Wahrheitsbaumverfahren - Centrum für Informations

Wahrheitsbaumverfahren in der AL
Wahrheitsbaumverfahren in der PL
Regeln zur Entwicklung der Bäume
Logik und modelltheoretische Semantik
Wahrheitsbaumverfahren in den Logiksprachen
(Baumkalkül)
Robert Zangenfeind
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung, LMU München
16.5.2017
Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren
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Regeln zur Entwicklung der Bäume
Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente
Prädikatenlogische Wahrheit von natürlichsprachigen Sätzen
kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser Sätze in PL.
analog: Prädikatenlogische Gültigkeit von natürlichsprachigen
Argumenten kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser
Argumente in PL.
Vorgehensweise: (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu
überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden; (ii) prüfen,
ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist.
Nachweis der logischen Wahrheit/Gültigkeit: indirekter Beweis
durch Wahrheitsbaumverfahren (alternativ: Angabe eines
geeigneten Gegenbeispiels zum Nachweis, dass ein Satz nicht
logisch wahr ist).
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(1)
(a) Wenn Adelheid mitmacht, gewinnen weder Paul noch Maria.
(b) Wenn Maria nicht gewinnt, gewinnt Paul.
(c) Also: Adelheid macht nicht mit oder Maria gewinnt.
AL:
p: Adelheid macht mit.
q: Paul gewinnt.
r: Maria gewinnt.
p → ¬q ∧ ¬r
¬r → q
¬p ∨ r
Wahrheitstabelle der drei Sätze zeigt: überall, wo beide
Prämissen wahr sind, ist auch die Konklusion wahr
(p → ¬q ∧ ¬r) ∧ (¬r → q) → ¬p ∨ r
Wahrheitstabelle: gesamter Satz ist immer wahr (Tautologie)
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Wahrheitsbaum zu (1):
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(2)
(a) Alle Väter sind älter als ihre Kinder.
(b) Paul ist nicht älter als Hans.
(c) Also: Paul ist nicht der Vater von Hans.
D = Menge aller Menschen
a: Paul
b: Hans
F2 : ... ist der Vater von ...
G2 : ... ist älter als ...
->
(a) ∀x∀y(F2 xy → G2 xy)
(b) ¬G2 ab
(c) ¬F2 ab
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Wahrheitsbaum zu (2):
beide Äste mit ‘x’ geschlossen (d.h. Widerspruch), also: Annahme
ist falsch, d.h. Argument ist logisch gültig!
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(3)
(a) Kein Hund ist eine Katze.
(b) Keine Katze ist ein Vogel.
(c) Also: Kein Hund ist ein Vogel.
D = Menge aller Tiere
F1 : ... ist ein Hund
G1 : ... ist eine Katze
H1 : ... ist ein Vogel
->
(a) ¬∃x(F1 x ∧ G1 x)
(b) ¬∃x(G1 x ∧ H1 x)
(c) ¬∃x(F1 x ∧ H1 x)
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Auswertung des Wahrheitsbaums zu (3):
nicht alle Äste mit ‘x’ geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein
Widerspruch)
Gegenbeispiel:
H1 : ... ist ein Hund
restliche Interpretation wie bei (3)
d.h.
(3’) (a) Kein Hund ist eine Katze.
(b) Keine Katze ist ein Hund.
(c) Also: Kein Hund ist ein Hund.
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