§4 Rein transzendente Körpererweiterungen

Algebra II, SS 2009
Montag 4.5
$Id: transzendent.tex,v 1.5 2009/05/04 14:59:47 hk Exp $
§4
Rein transzendente Körpererweiterungen
Wie bereits angekündigt wollen wir nun einsehen, dass wir den rationalen Funktionenkörper K(t1 , . . . , tn ) auch als eine n-fach iterierte Bildung rationaler Funktionenkörper in einer Variablen auffassen können. Haben wir einen Körper K und n, m ∈
N mit n < m, so identifizieren wir
K[t1 , . . . , tn ][tn+1 , . . . , tm ] = K[t1 , . . . , tm ]
und bilden auf beiden Seiten den Quotientenkörper. Der Quotientenkörper auf der rechten Seite ist direkt nach Definition der rationale Funktionenkörper K(t1 , . . . , tm ). Auf
der linken Seite haben wir den Quotientenkörper K(t1 , . . . , tn ) von K[t1 , . . . , tn ], und
damit wird der Quotientenkörper links nach Lemma 4 zu K(t1 , . . . , tn )(tn+1 , . . . , tm ).
Da je zwei Quotientenkörpers eines Integritätsbereichs isomorph sind, haben wir auch
K(t1 , . . . , tn )(tn+1 , . . . , tm ) ' K(t1 , . . . , tm ).
Dieser Isomorphismus wird üblicherweise als Identität interpretiert, und so werden wir
das auch halten. Nehmen wir beispielsweise das Element
f=
x2 y + y 3 − xy + 1
∈ K(x, y).
xy − 3
Um dies als ein Element in K(x)(y) aufzufassen müssen wir Zähler und Nenner als
Elemente von K(x)[y] ⊇ K[x][y] interpretieren. Die Identifikation K[x, y] = K[x][y]
geschah durch Zusammenfassen nach Potenzen von y, also
x2 y + y 3 − xy + 1 = y 3 + (x2 − x)y + 1,
xy − 3 = x · y − 3.
Dann haben wir Zähler und Nenner als Polynome in y mit Koeffizienten aus K[x] ⊆
K(x) geschrieben, und es wird
f=
y 3 + (x2 − x)y + 1
∈ K(x)(y)
x·y−3
als rationale Funktion in y über K(x). Schreiben wir den Isomorphismus also in seiner
Wirkung auf Elementen hin, so passiert eigentlich gar nichts und daher ist es gerechtfertigt ihn als Identität
K(t1 , . . . , tn )(tn+1 , . . . , tm ) = K(t1 , . . . , tm )
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zu interpretieren.
Der Körper K(t1 , . . . , tn ) ist eine Verallgemeinerung der einfach transzendenten
Erweiterung K(t), und man bezeichnet ihn als eine rein transzendente, oder auch nfache rein transzendente Erweiterung, von K. Dabei ist an dieser Stelle noch nicht klar,
dass die Zahl n durch den Isomorphietyp von K(t1 , . . . , tn ) eindeutig festgelegt ist, aber
dies werden wir noch einsehen. Die transzendenten Elemente einer Körpererweiterung
L ⊇ K waren diejenigen a ∈ L bei denen K(a) ' K(t) ist und zwar unter einem
Isomorphismus bei dem a gerade t entspricht, es gab also bis auf Isomorphie genau ein
Beispiel eines über K transzendenten Elements.
Genauso wollen wir zeigen, dass die Elemente t1 , . . . , tn von K(t1 , . . . , tn ) bis auf
Isomorphie das einzige Beispiel von n über K algebraisch unabhängigen Elementen
sind. Diese Aussage wird Gegenstand des nächsten Lemmas sein. Zuvor wollen wir aber
einige der unmittelbar einsichtigen Eigenschaften der algebraischen Unabhängigkeit
hier einfach auflisten:
1. Ein 1-Tupel a ∈ L ist genau dann algebraisch unabhängig wenn a über K transzendent ist. Dies ist klar, denn algebraische Unabhängigkeit des 1-Tupels a bedeutet gerade das es kein Polynom 0 6= p ∈ K[x] mit p(a) = 0 gibt, d.h. das a
über K transzendent ist.
