Splitter Die Gesamtzahl der Splitter in Sn Folgerung

Die Gesamtzahl der Splitter in Sn
Splitter
I
I
σ = (σ1 , σ2 , . . . , σn ) Permutation von {1, 2, . . . , n}
I
σ splittet an Position j oder j ist ein Splitter in σ, wenn
I
σi < σj für i < j und σj < σk für j < k
Die Position j ist ein Splitter in (j − 1)! · (n − j)!
Permutationen aus Sn .
Die Gesamtzahl sn der Splitter in Sn
n
n−1 X
X
n − 1 −1
sn :=
(j − 1)! (n − j)! = (n − 1)! ·
j
j=1
I
Splitter sind (spezielle) Fixpunkte, d.h. sj = j.
Beispiele
I
I
I
(3, 1, 2, 4, 7, 5, 6) hat 4 als Splitter
(5, 1, 2, 4, 7, 3, 6) hat keinen Splitter
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) hat alle 7 Positionen als Splitter
I
Problem: wieviele Splitter hat eine Permutation im Mittel?
I
Mit Beta-Integral ergibt sich
Z 1X
n −1
n
X
n
bn :=
= (n + 1)
t k (1 − t)n−k dt
k
0
k=0
| k=0 {z
}
an
I
I
j=0
Wie geht man mit folgender Summe um?
1
1
1
n + n + ··· n
0
I
an
1
+
, a0 = 1
2
n+2
Folgerung
I
mittlere Anzahl von Splittern in Sn
sn =
I
k=0
I
sn
bn−1
=
= an−1
n!
n
Rekursion für s n
s n+1 =
Beweis:
Z 1
Z 1X
n an
1 k
n+1
k
n+1−k
n−k
an+1 −
= t
dt +
t (1−t)
− t (1−t)
dt
2
2
0
0 k=0
#
Z 1 "X
n
1
1
k
n−k
+
t (1 − t)
− t dt
=
n+2
2
0
n
Hier hilft das Beta-Integral
Z 1
1
a + b −1
=
t a (1 − t)b dt
a+b+1
a
0
Die Zahlen nn genügen einer einfachen Rekursion:
an+1 =
1
sn
1
+
, s1 = 1
2
n+1
Daraus ergibt sich
lim n · s n = 2, also s n ∼
n→∞
2
n