7 Systeme von Massepunkten

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SYSTEME VON MASSEPUNKTEN
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Vorlesung
051109
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Systeme von Massepunkten
Bisher: Modell Massepunkt für einen Körper
Nun: Systeme aus N > 1 Massepunkten
gutes Modell insbesondere für ”Himmelsmechanik”, aber auch für Teilchenstreuung
Beispiele: System = Erde+Mond, oder System = alle Körper des Sonnensystems,
aber auch: Schritt auf dem Verallgemeinerungsweg
Massepunkt – Mapu-Systeme – starrer Körper – elastischer Körper – Kontinuumsmechanik
Ortsvektoren ~r1 (t), . . . , ~rN (t)
Massen m1 , . . . , mN
Kräfte F~1 (t), . . . , F~N (t)
Natürlich gilt für jeden Mapu
Newton’s Bewegungsgleichung
mi~r¨i = F~i
i = 1, . . . , N
(7.1)
und alles was wir für einen Mapu daraus hergeleitet haben.
7.1
Innere und äußere Kräfte
Kraft F~i auf Mapu i rührt generell her aus WW mit allen anderen Körpern des Universums
diese unterteilbar in: Körper, die zum System gehören und externe Körper
entsprechend
(a)
F~i = F~i (~ri ) +
X
F~ij (~ri , ~rj )
(7.2)
j6=i
der Einfachheit halber nur ortsabhängige Kräfte (z.B. Himmelsmechanik braucht keine Reibung)
(a)
F~i (~ri ):
äußere Kraft auf den Mapu i
verursacht durch Wechselwirkung mit jenen Teilen des Universums,
die nicht zum System gehören.
hänge nur von Koordinaten des Mapu i ab
F~ij (~ri , ~rj ):
innere Kraft auf Mapu i infolge Wechselwirkung mit Mapu j
hänge nur von den Koordinaten dieser beiden Mapu ab
Newton III:
~rij
F~ij (~ri , ~rj ) = −F~ji (~rj , ~ri ) = Fij (rij )
rij
Anmerkung: F~ii ≡ 0!
die inneren WW-Kräfte verkoppeln die Gleichungen der verschiedenen Mapu miteinander.
man hat insgesamt 3N gekoppelte Differentialgleichungen 2. Ordnung.
das ist viel komplexer als bei einem Mapu.
Wir befassen uns erst mal mit der Verallgemeinerung der vom Mapu bekannten Erhaltungssätze.
(7.3)
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SYSTEME VON MASSEPUNKTEN
7.2
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Impuls
Auf jedes Teilchen wirken zumindest die WW-Kräfte – ihre Impulse ändern sich also.
Einen Erhaltungssatz gibt es für den
P~ :=
Impuls des Systems
X
p~i =
i
X
mi~r˙i
Summe aller Einzelimpulse
(7.4)
i
Wenn es der Kontext erlaubt, wird das ”des Systems” weggelassen und einfach von Impuls gesprochen.
Der Impuls eines Systems ist Erhaltungsgröße gdw.
die Summe aller äußeren Kräfte verschwindet.
Impulserhaltungssatz:
(7.5)
Beweis:
´
X (a) 1 X ³
X
X (a) X X
˙
F~i +
F~ij (~ri , ~rj ) =
F~i +
p~˙ =
F~ij (~ri , ~rj ) + F~ji (~rj , ~ri )
P~ =
2
j6=i
i
i
i
i
j6=i
i,j
die runde Klammer im 2. Term verschwindet wegen Newton III, also folgt die wichtige
Impulsbilanz:
X (a)
˙
P~ =
F~i
Impulsänderung = Summe äußerer Kräfte
(7.6)
i
Daraus folgt sofort der Erhaltungssatz.
q.e.d.
Weitere nützliche Begriffe:
Gesamtmasse M :=
X
mi
Summe aller Massen
(7.7)
i
~ :=
Massemittelpunkt (MMP) R
X mi
i
M
~ri
gewichtetes Mittel aller Orte
Gewicht des Ortes i:
Anteil mi /M von Körper i an Gesamtmasse
(7.8)
oft wird der MMP auch Schwerpunkt genannt.
Offensichtlich gilt
~˙
P~ = M R
der Gesamtimpuls eines Systems von Massepunkten entspricht dem Impuls
eines Teilchens, welches die Gesamtmasse M im MMP vereinigt.
X (a)
~¨ =
MR
F~i
i
der Massemittelpunkt eines Systems von Massepunkten bewegt
sich wie ein einzelnes Teilchen mit der Gesamtmasse M , an dem
die Summe aller äußeren Kräfte angreift.
(7.9)
(7.10)
wenn man sich für die innere Bewegung im System nicht interessiert, kann ein Teilchen mit der Gesamtmasse
im MMP als Repräsentant des Systems dienen, das rechtfertigt das Modell Punktmasse für ausgedehnte
Körper.
