nie Sind die Geschwindigkeit und die Auslenkung aus

Mechanische Schwingungen
r
FRück
Gleichgewichtslage
r
FRück
r
FRück
r
FRück
Gleichgewichtslage
Größen zur quantitativen Beschreibung :
•
•
•
•
•
Schwingungsdauer oder Periode T , Einheit: s
Frequenz υ = 1 / T, Einheit: 1/s oder 1 Hz
Auslenkung oder Elongation aus der Ruhelage s(t), Einheit: m
Amplitude oderrSchwingungsweite smax
Rückstellkraft FRück . Sie nimmt mit wachsender Auslenkung zu.
Harmonische ungedämpfte Schwingungen
Die Rückstellkraft ist der Auslenkung proportional und stets zur
Gleichgewichtslage hin gerichtet.
Beispiele: Federpendel
Fadenpendel als mathematisches Pendel
Hookesches Gesetz:
Die Dehnung einer Feder ist der
wirkenden Kraft proportional.
Drittes Newtonsches Axiom:
Die Kraft, die die Feder auf den
Körper ausübt, d.h. die
Rückstellkraft ist ebenfalls der
Auslenkung proportional.
r
FRück = − Ds
Negatives Vorzeichen:
Rückstellkraft und Auslenkung
sind entgegengesetzt gerichtet.
α
l
FRück
s
Für kleine Winkel α
FG = mg
FRück = − FG ⋅ sin α = − mg sin α ≈ − mg
s
l
Aufstellen der Bewegungsgleichung:
Beispiele: Fadenpendel
Federpendel
mg
d 2s
FRück = −
s = ma = m 2
l
dt
d 2s g
⇒
+ s=0
2
l
dt
d 2s
− Ds = ma = m 2
dt
d 2s D
⇒
+ s=0
2
m
dt
Ein Lösungsansatz für die Bewegungsgleichung/Differentialgleichung:
s (t ) = s max sin(ωt )
ds
= ωs max cos(ωt )
dt
d 2s
2
=
−
ω
s max sin(ωt )
2
dt
Einsetzen:
g
s max sin(ωt ) = 0
l
g
l
2π
⇒ ω2 =
⇒ T=
= 2π
l
ω
g
− ω 2 s max sin(ωt ) +
D
m
ω =
⇒ T = 2π
m
D
1 D
oder υ =
2π m
2
Fadenpendel (etwas genauer):
Änderung des Drehimpulses = wirkendes Drehmoment
dL
dω
=J
= − F ⋅ l ⋅ sin α = − mgl sin α
dt
dt
Näherungen:
- Faden hat keine Masse
J = ml 2
- Masse = Punktmasse
- kleine Winkel α
Bewegungsgleichung:
sin α ≈ α
d 2α
d 2α g
= mgl ⋅ α ⇒
+ α =0
ml
2
2
l
dt
dt
2
Ein Lösungsansatz: α (t ) = α max sin(ωt )
Allgemeine Lösung: Summe aus linear unabhängigen Lösungen
α (t ) = a sin(ωt ) + b cos(ωt ), a und b werden durch Anfangsbedingungen festgelegt.
Vergleich: Gleichmäßige Kreisbewegung
Auf den Massenpunkt wirkt die
Licht
r
Zentripetalkraft: FZP
r
ϕ
s
Schirm
FZP = ma ZP
mv 2
=
r
Komponente parallel zum Schirm:
FS = − FZP sin ϕ mit sin ϕ =
⇒ FS = − FZP
r
FZP
ϕ
r
FS
s
r
F
s
= − ZP s = − Ds
r
r
Die zur Bewegung des Schattens
gehörige Kraftkomponente ist der
jeweiligen Auslenkung proportional,
der Schatten führt eine harmonische
Schwingung aus.
