Formelsammlung - Bildungsportal Sachsen

III
Fachgebiet Technische Thermodynamik
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Formelsammlung
Technische Thermodynamik und Wärmeübertragung
Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
Internationales Einheitensystem "SI"
Lineare Interpolation von Tabellenwerten
Größen
Thermische Zustandsgrößen
Energetische Zustandsgrößen
Entropie S
Exergie E
Ermittlung von Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)
Zustandsdiagramme
Zustandsgrößen des Zweiphasengemisches Nassdampf
Massebilanz
Seite
IV
VI
VII
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1
6/2
6/6
7/1
Energiebilanz − I. Hauptsatz der Thermodynamik
Entropiebilanz − II. Hauptsatz der Thermodynamik
Exergiebilanz
Einfache technische Prozesse
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen (λ = const)
Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (λ, α = const)
Konvektiver Wärmeübergang
Wärmestrahlung
Rekuperatoren (Wärmetauscher)
Instationäre Wärmeleitung
8/1
9/1
10/1
11/1
12/1
13/1
14/1
15/1
16/1
17/1
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IV
Schaltbilder für Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
Wärmeübertrager als
Rekuperator
allgemein
(Wärmetauscher)
Verdampfer
(Kessel)
Verdampfer (Kessel)
mit Überhitzer
Kühlmedium
Mischwärmeübertrager
Kondensator
Verdichter
allgemein
Pumpe
allgemein
Turbine mit
Generator
- Dampfturbine
- Gasturbine
- Wasserturbine
Drosselventil
(Druckminderventil)
Brennkammer
für Gase
Kernreaktor
Wärmeverbraucher
mit Heizflächen
Kühlturm
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V
Schaltbilder für weitere Bauelemente (DIN 2481)
Absorber
Austreiber (Kocher)
Gekoppelte Rektifiziersäule
Rohrleitungen für Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)
Wasser
Luft
Verbrennungsgase
Dampf
Feste Brennstoffe
Brenngase
Heizöl
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VI





 













H

E





Q


S





−
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VII
Lineare Interpolation von Tabellenwerten
Eindimensionale Interpolation z = f(x)
Tabelle mit x- und z-Werten
x
.
.
.
x1
z
.
.
.
z1
x2
z2
.
.
.
.
.
.



Interpolationsformel






(0.1)
Veranschaulichung mit Strahlensatz
Verhältnisgleichung





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VIII
Zweidimensionale Interpolation z = f(x,y)



Tabelle mit z-Werten im x,y-Raster
. . . . . . x1
.
.
.
. . . . . . z11
.
.
.
y1






y2
.
.
.
x2 . . . . . . .
.
.
.
z12 . . . . . . .
. . . . . . z21
.
.
.
z22 . . . . . . .
.
.
.
Interpolationsformeln

















(0.2)


(0.3)


(0.4)
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- 1/1 -
Größen
Umrechnung
Z
m
spezifische Größe Z:
(massebezogen)
z=
Zeitbezogene Größe Z
(Strom):
dZ
Z 
dt
Volumenbezogene Größe Z:
z 
Molare Größe Z:
z  Zm 
Flächenbezogene Größe Z:
ẑ 
Stromdichte:
ẑ 
Z
V
Z
A
Z
A
v, u, h, s, cp , q, w
(1.1)
(1.2)
Z
n
 z
Z  m
z    z
(1.4)
(1.6)
Beispiele
z  M z
(1.3)
(1.5)
(1.7)
 W
 H,
 Q,
 P
 n,
 V,
m,
 q
  m,
v, h, s, q, w
(1.8)
q̂
(1.9)
ˆ m
ˆ
q,
Temperatur
Maßeinheit
Umrechnung
Thermodyn. (KELVIN)-Temp.:
T
T   K
CELSIUS-Temp.:

  C
FAHRENHEIT-Temp.:
F
F   F
RANKINE-Temp.:
TR
TR   R
 T
  273,15 (1.10)
C K
F 9 T
   459,67 (1.11)
F 5 K
TR 9 T
 
(1.12)
R 5 K
Temperaturdifferenz:
T
 T      K
T  
(1.13)
Druck
p
Fn
A
(1.14) ,
p   1 kPa  0,01 bar
Überdruck:
püb = p - pu
(1.15)
Unterdruck:
pun  pu - p
(1.16)
Relatives Vakuum:
Va 
pun
p
pu - barometrischer Druck
der Umgebung
(1.17)
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- 1/2 -
Statischer Druck einer Flüssigkeitssäule
p  Fl  g   zFL
(1.18)
Fl


 Dichte der Flüssigkeit
 z Fl  Höhe der Flüssigkeitssäule
Resultierende Auftriebskraft
FA = g  Vver  ( -  ver )
FA
g

V ver
 ver
(1.19)
Vver
 Volumen des verdrängenden Körpers
ver
 Dichte des verdrängenden Körpers

 Dichte des Fluids der Umgebung
Normzustand n
pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 1 atm = 760 Torr
Tn = 273,15 K
vn 
1
bei pn , Tn des Fluids
n
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- 2/1 -
Thermische Zustandsgrößen
Spezifisches Volumen v und Dichte 
Dichte:

1
v
(2.1)
Reales Fluid
v = f (p,T)
 = f (p,T)

  technische Formulierung

Realgasfaktor
 z. B. WDT, Stoffwerte
p = f (T,v)
zreal 
pv
R T
(2.2)
 physikalische Formulierung
Differenz für Zustandsänderung   
v2  v1  v  p2,T2   v  p1,T1
(2.3)
v(p,T)  z. B. WDT, Stoffwerte
Ideales Gas
Zustandsgleichung des
idealen Gases:
p  V  mR T
(2.4)
pv  RT
(2.5)
p v  R T
(2.6)
p  v  MR  T
(2.7)
p V  n R  T
(2.8)
Spezifisches Volumen:
vig =
R T
p
Dichte:
ig =
p
R T
(2.9)
(2.10)
Spezifische Gaskonstante
eines Stoffes:
R
R
M
(2.11),
R = Rm
M  Molare Masse des Stoffes
 Stoffwerte
M
R, M  Stoffwerte
Strömendes ideales
Gas:
 R T
p  V  m
(2.13)
Differenz für Zustandsänderung   
T
T 
v2  v1  R  2  1 
 p2 p1 
(2.14)
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m
n
(2.12)
- 2/2 -
Inkompressible (ideale) Flüssigkeiten und Festkörper
nur
v if  f ( T)
v if (T) 
1
if (T)
(2.15)
if (T)
 Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung   
v 2  v1 
1
if

 T2  
1
if
 T1 
(2.16)
if (T)  Stoffwerte
Näherung
nur
v if  v' (T )
(2.17)
v' (T )  z. B. WDT
Differenz für Zustandsänderung   
v 2  v1  v' T2   v' T1
(2.18)
v' (T)  Stoffwerte
Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten
v if (T)  vo 1 p  (T  To )
(2.19)
p  Isobarer Volumenausdehnungskoeffizient (p  )
(Mittelwert im Temperaturbereich To  T)
 Stoffwerte
Berechnung mit Längenausdehnungskoeffizienten
für Länge L >> Querschnitt bei Festkörpern
L (T)  Lo 1 lin  (T  To ) (2.20)
lin  Längenausdehnungskoeffizient
(Mittelwert im Temperaturbereich To  T)
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- 3/1 -
Energetische Zustandsgrößen
Isobare Wärmekapazität Cp
cp 
Cp
m
cv 
Definition
(3.1)
 h 
cp :  
 T  p
Isochore Wärmekapazität Cv
Cv
m
(3.2)
 u 
c v :  
 T  v
(3.3)
(3.4)
Reales Fluid
cp = f (T,p) , cp = f (T,v)
cv = f (T,p) , cv = f (T,v)
 z. B. WDT
Ideales Gas
5
cig
p  2  R (3.5)
Einatomige Gase
3
cig
v  R
2
(3.6)
Mehratomige Gase
ig
nur
ig
cp  c v  R
cig
p  f (T)
(3.7)
nur
cig
v  f (T )
 Stoffwerte
Berechnung mit Isentropenexponenten 
Temperaturunabhängige Festwerte als Näherung
Einatomige ideale Gase
Zweiatomige ideale Gase
Dreiatomige ideale Gase
ig
cp 

