¨Ubungsblatt 8

Höhere Quantenmechanik,
Sommersemester 2016,
Prof. Dr. Dirk H. Rischke
Ausgabe des Übungsblattes: 07.06.2016
Abgabe des Übungsblattes: 16.06.2016
Übungsblatt 8
Aufgabe 8.1: Z2 als Zentrum von SU(2) (10 Punkte = 5 + 5)
(i) Zentrum einer Gruppe (5 Punkte = 2 + 3):
Als Zentrum Z(G) einer Gruppe (G, ⊗) definiert man diejenigen Gruppenelemente z ∈ G, welche mit
allen anderen Gruppenelementen vertauschen,
Z(G) = {z ∈ G|z ⊗ g = g ⊗ z ∀ g ∈ G} .
(a) Zeigen Sie, dass es sich bei (Z(G), ⊗) um eine abelsche Untergruppe von (G, ⊗) handelt.
(b) Zeigen Sie, dass das Zentrum Z(G) invariant unter inneren Gruppenautomorphismen der Gruppe
(G, ⊗) ist. Welches sind die Konjugationsklassen von Z(G)?
Hinweis: Um (b) zu lösen, ist es hilfreich Anmerkung II in Übungsaufgabe 7.1.ii zu betrachten und die
Definition der Konjugation verwenden.
(ii) Zyklische Gruppe Z2 der Ordnung 2 (5 Punkte = 2 + 3):
Die zyklische Gruppe der Ordnung 2 wird als Z2 bezeichnet. Sie ist durch die folgende Verknüpfungstabelle
definiert
◦
e
a
e
e
a
a
a
e
.
(a) Zeigen Sie, dass es sich bei Z2 um eine abelsche Gruppe handelt und finden Sie eine eindimensionale Darstellung von Z2 .
(b) Finden Sie eine zweidimensionale Darstellung von Z2 und zeigen Sie anschließend, dass Z(SU (2)) =
Z2 .
Aufgabe 8.2: Die Gruppen O(p, q), SO(p, q) und SO+ (1, 3) (12 Punkte = 3 + 2 + 2 + 3 + 2)
Seien p, q ∈ N positive natürliche Zahlen mit der Eigenschaft, dass p + q = N . Zusätzlich definieren wir die
Matrix η p = (ηij ), mit


