38 Übersichtsfolien, pdf

Mathematische Methoden der Chemie II
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Folienzusammenstellung zur Vorlesung
Achtung:
Diese Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als
Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab
und enthält gewiss einige Fehler. So freue ich mich über jeden Hinweis. Da ich mich
um innere Geschlossenheit der einzelnen Folien bemüht habe, sollte die Zusammenstellung
trotzdem hilfreich sein.
apl. Prof. Dr. Sigurd Bauerecker
Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, TU Braunschweig
Hans-Sommer-Strasse 10, D-38106 Braunschweig
Tel.: 0531/391-5336, Labor: 0531/391-7307, Fax: 0531/391-7308
E-mail: [email protected]
Netz:
http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Formales
Formalitäten der Vorlesung (Pflicht)
(Bachelor Chemie, Bachelor Biotechnologie)
Winter-Semester: 4 h Vorlesung, 2 h Übung, Klausur Bachelor Chemie
(Studienleistung)
Sommer-Semester: 2 h Vorlesung, 1 h Übung, Klausur Bachelor Chemie
(Prüfungsleistung, Modulabschlussklausur)
Empfehlung:
• Eigeninitiative!
• Lernen für Klausur und Übungen
in (kleinen) Gruppen.
• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B.
Zachmann und Netz
Netzadressen
http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre
http://tu-braunschweig.de/chemie
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Literatur
Stand: Herbst 2010
Grundlegend für Vorlesung:
H. G. Zachmann, A. Jüngel:
Mathematik für Chemiker. VCH, 6. Auflage, 2007, 641 S.
M. Stockhausen:
Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995,
456 S.
Weitere:
H.-D. Försterling:
Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1988, 289
S.
B. Frank, W. Schulz, W. Tietz:
Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und
Wissen, 1998, 368 S.
E. Kreyszig:
Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and
Sons, 9th Edition, 2006, 1248 S.
K. Meyberg, P. Vachenauer:
Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und
Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung,
Springer, 6. Auflage, 2001, 521 S.
W. Pavel, R. Winkler:
Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium,
2007, 592 S.
S. Singh:
Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte
eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007,
368 S.
E. Steinre:
The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd
Edition, 2008, 668 S.
Tabellenwerke:
I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig:
Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 7. Auflage,
2008, 1216 S.
J. Rast, H. Netz:
Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage,
1992
Netz:
S. Bauerecker:
Zusammenstellung einzelner Gesichtspunkte der
Vorlesung in Form von Folien, http://tubraunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre 2010,
ca. 68 S., wird im Verlauf des WS bereit gestellt.
Inhalt der Vorlesungen
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Mathematische Methoden der Chemie I
Mathematische Methoden der Chemie II
• Zahlen (2 h)
• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)
• Funktionen (4 h)
• Vektoranalysis (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. einer
Veränderlichen (12 h)
• Matrizen, Determinanten (6 h)
• Integralrechnung von Fktn. einer
Veränderlichen (12 h)
• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)
• Folgen und Reihen (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer
Veränderlicher (8 h)
• Koordinatentransformationen (2 h)
• Einführung in Mathematica (2 h?)
• Fehlerrechnung?
• Funktionentheorie?
• Integralrechnung von Fktn. mehrerer
Veränderlicher (6 h)
• Gruppentheorie?
• Differentialgleichungen (8 h)
∑ = 28 h = 14 Wochen
∑ = 56 h = 14 Wochen
• Numerische Methoden?
Definitionen zu Vektoren
Vektor a
Darstellung als Pfeil
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Endpunkt,
Kopf
a
Länge,
Betrag
Anfangspunkt,
Ursprung
Freier Vektor
Ursprung unwichtig, unspezifiziert
Gebundener V.
Ursprung wichtig, spezifiziert
Betrag
|a|=a
Gleichheit
a=b
Nullvektor 0
Vektor mit Länge null
Vektor in Gegenrichtung zu a: − a = (−1) · a
Linear abhängig,
kollinear
Vektoren stehen in gleicher oder
entgegengesetzter Richtung
Lin. unabhängig
zwei (drei) Vektoren spannen
Ebene (Raum) auf
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Basisvektoren
Zwei (drei) linear unabhängige Vektoren a, b (und c) spannen eine Ebene (einen Raum) auf.