R
 1
  1,66 6
  1,4
  1,3
ig
(3.9)
(exakt)
(gute Näherung) z. B. Luft
(grobe Näherung)
ig
cp    c v
ig
(3.10)
cv 
1
R
 1
(3.8)
(3.11)
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- 3/2 -
Isobare Wärmekapazität Cp
Isochore Wärmekapazität Cv
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
nur
nur
cifv  f(T)
cifp  f(T)

 Stoffwerte
Näherung
Näherung
cifp  cp' (T)
cifv  c'v (T)
 z. B. WDT
 z. B. WDT
Gute Näherung
cifv  cifp
Enthalpie H
Innere Energie U
Definition
H: U + p  V
h
H
m
U  Energiegehalt eines Systems
(3.12)
(3.13),
 m
 h
H
u
(3.14)
U
m
(3.15),
 m
 u
U
(3.16)
Reales Fluid
h = f (p,T)
, h = f(T,v)
u = f(p,T)
, u = f(T,v)
 z. B. WDT
u  hpv
(3.17)
Differenz für Zustandsänderung   
h2  h1  hp2 ,T2   h p1,T1 
h(p,T)  z. B. WDT
(3.18)
u2  u1  h p2 ,T2   h p1,T1 
 p2  v p2 ,T2   p1  v p1,T1 
v, h(p,T)  z. B. WDT
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(3.19)
- 3/3 -
Enthalpie H
Innere Energie U
Ideales Gas
nur
hig = f (T)
uig = f (T)
uig  hig  R T
ig
h
 hig
o 
T

cig
p (T) dT
ig
u
(3.21)
T
 uig
o 
To
(3.20) hig(T)  Stoffwerte
ig
 cv (T) dT
(3.22)
To
hig  f (T)  Stoffwerte, berechnet für To=273,15 K und hig
o 0,
kJ
kg
Differenz für Zustandsänderung   
Ausnahme Wasserdampf: hig
o  2500,93
h2  h1 
T2

cpig (T)  dT
u2  u1 
(3.23)
T1
T2
ig
 c v (T)  dT
(3.24)
T1
h2  h1  hig  T2   hig  T1 
u2  u1  hig  T2   hig  T1   R  T2  T1 
(3.25)
hig (T)  Stoffwerte
(3.26)
hig (T)  Stoffwerte
ig
mit Mittelwerten c ig
pm bzw. c v m = const
T
T
ig
hig  hig
o  cp (T  To ) (3.27)
ig
uig  uig
o  c v (T  To ) (3.28)
TO
Mittelwert cig
p
cig
p
T
To

1

T  To
T

cig
p (T)  dT
T
TO
T
bzw. cig
v
zwischen To und T
TO
TO
(3.29)
cig
v
To
 Stoffwerte
T
To
 cig
p
T
R
(3.30)
To
Differenz für Zustandsänderung   
h2  h1  cig
pm   T2  T1
ig
cig
pm = cpm
T2
cig
p

T2
To
 (T2  To )  cig
p
T1
u2  u1  cig
vm   T2  T1 
(3.31)
(T2  T1)
T1
To
 (T1  To )
Näherung für kleine Differenz T2  T1 :
cig
pm
cig
p
T
To
= cig
pm
T2
T1

(3.33)
ig
cig
vm  cpm  R
1  ig

 cp  T1  cig
p  T2   (3.34)
2 
, cig
p (T)  Stoffwerte
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(3.32)
- 3/4 -
Enthalpie H
h
h
Ideale Flüssigkeiten und Festkörper
if nur
if
Innere Energie U
 f (T )
 hifo
T


cifp (T)
if
dT (3.35)
u
 uifo
T

To
if
 cv (T) dT
(3.36)
To
if
if
h  f (T)  Stoffwerte,
if
if
u  h (T)  p  v (T) (3.37)
if
if
h (T), v (T)  Stoffwerte
für Wasser berechnet für To=273,15 K und hifo  0 ,
Differenz für Zustandsänderung   
h2  h1 
T2

cpif (T)dT
T1
if
 
u2  u1 
(3.38)
if
 
h2  h1  h T2  h T1
if
T2
 cv (T)dT
if
(3.39)
T1
 
if
 
u2  u1  h T2  h T1
(3.40)
if
(3.41)
if
 (p2  v (T2 )  p1  v (T1))
if
h (T)  Stoffwerte
if
if
h (T), v (T)  Stoffwerte
mit Mittelwerten cifpm = const
hif  hifo  cifp
Mittelwert
cifp
TO
(T  To ) (3.42)
T
zwischen To und T
TO
cifp
T
T
T
1

  cifp (T)dT
T  To
To
To
(3.43)
 Stoffwerte
Differenz für Zustandsänderung   

h2  h1  cifpm  T2  T1
cifpm
=
cifpm
T2
cifp

T2
To

u2  u1  cifvm   T2  T1
(3.44)
T1
 (T2  To )  cpif
To
 (T1  To )
(T2  T1)
T1
(3.45)
Grobe Näherung:
(3.46)
cifvm  cifpm
Näherung für kleine Differenz  T2  T1 :
T
T2
if
1  if
if
if
if
if
cpm = cpm   cp  T1   cp  T2   (3.47) c p , cp (T)  Stoffwerte


2
To
T
1
Näherungen für T < 0,8  Tc  Stoffwerte
uif  h' (T)  p  v' (T)
hif  h'(T)
h'  z. B. WDT
(3.48)
v', h'  z. B. WDT
Differenz für Zustandsänderung   
h2  h1  h'  T2   h'  T1
h'(T)  z. B. WDT
(3.49)
u2  u1  h'  T2   h'  T1 
 p2  v'  T2   p1  v'  T1 
v', h' (T)  z. B. WDT
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(3.50)


 















 



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





  



  

 













  













   

 
ig
sig  sig
o  cp








T
 T 
 p 
 ln    R  ln  
 To 
 po 
To
ig
sig  sig
o  cv
T
 T 
 v 
 ln    R  ln  
 To 
 vo 
To













































Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik







 



 




 




 
sifo  0 bei To =273,15 K



   

 





 


 


 

 





 



 








 




 

if (T)  ifv (T)




















if (T)   '(T) 


–
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- 5/1 -
Exergie E
e
spezifische Exergie
E
m
 e
E  m
Exergiestrom
(5.1)
(5.2)
Spezifische Exergie (der Enthalpie):
e  e(h)  h  hu   Tu   s  su 
(5.3)
hu, su des betreffend en Fluids bei pu, Tu
Differenz für Zustandsänderung   
e2  e1  h2  h1  Tu   s2  s1
(5.4)
Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfähigkeit:


  e  1 c2  g  z  m
  est
E st  m
mit
2
est  e  1  c2  g  z
2
(5.5)
(5.6)
Spezifische Exergie der inneren Energie e(u):
e(u)  u  uu   Tu   s  su   pu   v  vu 
(5.7)
uu, su, v u des betreffenden Fluids bei pu, Tu
Differenz für Zustandsänderung   
e(u)2  e(u)1  u2  u1  Tu   s2  s1  pu   v2  v1
(5.8)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 6/1 -
Ermittlung von Zustandsgrößen aus Stoffwerttabellen
(Wasserdampftafel)
Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (t’)
uo  0
so  0
ho  uo  po  vo  0
To  273,16 K
 o  0,01 C
vo  0,0010002 m3 kg1
po  0,6112 kPa
Fluide Einphasengebiete (Flüssigkeit, überhitzter Dampf)
0°C
.
.
.

