Theoretische Physik II - Quantenmechanik (SS 2017)

Theoretische Physik II - Quantenmechanik
(SS 2017)
Übung 1
10.04.2017
Aufgabe 1
(Längenskalen)
(5 + 4 = 9 Punkte)
Im Allgemeinen spielt die Quantenmechanik in den Fällen eine Rolle, in denen die De-BroglieWellenlänge h/p des entsprechenden Teilchens größer ist als die charakteristische Abmessung
d des Systems. Im thermischen Gleichgewicht bei einer (in Kelvin gemessenen) Temperatur T
ist die kinetische Energie eines Teilchens
p2
3
= kB T
2m
2
(darin ist kB die Boltzmann-Konstante), und die typische De-Broglie-Wellenlänge ist
λ= √
h
.
3mkB T
In dieser Aufgabe sollen Sie erkennen, welche Systeme quantenmechanisch behandelt werden
müssen und welche Sie gefahrlos klassisch beschreiben können.
(a) Festkörper:
Der Gitterabstand in einem typischen Festkörper liegt bei etwa d = 0 3 nm.
’
Bestimmen Sie die Temperatur, unterhalb derer die freien Elektronen in einem Festkörper
quantenmechanisch beschrieben werden müssen. Unterhalb welcher Temperatur sind die
Kerne in einem Festkörper quantenmechanisch? (Nehmen Sie Natrium als ein typisches
Beispiel.)
Moral: Die freien Elektronen in einem Festkörper sind immer, die Kerne dagegen praktisch niemals quantenmechanisch. Dasselbe gilt für Flüssigkeiten (dort ist der Abstand
der Atome etwa genauso groß wie in Festkörpern), mit Ausnahme vonf lüssigem Helium
unterhalb von 4K.
(b) Gase:
Für welche Temperaturen sind die Atome eines idealen Gases bei dem Druck p quantenmechanisch?
Hinweis: Leiten Sie den Abstand der Atome aus dem idealen Gasgesetz (pV = N kB T )
her. Lösung: T ≤ (1/kB )(h2 /3m)3/5 p2/5 . Offenbar muss m so klein und p so groß wie
möglich sein, damit das Gas quantenmechanisches Verhalten zeigt. Setzen Sie die Werte
für Helium bei normalem Luftdruck ein. Ist Wasserstoff im Weltraum (dort beträgt der
Abstand der Atome etwa 1cm und die Temperatur 3K) quantenmechanisch? (Nehmen
Sie an, dass monoatomarer Wasserstoff vorliegt, nicht H2 .)
Aufgabe 2
(Wellenfunktionen I)
(5 x 3 = 15 Punkte)
Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Teilchen durch folgende Wellenfunktion dargestellt:




für
0≤x≤a
A xa
’
(b−x)
a≤x≤b .
Ψ(x 0) = A (b−a) für

’
’

 0
sonst
Darin sind A, a und b Konstanten.
(a) Normieren Sie Ψ (d.h. drücken Sie A mithilfe von a undb aus).
(b) Skizzieren Sie Ψ(x 0) als Funktion von x.
’
(c) Wo findet man das Teilchen zum Zeitpunkt t = 0 am wahrscheinlichsten?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen links von a zu finden? Überprüfen Sie
Ihr Ergebnis anhand der Grenzfälle b = a und b = 2a.
(e) Was ist der Erwartungswert von x?
Aufgabe 3
(Wellenfunktion II)
(2 + 3 + 5 = 10 Punkte )
Betrachten Sie die Wellenfunktion
Ψ(x t) = Ae−λ|x| e−iωt
’
mit den positiven reellen Konstanten A, λ und ω.
(a) Normieren Sie Ψ.
(b) Bestimmen Sie die Erwartungswerte von x und x2 .
(c) Bestimmen Sie die Standardabweichung von x. Skizzieren Sie den Graphen von |Ψ|2 als
Funktion von x, markieren Sie die Punkte (x + σ) und (x − σ) und illustrieren Sie so, in
welchem Sinne σ die Verschmierung“ in x bedeutet. Statt ”Verschmierung” werde wir in
”
Zukunft den Begriff der Schwankungsbreite verwenden. Was ist die Wahrscheinlichkeit,
dass das Teilchen außerhalb dieses Bereichs gefunden wird?
Aufgabe 4
(Schrödinger-Gleichung)
(3 + 4 + 6 + 3 = 16 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m hat den Zustand
2
Ψ(x t) = Ae−a[(mx /h̄)+it] .
’
Dabei sind A und a positive reellwertige Konstanten.
(a) Bestimmen Sie A.
(b) Für welche Funktion V (x) der potentiellen Energie erfüllt Ψ die Schrödinger Gleichung?
(c) Berechnen Sie die Erwartungswerte für x, x2 , p und p2 .
(d) Bestimmen Sie σx und σp . Stimmt ihr Produkt mit der Heisenberg’schen Unschärferelation
überein?