2. Sind a1 , . . . , an algebraisch unabhängig über K, so sind für jedes 1 ≤ r ≤ n auch
die Elemente a1 , . . . , ar algebraisch unabhängig über K. Denn andernfalls gäbe es
ein Polynom 0 6= p ∈ K[x1 , . . . , xr ] mit p(a1 , . . . , ar ) = 0, und fassen wir p als ein
Polynom in K[x1 , . . . , xn ] auf, so ist ebenfalls p(a1 , . . . , an ) = p(a1 , . . . , ar ) = 0.
3. Sind die Elemente a1 , . . . , an ∈ L über K algebraisch unabhängig, so ist auch
jede Permutation aπ(1) , . . . , aπ(n) (π ∈ Sn ) dieser Elemente über K algebraisch unabhängig. Denn haben wir ein Polynom 0 6= p ∈ K[x1 , . . . , xn ] mit
p(aπ(1) , . . . , aπ(n) ) = 0, so erhalten wir durch entsprechende Permutation der
Koeffizienten von p ein Polynom 0 6= q ∈ K[x1 , . . . , xn ] mit q(x1 , . . . , xn ) =
q(xπ(1) , . . . , xπ(n) ), und damit ist auch q(a1 , . . . , an ) = p(aπ(1) , . . . , aπ(n) ) = 0.
4. Sind Li ⊇ Ki für i = 1, 2 zwei Körpererweiterungen und ψ : (L1 , K1 ) →
(L2 , K2 ) ein Isomorphismus von Körpererweiterungen, d.h. ein Isomorphismus
ψ : L1 → L2 mit ψ(K1 ) = K2 , so sind für alle über K1 algebraisch unabhängigen a1 , . . . , an ∈ L1 auch ψ(a1 ), . . . , ψ(an ) ∈ L2 über K2 algebraisch unabhängig.
Denn andernfalls wären diese Elemente nicht über K2 algebraisch unabhängig,
und wir hätten ein von Null verschiedenes Polynom 0 6= p ∈ K2 [x1 , . . . , xn ]
mit p(ψ(a1 ), . . . , ψ(an )) = 0. Ist dann 0 6= q ∈ K1 [x1 , . . . , xn ] das Polynom
das durch Anwendung von ψ −1 auf die Koeffizienten von p entsteht, so ist auch
ψ(q(a1 , . . . , an )) = p(ψ(a1 ), . . . , ψ(an )) = 0 und somit q(a1 , . . . , an ) = 0.
Diese eben aufgelisteten Grundtatsachen werden wir auch ohne große Rückverweise
frei benutzen. Nun können wir leicht die schon angekündigte Eindeutigkeit algebraisch
unabhängiger Elemente bis auf Isomorphie nachweisen.
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Lemma 4.5: Sei L ⊇ K ein Körpererweiterung und seien a1 , . . . , an ∈ L. Dann sind
die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Elemente a1 , . . . , an sind algebraisch unabhängig.
(b) Der Einsetzungshomomorphismus
φ : K[t1 , . . . , tn ] → L; p 7→ p(a1 , . . . , an )
ist injektiv.
(c) Es gibt einen Isomorphismus φ : K(t1 , . . . , tn ) → K(a1 , . . . , an ) ≤ L mit φ|K =
idK und φ(ti ) = ai für i = 1, . . . , n.
Beweis: (a)=⇒(b). Die Definition der algebraischen Unabhängigkeit über K fordert
Kern(φ) = 0, und damit ist φ auch injektiv.
(b)=⇒(c). Der Einsetzungshomomorphismus ist ein Isomorphismus von K[t1 , . . . , tn ]
auf den Unterring K[a1 , . . . , an ] von L. Weiter setzt sich φ zu einem Isomorphismus
ψ der jeweiligen Quotientenkörper fort. Der Quotientenkörper von K[t1 , . . . , tn ] ist
K(t1 , . . . , tn ) und der von K[a1 , . . . , an ] ist der Unterkörper K(a1 , . . . , an ) von L. Wegen
ψ|K = φ|K = idK und ψ(ti ) = φ(ti ) = ai für i = 1, . . . , n ist damit alles gezeigt.
(c)=⇒(a). Wie bereits bemerkt sind t1 , . . . , tn ∈ K(t1 , . . . , tn ) über K algebraisch
unabhängig, und damit sind auch die Bilder ai = φ(ti ) (1 ≤ i ≤ n) über K algebraisch
unabhängig.
