Wellenoptik Version vom 23. August 2016

PW 8
Wellenoptik
Version vom 23. August 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Grundlagen
1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . .
1.2 Licht als Welle - Interferenz . .
1.3 Kohärenz . . . . . . . . . . . .
1.4 Laser . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Fraunhofer- und Fresnelbeugung
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2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Doppelspalt . . . . . . . . . . . . .
2.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Versuchsaufbau und Durchführung
2.2.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . .
2.3 Literaturangaben . . . . . . . . . . . . . .
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3 Wellenlängenmessung mit dem Gitter
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Versuchsaufbau und Durchführung
3.2.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . .
3.3 Literaturangaben . . . . . . . . . . . . . .
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4 Newtonsche Ringe
4.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Theoretische Betrachtung . .
4.2.2 Strahlengang in Reflexion . .
4.2.3 Strahlengang in Transmission
4.3 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . .
4.4 Versuchsaufbau und Durchführung .
4.5 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . .
4.6 Literaturangaben . . . . . . . . . . .
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PW 8 / PL 6
1 Allgemeine Grundlagen
Lehr/Lernziele
• Arbeiten mit den Welleneigenschaften des Lichts.
• Interferenz- und Beugungsprozesse verstehen.
• Interferenzbedingungen verstehen.
• Übergang von Einzelspalt zu Doppelspalt und Beugungsgitter nachvollziehen.
1 Allgemeine Grundlagen
1.1 Begriffe
Wellenoptik, Interferenz, Kohärenz, Huygens-Fresnel’sches Prinzip, Fraunhofer’sche und
Fresnel’sche Beugungserscheinungen, Laser
1.2 Licht als Welle - Interferenz
Licht kann als elektromagnetische Welle beschrieben werden. Darauf weisen Interferenzund Beugungphänomene hin. Die Vektoren der elektrischen und magnetischen Feldstärke
stehen senkrecht aufeinander und auf die Ausbreitungsrichtung (Abb.1a).
Abbildung 1: (a) Elektromagnetische Welle: E0 , H0 Amplituden der elektrischen bzw.
magnetischen Feldstärke. (b) Örtliche Verteilung der elektrischen Feldstärke einer harmonischen Welle für zwei verschiedene Zeiten
Meist zieht man zur Beschreibung nur die elektrische Feldstärke heran und schreibt(Abb.1b)
E(x, t) = E0 ejω(t−x/c)
-3-
(1)
PW 8 / PL 6
1 Allgemeine Grundlagen
Die Benutzung der komplexen Schreibweise hat mathematische Gründe, physikalische Bedeutung hat nur der Realteil der Gleichung. E0 = |E0 | ist die Amplitude der Welle, ω = 2πf
die Kreisfrequenz und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Frequenz f und Wellenlänge λ
sind durch die Gleichung
c = λf
(2)
miteinander verknüpft. Direkt beobachtbar ist nur die Intensität; sie ist dem zeitlichen
Mittel des Betragsquadrats der Feldstärke proportional:
I ∝ h|E(x, t)2 |i = hE(x, t) E ∗ (x, t)i
(3)
Überlagern sich zwei oder mehrere Wellen so tritt Interferenz ein. Je nach ihrer Phasenlage
verstärken oder schwächen die Wellen einander. Die beiden Wellen werden durch
E1 (x, t) = E01 ejω(t−x/c)
und
E2 (x, t) = E02 ej(ω(t−x/c)+δ)
beschrieben, wobei δ = 2π ∆x/λ die Phasenverschiebung der Welle 2 gegenüber der Welle
1 ist (∆x ist die Wegdifferenz der beiden Wellen).
Da sich elektrische Feldstärken ungestört überlagern, erhält man am Ort x zur Zeit t die
Feldstärke
E(x, t) = (E01 + E02 ejδ ) ejω(t−x/c)
(4)
die einer Intensität
I ∝ (E01 + E02 ejδ ) (E01 + E02 e−jδ )
2
2
= E01
+ E02
+ 2 E01 E02 cosδ
(5)
entspricht. Drückt man die reellen Amplituden E01 und E02 der Intensitäten I1 und I2 der
Einzelwellen aus, so folgt
p
(6)
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 · cosδ
Die Gesamtintensität ist also nicht gleich
√ der Summe der Intensitäten der Einzelwellen,
sondern ist infolge des Interferenzgliedes I1 I2 ·cosδ entsprechend der Phasenverschiebung
δ größer oder kleiner. δ = 2kπ entspricht einer Wegdifferenz von kλ, δ = (2k + 1)π einer
Wegdifferenz von kλ + λ/2, wobei k eine ganze Zahl ist (Ordnung der Interferenz).
1.3 Kohärenz
Alle diese Überlegungen gelten für räumlich und zeitlich unbegrenzte Wellen. Erfahrungsgemäß lassen sich aber Interferenzexperimente mit Licht aus getrennten Lichtquellen (auch
mit Licht von verschiedenen Stellen einer ausgedehnten Quelle) nicht ausführen. Das hat
seine Ursache darin, dass Licht aus räumlich und zeitlich begrenzten Wellengruppen besteht, deren Länge man als Kohärenzlänge l und deren Dauer man als Kohärenzdauer τ
bezeichnet. Eine beobachtbare Interferenz tritt daher nur auf, wenn die sich überlagernden
Wellengruppen dauernd in Wellenlänge und Schwingungsebene übereinstimmen und eine
zeitlich konstante Phasendifferenz besitzen.
