Mitschrieb zur Vorlesung: Einführung in die Flavourphysik

Mitschrieb zur Vorlesung:
Einführung in die Flavourphysik
Prof. Dr. Nierste
Vorlesung Wintersemester 2008/2009
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 8. Februar 2009
Mitschrieb der Vorlesung Einführung in die Flavourphysik
von Herrn Prof. Dr. Nierste und Herrn Dr. im Wintersemester 2008/2009
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Überblick
1.1 Standard-Parametrisierung der CKM-Matrix . . . .
1.2 Meson-Antimeson-Mischung . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die drei Arten der CP-Verletzung . . . . . . . . . . .
1.4 Geschichte der Flavour-Physik . . . . . . . . . . . .
1.5 Übersicht über die Messungen von CKM-Elementen
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5
8
12
13
14
15
2 Flavour im Standardmodell
2.1 Elemente der Quantenfeldtheorie . . . . . .
2.2 Feld-Quantisierung . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Skalare Felder . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Dirac-Felder . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zeitordnungsoperator und Greenfunktion .
2.4 Einführung von Wechselwirkungen . . . . .
2.5 Eichwechselwirkungen des Standardmodells
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19
19
21
21
21
22
23
24
25
Quantenchromodynamik (QCD)
Feynman-Regeln der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Yukawa-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskrete Symmetrien C, P, T . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Raumspiegelung und Zeitumkehr . . . . . . . . . . .
3.3.2 Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung (und Ergänzung) für chirale Quarkfelder
CPT -Theorem (nach Lüders, Pauli, Zumino und Schwinger)
Einbau von Mesonen in die Theorie . . . . . . . . . . . . . .
Flavour-ändernde neutrale Ströme . . . . . . . . . . . . . .
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29
30
32
37
37
41
43
45
45
46
Quantenchromodynamik
Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Schritt: Regularisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung oder auch Was bisher geschah“ . . . . . .
”
Multiplikative Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systematik der Schleifenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . .
Entkopplungstheorem (Appelquist-Carrazone-Theorem) . . .
Anomale Dimension der Quarkmasse (Laufende Quarkmasse)
4.7.1 Anomale Dimension des Quarkfeldes . . . . . . . . . .
4.8 Flavoursymmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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49
49
50
53
53
55
61
65
67
68
5 Exklusive (semi-)leptonische Zerfälle
5.1 Semileptonische Zerfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Effektive Feldtheorien: Schwacher Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Meson-Zerfälle, direkte CP-Asymmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
73
78
85
6 Literatur
87
3 Die
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4 Die
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
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3
Kapitel 1
Überblick
Wir betrachten die Anordnung von Quarks und Leptonen in den bekannten drei Familien (Generationen) des
Standardmodells:
Quarks
Leptonen
(u, d)
(e, νe )
(c, s)
(µ, νµ )
(t, b)
(τ, ντ )
Wir werden häufig von einer alternativen Notation Gebrauch machen:
u1 = u ,
l1 = e ,
u2 = c ,
u3 = t ,
l2 = µ, , l3 = τ ,
d1 = d ,
νl1 = νe ,
d2 = s ,
νl2 = νµ ,
d3 = b ,
νl3 = ντ .
Die elektrische Ladung der Teilchen ist gegeben durch:
Q(ui ) =
2
,
3
1
Q(di ) = − ,
3
Q(li ) = 1 ,
Q(νli ) = 0 .
Der Begriff Flavour“ bedeutet nichts anderes als Fermionspezies. Es
”
```
```
Quark
`
u
d
s
Flavour-QZ `````
U
1
0
0
D
0
-1
0
Strangeness S
0
0
-1
Charm C
0
0
0
0
0
0
Beauty B
T
0
0
0
Baryonzahl
1/3 1/3 1/3
gibt folgende Flavour-Quantenzahlen:
c
b
t
0
0
0
1
0
0
1/3
0
0
0
0
-1
0
1/3
0
0
0
0
0
1
1/3
Diese Quantenzahlen wurde vor dem Quarkmodell entdeckt. Man hat sie eingeführt, um Auswahlregeln zu
beschreiben. Eine weitere Quantenzahl ist der starke Isospin. Die starke Wechselwirkung respektiert die Isospinsymmetrie. Das heißt, man kann Zustände ineinander rotieren, ohne dass sich die Physik ändert.
• Das Dublett (u, d) hat
µ
¶
1
1/2
I = , I3 =
.
−1/2
2
(2)
• s, c, b und t haben I = 0.
Kommen wir zu den Lepton-Zahlen:
• e, νe haben L1 = Le = 1, Lµ = Lτ = 0.
• µ, νµ haben L2 = Lµ = 1, Lτ = L3 = 0.
Die Gesamt-Leptonzahl ist gegeben durch L = Le + Lµ + Lτ . Die starke Wechselwirkung (QCD) führt zum
Confinement der Quarks. Wir beobachten keine freien Quarks, sondern Bindungszustände, sogenannte Hadronen. Es gibt zwei Kategorien von Hadronen, nämlich Mesonen und Baryonen. Im naiven Quarkmodell
5
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
ist das Meson ein Quark-Antiquark-System: qq. Hinzu kommt eine beliebige Anzahl von Gluonen und QuarkAntiquark-Paaren desselben Flavours, die sogenannten See-Quarks. Baryonen sind 3-Quark-Systeme.
Besser: Ein Hadron h ist ein Eigenzustand zu Hstark = HQCD , dem Hamilton-Operator der starken Wechselwirkung, also
HQCD |h(p)i = Ep |h(p)i ,
(3)
p
M 2 + p2 ,
(4)
mit
Ep =
wobei M , p und Ep Masse, Impuls und Energie des Hadrons h sind und
~ = c = 1,
(5)
gesetzt ist. Oft verwendet man die Einheiten
1 fm = 10−15 m = (0, 2 GeV)−1 ,
1 GeV = 1, 8 · 10−27 kg ,
1 GeV = 6, 582 · 10−13 ps−1 .
(6)
Die starke Wechselwirkung respektiert die Flavour-Quantenzahlen in (1). Es sind somit gute Quantenzahlen,
die benutzt werden können, um die Eigenzustände zu kennzeichnen. Beispiel:
¯
À
¯
¯I3 = 1 , S = 1, C = B = T = 0; p = |u, si = |K + (p)i .
(7)
¯
2
Man schreibt kurz K + ∼ su. (Dies bedeutet, dass K + die gleichen Flavour-Quantenzahlen hat wie ein suSystem. Unter Flavourphysik im engeren Sinne versteht man die Physik flavour-ändernder Übergänge
und ist ein Teilgebiet der schwachen Wechselwirkung. Im weiteren Sinne umfasst das Gebiet auch HadronSpektroskopie (∼ QCD) und die Bestimmung von Quarkmassen aus starken und elektromagnetischen Prozessen. Flavourphysik ist Thema des Nobelpreises 2008 und außerdem Thema des O-Phasen-T-Shirts 2008.
Flavouränderung findet im Standardmodell ausschließlich durch Wechselwirkung mit W-Bosonen statt.
g2 ist hierbei die schwache Kopplungskonstante. PL ist ein Projektor auf linkshändige Felder. W-Bosonen
koppeln nur an linkshändige Anteile der Quark- und Leptonfelder. Die Vij = Vui ,dj bilden die CabbiboKobayashi-Maskawa-Matrix (CKM-Matrix):


Vud Vus Vub
V =  Vcd Vcs Vcb  .
(9)
Vtd Vts Vtb
Die 2 × 2-Untermatrix
µ
¶
Vud Vus
,
Vcd Vcs
bezeichnet man auch als Cabibbo-Matrix. Die CKM-Matrix ist unitär:
V V † = V †V = 1 .
(10)
V V † = 1 bedeutet für Zeilen von V :
3
X
|Vij |2 = 1 für i = 1, 2, 3 .
(11)
j=1
Weiterhin gilt
3
X
∗
Vik Vjk
= 0 für i 6= j .
(12)
k=1
Gleichung (11) stellt drei Bedingungen und Gleichung (12) sechs Bedingungen (Real- und Imaginärteil) an die
18 Real- und Imaginärteile der Vij . Damit hat eine unitäre 3 × 3-Matrix neun freie Parameter und zwar drei
Winkel und sechs Phasen. Die Physik des Standardmodells ist invariant unter Phasentransformationen der
Felder
dj 7→ exp(iϕd,j )dj ,
ui 7→ exp(iϕu,i )ui .
(13)
6
Das liegt daran, dass die Felder eine U(1)-Quantenzahl (Baryonzahl) tragen. Dies impliziert, dass die CKMElemente um eine Phase gedreht werden:
Vij 7→ Vij exp(i(ϕd,j − ϕu,i )) .
(14)
Diese Eigenschaft nutzt man dazu aus, um möglichst viele Phasen der CKM-Matrix loszuwerden. In der 2 × 2Cabibbo-Matrix kann man dadurch alle Phasen wegrotieren. Dies ist jedoch bei der CKM-Matrix nicht mehr
möglich, weil die Anzahl der freien Parameter stärker wächst als die Anzahl Phasen, die man bei den obigen
Transformationen einführen kann.
Also ändert die Multiplikation der i-ten Zeile/j-ten Spalte mit einer beliebigen Phase ϕu,i und ϕd,j die Physik
nicht. Aus sechs Phasen folgen fünf unabhängige Phasendifferenzen ϕd,j − ϕu,i in (14). Also sind fünf der sechs
Phasen in V unphysikalisch und können wegrotiert werden. Die unphysikalische Phase in V heißt KobayashiMaskwawa-Phase und verletzt die CP-Symmetrie.
Die zweite Unitaritätsbedingung V † V = 1 (10) liefert Eigenschaften der Spalten, unter anderem
3
X
∗
Vki
Vkj = 0 für i 6= j .
(15)
k=1
(12) und (15) definieren sechs Unitaritätsdreiecke. Das wichtigste erhält man, indem man in Gleichung (15)
(j, i) = (3, 1) setzt.
∗
Vub
Vud + Vcb∗ Vcd + Vtb∗ Vtd = 0 .
(16)
Dies ist nichts anderes als ein Dreieck in der komplexen Ebene:
Die Phasentransformation (14) dreht das Dreieck. Die Form bleibt gleich. Daraus kann man schließen, dass die
Winkel, Seitenlängen und Flächen physikalische Größen sind. Zur Berechnung der Fläche F : Wähle ϕb − ϕc
und ϕc − ϕd in (14) so, dass Vcb∗ Vcd ∈ R− .
∗
h = Im(Vub
Vud ) ,
F =
1
h|Vcb∗ Vcd | .
2
1
∗
∗
F = − Im(Vub
Vud Vcb Vcd
).
(17)
2
(17) ist invariant unter bezüglich (14) und gilt somit in jeder Phasenkonvention. Es gilt F = 1/2J mit der
Jarlskog-Invarianten J:
∗
σik σjl J = Im[Vij Vil∗ Vkl Vkj
],
wobei hier nicht über wiederholte Indizes summiert wird. Weiterhin ist

für (i, k) = (1, 2), (2, 3), (3, 1)
 1
X
−1 für (i, k) = (2, 1) = (2, 1), (3, 2), (1, 3) .
εikm =
σik =

m
0
für i = k
7
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
(18) hängt nicht von i, j, k und l ab. Beispielsweise gilt
J
i=j=1
k=2,l=3
=
i=j=1
∗
∗ k=l=2
∗
∗
= −Im(Vud Vub
Vcb Vcd
) = −Im(Vud Vus
Vcs Vcd
).
(19)
Damit haben alle sechs Unitaritätsdreiecke die gleiche Fläche.
1.1
Standard-Parametrisierung der CKM-Matrix
Wir verwenden die Bezeichnungen sij = sin θij und cij = cos θij . θij entspricht der Rotation zwischen der i-ten
und j-ten Generation.


c12 c13
s12 c13
s13 exp(−iδ13 )
.
s23 c13
(20)
V = −s12 c23 − c12 s23 s13 exp(iδ13 ) c12 c23 − s12 s23 s13 exp(iδ13 )
c12 c23 − s12 s23 s13 exp(iδ13 ) −c12 s23 − s12 c23 s13 exp(iδ13 )
c23 c13
Vier Elemente sind reell und positiv: Vud , Vus , Vcb und Vtb . θ12 heißt Cabibbo-Winkel und δ13 nennt man
Kobayashi-Maskawa-Phase.
Die Winkel des Unitaritätsdreiecks sind gegeben durch
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∗
Vbd Vtd∗
Vcd Vcb∗
Vud Vub
α = ϕ2 = arg −
,
β
=
ϕ
=
arg
−
,
γ
=
ϕ
=
arg
−
.
(21)
1
3
∗
Vud Vub
Vtd Vtb∗
Vcd Vcb∗
Die Standard-Parametrisierung ist unhandlich, weshalb man oft die Wolfenstein-Parametrisierung verwendet,
die ausnutzt, dass der Winkel θ12 klein ist.
λ = s12 ,
A=
s23
,
λ2
% + iη =
s13 exp(iδ13 )
.
Aλ3
(22)
Man führt dann eine Entwicklung in λ = 0, 22 durch:

2
1 − λ2
λ
2

V =
−λ
1 − λ2
Aλ3 (1 − % − iη) −Aλ2

Aλ3 (% − iη)
 + O(λ4 ) .
Aλ2
1
(23)
Diese Entwicklung war gut genug bis zum Jahr 2000, ist aber mittlerweile zu grob für die Präzision von BELLE,
CDF und BaBar. Das wichtigste Unitaritätsdreieck ist ein reskaliertes, das aus der Division von (16) durch
−Vcb∗ Vcd (die Basis) folgt. Dieses bezeichnet man oft als das Unitaritätsdreieck“. Das Dreieck kann dann durch
”
seine Spitze klassifiziert werden.
% + iη := −
∗
Vud Vub
.
Vud Vcb∗
(24)
Die Seitenlängen sind gegeben durch
¯
¯ ∗
¯ q
¯
∗ ¯
¯ Vud Vub
¯ Vtb Vtd ¯ q
2
2
¯
¯
¯
¯ = (1 − %)2 + η 2 ,
Ru = ¯
= % + η , Rt = ¯
Vcd Vcb∗ ¯
Vcd Vcb∗ ¯
und die Winkel können berechnet werden nach
µ
¶
µ ¶
η
η
, β = arctan
,
γ = arctan
%
1−%
µ
α = arctan
η
2
η + %(% − 1)
¶
.
(26)
8
1.1. STANDARD-PARAMETRISIERUNG DER CKM-MATRIX
Die Ausmessung dieses Dreicks hat in den letzten Jahren viel Aktivität in der experimentellen Teilchenphysik
eingenommen. Das reskalierte Unitaritätsdreieck liefert
% + iη + (1 − % − iη) = 1 .
Ausgedrückt durch Ru , Rt , γ und β lautet diese Gleichung
Ru exp(iγ) + Rt exp(−iβ) = 1 .
(27)
Das wichtige an dieser Beziehung ist, dass die Seiten Ru , Rt mit den Winkel γ und β verknüpft werden.
Wolfenstein-Parameter:
¶
¶
µ
µ
λ2
λ2
4
+ O(λ ) , η = η 1 −
+ O(λ4 ) .
(28)
%=% 1−
2
2
Für die Bs -Physik brauchen wir
µ
¶
Vts Vtb∗
βs = arg −
= λ2 η + O(λ4 ) = 0, 02 .
Vcs Vcb∗
(29)
Für V in (20) gibt es bis auf Korrekturen der Ordnung λ4 :
Vub = |Vub | exp(−iγ) ,
Vtd = |Vtd | exp(−iβ) ,
Vts = |Vts | exp(iβs ) ,
(30)
und alle anderen Elemente sind reell. Die Phasen in (29) stimmen bis auf Terme der Ordnung λ4 , also 0, 1◦ ≈
arg(−Vcd ), also γ = δ13 + O(0, 1◦ ) .
Die starke Wechselwirkung respektiert bestimmte diskrete Symmetrien:
• Ladungskonjugation C:
C|h(p)i = |h(p)i ,
(31)
wobei h(p) ein Hadron und h(p) ein Antihadron ist.
• Paritätstransformation (Raumspiegelung) P:
P|h(p)i = ηp |h(−p)i ,
ηp = ±1 .
(32)
• Zeitumkehr T :
T |h(p)i = |h(−p)i∗ .
(33)
Zu beachten ist, dass diese Transformation antilinear ist.
Es ist C 2 = P 2 = T 2 = 1 und C, P, T vertauschen. Die Kombination CPT ist in jeder Quantenfeldtheorie
erhalten (CPT-Theorem von Lüders, Pauli):
[H, CPT ] = 0 .
Für ein Hadron mit Masse M gilt im Ruhesystem (p = 0, ηp = 1)
CPT |hi = |hi∗ ,
M |hi = H|hi = HCPT |hi∗ ⇒ M CPT |hi = M |hi∗ = H|hi∗ .
Somit haben Hadron h und Antihadron h dieselbe Masse und außerdem dieselbe Lebensdauer. Wegen [P, Hstark ] =
0 können wir allen Hadronen eine Paritätsquantenzahl (+1 oder -1) zuordnen; beispielsweise gilt P|πi = −|πi.
Einige neutrale Mesonen sind Eigenzustände zu C. Beispielsweise gilt C|π 0 i = |π 0 i, das heißt π0 ist ein Meson
mit J PC = 0−+ (Pseudoskalar). Die Grundzustandsmesonen sind stabil bezüglich der QCD und diese sind alle
0− . Man kann die Grundzustandsmesonen als Oktett (nach Gell-Mann, Ne’eman) anordnen:
9
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
1
π0 ∼ √ (uu − dd) ,
2
1
η ≈ √ (uu + dd − 2ss) ,
6
I = 0.
Es gilt mπ = 140 MeV, mK = 495 MeV und mη = 548 MeV. Weiterhin gibt es ein wesentlich schwereres
Singulett, nämlich
1
η 1 ≈ √ (uu + dd + ss) .
3
In der Realität mischen η und η 0 (mit einem kleinen Mischungswinkel).
Ebenso lassen sich die Vektormesonen 1− in einem Multiplett anordnen.
10
1.1. STANDARD-PARAMETRISIERUNG DER CKM-MATRIX
φ ∼ ss ,
1
ω ∼ √ (uu + dd) ,
2
sind Linearkombinationen aus dem Oktettzustand mit I = 0, S = 0 und dem Singulett. Die Ursache dieser
Schemata (Multipletts) ist, dass Hstark eine näherungsweise SU(3)-Flavoursymmetrie aufweist.
 
 
u
u
SU(3)F : d 7→ U d ,
(36)
s
s
mit U † U = 1 und det(U ) = 1. Diese Symmetrie gilt nicht exakt, sondern ist durch die unterschiedlichen
Quarkmassen gebrochen. Auch bei den Baryonen gibt es ein Oktett
11
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
1
1
Λ ∼ √ s(ud + du) , Σ0 ∼ √ s(ud − du) .
2
2
Außerdem gibt es auch noch ein Dekuplett.
1.2
Meson-Antimeson-Mischung
0
Man beobachtet die Zerfälle K0 → π0 π0 , π+ π− und K 7→ π0 π0 , π+ π− .
Da in jeder QFT alle realen Teilchen auch als virtuelle Teilchen auftreten können, kann man ein Diagramm
spiegeln: Gell-Mann uns Pais (1955) sagten vorher, dass K0 und K0 mischen zu Kl und Ks (wobei die Indizes l bzw. s für long bzw. short stehen). Überlegung: |K 0 i und |K 0 i sind exakt entartete (CPT-Theorem)
Eigenzustände zu Hstark + Hem , aber nicht zu H = Hem + Hstark + Hschwach . Damals hat man geglaubt, dass
die diskreten Symmetrien erhalten sind, also beispielsweise [CP, H] = 0 gilt. Heute weiß man jedoch, dass
[CP, H]Kaon ≈ 0 gilt; im Kaon-System also eine kleine CP-Verletzung auftritt. Also sind |KCP+ i und |KCP− i
(approximative) Eigenzustände zu H. Weil KCP− 6→ π+ π− , π0 , π0 stark unterdrückt ist: Wenn CP exakt
erhalten wäre, muss Kl ≈ KCP− sehr langlebig sein, weil Kl → π+ π− π0 kinematisch unterdrückt ist. Mit
CP|K 0 i = −|K 0 i ,
(38)
1
|KCP± i = √ (|K 0 i ∓ |K 0 i) .
2
(39)
ist
Die beiden wichtigsten Aspekte der Meson-Antimeson-Mischung sind
1.) Masseneigenzustände (Eigenzustände von H) sind Linearkombinationen der Flavour-Eigenzustände.
2.) Ein zum Zeitpunkt t = 0 als Flavour-Eigenzustand identifiziertes ( getaggtes“) Meson ist für t > 0 eine
”
oszillierende Linearkombination aus dem Meson- und dem Antimesonzustand.
12
1.3. DIE DREI ARTEN DER CP-VERLETZUNG
Die B-Physik nutzt den zweiten Aspekt. Asymmetrische B-Fabriken (BaBar, BELLE), wo man
√ Elektronen
und Positronen mit den Impulsen p− und p+ aufeinander schießt. Hierbei gilt |p− | 6= |p+ | und s = MY(4s) ,
so dass resonante Y(4s)-Produkte entstehen können. Diesen Zustand produziert man, weil dieser sich gerade
über der Schwelle befindet, um in zwei B-Mesonen zerfallen zu können. Das Y(4s) bewegt sich im Laborsystem. Damit kann man die zeitliche Oszillation der B-Mesonen beobachten. Y(4s) kann in B + B − und B 0 B 0
zerfallen. Da Y(4s) ein Spin-1-Teilchen ist, befinden sich die B-Mesonen in einer P-Welle. Das (B 0 , B 0 )-Paar
ist quantenmechanisch verschränkt. Tagging:
Damit ist das zerfallende Meson als B 0 identifiziert (Einstein-Podolski-Rosen-Effekt). Das andere (unzerfallene) Meson ist bei t = 0 ein B 0 . Man kann dann einen Zustand |B 0 (t)i identifizieren:
Bei einem Hadronenkollider sind die B’s nicht verschränkt. Der Unterschied ist, dass die b unterschiedlich
hadronisieren können, beispielsweise in B− oder Bs .
1.3
Die drei Arten der CP-Verletzung
1.) Direkte CP-Verletzung:
Diese besagt, dass für die partielle Zerfallsbreite Γ(M → f ) 6= Γ(M → f ) gilt, wobei M ein Meson ist.
Hierbei gilt außerdem PC|f i = |f i und CP|M i = −|M i. Beispielsweise gilt dies für M = B + , M = B − ,
f = K+ π0 und f = Kπ0 . (Dies gilt nicht für die totale Zerfallsbreite, welche die Summe aller partiellen
Zerfallsbreiten in einen bestimmten Endzustand ist.)
2.) CP-Verletzung in M0 -M 0 -Mischung:
Für die Wahrscheinlichkeit gilt P (M → M , t) 6= P (M → M, t).
3.) Mischungsinduzierte CP-Verletzung ( CP-Verletzung in der Interferenz von Mischung und Zerfall“):
”
Dies ist der wichtigste Mechanismus, weil er zu großen Asymmetrien führt. Wir betrachten einen CPEigenzustand fCP , also CP|fCP i = ±|fCP i. Dies bedeutet für die Rate
0
Γ(M 0 (t) → fCP ) = Γ(M (t) → fCP )i ,
13
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
0
wobei M 0 ein neutrales Meson ist. Die Mischung findet statt zwischen M 0 und M (t). Wenn es zerfällt
in einen CP-Eigenzustand, tragen beide Komponenten bei. Dieser Prozess ist sensitiv auf die relative
Phase der beiden Amplituden. Das berühmteste Beispiel ist B0 → J/ψKS und gibt uns einen der Winkel des Unitaritätsdreiecks. Man nutzt also die Meson-Antimeson-Mischung aus, um die CP-Phase des
Zerfallsprodukts zu untersuchen.
1.4
Geschichte der Flavour-Physik
• 1940er Jahre: Entdeckung der K-Mesonen (strangeness S (Gell-Mann))
S=1
S = −1
I3 = −1/2
K0
K−
I3 = 1/2
K+
K0
K-Mesonen wurden im Jahre 1942 in der Höhenstrahlung entdeckt.
• 1955: K0 -K0 -Mischung postuliert (Gell-Mann, Pais)
• 1956: θ-τ -Rätsel:
”
Betrachte τ + → π+ π+ π− (Parität P = −1) und θ+ = π+ π0 (Parität P = 1) mit der gleichen Masse und
Lebensdauer. Nach Lee-Yang: Parität ist verletzt τ+“= θ“=K+ . Aus den Feldgleichungen folgt auch,
”
”
dass die Ladungskonjugation verletzt ist.
• 1970: Br(KL → µ+ µ+ ) ist experimentell sehr klein
Bekannt war:
s
W
sin θ12
u
cos θ12
µ−
νµ
W
µ+
d
Postuliert:
s
W
cos θ12
c
− sin θ12
µ−
νµ
W
µ+
d
2
Beide Diagramme löschen sich aus bis auf einen Faktor (m2c − m2u )/MW
. Diese Auslöschung wird nach
Glashow, Iliopoulos und Mariani als GIM-Mechanismus bezeichnet (Auslöschung von Diagrammen als
Folge der Unitarität der CKM-Matrix). Daraus ließ sich das Charm-Quark vorhersagen.
• 1964: Entdeckung der CP-Verletzung
Man beobachtet den Zerfall KL → π+ π− wobei π+ π− ein Zustand mit CP-Quantenzahl 1 ist. KL hielt
man ebenso für einen Zustand mit CP-Quantenzahl 1 (Christenson, Cronin, Fitch, Turlay).
Erklärung in 1972 durch Makob Kobayashi und Toshihide Maskawa durch eine dritte Fermiongeneration.
• 1987: Die B-Fabrik DORIS (mit dem Experiment ARGUS) am DESY entdeckt die Bd -Bd -Mischung
(verwendet große Mischungsfrequenz). Beobachtet werden like-sign dilepton events. Dies war der erste
Hinweis auf ein schweres Top-Quark.
• 1999: Direkte CP-Verletzung bei K-Mesonen entdeckt.
14
1.5. ÜBERSICHT ÜBER DIE MESSUNGEN VON CKM-ELEMENTEN
• ∼ 2004: Mischungsinduzierte CP-Verletzung in der Bd -Bd -Mischung (sin 2β) entdeckt bei BaBar und
BELLE (Drehung der CP-Phase in Zerfall oder Mischung)
• 2006: CDF entdeckt die Bs -Bs -Mischung
• ∼ 2006: direkte CP-Verletzung in der B-Physik B0 → K+ π− .
• zur Zeit: Entdeckung der D-D-Mischung
1.5
Übersicht über die Messungen von CKM-Elementen
1.) |Vud |:
Präzision
Theorie Experiment
*
***
**
**
***
*
a) Kernphysik (Nuklearer β-Zerfall)
b) n → plνe (γ)
c) π− → π0 lνl
Aus a) folgt |Vud | = 0, 97418 ± 0, 00026.
2.) |Vus 7→ λ:
a) K → πlν ( Kl3-Zerfall“)
”
b) K± → µ± ν ( Kµ2-Zerfall“)
”
c) τ+ → ντ Xs (inklusiv mit s = 1)
Präzision
Theorie Experiment
**
***
*
***
**
*
Aus a) folgt |Vus | = 0, 2246 ± 0, 0012.
3.) |Vcb | 7→ A:
Geht aus vom semileptonischen Zerfall b → clν
νl
l
b
c
exklusiv B → D∗ lνl
inklusiv B → Xc lνl
Präzision
Theorie Experiment
***
*
***
***
Man erhält |Vcb | = (41, 6 ± 0, 5) · 10−3 .
p
4.) |Vub | 7→ %2 + η 2 = Ru
νl
l
b
u
15
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
exklusiv B → πlν
inklusiv B → Xv lν
Präzision
Theorie Experiment
**
**
**
**
Hieraus folgt |Vub | = (3, 76 ± 0, 10stat ± 0, 47syst ) · 10−3 .
p
5.) |Vtd | ∝ (1 − %)2 + η 2 = Rt
Die Bd -Bd -Oszillationsfrequenz ∆nd ist proportional zur Rt2 . Weiterhin gilt ∆nd /∆ns ∼ Rt .
|Vtd |
∆nd /∆ns
Präzision
Theorie Experiment
*
***
**
***
6.) |Vts | ≈ Amix λ2 (∆ns siehe 5)
∗
∗
∗
7.) β = arg[−Vcd Vcb
/(Vtd Vtb
)] = arg(Vtd
) (nach Standard-Parametrisierung)
ACP (B0 → J/ψKS , t) = sin(2β) sin(∆n · t) .
Präzision
Theorie Experiment
****
***
∗
∗
8.) d = π − γ − β = arg[−Vtd Vtb
/(Vud Vub
)] ' arg(−Vtd Vub )
0
Amix
CP (B → ππ, πρ, ρρ, t) liefert sin(2α). Es sind alle drei Ladungskombinationen zu messen. Der Zerfall in
zwei neutrale Pionen ist stark unterdrückt und das ist der limitierende Faktor im Experiment. Mittlerweile
gibt es jedoch bessere Daten für den Zerfall in zwei ρ.
Präzision
Theorie Experiment
****
**
∗
∗
∗
9.) γ = arg[−Vud Vub
/(Vcd Vcb
) = arg(Vub
)
Wichtig ist hier der Zerfall B + → D0 K+ (π+ π− , K+ K− , KS π0 ) Beide Amplituden können deswegen
interferieren, weil der Zerfall in zwei Pionen sowohl auf D0 als auch D0 zutrifft. Diese Interferenz ist
sensitiv auf die relative Phase beider Produkte und diese hängt mit γ zusammen.
Präzision
Theorie Experiment
****
*
∗ 2
10.) Im[(Vts Vtd
) ] ∝ η(1 − %)
Messung aus CP-Verletzung in K0 -K0 -Mischung
εk ∝ η(1 − % + const.)
Präzision
Theorie Experiment
**
***
16
1.5. ÜBERSICHT ÜBER DIE MESSUNGEN VON CKM-ELEMENTEN
Die Zukunft liegt in der Untersuchung der Zerfälle KL → π0 νν und K+ → π+ νν.
17
KAPITEL 1. ÜBERBLICK
18
Kapitel 2
Flavour im Standardmodell
2.1
Elemente der Quantenfeldtheorie
Spin
0
1
1/2
Teilchen
Skalar (z.B. Higgs)
Vektorboson (z.B. Photon, Z)
Dirac-Fermionen (z.B. Elektronen)
Felder
skalares Feld ϕ(x), x = (x0 , x) = (t, x)
Vektorfeld Aµ (x) mit Lorentzindex µ = 0, 1, 2, 3
Spinorfeld ψi (x) mit Dirac-Index i = 1, 2, 3, 4
Der Dirac-Index diskriminiert zwischen Teilchen/Antiteilchen und Spin Up/Down. Die Wechselwirkungen einer
Theorie werden durch die Lagrangedichte L beschrieben.
Klassische Mechanik
Feldtheorie (z.B. reelles Skalarfeld)
Zt2
Wirkung
S(t1 , t2 ) =
Zt2
dt L(qi , q̇i )
t1
S(t1 , t2 ) =
Z
dt
d3 x L(ϕ, ∂µ ϕ) (40)
¶
∂
,∇
∂t
Auslenkungen der Felder ϕ(x) für jedes x
δL
δL
∂µ
−
= 0 (41)
δ(∂µ ϕ) δϕ
t1
µ
∂µ := ∂/∂xµ =
Freiheitsgrade
Bewegungsgleichungen
qi mit i = 1, . . ., N
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂ q̇i
∂qi
Für ein freies Teilchen ist L quadratisch in ϕ(x):
L=
1
1
(∂µ ϕ)(∂ µ ϕ) − m2 ϕ2 ,
2
2
(42)
wobei m die Masse des Feldes ist. Die Bewegungsgleichung folgt aus (40)
∂µ (∂ µ ϕ) + m2 ϕ = 0 ⇔ ¤ϕ + m2 ϕ = 0 ,
(43)
und es handelt sich dabei um die Klein-Gordon-Gleichung. Da es sich um eine lineare Gleichung handelt,
gilt das Superpositionsprinzip und Lösungen (ebene Wellen) können sich überlagern, ohne sich gegenseitig zu
beeinflussen. Damit kann über die Klein-Gordon-Gleichung keine Wechselwirkung beschrieben werden.
Das nächste, was man in einer Feldtheorie behandeln kann, ist das komplexe Skalarfeld. Dieses beschreibt zwei
Freiheitsgrade.
1
ϕ = √ (ϕ1 + iϕ2 ) .
2
Die entsprechende Lagrangedichte ist gegeben durch
L = ∂µ ϕ∂ µ ϕ∗ − m2 ϕϕ∗ ,
(44)
wobei ϕ und ϕ∗ als unabhängig voneinander betrachtet werden. Es ist also entweder nach ϕ oder nach ϕ∗ zu
variieren. Durch Variation nach ϕ∗ kommt man erneut auf die Klein-Gordon-Gleichung:
0 = ∂µ
δL
δL
−
= ¤ϕ + m2 ϕ .
δ(∂µ ϕ∗ ) δϕ∗
19
KAPITEL 2. FLAVOUR IM STANDARDMODELL
Durch Variation nach ϕ kommt man auf die komplex konjugierte Klein-Gordon-Gleichung. Für das Photonfeld
lautet die Lagrangedichte
L=
1
Fαβ F αβ ,
4
mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor
Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα .
(45)
L lässt sich mit der Definition des Feldstärketensors wie folgt umschreiben:
L=
1
1
(∂α Aβ )(∂ α Aβ ) − (∂α Aβ )∂ β Aα .
2
2
Hierbei wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet; über doppelte Indizes wird also summiert. Kommen wir zu der Bewegungsgleichung:
0 = ∂µ
δL
δL
−
= ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) ,
δ(∂µ Aν ) δAν
(47)
Hieraus folgt:
¤Aν − ∂ ν ∂µ Aµ = 0 ,
(48)
wobei ∂µ Aµ = 0 gilt in der Lorenz-Eichung. Mit (45) erkennt man in (47)
∂µ F µν = 0 ,
(49)
was die Maxwell-Gleichungen im Vakuum sind.
Kommen wir nun zur Lagrangedichte des freien Dirac-Feldes:
µ
ψj − mψ i ψi .
L = ψi∂¢ ψ − mψψ = ψ i i∂µ γij
(50)
Hierbei ist die Summation über i, j = 1, 2, 3, 4 durchzuführen. Für die vier 4 × 4-Diracmatrizen den
Antikommutator-Regeln
{γ µ , γ ν } := γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1 ,
(51)
mit
g µν