Jeder Vektor A (V), der in der Ebene (im Raum) liegt, läßt sich aus a, b (und c) eindeutig
zusammensetzen:
A = x·a + y·b
V = x·a + y·b + z·c
y·b
A
+
= x ·a
A ist Diagonale des Parallelogramms mit
den Seiten x·a, y·b.
y·b
b
a
x, y, z sind geeignete Skalare
x·a
B ist Diagonale des Parallelepipeds mit
den Seiten x·a, y·b, z·c.
a, b, c heißen Basisvektoren.
Wichtige Basisvektoren sind die Einheitsvektoren i, j, k, mit Betrag von jeweils eins, entlang
der positiven x, y, z – Achsen im rechtshändigen Koordinatensystem (Schraube mit Rechtsgewinde x → y ↑ z). Sie stehen senkrecht aufeinander, sind orthogonal.
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Zweite Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren:
A×B=C
Vektorprodukt (Kreuzprodukt),
ist Vektor, der senkrecht auf der von A, B aufgespannten
Ebene steht. A, B, C bilden rechtshändiges System, mit
| C | = | A × B | = | A | · | B | · sin θ
C
B
|C|
θ
| C | ist die durch A und B aufgespannte Parallelogrammfläche.
Wegen sin θ = − sin (− θ) gilt
A×B= −B×A
(t ·A) × B = t · (A × B)
A × (B + C) = A × B + A × C
Für Einheitsvektoren gilt:
i×i =j×j=k×k=0
i×j =−j×i=k
j×k=−k×j=i
k×i=−i×k=j
Kommutativgesetz gilt nicht!
Assoziativgesetz und
Distributivgesetz gelten (ohne Beweis)
(Nullvektor, weil sin 0 = 0)
A
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Ableitung von Vektoren
R ist eine Vektorfunktion, wenn für jedes t (Skalar) ein Vektor R(t) definiert ist. Z.B.: t Zeit,
R Ortsvektor (Koordinatensatz) eines Teilchens.
Vektorfunktion in kartesischen Komponenten:
R (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k
Ist R(t) stetig, so sind es auch alle Komponenten. Die Ableitung von R(t) nach t wird wie bei
gewöhnlichen Funktionen definiert:
R (t + Δt ) − R (t )
dR
= lim
dt Δt →0
Δt
In Komponenten:
Ableitungen der Produkte:
dR dx
dy
dz
= i+
j + k = x′i + y′j + z ′k
dt
dt
dt
dt
(λ ⋅ a)′ = λ ′a + λa′,
λ skalare Funktion
(a ⋅ b)′ = a′ ⋅ b + a ⋅ b′
(a × b)′ = a′ × b + a × b′, nicht vertauschen!
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Ebene im Raum
Der ortsgebundene Vektor R mit Ursprung im Koordinatenursprung zielt mit seinem Endpunkt
auf den Punkt (x, y, z) im Raum. Vektor und Punkt sind hier als gleich anzusehen.
⇒ Vektoren können in der Geometrie verwendet werden.
R
–R
0
(x, y, z)
Wir betrachten eine Ebene im Raum, die
durch den Punkt R0 geht und senkrecht zu
Vektor A steht. Wenn R in der Ebene liegt,
dann ist (R – R0) ⊥ A. Es folgt die
Ebenengleichung:
B
R0
R
·
A
(R − R 0 ) ⋅ A = 0
Tangentialebene und Normalenvektor
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Eine Fläche im Raum sei durch u(x, y, z) = c = konst gegeben (andere Form ist z = f(x, y)).
Eine Kurve K mit x = x(t), y = y(t), z = z(t) liege in dieser Fläche. Dann gilt u[x(t), y(t), z(t)] = c
für alle t. Wir bilden die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel an einem festen Punkt
R0 = x0 · i + y0 · j + z0 · k :
n Normalen-
du ∂u dx ∂u dy ∂u dz
⋅ + ⋅ + ⋅ =0
=
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt
Dies ist ein Skalarprodukt:
R′(t) ist
Tangente an K
∂u
∂u
∂u
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
K
Tangentialebene
n ⋅ R′(t ) = 0 mit
R ′(t ) = x′(t ) ⋅ i + y′(t ) ⋅ j + z ′(t ) ⋅ k und
n=
vektor
im Punkt ( x0 , y0 , z0 ).
