1 Einf¨uhrung: Was sind Plasmen? Grundbegriffe. ¡ 2 ¢ 104 K)

“Technische Plasmen”
Privatdozent Wolfgang Suttrop
Wintersemester 2003/2004, Universität Bayreuth
1
Einführung: Was sind Plasmen? Grundbegriffe.
1.1 Grundbegriffe
Plasma: Der Begriff “Plasma” wurde 1923 von Irving Langmuir (Nobelpreis 1932 Chemie)
eingeführt und bedeutet “das Geformte”. Unter einem Plasma (als Aggregatszustand von Materie) versteht man ein teilweise oder vollständig ionisiertes Gas (Elektronen und Ionen). Im
Unterschied zum neutralen Gas stehen die Teilchen im Plasma untereinander durch die elektrostatische Coulomb-Kraft in Wechselwirkung (relativ langreichweitige Kraft). Daher ergeben sich Eigenschaften, die in den anderen Aggregatszuständen (fest, flüssig, gasförmig) so
nicht anzutreffen sind. Im Universum befindet sich der Großteil der Materie im Plasmazustand,
nämlich im Innern der Sterne.
Technische Plasmen: Hier verwendet als Oberbegriff für Plasmen mit technischen Anwendungen. Dies sind meist sog. “Niedertemperaturplasmen”, die im Labormaßstab erzeugt werden.
Eigenschaften von Plasmen
elektrische Leitfähigkeit
Abschirmung elektrischer Felder, “Quasi-Neutralität”
Vielzahl von Plasmaschwingungen und Instabilitäten
Wechselwirkung mit magnetischen Feldern (äußere und selbsterzeugte)
elektrostatische Randschicht am Kontakt mit materiellen Wänden
Klassifizierung von Plasmen:
1. Niedertemperatur-Plasmen: Das Gas ist nur teilweise ionisiert, d.h. es gibt Ionen, Elek
tronen und neutrale Atome (Elektronentemperatur Te 2 104 K)
(a) Thermische Plasmen: Energieaustausch zwischen Ionen und Elektronen, Ti
Te .
(b) Nichtthermische Plasmen: Elektronen werden geheizt, Ionen bleiben kalt, Ti 300 K.
2. Hochtemperatur-Plasmen: Das Gas ist vollständig ionisiert, es gibt keine neutralen Atome
(Te 105 K). Beispiele: Sterne, Fusionsplasmen.
Anmerkung:
Die Temperaturen T in Plasmen werden oft als thermische Energie kB T (kB : Boltzmann-Konstante)
mit der Einheit “Elektronenvolt” (eV) angegeben (1eV 1J e 11600 K).
1
1.2 Beispiele von Plasmen
Flammen: Heizung und Ionisation erfolgen durch eine exotherme chemische Reaktion (Oxidation). Die Temperatur ist begrenzt durch Dissoziation der Moleküle (einige eV bzw 10 4 K).
Gasentladungen: Ionisation erfolgt durch Elektronenstoß. Die Elektronen werden durch ein
elektrisches Feld beschleunigt. Typischerweise geschieht dies in einer linearen Anordnung (Röhre)
mit zwei gegenüber angeordneten Elektroden.
“Kathode”: negative Elektrode = Elektronenquelle
“Anode”: positive Elektrode.
1. “Unselbständige” Entladung (Dark electrical discharge) Durch äußere Einflüße erzeugte Elektronen werden beschleunigt bis Ionisation stattfindet. Die auftretenden Sekundärelektronen können die Entladung kann aber nicht aufrechterhalten.
Beispiele: Zählrohre, Elektronenvervielfacher.
2. (Selbstständige) Glimmentladung (glow discharge) Die durch Ionisationsstöße erzeugten Sekundärelektronen werden hinreichend beschleunigt und können eine stationäre Gasentladung aufrechterhalten.
Beispiele: Glimmlampe
3. Funkenentladung (spark) Bei hohem Gasdruck und hoher elektrischer Spannung entsteht ein räumlich begrenzter Entladungskanal dort, wo der erste Durchbruch stattfindet,
(hoher Strom durch hohe Leitfähigkeit).
Beispiel: Funke, Blitz
4. Bogenentladung (arc) Die auf die Kathode hin beschleunigten Ionen heizen diese soweit
auf, daß thermische Emission von Elektronen stattfindet.
Die Temperatur in Gasentladungen wird durch Strahlung, Wärmeleitung und Konvektion
begrenzt.