Damit sind die Elemente t1 , . . . , tn in K(t1 , . . . , tn ) bis auf Isomorphie das einzige
Beispiel von n über K algebraisch unabhängigen Elementen. Wir wollen nun noch
die etwas mühsameren Grundtatsachen über algebraische Unabhängigkeit herleiten,
durch Verwendung von Lemma 5 können wir dies tun, ohne uns immer wieder auf die
Definition über Nullstellen von Polynomen berufen zu müssen.
Lemma 4.6 (Grundeigenschaften der algebraischen Unabhängigkeit)
Sei L ⊇ K eine Körpererweiterung.
(a) Sind a1 , . . . , am ∈ L und 1 ≤ n ≤ m, so sind a1 , . . . , am genau dann algebraisch
unabhängig über K, wenn a1 , . . . , an algebraisch unabhängig über K sind und
an+1 , . . . , am algebraisch unabhängig über K(a1 , . . . , an ) sind.
(b) Genau dann sind a1 , . . . , an ∈ L über K algebraisch unabhängig wenn ai für jedes
1 ≤ i ≤ n über K(a1 , . . . , ai−1 ) transzendent ist.
(c) Sind a1 , . . . , an ∈ L über K algebraisch unabhängig und b1 , . . . , bm ∈ L weitere
Elemente so, dass a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm über K algebraisch abhängig, also nicht
algebraisch unabhängig, sind, so existiert ein 1 ≤ i ≤ m so, dass bi ∈ L über
K(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bbi , . . . , bm ) algebraisch ist. Die Notation b1 , . . . , bbi , . . . , bm bezeichnet dabei das Tupel b1 , . . . , bi−1 , bi+1 , . . . , bm mit fortgelassenen bi .
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Beweis: (a) ”=⇒” Wie bereits bemerkt sind a1 , . . . , an über K algebraisch unabhängig
und nach Lemma 5 gibt es einen Isomorphismus φ : K(t1 , . . . , tm ) → K(a1 , . . . , am ) ≤ L
über K mit φ(ti ) = ai für 1 ≤ i ≤ m. Wegen K(t1 , . . . , tm ) = K(t1 , . . . , tn )(tn+1 , . . . , tm )
sind tn+1 , . . . , tm über K(t1 , . . . , tn ) algebraisch unabhängig, und da φ(K(t1 , . . . , tn )) =
K(a1 , . . . , an ) gilt, sind auch an+1 , . . . , am über K(a1 , . . . , an ) algebraisch unabhängig,
da wir oben ja festgehalten hatten das algebraische Unabhängigkeit unter Isomorphismen erhalten bleibt.
”⇐=” Da a1 , . . . , an über K algebraisch unabhängig sind, haben wir einen Isomorphismus φ : K(t1 , . . . , tn ) → K(a1 , . . . , an ) über K mit φ(ti ) = ai für 1 ≤ i ≤ n.
Weiter sind auch an+1 , . . . , am über K(a1 , . . . , an ) als algebraisch unabhängig vorausgesetzt, wir haben also auch einen Isomorphismus ψ : K(a1 , . . . , an )(tn+1 , . . . , tm ) →
K(a1 , . . . , an )(an+1 , . . . , am ) = K(a1 , . . . , am ) über K(a1 , . . . , an ) mit ψ(ti ) = ai für
n + 1 ≤ i ≤ m. Beachte dabei, dass sich im Ausdruck K(a1 , . . . , an )(tn+1 , . . . , tm ) das
erste Klammerpaar auf den in L erzeugten Unterkörper bezieht, während das zweite
Klammerpaar für den rationalen Funktionenkörper in tn+1 , . . . , tm steht. Für beides
verwendet man leider dasselbe Symbol. Der Isomorphismus φ setzt sich nun zu einem
Isomorphismus
φ : K(t1 , . . . , tm ) = K(t1 , . . . , tn )(tn+1 , . . . , tm ) → K(a1 , . . . , an )(tn+1 , . . . , tm )
über K mit φ(ti ) = ti für n + 1 ≤ i ≤ m fort. Durch Zusammensetzen erhalten wir
einen Isomorphismus
φ
θ : K(t1 , . . . , tm ) = K(t1 , . . . , tn )(tn+1 , . . . , tm ) −→ K(a1 , . . . , an )(tn+1 , . . . , tm )
ψ
−→ K(a1 , . . . , am )
mit θ|K = idK . Für 1 ≤ i ≤ n ist θ(ti ) = ψ(φ(ti )) = ψ(φ(ti )) = ψ(ai ) = ai , und
für n + 1 ≤ i ≤ m haben wir θ(ti ) = ψ(ϕ(ti )) = ψ(ti ) = ai . Nach Lemma 5 sind
a1 , . . . , am ∈ L über K algebraisch unabhängig.