K′
R0
Fläche
u(x, y, z) = c
R′(t) ist Tangente an Kurve K ⇒ n steht senkrecht auf R′(t). Dies gilt für jede Kurve K in der
Fläche ⇒ n steht senkrecht (normal) auf der Fläche, ist Normalenvektor ⇒ Die
Tangentialebene in R0 ist senkrecht (normal) zu n und hat die Gleichung:
(R − R 0 ) ⋅ n = 0
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Vektorfelder
Zur Beschreibung eines Vektorfeldes brauchen wir 3 Gleichungen (Funktionen), für jede
Komponente des Vektors eine:
a(x, y, z) entsprechen ax(x, y, z), ay(x, y, z), az(x, y, z)
Beispiele für Vektorfelder
Jedem Raumpunkt (x, y, z) ist zugeordnet
a) Strömende Flüssigkeit
b) Elektrisches Feld
eine Geschwindigkeit v(x, y, z)
eine elektrische Feldstärke E(x, y, z)
Grafische Darstellung eines Vektorfeldes: jedem Raumpunkt wird ein Vektor(pfeil) mit
Richtung und Betrag zugeordnet.
z
Bsp.: Strömende Flüssigkeit in Rohr
x
y
Wir interessieren uns für die zeitlichen und räumlichen Änderungen 3dimensionaler
Vektorfelder, also für die Differenzial- und Integralrechnung dieser Felder. Skalare Felder
werden einbezogen.
Veranschaulichung des Gradienten
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Bsp.: dreidimensionales Temperaturfeld in einem Körper
Die Temperatur im Körper ändert sich kontinuierlich. Die Punkte gleicher Temperatur bilden
Niveauflächen mit T = konst. Für sehr kleine Δr in einer solchen Fläche ist daher
ΔT = Δr · grad T = 0 . Im allgemeinen sind jedoch ΔT, Δr, grad T ≠ 0 und damit das
Skalarprodukt Δr · grad T ≠ 0 ⇒ grad T steht senkrecht auf Δr und auf den Niveauflächen
gleicher Temperatur! grad T gibt also die Richtung stärkster T-Änderung an.
Zweidimensionaler Fall:
grad f ( x, y ) =
∂f
∂f
i+
j
∂x
∂y
Im eindimensionalen Fall ist der Gradient
mit der Ableitung identisch (natürlich nicht
im zwei- und dreidimensionalen Fall).
Niveaulinie mit gleicher Temperatur
Bsp. „Herdplatte“
2dimensionales Temperaturfeld,
T nimmt nach außen hin ab.
Konservatives Vektorfeld
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Definition: Ein Vektorfeld K(x, y, z), das als Gradient K = grad U, mit Kx = ∂U/∂x, Ky = ∂U/∂y,
Kz = ∂U/∂z, eines skalaren Feldes U(x, y, z) geschrieben werden kann, heißt konservativ.
Andernfalls heißt das Vektorfeld nichtkonservativ oder turbulent. Das skalare Feld U heißt
Potential oder Potentialfunktion.
Dann ist K · dr ein totales Differential von U:
∂U
∂U
∂U
K ⋅ dr =
dx +
dy +
dz = dU
∂x
∂y
∂z
Dann ist das Integral W unabhängig vom Weg und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab:
B
W = ∫ K ⋅ dr = ∫ dU = [U ]A = U ( xB , y B , z B ) − U ( x A , y A , z A )
B
C
A
Längs eines geschlossenen Weges wird keine Arbeit geleistet:
Ein Vektorfeld a(x, y, z) ist dann und nur
dann konservativ, wenn in einem einfach
zusammenhängenden Bereich gilt:
∫ K ⋅ dr = 0
∂a x ∂a y ∂a x ∂a z ∂a y ∂a z
=
=
=
,
,
∂x
∂z
∂x
∂z
∂y
∂y
Divergenz: 3dimensionaler Fall
x, y, z + Δz
Δz
Jx(x+Δx,y,z,t)
Jx(x,y,z,t)
Δy
x, y, z
Eckpunkt
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Wir verallgemeinern von Stab auf beliebigen Körper und
betrachten die Konzentrationsänderung in einem quaderförmigen Volumenelement mit Achsen parallel zu den
Koordinatenachsen (Komponenten Jx, Jy, Jz des Stoffstromdichtevektors J(x, y, z, t) seien ungleich null). Der Stoff A
ströme durch alle 6 Flächen des Würfels ein und aus.
