Nachklausur Kinematik und Dynamik SS09, Prof. Dr. rer. nat. V

Nachklausur Kinematik und Dynamik SS09,
Prof. Dr. rer. nat. V. Popov
T
1
2
3
P
Bitte deutlich schreiben!
Name, Vorname:
Matr.-Nr.:
Studiengang:
1
(10 Punkte)
(Bekannte Aufgabe)
Dargestellt ist eine einfache Sortiermaschine, die Güter der Masse
m mit Hilfe einer reibungsbehafteten schiefen Ebene in erste und
zweite Wahl aufteilt. Ein Arbeiter legt die Waren je nach Qualität oberhalb bzw. unterhalb einer Markierung auf die Rampe. In
welchem Abstand a zum Ende der Rampe muss die Markierung
angebracht werden?
a
g
µ
α
b
h
Geg.: b, h, α, g, µ, m
2
Das nebenstehend skizzierte System soll für den Fall kleiner Auslenkungen untersucht werden. Die Reibung zwischen den Massen und
der Unterlage sollen vernachlässigt werden. Die Federn sind in der
gezeichneten Lage entspannt.
(6+2+4 Punkte)
x1
c1
x2
c2
m1
geg.: m1 , m2 , c1 , c2 , c3 , k
m2
c3
k
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das dargestellte System in Matrix-Schreibweise auf.
Verwenden Sie dazu die Koordinaten x1 und x2 .
Verwenden Sie für die nachfolgenden Aufgabenteile die Vereinfachungen m2 = m1 , k = 0, c3 = c1
und c2 = 2c1 .
(b) Zeigen Sie, dass der Ansatz x1 = A cos(ωt), x2 = B cos(ωt) (A und B sind Konstanten) zu dem
charakteristischen Polynom ω 4 − 6 mc11 ω 2 + 5( mc11 )2 = 0 führt.
(c) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Eigenformen.
3
(5+7+1+2+3 Punkte)
Die nebenstehend skizzierte Dreieck-Scheibe der Masse m ist im Punkt A um die z-Achse drehbar gelagert und soll für kleine Auslenkungen und schwache Dämpfung untersucht werden. Die Federn sind
in der gezeichneten Lage entspannt. Die Schrägstellung von Federn und Dämpfer infolge einer Auslenkung soll vernachlässigt werden. Dicke und Dichte der Scheibe sind konstant aber nicht genau bekannt.
Geg.: m, a, b, g, c1 , c2 , k, ϕ̃0
a
(a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θA um die z-Achse
bezüglich des Punktes A.
Verwenden Sie für die nachfolgenden Aufgabenteile die Werte b = 2a
und θA = 65 ma2 .
x
z
y A
Verwenden Sie für die nachfolgenden Aufgabenteile
das Verhältnis
4g
2g
6k
c2 = 16 c1 und die Bew-DGL ϕ̈ + 5m
ϕ̇ + 2 cm1 + 5a
ϕ = 5a
(d) Bestimmen Sie die statische Ruhelage und transformieren Sie
die Bew-DGL in eine homogene DGL. Verwenden Sie dabei die
Auslenkung ϕ̃ aus der statischen Ruhelage als Variable.
(e) Lösen Sie die homogene Bew-DGL mit den Anfangsbedingun˙ = 0) = − 3k ϕ̃0 .
gen ϕ̃(t = 0) = ϕ̃0 und ϕ̃(t
5m
ϕ
b
2
g
(b) Stellen Sie die nichtlineare Bewegungs-Diffentialgleichung
(Bew-DGL) bezüglich der Koordinate ϕ auf.
Hinweis: Berücksichtigen Sie den Einfluss der Gewichtskraft.
Deren Hebelarm lässt sich mittels Kinematik bestimmen.
