Gleichmäßige Konvergenz 1. Die Funktionenfolge fn(x) = xn auf [0,1

Gleichmäßige Konvergenz
1. Die Funktionenfolge fn (x) = xn auf [0, 1] konvergiert gleichmäßig gegen
die Grenzfunktion.
FALSCH, da die fn stetig sind und die Grenzfunktion f (x) = 0 für x < 1
f (1) = 1 nicht!!!
2. Seien fn : [a, b] → K Funktionen aus R([a, b]), die gleichmäßig gegen eine
Grenzfunktion f : [a, b] → K konvergieren. Dann ist f ∈ R([a, b]), und es gilt
Z
b
Z
f (x)dx = lim
a
n→∞ a
b
fn (x)dx.
JA, Satz 9.4
3. Potenzreihen konvergieren innerhalb ihres Konvergenzradius gleichmäßig.
JA, Satz 9.8
4. Seien fn : [a, b] → K stetig differenzierbare Funktionen, die gleichmäßig
gegen die Funktion f : [a, b] → K konvergieren. Dann ist f differenzierbar und
es gilt f 0 (x) = limn→∞ fn0 (x) für alle x ∈ [a, b].
FALSCH, die Ableitungen müssen glm. konvergieren. Es gilt:
Seien fn : [a, b] → K stetig differenzierbare Funktionen, die punktweise gegen
die Funktion f : [a, b] → K konvergieren. Die Folge (fn0 )n∈N konvergiere gleichmäßig auf [a, b]. Dann ist f differenzierbar und es gilt f 0 (x) = limn→∞ fn0 (x) für
alle x ∈ [a, b].
5. Konvergiert die Funktionenfolge (fn )n∈N stetiger Funktionen punktweise
gegen die Grenzfunktion f und ist f ebenfalls stetig, so konvergieren die Funktionen (fn )n∈N gleichmäßig genen f .
FALSCH, z.B. Sei fn : [0, 1] → R, fn (x) = n2 x(1 − x2 )n mit limn→∞ fn (x) = 0
stetig aber es liegt keine glm. Konvergenz vor (vgl. Skript Seite 2)!
ABER: Sei M ein metrischer Raum mit Metrik d, und sei (fn )n∈N eine Folge K-wertiger Funktionen fn : M → K, die auf M gegen eine Grenzfunktion
f : M → K gleichmäßig konvergieren. Sind alle fn (in einer Stelle a ∈ M ) stetig,
so ist f auch (in a ∈ M ) stetig.
6. Für jedes f ∈ C([a, b]) existiert eine Folge von Polynomen Pn , die gleichmäßig gegen f konvergieren.
JA, Weierstra§scher Approximationssatz 9.9
Taylor
1. Die Taylorreihe von f (t) = exp(t), t ∈ R, um den Entwicklungspunkt
P
xk
c = 0 ist ∞
k=1 k! .
P
xk
FALSCH, ∞
k=0 k! .
2. Bei einer Doppelfolge (aij )i∈N,j∈N von Zahlen aij ∈ K, ∀i, j ∈ N, gilt
immer
∞ X
∞
X
aij =
i=1 j=1
∞ X
∞
X
FALSCH, Lemma 10.3 gilt nur, wenn 1.
P∞
i=1 bi konvergiert.
3. Für f (x) =
P∞
k=0 ck (x
aij .
j=1 i=1
P∞
j=1 |aij |
= bi konvergiert und 2.
− c)k für alle x ∈ ]c − R, c + R[, (R > 0), ist die
Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt c genau die Potenzreihe.
JA, vgl. Seite 14 im Skript.
4. Für f (x) =
P∞
k=0 ck (x
− c)k für alle x ∈ ]c − R, c + R[, (R > 0), ist
F (x) =
∞
X
ck
(x − c)k+1
k+1
k=0
für alle x ∈]c − R, c + R[ eine Stammfunktion von f .
JA, vgl. Seite 15 im Skript.
Fourier- Reihen
1. Seien f, g ∈ Rp stetig. Gilt fˆ(k) = ĝ(k) für alle k ∈ Z, so ist f = g.
JA, Satz 11.8 (Eindeutigkeitssatz).
2. Die Fourier-Reihe konvergiert immer.
FALSCH!
3. Die Fourier-Koeffizienten bilden immer eine Nullfolge.
FALSCH, nur wenn f auch stetig!!! Riemann-Lebesgue-Lemma: Ist f ∈ Rp stetig, so gilt lim|n|→∞ fˆ(n) = 0.
4. Es gibt eine stetige Funktion f ∈ Rp , f 6= 0, mit fˆ(k) = 0 für alle k ∈ Z.
FALSCH, siehe 1.
5. Sei f ∈ Rp stetig, dann konvergiert Sn (f ) gegen f bezüglich der k k2 Norm.
JA , Satz 11.17.