1 0
0 −1
=
0 0
0 0
0
0
−1
0

0
0
,
0
−1
(52)
erfüllen. Der adjungierte Spinor ist gegeben durch ψ = ψ † γ 0 (53). Auch hier sind ψ und ψ unabhängige Felder.
Betrachten wir die Variation nach ψ:
0 = ∂µ
δL
δL
δL
=−
= −[i∂¢ ψ − mψ]i ,
−
δ(∂µ ψ i ) δψ i
δψ i
was die freie Dirac-Gleichung ist. Zu den Dirac-Matrizen:
γ5 = γ 5 := iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 .
(54)
Es gibt für die Dirac-Matrizen verschiedene Darstellungen. Dirac-Darstellung:
µ
¶
µ
¶
1 0
0
σk
γ0 =
, γk =
,
0 −1
−σ k 0
wobei σ k die Pauli-Matrizen (k = 1, 2, 3) sind. γ 5 ist dann gegeben durch
µ
¶
0 1
γ5 =
.
1 0
(56)
20
2.2. FELD-QUANTISIERUNG
Zur Messung von relativistischen Effekten bei niedrigen Energien (Hyperfeinstrukturaufspaltung) ist die DiracDarstellung sehr geeignet. Um Hochenergiephysik betreiben zu können, ist jedoch die chirale Darstellung
(Weyl-Darstellung) die geschicktere Wahl:
µ
¶
µ
¶
0 1
0
σk
γ0 =
, γk =
,
(57)
1 0
−σ k 0
µ
¶
−1 0
5
γ =
.
(58)
0 1
Die Majorana-Darstellung ist wichtig für Neutrinophysik und wird hier nicht behandelt.
j µ = ψγ µ ψ (59) ist ein erhaltener Strom; es gilt also ∂µ j µ = 0. Beispielsweise ist ej µ der elektromagnetische
Strom.
Die Fourierdarstellung ist eine Zerlegung nach ebenen Wellen (Transformation im Impulsraum). Für ein reelles
Skalarfeld gilt
Z
¤
d3 p
1 £
p
ϕ(x) =
ap exp(−ipx) + a∗p exp(ipx) ,
(60)
3
(2π)
2Ep
wobei die Koeffizienten ap und a∗p komplex sind und
p0 = Ep =
p
p2 + m2 ,
(61)
Lösung von (43) ist.
2.2
Feld-Quantisierung
2.2.1
Skalare Felder
In (60) wird ap als Feldoperator interpretiert, wobei a∗p 7→ a†p und die Vertauschungsrelationen
[ap , a†p0 ] = (2π)3 δ (3) (p − p0 )1 ,
[ap , ap0 ] = [a†p , a†p0 ] = 0 ,
(61)
gefordert werden. Diese Relationen erinnern einen an N gekoppelte harmonische Oszillatoren (mit i = 1, 2,
. . ., N ) in der Quantenmechanik: [ai , a†j ] = δij . Durch Vergleich erkennt man, dass ap und a†p Vernichtungsund Erzeugungsoperatoren sind. Der Hilbertraum der Quantenfeldtheorie (der sogenannte Fockraum) wird mit
Hilfe der a†p aus dem Grundzustand konstruiert. Der Einteilchen-Zustand zum Impuls p ist definiert über
|pi =
p
2Ep a†p |0i .
(62)
Zweiteilchen-Zustände (beschreibt ein Teilchen mit Impuls p und eines mit Impuls q) sind dann gegeben durch
p
p
|p, qi = 2Ep 2Eq a†p a†q |0i = |q, pi ,
(63)
welcher aufgrund der obigen Vertauschungsrelationen für die Erzeugungsoperatoren die Bose-Statistik respektiert. Zustände mit unterschiedlicher Teilchenzahl sind zueinander orthogonal. Des Weiteren gilt
ap |0i = 0 ,
2.2.2
(61)
ap0 |pi = (2π)3
p
2Ep δ (3) (p − p0 )|0i .
Dirac-Felder
Ebenso kann man das Dirac-Feld nach ebenen Wellen entwickeln, also eine Fourierdarstellung angeben:
Z
ψ(x) =
2
i
1 Xh s s
d3 p
s† s
p
a
u
(p)
exp(−ipx)
+
b
v
(p)
exp(ipx)
,
p
(2π)3 2Ep s=1 p
(64)
mit
p0 = Ep =
p
p2 + m2 .
Im Gegensatz zu den skalaren Feldern fordert man für die Diracfelder Antivertauschungsrelationen:
{arp , asp0 † } = {bsp , brp0 † } = (2π)3 δ (3) (p − p0 )δ rs ,
(65)
21
KAPITEL 2. FLAVOUR IM STANDARDMODELL
was die Fermi-Statistik respektiert. Alle anderen Antikommutatoren verschwinden. us und v s ∈ C4 heißen
Spinoren. Sie erfüllen:
s
(p
¢ − m)u (p) = 0 ,
s
(p
¢ + m)v (p) = 0 .
(66)
Im Ruhesystem (Dirac-Darstellung) gilt:
 
 
0
1



√
√
0
(2)
1

u(1) (0) = 
0 m , u (0) = 0 m ,
0
0
 
 
0
0
0 √
0 √
(1)
(2)

 
v (0) = 
1 m , v (0) = 0 m .
0
1
µ
In einem beliebigen System (p
¢ = pµ γ ) gilt:
 r

Ep + m (s)
ξ


2
p+m


us (p) = p ¢
us (0) = 
,


2(m + Ep )
σ·p
(s)
p
ξ
2(Ep + m)
(67)
ξ
(1)
µ ¶
1
=
,
0
ξ
(2)
µ ¶
0
=
.
1
(68)
Jede Darstellung der Lorentzgruppe ist gekennzeichnet durch die Masse m und den Pauli-Lubanski-Vektor
W µ = εµν%σ Pν M%σ . Im Ruhesystem hängt W µ mit den Spinzuständen zusammen. Es gilt
1
, 1, . . . .
2


σ·p
p
ξ (s)
 2(Ep + m)

−p + m


v s (p) = p ¢
v s (0) =  r
.


2(Ep + m)
Ep + m (s)
ξ
2
Wµ W µ = −m2 s(s + 1) ,
s = 0,
ψ(x) erzeugt (mit b†p ) ein Antiteilchen und vernichtet (mit asp ) ein Teilchen. ψ(x) macht das Umgekehrte.
2.2.3
Vektorfelder
Kommen wir nun zu Vektorfeldern (mit ∂µ U µ = 0):
Z
Uµ =
3
i
†
d3 p
1 X h (1)
∗ (r)
p
εµ (p)a(r)
(p)b(r)
exp(ipx) ,
p exp(−ipx) + εµ
p
3
(2π)
2Ep r=1
p0 = Ep ,
(70)
mit
†
†
(s)
(s)
(s)
3 (3)
a(r)
(p − p0 )δrs .
p , ap0 ] = [bp , bp0 ] = (2π) δ
(71)
(70) gilt für komplexe Vektorfelder wie Wµ± . Für reelle Vektorfelder (Photonfeld Aµ , Z-Boson-Feld Zµ , Gluon(r)
(r)
(r)
feld) muss man bp durch ap ersetzen. In den Polarisationsvektoren εµ stecken Informationen darüber, ob
(r)
das Feld tranversal bzw. longitudinal polarisiert ist. Im Allgemeinen gilt εµ pµ = 0 unabhängig davon, ob das
Vektorfeld reell oder komplex ist. Für
 
E

0

kµ = 
0
|k|
sind die transversalen Polarisationsvektoren gegeben durch
 
 
0
0
 1
0
β
(1) β
(2)


ε
=
=
 0 , ε
1 ,
0
0
22
2.3. ZEITORDNUNGSOPERATOR UND GREENFUNKTION
oder man benutzt Linearkombinationen derselbigen:
 
 
0
0
1

β
1 
1
1
(+) β
(−)
, ε
,
ε
=√ 
=√ 
2 i
2 −i
0
0
(72)
wobei der erste Vektor die rechtshändige und der zweite die linkshändige Polarisation beschreibt. Zur longitudinalen Polarisation:
 
|k|

1 
(3) β
(L) β
0,
ε
=ε
=

0
M
E
was für ein Vektorfeld mit Masse M =
transversale Polarisationen.
2.3
√
k α kα gilt. Für masselose Vektorbosonen (Photon, Gluon) gibt es nur
Zeitordnungsoperator und Greenfunktion
Der Zeitordnungsoperator ist definiert über
½
ϕ1 (x)ϕ2 (x) für y 0 < x0
= T ϕ2 (y)ϕ1 (x) ,
T ϕ1 (x)ϕ2 (y) =
ϕ2 (y)ϕ1 (x) für x0 < y 0
(74)
was dazu führt, dass die kleinere Zeit immer rechts steht. Diese Gleichung gilt für Bosonen. Bei Fermionen muss
man ein zusätzliches Minuszeichen einführen, wenn man zwei Felder vertauscht. N -Punkt-Greenfunktionen
(beispielsweise für reelle Skalarfelder) sind definiert durch
GN (x1 , . . . , xn ) := h0|T ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn )|0i .
(75)
Speziell die Zweipunkt-Greenfunktion ist gegeben durch:
G2 (x, y) := h0|T ϕ(x)ϕ(y)|0i .
(76)
Aus Gleichung (60) sehen wir, dass von ϕ(y) ein Einteilchenzustand bei y erzeugt wird. Diese werden bei
x vernichtet (gilt für y 0 < x0 ). Um diese physikalische Interpretation beibehalten zu können, benötigt man
den Zeitordnungsoperator. Damit die Kausalität gewährleistet ist, muss ein Einteilchenzustand zuerst erzeugt
werden, bevor er vernichtet wird. Wegen der Translationsinvarianz kommt es auf absolute Koordinaten nicht
an, sondern nur auf relative, womit gilt:
Z
d4 p
i
G2 (x, y) = G2 (x − y, 0) = DF (x − y) =
exp(−ip(x − y)) .
(77)
(2π)4 p2 − m2 + iδ
In der statistischen Physik nennt man diese Funktion Zweipunkt-Korrelationsfunktion. Zur Korrelation zwischen Punkt x und y tragen Teilchen mit allen Impulsen bei. Das Integral wird dominiert durch die Umgebung
des Pols bei p2 = m2 (Massenschale). Bei makroskopischen Zeiten und Abstände tragen nur reelle Teilchen bei,
für die p2 = m2 gilt. Für mikroskopische Zeiten und Abstände erhalten auch Teilchen einen Beitrag, welche
nicht auf der Massenschale liegen, sogenannte virtuelle Teilchen. Man bezeichnet DF (x − y) als FeynmanPropagator. Im Impulsraum gilt:
Z
i
e 2 (p) = d4 x exp(ipx)DF (x) =
.
(78)
G
2
p − m2 + iδ
Das infinitesimale δ sagt uns, wie die Pole bei der Integration umlaufen werden. Graphisch werden Propagatoren
als Linie (mit Impulsfluss) dargestellt:
p
Der Propagator für ein komplexes Skalarfeld ist gegeben durch:
G2 (x − y) = h0|T ϕ(x)ϕ∗ (y)|0i .
23
KAPITEL 2. FLAVOUR IM STANDARDMODELL
p
Der Propagator für ein Dirac-Feld ist eine 4 × 4-Matrix (weil jedes Dirac-Feld vier Komponenten hat):
G2 jk (x − y) = h0|T ψj (x)ψ k (y)|0i .
Im Impulsraum ist der Propagator gegeben durch:
G2jk (p) =
i(p
¢ + m)jk ,
p2 − m2 + iδ
80 .
Was propagiert mit dem Teilchen, ist auch die komplette Spininformation.
j
p
k
Schauen wir uns den Propagator für ein massives Vektorfeld (komplex) an:
µ
¶
−i
pα pβ
αβ
αβ
G2 (p) = 2
g −
.
p − M 2 + iδ
M2
α
p
(81)
β
Damit lassen sich beispielsweise massive ρ-Vektor-Mesonen beschreiben.
2.4
Einführung von Wechselwirkungen
Um Wechselwirkungen beschreiben zu können benötigen wir Terme in der Lagrangedichte, die höhere Potenzen der Felder beinhalten:
L = Lfrei + LW .
(82)
Betrachten wir beispielsweise ein reelles Skalarfeld:
LW = −
λ
ϕ(x)4 ,
4!
HW = −LW .
Betrachten wir die Streuung von Teilchen mit Impulsen p1 und p2 in Teilchen mit Impulsen q1 , . . ., qN . Die
Übergangsamplitude ist gegeben durch das folgende Matrixelement:
hq1 , q2 |S|p1 , p2 i .
S ist ein Operator, in dem die ganze Information über die Wechselwirkung steckt:
µ Z
¶
S = T exp −i d4 x HW (x) .
(83)
Man bezeichnet S als S-Matrix. Das Matrixelement (für qi 6= pi ) ist gegeben durch:
hf |S|ii = hq1 , . . . , qN |S|p1 , p2 i = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 − q1 − . . . − qN ) · Mfi ,
(84)
wobei Mfi oft als (Übergangs-)matrixelement bezeichnet wird. In der δ-Funktion steckt die Viererimpulserhaltung. Zum differentiellen Wirkungsquerschnitt:
dσ ∼ |Mfi |2 d3 q . . . d3 qN .
24
2.5. EICHWECHSELWIRKUNGEN DES STANDARDMODELLS
Für einen Zerfall A → B1 , . . ., BN definiert man die differentielle Zerfallsbreite durch:


Ã
!
N
N
X
1  Y d3 pf 1 
dΓ =
|MA→B1 ...BN (p1 , . . . , pN )|2 (2π)4 δ (4) pA −
pf .
2EA
(2π)3 2Ef
i=1
(85)
f =1
Man kann die S-Matrix störungstheoretisch behandeln:
µ Z
¶
Z
Z
Z
1
4
4
4
S = T exp −i d x HWW (x) = 1 − i d x HW (x) −
d x d4 y T HW (x)HW (y) + . . . =
2
µ ¶2 Z
Z
Z
λ
1 λ
4
4
=1−i
d x ϕ (x) −
d4 x d4 y T ϕ4 (x)ϕ4 (y) + . . . .
4!
2 4!
(86)
Graphisch lässt sich (84) mittels sogenannter Feynmangraphen störungstheoretisch untersuchen:
p2
y
q2
p2
y
q1
p2
q2
x
p1
x
p1
q1
x
q2
p1
y
q1
Praktisch arbeitet man jedoch nicht im Orts- sondern im Impulsraum und führt anstelle Integrale über x, y auszurechnen, wird über interne Impulse (sogenannte Schleifenimpulse lµ ) integriert mit Vierer-Impulserhaltung
an jedem Vertex.
2.5
Eichwechselwirkungen des Standardmodells
Die einfachste Wechselwirkung, die man diskutieren kann, ist die sogenannte U(1)-Wechselwirkung. Betrachten
wir eine U(1)-Transformation:
ψ(x) 7→ exp(−ig1 α(x))ψ(x) .
Hängt die Phase nicht vom Ort ab, handelt es sich um eine globale Transformation. Sonst ist es eine sogenannte lokale Transformation oder Eichtransformation. Stellt man der Transformation des Dirac-Feldes eine
entsprechende Transformation des Eichfeldes zur Seite, also
Aµ (x) 7→ Aµ (x) + ∂ µ α(x) ,
(87)
so kann man eine kovariante Ableitung wie folgt definieren:
Dµ := ∂µ + ig1 Aµ (x) .
(88)
Damit lässt sich die Lagrangedichte wie folgt aufschreiben:
1
L = ψi½
Dψ − mψψ + Fµν F µν .
4
(89)
Beispielsweise kann Aµ das Photonfeld sein (also in L = LQED ) oder Feld der Hyperladung (also B µ bezeichnet).
Kommen wir nun zur SU(2)-Wechselwirkung. In der Natur transformieren rechts- und linkshändige Fermionen
unterschiedlich. Linkshändige Fermionen transformieren als Dubletts und rechtshändige als Singuletts bezüglich
SU(2) (Gruppe des schwachen Isospins). Ein Fermionfeld ψL heißt linkshändig, wenn
PL ψL = ψL ,
gilt mit

1
0
1 − γ5
PL =
=
0
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0

0
0
,
0
0
25
KAPITEL 2. FLAVOUR IM STANDARDMODELL
in der Weyl-Darstellung (chirale Darstellung). ψL heißt rechtshändig, wenn entsprechend
P R ψR = ψR ,
gilt mit
PR =
1 + γ5
.
2
PL,R sind zueinander orthogonale Projektoren. Es gilt somit:
2
PL,R
= PL,R ,
PL PR = PR PL = 0 .
Im Folgenden ist j = 1, 2, 3 der Generationenindex. Linkshändige Leptonen und Quarks werden in SU(2)Dubletts zusammengefasst:
µ
¶
µ ¶
νL,j
uj
Lj =
, Qj =
.
lL,j
dj
Eine SU(2)-Transformation, unter der sich Lj transformiert, lässt sich schreiben in der Form
¶
µ
σa
Lj ,
Lj 7→ exp ig2 αa (x)
2
wobei die Summe über a = 1, 2, 3 läuft. Analog transformiert sich Qj . Man kann nun analog zur U(1) eine
kovariante Ableitung definieren:
Dµ := ∂µ − ig2 Wµa
σa
,
2
(94)
mit
1
Wµ+ = √ (Wµ1 − iWµ2 ) ,
2
1
Wµ− = √ (Wµ1 + iWµ2 ) .
2
(95)
Mittels der Pauli-Matrizen lassen sich folgende Matrizen definieren:
µ
¶
µ
¶
1 1
1 1
0 1
0 0
2
−
2
+
, σ = (σ − iσ ) =
.
σ = (σ + iσ ) =
0 0
1 0
2
2
Dann gilt für die kovariante Ableitung:
µ
¶
1
1
1
Dµ = ∂µ − ig2 √ Wµ+ σ + + √ Wµ− σ − + Wµ3 σ 3 ,
2
2
2
(96)
(97)
für linkshändige Felder und Dµ = ∂µ für rechtshändige Felder. Diese Ersetzungen macht man, weil Wµ±
Eigenzustände der elektrischen Ladung sind. Dies werden wir später sehen.
Die Hyperladung (U(1)Y ) ist definiert über die Eigenwertgleichung
Y ψ = yψ ,
wobei Y der Hyperladungsoperator ist und y eine Zahl, nämlich die Hyperladung des Feldes ψ. Schauen wir
uns die Hyperladungsquantenzahlen der verschiedenen Felder des Standardmodells an:
ψ
y
Lj
-1/2
lR
-1
Qj
1/6
uR,j
2/3
dR,j
-1/3
Die kovariante Ableitung (97) wird dann durch einen weiteren Term erweitert, um die U(1)-Wechselwirkung
zu berücksichtigen:
¶
µ
1
1
1
Dµ = ∂µ + ig1 Y Bµ − ig2 √ Wµ+ σ + √ Wµ− σ − + Wµ3 σ 3 .
2
2
2
Das Higgs-Dublett,
µ
G+
Φ=
1
v + √2 h +
¶
√i G0
2
,
(100)
26
2.5. EICHWECHSELWIRKUNGEN DES STANDARDMODELLS
bricht die SU(2) × U(1)Y zur U(1)em . v = 174 GeV 6= 0 (101) ist der Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes.
h ist das physikalische Higgsboson. G± und G0 nennt man Pseudo-Goldstone-Bosonen. (Bei einer globalen
Symmetrie sind die Goldstone-Bosonen masselos und physikalische Teilchen.) In einer geeichten Theorie sind
sie keine physikalischen Teilchen. Es handelt sich dabei um die longitudinalen Freiheitsgrade von Wµ± und Zµ0 .
µ µ¶ µ
¶µ
¶
Bµ
cos ϑw
sin ϑw
A
=
,
(102)
Wµ3
Zµ
− sin ϑw cos ϑw
mit dem Weinberg-Winkel ϑw , wobei
tan ϑw =
g1
,
g2
e = g2 sin ϑw = g1 cos ϑw ,
gilt. Hier ist e die elektromagnetische Ladung.
2
=
MW
g12 v 2
,
2
MZ2 =
g22 v 2
MW
g2
⇒
=p 2
.
2 cos2 ϑw
MZ
g1 + g22
(103)
Experimentell bestimmt man sin2 ϑw = 0, 231 (104). Die Fermi-Konstante
1
g2
1
GF = √ 2 2 = √
= 1, 16639 · 10−5 GeV−2 =
.
(292, 8 GeV)2
4 2MW
2 2v 2
(105)
lässt sich sehr genau aus der Myon-Lebensdauer durch den Zerfall µ → eνe νµ bestimmen. Hieraus kann man
wiederum den Vakuumerwartungswert v berechnen. Rechnet man die elektroschwache Symmetriebrechung
durch den Higgs-Mechanismus durch, so findet man die Gell-Mann-Nishima-Relation:
Q = I3 + Y ,
(106)
wobei Q die elektromagnetische Ladung, I3 die z-Komponente des Isospins (±1/2 für Dubletts und 0 für
Singuletts) und Y die Hyperladung ist. Kommen wir zum Feldstärketensor der U(1)Y :
[Dµ , Dν ] = −ig1 Bµν ,
(107)
Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ .
(108)
mit
Zum Feldstärketensor der SU(2)L :
a
[Dµ , Dν ] =: −ig2 Wµν
σa
,
2
(109)
mit
a
Wµν
= ∂µ Wνa − ∂ν Wµa + g2 εabc Wµb Wνc ,
(110)
wobei εabc der Levi-Civita-Tensor ist, der definiert ist durch:

 1 wenn Permutation von (1, 2, 3) gerade
−1 wenn Permutation von (1, 2, 3) ungerade .
εabc =

0 bei mindestens zwei gleichen Indizes
Der Zusatzterm g2 εabc Wµb Wνc ist der nichtabelsche Term. Für die SU(2) gilt
· a b¸
σc
σ σ
,
= iεabc ,
2 2
2
wobei εabc die Strukturkonstanten und die Paulimatrizen σ a die Generatoren der SU(2) sind. Schreiben wir
uns die kinetischen Terme und Selbstwechselwirkungen der Eichbosonen auf:
1
1 a µν,a
LEich = − Bµν B µν − Wµν
W
,
4
4
(112)
woraus Dreier- und Vierer-Kopplungen der W-Bosonen extrahiert werden können. Die einzige Dreier-Kopplung
folgt aus (95) und (102), wobei alle Impulse einlaufend seien:
27
KAPITEL 2. FLAVOUR IM STANDARDMODELL
ν
ν
W− , p
W3
(95),(102)
−−−−−−→ µ
µ
W
1
W2
%
: −ie[g µν (k−p)% +g ν% (p−q)µ +g %µ (q−k)ν ]
+
W ,k
A, q
%
ν
W− , p
µ
W+ , k
: ie cot ϑw ·
Z, q
%
28
Kapitel 3
Die Quantenchromodynamik (QCD)
Die Eichgruppe der QCD ist die SU(3). Quarks transformieren sich als Farb-Triplett:
   
q1
qr
q2  = qg  ,
q3
qb
wobei r“ für rot, g“ für grün und b“ für blau steht. Invarianz unter SU(3) bedeutet die Invarianz, der
”
”
”
Theorie unter Rotationen des Tripletts im Farbraum:
 
 
qr
qr
qg  7→ exp (−ig3 αa (x)T a ) qg  ,
(114)
qb
qb
wobei die Summe von a über 1 bis 8 läuft. Die Generatoren T a der SU(3) sind
Ta =
λa
,
2
(115)
mit den Gell-Mann-Matrizen
µ a
¶
σ
0
λa =
,
0 0
für a = 1, 2, 3 und


0 0 1
λ4 = 0 0 0 ,
1 0 0

0
λ6 = 0
0
0
0
1

0
1 ,
0

0
λ5 = 0
i

0 −i
0 0,
0 0

0
λ7 = 0
0
0
0
i

0
−i ,
0

1
1
λ8 = √ 0
3 0
0
1
0

0
0.
−2
(116)
Weiterhin gilt
[T a , T b ] = if abc T c ,
(117)
mit den Strukturkonstanten f abc , welche komplett antisymmetrisch in den Indizes a, b und c sind. Für die
Strukturkonstanten
gilt f 123 = 1, f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = 1/2, f 156 = f 367 = −1/2 und f 458 = f 678 =
√
1/2 3 (118). Weiterhin gilt f 38a = 0 für alle a, weil λ3 und λ8 Diagonalmatrizen sind. Die Lagrangedichte der
QCD ist gegeben durch
LQCD =
X
q,d,u,s,c,b,t
1
q[i½
D − mq ]q − Gaµν Gµν,a ,
4
(119)
wobei ½
D die kovariante Ableitung (3 × 3-Matrix) ist und q = (qr , qg , qb )| . Gaµν ist der Feldstärketensor der
Gluonfelder
Gaµν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + g3 f abc Abµ Acν ,
29
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
und für die kovariante Ableitung gilt
Dµ = ∂µ − ig3 Aaµ T a ,
(120)
für a = 1, . . ., 8. Das Problem von (119) sind die vorhandenen redundanten Freiheitsgrade. Aaµ hat vier Polarisationsfreiheitsgrade; jedoch sind nur zwei physikalisch für masselose Eichbosonen. Einer davon verschwindet,
wenn man die Lorenz-Bedingung
∂µ Aµ,a = 0 ,
(121)
fordert. Man führt den Lagrange-Multiplikator 1/(2ξ) ein und addiert zu (119) einen sogenannten Eichfixierungsterm:
Lfix = −
1
1
(∂µ Aµ,a )2 = − (∂µ Aµ,a )(∂ν Aν,a ) .
2ξ
2ξ
(122)
ξ heißt Eichparameter. Den zweiten überflüssigen Freiheitsgrad könnte man dadurch loswerden, indem man
bei Berechnungen die longitudinale Komponente einfach weglässt, was jedoch die Lorentzinvarianz verletzt.
Deshalb geht man anders vor. Die Effekte der unphysikalischen longitudinalen Gluonen in LQCD + Lfix kann
man aufheben, indem man ebenfalls unphysikalische Faddeev-Popov-Geister einführt.
LFP = (∂µ η a ∗ )(∂ µ η a ) + g3 f abc (∂µ η a ∗ )Aµ,b η c ,
(123)
mit den skalaren (komplexen) Geistfeldern η a . η a antivertauschen, haben also Fermi-Statistik. Lagrangedichte der perturbativen QCD (Störungstheorie):
LpQCD = LQCD + Lfix + LFP .
(124)
Die Lorenzbedingung, die mit dem Lagrangemultiplikator ξ eingeführt wird, muss nicht explizit von Hand
erfüllt werden. Physikalische Größen sind von ξ unabhängig. Für ξ = 0 (Landau-Eichung) propagieren alle vier
Komponenten der Gluonen. Für ξ 6= 0 werden die beiden unphysikalischen Freiheitsgrade durch die Geistfelder
entfernt. Für ξ 7→ ∞ gibt es keine Eichfixierung und damit existiert auch der Propagator nicht. Man kann im
Prinzip ohne Geistern rechnen und longitudinale und skalare Polarisation der Gluonen mitnehmen. Dies bricht
jedoch die Lorentzinvarianz und ist auch komplizierter als mit Geistern zu rechnen.
3.1
Feynman-Regeln der QCD
Kommen wir zu den Propagatoren. Quarkpropagator:
j, α
k, β :
i(p
¢ + m)jk δαβ ,
2
p − m2q + iδ
ν, b :
−
k, β :
i
δab .
p2 + iδ
(127)
µ a
ig3 γjk
Tαβ ,
(128)
(125)
Gluonpropagator:
p
µ, a
i
2
p + iδ
µ
¶
pµ pν
gµν − (1 − ξ) 2
δab ,
p + iδ
(126)
Geistpropagator:
j, α
p
Vertizes:
α, j
β, k
:
µ, a
30
3.1. FEYNMAN-REGELN DER QCD
a, µ
k
q
c, ρ :
g3 f abc [g µν (k − p)% + g ν% (p − q)µ + g %µ (q − k)ν ] ,
(129)
p
b, ν
Alle Impulse sind als einlaufend gewählt; es gilt somit p + k + q = 0.
a, µ
c, %
b, ν :
£
−ig32 f abe f cde (g µ% g νσ − g µσ g ν% ) + f ace f bde (g µν g %σ − g µσ g ν% )
¤
+ f ade f bce (g µν g %σ − g µ% g νσ ) ,
(130)
g3 f abc pµ .
(131)
d, σ
a
c
p
:
µ, b
Externe Linien:
k, α1 , s1
l, α4 , s4
q1
q4
p2
ν, b
n, α3 , s3
q3
q2
p1
µ, a
einlaufend
auslaufend
Gluon
εµ,a (p1 )
(εν,b )∗ (p2 )
j, α2 , s2
Quark
usk1 ,α1 (q1 )
ujs2 ,α2 (q2 )
Antiquark
v s3 ,α3 (q3 )
vls4 ,α4 (q4 )
Weitere Feynman-Regeln (gelten nicht nur für QCD):
• An jedem Vertex gilt Viererimpulserhaltung.
31
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
Z
d4 l
integriert.
(2π)4
Es ist über alle möglichen Zwischenzustände (Impulskonfigurationen) zu summieren, in diesem Falle
entspricht dies einer Integration über alle internen Impulse.
µ
• Über Schleifeninpulse l wird mit
• Jede geschlossene Fermion- oder Geistschleife gibt einen Faktor -1. Dies gilt beispielsweise für
Dies ist das einzige Diagramm, das in der QED zum Laufen der Kopplungskonstanten beiträgt. In der
QCD gibt es andere, die entgegengesetzte Beiträge liefern. Daher die asymptotische Freiheit.
• Diagramme mit relativ zueinander gekreuzten externen Fermionlinien haben einen relativen Faktor -1.
• Beispiel:
Bei der Summe der Diagramme ist also ein relatives Minuszeichen zu berücksichtigen.
• Diagramme mit Permutationssymmetrie von Linienenden (inklusive der anhängenden Vertizes) haben
bei N Permutationen einen Symmetriefaktor von 1/N . Betrachten wir als Beispiel mit S = 1/2:
Für alle Graphen gilt S = 1/2. Nicht gleich sind jedoch
6=
Hier ist S = 1.
3.2
Die Yukawa-Wechselwirkung
Warum kann man in die Lagrangedichte keine Massenterme mψψ in die Lagrangedichte schreiben? In der
QCD wäre dies noch möglich, aber nicht in der schwachen Wechselwirkung. Terme wie mu uL uR sind nicht
erlaubt, weil sie nicht SU(2)-invariant sind. (uL ist ein Dublett und uR ein Singulett unter SU(2).) Somit
müssen Fermionmassen aus der Higgs-Wechselwirkung kommen. (Technicolor-Modelle: SU(3)-Eichgruppe, aber
stärkere Wechselwirkung als in der QCD) Schauen wir uns die Yukawa-Wechselwirkung an:
LY = LeY + LdY + LuY ,
(133)
32
3.2. DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG
wobei in Le,d,u
die Wechselwirkung der Leptonen (Kapitel 9), Down-Quarks bzw. Up-Quarks drinsteht.
Y
LdY
d
= −QL ΦY dR + h.c. = −
3
X
d
Yj,k
QL,j ΦdR,k
,
QL,j
j,k=1
µ
¶
uL,j
=
,
dL,j
QL,j = (uL j , dL j ) ,
(134)
d
wobei Yjk
die Yukawa-Kopplungen und QL,j die Felder der j-ten, bzw. dR,k die Felder der k-ten Generation
sind. Die Summe läuft über alle Generationen. Mit den einzelnen Hyperladungen Y = −1/6, Y = 1/2 bzw.
Y = −1/3 erkennt man, dass QL ΦY d dR ein Hyperladungssingulett ist. Die Yukawa-Matrix Y d ist eine beliebige
3 × 3-Matrix.
½
¾
X
1
(100)
d
LdY = −
Yj,k
uLj dRk G+ + √ dLj dRk (h + iG0 ) + dLj dRk v + h.c. ,
(135)
2
j,k
wobei der dritte Term der Massenterm ist.
dL,j
uL,j
dR,k
h + iG0
dR,k
G+
Die Supersymmetrie sagt die Topquarkmasse richtig vorher. Sie folgt aus dem Infrarotfixpunkt und man
benötigt dazu tan β & 3. Mit tan β > 50 sind Bottom- und Top-Kopplung gleich; man versteht dann die
Botton-Kopplung besser. Ein bisher noch ungelöstes Problem im Standardmodell ist die Erklärung der kleinen
Yukawa-Kopplungen.
Kommen wir zum Massenterm:
X
d
Ldm = −
dL j dR k Yj,k
v + h.c. = −dL Y d dR v + h.c. ,
(136)
j,k
wobei man die Down-Quark-Massenmatrix definiert als
M d = Y dv .
(137)
Der Massenterm mischt die drei Generationen. Man benötigt das ladungskonjugierte Higgs-Dublett
µ
¶ µ
¶ µ ¶ µ √
¶
1
G−
0 1
v
1/ 2h − i/2G0
c
∗
√
φ := εφ =
·
=
+
, Y =− .
−1 0
0
v + 1/ 2h − i/2G0
−G−
2
(138)
Man benötigt hier ε, so dass φc ein SU(2)-Dublett ist.
LuY = −QL Φc Y u uR + h.c. .
(139)
Hieraus ergibt sich der Massenterm
(138)
Lum = −uL Y u uR v + h.c. ,
(140)
und wir können die Up-Quark-Massenmatrix ablesen:
M u = Y uv .
(141)
Der eichkinetische Term der Quarkfelder ist definiert als
LqEich = QL i½
DQL + dR i½
DdR + uR i½
D uR ,
(148)
hat eine globale [U(3)]3 = U(3) × U(3) × U(3)-(Flavour-)Symmetrie hat. Mit U1,2,3 ∈ U(3) lassen die Transformationen
QL 7→ U1 QL ,
dR 7→ U2 dR ,
uR 7→ U3 uR ,
(143)
LqEich invariant. (143) sind unitäre Drehungen im Flavourraum. Die Unterscheidung geschieht durch YukawaWechselwirkung.
33
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
QL 7→ U1 QL ,
dR 7→ U2 dR ,
uR 7→ U3 uR ,
(143)
lässt LqEich invariant. Beispielsweise gilt
QL i½
DQL 7→ Q1 U1† i½
DU1 Q1 = QL i½
D QL ,
wegen U1† U1 = 1. Damit kann der Eichsektor die Generationen nicht unterscheiden. Jede Basis von Eichfeldern,
in der L†Eich die Form in (142) hat, heißt (elektro-)schrache Basis. (143) transformiert eine schwache Basis in
eine andere schwache Basis. Die Felder QL , uR , dR heißen Wechselwirkungseigenzustände. Wie bestimmen
S Q , S u ∈ U(3) so, dass
cu := (S Q )† M u S u ,
M
(144)
diagonal ist:

mu
cu =  0
M
0
0
mc
0

0
0.
mt
(145)
Jede Matrix lässt sich mit einer bi-unitären Transformation wie in (144) diagonalisieren. Die Basistransformation
QL 7→ S Q QL ,
uR 7→ S u uR ,
(146)
bewirkt wie in Lum :
cu uR = (147)
−uL M u uR 7→ − uL (S Q )† M u S u uR = −uL M
= −mu uL uR − mc cL cR − mt tL tR + h.c. =
= −mu uu − mc cc − mt tt , (148)
cu ist diagonal und damit sind u, c, t in (148) Masseneigenzustände. Es handelt
wobei u = uL + uR usw. M
sich also um eine physikalische Basis. Letzte freie U(3)-Transformation:
dR 7→ S d dR .
(149)
Effekt von (146) und (149):
Ldm = −dL (S Q )† M d S d dR + h.c. ,
(150)
wobei (S Q )† M d S d nicht diagonal ist, weil S Q schon festgelegt ist. Diagonalisiert man M d durch Wahl von S d
mit V ∈ U(3):
cd = V † (S Q )† M d S d ,
M
(151)
wobei V † (S Q )† unitär ist, so ist
(150)
cd dR + h.c. .
Ldm = −dL V M
(152)
Um von unserer schwachen Basis zu einer Basis mit Masseneigenzuständen zu gelangen, transformieren wir
dL 7→ V dL .
(153)
Daraus folgt
Ldm = −md dd − ms ss − mb bb .
(154)
LqEich wird zu
(142)
LqEich = (uL , dL V † )i½
D
µ
uL
V dL
¶
DdR + uR i½
D uR .
+ dR i½
(155)
34
3.2. DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG
V ist die CKM-Matrix aus (9). V muss also deshalb unitär sein, weil nur unitäre Transformationen den
eichkinetischen Term invariant lassen. Mit (99) finden wir:
g2
g
LqEich ⊃ LqW = √ uL V γ µ dL Wµ+ + √ dL V † γ µ uL Wµ− .
2
2
(156)
Damit haben nur linkshändige Felder eine Flavour-Struktur; W-Bosonen koppeln damit nur an linkshändige
Felder. Die ganze Flavourphysik steckt in den W-Boson-Kopplungen.
uL,j
dL,k
:
g2
i √ γ µ pL Vj,k .
2
(siehe (8))
W
µ
Jedoch finden wir für die Kopplungen von B µ und W3µ : uL γ µ uL und dL V † γ µ V dL = dL γ µ dL . Dies gilt wegen der
V † V = 1. Damit gibt es keine FCNC-Kopplungen von Aµ und Z µ . Die Physik, welche die Unitarität der CKMMatrix impliziert, bezeichnet man als Glashow-Iliopoulos-Maiani-Mechanismus (GIM-Mechanismus)
”
auf Baumgraphen-Niveau“. Der GIM-Mechanismus sorgt auch dafür, dass FCNC-Kopplungen in Schleifenkorrekturen stark unterdrückt sind und dient somit als Basis für neue Physik. In der physikalischen Basis ist LdY
in (135) gegeben durch:
(
)
3
3
X
X
1
LdY = −
Ybjd G+
Vjk uL j dR,k + √ dL j dR,j (h0 + iG0 ) + dL j dR,j v + h.c. .
(157)
2
j=1
k=1
Es gibt somit keine FCNC-Kopplungen von h und G0 (ebenso in LdY ). Alle neutralen Felder inklusive des Higgsfeldes haben keine Flavourstrukturen. Dies ist der Grund, dass es im Standardmodell nur ein Higgs-Dublett
gibt. Im Zwei-Higgs-Dublett-Modell koppeln die neutralen Higgsbosonen flavourändernd. Dieses Modell ist
durch die experimentellen Resultate der Flavourphysik sehr stark eingeschränkt. Mit (137) und (139) findet
man
(mq )j
Ybjq =
v
(103)
=
g2 (mq )j
√
.
2MW
(158)
Interessant ist, dass
mt
Yb3u = Ybt =
≈ 1,
v
(159)
ist. Alle anderen Yukawa-Kopplungen sind klein (was man bis jetzt nicht versteht).
Yb3d = Yb3 = 0, 016 .
Alle Yukawa-Kopplungen sind abhängig von der Energieskala und werden kleiner mit steigender Energie. Aus
(139) folgt:
)
(
3
3
X
X
1
∗
0
0
u
u
−
b
Vjk dL k uR,j + √ uL j uR,j (h − iG ) + uL j uR,j v + h.c. .
(160)
LY = −
Yj −G
2
j=1
k=1
Die zu h.c.“ gehörenden Feynman-Regeln erhält man durch Umkehr der Pfeilrichtungen. Beispielsweise gilt:
”
dL,k
uR,j
uR,j
dL,k
:
G−
h.c.
iV ∗ Ybju PR −−→
:
iVjk Ybju PL .(161)
G+
35
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
Feynman-Regeln aus LdY , LuY :
uj
dk
:
h
i
iVjk −Ybjd PR + Ybju PL ,
:
1
√ Ybjd γ5 ,
2
:
1
− √ Ybju γ5 ,
2
:
1
−i √ Ybjd ,
2
:
1
−i √ Ybju .
2
(162)
G+
dj
dk
γ5 = PR − PL ,
G0
dj
uj
(163)
G0
dj
uj
h0
uj
uj
(164)
h0
Die letzten beiden spielen keine Rolle in der Flavourphysik. Das Fazit ist, dass Flavour-Verletzung im Standardmodell nur in den Kopplungen
uj
uj
dj
W+
dj
G+
36
3.3. DISKRETE SYMMETRIEN C, P, T
auftritt. Schauen wir uns nochmal die CKM-Matrix an:


0, 98
0, 22
4 · 10−3 exp(−iγ)
,
−0, 22
0, 98
4 · 10−2
V =
−3
−2
8 · 10 exp(−iβ) −4 · 10
0, 999
β = 21◦ ,
γ = 70◦ .
(165)
Weiterhin findet man
Yb u = diag(7 · 10−6 , 4 · 10−3 , 0, 94) ,
Yb d = diag(1, 4 · 10−5 , 3, 2 · 10−4 , 0, 016) .
(166)
In der schwachen Basis (welche die SU(2) respektiert) aus (152) gilt Y u = Yb u und


10−5
6 · 10−5 6 · 10−5 exp(−iγ)
.
3 · 10−4
6 · 10−4
Y d = V Yb d =  −3 · 10−6
−8
−5
−2
10 exp(−iβ) −10
1, 6 · 10
(167)
Idee: Setzt man alle Yukawa-Kopplungen außer yt = 0, 94 gleich Null, so ist von der [U(3)]3 -Symmetrie in
(143) immer noch eine U(3) × [U(2)]2 × U(1)-Flavoursymmetrie erhalten mit (in (143)): U1 , U3 ∈ U(2) für
die ersten beiden Generationen und U2 ∈ U(3). Es bleibt eine U(1)-Symmetrie übig: tL,R 7→ exp(iϕ)tL,R
(Top-Quantenzahl). Die Frage, die sich nun stellt, ist, ob es ein Symmetrieprinzip in Y u und Y d gibt. Die
Flavoursymmetrie ist gebrochen durch Terme der Ordnung 10−2 und kleiner. Durch welchen Mechanismus
könnte die Symmetrie gebrochen sein?
3.3
Diskrete Symmetrien C, P, T
3.3.1
Raumspiegelung und Zeitumkehr
Die Lagrangedichte ist invariant unter L↑+ , der eigentlichen orthochronen Lorentzgruppe. Die umfasst
alle Kombinationen aus Boosts und Drehungen, aber keine Raumspiegelung P und keine Zeitumkehr T .
µ 0¶
x
=x
eµ ,
P : xµ 7→ xµ =
−x
µ 0¶
−x
µ
µ
.
(168)
T : x 7→ −e
x = −xµ =
x
P, T und L↑+ transformieren xµ , sind also äußere Symmetrien. Die volle Lorentzgruppe ist
L = L↑+ ∪ P L↑+ ∪ T L↑+ ∪ P T L↑+ .
(169)
Die Natur respektiert L↑+ . QCD und QED sind sogar invariant unter der vollen Lorentzgruppe.
L↑+ = {Λ ∈ L : det Λ = 1 ∧ Λ00 ≥ 1} ,
während

1
0
P =
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0

0
0
,
0
−1

−1
0
T =
0
0
0
1
0
0

0 0
0 0
.
1 0
0 1
(170), (171)
Also gilt
det(P ) = det(T ) = −1 ,
det(P T ) = 1 ,
P 00 = 1 ,
T 00 = −1 ,
(P T )00 = −1 .
Außerdem ist P 2 = T 2 = 1.
Impuls p
Bahn-Drehimpuls L = r × p
P
−p (Polarvektor)
L (axialer Vektor)
T
−p
−L
37
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
Der Spin S transformiert sich wie L. Unitäre Darstellung auf dem Fockraum:
P †P = T †T = 1 .
Betrachten wir die Wirkung von P auf einen Ein-Fermionzustand:
P|p, si = ηp | − p, si ,
|ηp | = 1 .
(173)
Man bezeichnet ηp als Parität des Zustands. ηp kann für jede Fermionspezies verschieden sein. Das Vakuum
ist invariant unter P:
P|0i = |0i .
(174)
Es gilt weiterhin
P2 = 1 ,
aber P 2 |p, si = ηp2 |p, si .
(175)
Ein Zustand wird beschrieben durch die Menge aller Zustände, die sich durch einen Phasenfaktor unterscheiden
(Strahldarstellung, {1, P } = Z2 ). Schauen wir uns nun an, wie sich die Erzeugungsoperatoren unter Paritätsoperation verhalten:
Pasp P † = ηp∗ as−p ,
(176)
denn es gilt:
s1 † †
1
n
)† . . . (as−p
)† |0i =
P|p1 , s1 ; p2 , s2 ; . . . , pn , sn i = P(ap
) P P(asp22 )† P † P . . . (aspnn )† |0i = ηpn (as−p
1
n
= ηpn | − p1 , s1 , . . . , −pn , sn i .
(177)
Erfüllt ψ(x) die Dirac-Gleichung, so muss sich ψ(e
x) mit
µ 0¶
x
x
e=
,
−x
unitär so transformieren lassen, dass Pψ(e
x)P † die raumgespiegelte Diracgleichung erfüllt:
[i∂0 γ 0 − i∂k γ k − m]Pψ(e
x)P † = 0 .
(178)
Dann ist weder das ursprüngliche noch das gespiegelte Koordinatensystem voreinander ausgezeichnet. Aus
[i∂0 γ 0 + i∂k γ k − m]ψ(x) = 0 ,
(179)
folgt mit (γ 0 )0 = 1:
[i∂0 γ 0 + i∂k γ k − m]γ 0 γ 0 ψ(x) = 0 ,
und dann unter Verwendung von γ 0 γ k = −γ k γ 0 :
γ 0 [i∂0 γ 0 − i∂k γ k − m]γ 0 ψ(x) = 0 .
(180)
Hieraus folgt, dass
Pψ(e
x)P † = ηp γ 0 ψ(x) .
(181)
Lösungen von (179) sind. P wirkt nicht auf γ-Matrizen, weil diese keine Freiheitsgrade der Theorie sind. An
dieser Stelle sieht man noch nicht, dass ηp die zuvor definierte Parität ist und dass außerdem |ηp | = 1 gilt.
Einsetzen in (64) liefert:
Z
X £
¤
d3 p
1
p
Pψ(e
x)P † =
Pasp P † us (p) exp(−ipe
x) + P(bsp )† Pv s (p) exp(ipe
x) =
3
(2π)
2Ep s=↑,↓
(188)
Z
¤
1 X£ s 0 s
d3 p
(181)
s † 0 s
p
ap γ u (p) exp(−ipx) + (bp ) γ v (p) exp(ipx)
= ηp
(2π)3 2Ep s
Setzen wir auf der rechten Seite p 7→ −p, dann können wir p · x = p · x
e verwenden. Aus (68), (69) folgt wegen
0 0 0
k
0
k 0
γ0p
¢ = γ [p γ + pk γ ] = [p0 γ − pk γ ]γ ,
38
3.3. DISKRETE SYMMETRIEN C, P, T
γ 0 us (−p) = us (p) ,
γ 0 v s (−p) = −v s (p) .
(183)
Damit ist (182) erfüllt für
Pasp P † = ηp as−p ,
also mit ηp von (76). Des Weiteren gilt
P(bsp )† P † = −ηp (bs−p )† ,
Pbsp P † = −ηp∗ bs−p .
(184)
was der Grund dafür ist, dass man die Phase von ηp immer beibehält bei allen Rechnungen. Betrachten wir
nun einen Zustand aus einem Fermion und einem Antifermion (Antifermion und dann Fermion):
|p, s1 , q, s2 i = (bsp1 )† (asq2 )† |0i .
(184)
P|p, s1 ; q, s2 i = −ηp ηp∗ | − p, s1 ; −q, s2 i = −| − p, s1 , −q, s2 i .
(185)
Hat man einen Zustand mit Fermion/Antifermion (bei B-Meson-Zerfällen) ist die intrinisische Parität des
Endzustands gleich -1. Führt man zusätzlich Eichkopplungen ein, so ist die gewöhnliche Ableitung durch die
kovariante Ableitung zu ersetzen, also
[i½
D − m]ψ = 0 ,
was P-invariant ist. Dies ist der Grund, warum die Eichfelder sich genauso transformieren müssen wir die
partielle Ableitung, was bedeutet, dass sich der Index senkt:
Aµ 7→ Aµ ,
(W µ )± 7→ Wµ± ,
Z µ 7→ Zµ ,
Gµ,a 7→ Gaµ .
(186)
Eichfelder sind damit polare Vektorfelder. Ein Spin-0-Feld ϕ heißt skalar (pseudoskalar), wenn es sich unter P
wie ϕ(x) 7→ ϕ(x) (ϕ(x) 7→ −ϕ(x)) transformiert. Betrachten wir chirale Fermionfelder ψL = PL ψ, so gilt:
P : ψL 7→ ηp γ 0 ψL = ηp γ 0 PL ψ = ηp PR γ 0 ψ =: ηp ψR ,
P : ψR 7→ ηp γ 0 ψR = ηp γ 0 PR γ 0 ψ = ηp PL ψ = ηp ψL .
(187)
Die Zeitumkehrtransformation vertauscht Anfangs- und Endzustand:
out hf |iiin
T
−
→ out hi|f iin .
Mit
T : |λi 7→ |T λi ,
ist also
hT σ|T λi = hλ|σi = hσ|λi∗ .
(188)
Hieraus folgt, dass T antilinear ist. Antilinear:
T α|λ = α∗ T |λi∗ .
(189)
Antiunitär bedeutet, dass die Norm erhalten bleibt.
Wir suchen A ∈ C4×4 so, dass
T ψ(−e
x)T † = ηt Aψ(x) ,
(190)
die zeitumgekehrte Diracgleichung erfüllt. Weil T Spin und Impuls umkehrt, ist
T asp T † = ηt a−s
−p ,
(191a)
für s =↑, ↓ und
T bsp T † = ηt0 b−s
−p ,
(191b)
für s =↑, ↓. Einsetzen in (64) liefert (analog zum Fall der Parität):
ηt0 = −ηt ,
39
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
und
[us (−p)]∗ = Au−s (p) ,
[v s (−p)]∗ = −Av −s (p) .
(192)
(Warum hier ein komplex Konjugiert steht, hängt mit der Antiunitarität von T zusammen.) Dies ist mit
A = −γ 1 γ 3 (193) erfüllt. Diese Wahl von A ist reell.
Die Ladungskonjugationsmatrix ist C := iγ 2 γ 0 (194). Sie ist reell und es gilt weiterhin
C 2 = −1 ,
C −1 = C † = C | = −C .
(195)
(194) und (195) gelten in der Dirac- und Weyl-Darstellung. Praktische Beziehungen sind
Cγµ C −1 = −γµ| ,
γ 0 γµ γ 0 = (γ µ )† .
(196)
Außerdem ist A = −γ5 C (197) und Aγµ A−1 = γµ| (198), sowie A2 = γ 1 γ 3 γ 1 γ 3 = −1 und A† = A| = −A
(199). Schauen wir uns nochmal die freie Diracgleichung an, die wir mit ηt∗ A multiplizieren:
(198)
ηt∗ A[i∂¢ − m]ψ(x) = 0 −−−→ ηt [i∂µ (γ µ )| − m]Aψ(x) = 0 .
Nun ist (γ k )| = −γ k und (γ 0 )| = γ 0 in Dirac- und Weyl-Darstellung. Also folgt
[i∂0 γ 0 − i∂k γ k − m]ηt∗ Aψ(x) = 0 ,
(200)
und durch komplexe Konjugation erhalten wir
[−i∂0 γ 0 + i∂k γ k − m]ηt Aψ ∗ (x) = 0 .
(201)
und weiter
ηt Aψ ∗ (x) = ηt A∗ ψ ∗ (x) .
Damit erfüllt ηt Aψ ∗ (x) = ηt A∗ ψ ∗ (x) die zeitumgekehrte Diracgleichung. T erhält die Chiralität. Wir betrachten dazu:
T : ψL 7→ ηt AψL ,
und es gilt:
PL ηt AψL = ηt AψL ,
was bedeutet, dass ein linkshändiges Feld auf ein linkshändiges Feld abgebildet wird.
Kommen wir nun zu den Eichfeldern:
a
ψβ Gµ,a + . . . .
L ⊃ eψγµ ψAµ + g3 ψ α γµ Tαβ
Beispielsweise gilt
T : ψγµ T a ψ 7→ ψ † A† γ 0 γµ T a Aψβ = ψ † (γ 0 )| γµ| T a ψβ = ψγ µ T a ψ .
(202)
Damit transformiert sich das Gluonfeld so, indem die Stellung des Diracindex geändert wird:
T : Gµ,a 7→ Gaµ .
(203)
Ebenso gilt dies für Aµ , B µ , W µ,± , Z µ . Betrachten wir die T -Transformation für Skalarfelder:
T : ϕ 7→ ±ϕ .
(204)
Transformiert das Skalarfeld mit einem zusätzlichen Minuszeichen, bezeichnet man es als Pseudoskalarfeld.
40
3.3. DISKRETE SYMMETRIEN C, P, T
3.3.2
Ladungskonjugation
Die Basis unserer Betrachtung bildet die Abbildung von Fermionen auf Antifermionen. Im Gegensatz zu P
und T die äußere Symmetrien der Lorentzgruppe sind, ist C eine innere Symmetrie. Wir legen das ladungskonjugierte Spinorfeld ψ c fest durch
C : ψ 7→ ψ c ,
wobei sich ψ c gemäß zu ψ komplex konjugierter Darstellungen (U(1), SU(3), etc.) transformiert, denn alle
Ladungen sollen ihr Vorzeichen wechseln (bzw. Farbe 7→ Antifarbe). Zunächst für U(1)em :
[i∂¢ + e¡
A − m]ψ = 0 ,
(205)
[i∂¢ − e¡
A − m]ψ c = 0 ,
(206)
Aus (205) folgt die adjungierte Diracgleichung:
←
−
|
ψ[−i ∂¢ + e¡
A − m] = 0 ⇒ [γµ| (−i∂µ + eAµ ) − m]ψ = 0 .
Wir verwenden (γ µ )| = Cγ µ C und C 2 = −1 und erhalten:
|
|
C[γ µ (−i∂µ + eAµ )C + mC]ψ = 0 ⇒ [i∂¢ − e¡
A − m]Cψ = 0 .
(207)
Dies ist also die ladungskonjugierte Diracgleichung, an der wir ψ c ablesen:
|
|
ψ c = ηc Cψ = ηc iγ 2 γ 0 ψ = ηc iγ 2 ψ ∗ .
(208)
Ist ψL linkshändig, so ist
∗
c
,
= ηc iγ 2 ψL
(ψL )c = ψL
wegen
∗
∗
∗
PR γ 2 ψL
= γ 2 P L ψL
= γ 2 ψL
,
ein rechtshändiges Feld! Damit ist
|
Cψ(x)C † = ηc Cψ (x) .
(209)
Man findet (s =↑, ↓, −s =↓, ↑):
Cv | (p; s) = iγ 2 v ∗ (p; s) = ±u(p; −s) .
(210)
Beispielsweise findet man in (67):