.
.
.
.
800°C
p1
p2
p3
.
.
(Flüss.)
.
.
.
(überh.
Dampf)
.
.
.
.
.
(Flüss.)
.
.
.
(überh.
Dampf)
.
.
.
.
.
.
.
(überkrit.
Fluid)
.
p
Werte für
Trennstrich in Tabelle
...............
überkrit. Fluid
c
...............
DampfdruckFlüss.
. . . . . . . . . . .kurve
....
überh. Dampf
t
p3
v, h, s, cp,
, 

p2
p1
s (p1) s (p2 )

aus Tabelle für Nassdampfgebiet
Phasengrenzkurven
s = f(p) . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f(p) und cp’, cp’’, ’, ’’, ’, ’’ = f(p)
p
.
.
.
sowie

.
.
.
.
.
.
.
.
.
ps = f() . . . v’, v’’, h’, h’’, r, s’, s’’ = f() und cp’, cp’’, ’, ’’, ’, ’’ = f()
.
.
.
.
.
.
h
T
v" p
c
p
s(p)
h"
s(p)
x=1
c
p
h"
h'
x=1
x=0 v'
s'
s"
s
v"
h'
x=0 v'
s'
s"
s
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 6/2 -
p,v,T-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten und Darstellung der Projektionsflächen
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 6/3 -
p,v,T-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 6/4 -
p
Schmelzdruckkurven pmelt (T)
andere Fluide
überkritisches Fluid
Wasser
kritischer Punkt
c
pc
Dampfdruckkurve ps(T)
22,064 MPa
Feststoff
Flüssigkeit
inkompressible
Flüssigkeit
ps(T)
pt
reales Fluid
Tripelpunkt t
Gas
überhitzter Dampf
ideales Gas
0,6117 kPa
Sublimationsdruckkurve psubl (T)
T
Tt
Werte von Wasser
273,16 K
T
Tc
647,096 K
p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen
p
T > Tc Tc
Ts (p)
x=
überhitzter Dampf
1
inkompressible
Flüssigkeit
Tc
x=0
p
kritischer
Punkt
ns t
Flüssigkeit
Taulinie x = 1
- Zustand trocken gesättigten
Dampfes (Zeiger “ )
reales Fluid
c
p
Siedelinie x = 0
- Zustand siedender Flüssigkeit
(Zeiger ‘ )
T =co
T < Tc
überkritisches Fluid
Nassdampf
x=
t
x=
pt
v t v (p) vc
v (p)
ideales Gas
0,5
0,2
t
v
t
log v
p,v-Diagramm für Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 6/5 Tmax
p=c
onst
h=
pm
a
x
p=c
onst
v = con
st
v = const
T
con
st
x
=
überhitzter Dampf
vc
pc
0
ideales Gas
x=
inkompressible
Flüssigkeit
o n st
hc
c
Flüssigkeit
Tc
reales Fluid
h=c
kritischer Punkt
v"(p)
vt"
t
p
x = 0,4
s' p
8
0,
s t'
x=
Tt
h" (p)
p = const
0,6
t'
v = const
x=
)
h' (p
x=
0,
2
Ts (p)
p=
c
con
st
1
v=
Nassdampf
t
ons
t"
s t"
s"( p)
sc
s
T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
Tc
h" (p)
h t"
x=
kritischer Punkt
c
hc
überhitzter Dampf
x=1
Ts (p)
)
p
s(
Tt
p, T
pt ,
"
vt
pt
t"
Tt
x
v
0
t
ns
pt ,Tt
h'(p)
ht'
o
=c
=
x=
inkompressible
Flüssigkeit
0,4
pm
ax
Flüssigkeit
0,8
v"(
p)
p=
p
v= c
co
nst
T = const
co
ns
t
Tmax
h
t'
s t'
s' (p )
sc
s "(p )
s t"
Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
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- 6/6 -
Zustandsgrößen des Zweiphasengemisches Nassdampf
ps  f (T) 
 für beide Phasen
Ts  f (p) 
Siededruck (Dampfdruck, Sättigungsdruck):
Siedetemperatur (Sättigungstemperatur):
m' , V'  v' =
Anteil siedender Flüssigkeit:
V'
(6.1)
m'
V"
m"
Anteil trocken gesättigten Dampfes: m", V"  v" =
m  m' m"
Nassdampfgemisch:
Vx  V' V"
x
Dampfanteil
Dampfvolumenanteil
Spezifisches Volumen:
y
(6.3)
(6.4)
(6.2)
V
 vx  x
m
m"
m"

m m'  m"
V"
V"

Vx V ' V "
(6.6)
y  x
(6.7)
v x  v ' x  (v " v ')
x 
(6.9)
v' , v"  f (T) oder = f (p)
Spezifische Enthalpie:
(6.5)
hx  h' x  (h" h')
v"
vx
1
vx
(6.8)
(6.10)
 z. B. WDT
(6.11)
h',h"  f (T) oder =f (p)
 z. B. WDT
spezifische Verdampfungsenthalpie hv  r  h'' h'
Spezifische innere Energie:
ux  hx  ps  v x (6.13)
ps  f (T)
Spezifische Entropie:
 z. B. WDT
s x  s' x  (s" s')
(6.14)
s' , s"  f (T) oder = f (p)
Spezifische Exergie:

z. B. WDT
ex  (hx  hu )  Tu  (s x  su ) (6.15)

hu , su  f pu , Tu


z. B. WDT
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(6.12)
- 7/1 Formel-Kapitel 7 Abschnitt 1
Massebilanz
Instationär:
 m zu   m ab 
Sonderfall:
dm
dt
(7.1)
 zu , m
 ab  const im Zeitraum t
m
  m zu   m ab   t  m2  m1
(7.2)
mit t = t2 – t1 (7.3)
Stationär:
 m zu   m ab
(7.4)
(m = const im System)
1
v
Massestrom:
    V
m
Volumenstrom:
V  c  A q (7.6) A  durchströmte Querschnittsfläche
q
c  mittlere Strömungsgeschwindigkeit
über Querschnittsfläche
Einfache
Mischung
von Massen:
(7.5) ,  
 mzu   mab  m2  m1
(7.7)
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- 8/1 -
Energiebilanz  I. Hauptsatz der Thermodynamik
Energiebilanz bei ruhenden geschlossenen Systemen
V W
 diss  dU (8.1)
Instationäre Energiebilanz: Q  W
dt
Q
mit: Q 
(8.2),
dt
 V  p dV  W
 r (8.3), W
 diss  Wdiss
W
dt
dt
(8.4)
Differentielle Form
Q  WV  Wdiss  dU (8.5) mit
WV  p  dV  Wr
(8.6)
Allgemeine Zustandsänderung von Zeitpunkt  bis 
Allgemeine Form mit innerer Energie
Q12  WV12  Wdiss12  U2  U1
Form mit Enthalpie
(8.7)
Q12 
p2
 V dp  Wr12  Wdiss12  H2  H1
p1
Dissipierte Arbeiten: Wdiss12  Wel12  WW12  ...
(8.9)
Volumenänderungsarbeit: Zustandsänderung von Zeitpunkt  bis 
V2
WV12    p  dV  Wr12
(8.10)
WV   p  dV  Wr
(8.11)
V1
Äußere Nutzarbeit: (bei pu=const)
W N12  WV12  p u   V2  V1
(8.12)
pu  barometrischer Druck in Umgebung des Kolbens
WN12 
z2
 FK (z)  dz
(8.13)
z1
FK(z) - Äußere Kolbenkraft in Abhängigkeit von z
(positiv in Richtung Volumenverringerung)
z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung
Sonderfall: Adiabate Mischung Q 12  0, Wdiss12  0, Wr12  0
bei V = const
bei p = const
U1  U2
(8.14)
H1  H2
(8.15)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(8.8)
- 8/2 -
Energiebilanz bei offenen Systemen
st
 st   H
 zu
 st  dU
Q  W
 H
ab
dt
Instationäre Energiebilanz:
(8.16)
Stationäre Energiebilanz vom Eintritt  bis Austritt :
st
 diss12   H
 st   H
 st
Q 12  Pt12
W
1
2
(8.17)
Gesamtenthalpieströme:
Eintritt


1st  m
 1  h1  1  c12  g  z1  m
 1  h1st
H
2


 st  2  h2  1  c22  g  z2  m
 2  h2st
Austritt H2  m
2
(8.18)
(8.19)
Technische Nutzleistung P st  W
 st  m
  w st
t12
t12
t12 (8.20)
des Fluidstroms:
Spezifische technische
Arbeit des Fluidstroms:
w st
t12
 vdp  wr12  21  c2  c1   g   z2  z1
2
2
p1
Spezifische innere
technische Arbeit:
Sonderfall:

p2
w t12 
p2
 v  dp  wr12
(8.22)
p1
 m
1m
 2  - stationärer Fließprozeß
Ein Eintritt und ein Austritt m


st
 diss12  m
  h2  h1  1  c22  c12  g   z2  z1 
Q 12  Pt12
W
2


Differentielle Form:
q  w st
t  w diss  dh  c  dc  g  dz
(8.23)
(8.24)
mit w st
t  v  dp  wr  c  dc  g  dz (8.25)
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidströmen
H1st  H 2st
(8.26)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(8.21)



Q
 Sirr  dS
T

































irr
S 12
   


   
  


  
 