(b) Dies ist klar durch n-fache Anwendung von Teil (a).
(c) Wäre bi ∈ L für jedes 1 ≤ i ≤ m über K(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bi−1 ) transzendent, so
folgte durch (b) das auch a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm über K algebraisch unabhängig sind.
Also muss es ein 1 ≤ i ≤ m geben so, dass bi ∈ L über K(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bi−1 ), und
damit auch über K(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bbi , . . . , bm ), algebraisch ist.
Wie bereits früher einmal bemerkt, wollen wir jede Körpererweiterung in einen transzendenten Teil und einen algebraischen Teil zerlegen. Noch haben wir aber nicht festgelegt, was unter dem transzendenten Teil“ genau zu verstehen ist. Erweiterungen der
”
Form K(a1 , . . . , an ) mit algebraisch unabhängigen a1 , . . . , an werden ein solcher transzendenter Teil sein, allerdings reichen diese nicht aus. Wenn wir etwa an die Körpererweiterung C ⊇ Q denken, so können wir C durch endlich viele algebraisch unabhängige
Elemente und algebraische Erweiterungen niemals erreichen, da C ja überabzählbar ist.
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Wir benötigen auch unendliche algebraisch unabhängige Mengen. In der linearen Algebra trat dasselbe Problem auf, für Basen beliebiger Vektorräume brauchte man auch
unendliche linear unabhängige Mengen und diese wurden dadurch definiert, das jeder
endliche Teil linear unabhängig sei. Genauso gehen wir nun für unendliche algebraisch
unabhängige Mengen vor.
Definition 4.2: Sei L ⊇ K eine Körpererweiterung. Eine Menge M ⊆ L heißt über
K algebraisch unabhängig, wenn für alle n ∈ N und alle paarweise verschiedenen
a1 , . . . , an ∈ M das Tupel a1 , . . . , an über K algebraisch unabhängig ist.
Es gibt wieder einige simple Grundtatsachen:
1. Sind a1 , . . . , an ∈ L paarweise verschieden, so sind a1 , . . . , an genau dann über
K algebraisch unabhängig, wenn die Menge {a1 , . . . , an } über K algebraisch unabhängig ist. Dabei impliziert die algebraische Unabhängigkeit von {a1 , . . . , an }
sofort die algebraische Unabhängigkeit des Tupels a1 , . . . , an , da diese Elemente als paarweise verschieden vorausgesetzt sind. Sind umgekehrt a1 , . . . , an über
K algebraisch unabhängig, so ist auch jedes aus einem Teil der a1 , . . . , an in
beliebiger Reihenfolge gebildetes Tupel algebraisch unabhängig, d.h. die Menge
{a1 , . . . , an } ist über K algebraisch unabhängig.
2. Ist M ⊆ L über K algebraisch unabhängig, so ist auch jede Teilmenge N ⊆ M
über K algebraisch unabhängig. Dies ist klar da jedes Tupel von Elementen aus
N auch eines von Elementen aus K ist.
3. Seien (Li , Ki ) für i = 1, 2 isomorphe Körpererweiterungen, ψ : (L1 , K1 ) →
(L2 , K2 ) ein Isomorphismus und M ⊆ L1 über K1 algebraisch unabhängig. Dann
ist auch ψ(M ) ⊆ L2 über K2 algebraisch unabhängig. Dies folgt sofort aus der
entsprechenden Eigenschaft für Tupel.
Wir hatten gesehen, dass es bis auf Isomorphie nur ein Beispiel von n über K algebraisch unabhängigen Elementen gibt. Diese Beobachtung möchten wir nun auf unendliche
Mengen ausdehnen, und dazu brauchen wir Polynomringe in unendlich vielen Unbekannten.