  
 
0 0
0 1
0
0
0 0 −1 0 0 √
1 √
↓
2 ↑ ∗
  
 
iγ (v ) (0) = 
0 −1 0 0 · 1 m = − 0 m = −u (0) .
1 0
0 0
0
0
(211)
Aber es gilt iγ 2 (v ↓ )∗ (0) = u↑ (0).
Casp C † = ηc∗ b−s
p ,
(212a)
Cbsp C † = ηc∗ a−s
p .
(212b)
0
(208)
|
|
a
a
a
a
ψβ −−−→ ψα0| γ 0 C † γ 0 γ k Tαβ
Cψ β = ψα0| (γ µ )| Tαβ
ψ β = −ψ β γ µ Tαβ
ψα0 ,
C : ψ α γ µ Tαβ
(213)
mit einem zusätzlichen Minuszeichen weil ψα und ψ β antivertauschen. Gluonfeld:
C : Gµ,a T a 7→ −Gµ,a (T a )∗ .
(214)
Ladungskonjugation dreht den Ladungsfluss um. Die QCD ist symmetrisch bezüglich C. Es gilt
½
−Gµ,a für a = 1, 3, 4, 6, 8
C
Gµ,a −
→
,
+Gµ,a für a = 2, 5, 7
41
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
damit ψγ µ T a ψGaµ invariant unter C ist. Obwohl die QCD C-erhaltend ist, können wir dem Gluon keine CQuantenzahl zuordnen: 3 der 8 Gluonen haben C = +1 (entsprechen den drei rein imaginären Generatoren,
welche die Generatoren der Untergruppe SO(3) sind), die anderen 5 haben C = −1. Wegen der ungebrochenen
Eichsymmetrie kann man jedoch jedes Gluon der einen Konfiguration in die andere transformieren. Deshalb
sind sie nicht unterscheidbar. (Diese Argumentation funktioniert bei gebrochenen Symmetrien nicht.)
Jedoch findet man für die SU(2):
C : W µ,a σ a 7→ −W µ,a (σ a )∗ ,
also




W µ,1
−W µ,1
W µ,2  7→  W µ,2  .
W µ,3
−W µ,3
W µ,2 transformiert sich also anders als die beiden anderen. (W µ,2 entspricht dem einen rein imaginären Generator der Untergruppe SO(2).) Folglich gilt
C : W µ,± 7→ −W µ,∓ ,
(217)
wegen der Definition der W ± wie es auch sein muss. (Die elektrische Ladung dreht sich um unter C-Transformation.)
Es gilt jedoch
Aµ , B µ , Z µ 7→ −Aµ , −B µ , −Z µ ,
(218)
also ist die C-Quantenzahl hier gleich −1. Betrachten wir ein komplexes Skalarfeld:
C : ϕ(x) 7→ ηc00 ϕ∗ (x) ,
|ηc00 | = 1 .
(219)
Es muss ϕ nach ϕ∗ transformieren, weil es als Skalarfeld eine komplexe U(1)-Quantenzahl trägt. Durch Umdefinieren des Feldes kann man die Phase loswerden:
p
C
ϕ0 = (ηc00 )∗ ϕ ⇒ ϕ0 −
→ ϕ∗ .
Ein reelles Skalarfeld hat keine Phase und es gilt
ϕ(x) 7→ ±ϕ(x) ,
was einer Quantenzahl C = ±1 entspricht. Beispielsweise gilt für das physikalische Higgsfeld h0 , dass C = 1
ist. Das Higgsfeld muss sich nämlich wie das Vakuum transformieren und dieses ist natürlich invariant unter
C. Für das Pseudogoldstoneboson G0 ist C = −1 und für die beiden anderen G± gilt:
C
G± −
→ G∓ .
Das Ergebnis ist entgegen der Erwartung. Man würde nämlich denken, dass das Vorzeichen analog zu den
W-Bosonen ist, weil die Pseudo-Goldstonebosonen deren longitudinale Polarisationen sind. Achtung: Es gilt
C
φ−
→ φ∗ 6= φc = εφ∗ ,
also ist φc das ladungskonjugierte Dublett multipliziert mit ε. Aus (186), (215) folgt
(
P
−
→ ∂ µ − ig3 Gµ,a T a = Dµ
a a
Dµ = ∂µ − ig3 Gµ T
.
C
−
→ ∂µ + ig3 Gaµ (T a )∗ = Dµ∗
(221)
Schauen wir uns den Feldstärketensor Gaµν an:
[Dµ , Dν ] =: −ig3 Gaµν T a .
Mit (221) folgt:
(
P
−
→ Gµν,a
a
Gµν
C
−
→ −(Gaµν )∗ = −Gaµν
(222)
,
was gilt, weil Gaµν wegen (120) reell ist. Damit gilt
1
P,C
LEich = − Gaµν Gµν,a −−→ LEich .
4
42
3.4. ZUSAMMENFASSUNG (UND ERGÄNZUNG) FÜR CHIRALE QUARKFELDER
Die T -Invarianz ist am einfachsten anhand der Feynman-Regeln (129), (130) zu verifizieren. Diese Betrachtungen kann man verwenden, um Auswahlregeln für die Strukturkonstanten zu bestimmen. Betrachten wir dazu
den Drei-Gluon-Vertex:
∼ f abc ,
und damit kann f abc nur dann ungleich null sein, wenn eine gerade Anzahl von Indizes zu Gluonen mit C = −1
gehört, weil die Selbstwechselwirkung der Gluonen wegen der obigen Gleichung C-erhaltend ist. Aus (215) folgt,
dass die Indizes 1, 3, 4, 6, 8 garnicht oder doppelt vorkommen müssen (siehe (118)!). Die Kopplungen von Wµa
an Fermionen verletzen P und C, weil Wµa nur an linkshändige Fermionen koppelt. Somit gilt die Herleitung
von (186) und (216) nicht im Standardmodell. Bessere Überlegung: LEich respektiert P, C und T , was P :
Wµa 7→ W µ,a impliziert. Durch Ladungskonjugation von
Wµ3
Wµ1
Wµ2
ergibt sich, dass null oder zwei Felder C = −1 haben. Wegen C: Wµ± 7→ ±Wµ∓ haben W 1 oder W 2 unterschiedliche C-Quantenzahlen und W 3 hat C = −1. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man die Wahl von
(216) in dieser besseren Argumentation übernehmen. Ein Fermion-Antifermion-Paar besitzt die intrinsische
C-Quantenzahl −1 wegen Antivertauschen in (213). Die CP-Transformation bildet Fermionfelder auf Felder
derselben Chiralität ab. Betrachten wir nun CP-Transformationen:
CP
ψL (x) −−→ ψL (e
x)ηCP ,
ψR (x) 7→ ψR (e
x)ηCP .
Eine reine Eichtheorie (ohne Yukawa-Kopplung) mit Fermionen, aber ohne Skalarfelder, ist CP-erhaltend. (Dies
ist ein Argument gegen Technicolor, welche alle Skalarfelder aus dem Standardmodell beseitigt und das Higgs
als Bindungszustand zwischen Technifermion und Techniantifermion zu erklären versucht. Ein Kondensat von
Technifermionen soll die Masse der Teilchen liefern.) In einer Theorie mit Skalarfeldern (Higgs) kann CP explicit
oder spontan gebrochen sein (wenn ein CP-ungerades Higgsfeld einen Vakuumerwartungswert bekommt). Im
Standardmodell ist der Vakuumerwartungswert CP-erhaltend. Damit braucht man für spontane CP-Verletzung
ein zweites Higgsfeld (Idee von T.D. Lee, bevor die dritte Generation bekannt war).
3.4
Zusammenfassung (und Ergänzung) für chirale Quarkfelder
Wir betrachten die chiralen Quarkfelder bR und dL . Die Phasenfaktoren seien ηc := ηcd (ηcb )∗ usw. Weiterhin
sei σ µν := i/2[γ µ , γ ν ].
Strom
bR dL (x)
bL γµ dL (x)
bR σµν dL (x)
C
dR bL (x)ηc
−dR γµ bR (x)ηc
−dR σµν bL (x)ηc
P
bL dR (e
x)ηp
bR γ µ dR (e
x)ηp
bL σ µν dR (e
xηp
CP
dL bR (e
x)ηc ηp
−dL γ µ bL (e
x)ηc ηp
−dL σ µν bR (e
x)ηc ηp
T
bR dL (−e
x)ηt
bL γ µ dL (−e
x)ηt
bR σ µν dL (−e
x)ηt
CPT
dL bR (−x)ηc ηp ηt
−dL γµ bL (−x)ηc ηp ηt
−dL σµν bR (−x)ηc ηp ηt
43
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
Schlussendlich noch zur Transformation der Felder:
Feld
V µ = Aµ (x), Gµ,1,3,4,6,8 (x), Z(x)
W ±,µ (x)
Higgs h0 (x)
C
−V µ (x)
−W ∓,µ (x)
h0 (x)
P
Vµ (e
x)
Wµ± (e
x)
h0 (e
x)
CP
−Vµ (e
x)
−Wµ∓ (e
x)
h0 (e
x)
T
Vµ (−e
x)
Wµ± (−e
x)
h0 (−e
x)
CPT
−V µ (−x)
−W ∓,µ (−x)
h0 (−x)
Ein Strom ist ein Produkt von zwei Quantenfeldern mit gleichem Argument. Betrachten wir als Beispiel den
elektromagnetischen Strom
jeµ = eψ(x)γ µ ψ(x) ,
LQED = jeµ Aµ (x) .
(3.1)
Diese Größen haben dieselben Eigenschaften wie die Ströme in der klassischen Mechanik. (Eigentlich handelt
es sich um eine Stromdichte; der Strom ergibt sich durch Integration über den ganzen Raum und die nullte
Komponente ist die erhaltene elektrische Ladung.)
Aus dem Transformationsverhalten der Vektorfelder, nämlich beispielsweise PW µ,+ P † = Wµ+ und (70) kann
man das Transformationsverhalten der Polarisationsvektoren ableiten:
P
εµ −
→ εµ ,
C
εµ −
→ −(εµ )∗ ,
T
εµ −
→ ε∗µ ,
(226)
wobei beispielsweise T (ε(+) )µ T † = ((ε(+) )µ )∗ = (ε(−) )µ gilt. Dies bedeutet, dass die Zeitumkehr aus rechtszirkular polarisierten Photonen links-zirkular polarisierte Photonen macht. P lässt die Polarisation der Vektorbosonen (entspricht der m-Quantenzahl des Drehimpulses) gleich. (Dies ist klar, denn der Spin ist ein
Axialvektor.)
Mit (224) (wobei d → u) und (225) finden wir, dass
(156)
g2
g2 ∗
µ
+
µ
−
LqW ⊃ Lbu
W = √ Vub bL γ uL Wµ + √ Vub uL γ bL Wµ ,
2
2
(227)
bu
= ηcb ηpu ) gilt, dass
nicht invariant unter C oder P ist, weil bR γ µ uR Wµ+ 6⊂ LSM . Unter CP (mit ηc,p
g2
g2 ∗
CP
†
µ
− bu
µ
+ bu ∗
−→ (CP)Lbu
Lbu
W (CP) = √ Vub uL γ bL Wµ ηc,p + √ Vub bL γ uL Wµ (ηc,p ) ,
W −
2
2
(228)
∗
bu
= Vub
((ηc )ub )∗ (229) gilt, also reell ist. Dies ist immer möglich für ausgewählte
CP-invariant ist, sofern Vub ηc,p
W-Kopplungen, jedoch nicht für alle gleichzeitig!
di uj
ηc,p
= exp(i(ϕuj − ϕdi )) .
(230)
Es gibt sechs verschiedene Phasen und fünf mögliche Phasendifferenzen ϕuj − ϕdi . Somit bleiben mindestens
vier der neun Kombinationen Vij exp(i(ϕuj − ϕdi )) (231) bleiben komplex. Alternative Diskussion: Wir wählen
d uj
ηc i
= 1 und erlauben in (228) Phasentransformationen
uj 7→ exp(iϕuj )uj ,
di 7→ exp(iϕdi )di ,
(232)
mit dem Effekt
Vij 7→ Vij exp(i(ϕuj − ϕdi )) .
(233)
Die verbleibenden mindestens vier komplexen Vij hängen von einer komplexen Phase ab, nämlich δ13 in (20).
Somit ist CP verletzt. CP-Verletzung ist ein Interferenzphänomen verschiedener Amplituden mit verschiedenen CKM-Elementen müssen interferieren.
CPT -Invarianz: Wir betrachten
g2 ∗
g2
CPT
†
µ
−
µ
− ∗
∗
Lbu
−−→ (CPT )Lbu
W −
W (CPT ) = √ Vub uL γ bL Wµ ηc,p ηt + √ Vub bL γ uL Wµ ηc,p ηt .
2
2
Transformiert man beispielsweise alle
di 7→ ηc,p ηt di ,
so ist LSM CPT -invariant. Mit (224), (225) verifiziert man CPT -Invarianz für Higgs-Kopplungen.
44
3.5. CPT -THEOREM (NACH LÜDERS, PAULI, ZUMINO UND SCHWINGER)
3.5
CPT -Theorem (nach Lüders, Pauli, Zumino und Schwinger)
Jede lokale Quantenfeldtheorie, die Lorentz-invariant ist und eine hermitesche Lagrangedichte hat
(unitäre Streuprozesse), ist CPT -invariant. Konsequenzen: Teilchen und Antiteilchen haben gleiche Massen
und Lebensdauern.
3.6
Einbau von Mesonen in die Theorie
Wir wollen nun √
Mesonen in die Theorie einbauchen, also die Brücke schlagen von Quarks nach Mesonen.
π 0 ∼ (uu − dd)/ 2 ist ein reelles (Pseudo-)Skalarfeld, dass keine komplexen Phasen ηc , ηp und ηt enthalten
kann.
P|π 0 i = −|π 0 i ,
C|π 0 i = |π 0 i .
(234)
Zwei Photonen haben C = 1 und damit auch das Pion. Die Physik der Mesonen lebt vom Axialvektorstrom:
µ
jA
= qγµ γ5 q = qR γµ qR − qL γµ qL .
(235)
Dieser erfüllt nach Tabelle (224):
PjµA P + = −(jA )µ ,
µ +
µ
CjA
C = jA
.
(236)
Der Axialvektorstrom hat die richtigen Quantenzahlen, um Pionen aus dem Vakuum zu erzeugen. Also gilt
mit
1
jπµ = √ (uγµ γ5 u − dγµ γ5 d) ,
2
(237)
dass
Z
jπµ (x)|0i = −ifπ
d3 q exp(iqx) µ 0
q |π (q)i ,
(2π)3 2Eq
plus andere flavourlose Mesonzustände mit I = 1, P = −1 und C = 1, wobei man aus Gründen der Lorentzinvarianz den Faktor q µ benötigt. Mit einer geeigneten Phase aus dem Pionzustand kann man die Konstante fπ
reell wählen. Diese Gleichung wird transparenter, wenn man von links hπ 0 (p| multipliziert:
hπ 0 (p)|jπµ (x)|0i = −ifπ pµ exp(ipx) ,
wegen
hπ 0 (p)|π 0 (q)i = (2π)3 2Ep δ (3) (p − q) ,
was durch Verwendung von (61) und (62) folgt. Weiterhin folgt durch komplexe Konjugation und wegen
(jπµ )† = jπµ das sogenannte hadronische Matrixelement des Stromoperators jπµ (x):
h0|jπµ (x)|π 0 (p)i = ifπ pµ exp(−ipx) .
(238)
In diesem Matrixelement steckt nur die starke Wechselwirkung drin. fπ heißt Pion-Zerfallskonstante und
die ist ohne Beschränkung der Allgemeinheit reell. Analog gilt beispielsweise für B+ -Mesonen:
h0|bγ µ γ5 u|B + (p)i = ifB + pµ exp(−iP x) .
(239)
Aus der Gittereichtheorie ergibt sich
fB + ≈ fπ0 = (200 ± 30) MeV .
Isospinsymmetrie behandelt Up- und Down-Quarks gleich. Unterschiede folgen lediglich durch Ladung und
Masse.
Wir wählen die Phasenkonvention
−
bu
|B + (−p)i .
CP|B (p)i = −ηc,p
Für die Mesonen könnte man die Phasenkonvention beliebig wählen (weil sie dieselbe Physik beschreiben). (Von
vorn herein darf man jedoch keine beliebige Phase wählen, wenn man CP-Verletzung untersucht, weil man dann
45
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
eventuell ene ungünstige Phasenkonvention der CKM-Matrix festlegt, in der schon die Cabibbo-Matrix eine
komplexe Phase hat.) Das Minuszeichen ist so gewählt, um das B-Meson mit der gleichen Vorzeichenkonvention
wie das Pion zu behandeln. Nachdem man die Phasenfreiheit verstanden hat, wählt meine eine bequeme
bu
Konvention, oft ηc,p
= 1. Warum ist das geschickt?
(240)
bu
h0|CPuγµ γ5 b(x)(CP)† |B + (p)i = h0|bγµ γ5 u(e
x)|B † (−p)i =
h0|uγµ γ5 b(x)|B − (p)i = −ηc,p
= ifB + P µ exp(−iP · x) ,
(241)
bu ∗ bu
weil (ηc,p
) ηc,p = 1. Das gleiche Spielchen treiben wir für die neutralen B-Mesonen; es wird die Phase verwendet,
die in den entsprechenden Strömen vorkommt:
bd
CP|B d (p)i = −ηc,p
|Bd (−p)i ,
bd
CP|Bd (p)i = −(ηc,p
)|B d (−p)i ,
(242)
und
hu|bγµ γ5 d(x)|Bd (p)i = h0|dγµ γ5 b(x)|B d (p)i = ifBd Pµ exp(−iP · x) .
(243)
Unsere Standardkonvention ist, dass alle ηc,p auf 1 gesetzt werden.
3.7
Flavour-ändernde neutrale Ströme
Wir betrachten die Mischuner schwacher Eigenzustände nach d0i,L = Vij dj,L , wobei dj Masseneigenzustände
sind.
0
di,L d0i,L γ µ dj 0 Vj†0 ,i Vij dj,L = dj,L γ µ dj,L .
Dann fällt sie CKM-Matrix in allen Produkten heraus (Baumgraph-GIM-Mechanismus). Was man heute meint,
wenn man von GIM-Mechanismus spricht, ist eine Unterdrückung von flavourändernden neutralen Strömen.
Auf Baumgraphenniveau gibt es keine FCNC-Kopplungen von Aµ , Z µ und Gµ,a . Flavourändernde neutrale
Ströme gibt es nur über Schleifendiagramme, wie beispielsweise die Pinguin-Diagramme
s
d
W+ , G+
s
u,c,t
W + , G+
d
g
q
q
Die Flavourstruktur kann man betrachten, ohne diese Diagramme explizit ausrechnen. Diese Flavourstruktur
ist von folgender Form:
P = λu Pe(mu ) + λc Pe(mc ) + λt Pe(mt ) ,
(245)
mit λi = Vid Vis∗ (246). Wegen der Unitarität gilt λu + λc + λt = 0 (247). Um den GIM-Mechanismus auf
Schleifenniveau zu erklären, nutzt man Gleichung (247) aus. Damit gilt also mit λu = −λc − λt :
P = λc (Pe(mc ) − Pe(mu )) + λt (Pe(mt ) − Pe(mu )) .
(248)
GIM auf Schleifenniveau bedeutet also, dass FCNC-Prozesse für mu = mc = mt verschwinden. Die GIMUnterdrückung ist für die Kaon-Physik wichtig. In (248):
∗
λc = Vcd Vcs
≈ −0, 22 ,
|λt | = |Vtd Vts∗ | ≈ 3 · 10−4 .
(249)
Jedoch gilt
m2 − m2
Pe(mc ) − Pe(mu ) ∼ c 2 u = 2 · 10−4 ,
MW
46
3.7. FLAVOUR-ÄNDERNDE NEUTRALE STRÖME
wobei man diesen Faktor auch als GIM-Unterdrückungsfaktor bezeichnet. Generisch für die Kaon-Physik ist
die Konkurrenz zwischen den Termen in (248). Wegen mt > MW gibt es keine GIM-Unterdrückung in TopSchleifen. Wegen der Hierarchie zwischen den CKM-Elementen (249) konkurrieren Carm- mit Top-Schleifen in
der Kaon-Physik. Die Kaon-Mischung konnte somit das Top-Quark noch nicht vorhersagen, sondern erst die
B-Mischung. In der Regel sind Top-Beiträge dominant (Ausnahme b → sγ), weil |Vtb Vtd | ∼ Vcb Vcd |. CharmPhysik: Hier laufen nur d-, s- und b-Quarks in den Schleifen, womit das Massenverhältnis viel kleiner ist:
Vcs Vus
m2s − m2d
≈ 0, 2 · 10−6 ,
2
MW
∗
Vcb Vub
m2b − m2d
≈ 2 · 10−4 · 4 · 10−3 .
2
MW
Dies ist der Grund, warum im Standardmodell FCNC-Prozesse der Charm-Physik extrem klein sind. Lediglich
beobachtet wird die D0 − D0 -Mischung:
u
d,s,b
c
d,s,b
u
c
47
KAPITEL 3. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
48
Kapitel 4
Die Quantenchromodynamik
Die starke Kopplungskonstante ist gs = g3 und außerdem setzt man αs = gs2 /(4π) (250).
4.1
Renormierung
Renormierung ist die Antwort auf Ultraviolett-Divergenzen. Solche Divergenzen treten nicht auf Baumgraphenniveau auf, sondern erst auf Schleifenniveau. Betrachten wir dazu Einschleifendiagramme:
Als Beispiel betrachten wir die Quark-Selbstenergie; die Quarkmasse sei m:
q−p
0
=: iΣα,β
j,k (p)uj (p, s)uk (p, s ) .
α, i
q
β, k
Σ besitzt Farbindizes α, β und Dirac-Indizes j, k. Es ist also eine 4 × 4-Matrix im Spinorraum. Wir lassen nun
die Diracstruktur weg:
µ
¶
Z
d4 q
q+m
(q − p)µ (q − p)ν
1
αβ
a
µν
a
¢
iΣ = gs Tαγ
γµ 2
g + (ξ − 1)
γν gs Tγβ
.
(251)
4
2
2
(2π)
m −q
(q − p)
(q − p)2
a
a
auf
gs , Tαγ
und γµ auf der linken Seite kommen alle aus der Quark-Gluon-Kopplung, ebenso wie γν , gs und Tγβ
der rechten Seite. In der Mitte steht zunächst der Quark-Propagator und dann der Gluon-Propagator. Über
den Farbindex α und den Spinorindex γ ist zu summieren. Als erstes berechnet man die Farbalgebra (wegen
der einfacheren Struktur). Eine nützliche Beziehung in der SU(N ) ist die folgende:
a
a
Tαγ
Tβδ
=
1
1
δαδ δβγ −
δαγ δβδ .
2
2N
(252)
In der QCD macht man oft das sogenannte Colour-Counting, in dem man in 1/N entwickelt. Wie kommt man
auf diese Formel (252)? Man macht dazu einen Ansatz der Form
a
a
Tαγ
Tβδ
= Aδαδ δβγ + Bδαγ δβδ ,
(253)
und kontrahiert diesen mit (253):
0 = Aδαδ δβα + BN δβδ = (A + BN )δβδ ,
49
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
woraus sich A = −BN (254) ergibt. Nun kontrahiert man (253) mit δγβ δδα :
Sp(T a T a ) = AN 2 + BN .
(255)
Aus der Normierung der SU(N )-Generatoren
Sp[T a T b ] =
1 ab
δ ,
2
(256)
(verifiziert man für SU(3) mit (115), (116)) und mit der Summation von a = 1, . . ., N 2 − 1 folgt aus (255):
N2 − 1
= AN 2 + BN = BN (−N 2 + 1) ,
2
also B = −1/(2N ) und mit (254) A = 1/2.
Damit finden wir den Farbfaktor
a
a
Tαγ
Tγβ
=
¤
1
1
δαβ δγγ −
δαγ δγβ = CF δαβ ,
2
2N
(257)
mit
CF =
N 2 − 1 N =3 4
=
.
2N
3
(258)
CF bezeichnet man als Casimir-Invariante. Wir führen nun die Schreibweise ¢q = γ% q % ein und erhalten:
(251)
iΣαβ = gs2 CF δαβ {γµ γ% γ µ I1% + γµ γ µ mI2 + γµ γ% γν I3%µν + γµ γν mI4µν } ,
mit den Schleifenintegralen (259) I1% , I2 , . . ., I4µν . Beispielsweise sind die Schleifeintegrale I1% und I2 gegeben
durch
Z
Z
d4 q
q%
d4 q
1
%
I1 =
,
I
=
.
(260)
2
(2π)4 [m2 − q 2 ](q − p)2
(2π)4 [m2 − q 2 ](q − p)2
Diese Integrale divergieren für |q| 7→ ∞; sie sind UV-divergent“. Die Theorie muss also für große Impulse,
”
also kleine Abstände, modifiziert werden.
4.2
1.Schritt: Regularisieren
Die beste Methode stellt die dimensionale Regularisierung dar. Die Idee dahinter ist die Zerlegung des
µ
Schleifenimpulses in zwei Komponenten: q µ = qkµ + q⊥
, wobei qk ∈ [p1 , . . . , pN ] und qkµ q⊥,µ = 0. qkµ soll also in
µ
dem Unterraum der äußeren Impulse p1 , . . ., qN liegen und q⊥
senkrecht zu diesem Unterraum. Setze in (254)
2
q 2 = qk2 + q⊥
. Ist der äußere Impuls beispielsweise p = (mq , 0, 0, 0), so wählt man
 
