Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Camino/Wächter
Sommersemester 2017
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 2
Abgabe: A-Gruppen: 17. Mai, 13:15 Uhr; B-Gruppen: 24. Mai, 13:15 Uhr
Besprechung: 11.05. und 12.05. (A-Gruppen); 18.05. und 19.05. (B-Gruppen)
1. Konjunktive und disjunktive Normalform
Eine aussagenlogische Formel
F
ist in konjunktiver Normalform, wenn sie eine KonjunkVk Wni
tion von Disjunktionen von Literalen ist, d. h. wenn F gleich
i=1
j=1 Li,j für Zahlen
k, n1 , . . . , nk ∈ {1, 2, . . . } und Literale L1,1 , . . . , L1,n1 , . . . , Lk,1 . . . Lk,nk ist.
Wl Vmr
F gleich
∈ {1, 2, . . . } und Literale
r=1
s=1 Rr,s für Zahlen l, m1 , . . . , ml
R1,1 , . . . , R1,m1 , . . . , Rl,1 . . . Rl,mk , ist F also eine Disjunktion von Konjuktionen von Literalen, so ist F in disjunktiver Normalform.
Ist
a) Die folgenden Formeln sind sowohl in konjunktiver als auch in disjunktiver Normalform,
sie lassen sich also in der Form wie oben beschrieben schreiben. Geben Sie die jeweils
zugehörigen Werte von
(i)
k
und l , der
A
ni
und
mr
sowie die Literale
(ii)
Li,j
und
Rr,s
an.
A∧B
Schriftlich:
(2 Punkte )
b) Welche der folgenden Formeln sind in konjunktiver Normalform? Geben Sie zu den
Formeln in konjunktiver Normalform die Werte von
(i)
(ii)
(iii)
¬A
A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ∧ ¬A
(iv)
(v)
(vi)
k,
der
ni
und die Literale
Li,j
an.
(A ∨ B) ∧ A ∨ (A ∧ ¬B)
(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C)
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ C)
c) Welche der folgenden Formeln sind in disjunktiver Normalform? Geben Sie zu den
Formeln in disjunktiver Normalform die Werte von l , der
(i)
(ii)
(iii)
¬A
A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ∧ ¬A
(iv)
(v)
(vi)
mr
und die Literale
Rr,s
an.
(A ∨ B) ∧ A ∨ (A ∧ ¬B)
(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C)
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ C)
2. Dreierlei KNF/DNF: Kanonische KNF/DNF aus der Wahrheitstafel
In der Vorlesung haben Sie eine Möglichkeit zur Berechnung äquivalenter konjunktiver oder
disjunktiver Normalformen zu einer aussagenlogischen Formel anhand der Wahrheitstafel
kennengelernt. Die dabei entstehenden Normalformen wollen wir
kanonische
konjunktive
bzw. disjunktive Normalform nennen.
Berechnen Sie zu folgenden Formeln sowohl die kanonische konjunktive Normalform als auch
die kanonische disjunktive Normalform.
a)
b)
F = ¬A ∧ ¬ ¬B ∨ (C ∧ A)
G = (A → B) ↔ (¬B ∨ A) ∧ C (schriftlich)
(2 Punkte )
3. Dreierlei KNF/DNF: Der Algorithmus zum Beweis aus der Vorlesung
In der Vorlesung haben Sie gelernt, dass es zu jeder aussagenlogischen Formel eine äquivalente Formel in konjunktiver Normalform und eine äquivalente Formel in disjunktiver
Normalform gibt. Der Beweis zu dieser Aussage liefert einen rekursiven Algorithmus zur
Berechnung der beiden Normalformen.
Dies funktioniert folgendermaÿen: Angenommen wir möchten eine zu
F = ¬A ∧ ¬ ¬B ∨ (C ∧ A)
äquivalente Formel in disjunktiver Normalform berechnen.
F von der Bauart F = G ∧ H mit G = ¬A und
H = ¬ ¬B ∨ (C ∧ A) ist. Im Beweis aus der Vorlesung konnte im Fall, dass F = G ∧ H für
zwei Formeln G und H ist, induktiv angenommen werden, dass für G und für H jeweils eine
WV
WV
0
äquivalente Formel G =
Lij und H 0 =
Rµν in disjunktiver Normalform existiert
Zunächst beobachten wir, dass die Formel
(vgl. Aufgabe zur strukturellen Induktion von Blatt 1). Daraus lieÿ sich durch Anwendung
WV
0
des (erweiterten) Distributivitätsgesetzes die zu F äquivalente Formel F =
(Lij ∧ Rµν )
in disjunktiver Normalform erhalten.
