Physik III Übung 5

Physik III
Übung 5 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 20.12.2012
Achtung! Die Hausaufgaben stehen nun zuerst. Da sie aber auch zuerst bearbeitet werden müssen, macht das ganze irgendwie Sinn.
Aufgabe 1 [H] Diskussion: Spektral
Skizziere das Frequenz- und Wellenlängenspektrum der elektromagnetischen Wellen. Markiere wichtige Strahlungsarten und ihren ungefähren Frequenzbereich. Finde heraus, wann diese
Strahlungsarten erstmals künstlich durch den Menschen erzeugt wurden!
Lösung:
Jahreszahlen ohne Gewähr und Quellenangabe, sie dienen vor allem der groben Einschätzung...
Strahlungsart
Kosmische Strahlung
γ
Harte/mittlere/weiche
genstrahlung
Ultraviolette Strahlung
Sichtbares Licht
Rönt-
Frequenz
> 1022 Hz
1020 − 1021 Hz
1016 − 1019 Hz
3.8 − 7.9 × 1014 Hz
1013 − 1014 Hz
1012 Hz
Radar (Mikrowelle)
1011 Hz
1010 Hz
104 − 109 Hz
100 − 102 Hz
Künstliche Erzeugung
Ende 19. Jh.
1015 − 1016 Hz
Infrarote Strahlung
Terahertz Strahlung
MW-Herd (Mikrowelle)
Radio/Fernsehfrequenzen
Wechselströme
Wellenlänge
400 − 700nm
Ende des 19. Jh.
1902 berichtet Gustav Kaiser (Arzt) von Heilungen, 1904 Patent auf Quecksilberdampflampe von Richard Küch
Erste Nutzung von Feuer, wissenschaftlich umstritten, vermutlich vor rund 1 Mio.
Jahren. Kerzen/Fackeln vor einigen tausend Jahren. Sonst üblicher Verdächtiger: Die
Glühbirne (* 1850, † 2009)
Im Prinzip gilt hier auch das Feuer...
Ziemlich neu, erste Anwendung bildgebender Verfahren in den 60ern. Heute rapide
Entwicklung, etwa durch “Synchrotron-Licht” und Freie Elektronen Laser.
Grundsätzliche Erzeugung Anfang des 20. Jh., Radar als Anwendung seit den 30er
Jahren
Klystron 1937, Magnetron 1921, MW-Herd 1947
19. Jh.
19. Jh.
Aufgabe 2 [H] Im Dunkeln ist gut Munkeln
Max will seiner Angebeteten ein Gourmet-Dinner bei gedämpften Lichtverhältnissen servieren.
Leider hat er auf Grund seiner begrenzten finanziellen Mittel nur einen aus dem Theater geklauten Scheinwerfer als Raumbeleuchtung bei sich Zuhause. Damit das Abendessen romantisch und die schöne Frau nicht von Max schiefen Zähnen abgeschreckt - wird, muss er sich nun etwas
einfallen lassen, um den Scheinwerfer herunterzudimmen.
Aus der Physikvorlesung weiß Max, dass man einen Dimmer bauen kann, indem man eine
Induktivität in Reihe zur Lampe schaltet. Er hat sich also aus dem Labor eine einstellbare solche
1
geliehen und bastelt nun einen Dimmer Marke Eigenbau. Wie groß muss die Induktivität sein,
um die Scheinwerferleistung auf 2% der Ursprungsleistung von 2000 W zu verringern? Die
Netzspannung beträgt 230 V und hat eine Frequenz von 50 Hz.
Leider brennt Max nach kurzer Zeit die geliehene Induktivität durch. Kann er sie auch durch
einen variablen Widerstand ersetzen? Was sind ggf. Vor- und Nachteile gegenüber der Spule?
Lösung:
Den Widerstand des Scheinwerfers kann man über die Leistung und die mittlere Gesamtspannung U g es bestimmen, wenn keine Induktivität angeschlossen ist:
PS0 = US IS =
R=
US2
U g2es
=
R
R
U g2es
PS0
Mit Induktivität verändern sich Strom und Spannung am Scheinwerfer. Man kann aber schreiben:
2
PS1 = US1 · IS1 = IS1
R
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich auch die Bedingung PS1 = 0.02PS0 .