1

0

(qkµ ) = α 
0 ,
0
 
 
0
0




1
µ

0
(q⊥
)=β
0 + γ 1 + . . . .
0
0
Hierbei gilt
2
(q − p)2 = (qk − p)2 + q⊥
.
2
ab, weil das Schleifenintegral kontrahiert mit den äußeAllgemein hängt der Integrand von q⊥ nur über q⊥
4
ren Impulsen verschwindet. Es ist also d q = dN qk d4−N q⊥ und benutzen für d4−N q⊥ Polarkoordinaten
|q⊥ |3−N d|q⊥ | dΩ4−N mit dem Raumwinkel-Element dΩ4−N . Verringert man die Zahl der Raumzeit-Dimensionen
von 4 auf D < 4, so verbessert sich das UV-Verhalten:
dD = dN qk |q⊥ |D−1−N d|q⊥ | dΩD−N .
(261)
Im Beispiel (260) finden wir UV-Konvergenz von I2 für D < 4. Regularisiert:
Z
I2 :=
dD q
1
(255)
= dΩD−1
D
2
2
2
(2π) [m − q − iδ](q − p)
Z∞
Z
d|q⊥ |
dqk
0
|q⊥ |D−2
.
[m2 − qk2 − |q⊥ |2 ][(qk − p)2 + |q⊥ |2 ]
50
4.2. 1.SCHRITT: REGULARISIEREN
Die erste Integration über das Raumwinkelelement dΩD−1 läuft über die Oberfläche SD der (D−1)-dimensionale
Einheitskugel. Dessen Ergebnis lautet:
Z
D
SD =
dΩD
2π 2
= ¡D¢ ,
Γ 2
(263)
mit der Eulerschen Γ-Funktion:
Z∞
exp(−t)tx−1 dt .
Γ(x) =
(264)
0
Diese besitzt die Eigenschaft Γ(n + 1) = n! und es gilt die Funktionalgleichung
Γ(x + 1) = xΓ(x) .
(265)
√
Außerdem ist Γ(1/2) = π, was wir im Folgenden benötigen werden. Die Γ-Funktion ist analytisch mit
einfachen Polen für −x ∈ N0 . Für die Entwicklung der Γ-Funktion gilt
Γ(1 + ε) = 1 − γE ε + O(ε2 ) ,
(266)
mit der Euler-Mascheroni-Konstante
µ
¶
1
1
γE := lim 1 + + . . . + − ln(n) ≈ 0, 57772 .
n7→∞
2
n
(267)
Die UV-Divergenzen manifestieren sich als Pole der Γ-Funktion. Mit (259) folgt daraus
Γ(1 + ε)
1
= − γE + O(ε) ,
ε
ε
Γ(ε) =
(268)
In (263) findet man bekannte Ergebnisse:
S2 =
2π
= 2π ,
Γ(1)
3
S3 =
2π 2
1 √ = 4π .
2 π
Die entscheidende Idee der dimensionalen Regularisierung (262) und (263) können für beliebiges D ∈ C definiert
werden. Entwickeln in ε mit D =: 4 − 2ε (269) liefert Pole in ε in UV-divergenten Integralen. An dieser Stelle
führen wir Feynman-Parameter ein:
1
=
AB
Z1
dx
0
1
.
[xA + (1 − x)B]2
(270)
Die mehr als zwei Propagatoren gibt es analoge Formeln, die man rekursiv definieren kann. In I2 mit A = (q−p)2
und B = q 2 − m2 gilt somit:
Z1
I2 = −
Z
dx
0
Z1
=−
Z
dx
0
Z1
=−
Z
dx
0
1
dD q
=
D
2
(2π) [x(q − p) + (1 − x)(q 2 − m2 ) + iδ]2
1
dD q
=
D
2
2
(2π) [q − 2xqp + xp − (1 − x)m2 + iδ]2
dD q
1
.
(2π)D [(q − xp)2 − x2 p2 − (1 − x)m2 + iδ]2
Verschieben wir den Integrationsimpuls q 0 = q − xp, so ergibt sich:
Z1
I2 = −
Z
dx
0
dD q 0
1
.
(2π)D [q 02 + p2 x(1 − x) − (1 − x)m2 + iδ]2
(271)
51
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
Ein nützliches Integral (mit q0 = iq4 ) für A > 0 ist das folgende:
Aα
0
Z
1
:=
1
d q
[A − q 2 ]α
D
D
iπ 2
1
x=|q|2
=
D
π2
1
SD
2
Z∞
0
¡
¢
D
Γ α− D
D
x 2 −1
2
dx =
A 2 −α .
(A − x)α
Γ(α)
SD folgt aus (263) und das Integral ist gegeben durch
Z∞
0
D
Γ
x 2 −1
dx =
(A − x)α
¡D¢ ¡
2 Γ α−
Γ(α)
D
2
¢
.
Anwenden von (269) liefert
2−α−ε
Aα
0 =A
Γ(−2 + α + ε)
.
Γ(α)
(272)
Mit α = 2 und A = (1 − x)m2 − p2 x(1 − x) − iδ ergibt sich also:
I2 = −
Z1
i
(4π)
D
2
dx [−p2 x(1 − x) + (1 − x)m2 − iδ]−ε .
Γ(ε)
(273)
0
Die UV-Divergenz ist nun isoliert und steckt in der Γ-Funktion, denn:
i
(4π)
D
2
=
i
(1 + ε ln(4π)) ,
16π 2
Γ(ε) =
1
− γE ,
ε
[−p2 x(1 − x) + (1 − x)m2 − iδ]−ε = 1 − ε ln[−p2 x(1 − x) + (1 − x)m2 − iδ] .
Einsetzen dieser ganzen Entwicklungen liefert


Z1

i 1
2
2
−
γ
+
ln(4π)
−
dx
ln[−p
x(1
−
x)
+
(1
−
x)m
−
iδ]
+
O(ε)
.
I2 = −
E

16π 2  ε
(274)
0
Durch den Pol 1/ε ist also die UV-Divergenz jetzt voll ersichtlich. Die gebrochene Massendimension führt
zu einem dimensionsbehafteten Argument des Logarithmus! Etwas fehlt daher noch! Der Startpunkt dieser
weiteren Untersuchung bildet die Wirkung S:
Z
S = dD x L ,
wobei die Dimension der Lagrangedichte D = 4 − 2ε ist.
LQCD ⊃ qi½
Dq = qi½
Dq + gs(0) qT a γ µ qAaµ ,
wobei der Index (0)“ bei der Eichkopplung für unrenormiert“ steht.
”
”
D−1
3
[∂] = 1 ⇒ [q] =
= − ε.
2
2
Aus dem kinetischen Term der Gluonfelder folgt
D
1
− 1 = 1 − ε.
LQCD ⊃ − (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ )2 ⇒ [Aaµ ] =
4
2
Es gilt [m2 ] = 1, aber
gs(0) = 4 − 2ε − (3 − 2ε + 1 − ε) = ε .
In der Lagrangedichte der klassischen Feldtheorie gibt es kein Element, welches sensitiv auf Massen oder
Lägenskalen ist. Durch Schleifenkorrekturen wird in die Theorie eine Massenskala eingeführt ( scaling without
”
a scale“). Die neue Skala ist somit ein reiner Quanteneffekt.
52
4.3. ZUSAMMENFASSUNG ODER AUCH WAS BISHER GESCHAH“
”
4.3
Zusammenfassung oder auch Was bisher geschah“
”
• Das Ziel war, Strahlungskorrekturen in der QCD zu berechnen. Als Beispiel haben wir dazu die QuarkSelbstenergie Σαβ betrachtet.
q−p
q
α, i
β, k
Die physikalische Masse des Teilchens entspricht der Position des Pols in dessen Propagator. In der
Quantenfeldtheorie wird der Austausch von physikalischen Größen (wie Energie und Impuls) über den
Austausch von virtuellen Teilchen beschrieben. Große Beitrage von den Polen der Propagatoren dieser
virtuellen Teilchen sorgen dafür, dass dieser Austausch über makroskopische Abstände erfolgen kann.
Über die Berechnung des obigen Diagramms bestimmt man gleichzeitig die unrenormierte Masse und
die komplette Energie, die in dem Feld steckt, welches an das Teilchen koppelt. (In der reinen Quantenmechanik entspräche dies beispielsweise der Bestimmung der Elektron-, Protonmasse und der negativen
Bindungsenergie zwischen beiden.)
• Bei der Berechnung von solchen Diagrammen wie dem obigen tritt ein Problem“ auf: Das dabei auftre”
tende Schleifenintegral ist UV-divergent.
• Dabei handelt es sich um einen neuen Effekt, den es nur in der Quantentheorie gibt. Im Ortsraum tritt
das Problem dann auf, wenn man über kleine Abstände integriert. Dabei sind Anfangs- und Endzustand
fest und Zwischenzustände sind alle Zustände der Theorie. Ein weiteres quantenemchanisches Analogon
dazu ist die Störungstheorie ab der zweiten Ordnung.
• In der Quantenfeldtheorie kann man (im Unterschied zur Quantenmechanik) diese Divergenzen in Begriff
bekommen, sofern die zugrundeliegende Niederenergietheorie renormierbar ist. Dann gilt das sogenannte
Entkopplungsprinzip, welches besagt, dass die Physik bei hohen Energien (kurzen Abständen) von der
Physik bei niedrigen Energien (großen Abständen) nicht beeinflusst wird, gewissermaßen entkoppelt.
Wäre dies nicht der Fall, könnte man beispielsweise keine B-Physik betreiben, ohne die Physik der
Quantengravitation zu kennen; Ergebnisse würden dominiert von der Physik an der Cut-Off-Skala.
• In einer nichtrenormierbaren Theorie taucht die unbekannte Physik an der Cut-Off-Skala in Niederenergievorhersagen auf. Dies ist beispielsweise bei der Fermitheorie der Fall; der Cut-Off ist in diesem Falle
die W-Boson-Masse.
• Man führt dann eine sogenannte UV-Regularisierung durch, in der man die Divergenz parametrisiert. In
der dimensionalen Regularisierung setzt man D = 4 − 2ε und entwickelt in ε. UV-Divergenzen manifestieren sich dann als Pole 1/ε.
(0)
• Bemerkung: Die Kopplungskonstante in der regularisierten QCD hat Dimension ε: [gs ] = ε.
(0)
Das Integral mit Dimension −2ε in (273) wird mit (gs )2 mit Dimension 2ε multipliziert.
LpQCD =
X
f
X
1 a µν,a
q[i∂¢ − m(0)
qT a γµ qAµ,a
+ gs(0)
q ]q − Gµν G
4
q
1
−
(∂µ Aµ,a )2 + ∂µ (η a )∗ ∂ µ η a + gs(0) f abc ∂µ (η a )∗ Aµ,b η c .
2ε
4.4
(275)
Multiplikative Renormierung
Man hat die Freiheit, die freien Größen, die man in die Lagrangedichte eingebaut hat, umzudefinieren:
(0)
• Massenrenormierung: mq = Zm mq
(0)
• Renormierung der Kopplungskonstanten: gs
= Zg gµε (276)
53
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
Hierbei sind mq und g die renormierte Masse bzw. Kopplung, also [gs ] = 0, [µ] = 1 und [Zg,m ] = 0. Man kann
die Aufspaltung µ = s · µ (277) definieren mit der Renormierungsskala µ und dem Schemenparameter s.
Sie wird dazu verwendet, um Renormierungsschemen zu definieren. Die Renormierungskonstanten sind gegeben
durch:
³ α ´2
αs (1)
s
(2)
Zm,g = 1 +
Zm,q +
Zm,g
+ ... .
(278)
4π
4π
Die UV-Divergenzen werden in m(0) , g (0) bzw. Zm , Zg absorbiert. Drückt man Übergangsamplituden durch
renormierte mq und g aus, so sind alle Pole in ε verschwunden. Es gibt verschiedene Methoden, dies in der
Rechnung umzusetzen. Die am meisten verwendete Methode ist die der Gegenterme (counter terms):
X
X
X
Lm = −
qqm(0)
qqZm mq = −
[qqmq − qq(Zm − 1)mq ] ,
(279)
q =−
q
q
q
mit
Zm − 1 =
αs (1)
Z + O(αs2 ) .
4π m
δmq = (Zm − 1)mq ,
(280)
heißt Massengegenterm. Dieser wird so bestimmt, dass er entgegen der Divergenz wirkt. Der Gegenterm
selbst wird störungstheoretisch durch eine Feynmanregel realisiert:
q
q
: −iδmq .
LqqA = gs(0)
X
(281)
qT a γµ qAµ,a = Zg gs µε
q
ε
ε
= (gs µ + δgs µ )
X
X
qT a γµ qAµ,a =
q
a
qT γµ qA
µ,a
,
(282)
q
mit den Gegenterm zur Kopplungskonstante
δgs = (Zg − 1)gs =
αs
gs Zg(1) + O(αs2 ) .
4π
(283)
Die Feynmanregel zum Gegenterm, sieht ähnlich aus wie die Feynmanregel zur Kopplung:
q
q
: iδgs µε γµ T a .
(284)
µ, a
In den Feynman-Regeln (128) bis (130) muss g3 = gs durch gs µε ersetzt werden. Zu allen Regeln gibt es eine
Entsprechung mit δgs µε analog zu (284). Das heißt, unsere regularisierte Selbstenergie iΣαβ in (251) enthält
µ2ε I2 , µ2ε I1% usw. Dann haben diese Integrale wieder die Dimension null und das Argument des Logarithmus
wird dimensionslos. Mit (273), (274) und
(274)
µε = sε µε = (1 + ε ln(s) + ε ln(µ) + O(ε2 )) ,
(285)
ist
i
µ I2 = −
16π 2
2ε
½
1
− γE + ln(4π) + 2 ln(s)
ε

µ
· 2
¸¶
Z1
2
p
m
− dx ln(1 − x) + ln − 2 x + 2 − iδ
.

