Übungen zur Quantenmechanik I

Prof. U. Mosel, Dr. H. van Hees
Sommersemester 2009
Übungen zur Quantenmechanik I
Lösungen zu Blatt 5 (Hausübung)
Hausübung 7 (Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten)
(a) Benutzen wir die angegebene Gleichung für den Laplaceoperator in Kugelkoordinaten, können
wir die zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten einfach hinschreiben:
"
~2
−
2m
1 ∂
∂
r2
2
r ∂r
∂r
!
+ V (r) ψ(~x) = Eψ(~x). (1)
~ˆ 2 ψ(~x) = −~2 (~x × ∇)
~ · (~x × ∇)ψ(~
~
L
x).
(2)
∂
1
∂
+ 2
sin ϑ
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
∂2
1
+ 2 2
r sin ϑ ∂ϕ2
#
(b) Es gilt
Berechnen wir also zunächst
∂
1
1 ∂
+ ~eϕ
ψ(~x)
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
∂ψ(~x)
1 ∂ψ(~x)
= ~eϕ
− ~eϑ
.
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ
~
(~x × ∇)ψ(~
x) = r~er × ~eϑ
(3)
Dabei haben wir erst von Gl. (13), dann von Gl. (12) auf dem Übungsblatt Gebrauch gemacht.
Nun müssen wir denselben Operator nochmals anwenden. Dabei ist aber zu beachten, daß ~eϕ
und ~eϑ selbst von ϑ und ϕ abhängen:
∂
1 ∂
1 ∂ψ(~x)
∂ψ(~x)
~ · (~x × ∇)ψ(x)
~
(~x × ∇)
= ~eϕ
− ~eϑ
− ~eϑ
· ~eϕ
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ
~eϑ ∂ψ
∂ψ
∂
~eϑ ∂
∂ψ
∂
~eϕ
− ~eϕ
−
~eϕ
= ~eϕ
∂ϑ
∂ϑ
∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
sin ϑ ∂ϕ
∂ϑ
~eϑ ∂ψ
~eϑ ∂
+
.
sin ϑ ∂ϕ sin ϑ ∂ϕ
(4)
Mit Hilfe der Entwicklung (11) der Kugelkoordinateneinheitsvektoren nach kartesischen Koordinaten auf dem Übungsblatt findet man sofort die benötigten Ableitungen
∂~eϕ
= 0,
∂ϑ
∂~eϕ
= −~er sin ϑ − ~eϑ cos ϑ,
∂ϕ
∂~eϑ
= −~er ,
∂ϑ
∂~eϑ
= ~eϕ cos ϑ.
∂ϕ
(5)
Anwendung der Produktregel auf (4) ergibt schließlich unter Verwendung dieser Gleichungen
∂2ψ
∂ψ
1 ∂2ψ
~ · (~x × ∇)ψ
~
(~x × ∇)
=
+
cot
ϑ
+
∂ϑ2
∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2
1 ∂
∂ψ
1 ∂2ψ
.
=
sin ϑ
+
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
~ˆ 2 in Kugelkoordinaten.
Dies mit −~2 multipliziert ergibt dann L
(6)
Vergleicht man dies mit (1), findet man in der Tat
Ĥψ(x) = −
~2 ∂
∂ψ
r2
2mr 2 ∂r
∂r
+
1 ~ˆ 2
L ψ + V (r)ψ.
2mr 2
(7)
Es ist dabei wichtig zu bemerken, daß im mittleren Term kein Operatorordnungsproblem auftritt,
~ˆ 2 vertauschen.
da ja r 2 und L
In der klassischen Mechanik schreiben wir zunächst die Lagrangefunktion
m
L = ~x˙ 2 − V (r)
2
in Kugelkoordinaten um. Da
~x˙ = ṙ~er + r~e˙ r = ṙ~er + ~eϑ r ϑ̇ + ~eϕ r sin ϑ ϕ̇,
(8)
(9)
folgt
i
mh 2
ṙ + (r ϕ̇ sin ϑ)2 + r 2 ϑ̇2 − V (r).
2
Die kanonisch konjugierten Impulse sind
(10)
L=
pr =
∂L
= mṙ,
∂ ṙ
pϑ =
∂L
= mr 2 ϑ̇,
∂ ϑ̇
pϕ =
∂L
= m2 r 2 sin2 ϑϕ̇.
∂ ϕ̇
(11)
Die Hamiltonfunktion ist also
p2
1
H = ṙpr + ϑ̇pϑ + ϕ̇pϕ − L = r +
2m 2mr 2
p2ϕ
p2ϑ +
sin2 ϑ
!
+ V (r).
(12)
Nun ist aber der Drehimpuls
~ = m~x × ~x˙ = mr 2 (~eϕ ϑ̇ − ~eϑ sin ϑϕ̇) = ~eϕ pϑ − ~eϑ pϕ ,
L
(13)
~ 2 = p2 + p2 ,
L
ϑ
ϕ
(14)
d.h.
so daß
1 ~2
p2r
+
L + V (r)
2m 2mr 2
ist. Durch naives „kanonisches quantisieren” würden wir nun identifizieren
H=
~~
~ ∂
pr → p̂r = ~er ∇
=
i
i ∂r
(15)
(16)
und damit
1 ~ˆ 2
~2 ∂ 2
+
L + V (r) (FALSCH!).
(17)
2
2m ∂r
2mr 2
Der zweite und dritte Term sind zwar korrekt, während der erste nachweislich falsch ist, wie
der Vergleich mit (7) zeigt. Die kanonische Quantisierung funktioniert i.a. nur in kartesischen
Koordinaten, weil nur die kartesischen Basisvektoren ortsunabhängig sind. Die korrekte Rechnung verwendet die geometrischen Eigenschaften des Nablaoperators, welche zu dem auf dem
Übungsblatt angegebenen Ausdruck für den Laplaceoperator führt, wobei die Ableitungen der
~ 2 berücksichKugelkoordinateneinheitsvektoren nach r, ϑ und ϕ bei der Berechnung von ∆ = ∇
ˆ
~ 2 , welche zu (6) geführt hat).
tigt wurden (wie bei unserer Berechnung von L
H → Ĥ = −
Eine systematischere Methode zur Quantisierung klassischer Systeme ist Verwendung von Symmetrieeigenschaften der Hamiltonfunktion (z.B. Galileiinvarianz, Rotationsinvarianz etc.). Den
dazu benötigten mathematischen Formalismus, wie Symmetrien in der Quantenmechanik behandelt werden, werden wir in der Vorlesung erst etwas später kennenlernen.
(c) Zur Berechnung von L̂z :
~
~
1 ∂ψ(~x)
∂ψ(~x)
(6)
L̂z ψ = ~ez (~x × ∇)ψ = ~ez
− ~eϑ
~eϕ
i
i
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ
=
~ ∂ψ
.
i ∂ϕ
Dabei haben wir im letzten Schritt die Gln. (11) auf dem Übungsblatt benutzt.
Homepage zu Vorlesung und Übungen:
http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/qm1-ss09/
(18)