Mit Induktivität verändert sich der Strom, der durch den Scheinwerfer fließt wie folgt (Gleichheit der Ströme da Reihenschaltung):
IS1 =IS pul e = I g es
U g es
I ges =
Z
U g es
=p
= IS1
R2 + (ωL)2
2
Man kann nun für den Fall mit Induktivität die Gleichung für die Leistung aufstellen und nach
L umstellen:

0.02PS0 = PS1 =R  p
R2 + (ωL)2 =
L=
2
U g es
R2
+ (ωL)2

2
RUGes
0.02PS0
È
2
RUGes
1
ω
− R2
0.02PS0
v
2
u U ges
!2
2
u
U g2es
1 t PS0 UGes
L=
−
ω 0.02PS0
PS0
r
U g2es
1
L=
−1
ωPS0 0.02
r
U g2es
1
− 1 = 0.59H
L=
2πν PS0 0.02
Man könnte auch einen variablen Widerstand statt der Induktivität verwenden. Das hat gegenüber der Spule den Nachteil, dass die Energie nicht gespeichert und wieder ins Netz zurückgeleitet wird, sondern in Wärme umgewandelt. Spulen werden in Wirklichkeit allerdings auch nicht
als Dimmer eingesetzt, stattdessen verringert man den sog. duty cycle, d.h. man lässt Strom nur
während eines gewissen Teils der Periode durch den Stromkreis fließen.
Aufgabe 3 [H] Welle
Eine linear polarisierte elektromagnetische Welle werde durch den magnetischen Feldvektor
~ (x, t) = cos k y + ωt e~x
B
beschrieben.
a) In welcher Richtung breitet sich die Welle aus?
b) Wie muss das elektrische Feld der Welle aussehen, um die Maxwellgleichungen zu erfüllen?
Lösung:
a) Um die Ausbreitungsrichtung herauszufinden, müssen wir den Wellenvektor ~k rekonstruieren.
Es gilt allgemein
€
Š
ξ(x, t) = ξ0 cos ωt − ~k · ~x + φ
3
Da das für alle Zeiten t und Orte ~x mit der gegebenen Funktion übereinstimmen muss, lässt sich
−~k · ~x = k y identifizieren. Damit muss ~k = −k~e y gelten. Die Welle breitet sich also in negativer
y-Richtung aus.
b) Um das elektrische Feld auszurechnen, sind die differentiellen Maxwellgleichungen sehr nützlich. Im Vakuum lauten sie
~ =0
~ ·E
∇
~ =0
~ ·B
∇
~ =−
~ ×E
∇
~=
~ ×B
∇
(1)
(2)
~
dB
(3)
dt
~
1 dE
(4)
c 2 dt
Aus (4) ergibt sich
1 dE x
c 2 dt
1 dE y
c 2 dt
1 dEz
c2
dt
=0
=0
= k sin k y + ωt
E x und E y könnten also höchstens noch zeitlich konstant sein. Ez ergibt sich (ebenfalls bis auf
eine Konstante) zu
Ez = −c 2
k
ω
cos k y + ωt = −cB
Die konstanten Felder lassen sich wegargumentieren, da sie anschaulich Ströme bzw. Ladungen
erfordern. Mathematisch können wir die MW-Gleichungen nur für ein konstantes Feld betrachten. Dann muss die Zirkulation über jede beliebige Fläche verschwinden, insbesondere darf es
dann keine geschlossenen Feldlinien geben, da das Wegintegral entlang dieser immer ungleich
0 ist. Das widerspricht aber der Quellenfreiheit der beiden Felder.
Wir prüfen noch, ob das Induktionsgesetz (3) erfüllt ist.
dEz
dy
dE x
dz
dE y
dx
−
−
−
dE y
dz
dEz
dx
dE x
dy
= ckB = ω sin k y + ωt
=0
=0
Das ist erfüllt. Das elektrische Feld ist also E = (0, 0, −cB)>
4
Aufgabe 4 [H] Maxwellscher Verschiebungsstrom
Ein Plattenkondensator habe parallele, kreisförmige Platten mit dem Radius R und dem Abstand
d. Es fließe nun Ladung von der unteren Platte auf die obere ab, sodass ein Strom von 5 A fließe.
Berechne den Verschiebungsstrom und zeige, dass er ebenfalls 5 A beträgt.
Lösung:
Der Verschiebungsstrom ist
"0
Z
A
~
dE
dt
~
· da
Q
Im Kondensator existiert ein homogenes elektrisches Feld E = " πR
2 , das senkrecht auf den
0
Leiterplatten steht. Wir definieren eine Integrationsfläche als Kreis mit Radius R und vernachlässigen Randeffekte.