F 0 ausrechnen zu können benötigen wir also G0 und H 0 . Diese Formeln können wir erhalten, indem wir den Algorithmus rekursiv für G und für H aufrufen. Dabei ist beispielsweise
H von der Form H = ¬K mit K = ¬B ∨ (C ∧ A). In diesem Fall konnte im Beweis
V W davon
00
ausgegangen werden, dass induktiv bereits eine zu K äquivalente Formel K =
Pij in
Um
konjunktiver
Normalform existiert. Daraus lieÿ sich durch Anwendung der Regel von DeWV
H äquivalente Formel H 0 =
¬Pij in disjunktiver Normalform
Morgan die gesuchte zu
erhalten.
H 0 notwendige Formel K 00 können wir durch einen rekursiven Aufruf
Berechnung einer konjunktiven Normalform von K erhalten. Dieser
Die zur Berechnung von
des Algorithmus zur
rekursive Aufruf ruft dann seinerseits wieder den Algorithmus (entweder in der KNF- oder
in der DNF-Variante) auf. Dies geht solange, bis der Algorithmus mit einer atomaren Formel
A
als Eingabe aufgerufen wird, dann gibt er einfach
A
als disjunktive bzw. als konjunktive
Normalform zurück.
Die Rekursionen lassen sich am Syntaxbaum der Formel
F
veranschaulichen:
∧
¬
¬
A
∨
¬
B
∧
C
A
Bei den dunklen Knoten erfolgt ein Aufruf zur Berechnung einer äquivalenten Formel in
disjunktiver Normalform zu der Formel, die durch den Unterbaum mit dem jeweiligen Knoten als Wurzel gegeben ist. Bei den hellen Knoten wird stattdessen der Algorithmus zur
Berechnung einer konjunktiven Normalform rekursiv aufgerufen. Der Wechsel ndet jeweils
an
¬-Knoten
statt.
a) Berechnen Sie mit dem beschriebenen Algorithmus eine zu
disjunktiver Normalform.
F
äquivalente Formel
F0
in
b) Berechnen Sie mit dem beschriebenen Algorithmus eine zu
F
äquivalente Formel
F 00
in
konjunktiver Normalform.
Zeichnen Sie dabei jeweils den Syntaxbaum und markieren Sie, für welche Teilformeln der
KNF-Algorithmus und für welche Teilformeln der DNF-Algorithmus aufgerufen wird. Geben
Sie auÿerdem neben jedem Knoten im Baum das vom rekursiven Aufruf zurückgegebene
(Zwischen-)Ergebnis an.
Schriftlich:
(2 Punkte )
c) Berechnen Sie in derselben Weise (d. h. auch unter Angabe des Syntaxbaums mit den
Zwischenergebnissen und der Markierung, ob ein rekursiver KNF- oder ein rekursiver
DNF-Aufruf stattfand) sowohl eine zu
¬(A ∨ ¬B) ∧ ¬A ∨ (B ∧ C)
als auch
äquivalente Formel in konjunktiver Normalform
eine äquivalente Formel in
disjunktiver Normalform.
4. Dreierlei KNF/DNF: Mit semantischen Umformungen zur KNF/DNF
Der einfachste Weg eine äquivalente Formel in konjunktiver oder disjunktiver Normalform zu
erhalten, ist es oft, die Formel durch semantische Umformungen zu vereinfachen. Dabei kann
man beispielsweise so vorgehen: Zunächst wendet man solange die Regeln von DeMorgan an,
bis Negationen nur noch direkt vor atomaren Formeln vorkommen. Anschlieÿend lässt sich
die Formel durch Anwendung des Distributivitätsgesetzes in konjunktive bzw. disjunktive
Normalform bringen.
a) Bringen Sie die Formel
F = ¬A ∧ ¬ ¬B ∨ (C ∧ A) durch schrittweise semantische Um-
formungen in konjunktive Normalform. Bringen Sie sie auf dieselbe Weise in disjunktive
Normalform.
Schriftlich:
(2 Punkte )
b) Bringen Sie die Formel
G = (A ∨ ¬B) ∧ ¬ ¬A ∨ (A ∧ ¬B)
durch schrittweise seman-
tische Umformungen in konjunktive Normalform. Bringen Sie sie auf dieselbe Weise in
disjunktive Normalform.
5. Junktorbasen
a) Seien
G↑H
G
und
H
aussagenlogische Formeln. Wir führen die abkürzende Schreibweise
(ausgesprochen: G NAND
H )
für die Formel
Zeigen Sie: Jede aussagenlogische Formel
F
ist zu einer Formel
aus atomaren Formeln und Teilformeln der Form
b)
¬(G ∧ H)
G↑H
ein.
F0
äquivalent, die nur
aufgebaut ist.
(schriftlich)
(2 Punkte )
Zeigen Sie: Jede aussagenlogische Formel
atomare Formeln, Negationen
¬
F
ist zu einer Formel
und Disjunktionen
∨
F
0
äquivalent, die nur
(also keine Konjunktionen
∧
verwendet).
c) (für Interessierte)
Zeigen Sie: Es gibt eine aussagenlogische Formel
F
die zu keiner Formel äquivalent ist,
die nur atomare Formeln, Negationen und Teilformeln der Form
G↔H
verwendet.