Sind die folgenden Aussagen WAHR oder FALSCH???

Sind die folgenden Aussagen WAHR oder FALSCH???
Gleichmäßige Konvergenz
1. Die Funktionenfolge fn (x) = xn auf [0, 1] konvergiert gleichmäßig gegen
die Grenzfunktion.
2. Seien fn : [a, b] → K Funktionen aus R([a, b]), die gleichmäßig gegen eine
Grenzfunktion f : [a, b] → K konvergieren. Dann ist f ∈ R([a, b]), und es gilt
Z
b
Z
f (x)dx = lim
n→∞ a
a
b
fn (x)dx.
3. Potenzreihen konvergieren innerhalb ihres Konvergenzradius gleichmäßig.
4. Seien fn : [a, b] → K stetig differenzierbare Funktionen, die gleichmäßig
gegen die Funktion f : [a, b] → K konvergieren. Dann ist f differenzierbar und
es gilt f 0 (x) = limn→∞ fn0 (x) für alle x ∈ [a, b].
5. Ist eine punktweise Grenzfunktion f stetiger Funktionen fn stetig, so konvergieren die Funktionen fn gleichmäßig genen f .
6. Für jedes f ∈ C([a, b]) existiert eine Folge von Polynomen Pn , die gleichmäßig gegen f konvergieren.
Taylor
1. Die Taylorreihe von f (t) = exp(t), t ∈ R, um den Entwicklungspunkt
P
xk
c = 0 ist ∞
k=1 k! .
2. Bei einer Doppelfolge (aij )i∈N,j∈N von Zahlen aij ∈ K gilt immer
∞ X
∞
X
i=1 j=1
3. Für f (x) =
P∞
k=0 ck (x
aij =
∞ X
∞
X
aij .
j=1 i=1
− c)k für alle x ∈ ]c − R, c + R[, (R > 0), ist die
Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt c genau die Potenzreihe.
4. Für f (x) =
P∞
k=0 ck (x
− c)k für alle x ∈ ]c − R, c + R[, (R > 0), ist
F (x) =
∞
X
ck
(x − c)k+1
k+1
k=0
für alle x ∈]c − R, c + R[ eine Stammfunktion von f .
Fourier- Reihen
1. Seien f, g ∈ Rp stetig. Gilt fˆ(k) = ĝ(k) für alle k ∈ Z, so ist f = g.
2. Die Fourier-Reihe konvergiert immer.
3. Die Fourier-Koeffizienten bilden immer eine Nullfolge.
4. Es gibt eine stetige Funktion f ∈ Rp , f 6= 0, mit fˆ(k) = 0 für alle k ∈ Z.
5. Sei f ∈ Rp stetig, dann konvergiert Sn (f ) gegen f bezüglich der k k2 Norm.
6. Wenn die 2π periodische Funktion f stetig ist und im Intervall [0, 2π]
abgesehen von endlich vielen Stellen differenzierbar ist mit beschränkten Ableitungen, dann konvergiert die Fourier-Reihe gleichmäßig gegen f .
Kompaktheit
1. Eine Menge, die abgeschlossen ist, ist nicht offen.
2. Eine Menge, die nicht offen ist, ist abgeschlossen.
3. Die Vereinigung unendlich vieler offener Mengen ist offen.
4. Der Schnitt unendlich vieler offener Mengen ist offen.
5. Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische Räume, und f : X → Y eine stetige
Abbildung von X nach Y , so gilt
a. Für jede offene Teilmenge W ⊂ X ist das Bild f (W ) offen in Y .
b. Für jede offene Teilmenge V ⊂ Y ist das Urbild f −1 (V ) offen in X.
6. Eine kompakte Menge in einem metrischen Raum ist abgeschlossen.
Kurven in normierten Vektorräumen
1. Es seien V, W normierte Voktorräume und L : V → W linear und im
Nullpunkt 0V von V stetig. Dann ist L gleichmäßig stetig auf V .
2. Es sei γ : [a, b] → V ein Weg im d-dimensionalen normierten Vektorraum
V . Der Wert der Ableitung von γ in t0 hängt von der Wahl der Norm in V ab.
3. Es sei γ : [a, b] → V ein Weg im d-dimensionalen normierten Vektorraum
V . Die Kurvenlänge von γ hängt von der Wahl der Norm ab.
4. Eine stetige Abbildung γ : [a, b] → V ist im Punkt t ∈ I = [a, b] genau dann differenzierbar, wenn jede Koordinatenfunktion γk : [a, b] → R dort
differenzierbar ist. In diesem Fall gilt
γ 0 (t) =
d
X
ej γj0 (t).
j=1
5. Für jede stetig differenzierbare Kurve γ : [a, b] → V im d-dimensionalen
normierten Raum V existiert ein M > 0 so dass gilt |γ(b) − γ(a)| ≤ M (b − a).
6. Unter C 1 -Parametertransformationen bleiben Kurvenlängen invariant.
Totale Differenzierbarkeit
Seien U, V endlich-dimensionale normierte R-Vektorräume. f : U → W ,
U ⊆ V offen und a ∈ U .
1. Ist f in a differenzierbar, so ist f in a auch stetig.
2. Aus der Existenz der partiellen Ableitungen in a folgt die totale Differenzierbarkeit von f in a.
3. f : U → Rm , U ⊆ Rn , ist stetig differenzierbar genau dann, wenn
∂fi
∂xj ,
(i = 1, ..., m), (j = 1, ..., n), existieren und stetig sind.
4. Es sei U ⊆ Rn offen und f : U → Rm , U ⊆ Rn eine Funktion, für die die
Ableitungen ∂j (∂i f ) existieren (i, j = 1, ..., n). Dann gilt
∂j (∂i f )(x) = ∂i (∂j f )(x).
5. Es sei eine Abbildung f : U → R, U ⊆ Rn , für die alle zweiten partiellen
Ableitungen in a ∈ U existieren, dann ist die Hessematirix Hf (a) symmetrisch.