2

1
q
 sirr  ds
T

   
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 10/1 -
Exergiebilanz
Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen
Form mit Exergie der inneren Energie:
EQ12  WN12  Wdiss12  EV12  E (u) 2  E (u)1
2
E Q12 

1
T  Tu
Q
T


WN12  WV12  pu  V2  V1
WV12 
(10.1)
 Exergie der Wärme
(10.2)
 Nutzarbeit
(10.3)
 Volumenänderungsarbeit
(10.4)
 Dissipierte Arbeiten
(10.5)
 Exergieverlust im System
(10.6)
 Stoffgebundene Exergie der
inneren Energie
(10.7)
V2
 p  dV  W r12
V1
Wdiss12  Wel12  WW12  . . .
irr
E v12  Tu  S12
E (u)  m  e (u)
Form mit Exergie (der Enthalpie) bei p = const:
E Q12 Wr12  Wdiss12  Ev12  E 2  E1
E  m e
 Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)
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(10.8)
- 10/2 -
Exergiebilanz bei offenen Systemen
Stationäre Exergiebilanz vom Eintritt  bis Austritt :


 st
 st
E Q12  P tst
12  Wdiss12  E v12   E 2   E 1
(10.9)
2
mit
T  Tu 
E Q12  
Q
T
 Exergie des Wärmestroms
(10.10)
irr
E v12  Tu  S12
 Exergieverluststrom im System
(10.11)
1


2
 2  e2  1  c2
 2  e2st
E 2st  m
 g  z2   m
2
 1  e1  1  c12  g  z1  m
 1  e1st
E1st  m
2
Sonderfall:
 Exergie im Stoffstrom am Eintritt
(10.12)
 Exergie im Stoffstrom am Austritt (10.13)

 m
1  m
2
Ein Eintritt und ein Austritt m

stationärer Fließprozeß

 

st
2



    e 2 e1  1  c 2
E Q12  Pt12
W
diss12  E v12  m
2  c1  g  z 2  z1 
2

Exergetischer Wirkungsgrad:
Sonderfall:
 ex 
 E Nutzen
 E Aufwand
(10.14)
(10.15)
Adiabate Mischung von Fluidströmen
st
st
 E v12  E 2   E1
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(10.16)
- 10/3 -
Energieformen als reine Exergie
Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:
eN  wN  wv12  pu  v2  v1
Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen: et  w t 
(10.17)
p2
 v  dp  wr12
(10.18)
p1
Spez. Elektrische Arbeit:
eel  wel
(10.19)
Spez. Wellenarbeit:
eW  w W
(10.20)
Spez. kinetische Energie:
ekin  1 c2
(10.21)
Spez. potentielle Energie:
epot  g  z
(10.22)
2
Energieformen mit Exergie und Anergie
Spez. Exergie (der Enthalpie):
e  h  hu   Tu  s  su 
(10.23)
Spez. Exergie der inneren Energie:
e(u)  u  uu   Tu  s  su   pu  v  vu 
(10.24)
Spez. Exergie der Wärme:
eq 
2

1
T  Tu
q
T
Energieformen als reine Anergie
Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand:
h  f pu , Tu   hu , e u  0
Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand:
u  f pu , Tu   uu , e(u) u  0
Spez. übertragene Wärme bei T = Tu:
q12  Tu   s2  s1 , e q (T u )  0
Spez. Volumenänderungsarbeit bei p = pu:
w v12  pu   v2  v1 , ew V (pu )  0
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(10.25)
- 11/1 Formel-Kapitel 11 Abschnitt 1
Einfache technische Prozesse
Drosselentspannung
- Näherung: adiabat
  const
m
 st  H
 st
H
1
2
1
irr
S12
 m   s2  s1  (11.2)
2
p1 , T1
p2 < p1 , T2
c1 , z 1
c2 , z 2
(11.1)
 st
E
Ev12  m TU   s2  s1  (11.3), ex  2
 st
E
1
h
Sonderfall: c2  c1 , z2  z1
p1
h2  h1
1
h2 = h1
p2
h = const
v1
2
v2
s1
Reale Fluide:
(11.4)
s2
T2 < T1
falls  innerhalb Inversionskurve
T2 > T1
falls  außerhalb Inversionskurve
s
s2  s1  s(p2 ,h)  s(p1,T1)  z. B. WDT
wobei h  f(p1, T1)  z. B. WDT
Ideales Gas:
T2  T1  T
 p2 
 v2 
s 2  s 1   R  ln    R  ln  
 p1 
 v1 
Ideale Flüss.:
(11.5)
T2  T1  T und 2  1  if bzw. v 2  v1  vif
dvif
s2  s1  
(T)  p2  p1 
dT
dvif
mit
(T)
dT
(11.6)
 Abschnitt „Entropie von idealen
Flüssigkeiten und Festkörpern“
(Seite 4/3)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 11/2 -
Verdichtung (Kompression)
- Näherung: Verdichter, Pumpe - adiabat


st
Pt12
 m   h2  h1   1  c22  c12  g   z2  z1  

2

1
mit  h2  h1  
  h2s  h1 
sV
Pumpe
 WDT
p2>p1
Für ideales Gas mit c ig
pm,   const :
ig
 (T2s  T1)
h2s  h1   cpm
2
adiabat
M
M
Pst
Pst
sV
t12
1
p  
 2
1

m

m
Flüssigkeit
Für ideale Flüss. :
Gas
Dampf
h2s  h1  
1
ifm
  p2  p1  (11.11)
ifm  Stoffwerte
irr
S12
 m   s2  s1
(11.12)
Ev12  m  Tu   s2  s1
h
h2
h 2s
p2
2
2s
h1
s1
sV 
1
irr
s 12
Näherung:
wt12
s2
(11.13)
Isentroper Verdichtergütegrad
(innerer Wirkungsgrad)
p1
w t12s
(11.9)
(11.10)
T2s  T1 

 p1 
mit
t12
1
(11.8)
Für reales Fluid : h1  f(p1,T1), h2s  f(p2,s1)
Verdichter
(Kompressor)
2
(11.7)
w t12s
w t12

h2s  h1
h2  h1
(11.14)
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit cig
pm  const
oder
s
Ideale Flüss. mit cifpm  const :
T T
sV  2s 1
T2  T1
(11.15)
adiabate reversible Verdichtung ohne Änderungen von kinetischer
und potentieller Energie

2 = 2s
da s = const
 sV  1
w t12  w t12s  h 2s  h1
(11.16)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 11/3 -
Turbinenentspannung (-expansion)
- Näherung: Turbine adiabat


st
Pt12
 m   h2  h1   1  c22  c12  g   z2  z1  

2

mit h2  h1   sT   h2s  h1 
Gasturbine
Dampfturbine
Wasserturbine
(11.17)
(11.18)
Für reales Fluid : h1  f(p1,T1), h2s  f(p2,s1)

m
 WDT
Für ideales Gas mit c ig
pm,   const :
ig
 (T2s  T1)
h2s  h1   cpm
1
1
p  
 2
G
-P
adiabat
sT
mit
st
t12
2
(11.20)
T2s  T1 

 p1 
Für ideale Flüss. :
h2s  h1  
1
ifm
(11.19)
  p2  p1  (11.21)
ifm  Stoffwerte
irr
S12
 m   s2  s1
(11.22)
Ev12  m  Tu   s2  s1
h
p1
p2
Isentroper Turbinengütegrad
(innerer Turbinenwirkungsgrad)
1
h1
sT 
-w t12
h2
-w t12s
2
h2s
oder
s
if
Ideale Flüss. mit cpm  const :
irr
12
Näherung:
(11.24)
ig
s2
s
h2  h1
w t12

w t12s h2s  h1
Sonderfälle: Für Ideales Gas mit cpm  const
2s
s1
(11.23)
T  T1
sT  2
T2s  T1
(11.25)
adiabate reversible Entspannung ohne Änderungen von kinetischer
und potentieller Energie

2 = 2s
da s = const
 sT  1
w t12  w t12s  h 2s  h1 (11.26)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
Reversible Zustandsänderungen idealer Gase von  nach
pv  RT
,
cp 
Isochore
v  const
p
 const
T
Isobare
p  const
v
 const
T
Isotherme
T  const
p  v  const

R
 1
,
cv 
1
R
 1
,
cp    c v
v2
v1
p2
T2
p1
T1
v2
1
v1
p 2 T2

p1 T1
(11.29)
,
 für
cp, cv,  = const (Teil 1/2)
cp  c v  R
u 2  u1
h2  h1
s 2  s1
T2 p 2