-4-
PW 8 / PL 6
1 Allgemeine Grundlagen
Für punktförmigen Lichtquellen lassen sich die Bedingungen für Kohärenz wie folgt formulieren:
• Es muss hinreichende Überlappung der Wellengruppen im Beobachtungsgebiet vorliegen, d.h., die Wegdifferenz der interferierenden Wellen muss kleiner als die Kohärenzlänge sein.
• Die Phasendifferenz darf sich zeitlich nicht (oder nur sehr langsam) ändern, damit
die Lage der Interferenzfigur während der Beobachtungszeit konstant bleibt.
Beide Bedingungen lassen sich durch Aufspalten einer Wellengruppe in zwei (oder mehrere)
realisieren. Bei Verwendung räumlich ausgedehnter Lichtquellen kommt noch eine weitere
Bedingung hinzu:
• Nur innerhalb eines Öffnungswinkels 2u, der der Kohärenzbedingung
sin u λ
2y
(7)
genügt, kann eine Lichtquelle der linearen Ausdehnung y als punktförmiges Wellenzentrum betrachtet werden.
1.4 Laser
Während in gewöhnlichen Lichtquellen spontane Emission von Photonen vorherrscht, d.h.
alle Atome unabhängig von einander Licht aussenden, dominiert bei Lasern (Light Amplification by S timulated Emission of Radiation) die induzierte Emission.
Die Wirkungsweise eines Lasers als Quelle für kohärente elektromagnetische Strahlung
beruht darauf, dass in einem geeigneten Stoff, einem aktiven Medium, z.B. einem HeliumNeon-Gasgemisch, einem Rubinstab oder einem Halbleiter, durch äußere Anregung - den
Pumpprozess - eine Besetzungsinversion erzeugt werden kann. Im Gegensatz zum thermischen Gleichgewicht sind dann mehr Atome im angeregten, energetisch höheren Zustand
als im Grundzustand. Befindet sich das aktive Medium in einem optischen Resonator, so
führt ein spontaner Übergang vom angeregten Zustand in den Grundzustand zu induzierten (erzwungenen) Emission weiterer Photonen. Im einfachsten Fall befindet sich das
aktive Medium zwischen zwei planparallelen Spiegeln. Durch diese Rückwirkung werden
alle Atome durch das Strahlungsfeld gekoppelt, die atomaren Dipole senden synchron Licht
aus. Laser stellen daher räumlich einheitlich schwingende Lichtquellen sehr großer Kohärenzlänge dar. Auch Licht von unterschiedlichen Stellen des Lasers ist interferenzfähig.
Die von einem Laser erzeugte Stahlung ist charakterisiert durch räumliche und zeitliche
Kohärenz, durch hohe spektrale Energiedichte, durch gute monochromatische Eigenschaften, durch große Amplitudenstabilität und durch geringe Divergenz des Strahls.
-5-
PW 8 / PL 6
1 Allgemeine Grundlagen
1.5 Fraunhofer- und Fresnelbeugung
Trifft Licht auf ein Hindernis, so tritt Beugung auf: Die Welle wird von der geradlinigen Ausbreitung abgelenkt. Die Erklärung liefert das Huygensche Prinzip, nach dem jeder
Punkt in einem Wellenfeld Ausgangspunkt einer Elementarwelle wird, die sich nach allen
Richtungen gleichmäßig ausbreitet (Kugelwelle). Werden von einer Welle mehrere Elementarwellen an verschiedenen Orten erzeugt, so können diese miteinander interferieren.
Nehmen wir eine Punktquelle S sowie einen Beobachtungspunkt P an, mit einem dazwischen liegenden undurchsichtigen Schirm Σ, welcher eine kleine Öffnung haben soll. Auf
Grund der verschiedenen Wellenlängen zwischen S und P hat jeder Beitrag in P eine jeweils
andere Phase, die von entscheidender Bedeutung für die Bestimmung des resultierenden
Feldes ist. Befinden sich S und P in einem weiten Abstand vom Schirm, so sind sowohl die
auf Σ einfallenden als auch die von Σ auslaufenden Wellenfronten über die Ausdehnung
der Öffnung nahezu eben und wir erhalten Fraunhofer- oder Fernfeldbeugung. In diesem
Fall können diese Weglängen als eine lineare Funktion der beiden Variablen der Öffnung
angeschrieben werden. Mathematisch gesehen beruht die ’Definition’ der Fraunhoferbeugung auf dieser Linearität in den Variablen. Sind hingegen S oder P oder beide so nahe
an Σ, dass die Krümmung der Wellenfronten nicht mehr vernachlässigt werden kann, so
erhalten wir Fresnel- oder Nahfeldbeugung.
