THEORETIKUM ZUR QUANTENMECHANIK II SS 2012

THEORETIKUM ZUR QUANTENMECHANIK II SS 2012
Aufgabenblatt 5
22.05.2012
Aufgabe 5.1: Generatoren der Speziellen Lorentz-Gruppe (8 Punkte)
Eine Darstellung eines Elements der Gruppe der Rotationen in drei Raumdimensionen hat die
Form
i ~ ~ˆ
~
D(φ) = exp − φ · L ,
~
~ der Drehvektor und L
~ˆ der Drehimpulsoperator ist. Eine weitere mögliche Darstellung
wobei φ
von Elementen der Drehgruppe sind orthogonale Matrizen mit Determinante +1. Die zugehörige
Gruppe nennt man SO(3). Die unendlich vielen Elemente dieser Gruppe sind über die drei
~ = (φx , φy , φz ) miteinander verbunden. Damit ist die SO(3)
kontinuierlichen, reellen Parameter φ
eine Lie-Gruppe. Ist A(~
α) ein Element einer Lie-Gruppe mit den N Parametern αi (i = 1, . . . , N ),
so bezeichnet man
∂A(~
α) X̂i ≡ i~
∂αi α~ =0
als Generatoren der Lie-Gruppe.
~ und in der Darstel1. Bestimmen Sie die Generatoren X̂i der SO(3) in der Darstellung D(φ)
lung als (3 × 3)−Matrizen.
2. Bestimmen Sie die Generatoren Ŷi für Lorentz-Boosts in der Darstellung als (4 × 4)−Matrizen. Verwenden Sie dabei die Rapidität ω als Parameter, γ = cosh ω, γβ = sinh ω.
3. Berechnen Sie die Kommutatoren [Ŷi , Ŷj ] und [X̂i , Ŷj ].
(Hinweis: dazu müssen Sie zunächst die Generatoren X̂i in der Darstellung als (3 ×
3)−Matrizen in die vier-dimensionale Raum-Zeit einbetten.)
4. Finden Sie neue Generatoren Âi und B̂j als Linearkombination von X̂i und Ŷj , welche
jeweils für sich die Drehimpulsalgebra
[Âi , Âj ] = i~ ǫijk Âk
erfüllen (eine entsprechende Gleichung gilt auch für die Generatoren B̂i ).
Anmerkung: Damit bilden die neuen Generatoren Âi und B̂j jeweils zwei SU (2) (bzw.
SO(3)) Untergruppen. Die Lorentz-Gruppe ist also isomorph zu SU (2) × SU (2).
1
Aufgabe 5.2: SU (2) und SO(3) (15 Punkte)
Die Gruppe SU (2) ist die Gruppe der komplexen, unitären (2 × 2)−Matrizen mit Determinante
+1. Eine Darstellung der Generatoren dieser Gruppe ist z.B. durch iσ̂1 , −iσ̂2 , iσ̂3 gegeben,
wobei σ̂i , i = 1, 2, 3 die Pauli-Matrizen sind.
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass genau zwei Elemente der Gruppe SU (2) einem Element der Gruppe SO(3) (reelle, orthogonale (3×3)−Matrizen mit Determinante +1) zugeordnet
werden können. Dies geschieht durch eine homomorphe Abbildung
u 7→ R(u) , u ∈ SU (2) , R(u) ∈ SO(3) ,
ˆ · ~r.
die folgendermaßen (indirekt) definiert ist: Betrachten Sie die spurlose hermitesche Matrix ~σ
ˆ · ~r u−1 für alle u ∈ SU (2) eine spurlose hermitesche Matrix ist.
1. Zeigen Sie, dass auch u ~σ
ˆ · ~r u−1 ebenfalls in der Form ~σ
ˆ · ~r ′ schreiben, mit einem neuen Vektor
Dann kann man u ~σ
~r ′ . Man definiert die Abbildung R(u) durch
R(u) ~r = ~r ′ .
2. Die explizite Form von R(u) ergibt sich aus dem folgenden Schritt: Zeigen Sie, dass
1
R(u)ij = Tr(σ̂i u σ̂j u−1 ) , i, j ≤ 3 .
2
3. Als nächstes zeigt man, dass R(u) eine Drehung ist: Zeigen Sie, dass R(u) eine orthogonale
Transformation beschreibt, also das Skalarprodukt unter dieser Transformation erhalten
bleibt
~r′ · ~r′ = ~r · ~r .
(Man kann außerdem zeigen, dass det R(u) = 1, d.h. R(u) ist eine echte Drehung im
dreidimensionalen Raum, R(u) ∈ SO(3).)
4. Um zu beweisen, dass die Abbildung u 7→ R(u) ein Homomorphismus ist, müssen Sie
zeigen, dass R(u1 )R(u2 ) = R(u1 u2 ).
5. Es bleibt noch zu zeigen, dass die Abbildung u 7→ R(u) ein 2-zu-1-Homomorphismus
ist. Dazu zeigen Sie, dass nur die Einheitsmatrix, 12 , und ihr Negatives, −12 , auf die
Einheitsmatrix 13 abgebildet werden. Also dass aus R(u) = 13 folgt u ∈ {12 , −12 }.
Damit haben Sie jetzt gezeigt, dass je zwei Elemente aus SU (2), nämlich u und −u, einer
Drehung R(u) = −R(u) ∈ SO(3) zugeordnet werden können. Dies ist ein für die Physik wichtiges
Resultat, da es den Unterschied zwischen Drehimpuls und Spin beinhaltet.
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Aufgabe 5.3: Zentrum einer Gruppe (7 Punkte)
Die Gruppe Z2 ist die zyklische Gruppe der Ordnung 2, definiert durch die Verknüpfungstabelle
◦
e
a
e
e
a
a
a
e
1. Zeigen Sie, dass Z2 eine abelsche Gruppe ist.
2. Zeigen Sie, dass die Zuordnung D(e) = 1, D(a) = −1 eine eindimensionale Darstellung
von Z2 ist.
3. Das sog. Zentrum einer Gruppe G ist die Menge der Elemente von G, die mit allen Elementen von G vertauschen. Das Zentrum ist stets eine abelsche, invariante Untergruppe
(ein sog. abelscher Normalteiler) von G. Zeigen Sie, daß Z2 das Zentrum von SU (2) ist.
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