T1 p 1
u2  u1  c v   T2  T1
h2  h1  c p   T2  T1
(11.30)
(11.31)
(11.32)
T 
s 2  s1  c v ln  2 
 T1 
(11.33)
(11.34)
v2 T2

v1 T1
p2
1
p1
T2 v 2

T1 v 1
u2  u1  c v   T2  T1
h2  h1  c p   T2  T1
(11.35)
(11.36)
(11.37)
(11.38)
T 
s 2  s1  c p ln  2 
 T1 
(11.39)
(11.40)
v2 p1

v1 p 2
p 2 v1

p1 v 2
T2
1
T1
(11.41)
(11.42)
(11.43)
u2  u1  0
h2  h1  0
(11.44)
(11.45)
p 
s 2  s1  R  ln  2 
 p1 
(11.46)
v 
s2  s1  R  ln  2 
 v1 
(11.47)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
11/4
Reversible Zustandsänderungen idealer Gase von  nach
pv  RT
,
cp 

R
 1
,
cv 
1
R
 1
v2
v1
Isentrope
s  const

p  v  const
1
p1  
v2 


v1  p 2 
p2
v2 
 
v1  T2 
p  v  const
1
(11.57)
1
T1  n1
(11.58)
T1
T2
T1

p2
p1
h2  h1
s 2  s1

 p1 


u2  u1  c v   T2  T1
h2  h1  c p   T2  T1
s 2  s1  0
T2  v1 


T1  v 2 
1
(11.54)
(11.55)
(11.56)
(11.53)
n
 T2  n1
 
 T1 
 
 p2 


T1  p1 
T2
n 1
n
(11.61)
(11.59)
n
p2  v1 
 
p1  v2 
(11.60)
u 2  u1
1
 p2  
(11.52)
(11.51)
v2  p1  n


v1  p 2 
v2 
 
v1  T2 
p1

 T2  1
cp, cv,  = const (Teil 2/2)
cp  c v  R
T2
p2  v1 


p1  v 2 
(11.49)
,
p2
(11.50)
1
T1  1
n
cp    c v
 
p1  T1 
(11.48)
Polytrope
,
 für
T2  v1 


T1  v 2 
n1
u2  u1  c v   T2  T1
h2  h1  c p   T2  T1
(11.63)
(11.64)
s 2  s1 

T 
n
 c v  ln  2 
n 1
 T1 
(11.65)
(11.62)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
11/5
Darstellung von Zustandsänderungen idealer Gase
p
technisch
interessanter
Bereich
Isochore (n =
)
T
Erwärmung
Verdichtung
technisch
interessanter
Bereich
Isochore (n =
)
Isobare (n = 0)
Zustandspunkt
1
Isobare (n = 0)
1
Isotherme (n = 1)
Isotherme (n = 1)
Polytrope
Polytrope
Entspannung
Isentrope (n =  )
Abkühlung
v
Kompression
Expansion
Isentrope (n =  )
s
Wärme-Abfuhr
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
Wärme-Zufuhr
11/6
Reversible Prozesse idealer Gase von  nach  für cp, cv,  = const (Teil 1/2)
pv  RT
,
cp 

R ,
 1
q12
Isochore
p
v  const ,  const
T
Isobare
v
p  const ,  const
T
Isotherme
T  const
p  v  const
cv 
1
R
 1
,
s  const
p  v   const
,
cp  c v  R
wv12 (bei geschlossenen Systemen)
q12  c v   T2  T1 (11.66)
q12  c p   T2  T1
(11.69)
q12   w v12   w t12
(11.72)
Isentrope
cp    c v
q12  0
(11.75)
wt12 (bei stationären offenen Systemen)
w v12  0 (11.67)
w t12  v  p 2  p1  R   T2  T1 (11.68)
w v12   p   v 2  v1   R   T2  T1
w t12  0 (11.71)
(11.70)
v 
p 
w v12  w t12  q12  R  T  ln  2   R  T  ln  2  (11.73)
 v1 
 p1 
mit: R  T  p1  v1  p 2  v 2 (11.74)
w v12  c v   T2  T1 
R
  T2  T1
1
w t12  c p   T2  T1  R 

  T2  T1
1
(11.76)
(11.80)


R  T1  p 2 
w v12 
    1 (11.77)

  1  p1 


1

R  T1  v1 
w v12 
 
 1 (11.78)


  1  v 2 


mit: R  T1  p1  v1
1
w v12   w t12 (11.79)

1





p

2

w t12 
R  T1     1 (11.81)
 p1 

 1
 

 v  1 

1
R  T1  
 1 (11.82)
w t12 


 v 2 

 1


1

Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
mit: R  T1  p1  v1
w t12    w v12 (11.83)
11/7
Reversible Prozesse idealer Gase von  nach  für cp, cv,  = const (Teil 2/2)
pv  RT
,
cp 

R ,
 1
q12
Polytrope
p  vn  const
cv 
1
R
 1
,
cp    c v
cp  c v  R
wv12 (bei geschlossenen Systemen)
q12  c v   T2  T1   w v12
(11.84)
q12  c p   T2  T1   w t12
(11.85)
q12 
,
(n)
 R   T2  T1 
(n1)(1)
(11.86)
n1


R  T1  p 2  n
w v12 
    1 (11.87)

n  1  p1 


n1

R  T1   v1 
 
w v12 
  1 (11.88)

n  1   v 2 


wt12 (bei stationären offenen Systemen)
n1


n


p
n
2

w t12 
R  T1     1 (11.91)
 p1 

n 1
 

  v n1 
n
1
w t12 
R  T1   
  1 (11.92)

  v 2 

n 1


mit: R  T1  p1  v1
w v12 =
R
  T2  T1
n-1
(11.89)
1
w v12   w t12
n
(11.90)
w t12
mit: R  T1  p1  v1
n
 R
  T2  T1 w t12  n  w v12
n 1
(11.93)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(11.94)
11/8
- 12/1 -
Eindimensionale stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen
(=const)
Gleichung des
Temperaturfeldes:
divgrad  = 0 (12.1)
Wärmestromdichte:
(Betrag)
q̂     grad  (12.2)
Wärmestrom
durch Wand:

Q  
R
Wärmeleitwiderstand:
R 
q̂ 
(12.3)
 - Wärmeleitkoeffizient
 Stoffwerte
  wi  wa
(12.4)

  Am

Q
A
(12.5)
 - Wanddicke
(12.6) A m - mittlere vom Wärmestrom
durchdrungene Fläche
Mehrschichtige Wand
R 
 R
(12.7)
j
j

Ebene Wand:
i
Wi
d
grad  
dx
(12.8)
Q λ
(x)
Q λ
Wa
Wa
Wi

Temperaturverlauf (linear)
a
Eb
 (x)  wi   wi  wa  
(x)

A
 x  xi 

(12.10)
AEb
m  a  b  Ai  A a  A  const
(12.11)
A
(a, b – Abmessungen der Wand)
xi
x
xa
  x a  x i (12.9)

Zylinderwand:
i



Rohr


Hohlzylinder 
mit Länge l
grad  
Q λ
(r)
Q λ
Wa
Wa
Wi
d
dr
Temperaturverlauf (logarithmisch)
r
ln  
Zyl
r
 (r)  wi   wi  wa    i  (12.13)
r 
ln  a 
 ri 
a
Wi
(r)

Ai
Aa
r
ri
Näherung für wandartige Gebilde
Zyl
Am
  l
ra
(12.12)
 da  di   Aa  Ai
d 
ln  a 
 di 
A 
ln  a 
 Ai 
(12.14)
logarithmisches
Mittel
  ra  ri  1  da  di  (12.15) Näherung für kanalartige Gebilde bei A a  3
2
Ai

Kugelwand:
(Hohlkugel)
grad  
d
dr
a
i
Wi

(r) 
Qλ
Wi
(12.16)
(r)

Ai
ri
Wa
Wa
Q λ
Aa
ra
r
Temperaturverlauf (hyperbolisch)
 1 1
r  r
Kug
 (12.17)
 (r)  wi   wi  wa    i
1 1 
r  r 
 i a
AKug
m 
 da  di 
1 1 
d  d 
a
 i
 Aa  Ai
(12.18)
geometrisches
Mittel
  ra  ri  1  da  di  (12.19) Näherung für geschlossene Gefäße bei A a  3
2
Ai
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 13/1 -
Eindimensionaler stationärer Wärmedurchgang (,  = const)