Jeder Punkt der Öffnung muss als eine Quelle Huygenscher Elementarwellen gesehen werden, und wir wollen nun ein wenig ihre relativen Stärken betrachten. Wenn S in der Nähe
liegt, im Vergleich zur Größe der Öffnung, dann wird diese von einer sphärischen Wellenfront beleuchtet. Die Distanz von S zu den einzelnen Punkten in der Öffnung ist dann
verschieden und deswegen ist auch die Stärke des elektrischen Feldes, die ja invers proportional zur Distanz abnimmt, für jeden Punkt in der Öffnung des Schirms Σ verschieden.
(Dies ist natürlich nicht der Fall, wenn die einfallenden Wellen eben und homogen sind.)
Ganz dasselbe gilt auch für die gebeugten Wellen, die sich vom Schirm Σ zum Punkt
P ausbreiten. Selbst wenn diese alle mit der selben Amplitude ausgestrahlt werden (d.h.
wenn die einfallende Welle eben ist), so sind die Wellen, die zu P konvergieren, sphärisch,
wenn P nahe bei Σ liegt. Und sie variieren in ihrer Amplitude aufgrund der verschiedenen
Abstände zwischen den einzelnen Punkten in der Öffnung und P. Wenn P im Unendlichen
liegt, sind die Wellen, die bei P ankommen, eben und wir brauchen uns wegen der verschiedenen Feldstärken keine Gedanken machen, was natürlich ebenfalls zur Einfachheit
des Fraunhoferschen Grenzfalles beiträgt.
Als praktische Faustregel gilt, dass Fraunhoferbeugung dann auftritt, wenn für eine Öffnung oder ein Hindernis mit der größten Weite a gilt:
R>
a2
λ
(8)
wobei R dabei der kleinere der beiden Abstände SΣ oder ΣP . Geht R gegen unendlich, so
ist klarerweise die endliche Größe der Öffnung bedeutungslos. Zudem rückt jede Vergrößerung von λ die Phänomene weiter in die Nähe des Fraunhoferschen Grenzfalles.
-6-
PW 8 / PL 6
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
2.1 Grundlagen
2.1.1 Einzelspalt
Wir wollen die Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem Einzelspalt für die Fraunhofersche Beobachtungsart bestimmen. Hier hat man es mit Interferenz vieler (annähernd)
paralleler Strahlbündel der Breite dy zu tun (Abb. 2), die jeweils einen Feldstärkebeitrag
dE = Edy/a liefern und deren Phasenverschiebung
δ(y) = 2π
y
y sin α
= δ∗
λ
a
(9)
beträgt, wobei
a sin α
(10)
λ
die Phasendifferenz zwischen interferierenden Elementarwellen von den Orten y = 0 und
y = a des Einzelspaltes für die Beobachtungsrichtung α darstellt.
δ ∗ = 2π
Abbildung 2: Beugung am Einzelspalt der Breite a. Die Wegdifferenz zwischen den Strahlen 1 und 2 beträgt ∆x = y sin α, die Phasendifferenz δ(y) = (2πy sin α)/λ
Analog zu Gl.4 ist über alle Teilbündel zu summieren (hier integrieren). Man erhält dann
für die Feldstärke in Richtung des Beugungswinkels α
Z
E0 jω(t−x/c) a jδ∗ y/a
E(α) =
e
e
dy
a
0
=
E0 jδ∗
(e − 1)ejω(t−y/c) .
jδ ∗
-7-
(11)
PW 8 / PL 6
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
Entsprechend Gl.3 ergibt sich die Intensität zu (siehe auch Abb.3):
2 − 2 cos δ ∗
sin2 (δ ∗ /2)
I(α) = I0
= I0
δ ∗2
(δ ∗ /2)2
(12)
Abbildung 3: Die Spaltfunktion f (δ ∗ ) = sin2 (δ ∗ /2)/(δ ∗ /2)2
Im Fall des Einzelspaltes liegen entsprechend Gl.12 die Beugungsminima bei
∗
δmin,n
= nπ bzw.
2
a sin αmin,n = nλ
(n = 1, 2, ....)
(13)
und die Beugungsmaxima bei α = 0 und in der Nähe von (aber nicht genau)
∗
δmax,n
π
= (2n + 1) bzw.
2
2
a sin αmax,n = (2n + 1)
λ
2
-8-
(n = 1, 2, ....)
(14)
PW 8 / PL 6
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
Ist a < λ, so gibt es keinen Winkel, der Gl.14 erfüllt, also auch keine Intensitätsminima. So
schmale Spalte werden zum Ausgangspunkt von Kugelwellen, leuchten also den Halbraum
hinter dem Spalt ohne Beugungsstreifen relativ gleichmäßig aus.
Bearbeiten Sie hierzu die Applets zur Beugung auf der eLearning-Seite
dieses Kurstags.
2.1.2 Doppelspalt
Der Einfachheit halber nimmt man zunächst an, dass die beiden Spalte sehr schmal sind
(a λ). Aus Abb.4 erkennt man, dass die unter dem Winkel α gebeugten Strahlen eine
Gangdifferenz von ∆x = b sin α besitzen. Bei der Überlagerung auf dem weit entfernten
Schirm tritt maximale Verstärkung (Maxima) auf, wenn
∆x = kλ bzw. sin αmax,k =
λ
k
b
mit k = 0, 1, 2, ....