Δx
Stoffstrom durch die y-z-Fläche, linke Seite (herein): Jx(x, y, z, t)·Δy·Δz
Stoffstrom durch die y-z-Fläche, rechte Seite (heraus): Jx(x+Δx, y, z, t)·Δy·Δz
Entsprechende Ströme durch x-z- und x-y-Flächen. ⇒ Die Konzentrationsänderung ∂c/∂t ergibt
sich aus den hereingeströmten Nettostoffmengen nach Division durch das Volumen Δx·Δy·Δz
J x ( x + Δx, y, z , t ) − J x ( x, y, z , t ) J y ( x, y + Δy, z , t ) − J y ( x, y, z , t ) J z ( x, y, z + Δz , t ) − J z ( x, y, z , t )
∂c
=−
−
−
∂t
Δx
Δy
Δz
Für Δx, Δy, Δz → 0
div J = ∇ ⋅ J =
⇒
∂J y ∂J z ⎞
⎛ ∂J
∂c
⎟⎟ = −divJ
= −⎜⎜ x +
+
∂t
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
∂J x ∂J y ∂J z
∂
∂
∂
+
+
, mit ∇ = i + j + k
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y
∂z
„Divergenz von J“ ist skalares Feld. J
kann als allgemeines Vektorfeld
angesehen werden. Wenn J den Fluß
einer Größe angibt, so beschreibt divJ die Konzentrationsänderungen
dieser Größe.
Gaußscher Integralsatz (Divergenztheorem)
∫∫∫ div a ⋅ dxdydz = ∫∫ a ⋅ n dF
V
F
Bauerecker
Mathem. Methoden der Chemie II
oder in Komponenten geschrieben:
⎛ ∂a1 ∂a2 ∂a3 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ dxdydz = ∫∫ (a1dydz + a2 dzdx + a3 dxdy )
+
+
∫∫∫
∂x ∂y
∂z ⎠
V ⎝
F
ndF = dydz·i + dzdx·j + dxdy·k ist der Vektor senkrecht zum Flächenstückchen dF mit Richtung
senkrecht zur Fläche. Seine Komponenten dydz, dzdx, dxdy sind die Projektionen des Flächenstückchens auf die yz-, xz-, und xy-Ebenen.
Anschauliche Deutung:
Wegen div a = − ∂c/ ∂t, steht auf der linken Seite die Abnahme der Stoffmenge im Volumen V.
Auf der rechten Seite steht die insgesamt durch die Oberfläche F des Volumens abgeflossene
Menge. Beide müssen gleich sein.
Anwendung a:
Volumenintegrale (Dreifachintegrale) können in geeigneten Fällen in Oberflächenintegrale
umgewandelt werden und umgekehrt. Das eine lässt sich meist leichter lösen als das andere.
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Rotation und Satz von Stokes
Die Divergenz ist definiert als Skalarprodukt von Nabla-Operator und Vektor.
Die Rotation ist definiert als Vektorprodukt von Nabla-Operator und Vektor:
i
j
k
⎛ ∂a z ∂a y ⎞ ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ ⎛ ∂a y ∂a x ⎞
⎟⎟k = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z
⎟⎟i + ⎜
−
−
rot a = ∇ × a = ⎜⎜
−
⎟ j + ⎜⎜
∂y ⎠
∂x ⎠ ⎝ ∂x
∂z ⎠ ⎝ ∂z
⎝ ∂y
ax
ay
az
Integralsatz von Stokes:
Wir betrachten eine „glatte“ Fläche F in einem Vektorfeld a(x, y, z), die von einer glatten
Kurve C umschlossen ist. Dann gilt:
F
∫ a ⋅ d r = ∫ (a dx + a dy + a dz ) = ∫∫ (rot a) ⋅ n ⋅ dF
x
C
C
C
y
z
F
r
mit n als Einheitsnormale auf dF. Also ist das Kurvenintegral links gleich dem Flächenintegral
der Normalkomponente der Rotation von a über der Fläche F. Falls rot a = 0 für die ganze
Fläche gilt, so verschwindet auch das Kurvenintegral links und a·dr muß ein totales
Differenzial sein (siehe oben).
