Aufgaben zur linearen Algebra (Teil 1): Aufgabe 1: (Prüfung SS

Prof. Dr. Timm Sigg
Mathematik 1, Lineare Algebra Teil 1
Aufgaben zur linearen Algebra (Teil 1):
Aufgabe 1: (Prüfung SS 1999, Aufgabe 3a)
Gegeben ist die Matrix


1 1 1
A =  m 0 0 ,
m ∈ IR
m 0 m
Berechnen Sie die Determinante der Matrix A. Für welche Werte von m ist die Determinante
verschieden von 0?
Aufgabe 2: (Prüfung SS 2000, Aufgabe 2)
a)
Gegeben sind die beiden Matrizen




p 0
0
4 0 0
q  und B =  0 2 3  .
A= 0 1
0 2 −1
0 3 5
Bestimmen Sie die reellen Parameter p und q so, dass gilt
A · AT = B.
b)
Für welche reellen x gilt für die Determinante
2
x + 3x
2
3 0
2e−x ex = 0?
A = 0
4e−x e2x c)
Bestimmen Sie die Matrix A(2,3) mit den Elementen
(−1)i+k für i < k
aik =
(i = 1, 2; k = 1, 2, 3)
ik
für i ≥ k
d)
Wie viele Elemente stehen außerhalb der Hauptdiagonalen einer quadratischen (n, n)-Matrix?
Aufgabe 3: (Prüfung WS 2001/02, Aufgabe 3b)
Berechnen Sie die Determinante
1 sin2 x
1
−1 cos2 x
0 .
1
1
cos2 x Aufgabe 4: (Prüfung WS 2001/02, Aufgabe 4)
Es sei


1 −1
1
1 −1  .
A =  −1
1 −1
1
Berechnen Sie A2 und A3 .
Was ergibt An ?
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Aufgabe 5: Wie viele Zeilen und wie viele Spalten muss die Matrix B haben, damit das Matrizenprodukt A · B = C berechnet werden kann, wenn
A 3 Zeilen und 4 Spalten und
C 3 Zeilen und 8 Spalten hat?
Aufgabe 6: Gegeben sind die beiden Matrizen




2 1 3
2 0 0
A =  1 2 0  und B =  0 1 0  .
0 −1 4
0 0 −1
Berechnen Sie:
a)
AT − 2 · B
b)
A·B
c)
B3 = B · B · B
d)
Bn
e)
B −1
f)
det(A) · B
Aufgabe 7: Gegeben ist die folgende Matrix:


−2 p 0
A =  −p 2 0  ,
p ∈ IR
0 0 1
Für welche Werte von p ist det(A) 6= 0?
Aufgabe 8: Zeigen Sie, dass
1
3
3 −2 3
2
4
−1
−4 3
3 −5
5 −6 3
−2
2
0
4 1
0
6
6
0 1
=0
ist!
(Hinweis: Es ist nicht nötig, die Determinante auszurechnen.)