Abbildung 4: Beugung am Doppelspalt - Prinzip
-9-
(15)
PW 8 / PL 6
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
beträgt. Vollständige Auslöschung (Minima) beobachtet man für
∆x = kλ +
λ
λ
bzw. sin αmin,k =
(2k + 1)
2
2b
mit k = 0, 1, 2, ....
(16)
Es ist zu beachten, dass k einen bestimmten Größtwert (= b/λ) nicht überschreiten kann.
Zum Beugungswinkel α gehört eine Phasenverschiebung δ
δ = 2π
b sin α
∆x
= 2π
λ
λ
(17)
Bezeichnet man die von jedem Einzelspalt durchgelassene Intensität mit I0 , so wird nach
Gl.6
δ
I(α) = 2 I0 (1 + cos δ) = 4 I0 cos2 .
(18)
2
Die Intensitätverteilung I(α) ist in Abb.4 dargestellt.
Beugungsmaxima findet man für
δmax,k
= kπ
2
(k = 0, 1, 2, ....) ,
(19)
(k = 0, 1, 2, ....) .
(20)
Beugungsminima liegen bei
π
δmin,k
= kπ +
2
2
Experimentell ist jedoch die Voraussetzung sehr schmaler Spalte (a λ) am Doppelspalt
nicht realisierbar, da die Beugungserscheinungen zu lichtschwach werden. Die Berechnung
der Intensitätsverteilung bei der Beugung am Doppelspalt mit endlich breiten Einzelspalten
erfolgt analog zur Betrachtung beim Einzelspalt, wobei über beide Spalte zu integrieren
ist. Als Ergebnis erhält man die Intensitätsverteilung
I(α) = 4 I0
sin2 (δ ∗ /2)
δ
cos2 ,
∗
2
(δ /2)
2
(21)
die sich hinsichtlich der Winkelabhängigkeit als Produkt der Intensitätsverteilungen aus
Gl.12 und Gl.18 darstellt.
Bearbeiten Sie hierzu das Applet zur Beugung auf der eLearning-Seite dieses
Kurstags.
2.2 Aufgabenstellung
1. Vermessen Sie das Beugungsbild hinter einem mit monochromatischen Licht beleuchteten Einzelspalt.
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PW 8 / PL 6
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
2. Berechnen Sie die Spaltbreite aus den Minima der Beugung.
3. Vermessen Sie das Beugungsbild hinter einem mit monochromatischen Licht beleuchteten Doppelspalt.
4. Berechnen Sie die Spaltbreite aus dem Beugungsmuster.
5. Leiten Sie die Beziehung zwischen Spaltbreite und Spaltabstand aus den theoretischen Beziehungen ab und berechnen Sie den Spaltabstand.
2.2.1 Versuchsaufbau und Durchführung
Einzelspalt
Der Einzelspalt wird mit hochkohärentem und parallelem Licht (Strahldivergenz = 1.2
mrad, Wellenlänge = 632.8 nm) eines He-Ne-Lasers beleuchtet. Das entstehende Beugungsbild wird auf einem Schirm aufgefangen und ausgemessen. Dazu empfiehlt es sich
(wegen des schlechten Kontrastes kein rotes) Millimeterpapier zu verwenden (oder ein einfaches weißes Blatt). Die Abstände der Minima (und eventuell der Maxima) von der 0-ten
Ordnung sollen ermittelt werden. Um die Nullpunktsbestimmung der Skala zu umgehen
kann man aufgrund der symmetrischen Ausbildung des Beugungsbildes den Abstand der
Minima gleicher Ordnung bestimmen und ihn halbieren.
Abbildung 5: Beugungsmuster eines senkrechten Einzelspaltes bei Beleuchtung mit einer
Punktquelle
Doppelspalt
Ebenso wie der Einzelspalt wird auch der Doppelspalt in den Strahlengang des He-NeLasers gebracht. Das entstehende Beugungsbild am Schirm wird analog zum Einzelspalt
ausgemessen, nur erkennt man nun in den vom Einzelspalt hervorgerufenen Maxima k
zusätzliche Minima, welche durch Interferenz von Licht, welches durch homologe Punkte der beiden Spalte tritt entstehen. Dafür ist eine exakt symmetrische Beleuchtung des
Doppelspaltes erforderlich. Dies erreicht man durch leichtes Drehen des Lasers bis man die
Sub-Maxima in der O-ten Ordnung deutlich erkennen kann.
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PW 8 / PL 6
2 Beugung am Spalt und Doppelspalt
2.2.2 Auswertung
Einzelspalt
Laut Gl.13 gilt für die Beugungsminima bei einem Einzelspalt die Beziehung:
nλ = a sin αn
Formelzeichen Einheit
n
1
λ
m
a
m
αn
rad
bzw. für kleine αn : nλ = a αn
Bezeichnung
Ordnung
Wellenlänge
Spaltbreite
Beugungswinkel der n-ten Ordnung
Zeichnen Sie für mindestens 6 Ordnungen ein Diagramm mit Ordinate nλ und Abzisse αn .
Durch lineare Regression erhält man als Steigung die gesuchte Spaltbreite a. Wählen Sie
für eine optimale Darstellung günstige Einheiten der Diagrammachsen.