Seien also ein kommutativer Ring A und eine beliebige Menge T , deren Elemente
die Rolle der Variablen des Polynoms spielen sollen, gegeben. Unser Ziel ist es einen
Polynomring A[T ] über A in den Variablen aus T zu definieren. Die informelle Definition ist ganz einfach, man nehme einfach endliche Summen von endlichen Produkten von
Variablen mit Koeffizienten aus A. Um die formale Definition zu verstehen, erinnert
man sich am besten daran wie Polynome p ∈ A[t] in einer Variablen definiert waren.
Hier interpretierte man ja das Polynom p = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · als das Tupel der
Koeffizienten (a0 , a1 , a2 , . . .). In dieser Interpretation ist A[t] = A(N0 ) , wobei für eine
beliebige Menge M
A(M ) := {f : M → A|f ist eine Abbildung mit f (x) 6= 0 nur für endlich viele x ∈ M }
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gesetzt wurde. Dies wird auch als der freie A-Modul über der Menge M bezeichnet,
also als der A-Modul mit Basis M . Streng genommen ist M zwar keine Teilmenge
von A(M ) , aber man kann m ∈ M als die Abbildung f : M → A mit f (m) = 1 und
f (x) = 0 für x ∈ M \{m} interpretieren, und
P dann wird M tatsächlich eine Basis von
A(M ) . Für jedes f ∈ A(M ) ist einfach f = m∈M f (m)m. Die Menge ist so etwas wie
die kanonische Basis von A(M ) .
Das hier verwendete Wort A-Modul“ bezeichnet einen Vektorraum über dem Ring
”
A. Formal werden diese wörtlich wie die gewöhnlichen Vektorräume definiert, d.h. ein
Modul M über dem Ring A bezeichnet ein Tripel (M, +, ·) bestehend aus einer Menge
M und zwei Abbildungen + : M × M → M , · : A × M → M so, dass (M, +) eine
abelsche Gruppe ist, und die folgenden vier Bedingungen an die Multiplikation gelten:
1. Für alle x ∈ M ist 1 · x = x.
2. Für alle a, b ∈ A, x ∈ M ist a · (b · x) = (ab) · x.
3. Für alle a, b ∈ A, x ∈ M ist (a + b) · x = a · x + b · x.
4. Für alle a ∈ A, x, y ∈ M ist a · (x + y) = a · x + a · y.
Dass man hier von einem Modul“ und nicht von einem Vektorraum“ spricht, hat rein
”
”
historische aber keine inhaltlichen Gründe. Die Begriffe linear unabhängig“, Erzeu”
”
gendensystem“ und Basis“ werden dann genau wie für Vektorräume definiert. Über
”
einem allgemeinen Ring verhalten sich diese Begriffe aber nicht so gut wie im Vektorraumfall, zum Beispiel hat nicht jeder Modul eine Basis. Die Moduln die eine Basis
besitzen nennt man freie Moduln, und daher kommt die Sprechweise von M frei er”
zeugter A-Modul“. Diese Dinge spielen für uns an dieser Stelle keine inhaltliche Rolle,
daher wollen wir hier nicht näher auf diese Dinge eingehen.
Kommen wir nun zu den Polynomringen zurück. Für den Polynomring A[t] = A(N0 )
identifiziert man die Basis nicht direkt mit N0 , sondern schreibt anstelle dessen tn für
das n ∈ N0 entsprechende Basiselement von A[t]. Die Multiplikation von Polynomen
p, q ∈ A[t] wird dann durch das Cauchyprodukt
X
pq : N0 → A; n 7→
p(k)q(l)
k,l∈N0
k+l=n
definiert, dann hat man die gewünschte Multiplikation von Polynomen als
!
!
!
X
X X
X
an tn ·
bn tn =
ak bl tn .
