Prüfung Lineare Algebra 2 1. Sei V ein n

Prüfung Lineare Algebra 2
1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist
wahr?
A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner
oder gleich π.
B. Wenn n = 2 ist, ist jede orthogonale Funktion von V nach V selbstadjungiert.
C. Wenn n = 3 ist, ist die Hintereinanderausführung von drei Spiegelungen in V wieder
eine Spiegelung.
D. Wenn n = 2 ist und f eine orientierungserhaltende Isometrie von V ist, dann ist f
eine Drehung.
E. Wenn n = 2 ist, dann ist die Symmetriegruppe jeder Geraden in V endlich.
2. Es sei n eine positive ganze Zahl und A, B seien reelle n × n-Matrizen. Welche der
folgenden Aussagen ist falsch?
A. Wenn n = 7 ist, dann hat A einen reellen Eigenwert.
B. Wenn A · B = B · A ist und x ein Eigenvektor von B zum Eigenwert 7 ist, dann ist
auch A · x ein Eigenvektor von B zum Eigenwert 7.
C. Wenn n = 2 ist, gilt: A und B sind genau dann ähnlich, wenn die Spuren und die
Determinanten von A und B gleich sind.
D. Sind x bzw. y Eigenvektoren von A zum Eigenwert 0 bzw. 1, dann sind x und y
linear unabhängig.
E. Wenn A symmetrisch ist, dann ist A auch diagonalisierbar.
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3. Es sei V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum und (v1 , v2 , v3 ) eine Basis von V .
Es gibt genau eine alternierende Funktion f von V × V nach V mit
A. f (v1 , v2 ) = v1 , f (v1 , v3 ) = v1 , f (v1 , v1 ) = 0, f (v2 , v2 ) = 0, f (v3 , v3 ) = 0
B. f (v1 , v2 ) = v1 , f (v1 , v3 ) = v1 , f (v2 , v3 ) = v2 , f (v2 , v1 + v2 + v3 ) = −v1 + v2
C. f (v1 , v2 ) = v1 , f (v1 , v3 ) = v3
D. f (v1 , v2 ) = v1 , f (v1 , v3 ) = v1 , f (v2 , v3 ) = v2 , f (v2 , v1 ) = v2 , f (v3 , v1 ) = v3 ,
f (v3 , v2 ) = v3
E. f (v1 , v2 ) = v1 , f (v1 , v3 ) = v1 , f (v2 , v3 ) = v2 , f (v2 , v1 + v2 + v3 ) = v2
4. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum und f = t ◦ g eine Isometrie mit linearem Anteil g und Translationsanteil t .
Überprüfen Sie die folgenden Aussagen:
(1) Wenn g eine Spiegelung ist, dann ist f auch eine Spiegelung.
(2) Es gibt paarweise aufeinander senkrecht stehende, unter g stabile ein- oder zweidimensionale Untervektorräume von V , deren direkte Summe gleich V ist.
(3) Wenn F die Fixmenge einer Spiegelung s und p die orthogonale Projektion auf F
ist, dann ist s = 2p + IdV .
A. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch.
B. (1), (2) und (3) sind falsch.
C. (2) ist wahr, (1) und (3) sind falsch.
D. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch.
E. (3) ist wahr, (1) und (2) sind falsch.
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5. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen:
(1) Das Bild des Schwerpunktes einer endlichen Familie (vi )i∈I unter einer affinen Funktion h ist der Schwerpunkt der Familie (h(vi ))i∈I .
(2) Das Bild einer Linearkombination unter einer affinen Funktion ist die entsprechende
Linearkombination der Bilder.
(3) Die Umkehrfunktion einer bijektiven affinen Funktion ist eine affine Funktion.
A. (1) , (2) und (3) sind wahr.
B. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch.
C. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch.
D. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch.
E. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch.
6. Überprüfen Sie die folgenden Aussagen:
(1) Wenn A eine reelle quadratische invertierbare Matrix ist, dann ist A · AT eine symmetrische positiv definite Matrix.
(2) Jedes Polyeder ist die Summe eines endlich erzeugten Kegels und der konvexen Hülle
einer endlichen Menge.
(3) Die affine Hülle von drei nicht kollinearen Punkten ist eine Ebene.
A. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch.
B. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch.
C. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch.
D. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch.
E. (1), (2) und (3) sind wahr.
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7. Es seien V und W Vektorräume und f eine lineare Funktion von V nach W .
Überprüfen Sie die folgenden Aussagen:
(1) Der Graph von f ist ein Untervektorraum von V × W .
(2) Das Bild von f ist ein Untervektorraum von W .
(3) Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V .
A. (1) , (2) und (3) sind wahr.
B. (1) ist falsch, (2) und (3) sind wahr.
C. (2) und (3) sind falsch, (1) ist wahr.
D. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch.
E. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch.
8. V sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum und < −, − > ein Skalarprodukt auf V . Überprüfen Sie die folgenden Aussagen:
(1) Für alle Vektoren v, w ∈ V ist | < v, w > | ≤ ||v|| · ||w|| .
(2) Seien v und w Vektoren in V , deren Abstand zu 0 gleich 1 ist. Der Fußpunkt des
Lotes von v auf die Gerade Cw ist < w, v > w.
(3) Betrachtet man V als reellen Vektorraum, dann ist die Funktion von V × V nach
R, die jedem Paar von Vektoren (v, w) den Imaginärteil des Skalarprodukts < v, w >
zuordnet, ein Skalarprodukt.
A. (1) , (2) und (3) sind wahr.
B. (1) und (3) sind wahr, (2) ist falsch.
C. (1) ist wahr, (2) und (3) sind falsch.
D. (1) und (2) sind wahr, (3) ist falsch.
E. (2) und (3) sind wahr, (1) ist falsch.
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9. V sei ein zweidimensionaler euklidischer Raum und (v1 , v2 ) eine ON-Basis von V .
Wir betrachten 5 lineare Funktionen, deren Matrizen bezüglich (v1 , v2 ) unten angegeben
sind. Wieviele dieser linearen Funktionen sind Spiegelungen?
1
5
µ
3 −4
4 3
¶
µ
,
¶
−3
4
4
25
3
25
µ
,
3
25
4
4
25
−3
¶
µ
,
3
4
4
−3
¶
1
,
5
A. 0
B. 3
C. 4
D. 1
E. 2
10.
Sei