µ
µ
(286)
0
54
4.5. SYSTEMATIK DER SCHLEIFENINTEGRALE
Verschiedene Wahlen von s entsprechen verschiedenen Schemen. Zwischenergebnisse unterscheiden sich, doch
Endergebnisse sind unabhängig von der Schemenwahl.
½
i
1
2ε
µ I2 = −
− γE + ln(4π) + 2 ln(s) + 2
2
16π
ε
(287)
µ 2
¶
µ 2
¶¾
m − p2 − iδ
µ2
m − p2 − iδ
+ 2 ln
.
− ln
p2
p
m2
Für p2 > m2 besitzt der Logarithmus einen Imaginärteil, weil dann Produktionsprozesse möglich werden
(optisches Theorem). Im Ausdruck des ursprünglichen Diagramms, kommt die Minkowski-Metrik vor, die also
in D Dimensionen definiert werden muss. Man fordert dann
gµ µ = D .
(288)
Wir behalten die Dirac-Algebra (51) bei:
{γ µ , γ ν } = 2g µν .
Hieraus folgt durch Kontraktion mit einem zusätzlichen gµν :
gµν {γ µ , γ ν } = 2D ,
(289)
also γ µ γµ = D (290). Damit findet man zum Beispiel mit (51)
γµ γ% γ µ = −γµ γ µ γ% + γµ 2g% µ = (2 − D)γ% = (−2 + 2ε)γ% .
(291)
Die Eigenschaft (288) ist für endlich dimensionale Räume nicht erfüllbar. Man kann Integrale angeben, welche
die Eigenschaft einer solchen Metrik aufweisen.
4.5
Systematik der Schleifenintegrale
Alle Einschleifenintegrale lassen sich durch algebraische Umformungen (Multiplikation, Division, etc.) auf vier
skalare Integrale (sogenannte Materintegrale) A0 , B0 , C0 und D0 zurückführen. Wir beginnen mit
Z
exp(γE ε) 2ε
1
A0 (m) :=
µ
dD q 2
.
(292)
D
q − m2
iπ 2
Dieses Integral taucht in sogenannten Tadpolediagrammen (tadpole ≡ Kaulquappe) auf:
Tadpolediagramme besitzen keinen äußeren Impuls. Das entsprechende Vektorintegral ist gegeben durch
Z
exp(γE ε) 2ε
qµ
= 0,
Aµ (m) =
µ
dD q 2
D
q − m2
iπ 2
wegen der Substitution q µ →
7 −q µ . Als nächstes gibt es das Tensorintegral
Z
qµ qν
exp(γE ε)
dD q 2
Aµν (m) =
= A00 (m)g µν ,
D
q − m2
iπ 2
(293)
wobei die letzte Gleichheit aus Lorentz-Kovarianz folgt. (Das Ergebnis muss ein zweistufiger Lorentztensor sein
und davon gibt es nur g µν .) Aus (272) folgt:
µ
A0 (m) = −m2
m2
µ2
¶−ε
·
exp(γE ε)Γ(−1 + ε) = m2
1
+ 1 − ln
ε
µ
m2
µ2
¶¸
+ O(ε) .
m1
p
p
m2
55
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
Im Falle zweier Propagatoren in der Schleifen benötigt man folgende Zweipunktfunktionen:
Z
exp(γE ε) 2ε
1
B0 (p2 , m1 , m2 ) = B0 (p2 , m2 , m1 ) =
µ
dD q 2
.
D
2
(q − m1 )[(q + p)2 − m22 + iδ]
iπ 2
(294)
Aus (262), (286) und (287) lässt sich B0 (p2 , m, 0) extrahieren:
· 2
¸
p
m2
dx ln − 2 x(1 − x) + 2 − iδ =
µ
µ
0
µ 2
¶
µ 2
¶
1
m − p2 − iδ
m2
m − p2 − iδ
= + 2 − ln
+ 2 ln
.
ε
µ2
p
m2
Z
exp(γE ε) 2ε
qµ
=
B µ (p, m1 , m2 ) :=
µ
dD q 2
D
2
[q − m1 + iδ][(q + p)2 − m22 + iδ]
iπ 2
= B1 (p2 , m1 , m2 )pµ ,
1
B0 (p , m, 0) = −
ε
Z1
2
(295)
(296)
wobei das letzte Gleichheitszeichen wieder aus der Lorentzkovarianz folgt. Für das entsprechende Tensorintegral
gilt:
B µν (p, m1 , m2 ) = B00 (p2 , m1 , m2 )g µν + B11 (p2 , m1 , m2 )pµ pν .
(297)
Im Falle von drei Propagatoren gibt es die Integrale C0 , C µ = C1 pµ1 +C2 pµ2 , usw. Man kann alle Tensorintegrale
algebraisch auf die skalaren Integrale A0 , B0 usw. zurückführen (Brown, Feynman, Passarino, Veltman). Wir
schauen uns diese Reduktion anhand eines Beispiels und zwar Gleichung (293) an. Dazu kontrahieren wir (293)
mit gµν und erhalten:
½
¾
Z
Z
exp(γE ε) 2ε
q2
exp(γE ε) 2ε
m2
D
DA00 =
µ
dDq 2
=
µ
d q 1+ 2
.
(298)
D
D
q − m2
q − m2
iπ 2
iπ 2
Es gilt für skalenlose Integrale
Z
dD q (q 2 )α = 0 .
Dies lässt sich beispielsweise in dimensionaler Regularisierung zeigen oder durch die Substitution q 7→ λq!
Daraus ergibt sich dann
DA00 (m) = m2 A0 (m) ⇒ A00 (m) =
m2
A0 (m) .
D
(299)
Im Allgemeinen werden Tensorintegrale n-ter Stufe rekursiv durch Tensorintegrale N −1-ter Stufe ausgedrückt.
In pµ B µ muss dazu
p·q =
¤
¤ 1£
1£
(p + q)2 − p2 − q 2 =
(p + q)2 − m22 − (q 2 − m21 ) + m22 − m21 − p2 ,
2
2
ausgenutzt werden. Damit wird jeweils einer der Propagatoren gekürzt. Nach (296) gilt dann
½
Z
exp(γE ε) 2ε 1
1
1
D
p2 B1 = pµ B µ =
µ
d
q
−
D
2
q 2 − m21
(q + p)2 − m22
iπ 2
¾
1
=
+ (m22 − m21 − p2 ) 2
(q − m21 )[(q + p)2 − m22 ]
ª
1©
=
A0 (m1 ) − A0 (m2 ) + (m22 − m21 − p2 )B0 (p2 , m1 , m2 ) .
2
Somit gilt also:
B1 =
ª
1 ©
A0 (m1 ) − A0 (m2 ) + (m22 − m21 − p2 )B0 (p2 , m1 , m2 ) .
2
2p
(300)
B1 ist nicht symmetrisch in m1 und m2 . Weiterhin soll der divergente Anteil getrennt vom endlichen Anteil
diskutiert werden. Aus
B0 =
1
+ B0 ,
ε
A0 =
m2
+ A0 ,
ε
56
4.5. SYSTEMATIK DER SCHLEIFENINTEGRALE
folgt der divergente Anteil:
(300)
B1 = −
1
+ B 1 usw.
2ε
Die Integrale A0 , B0 , C0 und D0 sind für alle Kombinationen von Massen und Impulsen bekannt. Dies schließt
den Teil über Schleifeintegrale ab und wir kommen zurück zur Quark-Selbstenergie Σαβ : Zunächst gehen wir in
die ’t Hooft-Feynman-Eichung was der Wahl ξ = 1 des Eichparameters in (251) entspricht. Also verschwinden
die Integrale I3%µν und I4µν in (251), weil diese proportional zu ξ sind. (259) wird mit (290) und (291) zu
½
µ
¶·
¸
gs2
1
1
αβ
2
iΣξ=1 = i
CF δαβ (−1) γ% (−2 + 2ε) −
− γE + ln(4π) + 2 ln(s) − 2B 1 (p , 0, m) (−p% )
16π 2
ε
ε
·
¸¾
1
2
− γE + ln(4π) + 2 ln(s) + B 0 (p , 0, m)
+ m(4 − 2ε)
ε
Schreiben wir
iΣαβ
ξ=1 = iδαβ [(p
¢ − m)Σψ,ξ=1 + mΣm,ξ=1 ] ,
wobei Σψ,ξ=1 und Σm,ξ=1 Funktionen von p2 und m sind:
¸
·
gs2
1
2
CF
− γE + ln(4π) + 2 ln(s) − 1 − 2B 1 (p , 0, m) .
Σψ,ξ=1 =
16π 2
ε
· µ
¶
¸
g2
1
Σm,ξ=1 = − s 2 CF 3
− γE + ln(4π) + 2 ln(s) − 1 + 4B 0 (p2 , 0, m) + 2B 1 (p2 , 0, m) .
16π
ε
(303)
(304)
Kurzer Blick über eine Schleife hinaus: Ein-Teilchen-reduzible Schleifengraphen
p
enthalten einen Propagator
p+m
−i ¢2
,
p − m2
wobei sich das zugehörige Teilchen auf der Massenschale befindet. Dieser Term divergiert für p2 7→ m2 , weshalb
solche Graphen anders zu behandeln sind. iΣ1PI δ αβ sei die 1-Teilchen-irreduzible trunkierte Selbstenergie. Dann
gilt mit iΣαβ = iΣδ αβ für die Greenfunktion:
e αβ (p) =
G
2
+
+
=
−1
−1
−1
= −i[m − p]
¢ δαβ + (−i)[m − p]
¢ iΣ1PI (−i)[m − p]
¢ δαβ + . . . =
∞
X
£
¤
£
¤
−1
−1 n
−1
−1 −1
= (−i)[m − p]
Σ1PI (m − p)
δαβ = (−i)[m − p]
1 − Σ1PI [m − p]
δαβ .
¢
¢
¢
¢
(305)
n=0
Man kann p so wählen, dass die Reihe konvergiert. Der Wert der Reihe gilt dann für alle p durch analytische
Fortsetzung. Mit A−1 B −1 = (BA)−1 lässt sich dies dann schreiben als:
e αβ = (−i)[m − p − Σ1PI ]−1 δαβ = (−i)
G
2
¢
δαβ
.
m−p
¢ − Σ1PI
(306)
Die Zerlegung in (302) liefert
e αβ = −i
G
2
δαβ
1 − Σψ
= −iδαβ
+ O(αs2 ) ,
[m − p][1
+
Σ
]
−
mΣ
m
−
p
−
mΣ
ψ
m
m
¢
¢
(307)
und es handelt sich somit zu einer Quantenkorrektur zur Quarkmasse. Gegenterm:
δm mΣren
m :=
+
=
= δαβ mΣm − δmδαβ .
57
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
Σm ist unabhängig von ξ. Nun ist in (307):
1
m(1 − Σm ) + p
¢ .
= 2
ren
ren )2 − p2
m−p
−
mΣ
m
(1
−
Σ
m
m
¢
(309)
Die Nullstelle bei p2 = m2pol
2
2
2
m(1 − Σren
m (p = mpol , m )) =: mpol ,
(310)
definiert die Polmasse mpol . Aus Σ = O(αs ) ergibt sich
mpol = m(1 + O(αs )) .
(311)
(310) lässt sich störungstheoretisch rekursiv lösen. Zur Ordnung αs0 folgt dann gerade mpol = m. Nutzen wir
dies aus, so erhält man die Gleichung zur Ordnung αs :
2
2
2
mpol = m(1 − Σren
m (p = m , m)) + O(αs ) .
(312)
Die Wahl von s und δm definiert das Renormierungsschema. mpol ist unabhängig vom Renormierungsschema und unabhängig von µ.
Die Position des Pols entspricht der physikalischer Teilchenmasse von einem freien Teilchen. Die physikalische
Teilchenmasse bestimmt die langreichweitige Wechselwirkung der Zweipunktfunktion und ist eine messbare
Größe. Zwar sind Quarks nicht als freie Teilchen beobachtbar, jedoch hängt diese Nichtbeobachtbarkeit mit
dem Confinement zusammen. Störungstheoretische Formeln enthalten keinerlei Information über Confinement
und haben daher die Eigenschaften einer Theorie freier Quarks.
mpol
b ≈ (4, 6 ± 0, 2) GeV .
(313)
In der QCD ist es nicht sinnvoll, das Polschema zu benutzen. Statt dessen benutzt man Schemen, in der die
Masse anders definiert ist:
1.) MS: minimale Subtraktion“:
”
αs
3
s = 1 , δmMS = − CF .
4π
ε
(314)
2.) MS: modifizierte minimale Subtraktion“:
”
·
¸
αs
1
s = 1 , δmMS = − CF 3
− γE + ln(4π) ,
4π
ε
oder wie im Collins, Muta
s2 =
exp(γE )
,
4π
δmMS = δmMS .
(315)
m = mMS hängt von µ ab, weil Σren,MS
von µ abhängt, siehe (312). Wenn man von einem bestimmm
ten Zahlenwert einer Quarkmasse redet, muss man das Schema dazusagen (außer man spricht von der
Polmasse).
3.) Polschema: On-Shell-Schema:
δm = mΣren (m2 , m) .
2
Aus (307) folgt Σren
m (m , m) = 0 (316) und m = mpol (nach (312)). Dies macht nur Sinn für mt , mb
und eventuell mc , nicht jedoch für mu , md , ms wegen des Confinements. Bei Hadronen, welche aus
leichten Quarks bestehen, setzt sich der Großteil der Masse des Hadrons aus Bindungsenergie zusammen.
Die eigentlich relevante Skala der QCD ist somit viel größer als die Massen der u-, d- und s-Quarks.
Auf kurzen Abständen propagieren Quarks wie freie Teilchen; je länger sie propagieren, umso mehr
werden ihre Eigenschaften vom Pol des Propagators bestimmt. Die Propagation auf kurzen Abständen
ist dominiert von der Physik weit weg von der Massenschale. Im Falle von b-Quarks schlägt nach kurzen
Abständen die Bindungsenergie zu und erzeugt aus dem Vakuum ein qq-Paar (hopping):
58
4.5. SYSTEMATIK DER SCHLEIFENINTEGRALE
Das Bild freier Quarks macht dann keinen Sinn mehr. Die intrinstische Ungenauigkeit im Pol ist von der
Größenordnung der Bindungsenergie. Im Falle des Top-Quarks kann man von einer Polmasse sprechen,
da es zerfällt, bevor es hadronisiert.
Alle Schemen, in denen δm/m = Zm − 1 und die anderen Renormierungskonstanten (wie Zg ) nicht von m
abhängen, heißen massenunabhängige Schemen. Nur in denen ist es gelungen, die Renormierungsgruppengleichung zu lösen. Eine Unterklasse dieser Schemen sind MS-artigen Schemen mit δmMS in (314) und
beliebige Wahl von s. Σψ in (307) ist divergent, weshalb die Wellenfunktionsrenormierung (besser: Feldrenormierung)
1
ψ = ψ (0) = Zψ2 ψ ren ,
(317)
durchgeführt werden muss:
ren
ren
ren
Gαβ
2 (x − y) = h0|T ψα (x)ψ β (y)|0i = Zψ h0|T ψα (x)ψ β (y)|0i = Zψ G2 (x − y) ,
1
2
wobei dann Gren
2 (x − y) endlich wird. Man nimmt sich also die Freiheit, die Felder mit Zψ zu multiplizieren,
um die Greenfunktion Zψ−1 Gαβ
2 der renormierten Felder endlich zu machen. Aus (307) ergibt sich dann, dass
−1
Zψ (1 − Σψ ) endlich ist. Σψ hängt von ξ ab und somit auch Zψ . Es gilt für alle ξ:
ZψMS = 1 −
αs
1
CF ξ + O(αs2 ) ,
4π
ε
s=
exp(γE )
.
4π
(319)
1
Analog kann man dies für Gluonfelder definieren: Aµ,a = ZA2 (Aµ,a )ren . Das ganze Spielchen kann man auch
für Dreipunktfunktionen treiben:
a
α
β
(Gαβ,a
)µ (x − y, y − z) = h0|T ψα (x)ψβ (y)Aµ,a (z)|0i .
3
Mit
59
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
wobei das Subdiagramm
für die Selbstenergiekorrekturen
des Gluons steht, findet man Zg in (276):
(1)
ZgMS = 1 +
mit
Zg(1)
1
=−
2
αs Zg
4π ε
µ
+ O(αs2 ) ,
2
11 − f
3
(320)
¶
,
(321)
wobei f die Anzahl der Quarkflavours ist. Im Falle der B-Physik ist f = 5. Das Topquark ist schwerer und
spielt keine Rolle in der niederenergetischen QCD. Die unrenormierten Größen g (0) , m(0) , ψ sind µ-unabhängig,
was man durch
0=µ
d (0)
g ,
dµ s
erfassen kann. (Somit ist auch die Lagrangedichte µ-unabhängig wie auch die S-Matrix.) Drückt man nun die
unrenormierte durch die renormierte Kopplung aus, ergibt sich:
0=µ
d (0)
d
dZg ε
dgs
gs = µ (µε Zg gs ) = εµε Zg gs + µ
µ gs + µε Zg µ
.
dµ
dµ
dµ
dµ
(322)
Führen wir nun die β-Funktion über
µ
dgs
=: β(gs (µ)) ,
dµ
(323)
ein, so folgt aus (320):
β(gs ) = −εgs −
µ dZg
gs .
Zg dµ
(324)
Für die Koeffizienten macht man den folgenden Ansatz:
β(gs ) = −εgs − β0
gs5
gs3
− β1
+ O(gs7 ) .
2
16π
(16π 2 )2
Durch Rekursion und Gleichung (320) ergibt sich:
(1)
µ
dZg (320) Zg
1
dgs
=
· 2gs µ
,
dµ
ε 16π 2
dµ
µ
dgs
= −εgs + O(gs2 ) ,
dµ
aus (323), (324).
µ
dZg
αs
2
= −2Zg(1)
+ O(αs2 ) ⇒ β0 = −2Zg(1) = 11 − f .
dµ
4π
3
(326)
Observablen wie Zerfallsraten, Wirkungsquerschnitt usw. hängen nur scheinbar von µ ab; die explizite µAbhängigkeit (über beispielsweise log(m/µ)) und implizite µ-Abhängigkeit durch gs (µ), m(µ) kompensieren
sich jedoch. Ist X zur Ordnung αsn berechnet, dann ist
µ
d
X = O(αsn+1 ) ,
dµ
(327)
60
4.6. ENTKOPPLUNGSTHEOREM (APPELQUIST-CARRAZONE-THEOREM)
womit Störungstheorie nur Sinn ergibt, wenn µ ≈ O(m,
bekommt µ eine physikalische Bedeutung.
Observable:
³ α ´n
αs
s
X = X0 +
X1 + . . . +
Xn + O(αsn+1 ) .
4π
4π
p
p2 ) ist, damit log(m/µ), log(p2 /µ) klein bleiben. So
Die Renormierungsskala µ ist erst einmal unphysikalisch. Die physikalische Bedeutung äußert sich darin, dass
eine Observable nicht von µ abhängt. Die Abhängigkeit ist immer von der vernachlässigten Ordnung. µ bekommt eine physikalische Bedeutung dadurch, dass man die Störungsreihe abbricht.
µ
d
X = O(αsn+1 ) .
dµ
Die Korrekturen auf der rechten Seite enthalten lnk (mq /µ), lnk (p21 /µ2 ), wobei die Potenz höchstens so groß
ist wie die Ordnung zu der man rechnet, also
p k ≤ n + 1. (Bei kollinearen Divergenzen können die Potenzen
noch höher sein.) Man muss also µ = O(m, p21 ) wählen, damit die Argumente der Logarithmen nicht zu groß
werden. Diese
p Forderung stellt einen Zusammenhang zwischen der unphysikalischen Skala µ und physikalischen
Skalen m, p21 usw. her.
Ein Problem tritt dann
p aus, wenn die
p physikalischen Skalen sehr unterschiedlichen sind, also beispielsweise
für m1 ¿ m2 oder p21 À m bzw. p21 ¿ m. Dann werden die Logarithmen groß. Der Fall m1 ¿ m2 tritt
beispielsweise in der B-Physik auf. Man muss also die Skalen trennen und
p dies macht man in einer sogenannten
effektiven Feldtheorie. Beispielsweise gilt in der B-Physik md,u,s ¿ p21 ≈ mc , mb (leichte Teilchen) ¿ MW ,
MZ , mt (schwere Teilchen). Die effektive Wechselwirkungslagrangedichte bzw. effektive Hamiltondichte wollen
wir mit Leff − Heff bezeichnen.
• Es werden keine Felder für schwere Teilchen eingeführt ( schwere Felder werden ausintegriert“).
”
• Alles, was mit dem Austausch schwerer Teilchen zu tun hat, wird in der effektiven Theorie durch eine
punktförmige Wechselwirkung beschrieben. Beispiel:
e
?
4.6
e
νe
wowwow
−−−−−−→
b
νe
wowwow
W
−−−−−−→
c
b
GF
× √
2
c
Entkopplungstheorem (Appelquist-Carrazone-Theorem)
Vergleiche mit (83):
¿ ¯
µ Z
¶¯ À ¿ ¯
¶¾
µ Z
¶¯ À ½
µ 2
¯
¯
¯
¯
p2i
mleicht
4
4
¯
¯
¯
¯
f ¯T exp −i d x HWW (x) ¯ i = f ¯exp −i d x Heff (x) ¯ i
,
.(329)
1+O
m2schwer m2schwer
(f )
Das einfachste Beispiel ist die effektive Feldtheorie LQCD , also die QCD mit f leichten Quarkflavours. Die
(6)
(5)
volle QCD ist die 6-Flavour-QCD: LQCD = LQCD . LQCD enthält zum Beispiel kein Diagramm mit einer
Top-Quark-Schleife wie
t
·
µ 2 ¶¸
p
µ ν
2 µν
= δab (p p − p g )A 1 + O
,
2
m
µ, p, a
t
ν, p, b
t
mit
½ µ ¶¾
αs
mt
A=
f ln
.
4π
µ
Es treten jedoch keine Terme der Form ln(mt /p2i ) auf, weil das Diagramm nicht infrarot-divergent ist. Der
Effekt kann in die Parameter von Leff absorbiert werden:
geff = zg g ,
meff = zm m ,
ren
ψeff
= zψ ψ ren .
(330)
61
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
zg , zm und zψ sind endlich, wenn man renormierte Größen miteinander in Verbindung setzt. Man bezeichnet
(5)
diese Koeffizienten als Anschlusskoeffizienten ( matching coefficients“). Im Beispiel LQCD ist g = g (f =6) ,
”
(f =5)
geff = g
usw. Heff wird aus (329) bestimmt. Die Renormierungsskala, bei der (329) gilt, heißt Matching(f )
(f −1)
Skala. Matching von LQCD auf LQCD bei µf = O(mf ), wobei mf die schwere Quarkmasse ist:
Die Anschlusskoeffizienten für g, m werden auf Baumgraphenniveau (führende Ordnung) bestimmt:
g (f ) (µf ) = g (f −1) (µf ) ,
m(f ) (µf ) = m(f −1) (µf ) .
Eine Schleife (NLO):
f
f −1
t
!
=
+
g(f )
+
µ
+O
m2b
m2t
¶
g(f − 1)
Es tragen auf beiden Seiten der Gleichung noch andere Einschleifendiagramme bei, die jedoch nicht von der
Anzahl der Flavours abhängig sind und deshalb herausfallen.
f
t
+
g (f −1) = g (f ) ·
= g (f ) Zg(f ) ,
mit
Zg(f ) = 1 −
αs (µf ) 2
ln
4π 3
µ
µf
mf
¶
+ O(αs2 ) .
(331)
Dies gilt sowohl im MS- als auch im MS-Schema. Für µf 6= mf ist die Kopplung unstetig. Masse:
Dieses Diagramm (NLO) besitzt keine Abhängigkeit von f , womit also gilt:
m(f ) (µf ) = m(f −1) (µf ) + O(αs2 ) .
Kommen wir zur Renormierungsgruppengleichung:
µ
dg (323)
g3
g5
(325)
= β(g) = −εg − β0
− β1
+ O(g 7 ) .
2
dµ
16π
(16π 2 )2
Aus
(1)
αs Zg
Zg = 1 +
4π ε
#
"
(21)
³ α ´2 Z (22)
Zg
g
s
+
+
,
4π
ε2
ε
(332)
findet man (siehe (326))
(f )
β0
2
= −2Zg(1) = 11 − f .(333a)
3
62
4.6. ENTKOPPLUNGSTHEOREM (APPELQUIST-CARRAZONE-THEOREM)
und analog
(f )
β1
= −4Zg(21) = 102 −
38
f.
3
(333b)
Die Näherung in führenden Logarithmen (Leading-Log-Näherung) wird so durchgeführt, dass man alle
Anschlussbedingungen und Matrixelement auf führender Ordnung berechnet und eine Schleife in der Re(f )
normierungsgruppengleichung mitnimmt, also beispielsweise β0 . Bei der Next-to-leading-Log-Näherung
berechnet man die Anschlusskorrekturen auf NLO und Einschleifen-Matrixelemente und nimmt zwei Schleifen
(f )
(f )
in der Renormierungsgruppengleichung mit, also β0 und β1 . Um die Renormierungsgruppengleichung zu
lösen, ist es praktisch, die Größe a(µ) einzuführen:
a(µ) :=
g2
αs (µ)
= s2 .
4π
16π
(334)
(323)/(325) wird dann auf führender Ordnung zu (für ε = 0):
d
da
= µ a = −2β0 a2 + O(a3 ) .
d ln(µ)
dµ
Durch Trennung der Veränderlichen ergibt sich
d 1
1 da
=− 2
= 2β0 ,
d ln(µ) a
a d ln(µ)
und weiterhin
1
= 2β0 ln
a
µ
µ
ΛQCD
¶
,
wobei ΛQCD die Integrationskonstante ist. Das Endergebnis ist dann gegeben durch
αs (µ)
1
³
´,
= a(µ) =
µ
4π
2β0 ln ΛQCD
(335)
wobei Störungsrechnung nur für µ À ΛQCD funktioniert. In einem Schaubild stellt man das typische abfallende
Verhalten der Kopplung für große µ fest:
Kommen wir nun zur Next-to-leading-Log-Näherung:
µ
¶
β1
da
= −2β0 a2 − 2β1 a3 + O(a4 ) = −2β0 a2 1 + a .
d ln(µ)
β0
(336)
Trennung der Veränderlichen führt erneut auf
h
a2 1 +
da
β1
β0 a
i = −2β0 ln(µ) .
+ O(a2 )
Eine Entwicklung der Klammer im Nenner bezüglich a führt auf
¸
·
β1 1
1
0
−
+
O(a
)
da = −2β0 ln(µ) ,
a2
β0 a
63
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
und daraus folgt:
1 β1
− −
ln(β0 a) + O(a) = −2β0 ln
a β0
bzw.
1
= 2β0 ln
a
µ
µ
¶
−
ΛQCD
µ
µ
ΛQCD
¶
,
β1
ln(β0 a) + O(a) .
β0
Diese Gleichung lösen wir iterativ, indem wir in den zweiten Term der rechten Seite (335) einsetzen:
µ
¶
·
µ
¶¸
1
µ
β1
µ
+
+ O(a) ,
= 2β0 ln
ln 2 ln
a
ΛQCD
β0
ΛQCD
und somit:
a(µ) =
³
β0 ln
µ2
Λ2QCD
1
´
+
β1
β0
½
n ³ 2 ´o + O
ln ln Λ2µ
1 2
ln
β02
µ
µ2
Λ2
¶¾
.
QCD
Die klassische Theorie, welche hinter der QCD steckt, ist eine Theorie ohne Skalenparameter. Dies bedeutet,
dass die Theorie nicht von der Längenskala abhängt, die man betrachtet. Dahinter steckt eine Symmetrie,
nämlich die sogenannte Dilatationssymmetrie x 7→ λx (Teilmenge der konformen Gruppe, welche zusätzliche
Spiegelungen an der Kugel bzw. am Lichtkegel enthält). Die Skaleninvarianz ist gebrochen auf Schleifenniveau,
was ein Beispiel für eine sogenannte anomale Symmetrie ist. Eine lokale Symmetrie darf nicht anomal
werden. Wird beispielsweise die lokale SU(3)-Symmetrie anomal, führt dies dazu, dass das Gluon massiv wird,
die Renormierbarkeit verletzt wird usw. Eine anomale globale Symmetrie ist ein süßes Gift für die Theorie,
welches zu interessanten neuen Effekten führen kann. Entwickeln von a(µ) um a(µ0 ) als Potenzreihe von a mit
dem Ansatz
µ 2¶
·
µ 2 ¶¸
µ 2¶
µ
µ
µ
2
3
a(µ) = a(µ0 ) + a2 (µ0 )C11 ln
+
a
(µ
)
C
ln
+
C
ln
+ O(α4 ) ,
(338) .
0
22
21
µ20
µ20
µ20
Die Koeffizienten bestimmt man mittels der Renormierungsgruppengleichung. Aus (336) ergibt sich
da
= −β0 a2 − β1 a3 ,
d ln(µ2 )
also
µ
2
3
−β0 a (µ) − β0 a (µ0 )C11 ln
µ2
µ20
¶
·
µ 2¶
¸
µ
− β1 a (µ0 ) = a (µ0 )C11 + a (µ0 ) 2C22 ln
+ C21 ,
µ20
3
2
3
woraus sich dann ergibt:
C11 = −β0 ,
C22 = −β0 C11 = β02 ,
C21 = −β1 .
(339)
In (338) hängen die Koeffizienten der führenden Logarithmen
µ 2¶
µ
n
n+1
a
(µ0 ) ln
, n = 1, 2, . . . ,
µ20
nur von β0 ab. Sie werden mit der Leading-Log-Renormierungsgruppengleichung aufsummiert. Die Koeffizienten der nächstführenden Logarithmen
µ 2¶
µ
n
n+2
a
ln
, n = 0, 1, . . . ,
µ20
hängen von β0 und β1 ab und werden in der Next-to-leading-Log-Renormierungsgruppengleichung in (337)
aufsummiert. Als dimensionale Transmutation (scaling without a scale) bezeichnet man die Tatsache, dass
die dimensionslose Kopplung gs zu einem Massenparameter ΛQCD wird. Die Massen M leichter Hadronen
(Vektormesonen ρ, K∗ , Baryonen (p, n)) sind proportional zu ΛQCD ; leichte Quarkmassen sind unwichtig. Der
Großteil der Masse im Universum wird von ΛQCD bestimmt. Der Vakuumerwartungswert des Higgsfeldes trägt
nur zu einem kleinen Bruchteil (ungefähr 1%) bei, indem die Quarks selbst massiv werden. Für pseudoskalare
Mesonen (π, K, η) gilt
m2π+ ∼ (mu + md )ΛQCD ,
mK+ ∼ (ms + md )ΛQCD .
Diese sind exakt masselos für mu,d,s 7→ 0. Dabei handelt es sich um die Goldstone-Bosonen einer spontan
(dynamisch) gebrochenen chiralen Symmetrie.
64
4.7. ANOMALE DIMENSION DER QUARKMASSE (LAUFENDE QUARKMASSE)
4.7
Anomale Dimension der Quarkmasse (Laufende Quarkmasse)
Wir definieren eine β-Funktion der Quarkmasse, die man aus historischen Gründen jedoch mit γ bezeichnet:
γm (g(µ)) :=
µ dZm
,
Zm dµ
(340)
wobei Zm in (276) gegeben ist. Aus (276) folgt
µ
¶
d
d
d
d (0)
(340)
0 = µ mq = µ Zm mq + Zm µ mq = γm Zm mq + Zm µ mq .
dµ
dµ
dµ
dµ
Damit erhält man die Renormierungsgruppengleichung für die renormierte Quarkmasse mq :
µ
d
mq = −γm mq .
dµ
(341)
γm folgt aus Selbstenergiebeiträgen wie
Diese Renormierungsgruppengleichung zu lösen, funktioniert am einfachsten in massenunabhängigen Schemen
(solche, die nicht von ln(m2 /µ2 ) abhängen). In solchen Schemen ist die Abhängigkeit von µ nur implizit über
g(µ), also
Zm = Zm (g(µ)) ⇒ mq = mq (g(µ)) .
Hieraus ergibt sich dann mit der Kettenregel
µ
dg dZm
d
d
Zm = µ
= β(g) Zm .
dµ
dµ dg
dg
(342)
Aus (341) folgt weiter
d
γm (g)
mq = −
mq ,
dg
β(g)
und durch Integration:
mZ
q (g1 )
mq (g0 )
dmq
=−
mq
g(µ
Z 1)
γm (g)
dg ⇒ ln
β(g)
g(µ0 )
µ
mq (g1 )
mq (g0 )
¶
g(µ
Z 1)
=−
γm (g)
dg .
β(g)
g(µ0 )
Exponentieren von beiden Seiten führt dann auf


g(µ
Z 1)
γm (g) 

mq (g(µ1 )) = mq (g(µ0 )) = exp −
dg  .
β(g)
(343)
g(µ0 )
Bis zu Zweischleifenniveau besitzt Zm die Form
#
µ 2 ¶2 " (22)
(1)
(21)
g 2 Zm
g
Zm
Zm
Zm = 1 +
+
+
+ O(g 6 ) ,
16π 2 ε
16π 2
ε2
ε
(344)
und die γ-Funktion:
γm
g 2 (0)
γ +
=
16π 2 m
µ
g2
16π 2
¶2
(1)
γm
+ O(g 6 ) .
Aus (340) und (342) folgt:
µ
¶
g3
dZm
(325)
5
Zm γ m =
−εg + β0
+
O(g
)
.
16π 2
dg
65
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
(0)
γm
g2
+
16π 2
Ã
(1)
(0) Zm
γm
ε
!
+
(1)
γm
(344),(325)
=
!
#
" Ã
(1)
(22)
(21)
(1)
Zm
g2
Zm
Zm
Zm
−ε · 2
−
4ε
+
+ 2β0
.
ε
16π 2
ε2
ε
ε
(345)
In Leading-Log-Näherung gilt
(0)
(1)
γm
= −2Zm
,
(346)
und in Next-to-leading-Log-Näherung:
(1)
(21)
γm
= −4Zm
,
(347)
Die Pole müssen herausfallen, weil wir das Laufen einer physikalischen Größe betrachten. Dies wird durch
(22)
(1)
(1) 2
4Zm
+ 2β0 Zm
− 2(Zm
) = 0,
bewerkstelligt, was allgemein bewiesen werden kann. Einsetzen in (343) liefert


"
Ã
!
#


Z
(0)
(1)
(2)
 g(µ)=g

0
γm 1
γm
β1 γm
g
0
mq (µ) = mq (µ0 ) exp
+
−
dg
=


β0 g 0
β0
β02
16π 2


g(µ0 )=g0
Ã
(
!
)
µ ¶
(0)
(1)
γm
g
1 γm
β1 (0)
1
2
2
= mq (µ0 ) exp
ln
+
− 2 γm (g − g0 )
=
β0
g0
2
β0
β0
16π 2
µ
= mq (µ0 )
αs (µ)
αs (µ0 )
(348)
(349)
(1)
¶ γ2βm
·
¸
0
αs (µ0 ) − αs (µ)
1 + Jm
,
4π
mit
(1)
Jm =
−γm + β1
(0)
γm
β0
2β0
.
(350)
Es gilt
(0)
γm
= 6CF = 8 ,
in jedem massenunabhängigen Schema und
¶
µ
10
404 40
97
(1)
− f,
γm = CF 3CF + Nc − f =
3
3
3
9
(351)
(352)
im MS-Schema. Inzwischen ist die γ-Funktion bis auf Vierschleifenebene bekannt. Benutzt man die MS-Masse
des Bottom-Quarks
mb (mb ) = 4, 2 GeV ,
(353)
so folgt aus (349):
mb (µ = mt ) = 2, 75 GeV .
(354)
Betrachten wir die Relation der MS-Masse zur Polmasse (311):
½
·
µ
¶¸
¾
αs 16
µ
Pol
(0)
2
mq = mq (µ) 1 +
+ γm ln
+ O(αs ) .
4π 3
mq
66
4.7. ANOMALE DIMENSION DER QUARKMASSE (LAUFENDE QUARKMASSE)
Die linke Seite hängt nicht von µ ab, da es sich bei der Polmasse mPol
um eine physikalische Größe handelt.
q
Damit kann auch die Rechte Seite nicht von µ abhängen (bis auf Terme höherer Ordnung). Damit gilt
µ
d Pol
αs (0)
αs (0)
m = − γm
mq (1 + . . .) + mq γm
= O(αs2 ) .
dµ q
4π
4π
Da Polmassen ein störungstheoretisches Konzept sind, sollte man sagen, in welcher Ordnung diese bestimmt
wurde. Für das Bottom-Quark gilt
2
mPol
b = 4, 6 GeV + O(αs ) .
(356)
Der Unterschied zwischen Polmasse und MS-Masse beim Topquark ist
mPol
− mt (mt ) ≈ 7 GeV .
t
Auf nächst-zu-führender-Ordnung gilt
mPol
= 172 GeV ⇒ mt (mt ) = 165 GeV .
t
(357)
CDF misst weder die Pol- noch MS-Masse. Die Gruppe benutzt Monte-Carlo-Algorithmen wie Herwig und
Pythia. Diese beinhalten Schaueralgorithmen, um die Entwicklung eines Quarks zu einem oder mehreren Jets
zu simulieren. Die Gluonabstrahlung des Top-Quarks ist in diesen Programmen nicht integriert. Das Topquark
wird kinematisch rekonstruiert. Wenn dieses stabil wäre (wie beispielsweise das Elektron) würde die Polmasse
eingehen. Der Fehler durch die kinematische Rekonstruktion ist proportional zu αs /π.
4.7.1
Anomale Dimension des Quarkfeldes
1
2
µ dZψ2
(0) g
γψ (g(µ)) = 1
= γψ
+ O(g 4 ) ,
2
dµ
16π
2
Z
(358)
ψ
mit
4
ξ.
3
Das analoge kann man auch für das Gluonfeld machen:
(0)
γψ = CF ξ =
(359)
13 3
+ ξ.
2
2
Dies wird benötigt, um das Skalenverhalten von Greenfunktion zu untersuchen. Betrachten wir dazu die N Punkt-Greenfunktion:
(0)
γA = −
GN ;j1 ,...,jn (x1 , . . . , xn ) = h0|T ψj1 (x1 )ψ j2 (x2 ) . . . ψjn (xn )|0i .
(360)
Die graphische Darstellung einer solchen Greenfunktion ist wie folgt:
x2
...
x1
xn
Die entsprechend fouriertransformierte Greenfunktion im Impulsraum G(N ; j1 , . . . , jn )(p1 , . . . , pn−1 ) ist:
p2
p1
...
pn = −p1 − pn−1
67
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
Um zu Observablen zu kommen, benötigt man die trunkierte Greenfunktion. Diese folgt aus der vollen Greenfunktion durch
p2
e
∧
e tN ;j ,...,j (p1 , . . . , pn−1 ) = Gn;j1 ,...,jn (p1 , . . . , pn−1 ) =
G
1
n
e 2 (p1 ) . . . G
e 2 (pn−1 )
G
p1
...
ohne Selbstenergien
Das Abdividieren führt dazu, dass Feynmandiagramme weggelassen werden, die Selbstenergiekorrekturen in
den externen Linien aufweist. Nach (318) ist die renormierte Greenfunktion
n
Gn (p1 , . . . , pn−1 ) = Zψ2 Gren
n (p1 , . . . , pn−1 ) .
(362)
Die renormierte trunkierte Greenfunktion folgt aus (361):
n
e tn;j ,...,j (p1 , . . . , pn−1 ) = Z − 2 Gt,ren (p1 , . . . , pn−1 ) .
G
ψ
1
n
(363)
Konstruktionsbedingt hängt die nichtrenormierte trunkierte Greenfunktion nicht von µ ab:
Ã
!
X
∂
d et
∂
∂
et .
G
0=µ G = µ
+ β(g)
− γm
mq
dµ
∂µ
∂g
∂m
q
q
Mit (358) und (363) ergibt sich dann weiter:
Ã
!
X
∂
∂
∂
e t,ren .
0= µ
+ β(g)
− γm (q)
− nγψ G
mq
∂µ
∂g
∂m
q
q
(364)
Ist [Gtn ] = d, so gilt aus dimensionaler Analyse:
µ
¶
λp1 mq
t
d et
e
Gn (λp1 , mq , µ) = µ Gn
,
,1 .
µ
µ
(Wir interessieren uns dafür, wie sich die Greenfunktion verhält, wenn man λ variiert.) Damit gilt
Ã
!
X
∂
∂
∂
e tn = 0 ,
µ
+
+λ
−d G
mq
∂µ
∂mq
∂λ
q
(365)
denn beispielsweise gilt
µ
¶
∂ λp1
λp1
λp1
∂
µ
+λ
=−
+
= 0.
∂µ
∂λ
µ
µ
µ
e tn zum Verschwinden bringt. Man bezeichnet
Wir haben also einen Differentialoperator gefunden, welcher G
solche Funktionen als homogen vom Grad d. Mit (365) können wir µ∂/∂µ aus (364) eliminieren:
"
#
X
∂
∂
∂
e nt (λpi , mq , µ) .
mq
0= λ
+ (1 + γm )
− β(g)
+ nγψ − d G
(366)
∂λ
∂m
∂g
q
q
e t für Impulskonfigurationen (p1 , . . . , pn−1 ), so ergibt die Lösung von
Kennt man also die Greenfunktion G
n
e tn für Impulse (λp1 , . . . , λpn−1 ). Dies ist die Mutter aller Skalengleichungen für Greenfunktionen. Die
(366) G
DGLAP-Gleichungen für Partonverteilungsfunktionen sind beispielsweise ein Spezialfall dieser Gleichung.
4.8
Flavoursymmetrien
Wir betrachten die QCD-Lagrangedichte mit f Flavours:
(f )
LQCD =
X
q
1
qi½
Dq − mq qq − Gaµν Gµν,a .
4
(119)
68
4.8. FLAVOURSYMMETRIEN
Sie hat eine approximative SU(3)F -Symmetrie ( SU(3)-Flavour“), man kann also die Quarks u, d und s inein”
ander rotieren:
 