B
A
i
Fi
C
a
a, A a
 W2
 Wi   W1
Ebene Wand
Ai  Amj  A a  A  const
(j = A, B, C)

Q
k
 W3
i, A i
Sonderfall:
 Wa   W4
AmA AmB AmC
A
xi = x1
x2
Fa
C
B
x3
x
xa = x4
Wärmestrom:
k
Q k 
Rk
(13.1)
k  F  F
i
a
(13.2)
Rk  Ri   R j  R a
Wärmedurchgangswiderstand
(j = A,B,C) (13.3)
j
Rk 
1
1

k a  Aa ki  Ai
ka - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Aa
ka 
ki - Wärmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Fläche Ai
ki 
1
i  Ai
Wärmeübergangswiderstände
Ri 
Wärmeleitwiderstand
der Schicht j (j = A, B, C)
R 
j
(13.4)
1
Rk  A a
1
Rk  Ai
R a 
(13.5)
(13.6)
1
a  A a
(13.7)
 - Wärmeübergangskoeffizient
j
 j  Am j
(13.8)
Kontinuitätsgleichung des stationären Wärmestroms:
 Q
 Q
 Q


Q
k
i
j
a  Q
(13.9)



k
j
i
a
 
 

Q k 
(13.10), Q
(13.11),
Q
(13.12),
Q
(13.13)

i
a
j
Rk
R
R
R
i
j
a
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 13/2 -
Verallgemeinerung:

Q 
Rth
(13.14), Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von 
Berechnung des thermischen Widerstandes:
i
Fi
2
1
6
a
Fa
3
(13.15)
5
i
Rth  Ri  R1  R25  R6  R a (Reihenschaltung)

Q
4
Näherung für Vernachlässigung der W-Ströme quer:
a
1
R25

1
1
1
1



R2 R3 R 4 R5
(Parallelschaltung)
(13.16)
Wärmedurchgang bei aneinander vorbeifließenden Fluiden
(durch Wand getrennt)
.
mGl
a
A
Gl
.
mi
i
a
0
- Fluide im Gleichstrom
Geg - Fluide im Gegenstrom
.
Qk
. Geg
ma
Temperaturschaubild
Gleichstrom
Gegenstrom

i
m
 k0

Wand
i
i i
m
 k0
kA
a a
m
a a
m
0
a
A
Wand
0
A
kA
a
 a von 0 bis A :
 i und m
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen m
m
k

k0  kA
k0
ln A
k
Wärmestrom
(13.17)
m
k
Q k 
Rk
k0  Fi  Fa
0
kA  Fi  Fa
A
(13.18)
(13.19)
Hinweis:
Unterschied, ob
Gleich- oder
Gegenstrom
(13.20)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 14/1 Formel-Kapitel 14 Abschnitt 1
Konvektiver Wärmeübergang
Wärmestrom (NEWTONsches Wärmeübergangsgesetz)

Q  
R
(14.1), R 
1
A
Q     A  
(14.2)
F   W   F   W
1
2
  
ln
(14.3)
F ändert sich von F1 auf F2,
F   W
1
(14.4) bei Mittelwert W
F   W
2
  Fm  W
bei Mittelwerten für Fluidtemperatur Fm
(14.5)
und Wandtemperatur W
Wärmeübergangskoeffizient:
Reynolds-Zahl:
  Nu 
Nu - Nußelt-Zahl
lchar - charakteristische Länge
für jeweilige Geometrie

lchar
(14.6)
 bei st  Stoffwerte
c  lchar
Re 

Fluid
(14.7)
 bei st  Stoffwerte
Prandtl-Zahl:
   cp
Pr  
a

Grashof-Zahl:
1
2
- Wärmeleitkoeffizient

- dynamische Zähigkeit

- kinematische Viskosität  

- Dichte  
a
- Temperaturleitkoeff. a 
c
- Geschwindigkeit

- isobarer Volumenausdehnungskoef1  v 
fizient    v    
(14.12)
v  T  p
(14.9)
, cp,  bei st  Stoffwerte
Gr 


3
  g  lchar
 

(14.11)
 bei st  Stoffwerte

  cp
Fm  Stoffwerte
 bei
1
für ideale Gase
=
TF
g - Fallbeschleunigung
Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur:
1
v

(14.8)

(14.10)
(14.13)
st (Ausnahme Fm für )
Korrekturfaktor für Temperatur-Abhängigkeit der Stoffwerte – falls in Nu-Glg. angegeben
Gase:

KT  1 (14.14)
W 
0,14
  
Flüssigkeiten: KT  

 W 

(14.15)
Dyn. Zähigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp.  st
Dyn. Zähigkeit des Fluids bei mittlerer
Wandtemperatur  W
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 14/2 -
Freie Konvektion  Nu = f (Gr,Pr)
   A   
Q

F
W
a) Platten, Zylinder, Kugeln
1


Nu  011
,  (Gr  Pr) 3  (Gr  Pr)0,1  KT


gültig für Pr  0,5
(14.16)

(14.17)   1   
st
F
W
2

(14.18)
, 107  (Gr  Pr)  1012
lchar = Höhe bei senkrechten Wänden und Rohren
lchar = Außendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln
lchar = kleinere Seitenlänge bei waagerechter Platte
   A 
Q

W 2  W1
b) Enge Spalte
Nu  1 
k  (Gr  Pr)n
m  (Gr  Pr)
 st 

1
 W1   W2
2
(14.20)
gültig für Pr  0,5
Nu  1

W1 , W2 - Temperaturen der
Spaltoberflächen
(14.21)
, 1700  (Gr  Pr)  108
für (Gr  Pr) < 1700
W
W
1
W
(14.19)
2
q̂
1

A
B
q̂

W
A
B
C
D
E
2
q̂
q̂
1
m
3200
10100
14500
13000
4100
W
2
E

W
1
D

C
W
k
0,07
0,0236
0,119
0,025
0,043
q̂
W
2
lchar =  (Spaltbreite)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
n
1,333
1,393
1,27
1,36
1,36
(14.22)
- 14/3 -
Erzwungene Konvektion  Nu = f (Re,Pr)
a) Strömung durch Rohre Q     A 
F   W  F   W
1
2
ln
lchar  dgl
dgl 
4A q
Uq
F   W
1
    A  m  
Q
F
W

bzw.
(14.24)
F   W
2
(14.23)
(14.25)
Fm
- mittlere Fluidtemperatur
W - mittlere Wandtemperatur
F1 - Eintrittstemperatur Fluid
Aq - durchströmte
Querschnittsfläche
Uq - benetzter Umfang
F2 - Austrittstemperatur Fluid
Sonderfall: Kreisrohr dgl  d i
L
- Rohrlänge
Laminare Strömung bei Re < 2300
133
, 


dgl 


0,0677  Re  Pr 

L




K
Nu  3,66 
0,83  T


d
gl


1 01
,  Pr  Re 



L




gültig für:

st  1 F  F
2
(14.26)
1
2

(14.27)
bzw. st  Fm (Mittelwert)
d 

 Re Pr gl  2 , Pr  0,6

L  3

Turbulente Strömung bei Re  2300


Nu  0,0235 Re0,8  230




2

  dgl  3 
18
 1 
,  Pr0,3  0,8
  L  







st  1 F  F
(14.29)

1
2
2
  KT (14.28)
bzw. st  Fm (Mittelwert)


 L 
6
3

  1 , 2300  Re  10 , 0,6  Pr  10
 dgl 


  A  
b) Strömung entlang ebener Wände (Platten) Q

F1
W
gültig für:
(14.30)
lchar - Länge der Wand (Platte) in Strömungsrichtung
F1 - Anströmtemperatur des Fluids, W - mittlere Wandtemperatur
Laminare Grenzschicht bei Re < 3,5  10
1
(14.31)

st  1
 
2 F1 W
(14.32)
Pr > 0,6
Turbulente Grenzschicht bei Re  3,5  10
Nu  0,037  Re0,8 Pr0,43 KT
gültig für:

1
Nu  0,664  Re 2  Pr 3  KT
gültig für:
5
(14.33)
5
 st  F1 (14.34)
0,6  Pr  100
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 15/1 -
Wärmestrahlung
Strahlungskoeffizient
des Grauen Strahlers:
C    Cs
(15.1)
Emissionsverhältnis   Stoffwerte
Strahlungskoeffizient des
Schwarzen Strahlers
Cs  5,67051
W
m2  K4
(15.2)
 T 
Emittierter Energiestrom des grauen Strahlers: E  C  A  