Anwendungen von Gasentladungen sind Leuchtstoffröhren (Niederdruckentladung), Lichtbogenlampen (Hochdrucklampen), Funken- und Bogenschalter. Wird Gas oder Pulver durch die
Plasmaentladung geleitet kann dieses dissoziiert und zur Materialbearbeitung benutzt werden
(Plasmabrenner) bzw. zur Oberflächenbeschichtung (z.B. mit eingeblasenem Al 2 O3 Pulver).
Astrophysikalische Plasmen: Im Sterninneren wird bei hohen Temperaturen durch Kernfusion Wasserstoff-Kerne zu Helium verschmolzen.
Magnetische Fusionsplasmen: In speziellen Magnetfeldanordnungen werden Plasmen gut
eingeschlossen und können stationär auf Temperaturen gebracht werden bei denen Deuterium
und Tritium unter Energieabgabe verschmelzen (Kernfusion).
Lichterzeugte Plasmen: Plasmen können durch Photionisation erzeugt werden, z.B. durch
starke Laser. Anwendung: Inertialfusion.
Festkörperplasmen: Freie Elektronen im Festkörper zeigen Wechselwirkungen wie ein ionisiertes Gas und werden in Analogie als Plasmen bezeichnet.
2
10 7
relativistisch
10 6
magnetisch
eingeschlossene
Fusionsplasmen
10 5
Sonnenwind
Glimmentladungen
10 0
10 -1
10 -2
10 5
t
rte
SonnenKorona
10 2
10 1
Sonnenzentrum
ta
10 3
en
T [eV]
e
Trägheitsfusion
ideal, nicht-entartet,
nicht-relativistisch
Flammen
HochdruckEntladungen
HalbleiterPlasmen
schwach ionisiert
tch
ni eal
id
Ionosphäre
10 10
10 15
10 20
n [m
e
10 25
-3
relativistisch entartet
10 4
nicht-ideal,
entartet
weiße
Zwerge
Elektronengas
in Metallen
10 30
10 35
]
Abbildung 1: Zustandsgrenzen und Plasmaregimes als Funktion der Elektronen-Temperatur
und Elektronendichte, Parameter einiger Plasmen.
1.3 Zustandsgrenzen
1.3.1 Ideale / nichtideale Plasmen
Übersteigt das Coulomb-Potential zwischen den Teilchen die thermische Energie, wird das
kollektive Verhalten eines Plasmas weitgehend durch die elektrostatische Wechselwirkung bestimmt.
Aus dem Vergleich von thermischer Energie und Coulomb-Kraft zwischen benachbarten
Teilchen leitet sich die Zustandsgrenze ab. Wir nehmen für den mittleren Abstand l die dritte
Wurzel der reziproken Teilchendichte, l 1 n3 , und erhalten die kritische Temperatur Tstat als
Funktion der Plasmadichte
e2 1 3
3
kB Tstat n
2
4πε0
1.3.2 Entartung
Bei hinreichend dichten Plasmen bzw. tiefen Temperaturen werden quantenmechanische Effekte wirksam (“entartete” Plasmen). Elektronen sind Fermionen, und die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus der Energie E wird durch die Fermi-Dirac Statistik beschrieben:
f E T 1
1 exp
E Ef
kB T
Die Fermi-Energie beträgt im Vakuum (s.u.)
EF
h̄ 2
3π ne 2me
2 3
(1)
Liegt die thermische Energie 3 2 kB Te unter der Fermi-Energie, so spricht man von einem
entarteten Plasma.
3
Fermi-Energie im Vakuum: Die Schrödergleichung für ein freies Teilchen im Vakuum lautet
HΨ h̄2 2
k k2 k2
2m x y z EΨ
Für E EF beschreibt dies die Oberfläche einer Kugel im k-Raum für konstante Energie (“Fermikugel”)
mit Radius kF 2EF m 1 2 h̄. Mit periodischen Randbedingungen in einem Würfel der Kantenlänge L
sind die Lösungen ebene Wellen mit diskreten Wellenvektoren
kx y z
2πnx y z
L
Im k-Raum nimmt ein Zustand also das Volumen 2π L 3 ein. Die Zahl der besetzbaren Zustände bis
zur Energie E ist das Volumen der Fermikugel, geteilt durch das Volumen pro Zustand, multipliziert mit
dem Faktor 2 (für beide Spinrichtungen)
N E 2
Mit ne
N V und E
4π k E 3
3 2π L 3
2
4π
3
2m
E
h̄
3 2
L
2π
3
(2)
EF ergibt sich dann Gl. 1.
