Aufgaben zu komplexen Zahlen und Funktionen

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Empfehlung: Da dieser Abschnitt eingehende Kenntnisse trigonometrischer Funktionen voraussetzt, verweise ich für
Grundlagen auf die Seite Mathematik/Schule/trigonometrische Funktionen (Einheitskreis, Periodizität, Winkel,
Verschiebung, Frequenz usw. ) Eine ausführliche Einführung und Aufgaben in das Thema "Komplexe Zahlen" finden Sie zum Beispiel in diesem Skript.
Aufgabe 1.
Bestimmen Sie zu den den in Normalform angegebenen komplexen Zahlen zunächst den Betrag und das Argument in
Grad­ und Bogenmaß. Bestimmen Sie dann jeweils die 5. Potenz sowie die 2. und 3. Wurzel der Zahlen in
Polardarstellung und in Normalform (ggf. näherungsweise, sofern nicht exakt möglich).
1
(a)z 1 = 2j,
(b)z 2 =
2
(1 + j√3 ),
(c)z 3 = −1,
z 4 = −1 − j√3 ),
Gibt es eine ganze Zahl k so dass
z
k
2
=
z4
2
gilt?
Aufgabe 2.
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen in Normalform und Polarform
(a)z
2
= 1 + 2j
(b)z
2
+ z = 1 + 2j,
(c)z
4
= −1 − j,
2z
4
− 2z
2
+ 5 = 0.
Können Sie ohne Berechnung der Lösungen vorab schon sagen, wieviele (paarweise) verschiedene Lösungen diese
Gleichungen jeweils besitzen?
(z
5
− 32)(z
3
− 125) = 0,
z
10
= 1024
Aufgabe 4
Skizzieren Sie in der Gauß'schen Zahleebene jeweils die Zahlenmenge, die duch die angegebene Bedingung festgelegt
wird. 1. |z| ≤ 2 2. |z − (1 + j)| ≤ 3 3. |z| ≤ 2 und |z − (1 + j)| ≤ 3 4. z = x + jy , |x| ≤ 1, |y| ≤ 2 5. |z| ≤ 2 arg(z) (Argument im Bogenmaß!) 6. |z| ≤ |z − (1 + j)|
Aufgabe 5
Gegeben sind z1 = −1 − j2 , z2 = −2 − j , z3 = −2 − 2j , z4 = 1 − j 1. Für welche der angegebenen Zahlen gilt folgende Aussage (auch mehrere möglich!): (a) Sie hat das kleinste (größte) Argument von allen (b) Sie hat den kleinsten Betrag von allen (c) Den größten Abstand zum Punkt 1 + j (d) Ihr Kehrwert liegt im 1. Quadranten? Aufgabe 6
Welches Argument und welchen Betrag muss jeweils die Zahl z besitzen, damit die Gleichung gilt? 1. (1 + j)z
= −j
Weitere Aufgaben
Die folgende Aufgabe behandelt einen Fall der sogenannten Partialbruchzerlegung
und zwar im Reellen und Komplexen. Die Partialbruchzerlegung wird bei der Integration von gebrochen rationalen
Funktionen benötigt! Text 1 Text 2