Für die Amplitude der Schwingung gilt: s max = r
Für die Auslenkung des Schattens als Funktion der Zeit ergibt sich:
s (t ) = r sin ϕ = s max sin(ωt ) = s max sin( 2πυt ) = s max sin(
2πt
)
T
Phase der Schwingung: ϕ = ωt
Weg-Zeit Diagramm der harmonischen Schwingung:
s (t )
ϕ
t
Die Geschwindigkeit des
Schattens als Funktion der Zeit:
r
v
ϕ
Die Beschleunigung des
Schattens als Funktion der Zeit:
r
r
a
a ZP S
r
vS
ϕ
a ZP = rω 2
ϕ
a S = − a ZP sin ϕ
a S (t ) = −rω 2 sin(ωt )
a S (t ) = − smaxω 2 sin(ωt ) = −ω 2 s(t )
⇒ FS = maS = −mω 2 s == − Ds
v = rω
v S (t ) = v cos ϕ = rω cos ϕ ⇒
⇒ ω2 = D / m
v S (t ) = s maxω cos(ωt )
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:
r
v
r
v
r
v
1
3
r
v
a S (t )
2
vS (t )
t
1
3
t
40
0
4
2
Energieumwandlungen beim Federpendel ohne Reibung:
Kinetische Energie:
1
1
1
2
2
2
E kin (t ) = mv(t ) = m(ωs max cos ωt ) = mω 2 s max
cos 2 ωt ⇒
2
2
2
1 2
E kin (t ) = Ds max
cos 2 ωt
2
E kin wird maximal für cos ωt = ±1, d.h. für ωt = 0, π ,2π
2
Durchgänge durch die Gleichgewichtslage: E kin, max = 1 Ds max
2
Potentielle Energie:
1
1
1 2
2
Ds(t ) 2 ⇒ E pot (t ) = D(s max sin ωt ) = Ds max
sin 2 ωt
2
2
2
1 3
E pot wird maximal für sin ωt = ±1, d.h. für ωt = π , π ,.....
2 2
1 2
Erreichen der Endausschläge: E pot , max = Dsmax
2
E pot (t ) =
Gesamtenergie: E = E kin (t ) + E pot (t ) =
1 2
1 2
Dsmax (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) = Dsmax
2
2
Physikalisches Pendel: Trägheitsmoment messen
d 2α
J 2 == − mgd sin α
dt
D
Näherung für kleine Winkel α :
α d
S
FG = mg
d 2α
J 2 = mgd ⋅ α
dt
d 2α mgd
⇒
+
α =0
2
J
dt
J
⇒ T = 2π
mgd
Übungen
Sind die Beschleunigung und die Auslenkung aus dem Gleichgewicht eines
harmonischen Oszillators gleichgerichtet?
• immer
• manchmal
• nie
Sind die Beschleunigung und die Geschwindigkeit eines harmonischen
Oszillators gleichgerichtet?
• immer
• manchmal
• nie
Sind die Geschwindigkeit und die Auslenkung aus dem Gleichgewicht eines
harmonischen Oszillators gleichgerichtet?
• immer
• manchmal
• nie
Ein Gegenstand an einer Feder führt eine harmonische Schwingung mit
einer Amplitude von 4 cm aus. Wenn der Gegenstand von der
Gleichgewichtslage 2 cm entfernt ist, welchen Bruchteil der Gesamtenergie
macht dann die potenzielle Energie aus?
• 1/4
• 1/3
• 1/2
• 2/3
Zwei Systeme A und B, die jeweils aus einer Masse und einer Feder
bestehen, schwingen so, dass ihre Energien gleich sind. Welche Beziehung
gilt für die Schwingungsamplituden smax A und s max B wenn m A = 2m B ist?
• s max, A = s max, B
• 2 s max, A = s max, B
• s max, A = s max, B / 2
• Die oben genannten Informationen reichen nicht aus, um eine
Entscheidung zu treffen.
Überlagerung von Schwingungen
Die Schwingungsrichtungen liegen in einer Ebene
Schwingung 1: s1 = s max1 sin ωt
Schwingung 2: s 2 = smax 2 sin(ωt + ϕ 02 )
Phasenunterschied:Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 = (ωt + ϕ 02 ) − ωt = ϕ 02
Beispiele für s1 + s2 = s3 mit smax1 = s max 2
s1
s2
s1
s1
s2
s2
s3
s3
Δϕ = 0 °
s3
Δϕ = 180°
Δϕ = 90°
s3 = s1 + s2 = smax1 sin ωt + s max 2 sin(ωt + ϕ 02 ) ⇒ s3 = smax 3 sin(ωt + ϕ 03 )
Umformen: Siehe z. B. Bergmann-Schäfer , Band 1, Mechanik
Resultierende Schwingung 3:
Harmonische Schwingung derselben Schwingungsrichtung und Frequenz.