1 1
A :=  1 0
3 2

2
−1 
1
und Ad(A) die zu A adjungierte Matrix. Dann ist Ad(A)23 gleich
A. 3
B. −3
C. 1
D. −1
E. 0
µ
3
4
4
3
¶
.
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11.
Schreiben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe genau an!
Zwei Matrizen A, B ∈ Cn×n sind genau dann äquivalent, wenn . . .
Sei V ein reeller Vektorraum und w1 , . . . , wn Vektoren in V . Der Schwerpunkt von
(w1 , . . . , wn ) in V ist . . .
Sei V ein reeller Vektorraum und z1 , . . . , zn Vektoren in V . Die konvexe Hülle von
(z1 , . . . , zn ) in V ist die Menge . . .
Sei W ein komplexer Vektorraum. Eine Funktion h−, −i : W × W −→ C ist genau dann
ein Skalarprodukt, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
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12. V mit < −, − > sei ein euklidischer Raum. Schreiben Sie die Definitionen der
folgenden Begriffe genau an!
Eine Funktion f von V nach V ist genau dann orthogonal, wenn . . .
Wir nehmen an, dass bekannt ist, was die zu einer Funktion von V nach V adjungierte
Funktion ist. Eine Funktion von V nach V ist normal genau dann, wenn . . .
Eine bilineare Funktion f von V × V nach V ist genau dann alternierend, wenn . . .
Der verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert 2 einer linearen Funktion g von V nach
V ist die Menge . . .
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13. V sei mit h−, −i ein dreidimensionaler orientierter euklidischer Raum.
Beschreiben Sie alle Isometrien von V , indem Sie deren mögliche Fixmengen und die
Eigenschaft orientierungserhaltend bzw. orientierungsumkehrend betrachten!
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14. V sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, v := (v1 , . . . , vn ) eine Basis von
V , b : V × V −→ R eine Bilinearform und A die Matrix von b bezüglich v.
Wie ist der Eintrag Aij von A in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte definiert? Wie
erhält man aus A und einer invertierbaren Matrix M die Matrix von b bezüglich vM ?
Wie kann man die Signatur von A berechnen? Aus der Signatur von A kann man
ablesen, ob b positiv definit ist. Wie?
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15. V sei ein endlichdimensionaler Vektorraum, v := (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V ,
f : V −→ V eine lineare Funktion und C die Matrix von f bezüglich v.
Wie ist der Eintrag Cij von C in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte definiert? Wie
erhält man aus C und einer invertierbaren Matrix S die Matrix von f bezüglich vS?
Die Begriffe Spur und Determinante wurden für Matrizen definiert. Wie werden sie
dann für lineare Funktionen definiert? Begründen Sie, warum diese Definitionen nicht
von der Wahl einer Basis abhängen.
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16. Erläutern Sie, was ein affiner Raum ist. Wie betrachtet man die (Zeichen-)Ebene
als affinen Raum (was sind dessen Punkte, was dessen Vektoren, wie stellt man diese
dar)? Wie wird dann eine Gerade in der Ebene dargestellt?
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Version 1:
E
C
B
C
E
E
A
D
A
A