Der elektrische Fluss durch diese Fläche ist φe =
Q
.
"0
Damit ergibt sich für dessen Ableitung
Iv = " φ̇e = Q̇ = I
Das ist auch schon alles.
Aufgabe 5 [H] Laser-Poynter
Man kann die Leistung einer elektromagnetischen Welle durch den sog. Poynting-Vektor beschreiben. Wir betrachten eine Kugelwelle mit Amplitude 10 V/m in einem Abstand von 100 m
zum Sender. Berechne die vom Sender abgestrahlte effektive Leistung.
Lösung:
R
~ Da wir es
~ · da.
Die Leistung ergibt sich als Flächenintegral über den Poynting-Vektor P = A S
mit einer Kugelwelle zu tun haben, zeigt der Poynting-Vektor überall radial nach außen (zeigt
immer in Richtung von ~k). Also ist die zeitabhängige Leistung
P=
Z
~
~ · da
S
A
= 4πR2 S = 4πR2 "0 cE 2
= 4πR2 "0 cE02 cos2 (ωt − kr)
Die effektive Leistung erhält man durch Mittelwertbildung über eine Periode, wodurch sich noch
einmal ein Faktor 12 aus dem Integral über cos2 ergibt.
Pe f f = 2πR2 "0 cE02 = 16.7 kW
5
Aufgabe 6 [P] Diskussion: Polarisierte Wellen
Beschreibe und/oder skizziere, wie die elektrischen und magnetischen Feldvektoren sich
a) bei einer linear polarisierten Welle
b) bei einer zirkular polarisierten Welle
c) bei einer elliptisch polarisierten Welle
verhalten. Die Wellen sollen sich alle im Vakuum ausbreiten.
Lösung:
Wir sparen uns das Anfertigen von Skizzen. Man findet viele schöne Skizzen in diversen Lehrbüchern oder auch im Internet.
Zunächst zwei grundsätzliche Dinge:
1. Die Richtung der Polarisation elektromagnetischer Wellen entspricht per Definition immer
der Richtung des elektrischen Feldes.
2. Das Magnetfeld einer elektromagnetischen Welle steht immer senkrecht auf dem elektrischen
Feld und ist zu ihm in Phase. Man lässt es in Skizzen der Übersichtlichkeit halber deshalb meistens weg.
a) Das elektrische Feld der Welle liegt in einer Ebene. Bei Überlagerungen von linear polarisierten Wellen entstehen wieder linear polarisierte Wellen, sofern die Ausgangswellen in Phase
sind. Der Feldvektor des E-Feldes liegt in diesem Fall immer in einer Ebene. Die Schwingung
äußert sich in einer Oszillation des Betrags.
b) Kann als Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, deren elektrische Felder um π/2
phasenverschoben sind, und deren Amplituden identisch sind, beschrieben werden. Der Feldvektor wandert entlang eines Kreises und hat immer den gleichen Betrag.
c) Kann ebenfalls als Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen beschrieben werden. Entweder haben die Wellen haben eine Phasenverschiebung ungleich π/2 oder sie haben unterschiedliche Amplituden. Der Feldvektor wandert entlang einer Ellipse und hat unterschiedliche
Beträge.
Aufgabe 7 [P] Diskussion: Abschlusswiderstand
Was hat es mit den sog. Abschlusswiderständen an Kabelenden auf sich?
Lösung:
Grundsätzlich: Abschlusswiderstände verhindern Reflexionen von Signalen an Leitungsenden.
Ändert sich die Impedanz eines Übertragungsmediums (etwa am Übergang Koaxialkabel zu Luft,
aber auch von einem Koaxialkabel zu einem anderen), kommt es zu Reflexionen der im Medium
6
übertragenen Wellen. Diese Wellen können entweder hochfrequente Wechselspannungen oder
auch Signalpulse (haben ganz viele hochfrequente Anteile) sein. Hochfrequent sind die Signale
immer dann, wenn die Frequenz deutlich höher als der Kehrwert der Signallaufzeit auf dem
Kabel ist.
Für Leitungen kann man in der Regel einen “Leitungswellenwiderstand” angeben (auch “Kabelimpedanz” oder “Nennimpedanz” einer Leitung). Dieser Widerstand bezeichnet das Verhältnis
zwischen den Spannungs- und Stromwellen, die sich in einer Leitung in gleiche Richtung ausbreiten. Ist er komplex, ist auch eine Phasenverschiebung der beiden Wellen vorhanden. Der
Widerstand ist nicht abhängig von der Länge der Leitung, dafür aber teilweise von der Frequenz. Viele Koaxialkabel haben z.B. einen Wellenwiderstand von 50 Ω oder 75 Ω.