für i = j ≤ p ,
1,
ηij = −1, für i = j > p ,


0,
für i 6= j .
(i) Zeigen Sie, dass die Menge der (N × N )–Matrizen M mit der Eigenschaft, dass
M T ηp M = ηp ,
eine Gruppe bzgl. der üblichen Matrixmultiplikation bildet. Zeigen Sie dazu zunächst, dass det M = ±1
und überprüfen Sie anschließlich sämtliche Gruppenaxiome.
Diese Gruppe bezeichnet man als pseudo-orthogonale Gruppe O(p, q). Fordern wir zusätzlich, dass det M = 1
gilt, so erhalten wir die spezielle pseudo-orthogonale Gruppe SO(p, q). Für den Fall p = 1, q = 3 entspricht
die Matrix η offenbar dem metrischen Tensor des Minkowskiraumes. Aus der Speziellen Relativitätstheorie
wissen Sie, dass die Lorentz-Transformationen Λ die obige Relation erfüllen und somit offenbar einen Spezialfall von O(p, q), nämlich O(1, 3), bilden. Fordern wir nun, dass det Λ = 1 und Λ00 ≥ 1, so erhält man
1
eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe, die sogenannte eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe SO+ (1, 3),
welche Lorentz-Boosts und Rotationen enthält. Letztere kann man (in natürlichen Einheiten) als
~ = exp −iφ
~·L
~ˆ
R(φ)
~ = (φx , φy , φz )T einen Drehvektor und L
~ˆ den Drehimpulsoperator bezeichnet. Alternativ
darstellen, wobei φ
lassen sich diese Rotationen auch als orthogonale (3 × 3)-Matrizen mit Determinante 1 darstellen. Diese
Matrizen bilden die Gruppe der speziellen orthogonalen (3 × 3)-Matrizen SO(3). Mathematisch bezeichnet
man diese Art von Gruppe auch als sogenannte Lie-Gruppe, da sie neben ihrer Struktur als Gruppe auch
diejenige einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit aufweist. Ist G(~
α) ein Element einer Lie-Gruppe mit N
Parametern αi , i = 1, . . . , N , so erhält man die sogenannten Generatoren dieser Lie-Gruppe gemäß
∂G(~
α) .
T̂i = i
∂αi α~ =~0
(ii) Bestimmen Sie die Generatoren L̂i der Gruppe SO(3) sowohl in der Darstellung als Exponentialabbildung, als auch in der Darstellung als (3 × 3)-Matrizen.
(iii) Bestimmen Sie die Generatoren der Lorentz-Boosts K̂i in der Darstellung als (4 × 4)-Matrizen.
(iv) Geben Sie die Vertauschungsrelationen der L̂i an und berechnen Sie zusätzlich [K̂i , K̂j ] und [L̂i , K̂j ].
Hinweis: Die Vertauschungsrelationen der L̂i sollen ohne Beweis angegeben werden. Um die übrigen Vertauschungsrelationen explizit zu berechnen, müssen Sie die Generatoren der Rotationen in die vierdimensionale
Raum-Zeit einbetten.
(v) Bestimmen Sie neue Generatoren Jˆi± als Linearkombination der L̂i und K̂i , welche jeweils die Algebra
[Jˆi± , Jˆj± ] = i
3
X
ijk Jˆk±
k=1
erfüllen. Zeigen Sie außerdem, dass
[Jˆi± , Jˆj∓ ] = 0
gilt.
Anmerkung: Scheinbar erfüllen die Generatoren Jˆi± die Lie-Algebra von SU (2) × SU (2). An dieser Stelle
ist Vorsicht geboten, da die Gruppen SO+ (1, 3) und SU (2) × SU (2) aus mehreren Gründen nicht isomorph
sein können. Beispielsweise ist SU (2) × SU (2) eine kompakte Lie-Gruppe, während SO+ (1, 3) eine nicht
kompakte Lie-Gruppe ist. Tatsächlich zeigt sich, dass die eigentliche orthogonale Lorentz-Gruppe SO+ (1, 3)
und die Gruppe der komplexen (2 × 2)-Matrizen mit det U = 1, SL(2, C) in ähnlicher Beziehung wie die
Gruppen SO(3) und SU (2) stehen. Es gilt SO+ (1, 3) ∼
= SL(2, C)/Z2 . Die Isomorphie der Lie-Algebren
aus Teil (v) rührt daher, dass es sich bei den Generatoren Jˆi± , i = 1, 2, 3, um eine Komplexifizierung der
Lie-Algebra so+ (1, 3) handelt. Dann gilt tatsächlich SO+ (1, 3)C ∼
= (SU (2) × SU (2))/Z2 .
Aufgabe 8.3: Spin eines Vektorfeldes (8 Punkte)
~ r).
Berechnen Sie den Spin eines Vektorfeldes A(~
Anleitung: Eine orthogonale Transformation eines beliebigen 3-Vektors ~a hat die folgende Form: ~a 0 = R̂~a.
~ r) müssen Sie bedenken, dass sich sowohl der Vektor des Urbildes ~r, als
Im Falle eines Vektorfeldes A(~
~
~ 0 (~r) = R̂A(
~ R̂−1~r). Führen Sie eine infinitesimale orthogonale
auch der Bildvektor A transformiert, es gilt A
Transformation aus und entwickeln Sie diesen Ausdruck für kleine Drehwinkel. Vergleichen Sie dieses Resultat
~ A(~
~ r), A
~ 0 (~r) = ÛR (φ)
~ r). Bestimmen Sie
anschließend mit der SO(3)-Transformation des Vektorfeldes A(~
daraus die Form von ÛR und identifizieren Sie darin den Drehimpulsoperator und den Spin- Operator (in
adjungierter Darstellung). Verwenden Sie schließlich letzteren, um den Spin des Vektorfeldes zu berechnen.
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