n∈N0
n∈N0
n∈N0
k+l=n
Die Erweiterung zum Polynomring A[t1 , . . . , tn ] in mehreren Variablen ist nur eine kleine Änderung, statt N0 verwendet man eben Nn0 , fasst also das Monom tk11 . . . tknn als den
Multiindex (k1 , . . . , kn ) auf. Ein sogenannter Multiindex ist dabei einfach ein Tupel
nichtnegativer ganzer Zahlen. Die Addition wird weiterhin durch das Cauchyprodukt
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definiert, man muss nur die Addition k + l“ jetzt als die Addition von Multiindi”
zes interpretieren, also komponentenweise. In dieser Interpretation ist es klar wie das
allgemeine A[T ] zu definieren ist, wir müssen nur die Menge
(T )
N0
= {k : T → N0 |kt 6= 0 nur für endlich viele t ∈ T }
als Menge der Monome verwenden. Damit kommen wir zur Definition unseres Polynomrings:
Definition 4.3: Seien A ein kommutativer Ring und T eine Menge. Der Polynomring
(T )
A[T ] über A mit Variablen aus T ist der freie A-Modul A[T ] := A(N0 ) versehen mit
dem Cauchyprodukt als Multiplikation.
(T )
Ein k ∈ N0
schreibt man dann als
k
tk := t1t1 . . . tnktn
wobei t1 , . . . , tn ∈ T paarweise verschieden so gewählt sind das kt = 0 für alle t ∈
T \{t1 , . . . , tn } gilt. Die Multiplikation von Polynomen wurde durch das Cauchyprodukt
definiert, also durch



 


X 
X
 X
 X
 n
n 
n
a
b
a
t
·
b
t
=


n  
k l t
n 


(T )
(T )
(T )
(T )
n∈N0
n∈N0
n∈N0
k,l∈N0
k+l=n
(T )
wobei die Summe zweier Elemente von N0 punktweise definiert ist. Beachte das die
(T )
dabei auftretende Summe endlich ist, ein n ∈ N0 ist ja außerhalb einer endlichen
Teilmenge von T gleich Null, und die Elemente k, l mit k + l = n müssen außerhalb
dieser Teilmenge auch Null sein. Ist S ⊆ T eine Teilmenge, so können wir jedes Monom
(S)
(T )
in N0 auch als Monom in N0 auffassen, und A[S] wird dann ein Unterring von A[T ].
Da in jedem Polynom nur endlich viele Monome vorkommen, und in jedem Monom
nur endlich viele Variablen, ist
[
[
A[T ] = {A[E]|E ⊆ T endlich} =
A[t1 , . . . , tn ].
t1 ,...,tn ∈T
paarweise verschieden
Die unendlich vielen Variablen sind damit nur potentiell, in jedem Polynom p ∈ A[T ]
haben wir nur endlich viele Variablen die tatsächlich vorkommen. Insbesondere lassen
sich die meisten Eigenschaften von Polynomringen in endlich vielen Variablen auf Polynomringe in unendlich vielen Unbekannten übertragen. Beispielsweise ist A[T ] nullteilerfrei wenn A nullteilerfrei ist. Seien nämlich 0 6= p, q ∈ A[T ] gegeben. Dann kommen
in p und q jeweils nur endlich viele Variablen vor, also tauchen insgesamt nur endlich viele Variablen auf, und somit gibt es paarweise verschiedene t1 , . . . , tn ∈ T mit
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p, q ∈ A[t1 , . . . , tn ]. Ist A nullteilerfrei, so ist auch A[t1 , . . . , tn ] nullteilerfrei, und folglich
ist p · q 6= 0. Somit ist der ganze Polynomring A[T ] nullteilerfrei.
Ausgerüstet mit Polynomringen in beliebig vielen Unbekannten können wir nun
auch den rationalen Funktionenkörper in unendlich vielen Unbekannten definieren.
Definition 4.4: Seien K ein Körper und T eine Menge. Der Körper der rationalen
Funktionen über K mit Variablen aus T ist dann der Quotientenkörper K(T ) des
Ringes K[T ].
Dies ist eine sinnvolle Definition, da wir gerade eingesehen haben, dass der Polynomring K[T ] nullteilerfrei ist. Wir werden einsehen, dass die Menge T in K(T ) über K
algebraisch unabhängig ist. Weiter werden diese Mengen bis auf Isomorphie die einzigen Beispiele algebraisch unabhängiger Mengen sein. Nun sind wir in der Lage, den
schon verwendeten etwas vagen Konzept transzendenter Teil“ eine exakte Form zu
”
geben.
Definition 4.5: Eine Körpererweiterung L ⊇ K heißt rein transzendent wenn es eine
über K algebraisch unabhängige Menge B ⊆ L mit L = K(B) gibt. Jede solche Menge
B heißt dann eine Transzendenzbasis von L über K.
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