Anknüpfen an die gleichmäßige Kreisbewegung: Zeigerdarstellung
r = smax
ϕ0
Wenn ein Massenpunkt zwei
harmonische Schwingungen
gleichzeitig ausführt, so
erfolgt eine ungestörte
Überlagerung der Wege,
Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen.
Die Größen dürfen deshalb
vektoriell addiert werden.
s
t
s = smax sin ϕ 0
ss
s3
s max,3
s2
s max,2
s max,1
s1
ϕ 02
ωt
t
Zusammensetzung zweier Sinusschwingungen ungleicher Frequenz
Frequenzverhältnis: 2:1
s1
s2
Die Frequenzen der beiden harmonischen
Schwingungen unterscheiden sich nur wenig
voneinander: Schwebung
s3 = s max (sin ω1t + sin ω 2 t )
s3
Δϕ = 0
s3 = 2 s max cos
s1
ω1 − ω 2
2
t ⋅ sin
ω1 + ω 2
2
t
s2
s3
s1
Δϕ ≠ 0
Frequenzverhältnis: 9:2
ω1 − ω 2
2
s2
TS =
2π
ω1 − ω 2
TS =
1
υ1 − υ 2
s1
s2
s3
TS = π
υ S = υ1 − υ 2
s3
Δϕ = 0
Zerlegung eines beliebigen periodischen Vorgangs in harmonische
Schwingungen: Fourieranalyse
f (t ) = A0 + A1 cos ωt + A2 cos 2ωt + A3 cos 3ωt.......
+ B1 sin ωt + B2 sin 2ωt + B3 sin 3ωt.......
Beispiel: Fourieranalyse einer Dreieckskurve
f(t)
f (t ) =
t
f(t)
8b
π
(sin ωt −
2
A
Frequenzspektrum
(nicht maßstabsgerecht)
t
f(t)
1
1
1
ω
t
+
ω
t
−
sin 7ωt + ...)
sin
5
sin
3
2
2
2
7
5
3
t
t
t
t
1
3
5
7
9
11
13
15
υ
Auch nichtperiodische Vorgänge können in harmonische
Schwingungen zerlegt werden, an die Summe tritt dann ein
Integral über eine stetige Amplitudenfunktion a (ω ) .
Die Schwingungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander
Schwingung 1: x(t ) = xmax sin ωt
Schwingung 2: y (t ) = y max sin(ωt + ϕ 0 )
Berechnung der Bahnkurve:
sin ωt =
⎛ x(t ) ⎞
x(t )
⎟⎟
⇒ cos ωt = 1 − ⎜⎜
xmax
⎝ xmax ⎠
2
einsetzen in: y (t ) = y max sin ωt cos ϕ 0 + y max cos ωt sin ϕ 0
⇒ y (t ) = y max
x(t )
x(t ) 2
cos ϕ 0 + y max 1 − 2 sin ϕ 0
xmax
xmax
2 xy
x2
y2
⇒ 2 + 2 − 2 2 cos ϕ 0 = sin 2 ϕ 0
xmax y max xmax y max
ϕ0 = 0 ⇒
x
xmax
y max
tan ϕ =
xmax
−
y
y max
=0 ⇒ y=
Amplitude:
y max
x
xmax
2
2
xmax
+ y max
ϕ0 = 0
⇒ Lineare
Schwingung
y
ϕ
x
y
x2
y2
2 xy
2
+
−
cos
ϕ
=
sin
ϕ0
0
2
2
2
2
xmax y max xmax y max
2
y max
π
x2
y2
ϕ0 =
⇒ 2 + 2 =1
xmax y max
2
x
2
max
x
Die Phasendifferenz variiert von ϕ 0 = 0 bis ϕ 0 = 2π
2
2
xmax
< y max
ϕ 0 = 0 ϕ0 =
π
4
ϕ0 =
π
2
3π ϕ = π
ϕ0 =
0
4
ϕ0 =
3π ϕ = 7π
5π
ϕ 0 = 2π
ϕ0 =
0
4
2
4
2
2
xmax
= y max
Frequenzverhältnis ist ungleich 1:1 Æ
Lissajous – Kurven