   ln I 0   ln      t
0
L
 I0 
I (t )  I 0  exp  t /   mit   L / R
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Kapitel 4
Gegenseitige Induktion
Zwei Spulen: Strom durch Spule 1 erzeugt einen magnetischen Fluss durch Spule 2 und umgekehrt
 2  L12  I1
1  L21  I 2
L21  L12
Gegenseitige Induktivität
Beim Transformator sorgt ein gemeinsamer Eisenkern dafür, dass
praktisch der gesamte magnetische Fluss, den eine Spule 1 erzeugt,
auch durch eine zweite Spule 2 tritt. Der Eisenkern besteht aus
voneinander isolierten Lamellen, um Wirbelströme zu unterdrücken.
U1  U ind   N1 
d1 d 2

dt
dt

d1
dt
U2  
U 2  N2 
N2
 U1
N1
d 2
dt
(unbelasteter Transformator)
(Giancoli)
Versuch
Eine Glühlampe, der eine Spule vorgeschaltet ist, leuchtet
beim Einschalten der Spannungsquelle mit Verzögerung auf
(vgl. vorige Seite: Schließen eines Stromkreises mit Induktion).
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4.4 Der Verschiebungsstrom
Bisher:


B
rot E  
t
und

rot B  0  j
Ein Analogon zum Ampèreschen Gesetz (etwa: Rotation E = Stromdichte magnetischer Ladungen) ist
mangels magnetischer Monopole nicht zu erwarten. Welche Auswirkung hat aber ein zeitlich
veränderliches E-Feld? Außerdem gibt es ein Problem mit dem Ampèreschen Gesetz:
Divergenz der linken Seite: div rot B ist immer null.
Divergenz der rechten Seite: div j ist bei stationären Strömen null, aber nicht im allgemein Fall.
Beispiel für einen nicht-stationären Strom: ein Kondensator wird aufgeladen.
Für Schleife S1 ergibt sich nach dem Ampèreschen Gesetz das B-Feld aus dem eingeschlossenen Strom.
Die "verbeulte" Schleife S2 umschließt jedoch keinen Strom.
Ausweg: Zusatzterm zum Ampèreschen Gesetz


 

 1 E
E
rot B  0   j  jV   0  j  0   0 
 0  j  2
t
c t
"Verschiebungsstrom"
Zur Erinnerung: elektrisches Feld eines Kondensators ist durch
die Flächenladungsdichte  gegeben
E

0
Damit :
jV 

E
 0
t
t
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