Blatt 10

Übungsblatt 10 zur Elektrodynamik
Prof. K. Hornberger, B. Stickler
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Donnerstag 21.1.2016 10:00 Uhr in den Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab
und beschriften Sie jedes Blatt mit Gruppe und Namen!
Aufgabe 28 — Rechnen mit komplexer Notation
(9 Punkte)
(a) Wir betrachten zwei reelwertige Vektorfelder U(r, t) und V(r, t), die mit der harmonischen Frequenz ω in der Zeit oszillieren, d.h. U(r, t) = Re[u(r)e−iωt ] und V(r, t) = Re[v(r)e−iωt ].
Zeigen Sie, dass das zeitliche Mittel über eine Periode
1
hU(r, t) ◦ V(r, t)it = Re [u(r) ◦ v∗ (r)] ,
2
erfüllt, wobei ◦ ein beliebiges vektorielles Produkt sei (z.B. Skalar-, Kreuz- oder dyadisches Produkt).
(b) Berechnen Sie den zeitgemittelten Poyntingvektor hS(r, t)it der TEnm -Wellen aus Aufgabe 29.
Wie groß ist die mittlere durch den Leiterquerschnitt transportierte Leistung?
(c) Die potentielle Energie eines polaren Moleküls im elektrischen Feld E(r) kann in der Form
V (r) = −µ · E(r) −
α
|E(r)|2 ,
2
geschrieben werden, wenn das Feld auf der Größe des Moleküls näherungsweise konstant ist.
Hier ist µ das molekulare Dipolmoment und α die Polarisierbarkeit. Bestimmen Sie die zeitgemittelte Kraft hF(r)it auf das Molekül (i) im Feld einer ebenen Welle (Laufwellenfeld) und (ii)
im Superpositionsfeld zweier in entgegengesetzte Richtung laufenden ebenen Wellen (Stehwellenfeld).
Aufgabe 29 — Der rechteckige Hohlleiter
(10 + 2 Punkte)
Im Folgenden werden wir spezielle Lösungen der Maxwellgleichungen in einem rechteckigen Hohlraumresonator herleiten, die sogenannten TEnm -Wellen (transversal-elektrische Wellen). Dazu betrachten wir einen entlang der z-Achse ausgerichteten, perfekt leitenden Hohlleiter mit rechteckigem
xy-Randprofil, (x, y) ∈ [0, a] × [0, b] und z ∈ R, durch den sich die elektromagnetischen Wellen mit
der Wellenzahl k in die positive z-Richtung ausbreiten. TEnm -Wellen sind dadurch ausgezeichnet,
dass die z-Komponente des elektrischen Feldes überall verschwindet, E · ez = 0.
(a) Lösen Sie die skalare Wellengleichung Ψ(r, t) = 0, wenn Ψ(r, t) am Rand verschwindet und
sich mit Wellenzahl k in positive z-Richtung ausbreitet. Wie hängt die Schwingungsfrequenz
ω(k) von k ab?
(b) Für die Felder wählen wir den Ansatz E(r, t)
=
Re[E0 (x, y)ei(kz−ωt) ] und
i(kz−ωt)
B(r, t) = Re[B0 (x, y)e
]. Bestimmen Sie das transversal elektrische Feld E als Lösung
der Wellengleichung E = 0 und der Maxwellgleichung ∇ · E = 0 mit den Randbedingungen
n × E = 0 auf der Leiteroberfläche.
(c) In einem letzten Schritt können Sie nun das B-Feld aus der Maxwellgleichung Ḃ = −∇ × E
bestimmen, welches die Randbedingung n · B = 0 auf der Leiteroberfläche erfüllt.
Hinweis: Als Lösung sollten Sie erhalten

Enm
0

qm cos (kn x) sin (qm y)
= Anm ωnm  −kn sin (kn x) cos (qm y)  ei(kz−ωnm t) ,
0
und

kkn sin (kn x) cos (qm y)
 ei(kz−ωnm t) ,
kqm cos (kn x) sin (qm y)
= Anm 
2
) cos (kn x) cos (qm y)
i(kn2 + qm

Bnm
0
mit Schwingungsfrequenz ωnm , Amplitude Anm und Wellenzahlen kn = nπ/a sowie qm = mπ/b.
Bonus: Bestimmen Sie die sogenannten TMnm -Wellen (transversal-magnetische Wellen), bei denen
die z-Komponente des B-Feldes verschwindet, B · ez = 0.
Aufgabe 30 — Das Koaxialkabel
(12 + 2 Punkte)
Wir betrachten die Wellenausbreitung in einem Hohlleiter mit kreisförmigem xy-Profil (Radius R),
durch dessen Mitte ein ideal leitender Draht (Radius R0 < R) entlang der z-Achse verläuft. Für die
Felder wählen wir wieder den Ansatz E(r, t)
=
Re[E0 (x, y)ei(kz−ωt) ] und
i(kz−ωt)
B(r, t) = Re[B0 (x, y)e
]. Im Unterschied zu Aufgabe 29 interessieren wir uns hier für sogenannte TEM-Wellen, für die E0 · ez = B0 · ez = 0 gilt. Bestimmen Sie mit Hilfe der folgenden
Schritte die elektromagnetischen Felder im Koaxialkabel:
(a) Welche Gleichungen müssen für die kartesischen Komponenten eines Vektorfeldes a(x, y) gelten,
wenn es als Gradient eines skalaren Feldes geschrieben werden kann?
(b) Leiten Sie aus den Maxwellgleichungen die Differentialgleichungen der Komponenten von E0 (x, y)
und B0 (x, y) her.
(c) Finden Sie die Lösung dieser Gleichungen für das oben beschriebene Koaxialkabel, bestimmen
Sie den Poyntingvektor und berechnen Sie den mittleren Energiefluss pro Zeit durch den Querschnitt des Kabels!
Bonus: Kann es in einem leeren Hohlleiter beliebigen Randprofils auch TEM Wellen geben? Begründen Sie Ihre Antwort!