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SYSTEME VON MASSEPUNKTEN
7.3
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Drehimpuls
~ :=
L
Drehimpuls eines Systems
X
~i =
L
i
X
~ri × p~i
Summe aller Drehimpulse
(7.11)
i
Wenn es der Kontext erlaubt, wird ”des Systems” weggelassen und einfach von Drehimpuls gesprochen.
Drehimpulserhaltungssatz:
der Drehimpuls eines Systems ist Erhaltungsgröße, wenn
das Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte verschwindet.
(7.12)
Beweis:
X˙
~˙ =
~i
L
L
wie bei 1 Mapu
=
X
X
~ri × F~i =
i
i
NR:
i6=j
X
i,j
(a)
~ri × F~i +
i
1
~ri × F~ij (~ri , ~rj ) =
2
i6=j
X
~ri × F~ij (~ri , ~rj )
i,j
i6=j h
X
i,j
i6=j
i 1X
~
~
~ri × Fij (~ri , ~rj ) + ~rj × Fji (~rj , ~ri ) =
[~ri − ~rj ] × F~ij (~ri , ~rj )
2
i,j
das letzte ganz rechts ist null, weil [~ri − ~rj ] parallel zu F~ij (Newton III).
das bedeutet: der Beitrag der inneren Kräfte zum Gesamtdrehmoment verschwindet.6
Es ergibt sich die
X
(a)
~˙ =
Drehimpulsbilanz: L
~ri × F~i
(7.13)
i
Aus dieser folgt sofort der Erhaltungssatz.
q.e.d.
Aufspaltung des Drehimpulses in Schwerpunktanteil und Relativanteil:
~ =
L
X
~ri × p~i =
i
~ = R
~ × P~ +
L
X
X
~ + ~xi ) × mi (R
~˙ + ~x˙ i )
(R
beim Ausmultiplizieren P
verschwinden
alle Mischterme wegen i mi ~xi = 0.
i
˙i
~xi × mi ~x
(7.14)
i
erster Term: Drehimpuls eines Teilchens mit Gesamtmasse M im Schwerpunkt
zweiter Term: Drehimpuls im MMP-System (Koordinatensystem mit Schwerpunkt im Ursprung).
7.4
Energie
Die Verallgemeinerung des Energiesatzes auf Systeme ist naheliegend. Erst 2 Definitionen, dann der Satz.
kinetische Energie des Systems
T =
Xm
i
6
2
~r˙i 2
Summe aller kinetischen Energien
(7.15)
Wenn das nicht so wäre, würde ein von außen völlig unbeeinflusstes System spontan anfangen sich zu drehen. Wegen
der Isotropie des Raumes können Paar-Wechselwirkungskräfte nur entlang der Verbindungslinie der beiden Körper wirken.
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SYSTEME VON MASSEPUNKTEN
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Auch hier wieder: das ”des Systems” im Kontext weglassbar.
konservative Kräfte: ∃ Potential V so dass F~i = − grad i V (~r1 , . . . , ~rN ).
(7.16)
hier grad i = Vektor der Ableitungen nach den 3 Komponenten von ~ri .
Für konservative Kräfte ist die mechanische Energie
E = T + V eine Erhaltungsgrösse.
Energie-Erhaltunssatz
(7.17)
Beweis: Zunächst gilt offensichtlich ganz allgemein
X
dT
F~i · ~r˙i = dem System zugeführte Leistung.
=
dt
Leistungsbilanz
(7.18)
i
Und damit bei konservativen Kräften
dV
dt
≡
X
i
∇i V ·
X
d~
ri
dT
(7.18)
=−
F~i · ~r˙i = −
dt
dt
q.e.d.
(7.19)
i
Die Unterscheidung zwischen äußeren Kräften und Wechselwirkugnskräften erlaubt Verfeinerungen.
Behauptung:
(a)
Die F~i sind konservativ gdw. die äußeren Kräfte F~i konservativ sind.
(7.20)
Das bedeutet: E-Erhaltung gdw. die äußeren Kräfte konservativ sind.
Beweis:
Zu beweisen ist: die Wechselwirkungskräfte sind konservativ, besitzen also ein Potential.
Das folgt aus der allgemeinen Form (7.3) der WW-Kräfte (Newton III)
~rij
F~ij = Fij (|~rij |)
mit ~rij := ~ri − ~rj und Fij (r) = Fji (r).
rij
Offensichtlich: Fij (r) =
−Vij0 (r)
Z
mit dem Potential Vij (r) = −
Damit auch: grad i Vij (rij ) = Vij0 (rij ) grad i rij = −Fij (rij )
r
Fij (s)ds.
~rij
= −F~ij
rij
q.e.d.
(7.21)