Doppelspalt
Aus Gl.13 und Gl.16 ist die Beziehung zwischen Spaltbreite a und Spaltabstand b abzuleiten, indem man überlegt wieviele Maxima (bzw. Minima) durch reine Beugung am
Doppelspalt innerhalb des Maximums 0-ter Ordnung (< Minimum 1.Ordnung) des Einzelspaltes liegen können. Zusätzlich beachte man, dass sich das Beugungsbild symmetrisch
ausbildet.
2.3 Literaturangaben
• Hecht, Optik, Oldenburg 1999
• Walcher, Praktikum der Physik, Teubner 1971
• Bergmann, Schaefer, Experimentalphysik III, de Gruyter 1993
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PW 8 / PL 6
3 Wellenlängenmessung mit dem Gitter
3 Wellenlängenmessung mit dem Gitter
3.1 Grundlagen
Von praktischer Bedeutung für die spektrale Zerlegung von Licht ist das Beugungsgitter. Es besteht aus einer großen Zahl paralleler Einzelspalte mit gleichen Abständen (der
Gitterkonstanten g). Neben der Einzelspaltbeugung entstehen durch das gesamte Gitter
Auslöschungen und Verstärkungen wie beim Doppelspalt, jetzt aber aufgrund der Interferenz von Wellen jedes Spaltes mit den Wellen seines nächsten, übernächsten, drittnächsten,
... usw. Nachbarn. Es wird daher bei einem Beugungsgitter über N Spalten integriert, und
man erhält dann
sin2 (δ ∗ /2) sin2 (N δ/2)
,
(22)
I(α) = I0
(δ ∗ /2)2 sin2 (δ/2)
wobei der erste winkelabhängige Faktor auch hier die Intensitätsverteilung (Spaltfunktion)
des Einzelspaltes ist (Abb.6)
Abbildung 6: Die Gitterfunktion fg (δ) = sin2 (N δ/2)/ sin2 (δ/2) für N =8. Die Minima
liegen bei δ = 2π(k + p/N ), mit p=1, 2, ....N-1.
Zwischen den Winkeln unter denen Auslöschung zu beobachten ist, liegen Nebenmaxima
(bzw. auch Nebenminima), wobei diese Maxima intensitätsschwach sind, da bei diesen
Winkeln zugleich Wellen weit von einander entfernt liegender Spalte sich auslöschen. Nur
unter wenigen Winkeln tragen alle Spalte zu einem Interferenzmaximum bei. Diese liegen
bei den Winkeln αmax,k des Doppelspaltes, wenn man in Gleichung 15 für b die Gitterkonstante g einsetzt (dies ist plausibel, da zwischen zwei benachbarten Spalten der Gangunterschied genau kλ, zwischen den übernächsten Spalten genau 2kλ, usw. beträgt). Die
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PW 8 / PL 6
3 Wellenlängenmessung mit dem Gitter
Interferenzfigur des Gitters unterscheidet sich daher von jener des Doppelspaltes dadurch,
dass die Maxima extrem schmal sind und durch breite, praktisch dunkle Gebiete getrennt
sind (Abb. 7).
Abbildung 7: Intensitätsverteilung bei der Beugung durch 2, 4 und 8 Spalte, monochromatisch beleuchtet. (Aus Bergmann/Schaefer „Experimentalphysik“.)
Bearbeiten Sie hierzu das Applet zur Beugung auf der eLearning-Seite dieses
Kurstags.
3.2 Aufgabenstellung
1. Vermessen Sie das Beugungsbild des durch eine Spektrallampe beleuchteten Beugungsgitters, indem Sie die Beugungswinkel der 1., 2. und 3. Ordnung für drei Spektrallinien vermessen.
2. Bestimmen Sie aus den Grundlagen die Beziehung zwischen Gitterkonstante, Ordnung und Beugungswinkel und berechnen die Wellenlängen für die drei Spektrallinien.
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PW 8 / PL 6
3 Wellenlängenmessung mit dem Gitter
3. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit Literaturwerten. Um welches Emmissionsspektrum
handelt es sich?
3.2.1 Versuchsaufbau und Durchführung
Ein Strichgitter (ebenes Transmissionsgitter) ist eine Anordnung vieler schmaler äquidistanter Spalte, die mittels eines Diamantes in eine planparallele Platte geritzt wurden. Die
unbeschädigten Stellen zwischen den Ritzen wirken als Spalte, deren Abstand von Mitte
zu Mitte gemessen als Gitterkonstante bezeichnet wird. Trifft eine ebene Welle auf ein Gitter, stellen diese Spalte eine Summe kohärenter Lichtquellen dar. Die Intensitätsverteilung
hinter dem Gitter hängt von der Phasenbeziehung (Gangunterschied) homologer Strahlen
ab.