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Matrizen
Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen (Objekten), die m Zeilen und n Spalten
enthalten:
auch eckige Klammern
⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
möglich
⎜
⎟
Matrixsymbol
fettgedruckt
⎜ a21
A=⎜
...
⎜
⎜a
⎝ m1
a22
...
am 2
... a2 n ⎟
... ⎟
⎟
... amn ⎟⎠
ist m × n - Matrix
Matrix-Element a22, allgemein: aij
Zeilenindex
{a }
ij
Spaltenindex
ist weitere Schreibweise für eine Matrix. Die geschweifte Klammer
drückt aus, daß alle Matrixelemente gemeint sind.
Rechenregeln für Matrizen
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
a) Gleichheit. Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie die gleiche Zahl von Spalten und
Reihen haben und wenn alle Matrixelemente gleich sind: aij = bij
b) Addition (Subtraktion). Ist nur möglich, wenn A und B die gleiche Zahl von Spalten und
Reihen haben. Die entsprechenden Matrixelemente werden addiert: cij = aij + bij
⎛ a11
⎜⎜
⎝ a21
a12
a22
a13 ⎞ ⎛ b11 b12
⎟⎟ + ⎜⎜
a23 ⎠ ⎝ b21 b22
b13 ⎞ ⎛ a11 + b11
⎟⎟ = ⎜⎜
b23 ⎠ ⎝ a21 + b21
a12 + b12
a22 + b22
a13 + b13 ⎞ ⎛ c11 c12
⎟⎟ = ⎜⎜
a23 + b23 ⎠ ⎝ c21 c22
c13 ⎞
⎟⎟
c23 ⎠
c) Multiplikation. Ist nur möglich, wenn Spaltenzahl der ersten gleich Reihenzahl der zweiten
Matrix ist!
A ⋅ B = C heißt für die Matrixelem ente cij = ∑ aik ⋅ bkj
k
Schema: Man nimmt die 1. Spalte von B, dreht diese gegen den Uhrzeigersinn um 90°, legt
sie auf die 1. Zeile von A, multipliziert aufeinanderliegende Matrixelemente und addiert die
Produkte, erhält so c11 von C. Dann legt man die gedrehte 1. Spalte von B auf die 2. Zeile
von A und wiederholt die Prozedur, bis die 1. Spalte von C aufgebaut ist. Entsprechend
baut man mit den anderen Spalten von B und den Zeilen von A die anderen Spalten von C auf.
Rechenregeln für Determinanten
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
1. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man Zeilen und Spalten miteinander vertauscht
(Spiegelung, Stürzen). ⇒ Eine Matrix und ihre Transponierte besitzen die gleiche Determinante, sämtliche
für Zeilen abgeleitete Sätze gelten auch für Spalten.
2. Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
3. Eine Determinanten mit zwei gleichen Zeilen (Spalten) hat den Wert Null.
4. Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind, so hat die Determinante den Wert Null.
(Beweis: Entwicklung der Determinante).
5. Eine Determinante wird mit einem Faktor m multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile mit
diesem Faktor multipliziert.
6. Das Produkt zweier Determinaten wird analog zum Produkt zweier Matrizen gebildet.
7. Die Summe zweier Determinaten kann nicht analog zur Summe zweier Matrizen gebildet werden. Allerdings kann man eine Determinante in die Summe zweier Determinanten aufspalten, indem man die
Elemente einer einzigen Zeile jeweils in zwei Summanden aufspaltet und anschließend zwei Determinanten
bildet, die die übrigen Zeilen unverändert übernehmen.
8. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu den Elementen einer Zeile die mit dem Faktor
m multiplizerten Elemente einer anderen Zeile addiert.
Beispiele siehe Vorlesung.
Bauerecker
Mathem. Methoden der Chemie II
Rang einer Matrix und lineare Abhängigkeit
Der Rang r einer Matrix M ist die Ordnung der größten nichtverschwindenden
Unterdeterminante oder der Determinante |M| selber.