1.3.3 Relativistische Plasmen
Relativistische Effekte werden wichtig, wenn die mittlere kinetische Energie die Ruheenergie
m0 c2 übersteigt. Wenn die Fermienergie größer als m0 c2 wird, ist das Plasma zusätzlich entartet,
d.h. auch bei kleiner Temperatur liegt die Fermi-Besetzungsgrenze bei relativistischen Energien. Dieser Zustand kann z. B. in astrophysikalischen Plasmen in “weißen Zwergen” erreicht
werden.
1.3.4 “Zustandsdiagramm”
Abbildung 1 zeigt die Zustandsgrenzen für Plasmen als Funktion der Elektronendichte un d der
Elektronentemperatur. Reale Plasmen überstreichen viele Größenordnungen in diesen beiden
Parametern. In der Abbildung sind die Parameterbereiche für einige Typen von Labor- und
astrophysikalischen Plasmen markiert.
4
E
-
+
-
+
-
+
-
+
x
Abbildung 2: Auslenkung der Elektronen relativ zu den Ionen erzeugt eine elektrostatische
Rückstellkraft und aufgrund der trägen Elektronenmasse Plasmaschwingungen
1.4 Grundlegende Plasmaeigenschaften
1.4.1 Plasmaschwingungen
Auslenkung der Elektronen relativ zu den Ionen erzeugt eine elektrostatische Rückstellkraft
und aufgrund der trägen Elektronenmasse Plasmaschwingungen mit der Winkelfrequenz (etwas
ungenau auch oft “Plasmafrequenz”genannt)
ωp
e2 n e
me ε0
1 2
(3)
Plasmafrequenz: Wir betrachten ein Plasmavolumen (Abb. 2) mit einer Auslenkung x der Elek-
tronen und einer Oberfläche A senkrecht zur Auslenkungsrichtung. Die verschobene Ladung beträgt
Q ene Ax, wobei ne die Elektronendichte ist. Die elektrische Feldstärke E, analog zum Plattenkondensator, ist dann
Q
en x
E
e
Aε0
ε0
Mit der Rückstellkraft FR ! eE und der Trägheitskraft FN me ẍ ergibt sich die Bewegungsgleichung
für ein Elektron
en x
! eE "! e me ẍ
ε0
Der Ansatz x t # x0 exp iωt liefert die Schwingungsfrequenz (Winkelgeschwindigkeit)
ω2
e2 ne
me ε0
1.4.2 Debye-Abschirmung
Eine fundamentale Eigenschaft von Plasmen ist die Abschirmung von elektrischen Ladungen.
Wir betrachten einen eindimensionalen Fall, z. B. eine ausgedehnte gitterförmige Flächenelektrode in einer Plasmasäule (Abb. 3 a). Die Poisson-Gleichung im Eindimensionalen lautet
ε0 ∇ Φ 2
d2 Φ
ε0 2
dx
%$ q x &$ e Zi ni x '$ ne x (
5
a)
b)
ne
x
c)
Φ
x
x
Abbildung 3: Debye-Abschirmung im Eindimensionalen, z.B. um ein Fl ächengitter (a): Elektronendichte ne x (b) und Potentialverlauf Φ x (c)
wobei Φ das elektrische Potential, q die Ladungsdichte, ne die Elektronendichte, ni die Ionendichte und Zi die Ionenladungszahl bedeuten.
Ohne bewegliche Ladungen ist q 0 und eine Potentialstörung an der Elektrode fällt linear
zu beiden Seiten hin ab. Im Plasma bildet sich eine Raumladung q ) 0 in der Umgebung der
Elektrode, die die Potentialstörung abschirmt (Abb. 3 b und c) und den Durchgriff des elektrischen Feldes begrenzt.
Approximative Lösung der eindimensionalen Poisson-Gleichung: Im Unendlichen sei die Elektronenbzw. Ionendichte ne ∞ * n∞ und Zi ni ∞ * n∞ und damit das Plasma neutral. Die Verteilungsfunktion der Elektronen lautet (nicht-entarteter Fall, Fermi-Verteilung wird durch Boltzmann-Verteilung angenähert):
1
me v2 ! eΦ kB Te .
fe v+ x ∝ exp ,-!
2
Integriert über die Geschwindigkeit v ergibt sich die “Boltzmann-Relation”
ne
n∞ exp eΦ kB Te 0/
Wir nehmen zur Vereinfachung an, daß die Ionendichte räumlich konstant ist. Dies gilt z.B. für hohe
Frequenzen (Plasmaschwingungen), bei denen die Ionen wg. m i 1 me nicht folgen können. Dann lautet
die Poisson-Gleichung:
d2 Φ
eΦ
ε0 2 en∞ exp ,
. ! 1
dx
kB Te
Nach Taylor-Entwicklung der rechten Seite können für eine kleine Störung (eΦ k B Te 2
er Ordnung als linear vernachlässigt werden:
ε0
d2 Φ
dx2
1) Terme höher-
e2 n∞
Φ
kB Te
Der exponentialle Ansatz Φ φ0 exp 3!54 x 4 λD (mit λD lt. Gl. 4) löst diese Gleichung.