 100 
4
(15.3)
Wärmestrom durch Strahlung zwischen zwei Grauen Strahlern  und 
 T  4  T  4 
Q12  C12  A1   1    2  
 100  
 100 
gilt für T1 > T2 (15.4)
Resultierender Strahlungskoeffizient
1
Für T1 > T2 gilt:
C1, A1
C12 
C2, A2
2
Q12
1
1
1
1 A1  1
1




 
12  Cs Cs C1 A2  C2 Cs 
(15.5)
C1  1  Cs (15.6)
C2  2  Cs (15.7)
T1 > T2

12  Einstrahlzahl
 Diagramme für bestimmte Geometrien
Reziprozitätsbeziehung für T2 > T1 : 21  12 
A1
A2
(15.8)
Sonderfälle:
a) Sich umhüllende Körper (12  1)
C12 
1
Q12
2
1
1 A1  1
1 



C1 A2  C2 Cs 
gilt für  innerer Körper und
(15.9) für T > T
1
2
Anwendung möglich, falls innerer Körper  nahezu durch
Körper  umhüllt
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 15/2 -
b) Unendlich großer Raum  (12  1)
A1
0
A2
 C1 gilt für T1 > T2
bei: A2  A1
1
2
Q12
C12

(15.10)
Anwendung möglich, falls umhüllender Körper  viel größer als
innerer Körper 
c)  und  unendlich große parallele Wände (12  21  1)
bei: A2  A1
1
2
C12 
Q12

A1
 1 (15.11)
A2
1
 C21 für T1 > T2 und T2 > T1 (15.12)
1
1
1


C1 C2 Cs
Anwendung möglich, falls Abstand viel kleiner als Abmessungen
der Wände
Wärmeübergangskoeffizient durch Strahlung
1
 Str
2 =u
Q12
Umgebung
 T 4  T 4 
 1    2  
100 
 100   (15.13)
Str  C12   


(T1  T2 )




Falls Umgebung viel größer als Körper  gilt
C12  C1  1  CS (15.14)
Strahlungsschirm
Stationärer Wärmestrom mit Strahlungsschirm
Strahlungsschirm (Sch)
1
3
Q12
2
Sch
Q12
 Q13  Q32 (15.15)
Sch
Q12

1
1
1

A1  C13 A3  C32
 T 4  T 4 
  1    2  
 100  
 100 
(15.16)
Temperatur des Strahlungsschirmes (auf beiden Seiten
gleich)
4
 T 
 T 
C13  A1   1   C32  A3   2 
4
 T3 
 100 
 100 
 100  
C13  A1  C32  A3


4
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(15.17)
- 15/3 -
- 15/4 -
- 15/5 -
- 16/1 -
Rekuperatoren (Wärmetauscher)
Festlegungen:
m
Q  k f  Af  ∆HK
(16.1) f – Flächenbezug
f = i – Innenfläche
f = a - Außenfläche
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen
Heiz- und Kühlmedium:
m
∆HK

0
A
∆HK
 ∆HK
 ∆ 0 
ln  HK 
 ∆ A 
 HK 
2 - jeweils Austritt von H und K
(16.2)
0 - Eintritt Heizmedium
(a = 0)
0
Gegenstrom: ∆HK
 H1  K2
A - Austritt Heizmedium
(a = A)
(16.5)
A
∆HK
 H2  K1 (16.6)
  C :
Sonderfall bei Gegenstrom und C
H
K
Q  CH  ∆H
(16.8) ,
K - Kühlmedium
 nimmt Wärme auf
1 - jeweils Eintritt von H und K
0
Gleichstrom: ∆HK
 H1  K1 (16.3)
A
∆HK
 H2  K2 (16.4)
m
0
A
∆HK
 ∆HK
 ∆HK
H - Heizmedium
 gibt Wärme ab
a - laufende Heizfläche
(a = 0 ... A)
A - Heizfläche des
Wärmeübertragers
(16.7)
∆H  H1  H2
(16.9) ,
 m
 H  cm
C
H
pH
(16.10) ,
H1
H2


cpH  (H1  o )  cpH
 (H2  o )

o
 h  h   o

m
Mittelwert: cpH
 H1 H2  
(H1  H2 )
H1  H2 
o – Bezugstemperatur für cpH
m
1
Näherung: cpH  2 cpH (H1)  cpH (H2 )
 C
  ∆
Q
K
K
(16.13),
 m
 K  cm
∆K  K2  K1 (16.14) , C
K
pK
H1
-Werte
o
(16.12) Stoffwerte
(16.15) ,
K2
K1


cpK
 (K2  o )  cpK  (K1  o )

o
 h  h   o

m
 K2 K1  
Mittelwert: cpK




(


)
 K2 K1 
K2
K1
o – Bezugstemperatur für cpK
m
1
Näherung: cpK  2 cpK (K1)  cpK (K2 )
  cp
Wärmekapazitätsstrom: C  m
(16.11)
(16.16)
K1
-Werte
o
(16.17) Stoffwerte
(16.18)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 16/2 -
  C
  ∆ max
Q
H
H
HK
  C
  ∆ max
Q
K
K
HK
(16.19)
(16.20)
Maximale Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Kühlmedium
max
∆HK
 H1  K1 (16.21)
H 
Betriebscharakteristika
∆H
K 
(16.22)
max
∆HK
C
Falls  H  1
CK
∆K
max
∆HK
(16.23)
C
Falls  H >1
CK
f – Flächenbezug
f = i – Innenfläche
(16.24)
f = a - Außenfläche
 k  A C 
H  f  f  f ;  H 
 CH CK 
k f  Af
∆ H

m
C H
∆ HK
Übertragerzahl
(16.26)
k A
C 
K  f  f  f ;  K 
 CK CH 
k f  Af
∆ K

m
C K
∆ HK
(16.25)
(16.27)
Umrechnungen
C
H   K K
CH
C
K   H H
CK
(16.28)
k f  Af k f  Af C K
 

C H
CK C H
(16.29)
k f  Af k f  Af C H
 

C K
CH C K
(16.30)
(16.31)
 Berechnungsgleichungen in folgender Tabelle und in den nachfolgenden
Diagrammen für:
- reinen Gleichströmer
- reinen Gegenströmer
- reinen Kreuzströmer
Sonderfall: Verdampfer  K = 0
 K  h K2 h K1
Q  m
(16.32) ,
C H
0
C K
(16.33) in den Diagrammen
C K
0
C H
(16.35) in den Diagrammen
Sonderfall: Kondensator  H = 0

 H  h H1  h H2
Q  m

(16.34) ,
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 16/3 -
Berechnungsgleichungen für
Strömungsverlauf

ausgewählter Wärmeübertrager
Berechnungsgleichung
Gleichstromwärmeübertrager
  C  k  A 
1  EXP    1   H   f  f 
  CK  CH 
H 
C
1  H
CK
(16.36)
Gegenstromwärmeübertrager
  C  k  A 
1  EXP    1   H   f  f 
C H
  CK  CH 

1:


H
  C  k  A 
C K
C
1   H  EXP    1   H   f  f 
C
  C  C 
K
k f  Af
C H
C H

1:


H
k A
C K
1 f  f
CH
K
H
(16.37)
(16.38)
Kreuzstromwärmeübertrager

 k f  Af 

 
 k  A  m  C H 
1

H 
  1  EXP   f  f   
kA
j!
CH  j =0

m=0  
C K


 

 k f  Af 


 k  A  m  C K 
 1  EXP   f  f   
j!
CK  j =0




j






j 

 



