Wahrheitsbaumverfahren - Centrum für Informations
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Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Logik und modelltheoretische Semantik Wahrheitsbaumverfahren in den Logiksprachen (Baumkalkül) Robert Zangenfeind Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung, LMU München 16.5.2017 Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 1 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente Prädikatenlogische Wahrheit von natürlichsprachigen Sätzen kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser Sätze in PL. analog: Prädikatenlogische Gültigkeit von natürlichsprachigen Argumenten kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser Argumente in PL. Vorgehensweise: (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden; (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Nachweis der logischen Wahrheit/Gültigkeit: indirekter Beweis durch Wahrheitsbaumverfahren (alternativ: Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels zum Nachweis, dass ein Satz nicht logisch wahr ist). Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 2 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume (1) (a) Wenn Adelheid mitmacht, gewinnen weder Paul noch Maria. (b) Wenn Maria nicht gewinnt, gewinnt Paul. (c) Also: Adelheid macht nicht mit oder Maria gewinnt. AL: p: Adelheid macht mit. q: Paul gewinnt. r: Maria gewinnt. p → ¬q ∧ ¬r ¬r → q ¬p ∨ r Wahrheitstabelle der drei Sätze zeigt: überall, wo beide Prämissen wahr sind, ist auch die Konklusion wahr (p → ¬q ∧ ¬r) ∧ (¬r → q) → ¬p ∨ r Wahrheitstabelle: gesamter Satz ist immer wahr (Tautologie) Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 4 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Wahrheitsbaum zu (1): Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 5 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume (2) (a) Alle Väter sind älter als ihre Kinder. (b) Paul ist nicht älter als Hans. (c) Also: Paul ist nicht der Vater von Hans. D = Menge aller Menschen a: Paul b: Hans F2 : ... ist der Vater von ... G2 : ... ist älter als ... -> (a) ∀x∀y(F2 xy → G2 xy) (b) ¬G2 ab (c) ¬F2 ab Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 7 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Wahrheitsbaum zu (2): beide Äste mit ‘x’ geschlossen (d.h. Widerspruch), also: Annahme ist falsch, d.h. Argument ist logisch gültig! Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 8 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume (3) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Vogel. (c) Also: Kein Hund ist ein Vogel. D = Menge aller Tiere F1 : ... ist ein Hund G1 : ... ist eine Katze H1 : ... ist ein Vogel -> (a) ¬∃x(F1 x ∧ G1 x) (b) ¬∃x(G1 x ∧ H1 x) (c) ¬∃x(F1 x ∧ H1 x) Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 9 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Auswertung des Wahrheitsbaums zu (3): nicht alle Äste mit ‘x’ geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H1 : ... ist ein Hund restliche Interpretation wie bei (3) d.h. (3’) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Hund. (c) Also: Kein Hund ist ein Hund. Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 11 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 13 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 14 / 15 Wahrheitsbaumverfahren in der AL Wahrheitsbaumverfahren in der PL Regeln zur Entwicklung der Bäume Zangenfeind: Wahrheitsbaumverfahren 15 / 15