Die Messung erfolgt wieder in Fraunhoferscher Beobachtungsweise, wobei der mit dem
Licht der Spektrallampe beleuchtete Spalt eines Kollimatorrohres (Spalt in der Brennebene der Kollimatorlinse) als Lichtquelle zur Erzeugung des Beugungsspektrums dient. Ein
Parallelstrahlenbündel trifft senkrecht auf ein Strichgitter. Die Lage der Beugungsbilder
(Spektrallinien) wird mit dem Fernrohr vermessen. Zu diesem Zweck ist das Fernrohr mit
dem Nonius des Goniometers verbunden. Zunächst wird auf das unabgelenkte Zentralmaximum fokusiert. Zur Bestimmung der Beugungswinkel werden die Linien, beiderseits des
Zentralmaximums herangezogen werden (halbe Differenz der Richtungen). Die Ablesung
muss unter Verwendung des Nonius auf Winkelminuten genau erfolgen. Zum Auffinden
von Linien schwacher Intensität öffnet man den Beleuchtungsspalt weiter - zur Messung
wieder entsprechend eng stellen.
Auf der eLearning-Seite des Anfängerpraktikums zu diesem Kurstag finden
Sie ein vertontes Lehrvideo zur Bedienung eines Prismen- oder
Gitterspektrometers mit Präzisionsgoniometer.
3.2.2 Auswertung
Für die Berechnung der Wellenlängen verwendet man jene Beziehung für die maximale Verstärkung unter der Berücksichtigung, dass die Breite der einzelnen Spalte des Beugungsgitters in etwa der gleichen Größenordnung liegen wie die Wellenlängen der Spektrallinien.
Die Gitterkonstante ist vom Betreuer zu erfragen oder ist am Beugungsgitter angegeben.
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3 Wellenlängenmessung mit dem Gitter
3.3 Literaturangaben
• Bergmann, Schaefer, Experimentalphysik III, de Gruyter 1993
• Walcher, Praktikum der Physik, Teubner 1971
• Meschede, Gerthsen Physik, Springer 2004
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4 Newtonsche Ringe
4 Newtonsche Ringe
4.1 Begriffe
Vielstrahlinterferenz, Interferenzfarben, Kohärenz, Phasendifferenz, Phasensprung, geometrischer und optischer Weg
4.2 Grundlagen
Der physikalische Hintergrund zur Entstehung der Newtonringe als das klassische Interferenzbild zum Nachweis für die Wellennatur des Lichtes, wird erklärt.
4.2.1 Theoretische Betrachtung
Newton’sche Ringe entstehen durch Interferenz von reflektierten und gebrochenen Lichtstrahlen an eng benachbarten Flächen. Im vorliegenden Versuch berührt eine plankonvexe
Linse eine ebene Glasplatte (siehe Abbildung 8). Ein zusätzlicher kleiner Abstand d0 kann
beispielsweise durch ein Staubkorn entstehen. Die geringe Krümmung der Linse (großer
Radius R mit Mittelunkt M ) bedingt einen dünnen Keil (Luftkeil), dessen Dicke d nichtlinear mit dem Abstand r von der Mitte (Zentrum Z) nach Außen zunimmt.
Abbildung 8: Geometrische Betrachtung zum Aufbau einer Plankonvexlinse mit Glasplatte
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4 Newtonsche Ringe
Im monochromatischen Licht entsteht eine Abfolge von hellen und dunklen Ringen. Die
Ringdurchmesser hängen von der Wellenlänge λ und dem Radius R der Linse ab. Die
Abstände der Ringe sind nicht konstant, da die Begrenzungsfläche gekrümmt ist (d nimmt
nichtlinear zu). Diese Interferenzringe sind sowohl in Reflexion als auch in Durchsicht zu
beobachten. Sie werden auch als Linien gleicher Dicke oder Keilinterferenzen bezeichnet
und wurden von Isaac Newton erstmals beobachtet und erklärt.
Zum Verständnis des Strahlenganges und zur Herleitung der Formeln für konstruktive
und destruktive Interferenz muss der Gangunterschied ∆ der Lichtstrahlen berechnet werden. Dazu ist die Kenntnis des Abstandes d erforderlich, der mittels Höhensatz für das
rechtwinkelige Dreieck ermittelt wird. Damit lässt sich ein Zusammenhang zwischen dem
Krümmungsradius R der Linse und einem Ringradius r, wie folgt herstellen:
r2 = (2R − d)d
(23)
r2 = 2Rd
(24)
Wegen R >> d ergibt sich:
d=
r2
2R
(25)
4.2.2 Strahlengang in Reflexion
Die parallelen Lichtstrahlen treffen zuerst senkrecht (siehe Abbildung 9) auf die ebene
Fläche der Plankonvexlinse, die sie ungebrochen durchdringen. An der gekrümmten Linsenunterseite wird ein Teil der Strahlen reflektiert und nach innen gebündelt (Strahlen
1 Der Rest geht durch und wird nach dem Brechungsgesetz vom optisch
bezeichnet mit ).
dichteren in optisch dünneres Medium ebenfalls zur Mitte hin abgelenkt. Durch den sehr
großen Krümmungsradius der Linse ist der Unterschied zwischen Einfalls- und Ausfallswinkel vernachlässigbar gering, so dass die Strahlen nahezu parallel auf die planparallele
2 In der LinPlatte auftreffen und dort reflektiert werden (Strahlen bezeichnet mit ).
se überlagern sich dann die Strahlen wieder mit den bereits an der gekrümmten Fläche
der Linse reflektierten. Bei der Reflexion am optisch dichteren Medium (Übergang vom
Luftkeil zur planparallelen Platte) kommt es zu einem Phasensprung von einer halben
Wellenlänge oder π. Der Übergang von der Linse zum Luftkeil (in optisch dünneres Medium) hat keinen Phasensprung. Mehrmalige Reflexion im Luftkeil ergibt jedesmal einen
Phasensprung von zwei mal der halben Wellenlänge und überlagert sich daher mit dem urspünglichen Wellenzug phasengleich. Bei hinreichend großer Kohärenzlänge entsteht dann
das Interferenzmuster der Newtonringe.
