Höhere Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Höhere Quantenmechanik und Quantenelektrodynamik“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
KOMET 337, Institut für Physik, Johannes Gutenberg-Universität
Aufgabenblatt 08, Abgabe: 04. 01. 2005
Aufgabe 16. Zustandssumme des nicht-wechselwirkenden Bose-Gases (6 Punkte)
Die Zustandssumme des nicht-wechselwirkenden Bose-Gases kann bekanntlich wie folgt als Funktionalintegral geschrieben werden:
Z0 = lim
M →∞
Z
DM (φ∗λk
−S0 ({φ∗λk φλk })
φλk ) e
,
DM (φ∗λk
M Y
Y
dφ∗λk dφλk
φλk ) =
2πi
k=1 λ
mit φλ0 = φλM für alle Quantenzahlen λ und
S0 ({φ∗λk φλk }) =
M X
X
k=1 λ
φ∗λk φλk − [1 − ε(ελ − µ)] φλ,k−1
,
ε=
β
.
M
Dieses Funktionalintegral soll im Folgenden explizit berechnet werden.
(a) Zeigen Sie zunächst:
Z0 =
Y
(λ)
Z0
,
(λ)
Z0
λ
Z Y
M dφ∗k dφk −φ∗ ·A(λ) ·φ
M
e
,
= lim
M →∞
2πi
k=1
wobei definiert wurde: a ≡ 1 − ε(ελ − µ) und


1
0 ··· ···
0 −a
 −a 1
0 ··· ··· 0 



.. 
 0 −a 1 . . .
. 


(λ)
AM ≡  .
.. 
..
 ..

.
0
0
−a
.


 ..

..
.
.
.
.
 .
.
. 1
0 
.
0
0 ···
0 −a 1




φ≡



,
φ1
φ2
..
.
..
.
φM




 .



(b) Zeigen Sie nun:
Z0 =
Y
i
(λ) −1
lim det AM
M →∞
λ
h
.
(λ)
(c) Zeigen Sie: det AM = 1 − aM .
(d) Schließen Sie aus (b), (c) und der Definition von a:
Z0 =
Yh
λ
1 − e−β(ελ −µ)
i−1
.
Aufgabe 17. Green’sche Funktion für nicht-wechselwirkende Bosonen (7 Punkte)
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die diskrete Form der Green’schen Funktion G0 (λ1 τ1 | λ2 τ2 )
β
k1,2 gegeben ist, wobei h. . . i0 einen Mittelwert im nichtdurch hφλ1 k1 φ∗λ2 k2 i0 mit τ1,2 = M
wechselwirkenden System bezeichnet. Zu beachten ist allerdings, dass die diskrete Form der
gleichzeitigen Green’schen Funktion G0 (λ1 τ | λ2 τ ) wegen der Normalordnung des Hamiltonβ
Operators durch hφλ1 k φ∗λ2 k+1 i mit τ = M
k gegeben ist. Außerdem ist aus der Vorlesung be
−1 (λ
)
kannt, dass hφλ1 k1 φ∗λ2 k2 i0 = δλ1 λ2 AM1
gilt. Die Berechnung der Green’schen Funktik1 k2
on aus der entsprechenden Pfadintegraldarstellung ist somit gleichbedeutend mit der Berechnung
(λ) −1
der M × M -Matrix AM
.
(λ) −1
(a) Überprüfen Sie explizit, dass AM
die folgende Form hat:
(λ) −1
AM
=
k1 k2
(
ak1 −k2 /(1 − aM )
(k1 ≥ k2 )
aM +k1 −k2 /(1 − aM ) (k2 > k1 ) ,
wobei wie in Aufgabe 16 definiert wird: a ≡ 1 −
β
M (ελ
− µ).
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass im Limes M → ∞:
G0 (λ1 τ1 |λ2 τ2 ) = G0 (λ1 |λ2 ; τ1 − τ2 ) = δλ1 λ2 gλ1 (τ1 − τ2 )
mit gλ (τ ) = e−τ (ελ −µ) [ϑ(τ − 0+ )(1 + nλ ) + ϑ(0+ − τ )nλ ] und nλ ≡ [eβ(ελ −µ) − 1]−1 gilt.
Aufgabe 18. Spinmatrizen für Photonen (7 Punkte)
In dieser Aufgabe konstruieren wir einen k-abhängigen Vektoroperator, der als der Spinoperator
des Photons interpretiert werden kann. Die Eigenwerte dieses Spinoperators und die Struktur
seiner Eigenvektoren zeigen, dass das Photon ein Spin-1-Teilchen ist.
Wir führen die folgenden Definitionen ein: ε(1) und ε(2) sind zwei (k-abhängige) Polarisationsvektoren, die zusammen mit ε(3) ≡ k̂ ein rechtshändiges orthonormales System bilden.
Mit Hilfe der drei Vektoren ε(ℓ) (ℓ = 1, 2, 3) definieren wir die drei antisymmetrischen Dyaden Sℓ ≡ −i~ǫℓmn ε(m) ε(n) (Summationskonvention!). Diese drei Dyaden zusammen bilden den
Vektoroperator S ≡ (S1 , S2 , S3 ).
(a) Zeigen Sie, dass für beliebige Vektoren v gilt: Sℓ v = i~ε(ℓ) × v.
(b) Zeigen Sie, dass die drei Matrizen {S1 , S2 , S3 } die Spinalgebra [Sℓ , Sm ]− = i~ǫℓmn Sn bzw.
S × S = i~S erfüllen.
Wir definieren noch die zirkular polarisierten Photonzustände uk± ≡ ∓ √12 (ε(1) ± iε(2) )eik·x .
(c) Zeigen Sie, dass S3 uk± = ±~uk± und dass generell S2 = 2~21,I so dass insbesondere gilt:
S2 uk± = 2~2 uk± . Was ist die physikalische Interpretation dieser Ergebnisse?