Hat eine Leitung nun ein offenes Ende, muss der dort fließende offensichtlich Gesamtstrom 0 A
sein. Dies kann bei einlaufender Stromwelle nur passieren, wenn das Signal vollständig reflektiert wird. Baut man dagegen einen Abschlusswiderstand in der Größe des Wellenwiderstandes
ein, wird das gesamte Signal am Kabelende absorbiert, und nicht reflektiert. Baut man einen
Widerstand anderer Größe ein, gibt es Teilreflexionen.
Misst man mit einem sehr hochohmigen Gerät (z.B. einem Oszilloskop) eine hochfrequentes
Signal, dass über eine lange Strecke übertragen wurde, ergeben sich auch hier Reflexionen.
Daher muss man vor dem Eingang ebenfalls einen Abschlusswiderstand einbauen.
Außer in der Messtechnik gibt es Abschlusswiderstände u.a. bei Kommunikationsleitungen (z.B.
ISDN Leitungen - 100 Ω), aber auch bei sehr langen Wechselstromleitungen (sehr lang - viele
hundert Kilometer).
Aufgabe 8 [P] Diskussion: Antenne
Wir bauen eine Antenne der Länge L. Berechne, welche Frequenz von dieser am besten empfangen werden kann. Welche Frequnzen werden von diesem Schwingkreis außerdem noch
verstärkt? Warum benutzt man für Mikrowellen (z.B. in der Satellitenschüssel) keine solchen
Antennen und wie sehen sie dort aus?
Lösung:
Das hängt im Detail von der Bauart der Antenne ab. Die Idee ist allerdings immer, dass sich
eine stehende Welle in der Antenne ausbilden kann (zumindest in etwa), sodass es zu einer
Resonanz kommt. Das gilt auch beispielsweise für Ringantennen, bei denen aber Kapazität und
Induktivität eine größere Rolle spielen als die Länge. Für eine Stabantenne, die an beiden Enden
offen ist und deren Anschlüsse in der Mitte sind, ergibt sich eine stehende Welle, wenn
L=
L=
ν=
nλ
2
nc
2ν
nc
2L
Wählt man z.B. L = 1.5 m, ergibt sich optimaler Empfang für ν = 100 MHz
7
Für Mikrowellen sieht das Ganze anders aus. Hier verwendet man meistens Hohlraumresonatoren und sog. Hornantennen, um Leitungen (in diesem Zusammenhang meist Wellenleiter
genannt) bzw. Antennen zu bauen. Diese sind in erster Linie wegen des sog. Skin-Effekts notwendig: hochfrequente elektromagnetische Wellen dringen nicht in die Leiter des Kabels (der
Antenne) ein, deren Leitfähigkeit sinkt also. Satellitenfernsehen arbeitet mit Frequenzen von ca
10 GHz. In diesem Frequenzbereich würden Wellen in ein Kabel nur noch im Mikrometerbereich
eindringen, dessen Leitfähigkeit wäre also quasi null.
Will man solche Frequenzen möglichst verlustfrei übertragen, eignet sich eine Leitung der elektromagnetischen Strahlung innerhalb von reflektierenden Wänden besser. Hornantennen erweitern sich zum Ende hin, um den Brechungsindex im Inneren besser an den der Luft anzupassen
und somit Reflexionen zu vermeiden.
Aufgabe 9 [P] Der Maxwellsche Dämon
Ein Maxwellscher Dämon ist normalerweise ein Ding, das etwas tut, das man sich nur schwer
physikalisch vorstellen kann, also beispielsweise bestimmte Moleküle nur in einer Richtung passieren zu lassen und so die Entropie zu besiegen.
Zeige, dass man die integralen Formen der Maxwellgleichungen auch ohne einen solchen Dämon in die differentiellen überführen kann!