1 2
⎛1 2 3⎞
⎟⎟ hat den Rang 2, weil z.B. ihre Determinante
Beispiel 1 : ⎜⎜
≠0
6
5
4
6
5
⎝
⎠
gilt und eine Determinante höherer Ordnung nicht gebildet werden kann.
⎛ − 2 0 3⎞
⎟
⎜
Beispiel 2 : ⎜ − 1 1 4 ⎟ hat den Rang 2, weil z.B. ihre einzige Determinante
⎜ 0 2 5⎟
⎠
⎝
-2 0
3. Ordnung verschwindet und z.B. die Unterdeterminate
≠ 0 gilt.
-1 1
Die Zeilen einer m × n Matrix A sind linear abhängig, wenn es m Zahlen λ1, λ2, …, λm gibt, die
nicht alle Null sind und die folgenden n Gleichungen erfüllen: m
Andernfalls sind die Zeilen linear unabhängig voneinander.
∑ λk aki = 0 , i = 1,2,..., n
k =1
Entsprechendes gilt für die Spalten:
n
∑μ a
i =1
i
ki
= 0 , k = 1,2,..., m
Lineares Gleichungssystem
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Definition eines linearen Gleichungssystems mit m linearen (nur Exponent 1) Gleichungen
für n Unbekannte (m muß nicht gleich n sein) x1, x2, …, xn:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2
...
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
Die Koeffizienten aij und die Absolutglieder bi sind konstant und müssen bekannt sein. Ein
homogenes Gleichungssystem liegt vor, wenn alle bi = 0, andernfalls ein inhomogenes. Das
Gleichungssystem läßt sich elegant als Matrix-Gleichung schreiben (Probe durch Ausmultiplizieren):
⎛ a11
⎜
⎜ a21
⎜ ...
⎜
⎜a
⎝ m1
a12
a22
...
am 2
... a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
... a2 n ⎟⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟
=⎜ ⎟
⎟
⎜
⎟
... ... ...
...
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
... amn ⎟⎠⎜⎝ xn ⎟⎠ ⎜⎝ bm ⎟⎠
abgekürzt:
A⋅x = b
Die Matrix A heißt Koeffizientenmatrix (m×n Matrix), der Vektor x heißt Lösungsvektor
(n×1 Matrix). Die Theorie der linearen Gleichungen zielt darauf a) festzustellen, ob
Lösungen existieren und b) diese Lösungen gegebenenfalls zu bestimmen.
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Cramersche Regel
Für inhomogene n × n Gleichungssysteme, gegeben durch
A⋅x = b
deren Determinante der Koeffizientenmatrix A nicht verschwindet, lassen sich die
Komponenten des Lösungsvektors x wie folgt schreiben
a11 ... b1
... a1n
k
A
...
...
a
b
a
1
2
2n
⋅ 21
=
xk =
...
...
A ...
A
an1 ... bn ... ann
k-te Spalte durch b ersetzt liefert |Ak|
Hierbei wird in der Determinante der Koeffizientenmatrix |A| jeweils die k-te Spalte durch die
Elemente des Vektors b ersetzt. Das Verfahren ist nur empfehlenswert für n § 3, weil die
Berechnung von Determinanten höherer Ordnung sehr aufwendig ist. Man formt daher das
Gleichungssystem erst so um, dass eine A eine Dreiecks-Form erhält.
Lösbarkeit inhomogener Gleichungssysteme
Bauerecker
Mathem. Methoden der Chemie II
Der folgende Satz beschreibt die Anzahl der Lösungen, wenn ein allgemeines inhomogenes
Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten vorliegt: A ⋅ x = b
Die Matrix A wird durch hinzufügen der Elemente des Vektors b zur Matrix Ab erweitert:
⎛ a11
⎜
⎜ a21
Ab = ⎜
...
⎜
⎜a
⎝ m1
... a1n
... a2 n
...
...
... amn
b1 ⎞
⎟
b2 ⎟
... ⎟
⎟
bm ⎟⎠
r sei der Rang von A, R sei der Rang von Ab.
(Wiederholung: der Rang einer Matrix gibt die
Anzahl der linear unabhängigen Reihen oder
Spalten der Matrix und damit die Zahl
unabhängiger Gleichungen an). Dann gilt R = r
oder R = r + 1.