(c) Linearisieren Sie die Bew-DGL für den Fall kleiner Auslenkungen.
c1
m
k
b
2
c2
Theorieaufgaben
1. Der Massenpunkt m wird im Punkt A ohne Anfangsgeschwindigkeit A
losgelassen und gleitet entlang eines Viertel-Kreises (Radius r) reibungsfrei bis zum Punkt B. Anschließend gleitet er unter dem Einfluss
Coulombscher Reibung (Reibungskoeffizient µ) weiter bis zum Punkt
C, wo er zur Ruhe kommt. Bestimmen Sie den Abstand s zwischen
den Punkten B und C. Geg.: m, g, r, µ
(je 1 Punkt)
m
g
r
s
B
µ
C
s=
2. Der Massenpunkt m bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ um eϕ e r
r
ϕ
den festen Punkt O. Zum Zeitpunkt t > 0 ist der Abstand zwischen m und O
durch das Gesetz r(t) = kt beschrieben. Geben Sie den Beschleunigungsvektor O
a von m bezüglich der polaren Basis er , eϕ an. Geg.: m, k, ϕ̇
m
a=
3. Betrachtet wird die Rotation eines starren Körpers bezüglich eines Hauptachsensystems. Welche
zusätzliche Eigenschaft hat der Trägheitstensor im Vergleich zur Verwendung eines beliebigen
körperfesten Koordinatensystems?
4. Zwei identische Kugeln werden gleichzeitig und ohne Anfangsgeschwindigkeit aus verschiedenen
Stockwerken eines Gebäudes fallen gelassen. Die erste Kugel erreicht nach t1 = 4 s, die zweite
nach t2 = 6 s den Erdboden. Welche Höhendifferenz ∆h liegt zwischen den Stockwerken? Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand und rechnen Sie mit der Fallbeschleunigung g = 10 m/s2 .
∆h =
5. Der Drehimpuls kann auch in einem offenen System erhalten bleiben. Welche wesentliche Voraussetzung muss dann jedoch erfüllt sein?
6. Gegeben sind der abgebildete Starrkörper K mit den
körperfesten Punkten A und B und das ortsfeste Koordinatensystem im Punkt O.
Stellen Sie die Eulersche Geschwindigkeitsformel zur
Berechnung des Geschwindigkeitsvektors vB des Punktes B auf. Die eingezeichneten Größen sind als bekannt
anzusehen.
ω
ey
O
ez
ex
K
B
r
s
A
vB =
vA
7. Die Massenpunkte A (Masse mA , Geschwindigkeit vA ) und B (Masse mB , Geschwindigkeit vB ) stoßen im Punkt O zusammen. Es
handele sich um einen zentrischen, ideal plastischen Stoß. Nach
dem Stoß bewegen sich die Kugeln entlang √
der positiven x-Achse.
Geg.: mA , vA , vB = 21 vA , sin α = 12 , cos α = 23
Berechnen Sie mB !
A
vA
y
α O x
B
mB =
mA
vB
mB
8. Ein Körper der Masse m führt infolge einer Kraft F eine eindimensionale Bewegung nach
dem Gesetz x(t) = a sin(ψt) aus. ψ und a sind Konstanten. Bestimmen Sie die Kraft F .
Geg.: m, a, ψ
F =
9. Das abgebildete ebene System soll für kleine Auslenkungen untersucht werden. Die Pendelstäbe sind als starr anzusehen. Wie
viele Eigenkreisfrequenzen und -formen besitzt das System?
g
Anzahl Eigenkreisfrequenzen:
Anzahl Eigenformen:
10. Die Masse m führt eine Schwingung mit kleiner Amplitude aus.
Die Reibung wird vernachlässigt. Im skizzierten Fall schwingt
die Masse mit der Eigenkreisfrequenz ω0 . Dann wird die Feder mit der Steifigkeit c durch eine Feder mit der Steifigkeit d ersetzt. Dadurch verdoppelt sich die Eigenkreisfrequenz.
Bestimmen Sie das Verhältnis der Federsteifigkeiten. Geg.: c, ω0
d=
c
c
m