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4 Newtonsche Ringe
Der optische Wegunterschied ∆R 1 der für das Ringmuster verantwortlichen Strahlen setzt
sich zusammen aus dem geometrischen Weg (=doppelte Dicke d des Luftkeiles) und einer
Phasendifferenz von einer halben Wellenlänge.
Abbildung 9: Der Strahlengang in Reflexion, gezeichnet auf der rechten Seite ist um die
Achse durch Z rotationssymmetrisch. Linse und Platte sind in direktem
Kontakt.
Der Gangunterschied ∆R der reflektierten Strahlen beträgt daher:
∆R = 2d +
λ
2
(26)
Die Bedingung für Auslöschung (destruktive Interferenz) liegt vor, wenn der Gangungerschied ∆R ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge λ ist, also gilt:
2dk +
λ
λ
= (2k + 1)
2
2
k = 0, 1, 2, 3, ...
(27)
und vereinfacht:
dk = k
λ
2
(28)
Zusammen mit Gleichung 25 folgt die Bedingung für das Auftreten der dunklen Ringe zu:
rk2 = 2kR
1
λ
= kRλ
2
k = 0, 1, 2, 3, ...
R steht für Reflexion
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(29)
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4 Newtonsche Ringe
mit rk als Radius des k-ten dunklen Ringes. Die Quadrate der Radien der dunklen Ringe
verhalten sich wie die geraden Zahlen.
Helle Ringe (konstruktive Interferenz) treten auf, wenn gilt:
2dk +
λ
= (k + 1)λ
2
k = 0, 1, 2, 3, ...
(30)
und daher
rk2 = (2k + 1)R
λ
2
k = 0, 1, 2, 3, ...
(31)
Die Quadrate der Radien der hellen Ringe verhalten sich wie die ungeraden Zahlen.
Für die hellen, aber auch für die dunklen Ringe gilt:
2
rk+1
− rk2 = Rλ
(32)
Die Abstände der einzelnen (z.B. dunklen) Ringe voneinander sind nicht konstant, sondern
nehmen ab (warum?).
4.2.3 Strahlengang in Transmission
Abbildung 10: Der Strahlengang in Transmission, gezeichnet auf der linken Seite ist
um die Achse durch Z rotationssymmetrisch. Linse und Platte sind in
direktem Kontakt.
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Die parallelen Lichtstrahlen treffen senkrecht auf die ebene Fläche der Plankonvexlinse
(siehe Abbildung 10), durchdringen die Linse und werden erstmals an der leicht gekrümmten Fläche der plankonvexen Linse entsprechend dem Brechungsgesetz leicht abgelenkt.
Genauso wie oben kann die Ablenkung aufgrund der kleinen Krümmung (goßer Linsenradius) vernachläßigt werden. Nach Durchgang durch den Luftkeil geht ein Teil der Strahlen
1 Die restlichen
durch die planparallele Glasplatte hindurch (Strahlen bezeichnet mit ).
Strahlen werden reflektiert mit einem Phasensprung von einer halben Wellenlänge. Bei
der anschließenden Reflexion an der gekrümmten Linsenfläche entseht wieder ein Phasensprung der halben Wellenlänge. Gehen diese Strahlen dann durch die planparallele Platte
2 und interferieren mit den ursprünglich austretenden Strahlen,
(Strahlen bezeichnet mit )
so beträgt die optische Weglänge die zweifache Dicke des Luftkeiles plus eine Wellenläge
(Phasensprung). Zusätzliche Mehrfachreflexionen im Luftkeil überlagern immer mit einer
ganzen Wellenlänge Phasenverschiebung und haben daher keinen Einfluss auf die Ringabstände.
Der Gangunterschied ∆T 2 der durchgehenden Strahlen beträgt daher:
∆T = 2d + λ
(33)
Die Bedingung für Verstärkung (konstruktive Interferenz erzeugt die hellen Ringe) liegt
vor, wenn der Gangungerschied ∆T ein geradzahliges Vielfaches der ganzen Wellenlänge λ
ist, also gilt
2dk + λ = (k + 1)λ
k = 0, 1, 2, 3, ...
(34)
Unter Einbindung der Gleichung 25 folgt die Bedingung für das Auftreten der hellen Ringe:
rk2 = kRλ
k = 0, 1, 2, 3, ...
(35)
Diese Bedingung ist identisch mit der Gleichung 29, die für das Entstehen der dunklen
Ringe (destrukive Interferenz) im reflektierten Licht zwingend notwendig ist. Es folgt daher:
Die beobachteten Interferenzbilder in Reflexion und Transmission sind komplementär.
Dunkle Ringe in Transmission entstehen, wenn
2dk + λ = (2k + 1)
λ
2
bzw.
rk2 = (2k − 1)R
Zusatzanmerkung:
2
T steht für Transmission
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λ
2
k = 0, 1, 2, 3, ...