Der räumliche Abfall des elektrischen Potentials wird durch die charakteristische Abfallänge
(“Debye-Länge”) beschrieben:
ε0 kB Te 1 2
λD 6
(4)
e2 n e
6
Der Plasmaparameter: Eine grundlegende Kenngröße, genannt “Plasmaparameter”, ist die
Zahl der Teilchen in der “Debye-Kugel” (Kugel mit dem Radius λD ).
ND
n
4 3
πλ
3 D
87
ε0
e2 9
kB Te 3 2
n1 2
3 2
Abschirmung von Ladungsstörungen gemäß des obigen Bildes gibt es nur für ND : 1. Dies
ist gleichbedeutend mit der Bedingung für ideale Plasmen (s. Abschnitt 1.3.1), d.h. thermische
Energie : elektrostatische Wechselwirkung.
Plasma-Näherung: Die Existenz freier Ladungsträger in Plasmen sorgt für die Abschirmung
von Ladungsstörungen auf räumlichen Skalen x : λD und Zeitskalen ω ; ω p . Die “PlasmaNäherung” besagt, daß das Plasma als elektrisch neutral angesehen wird, obwohl gleichzeitig
elektrische Felder vorhanden sein können. Das heißt, daß in Plasmen normalerweise (x : λ D ,
ω ; ω p ) das elektrische Potential nicht mit Hilfe der Poisson-Gleichung bestimmt werden
kann.
1.4.3 Kollektives Verhalten
Mit den o.g. Größen können wir nun Kriterien für das kollektive Verhalten eines Plasmas angeben:
1. λD ; L: Die Plasmaabmessungen sind groß gegen die Debye-Länge und das Plasma ist
quasi-neutral.
2. ND
: 1: Die Debye-Abschirmung ist wirksam.
3. ωτ < 1: Die auftretenden Frequenzen ω der betrachteten zeitabhängigen Vorgänge sind
groß gegen die Stoßfrequenz (reziproke Stoßzeit τ, z.B. mit Neutralteilchen). Im umgekehrten Fall, ωτ = 1 ist das Plasma stoßdominiert, und verhält sich wie ein neutrales Gas.
1.4.4 Ionisationsgrad
Ein Plasma entsteht durch Ionisation von Atomen, d.h. Übergang von gebundenen Elektronenzuständen zu freien Elektronenzuständen. Wir betrachten den Ionisationsgrad (Verhältnis der
Zahl geladener Plasmateilchen zur Zahl der neutralen Atome) als Funktion der Ionisierungsenergie und Temperatur.
Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die Besetzungszahlen zweier Zustände n + m mit Energieniveaus En + Em
Nn
g exp 3! En kB T n
Nm gm exp 3! Em kB T Die “Entartungsfaktoren” gn bzw. gm beschreiben die Zahl der Zustände mit gleicher Energie E n bzw.
Em . Für Systeme mit mehreren Energieniveaus (Gesamtzahl der Teilchen N) gilt:
Nn
N
gn exp 3! En kB T Z T
wobei Z ∑i gi exp ! Ei kB T die “Zustandssumme” bezeichnet.
Zur Berechnung des Ionisationsgrads unterscheiden wir hier nur den neutralen (Atom im Grundzustand) und den ionisierten Zustand (Ion und freies Elektron):
7
Ne
N0
∞
gi
exp 3! Eion kB T ?>
g0
0
exp 3! E kB T ∂g
dE
∂E
(5)
Das Integral umfaßt die freien Elektronenzustände, wobei ∂g ∂E D E N e @ 1 Ne ∂N E ∂E
die Zahl der Zustände pro Elektron angibt. Die Faktoren g i und g0 sind die Entartungszahlen für das Ion
bzw. das neutrale Atom.
Wir gehen analog zur Herleitung von Gl. 2 vor, integrieren jedoch über den Wellenvektor k bzw.
Impuls p h̄k anstelle der Energie, da die Zustandsdichte im Impulsraum konstant ist:
dg 2V
Ne 2π 3
dkx dky dkz
Das Integral in Gl. 5 läßt sich mit
>D/E/E/F
2V
Ne 2πh̄ ∞
0
dpx dpy dpz
ax2 dx CB π 4a3 A 0∞ x2 exp 3!
4π >
3
p2 exp
p2 2me kB T !