 
u
u
d 7→ U d mit U ∈ SU(3)F .
(367)
s
s
Diese Symmetrie ist exakt für mu = md = ms . Die fundamentale Skala in der QCD ist ΛQCD und nicht die
Massen der leichten Quarks, weshalb diese Flavoursymmetrie durchaus eine Rolle spielt. Wären die Massen der
drei leichten Quarks gleich, so wäre die QCD flavour-blind“ und beispielsweise mK = mπ usw. Der erwartete
”
Fehler ist ms md /ΛQCD ≈ O(30 %). Die SU(3)F hat die SU(2)I -Untergruppe, welche zwischen u- und d-Quarks
transformiert:
µ ¶
µ ¶
u
u
7→ U
, U ∈ SU(2) .
(368)
d
d
(Für Heisenberg das (p, n) das fundamentale Dublett, das er als Nukleon bezeichnet hat.) Für die Rotation
zwischen u und s hat man den sogenannten v-Spin und für die Rotation zwischen d und s den u-Spin eingeführt.
Da der Unterschied der Massen der schweren Quarks c, b und t in der Größenordnung von ΛQCD ist, kann man
solche Symmetrien für diese drei Quarks nicht benutzen. Die schwache Wechselwirkung bricht diese Symmetrien
immer aufgrund der stark unterschiedlichen Kopplungen (beispielsweise Vud und Vus ). Der Isospin hat den
Fehler
µ
¶
md − mu
O
; αQED ,
ΛQCD
also 2 %. Dann kommt es auf Strahlungskorrekturen der QED an und die QED unterscheidet zwischen u und
d wegen ihrer unterschiedlichen Ladung. Isospin-Dubletts sind
µ ¶
µ ¶
µ ¶
u
u
d
,
=ε
.
(369)
d
−u
d
Dies muss aufgrund der SU(2)-Isospin-Invarianz so sein:
µ ¶
µ ¶
u U ∈SU(2)
u
†
uu + dd = (d, −u)ε
−−−−−−→ (d, −u)U εU
= uu + dd ,
d
d
wegen U † εU = ε. Als Folge ist die Gluonkopplung Aaµ [uγ µ T a u+dγ µ T a d] invariant. Bei Hadronen sind Dubletts
zum Beispiel
!
Ã 0
¶
µ ¶
µ +
µ +
¶
p
K ∼ su
B ∼ bu
D ∼ cu
,
,
.
,
−
0
K 0 ∼ sd
n
B
∼
bd
D ∼ cd
Zur Isospin-Brechung vergleichen wir die Massen für verschiedene Mesonen:
M =K
mI3 =−1/2 − mI3 =1/2
mI3 = −1/2
mI3 =−1/2 − mI3 =1/2
M =D
M =B
M =N
8, 0 · 10−3
2, 6 · 10−3
(8 ± 10) · 10−5
1, 4 · 10−3
4, 0 MeV
4, 8 MeV
0, 3 ± 0, 3 MeV
1, 3 MeV
Die Isospinbrechung von αQED scheint nicht der wichtige Effekt zu sein, weil das Vorzeichen immer dasselbe
ist. Man vermutet, dass md > mu er größere Effekt ist. Schauen wir uns nun das berühmteste Isospin-Triplett
an und zwar das Pion:
π+ ∼ du ,
1
π 0 ∼ √ (dd − uu) ,
2
π − ∼ ud ,
69
KAPITEL 4. DIE QUANTENCHROMODYNAMIK
mπ0 − mπ+ = 4, 6 MeV ,
m2π+ − m2π0
= 6, 9 · 10−2 .
m2π0
Wegen der SU(3)-Flavour-Symmetrie gilt auch
mK − mπ
≈ 0, 7 .
mK
mBs − mBd = 80 MeV = O(ms (?)) .
Mehr zu Flavour-Symmetrien in Abschnitt (5.2).
70
Kapitel 5
Exklusive (semi-)leptonische Zerfälle
Betrachten wir den leptonischen π+ -Zerfall:
νe
u
pνl
d
pl
Die Übergangsamplitude ergibt sich aus den Formeln (8) und (81):
∗
M(π+ → l+ νl ) = Vud
e+ , µ
g22 −1 +
µ
hl νl |(jl )µ (jq )† |πi ,
2
2 MW
mit jl,µ = ν l γµ PL l und jqµ = uγ µ PL d. In niedrigster Ordnung in den Kopplungen g1,2 , aber zu allen Ordnungen
in g3 (also nichtperturbativ) kann man das Produkt der Ströme faktorisieren:
µ
µ
hl+ νl |(jl )µ (jq )† |πi = hl+ νl |(jl )µ |0ih0|(jq )† |πi .
(371)
Man schiebt den hadronischen Grundzustand ein. Der Grund ist, dass keine hadronische Wechselwirkung
zwischen dem π+ und den Leptonen stattfindet. Die Pion-Zerfallskonstante fπ aus
h0|dγ µ γ5 u(x)|π + (p)i = ifπ pµ exp(−iP x) ,
(372)
µ
wird verwendet, um die Unwissenheit bezüglich h0|(jq )† |πi zu parametrisieren. fπ ist ohne Beschränkung der
Allgemeinheit eine positive Zahl. Wir betrachten das Verhalten unter Parität der beiden Ströme:
½
¾
½
¾
γ5
−
µ
Pdγ
u=
dγµ γ5 u .
1
+
Aus P|π + i = −|π + i ergibt sich dann h0|dγµ u|π + i = 0. Völlig analog sind die Zerfallskonstanten definiert für
Kaonen, B-Mesonen usw.:
h0|sγ µ γ5 u(x)|K + (p)i = ifK pµ exp(−iP x) ,
h0|bγ µ γ5 u(x)|B + (p)i = ifB pµ exp(−iP x) ,
usw. fπ parametrisiert die QCD-Bindungseffekte. In (371):
he+ νe |jl,µ |0i = uν (pν )γµ PL ul (pl ) ,
mit den Spinoren uν (pν ) und ul (pl ).
e+
e−
71
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
Die Impulse sollen in Richtung der Fermionzahl laufen. Wegen Impulserhaltung gilt dann pµ = pµν − pµl und
weiter:
pµ · hl+ νl |jl,µ |0i = uν (pν )[p
¢ν − p
¢l ]PL ul (pl ) − uν PR ul (pl )mL .
(374)
Man bekommt einen Helizitätsflip, der proportional zur Leptonmasse ml ist. Die leptonischen Zerfälle sind
daher unterdrückt, außer wenn die Leptonmasse in der Größenordnung der Masse des Mesons liegt. Mit (370)
ergibt sich
∗
M(π+ → l+ νl ) = −Vud
g22 −1
2 ifπ ml uν (pν )PR ul (pl ) .
2 MW
(375)
Wir berechnen die Zerfallsbreite nach (85) im Ruhesystem:
Z
1
d3 pν d3 pl
(2π)4 δ (4) (pπ + pl − pν )|M(π+ → lν)|2 .
Γ=
2Mπ
(2π)4 4|El Eν |
√
2
) = 2GF und der Phasenraumintegration folgt dann:
Mit g 2 /(4MW
µ
¶
m2
G2
fπ2 .
Γ(π+ → l+ ν) = F |Vud |2 mπ+ m2l 1 − 2l
8π
mπ+
(376)
Im Experiment misst man das Verzweigungsverhältnis:
Br =
Γ
= τΓ ,
Γtot
(377)
wobei τ die Lebensdauer ist. Andere leptonische Zerfälle pseudoskalarer Mesonen gewinnt man durch Ersetzen
von Vud , mπ+ und fπ in (376). Wir greifen uns den Zerfall B+ → τ+ ντ heraus, der zur Zeit ein heißes Thema bei BELLE ist. In B-Fabriken sind τ-Leptonen schwer zu messen, weil sie sehr langsam sind und deshalb
unmittelbar hinter dem B-Meson zerfallen. Ein solches Ereignis lässt sich nicht auflösen. Das τ zerfällt in mindestens ein Neutrino und andere Zerfallsprodukte. Den Impuls des Neutrinos kann man nicht rekonstruieren.
B+ → τ+ ντ ist sensitiv auf Effekte eines möglichen geladenen Higgs-Bosons aus Zwei-Higgs-Dublett-Modellen,
des sogenannten Typ-II-Modells:
νl
l
g2
ml √
MW 2
tan(β)PR
g2
mb √
MW 2
tan(β)PL
H+
u
b
Der Quotient der beiden Vakuumerwartungswerte tan(β) = v2 /v1 kann groß sein, bis zu 60. Wie verallgemeinert
sich nun Formel (376)? Man bekommt einen Zusatzbeitrag, der mit dem geladenen Higgseffekt zusammenhängt:
µ
¶2
G2F
m2τ
+
2
2
Γ(B → τντ ) =
|Vub | mB+ mτ 1 − 2
fB2 + |1 − gp |2 ,
(378)
8π
mB+
wobei gp = 0 ist im Standardmodell und
gp =
m2B+ tan2 (β)
,
m2H+
im 2HDM vom Typ II. Die Daten von BELLE schließen den Wert 1 aus mit etwa 2, 2σ. In der Gittereichtheorie
lässt sich fB = (200 ± 35) MeV bestimmen. Eine Anwendung ist die Bestimmung von
¯
¯
¯ Vus ¯
|Vus |
−5
¯
¯
¯ Vud ¯ ' p1 − |V |2 + O(10 ) .
us
aus den sogenannten Kl2-Zerfällen“. (Dies bedeutet, dass ein Kaon in zwei Teilchen zerfällt, von deinen eines
”
ein Lepton ist. Es kann l = e oder l = µ sein.)
¯
¯2 2 2
i
mK − m2µ h
αQED
Γ(K+ → µ+ νµ (γ)) ¯¯ Vus ¯¯ fK
=
1
−
(C
−
C
)
,
π
K
¯ Vud ¯ f 2 m2 − m2
Γ(π+ → µ+ νµ (γ))
π
π
π
µ
72
5.1. SEMILEPTONISCHE ZERFÄLLE
mit Cπ − CK = 3, 0 ± 1, 5. Das γ in Klammern bedeutet, dass man die virtuellen QED-Korrekturen und
Photon-Bremsstrahlungsprozesse berücksichtigt. Gitter-QCD (Gruppe MILC) liefert den Wert
fK
= 1, 210 ± 0, 014 ,
fπ
und draus lässt sich |Vus | = 0, 2223 ± 0, 0026 (379) bestimmen. Besser (um Vus zu bestimmen), sind die
sogenannten Kl3-Zerfälle“ K → πlνl .
”
5.1
Semileptonische Zerfälle
Wir betrachten den Zerfall M1 → M2 lνl mit pseudoskalaren Mesonen M1 und M2 und fangen mit dem Kl3Zerfall an:
K → πlνl ,
l = e, µ ,
K0 → π− l+ νl ,
K+ → π0 l+ νl .
Wir benötigen ein Matrixelement, in das wir unser Unwissen von einem Übergang von einem Kaon zu einem
Pion stecken:
hπ(pπ )|sγ µ u|K(pK )i = Apµπ + BpµK ,
was wegen Lorentz-Kovarianz gilt. A und B sind Lorentz-Skalare und Funktionen von p2π = m2π , p2K = m2K
und q 2 , wobei q µ = pµK − pµπ . Besser ist jedoch
·
¸
m2 − m2
m2 − m2
hπ(pπ )|sγ µ u(0)|K(pµ )i = FV (q 2 ) pµK + pµπ − K 2 π q µ + FS (q 2 ) K 2 π q µ ,
(380)
q
q
mit dem Vektorformfaktor FV (q 2 ) und dem skalaren Formfaktor FS (q 2 ). In FV (q 2 ) steckt der transversale
Anteil:
·
¸
m2K − m2π µ
µ
µ
qµ pK + pπ −
q = 0.
q2
Wegen q = pν − pl ist q µ νγµ PL l = −ml νPR l und damit ist der Beitrag mit FS vernachlässigbar für l = e.
Berechnung des Phasenraums führt auf
½
G2F
1
für K = K0
2
2
2
Γ(K → πlν) =
M
|V
|
[F
(0)]
·
I
·
,
(381)
V
K us
3
1/2 für K = K+
192π
mit dem Phasenraumintegral I. Der Formfaktor ist im Wesentlichen konstant für diesen Zerfall. Um I zu
berechnen, muss man die q 2 -Abhängigkeit von FV (q 2 ) kennen, beispielsweise aus Messung von dΓ/dq 2 . Aus
dem Experiment und (381) ergibt sich
|Vus |FV (0) = 0, 218 ± 0, 001 .
(382)
Im Symmetrielimes ms = mu ist der Vektorstrom j µ = sγ µ u(x) ein erhaltener Strom:
←
− →
−
∂µ j µ (x) = s[½
D +½
D ]u(x) = −i(mu − ms )su = 0 ,
unter Benutzung der Bewegungsgleichungen. Der zur SU(2)-V-Spin-Symmetrie gehörende Noether-Strom ist
µ ¶
µ
µ i u
Ji = (u, s)γ σ
,
s
mit den Paulimatrizen σ i . Der Schiebeoperator
µ
¶
σ 1 − iσ 2
0 0
=
σ− =
1 0
2
senkt V3 von 1/2 auf -1/2. Diesen können wir also wie folgt verwenden:
|K 0 i = |V3 = 1/2i ,
|π + i = |V3 = −1/2i = Q− |K 0 i .
73
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
Das Noether-Theorem reicht aus, um eine nichtperturbative Größe hier zu berechnen. Es sagt die erhaltene
Ladung
Z
Qi = d3 x Ji0 (x) ,
(383)
voraus. Das bedeutet, dass man das interessierende Matrixelement aus der Normierungsbedingung zweier
Zustände berechnen kann:
2Eπ (2π)3 δ (3) (pπ − pK ) = hπ + (pK )|π + (pK )i = hπ + (pπ )|Q− |K 0 (pK )i =
Z
0
= d3 x hπ + (pπ )|J−
(x)|K 0 (pK )i .
Wegen Translationsinvarianz gilt
0
0
hπ + (pπ )|J−
(x)|K 0 (pK )i = exp(i(pπ − pK )x)hπ + (pπ )|J−
(0)|K 0 (pK )i =
(0)
= (2π)3 δ (3) (pπ − pK )(p0K + p0π )FV (0) ,
(0)
wobei (p0K + p0π )FV (0) aus (380) folgt mit pπ = pK und q µ = 0. Daraus ergibt sich FV (0) = 1 im Symmetrielimes (in dem p0K = EK = Eπ ). Somit sind Matrixelemente erhaltener Ströme bei Impulsübertrag q µ = 0
berechenbar (und im Allgemeinen auf 1 normiert). Der Symmetriebrechungsparameter ist (ms − mu )/ΛQCD .
Das Ademollo-Gatto-Theorem besagt:
µ
¶2
ms − mu
FV (0) = 1 + O
,
ΛQCD
wobei die Korrekturen in chiraler Störungstheorie berechnet werden können.
FV (0) = 0, 97 ± 0, 01 ,
(384)
und mit (382):
|Vus | = 0, 225 ± 0, 002 .
(385)
Im Falle schwerer Quarks nutzt man die Symmetrie mb , mc À ΛQCD aus. Die beiden wichtigen Zerfälle zur
Bestimmung von Vcb sind B → Dlν und B → D∗ lν. Wir betrachten die Heavy-Quark-Symmetrie: Für
mb,c 7→ ∞ ist die weiche QCD-Wechselwirkung identisch für b- und c-Quark. Man kann erwarten, dass man
die gleichen Werte für Matrixelemente und andere Größen findet unabhängig von der Masse von Charm- und
Bottom-Quark (HQ-Flavoursymmetrie). Dann ist die Wechselwirkung auch identisch für das D und D∗ (bzw.
das B und B∗ ) (HQ-Spinsymmetrie). Betrachte Q = b, c und zerlege den Quark-Impuls in einen Anteil, der
die Information über die schwere Quarkmasse enthält und einen Rest (Residualimpuls) k µ
pµ = mQ v µ + k µ ,
(368)
mit v 2 = 1 und |k µ | ∼ ΛQCD . Schauen wir uns dazu den Quark-Propagator an, so gilt
µ µ ¶
i(p + mQ )
mQ v¢ + k¢ + mQ
i
|k |
1 + v¢
= ¢2
=
i
=
P
+
O
, Pv+ =
.
v+
p − m2Q
2mQ v · k + k 2
v·k
mQ
2
(387)
2
Pv+ ist ein Projektor: Pv+
= Pv+ . Entsprechend definiert man
Pv− =
1 − v¢
,
2
2
Pv−
= Pv− ,
Pv+ Pv− = 0 .
(389)
Pv+ und Pv− sind also orthogonale Projektoren. Man stellt fest, dass sich im führenden Term der Entwicklung des Propagators die Quarkmasse mQ heraushebt. Dies funktioniert, wenn die Quarks in der Nähe der
Massenschale sind.
74
5.1. SEMILEPTONISCHE ZERFÄLLE
Die Quarks sollen in gleiche Richtung fliegen mit derselben Vierergeschwindigkeit v µ . Dies ist dann der Fall,
wenn der Impulsübertrag klein, also von der Ordnung ΛQCD ist.
0
i(p + mQ ) k a p
+ mQ
i
i
(387)
.
. . . ¢2
iγ T i ¢02
... =
Pv+ γ µ Pv+ T a
2
2
p − mQ
p − mQ
v·k
v · k0
Aber es gilt
1
1 µ
µ
µ
µ
µ
µ
Pv+ γ µ Pv+ = Pv+ [γ µ + γ µ v]
¢ = Pv+ 2 (γ − vγ
¢ + {γ , v})
¢ = Pv+ (Pv− γ + v ) = v Pv+ ,
2
(390)
µ
wobei {γ µ , v}
¢ = 2v verwendet wurde. Für die Wechselwirkung von schweren Quarks mit weichen Gluonen darf
man damit die Feynmanregel iγ µ T a gs durch iv µ T a gs (391) ersetzen, sofern beide die Vierergeschwindigkeit v µ
haben. Um das Ganze in Form einen effektiven Theorie zu formulieren, führt man neue Felder ein, sogenannte
HQET-Felder oder statische Felder, wobei HQET für Heavy-Quark Effective Theory steht:
hv (x) = exp(imQ v · x)Pv+ Q(x) ,
(342)
wobei Pv+ Q(x) die Teilchenkomponenten sind, weil Pv+ auf die Teilchenkomponenten projiziert. Im Ruhesystem mit v = (1, 0, 0, 0) ist dieser Projektor gegeben durch
µ
¶
1 + γ0
12 02
Pv+ =
=
.
02 02 Dirac
2
Die Parameter v µ im Exponentialfaktor bezeichnet man als Label-fields. Pv− projiziert auf Antiteilchenkomponenten. hv (x) sind die Felder, aus denen man die Lagrangedichte konstruieren möchte:
µ
¶
X
1
bv iv · Dhv + O
.
LHQET =
mQ
h=c,b
Daraus lässt sich direkt der Propagator ablesen: i/(v · k)Pv+ , wobei man wegen hv = Pv+ hv einen zusätzlichen
Projektor Pv+ dazuschreiben kann. Diese Lagrangedichte reproduziert S-Matrixelemente für Prozesse, in denen
nur schwere Quarks, aber keine schweren Antiquarks vorkommen. Vergleiche (387):
b
b
Für den Vertex
hat man keine Spin-Abhängigkeit mehr (HQ-Spin-Symmetrie). Durch die doppelte Linie unterstreicht man,
dass es sich um eine Feynmanregel in der HQET handelt. Die Meson-Zustände (M = B, B∗ , D, D∗ ) hatten
wir zu Beginn der Vorlesung in der standardmäßigen relativistischen Normierung eingeführt:
hM (p0 )|M (p)i = 2Ep (2π)3 δ (3) (p − p0 ) .
Ep hängt von mM ∼ mQ ab. Die Normierung passt jedoch nicht gut mit HQET zusammen. Es ist besser,
jeden Zustand mit der Wurzel auf der Mesonmasse zu normieren.
HQET
hM (v 0 , k 0 )|M (v, k)i = 2v 0 δvv0 (2π)3 δ (3) (k − k0 ) .
(394)
75
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
⇒ |M (p)i =
√
mM (|M (v)i + Q(1/mQ )) .
Das Heavy-Quark-Spin-Flavour-Symmetriemultiplett fasst (B,B∗ ,D,D∗ ) zusammen. Betrachte zum Beispiel die
Relation zwischen den Zerfallskonstanten fB und fD :
·
µ
¶¸
·
µ
¶¸
r
fD
mB
ΛQCD
ΛQCD
=
1+O
≈ 1, 6 1 + O
.
(395)
fB
mD
mb
mb
Der Wurzelvorfaktor kommt aus der unterschiedlichen Normierung der Zustände (394). Aus Gitter-QCD ergibt
exp
sich fD
/fBtheo ≈ 1, 2. Die Domäne der HQET sind eigentlich Formfaktoren für semileptonische Zerfälle B →
Dlν (und nicht Zerfallskonstanten):
hD(p0 )|cγ µ b|B(p)i = f+ (q 2 )(pµ + p0µ ) + f− (q 2 )(pµ − p0µ ) .
(396)
Das heißt (siehe (380)):
f+ (q 2 ) = FV (q 2 ) ,
f− (q 2 ) = (FS (q 2 ) − FV (q 2 ))
m2B − m2D
.
q2
(397)
Für die interessanten Fälle l = e, µ kann man die Leptonmass auf Null setzen und es gibt keinen Beitrag von
f− :
√
M(B → Dlν) = 2G2F Vcb f+ (q 2 )(pµ + p0µ )u(pl )γµ PL u(−pνl ) ,
wobei die Impulse in Richtung der Fermionlinie laufen sollen. Damit ergibt sich die differentielle Zerfallsrate
in Bezug auf den Impulsübertrag q 2 auf das Leptonpaar:
3
dΓ
G2 |Vcb |2 |f+ |2
(B → Dlν) = F
[λ(q 2 , m2B , m2D )] 2 ,
2
dq
192π 3 m3B
(398)
mit der Källén-Funktion
λ(a, b, c) = (a − b − c)2 − 4bc = λ(b, c, a) − λ(b, a, c) .
(399)
Wo man gerne HQET benutzt, sind Fälle, in denen es sich lohnt, verschiedene Vierervektoren einzuführen.
Seien v und v 0 die Vierergeschwindigkeiten der Mesonen B und D.
w = v · v0 =
m2B + m2D − q 2
.
2mB mD
(400)
Der erlaubte kinematische Bereich ist
0≤w−1≤
(mB − mD )2
.
2mB mD
(401)
Das Matrixelement in der korrekten Normierung lautet, indem wir die QCD-Felder durch entsprechende HQETFelder ersetzen:
µ
¶
1
hD(p0 )|cγ µ b|B(p)i
= hD(v 0 )|cv0 γ µ bv |B(v)i + O
= h+ (w)(v µ + v 0µ ) + h− (w)(v µ − v 0µ ) ,
(402)
√
mD mB
mc
76
5.1. SEMILEPTONISCHE ZERFÄLLE
wobei h+ und h− unabhängig von mQ sind. Wegen
p + p0 = mB v + mD v 0 =
mB + mB
mB − mD
(v + v 0 ) +
(v − v 0 ) ,
2
2
ist (vergleiche (396)):
mD ± mB
mD ∓ mB
f± = √
h+ + √
h− .
2 mD mB
2 mD mB
(403)
Mit r = mD /mB (404) folgt dann
3
dΓ
G2
(B → Dlν) = F3 |Vcb |2 m5B (w2 − 1) 2 r3 (1 + r)2 [FD (w)]2 ,
dw
48π
(405)
mit
FD (w) = h+ (w) +
1−r
h− (w) .
1+r
Im Falle w = 1 (also v = v 0 ) verschwindet die differentielle Zerfallsbreite, weil HQ-Spin-Symmetrie:
µ
¶
ΛQCD
H− (w) = O
.
mc
Isgur-Wise-Funktion:
ξ(w) =
lim h+ (w) .
(406)
mQ 7→∞
Man kann dies nachlesen im Buch von Manolaw, Wise: Heavy Quark Physics. Aus (402) ergibt sich
µ
¶
1
0
µ
µ
0µ
hD(v )|cv0 γ bv |B(v) = ξ(v)[v + v ] + O
.
mc
HQ-Flavour-Symmetrie: Für v = v 0 (also w = 1) gilt
2ξ(1) = hD(v)|cv γ µ bv |B(v)i = hB(v)|bv γ µ bv |B(v)i ,
mit dem erhaltenen Strom bv γ µ bv , der in der vollen QCD zur Bottom-Quantenzahl gehört. Analog zu (383) bis
(384) erhält man ξ(1) = 1 (407). Hieraus lässt sich Vcb bestimmen. Wir hatten gesehen, dass es bei B → D∗ lν
nur ein einzelner Formfaktor auftritt. Es lassen sich alle auftretenden Formfaktoren auf ξ(w) zurückführen. Es
gibt eine Besonderheit: In B∗ → D∗ lν treten keine 1/mQ -Korrekturen auf. Deshalb fangen wir zur Diskussion
der Symmetrie mit diesem Zerfall an. Die Kombination aus Formfaktoren im kinematischen Endpunkt sei
FD∗ (1). Der Weltmittelwert (siehe Heavy Flavor Averaging Group“) ist gegeben durch
”
|Vcb |FD∗ (1) = 35, 41 ± 0, 52 .
(408)
Die Größe selbst kann man nicht messen, weil es im Endpunkt keine Daten gibt. Daher ist zu extrapolieren,
was eine Fehlerquelle ist. Aus QCD-Gitterrechnungen (Lacho) kommt
Ã
!
Λ2QCD
FD∗ (1) = 0, 924 ± 0, 023 = 1 + O
.
(409)
m2c
Hieraus ergibt sich dann
|Vcb | = (38, 8 ± 0, 6exp ± 1, 0theo ) · 10−3 .
(410)
1
Der experimentelle Fehler ist so klein wegen dΓ/dw ∼ (w2 − 1) 2 . Entfernt man sich von w = 1, gibt es bereits
statistisch signifikante Daten. Aus dem anderen Zerfall B → Dlν folgt der Weltmittelwert
|Vcb | = (39, 4 ± 4, 7exp ± 0, 8theo ) · 10−3 ,
(411)
3
wobei der Fehler wegen dΓ/dw ∼ (w2 −1) 2 größer ist als bei B → D∗ lν. Als besser hat sich der inklusive Zerfall
B → Xc lν, wobei Xc die Summe über alle Zustände ist, in denen man ein Meson mit Charm-Quantenzahl 1
findet. Dies wiederum liefert
|Vcb | = (41, 48 ± 0, 47stat ± 0, 08τB ± 0, 58theo ) · 10−3 .
0
(412)
0
|Vub kann aus B → π + lν (mit B ∼ bd und π+ ∼ ud) bestimmt werden. Keine HQET-Normierung erfordert
mehr Gitter-Input.
77
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
5.2
Effektive Feldtheorien: Schwacher Hamilton-Operator
Auch hier geht es wieder erneut darum, Skalen zu trennen: MW À mb , mc À ΛQCD . Die Trennung der ersten
beiden Skalen wird durch den effektiven Hamiltonoperator H bewerkstelligt. Betrachten wir einen |∆B| = 1Prozess, also zum Beispiel den Zerfall eines B-Mesons
c
d
c
d
·
µ 2 ¶¸
mb
1+O
.
2
MW
GF
= −4 √ Vcb Vud ×
2
u
b
u
b
Das Teil des Feynmandiagramms, der dem Austausch eines schweren W-Bosons entspricht, ersetzt man durch
eine punktförmige Wechselwirkung. Dies folgt aus der Entwicklung des Propagators
µ
¶
p2
g µν
g µν
=
−
1
+
+
.
.
.
.
2
2
2
p2 − MW
MW
MW
Das Ganze lässt sich durch Angabe eines |∆B| = |∆c| = |∆u| = |∆D| = 1-Hamiltonoperator formalisieren:
GF
∗
H = 4 √ Vcb Vud
C2 Q 2 ,
2
(414)
mit dem Wilsonkoeffizienten C2 = 1 + O(αs ) (415). Dabei handelt es sich um eine effektive Kopplung. Q2
bezeichnet die effektive Vier-Quark-Wechselwirkung und ist ein Produkt von vier Feldern, die alle am gleichen
Ort definiert sind:
i
Q2 = ciL γµ biL dL γ µ ujL .
(416)
Man bezeichnet Q2 als Vierquark-Operator. i und j sind Farbindizes. Für den |∆B| = . . . = 1-Prozess gilt:
·
µ 2 ¶¸
mb
,
hf |SSM |Bi = hf |Seff |Bi 1 + O
2
MW
mit
µ Z
¶
Z
Seff = T exp −i d4 x H(x) = 1 − i d4 x H(x) + O(G2F ) ,
µ
∧
O(G2F ) = O
m2b
2
MW
¶
.
Um einen komplizierten Prozess auszurechnen, kann man den einfacheren Hamiltonoperator der effektiven
Theorie verwenden:
·
µ 2 ¶¸
mb
4 (4)
hf |SSM |Bi = (2π) δ (pB − pf )(−i)hf |H(0)|Bi 1 + O
,
(418)
m2W
was sich aus Translationsinvarianz ergibt. Kommen wir nun zu QCD-Korrekturen: C2 Q2 wird renormiert. In
(0)
Analogie zur unrenormierten Kopplung gs = gsbare und gs = gsren würde man C2bare und C2ren = C2 definieren.
Aus historischen Gründen renormiert man im Produkt C2 Q2 nicht die effektive Kopplung C2 , sondern Qbare
:
2
Q2 = Qren
und man spricht dabei von Operatorrenormierung“. Warum werden diese Größen renormiert?
2
”
Betrachtet man dazu bestimmte QCD-Diagramme. Das Diagramm
d
c
c
d
b
b
u
b
u
b
u
u
78
5.2. EFFEKTIVE FELDTHEORIEN: SCHWACHER HAMILTON-OPERATOR
ist UV-divergent. Die Divergenzstruktur ist also verschieden in beiden Theorien. Mit dem gleichen Satz an
Countertermen kann man die effektive Theorie nicht renormieren. Abgesehen davon, dass das zweite Diagramm
divergent ist, besitzt es auch noch eine neue Farbstruktur und zwar
a
Tija Tkl
=
1
1
δil δkj −
δij δkl ,
2
2Nc
j
mit Q1 = ciL γµ bjL dL γ µ uiL (419). i, j, k und l sind die Farbindizes der äußeren Linien. Die zweite Farbstruktur
Q2 entspricht der gewöhnlichen, bei der die Farbe erhalten bleibt. Es sind nun zwei Gegenterme notwendig:
Z22 Q2 und Z21 Q1 . Der Umstand, dass für die Renormierung einer Kopplung zwei neue Operatoren nötig sind,
bezeichnet man als Operatormischung“.
”
2
2
X
4GF X
4GF
bare
Ci Qi
=
Ci Zij Qren
(420)
H= √
j .
2 i,j=1
2 i=1
Die Analogie zur unrenormierten QCD-Kopplung gsbare = µε Zg gs ist gegeben durch Ci Zij = Cjbare . Uns
interessieren Matrixelemente von Quarkzuständen und wir bezeichnen hcud|Qi |bi als hQi i (421).
hQi i =
ren
hQren
i i
=
bare
Zψ2 hQren
i i
=
Zψ2
2
X
Zij hQbare
ibare .
j
(422)
j=1
hQi i muss endlich sein und definiert die Zij . Für eine Schleife, also in O(αs ) gilt
Zψ = 1 +
αs (1)
Z + O(αs2 ) ,
4π ψ
(1)
wobei Zψ in (319) angegeben ist. Analog schreiben wir
Zij =: δij +
αs (1)
Z + O(αs2 ) ,
4π ij
(423)
Bis zu O(αs ) gilt weiterhin
´
αs ³ (1)
(1)
Zψ2 Zij = δij +
2Zψ δij + Zij + O(αs2 ) ,
4π
(424)
und (422) bedeutet:
αs
(422),(424)
hQi i(1) + O(αs2 )
=
4π 