6. Wenn die 2π periodische Funktion f stetig ist und im Intervall [0, 2π]
abgesehen von endlich vielen Stellen differenzierbar ist mit beschränkten Ableitungen, dann konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig gegen f .
JA, Korollar 11.12.
Kompaktheit
1. Eine Menge, die abgeschlossen ist, ist nicht offen.
FALSCH z.B. ∅.
2. Eine Menge, die nicht offen ist, ist abgeschlossen.
FALSCH z.B. ] − 1, 1] ⊂ R.
3. Die Vereinigung unendlich vieler offener Mengen ist offen.
JA Satz 12.3
4. Der Schnitt unendlich vieler offener Mengen ist offen.
T
FALSCH, z.B. n∈N U1/n (0) = {0} ist abg. in R.
ABER: der Schnitt endlich vieler offener Mengen ist offen (Satz 12.3)
5. Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Räume, und f : X → Y eine stetige
Abbildung von X nach Y , so gilt
a. Für jede offene Teilmenge W ⊂ X ist das Bild f (W ) offen in Y .
NEIN, z.B. f : R+ → R+ , f (x) = 1
b. Für jede offene Teilmenge V ⊂ Y ist das Urbild f −1 (V ) offen in X.
JA Satz 12.4
6. Eine kompakte Menge in einem metrischen Raum ist abgeschlossen.
JA, Satz 12.6.
Kurven in normierten Vektorräumen
1. Es seien V, W normierte Voktorräume und L : V → W linear und im
Nullpunkt 0V von V stetig. Dann ist L gleichmäßig stetig auf V .
JA, Satz 13.1.
2. Es sei γ : [a, b] → V ein Weg im d-dimensionalen normierten Vektorraum
V . Der Wert der Ableitung von γ in t0 hängt von der Wahl der Norm in V ab.
FALSCH, vgl. Satz 13.7 (Normäquivalenz in endlichdimensionalem Raum)
Für jeden d-dimensionalen Vektorraum V gilt
(i) Je zwei Normen auf V sind äquivalent. (ii) Unter jeder Norm ist V vollständig und Limites in V sind unabhängig von der Wahl der Norm.
3. Es sei γ : [a, b] → V ein Weg im d-dimensionalen normierten Vektorraum
V . Die Kurvenlänge von γ hängt von der Wahl der Norm ab.
JA, z.B. s(t) = (1 + i)t, t ∈ [0, 1]. In der Euklidischen Norm, die in C mit dem
√
Betrag zusammenfällt, die Länge 2, während ihre Länge in der MaximumNorm des zugrundeliegenden R2 gleich 1 ist.
4. Eine stetige Abbildung γ : [a, b] → V ist im Punkt t ∈ I = [a, b] genau dann differenzierbar, wenn jede Koordinatenfunktion γk : [a, b] → R dort
differenzierbar ist. In diesem Fall gilt
0
γ (t) =
d
X
ej γj0 (t).
j=1
JA, Satz 13.10.
5. Für jede stetig differenzierbare Kurve γ : [a, b] → V im d-dimensionalen
normierten Raum V existiert ein M > 0 so dass gilt kγ(b) − γ(a)k ≤ M (b − a).
Ja, da die Ableitung von γ stetig sind und somit eine durch M beschränkte Norm
kγ 0 (t)k ≤ M auf dem kompakten Intervall [a, b], t ∈ [a, b] besitzt. (Schrankensatz 13.14)
6. Unter C 1 -Parametertransformationen bleiben Kurvenlängen invariant.
JA, vgl. Seite 51 im Skript.
Totale Differenzierbarkeit
Seien V, W endlich-dimensionale normierte R-Vektorräume. f : U → W ,
U ⊆ V offen und a ∈ U .
1. Ist f in a differenzierbar, so ist f in a auch stetig.
JA, Satz 14.2.
2. Aus der Existenz der partiellen Ableitungen in a folgt die totale Differenzierbarkeit von f in a.
FALSCH. Es gilt f : U → Rm , U ⊆ Rn differenzierbar →
∂fi
∂xk
existieren.
3. f : U → Rm , U ⊆ Rn , ist stetig differenzierbar genau dann, wenn
∂fi
∂xj ,
(i = 1, ..., m), (j = 1, ..., n), existieren und stetig sind.
JA
4. Es sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rm , eine Funktion, für die die Ableitungen ∂j (∂i f ) existieren (i, j = 1, ..., n). Dann gilt
∂j (∂i f )(x) = ∂i (∂j f )(x).
FALSCH, nur wenn die Ableitungen Dj (Di f ) in x ∈ U stetig sind!!!!
5. Es sei eine Abbildung f : U → R, U ⊆ Rn , für die alle zweiten partiellen
Ableitungen in a ∈ U existieren, dann ist die Hessematirix Hf (a) symmetrisch.
FALSCH, nur falls die zweiten partiellen Ableitungen in a stetig sind.