2
2V
Ne 2πh̄ 3
4πp2 dp
lösen:
G 2πme kB T 3 2
Mit ne Ne V und n0 N0 V folgt die als “Saha-Gleichung” bekannte Beziehung (nach
Meghnad Saha, 1893-1956) zwischen der Neutral- und Elektronen-Dichte im Plasma
n2e
n0
gi 2πme kB T 2
g0
2πh̄ 3
Mit der Neutraliätsbedingung ne
Massenwirkungsgesetzes
3 2
exp 0$ Eion kB T (6)
Zi ni hat die Saha-Gleichung die erwartete Form eines
ne ni
n0
1
f T
Zi
wobei f T nur von der Temperatur abhängt (rechte Seite der Saha-Gleichung).
Beispiel: Wasserstoff (Zi 1 : Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl n und unterschiedlichen Nebenquantenzahlen p d sind entartet, d.h.
En
1
Eion n2
&$
gn
2n2 die Ionisierungsenergie beträgt Eion 13 H 6 eV. Für den ionisierten Zustand ist gi 1, im Grundzustand gilt g1 2.
Wir definieren den Ionisationsgrad als Quotient aus Ionendichte und gesamter Wasserstoffdichte (Ionen und neutrale Atome). Aus der Saha-Gl. haben wir n e & n0 f T ( 1 2
Fion
ne
ne n0
f T
f T I 2 n0 f T (
n
0
1 2
(7)
Die Q-Maschine: Mit Hilfe der Saha-Gleichung Gl. 6 kann leicht die Funktion der sog. “QMaschine” erklärt werden. In diesem Plasmaexperiment werden zwei an den Stirnseiten eines zylinderförmigen Gefäßes angeordnete Metallplatten (meist aus Wolfram) erhitzt (s. Abb.
4). Durch einen kleinen Ofen (nicht gezeigt) wird Cäsium verdampft, welches auf die heißen
Metallplatten auftrifft und dort ionisiert wird. Um zu verhindern, daß das entstehende Plasma
unmittelbar auf das kalte Gefäs̈s auftrifft und dort rekombiniert, wird durch eine lange Spulenanordnung ein lineares Magnetfeld erzeugt, dessen Feldlinien die Metallplatten verbinden.
8
geheizte
W-Platte
geheizte
W-Platte
Cs-Plasma
Magnetfeldspule
zur Vakuumpumpe
Abbildung 4: Prinzip einer Q-Maschine: Zwischen zwei geheizten Wolfram-Platten kann ein nahezu vollständig ionisiertes Cäsium-Plasma erzeugt werden. Ein lineares Magnetfeld reduziert
die radialen Ionen-Verluste.
Aufgrund der Lorentzkraft gyrieren die Ionen und Elektronen um die Feldlinien und können
sich nur entlang der Feldlinien frei bewegen. Damit kann sich ein thermisches Gleichgewicht
zwischen den Cäsium Neutralen und dem Plasma einstellen, d.h. der Ionisationsgrad des Plasmas wird durch die Saha-Gleichung beschrieben.
Eine Besonderheit der Q-Maschine ergibt sich dadurch, daß die Ionisationsrate durch den
Kontakt der Atome mit dem heißen Metall stark erhöht wird, falls die Austrittsarbeit W des
Metalls höher als die Ionisierungsenergie Eion des Atoms ist. Dies ist für Wolfram (W 4 H 52
eV) und Cäsium (Eion 3 H 87 eV) der Fall. Während im freien Atom (Abb. 5 a) das Elektron
eine Barriere der Größe Eion überwinden muß, verschwindet im idealen Fall beim Kontakt mit
dem Metall diese Barriere und es wird durch die Ionisation sogar Energie gewonnen (Abb.
5 b). In die Saha-Gleichung 6 geht im einfachsten Fall die Differenz der Ionisierungsenergie
und der Austrittsarbeit ein. Für das Beispiel (Wolfram-Platten, Cäsium-Plasma, g i g0 1 2),
eine typische Elektronendichte in der Q-Maschine (ne 1017 m 3 ) und eine angenommene
Temperatur der Platten von 2400 K (2126 J C) ergibt sich eine Neutraldichte an den Platten von
nur 109 m 3 , d.h. das Plasma ist praktisch vollständig ionisiert!
a)
Metall
b)
Atom
E
Metall
Atom
vac
E
ion
W
E
ion
W
-
-
Abbildung 5: Kontaktionisierung: Durch Auftreffen eines Atoms mit Ionisierungsenergie E i auf
ein Metall mit der Austrittsarbeit W kann das Atom leicht ionisiert werden, falls E i = W
9