³
´
X
αs 
(1)
(1)
= hQi i(0) +
2Zψ δij + Zij hQj i(0) + (hQbare
i(1) )bare  .
i
4π
j
hQi i = hQi i(0) +
(425)
Diagrammatisch sieht diese Gleichung wie folgt aus:
+
hQi i =
+
2
´
αs X ³ (1)
(1)
2Zψ δij + Zij ×
4π j=1
+ ...
Man findet
Z (1) =
1
ε
µ
−1
3
¶
3
−1
,
(426)
79
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
was nicht vom Eichparameter ξ abhängt. Hinter den gleichen Einträgen steckt eine Symmetrie.
2
2
4GF X
4GF X
√
H= √
Ci Qren
=
Ci Zij Qren
i
j .
2 i=1
2 i,j=1
(420)
Bestimmung von C1 , C2 zu O(αs ):
d
c
c
d
MSM =
b
+
u
b
(0)
= MSM +
u
b
+ ... =
u
(427)
2
X
αs (1) ! 4GF
∗
ren
MSM = − √ Vcb Vud
Ci hQren
.
i i
4π
2
i=1
Mit
(0)
Ci = Ci
+
αs (1)
C ,
4π i
(0)
C1
= 0,
(0)
C2
= 1,
siehe (414) ,
und (427), also
2 h
i
X
4GF
(1)
(0)
(1)
∗
−MSM = √ Vub Vud
Ci hQi i(1) + Ci hQi i(0) ,
2
i=1
(428)
findet man:
·
µ
¶
¸
αs (µ)
µ
11
C1 =
6 ln
+
,
4π
MW
2
·
µ
¶
¸
αs (µ)
µ
11
C2 = 1 +
−2 ln
−
.
4π
MW
6
(429)
Es tritt keine Abhängigkeit von Impulsen pi und Quarkmassen mb,c,u,d ( infrarotsicher“). Die Infrarotsruktur
”
von beiden Diagrammen auf (428) ist identisch und sämtliche Abhängigkeit von den kleinen Skalen kürzt sich
heraus. (Für kleine Loopimpulse machen die Diagramme keinen Sinn; dann sind aber beide identisch. Ci
enthält nur Information aus harten Impulsen, wo die Störungsrechnung funktioniert. Die UV- und IR-Physik
faktorisiert somit; IR-Beiträge können mit gittereichtheoretischen Methoden, Ausnutzung von Symmetrien,
QCD-Summenregeln usw. berechnet werden.) Das ist der erste Nutzen der effektiven Feldtheorie. Man kann
jedoch noch mehr machen. Selbst wenn alles störungstheoretisch berechenbar wäre, gäbe es ein Problem,
nämlich das großer Logarithmen:
µ 2 ¶
· µ 2 ¶
µ 2 ¶¸
αs
mb
αs
µ
mb
ln
=
ln
+
ln
.
2
2
4π
MW
4π
MW
µ2
Die linke Seite der Gleichung ist ein großer Logarithmus im Matrixelement. Auf der rechten Seite wird dieser
aufgespalten in einen Teil, der in den Wilsonkoeffizienten C1 , C2 sitzt und einen Teil, der in hQ1,2 i(1) vorkommt.
Die Physik der Skalen ≥ µ steckt in den Wilsonkoeffizienten und die der Skalen < µ im Matrixelement. Der
Logarithmus
µ 2 ¶
mb
αs
ln
,
2
4π
MW
ist erstens zu groß für Störungstheorie und zweitens ist unklar, bei welcher Skala man αs berechnet (αs (mb ) ≈
0, 2, αs (MW ) ≈ 0, 1). Kommen wir zur Strategie:
1.) Wähle in (429): µ =: µW = O(MW )
2.) Da in der effektiven Theorie die Renormierungsskala µ auftritt, kann man die Renormierungsgruppengleichung verwenden. Man evolviert dann C1,2 (µW ) nach C1,2 (µb ) mit µb = O(mb ). C1,2 (µb ) enthält
(αs /4π ln(µb /MW ))n für n = 0, 1, 2, . . .. Die lösung der Renormierungsgruppengleichung summiert die
großen Logarithmen auf.
80
5.2. EFFEKTIVE FELDTHEORIEN: SCHWACHER HAMILTON-OPERATOR
Der Effekt (bei der Wahl von µW = MW und µb = mb ist, dass eine Summation von
µ
¶
³ α ´n
mb
s
lnn
, n = 0, 1, . . . ,
4π
MW
in MSM durchgeführt wird. Startpunkt:
µ
d
H = 0,
dµ
(432)
µ
d bare
Q
= 0.
dµ i
(432)
Daraus folgt die Ableitung des renormierten Matrixelements:
µ
¶
2 µ
2
2
X
X
d ren X
d
bare
Qi =
=
−
µ Zij Qbare
γ
Z
Q
=
−
γik Qren
ik kj j
j
k ,
dµ
dµ
j=1
i,j=1
(433)
k,j=1
mit der anomalen Dimensionsmatrix γ:
γik =: −
¶
¶
·µ
¸
2 µ
X
d
d
−1
.
= − µ Z Z −1
µ Zil Zlk
dµ
dµ
ik
(434)
l=1
αs (0) ³ αs ´2 (1)
γ +
γik .
4π ik
4π
Analog zu (346), (347) spalten wir die Pole in Zij ab:
γik =
αs
Zij = 1 +
4π
Ã
!
(11)
Zij
ε
+
(10)
Zij
µ
+
αs2
4π
¶2 Ã
(22)
Zij
ε2
(435)
!
(21)
Zij
+
ε
+
(20)
Zij
.
(436)
Darüberhinaus gilt
(0)
(11)
+ 2εZij
(1)
(21)
+ 2β0 Zij
γij = 2Zij
γij = 4Zij
(10)
,
(10)
(10)
(11)
− 2{Zij , Zij } + O(ε) .
In Leading-Log-Näherung – siehe (426) – gilt
µ
¶
−2 6
(0)
γij =
.
6 −2
(438)
(439)
Aus (431) ergibt sich:
0=µ
¸
2
2 ·
X
X
d
d
d
H=
µ
[Ci (µ)Qren
(µ)]
=
µ
(C
Z
)
Qbare
,
i
ij
i
i
dµ
dµ
dµ
i=1
i,j=1
und somit
2
X
i=1
µ
d
(Ci Zij ) = 0 ,
dµ
da Q1 , Q2 linear unabhängig. Mittels der Produktregel folgt
2 ·µ
X
i=1
d
µ
dµ
¶
¸
d
Zij + Ci µ Zij = 0 ,
dµ
−1
und Multiplikation mit Zjk
liefert:
µ
µ
¶
2
2
X
X
d
d
−1 (434)
Cl = −
Ci µ Zij Zjl
=
Ci γil .
dµ
dµ
i,j=1
i=1
(440)
81
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
Das Laufen der Wilsonkoeffizienten wird also durch die anomale Dimension γ bestimmt. In Matrixschreibweise
mit C = (C1 , C2 ) lässt sich (440) kompakter schreiben in der Form
µ
d |
d
C = C| γ ⇒ µ C = γ | C .
dµ
dµ
(441)
In den massenunabhängigen Schemen lässt sich die µ-Abhängigkeit immer in eine Abhängigkeit nach der
Kopplung umschreiben. Vergleiche (342):
µ
d
d
d
γ|
= β(g)
⇒
C=
C.
dµ
dg
dg
β(g)
(442)
In Leading-Log-Näherung gilt
γ|
(γ (0) )|
d
(γ (0) )|
=−
+ O(g) ⇒ 2g 2 C = −
C.
β(g)
β0 g
dg
β0 g
Diese Differentialgleichung lässt sich umschreiben in die Form
·
½Z
¾ ¸
½Z
¾
d
(γ (0) )| 2
(γ (0) )| 2
exp
dg C = 0 . ⇒ exp
dg C = const.
dg 2
2β0 g 2
2β0 g 2
Weiterhin gilt dann
µ (0) |
¶
½ (0) −1 µ 2 2 ¶¾
(γ )
(γ )
g (µ0 )
2
exp
ln g (µ) C(µ) = const. ⇒ C(µ) = exp
ln
C(µ0 ) ,
2β0
2β0
g 2 (µ2 )
(443)
und somit
C(µ) = U (0) (µ, µ0 ) · C(µ0 ) ,
mit der Leading-Log-Evolutionsmatrix
½ (0) | µ
¶¾
(γ )
αs (µ0 )
U (0) (µ, µ0 ) = exp
ln
.
2β0
αs (µ)
(444)
Zur Berechnung der Exponentialfunktion müssen wir die Matrix diagonalisieren. Man führt durch einen Basiswechsel die neuen Operatoren
Q± =
1
(Q2 ± Q1 ) ,
2
(445)
ein bzw.
Q2 = Q+ + Q− ,
Q1 = Q+ − Q− ,
(446)
und erhält:
1
7
→
2
γ (0)
(0)
µ
¶
µ
1 1 (0) 1
γ
−1 1
1
Ã
¶
−1
1
=
!
(0)
γ+
0
0
(0)
γ−
,
(0)
mit γ+ = 4 und γ− = −8. (444) in der (Q+ , Q− )-Basis liefert eine diagonale Evolutionsmatrix
U
(0)
µ (0)
¶
U+ (µ, µ0 )
0
(µ, µ0 ) =
,
0
U (0) (µ, µ0 )
µ
(0)
U± (µ, µ0 )
=
αs (µ0 )
αs (µ)
¶γ±(0)
2β0 .
(448)
Nach Aufgabe 3 gilt in Leading-Log-Näherung
µ
αs (µ0 )
αs (µ)
¶γ±(0)
2β0 = 1 −
αs (µ0 )
β0 ln
2π
µ
µ0
µ
¶
,
und somit
(0)
U± (µ, µ0 ) = 1 −
αs (µ0 )
β0 ln
2π
µ
µ0
µ
¶
.
82
5.2. EFFEKTIVE FELDTHEORIEN: SCHWACHER HAMILTON-OPERATOR
(5)
Alle Logarithmen werden also aufsummiert. Für B-Physik, also f = 5, gilt β0
ergibt sich
µ ¶
αs (µ0 )
µ0
β0 ln
= 0, 45 .
2π
µ
= 23/3. Mit µ0 = MW , µ = mb
(0)
Die Renormierungsgruppen-Evolution führt wegen γ+ > 0, γ (0) < 0 zu
L.Log
C+ (mb ) < C+ (MW ) = 1 ,
L.Log
C− (mb ) > C− (MW ) = 1 .
(5)
Setzt man ΛMS = 226 MeV folgt hieraus αs (MZ ) = 0, 118. Leading-Log-Näherung mit µb = 4, 8 GeV führt auf
die Zahlenwerte
C1 (µb ) = −0, 25 ,
C2 (µb ) = 1, 11 ⇒ C+ (µb ) = 0, 86 ,
C− (µb ) = 1, 36 .
Mit µb = 2, 4 GeV ergibt sich
C+ (µb ) = 0, 81 ,
C− (µb ) = 1, 53 .
(Bemerkung zum Begriff der anomalen Dimension“: x ∼ µd erfüllt die Differentialgleichung µd/dµx = dx. In
”
der klassischen Mechanik ist d ∈ N; in der Quantenfeldtheorie kann d jedoch reell oder sogar komplex sein.
Die Skala geht nicht nur naiv in die Physik ein (durch Dimensionsanalyse), sondern auch über Logarithmen
(durch Quantenkorrekturen).) Häufig hat man, dass Quark und Antiquark in einem Zerfall denselben Flavour
haben. Flavourstruktur: |∆B| = |∆D| = 1, ∆S = ∆C = 0.
q0
q0
b
d
q 0 = u, c
β
0
β
µ α
Qq1 = q 0α
L γµ bL dL γ qL ,
0
β
α
µ β
Qq2 = q α
L γµ bL dL γ qL .
(449)
Es tritt hier ein völlig neues Phänomen auf, nämlich die Mischung in Pinguin-Operatoren.
d
b
q = u, c
q = u, d, s, b, c
q = u, c
q
qγµ q = q L γµ qL + q R γµ qR .
∗
∗
Hier treten die CKM-Faktoren ξu = Vub Vud
und ξc = Vcb Vcd
auf. Die Gegenterme sind proportional zu
∗
ξu + ξc = −ξt = −Vtb Vtd . Man benötigt die Pinguinoperatoren
X
α
β
Q3 = dL γµ bα
q βL γ µ qL
,
L
q=u,d,s,c,b
α
Q4 = dL γµ bβL
X
α
q βL γ µ qL
,
q
Q5 =
α
dL γµ bα
L
Q6 =
α
dL γµ bβL
X
β
q βR γ µ qR
,
q
X
α
q βR γ µ qR
.
(450)
q
Hier sind die Linien gleicher Ladung kontrahiert:
83
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
d
Q3−6
q = u, c
b
q = u, c
q
q = u, d, s, b, c
Q1,2 mischen in Q3−6 , Q3−6 mischen in Q3−6 , aber nicht in Q1,2 .
d
b
Q3−6
q = u, d, s, c, b
q
q = u, d, s, c, b
d
Q3−6
q=d
q
q
b
q=d
q
Leading-Log-Näherung bei µ = 4, 8 GeV liefert die Zahlenwerte
C3 = 0, 11 ,
C4 = −0, 026 ,
C5 = 0, 008 ,
C6 = −0, 031 .
(451)
Chromomagnetischer (Pinguin-)Operator:
d
b
gs
mb dL σ µν Gaµν T a bR ,
(452)
16π 2
und mit Gaµν aus (120) und σ µν = i/2[γ µ , γ ν ]. Q8 mischt nur in Q8 , Q1−6 mischen in Q8 . Zur Berechnung
höherer Ordnungen in e, gs benötigt man mehr Operatoren, beispielsweise der magnetische Pinguinoperator:
Q8 = −
d
b
e
α
(453)
mb dL σ µν Fµν bα
R,
16π 2
mit Fµν = ∂µ ∂ν − ∂ν Aµ . Wichtig ist dieser Operator für b → dγ (bzw. b → sγ). Dies war der erste PinguinProzess, der experimentell beobachtet wurde und zwar bei CLEO in den 90er Jahren. Diese Prozesse sind
so wichtig, weil sie Hinweise liefern über die dritte Generation (also das Top-Quark). Gäbe es keine dritte
Generation, würden sich die Pinguinbeiträge gegenseitig wegheben. Der neue effektive Hamiltonoperator für
die Flavourstruktur |∆B| = |∆D| = 1 und ∆s = ∆c = ∆u = 0 liest sich wie folgt:

2
6
X
X
4G
F
H |∆B|=1 = √
Cj (ξc Qcj + ξu Quj ) − ξt
Cj Qj − ξt C8 Q8
2 j=1
(454)
j=3
Q7 = −
+elektromgn. Operatoren + elektroschw. Operatoren} + h.c.
84
5.3. MESON-ZERFÄLLE, DIREKTE CP-ASYMMETRIEN
Q1 und Q2 nennt man auch Stromoperatoren. Zieht man nämlich das W-Boson auf einem Punkt zusammen,
koppeln die beiden Quarkströme aneinander. Auf Leading-Log-Näherung gilt
C8 (µb = 4, 8 GeV) = −0, 15 .
(455)
Die Abhängigkeit von mt in Next-to-Leading-Log-Näherung ist über die Anfangsbedingung bei µ = µW =
O(MW , mt ).
b
W
t
∼ O(αs ) ⇒ C3−6 (µ+,W )
Q3−6
5.3
Meson-Zerfälle, direkte CP-Asymmetrien
Das erste Beispiel B− → D0 K− ist ein Klassiker in der Erforschung der CP-Verletzung.
2
4GF X
Hc c = √ λc
Cj Qcu
j + h.c. ,
2
j=1
∆c = −∆s ,
(456)
mit
∗
λc = Vcb Vus
,
α
α β µ β
Qcu
2 = bL γµ cL sL γ uL .
2
X
4GF
Hu = √ λu
Cj Quc
j + h.c. ,
2
j=1
∆c = ∆s ,
(457)
∗
cu
mit λu = Vub Vus
und Quc
j = Qj (c ⇔ u). Das Matrixelement ist gegeben durch
2
4GF X
−
Cj hD0 K − |Qcu
−M(B− → D0 K− ) = hD0 K − |Hc |B − i = √ λc
j |B i =: λc Ac ,
2
j=1
(458)
−
wobei Cj hD0 K − |Qcu
j |B i zur Zeit unmöglich auszurechnen ist. Da in λc die CP-Information steckt, wird dieser
Faktor isoliert. Ac lässt sich nicht berechnen. Jedoch kann man den CP-konjugierten Prozess betrachten:
2
4GF X 0 +
†
+
−M(B+ → D0 K + ) = hD0 K + |Hc |B + i = √ λ∗c
hD K |(Qcu
j ) |B i .
2
j=1
(459)
Was wir nun ausnutzen werden, ist die CP-Erhaltung der starken Wechselwirkung. Mit |D0 K + i = −CP|D0 K − i
und |B + i = −CP|B − i erhalten wir:
†
†
+
0 −
cu †
†
−
hD0 K + |(CP)† CP(Qcu
j ) CP) CP|B i = hD K |CP(Qj ) (CP) |B i .
85
KAPITEL 5. EXKLUSIVE (SEMI-)LEPTONISCHE ZERFÄLLE
†
Wie man das CP-konjugierte des Operators (Qcu
j ) berechnet, haben wir im Kapitel über diskrete Symmetrien
kennengelernt. Damit gilt:
(224)
†
†
†
µ
†
CP(Qcu
= Qcu
j ) (CP) = CPcL γµ bL (CP) CPuL γ sL (CP)
j .
Damit haben wir es geschafft, das Matrixelement des zweiten Zerfalls auf das des ersten Zerfalls zurückzuführen:
†
+
0 −
cu
−
hD0 K + |(Qcu
j ) |B i = hD K |Qj |B i .
Also gilt:
−M(B+ → D0 K+ )
(458)-(460)
=
λ∗c Ac .
(461)
Definiere die direkte CP-Asymmetrie (mit |f i = CP|f i):
Adir
CP (B → f ) =
Γ(B → f ) − Γ(B → f )
.
Γ(B → f ) + Γ(B → f )
(462)
Das heißt, mit (461) ist
−
0 −
Adir
CP (B → D K ) =
|M(B− → D0 K− )|2 − |M(B+ → D0 K+ )|2
|M(B− → D0 K− )|2 + |M(B+ → D0 K+ )|2
=
|λc |2 |Ac |2 − |λ∗c |2 |Ac |2
,
|λc |2 |Ac |2 + |λ∗c |2 |Ac |2
wobei sich der Phasenraumfaktor, der für alle Zerfälle gleich ist, herauskürzt. Analog:
−M(B− → D0 K− ) = hD0 K − |Hu |B − i = λu Au ,
−M(B+ → D0 K+ ) = λ∗u Au .
(463)
Mit unterschiedlichem Au wird Adir
CP = 0. Der Trick um weiterzukommen geht auf Gronan, London und Wyler
zurück: Beobachtet man das D-Meson für einen flavour-spezifischen Zerfall, beispielsweise D0 → K− l+ νl bzw.
D0 → K+ l− νl so findet man aus Γ(B− → D0 K− ) gerade |λc ||Ac | und aus Γ(B− → D0 K− ) gerade |λu ||Au |.
86
Kapitel 6
Literatur
1.) Kapitel in Büchern über Elementarteilchenphysik, zum Beispiel
a.) T.P. Cheng, L.F. Li: Gauge Theory of Elementary Particles
b.) O. Nachtmann: Elementarteilchenphysik: Phänomene und Konzepte
2.) Fachbücher:
a.) I. Bigi, A. Sanda: CP violation (1999)
b.) G. Branco, L. Lavoura, J. Silva: CP violation (1999)
c.) A. Manohar, M. Wise: Heavy Quark Physics
3.) Übersichtsartikel (gibt es im arXiv):
a.) M. Battaglia et al. (eds): The CKM matrix and the Unitary triangle (Oktober 2003), hep-ph/0304132
b.) K. Anikeev et al.: B physics at the Tevatron: Run II and Beyond (Februar 2002), hep-ph/0201071
∗ Für theoretisch Interessierte: Kapitel 1, 6.1, 7.1, 7.4, 8.1 bis 8.4
∗ Experiment: Kapitel 2 (Tevatron)
c.) P. Harrison, H. Quinn (ed): The BaBar Physics Book (1998)
d.) P. Ball et al. (ed): B decays at the LHC, hep-ph/0003238
e.) A. Buras: Les Houches lectures, hep-ph/9806471
f.) G. Buchalla, A. Buras, M. Lautenbacher, Rev. Mod. Phys. 68 (1996) 1125.
4.) Bücher zu klassischen Experimenten:
– R.N. Cahn, G.E. Goldhaber: The experimental foundations of particle physics
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Zugehörige Unterlagen

Ubungsblatt 5 - RISC-Linz

Grundkonzepte der Optik, SS 2014 Übungsserie 7

Serie 6 - AG Programmiersprachen und Übersetzerkonstruktion

Mitschrieb zur Vorlesung: Einführung in die Flavourphysik

Zugehörige Unterlagen

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