(36)
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Wird der Luftkeil mit einer Flüssigkeit mit Brechungsindex n gefüllt, ist der Strahlengang
entsprechend dem Brechungsgesetz zu modifizieren. Bei bekannter Wellenlänge und Krümmungsradius der Linse stellen die Interferenzmuster eine Methode dar, den Brechungsindex
zu messen. Wird ein Luftkeil verwendet, so gibt das Ringmuster Aufschluss über die Wellenlänge bei bekanntem Linsenradius oder umgekehrt. Aus der Abweichung vom Kreismuster
wird auch auf genauen Schliff der Linsenoberfläche geschlossen und zwar auf eine halbe
Wellenlänge genau.
4.3 Aufgabenstellung
1. Beschreiben und diskutieren Sie die Newtonringe im weißen Licht
2. Messen Sie die Radien der ersten 6 dunklen Interferenzringe in Reflexion für eine
vom Betreuer/von der Betreuerin festgelegte Wellenlänge
3. Messen Sie jeweils die Radien der ersten 6 hellen Interferenzringe in Transmission
für eine vom Betreuer/von der Betreuerin festgelegte Wellenlänge
4. Bestimmen Sie aufgrund der theoretischen Beziehungen den Krümmungsradius der
Linse und dessen Fehler, jeweils für Reflexion und Transmission und vergleichen Sie
die Ergebnisse
4.4 Versuchsaufbau und Durchführung
Der experimentelle Aufbau ist in der Abbildung 11 zu sehen. Die Anordnung sollte nicht
verändert werden. Das Licht der Halogenlampe fällt über eine Kondensorlinse und einen
Farbfilter auf die schwach gekrümmte Linse mit anschließender planparalleler Glasplatte
LP, die eine Millimeterskalierung eingekerbt hat. Der Strahlteiler ST1 und die Sammellinse
L1 (Konvexlinse 100 mm Brennweite) bilden die Newtonringe in Reflexion auf den Schirm
ab.3 Die Sammellinse L2 (Konvexlinse 100 mm Brennweite) und der Strahlteiler ST2 projizieren die Newtonringe in Transmission unmittelbar daneben. Mit den Justierschrauben
JS kann die Position der Linse zur planparallelen Platte verändert werden.
3
Das Licht musste schon vor dem Eintreffen auf der Linse-PLatte Anordnung durch diesen Strahlteiler,
was zu einer Abschwächung der Lichtintensität führt, jedoch unvermeidbar ist, wenn man die Newtonringe in Reflexion abbilden will. Überlegen Sie: Welcher Prozentsatz der ursprünglicher Lichtintensität
wird im Reflexionsfall bestenfalls die Abbildung am Schirm erreichen?
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4 Newtonsche Ringe
Abbildung 11: Experimenteller Aufbau zur Messung der Ringe. LP ... Linse-Platte; ST1,
ST2 ... Strahlteiler; L1, L2 ... Linsen; JS ... Justierschrauben.
• Schalten Sie die Halogenlampe ein und justieren Sie, wenn nötig die Ringe mit den
drei Justierschrauben JS symmetrisch.
Achtung: An den Justierschrauben der Gläser für Newtonsche Ringe
nur mit Feingefühl drehen. Die Gläser können bei zu starkem oder
asymmetrischen Anpressdruck beschädigt werden.
• Berührt die Linse die planparallel Platte in der Mitte, so ist das Bild in Reflexion in
der Mitte dunkel.
• Stellen durch Verschieben der Linse L1 die Ringe in Reflexion und durch L2 in
Transmission scharf.
• Diskutieren Sie die Entstehung der Farbringe im weißen Licht.
• Messen Sie entsprechend der Aufgabenstellung die Ringradien. Hierzu befestigen
Sie am Metallschirm ein geeignetes Papier und zeichnen die Ringabstände sowie
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einen möglichst großen Maßstabsbalken in der mitprojizierten Skala ein. Die genauen Ringabstände können dann mittels Interpolation der Abstände mithilfe eines
Millimetermaßstabes (Lineal) grafisch ermittelt werden.
Filter Wellenlänge
(Farbe)
λ [nm]
gelb
576 ± 3
grün
518 ± 3
• Tragen Sie in einem Diagramm die gemessenen Größen geeignet auf und berechnen
Sie jeweils aus dem Anstieg den Linsenradius.
• Erklären Sie, warum der Kontrast (relativer Intensitätsunterschied zwischen den hellen und dunklen Ringen) im durchgehenden Licht viel schwächer ist als im reflektierten Fall. Vergleichen Sie dazu den Strahlengang in den Abbildungen 9 und 10.
Beachten Sie, dass der an einer Grenzfläche reflektierte Anteil der Lichtstrahlen deutlich geringer ist als der durchgehende.
4.5 Fehlerrechnung
Schätzen Sie die Fehler der einzelnen Radien der Newton’schen Ringe sorgfälltig ab.
4.6 Literaturangaben
• Hecht, Optik, Oldenburg 1999
• Bergmann, Schaefer, Experimentalphysik III, de Gruyter 1993
• W.Zinth/U.Zinth, Optik, Oldenburg 2005
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