 
(16.39)
f – Flächenbezug
f = i – Innenfläche
f = a - Außenfläche
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 16/4 -
Betriebscharakteristik ߶ eines reinen Gleichströmers
Berechnet nach VDI Heat Atlas 2010
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Cሶ H
Cሶ K
0,7
0,8
0,9
1
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
ΦH
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
0
0,1
0,2
0,3
Bearbeitet von Dipl.-Ing. (FH) G. Keuchel
0,4
0,5
0,6
ΦK
0,7
0,8
0,9
1
Hochschule Zittau/Görlitz
Prof. Dr. -Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Dr.-Ing. S. Herrmann
www.thermodynamik-zittau.de
Cሶ K
Cሶ H
‐ 16/5 -
Betriebscharakteristik
eines reinen Gegenströmers
Berechnet nach VDI Heat Atlas 2010
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
CH
CK
∞
0,7
0,9
0,8
∞
1
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
ΦH
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
0
0,1
0,2
0,3
Bearbeitet von Dipl.-Ing. (FH) G. Keuchel
0,4
0,5
0,6
ΦK
0,7
0,8
0,9
1
Hochschule Zittau/Görlitz
Prof. Dr. -Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Dr.-Ing. S. Herrmann
www.thermodynamik-zittau.de
CK
CH
‐ 16/6 -
Betriebscharakteristik ߶ eines reinen Kreuzströmers
Berechnet nach VDI Heat Atlas 2010
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Cሶ H
Cሶ K
0,7
0,9
0,8
1
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
ΦH
0,6
Cሶ K
Cሶ H
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
0
0,1
0,2
0,3
Bearbeitet von Dipl.-Ing. (FH) G. Keuchel
0,4
0,5
0,6
ΦK
0,7
0,8
0,9
1
Hochschule Zittau/Görlitz
Prof. Dr. -Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Dr.-Ing. S. Herrmann
www.thermodynamik-zittau.de
- 17/1 Formel-Kapitel 17 Abschnitt 1
Instationäre Wärmeleitung
Zugeführte bzw. abgeführte Wärme
Q(t)    V  cp   m (t)  o 
(17.1)
m(t) - mittlere Temperatur des Körpers zur Zeit t
Quasistatische instationäre Wärmeleitung
Näherung für langsame Erwärmung bzw. Abkühlung von kleinen Körpern mit guten
Wärmeleiteigenschaften
 Mitteltemperatur m im gesamten Körper gleich groß
Anfangstemperatur 0 im
gesamten Körper gleich
Körper mit
- Masse m
- Oberfläche A
- cp
Eintauchen in Fluid zur Zeit t0 = 0
Fluid mit Temperatur F = const

Mittlere Temperatur im Körper m = f(t)
verändert sich mit der Zeit t
Definition:
Normierte Mitteltemperatur
m 
Normierte Mitteltemperatur als
Funktion der Zeit:
m  F
o  F
   A 
m (t)  exp  
 t
 m  cp 
(17.2)
(17.3)
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
- 17/2 -
Analytische Lösung nach Gröber
für symmetrische Bedingungen
Körper mit
- m, , cp
- geometrische
Länge Lgeo
Anfangstemperatur 0 im
gesamten Körper gleich
Eintauchen in Fluid zur Zeit t0 = 0
Fluid mit Temperatur F = const
Temperatur an Oberfläche W = f(t)

Temperatur im Kern K = f(t)
Mitteltemperatur m = f(t)
des Körpers
Funktionaler Zusammenhang
Normierte
Übertemperaturen
Wärmeübergang und
Wärmeleitung nahe der
Wandoberfläche
Normierte Zeit
Fourier-Zahl
K 
K  F
o  F
W 
W  F
o  F
  F
m  m
o  F
(17.4)
(17.5)
Fo  t 
mit:
Biot-Zahl
a
L2geo
a
(17.7)

  cp
(17.8)
(17.6)
Bi   
L geo

(17.9)
bei W bekannt:
Bi =  und
Berechnung für
F = W
(17.10)
im Diagramm
für
 Unendliche ebene Wand (Platte)
 Unendlich langer Zylinder
 Vollkugel

;  - Wanddicke
2
d
L geo 
; d - Durchmesser
2
d
L geo 
; d - Durchmesser
2
L geo 
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
(17.11)
(17.12)
(17.13)
- 17/3 -
Näherungen für ähnliche Geometrien:
V
A
Plattenähnliche Gebilde
Lgeo 
Zylinderähnliche Gebilde
Lgeo  2 
(17.15)
Kugelähnliche Gebilde
Lgeo
(17.16)
(17.14)
V
A
V
 3
A
V - Volumen
A - Oberfläche
des vorliegenden
Körpers
Superpositionsprinzip
  x  y  z
(17.17)
Beispiel: Endlicher Zylinder als Überlagerung von:
unendlich
große Platte
(Pl)



unendlich
langer Zylinder
(Zyl)
d





Temperatur an Stelle  :   KPl  KZyl

Zyl
 :    KPl  W
Pl
Zyl
 W
 :   W
Pl
 KZyl
 :   W
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
5
01
0, 2
0
0,
02
0,
0, 004
0 0
0 , ,0 0 0 6
01 8
0
- 17/4 -
Fo
5
∞
03
0,
04
0, 5
0
0, 06
0, 8
0
0, 0
0 ,1
0 ,1
0,2
4
10,0
0,3
0,
6
4,0
0,00
1
0, 0
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
0,
0
2,
0
1,
Bi
W
unendliche Platte
Wandtemperatur
0,00
1
02
- 17/5 -
5
0,1
0,2
03
0, 4
0
0, 05
0, 06
0, 8
0
0, 0
0,1
5
01
0, 02
0,
04
0
0, ,006
0, 00
01 8
0
0,0
0,0
0,3
0 ,4
0,6
1,0
2,0
4,0
,0
10
∞
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
Fo
Bi
K
unendliche Platte
Kerntemperatur
02
1
0,0
0
0,
- 17/6 -
5
0,6
0 ,4
0,3
0,2
0 ,1
03
0, 4
0
0, 05
0, ,06
0
8
0,0 0
0,1
5
01
0, 2
0
0,
0
01
0,
0,
00
4
0, 0 0
00 6
8
0 ,0
1, 0
0
2,
0
4,
,0
10
∞
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
Fo
Bi
m
unendliche Platte
energetische Mitteltemperatur
0,
0
0,
- 17/7 -
Fo
5
01
02
0,
∞
01
0,
0
10,
03
0,
04
0, 5
0
0, 6
0
0,
08
0, 0
0,1
15
0,
0,2
0,3
0 ,4
0,6
1, 0
4 ,0
02
00
0
4
0, ,00
00 6
8
0,00
1
0,0
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2,
0
Bi
W
unendlicher Zylinder
Wandtemperatur
01
0 ,0
2
0,
0,
- 17/8 -
5
1,0
0 ,6
0 ,4
0,3
0 ,2
0 ,1
03
0,
4
0,0 5
0,0 6
0 ,0 8
0 ,0 0
0,1
5
01
0, 2
0,0
6
00
0, 8
00 0
01
0,
00
4
0,
00
2,0
4,0
0
10,
∞
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
Fo
Bi
K
unendlicher Zylinder
Kerntemperatur
0,
01
0,
02
5
01
0
0,
- 17/9 -
03
0,
4
0,0 5
0,0
6
0,0
8
0 ,0 1 0
0,
0 ,1
5
0 ,2
0,3
0 ,4
0,6
1 ,0
2 ,0
0
4,
,0
10
∞
Fo
6
8
4
00
0,
00
02
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
0 ,0
01
0,0
0,
00
0,
Bi
m
unendlicher Zylinder
energetische Mitteltemperatur
4
00
0,
6
00
0, 08
0
0 , 010
0,
Fo
- 17/10 -
∞
5
01
0, 2
0
0,
0
0
10,
03
0,
4
0,0 5
0,0 6
0, 0
8
0 ,0 0
0,1
5
0,1
0,2
0,3
0 ,4
6
0,
0
1,
2,
4 ,0
Bi
01
02
0,
0
0, 0
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
W
Kugel
Wandtemperatur
00
0,
2
4
00
0,
6
00
0, 08
0 0
0,
01
0,
5
01
0,
02
0,
- 17/11 -
3
0,0
4
0,0 5
0
0, 06
0, 8
0
0, 0
0,1
5
0 ,1
2,0
4,0
10
,0
∞
Fo
0,2
0,3
0 ,4
1, 0
0,6
Bi
01
0 ,0
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
K
Kugel
Kerntemperatur
2
00
0,
4
00
0,
6
00
8
0,
00
0, 10
0
0,
5
01
0,
2
0,0
- 17/12 -
3
0 ,0
4
0,0 5
0
0, 06
0,
08
0, 0
0,1
5
0, 1
0,2
0,3
0,4
0 ,6
1, 0
2,0
4,0
,0
10
∞
Fo
Bi
01
0,0
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar, Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik
m
Kugel
energetische Mitteltemperatur