Lösung:
Zunächst nochmal die integrale Form:
I
~ · d~a =
E
∂V
I
q
(5)
"0
~ · d~a = 0
B
(6)
∂V
I
~ · d~r = −
E
∂A
I
d
Z
dt
~ · d~a
B
(7)
A
~ · d~r = µ0 I +
B
1
Z
c2
∂A
~
dE
dt
· d~a
(8)
A
Für die Umformung benötigt man zwei bekannte, in der Physik immer wieder wichtige Sätze,
den Satz von Gauß (bzw. Gaußscher Integralsatz)
Z
V
~ · F~ dV =
∇
I
~
F~ · dA
(9)
∂V
8
(wobei die Fläche ∂ V der Rand des Volumens V ist), und den Satz von Stokes
Z
I
~ × F~ ) · d~a = F~ · d~s
(∇
(10)
∂A
A
Umformung von (5): Wir ersetzen die linke Seite mit Hilfe des Satzes von Gauß und ersetzen
die Ladung durch ein Integral der Ladungsdichte über ein Volumen.
I
Z
~ = ∇
~ · da
~ dV
~ ·E
E
∂V
V
q
"0
=
Z
1
"0
ρdV
V
Wir können nun schreiben:
Z
~ dV =
~ ·E
∇
1
Z
"0
V
ρdV
V
Die Ladung in (5) ist nur die eingeschlossene Ladung des Volumens der linken Seite, daher
integrieren wir auf der rechten Seite über das gleiche Volumen. Die integrale Gleichung muss
für beliebige Volumina gelten, auch infinitesimal kleine. Daraus können wir schließen, dass die
Integranden gleich sein müssen und erhalten die erste Gleichung in differentieller Form:
~=
~ ·E
∇
ρ
"0
Umformung von (6): Nochmals mit dem Satz von Gauss linke Seite ersetzen:
I
Z
~ · d~a = ∇
~ dV
~ ·B
B
Z∂V
~ dV = 0
~ ·B
∇
V
V
Da die zweite Gleichung wiederum für beliebige Volumina gelten muss (wie auch die erste),
muss auch ihr Integrand 0 sein. Damit erhalten wir:
~ =0
~ ·B
∇
9
Umformung von (7): Diesmal mit dem Satz von Stokes
I
Z
~ · d~r = (∇
~ ) · d~a
~ ×E
E
∂A
Z
A
~ ) · d~a = −
~ ×E
(∇
d
Z
dt
~ · d~a
B
A
A
In der integralen Form können wir eine beliebige Fläche wählen. Auch die umgeformte Gleichung muss daher für beliebige Flächen gelten. Daher müssen wieder die Integranden gleich
sein, wir erhalten ohne Integrale:
~ =−
~ ×E
∇
~
dB
dt
Umformung von (8): Auch wieder Satz von Stokes für linke Seite von (8), zusätzlich muss man
noch den Strom in ein Integral über die Stromdichte ~j umwandeln.
I
Z
~ ) · d~a)
~ · d~r = (∇
~ ×B
B
∂A
µ0 I +
1
Z
c2
~
dE
dt
A
A
· d~a = µ0
Z
~j · d~a +
1
Z
c2
A
~
dE
dt
· d~a =
A
Z
(µ0~j +
~
1 dE
c 2 dt
) · d~a
A
Wieder linke und rechte Seite zusammenbringen. Integrale wieder über beliebige Fläche, daher
auch Gleichheit der Integranden:
~ = µ0~j +
~ ×B
∇
~
1 dE
c 2 dt
Aufgabe 10 [P] Empfängerspannung
Wir verwenden nun eine kreisförmige Leiterschleife als Empfänger für elektromagnetische Wellen. Ein 100 MHz-Sender strahle eine Leistung von 50 kW isotrop ab. Berechne die in einer
Drahtschleife mit Radius 50 cm induzierte effektive Spannung. Der Abstand zwischen Sender
und Empfänger betrage 100 km.
Lösung:
Wir können in guter Näherung davon ausgehen, dass das Magnetfeld senkrecht auf dem Empfänger steht. Dann ist die momentane induzierte Spannung gleich
Uind = −
dφ M
dt
= −πr 2
dB
dt
10
Wir nehmen an, der Sender strahle eine sinusförmige Welle ab. Wir berechnen den Betrag des
magnetischen Feldes aus dem Energiefluss.
B = B0 sin (ωt − kr)
¬ ¶
c B2
cB0
⟨S⟩ =
=
µ0
2µ0
2
4πR ⟨S⟩ = ⟨P⟩
r
µ0 ⟨P⟩
B0 =
2πR2 c
Umax
Ueff = p
2
B0
= −ωπr 2 p
2
r
µ0 ⟨P⟩
= 7 mV
= −ωπr 2
4πR2 c
11