• Das Gleichungssystem besitzt Lösungen, wenn R = r ist (notwendig und hinreichend!)
• Ist außerdem die Zahl der Unbekannten n = r, so gibt es für jede Unbekannte genau eine Lösung.
• Gilt jedoch n > r, so kann man die Werte für n – r Unbekannte beliebig vorgeben und dann die
restlichen r Unbekannten aus den vorgegebenen Werten eindeutig bestimmen. Man erhält eine
(n – r)-fach unendliche Lösungsmannigfaltigkeit.
Lösbarkeit homogener Gleichungssysteme
Homogene Gleichungssysteme
mit n Gleichungen haben die Gestalt:
Bauerecker
Mathem. Methoden der Chemie II
Eine Lösung bezeichnen wir mit
A⋅x = 0
⎛ x1i ⎞
⎜ ⎟
i
x = ⎜ ... ⎟
⎜ xi ⎟
⎝ n⎠
Der Rang r der Matrix A ist immer gleich dem Rang R der erweiterten Matrix: R = r, weil sich
der Rang einer Matrix durch Hinzufügen einer Spalte Nullen nicht ändert.
a) Daher besitzt das Gleichungssystem immer Lösungen.
b) Für R = r = n ist x1 = x2 = … = xn = 0 die einzige Lösung, die triviale Lösung. Sie ist
uninteressant.
c) Für R = r < n existieren nichttriviale Lösungen, die eine (n – r)-fache unendliche
Lösungsmannigfaltigkeit bilden. Diese ist interessant.
d) Ist xi eine Lösung des homogenen Systems, so ist auch λ · xi eine Lösung.
e) Sind x1, x2, … Lösungen des Gleichungssystems, so ist auch die Linearkombintation
λ1·x1 + λ2·x2 +, … Lösung.
f) Die allgemeine Lösung ist also:
x = ∑ λi x i
i
, wobei i alle linear unabhängigen
Lösungen durchläuft. Den n – r freien Konstanten werden bestimmte Werte zugewiesen.
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Inverse Matrix
Vorbemerkung. Das Gleichungssystem A·x = b lässt sich durch Multiplikation der Matrix
A mit ihrer Inversen A-1 (von links) lösen: x = A-1·b. Also muss „nur“ die inverse Matrix A-1
ermittelt werden (|A| ≠ 0).
Inverse Matrix:
(Satz ist erweiterbar auf
n × n Matrizen.)
Mit den Kofaktoren:
⎛ α11 α 21 α 31 ⎞
⎟
1 ⎜
−1
⋅ ⎜ α12 α 22 α 32 ⎟
A =
A ⎜
⎟
⎝ α13 α 23 α 33 ⎠
α jk = (− 1) j +k ⋅ Unterdeterminante von A
A ⋅ A -1 = A −1 ⋅ A = E
Immer gilt:
Inverse
2 × 2 Matrix:
Beachte „transponierte“
Indices!
1
A =
A
−1
⎛ a22
⋅ ⎜⎜
⎝ − a21
E Einheitsmatrix
− a12 ⎞
⎛ a11
⎟⎟, mit A = ⎜⎜
a11 ⎠
⎝ a21
a12 ⎞
⎟⎟
a22 ⎠
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Eigenwertgleichung
Eigenwertprobleme sind von großer Bedeutung in den Natur- und Ingenieurwissenschaften.
Hierbei ist eine gegebene n × n Matrix A mit dem Eigenvektor x (Spaltenvektor) und dem
Eigenwert λ (reelle Zahl) verknüpft. Eigenvektor und Eigenwert sind gesucht.
Ax = λ ⋅ x
Eigenwertgleichung:
Andere Schreibweise:
( A − λ E) ⋅ x = 0
x ist offensichtlich Lösung eines homogenen Gleichungssystems. Die triviale Lösung
(Rang r = n) interessiert nicht. Bedingung für die Existenz einer nichttrivialen Lösung ist also
r < n, d.h. die Determinante von (A – λE) muss verschwinden:
A − λE =
λ1, 2
a11 − λ
a21
a12
= λ2 − λ (a11 + a22 ) + a11a22 − a12 a21 = 0
a22 − λ
a11 + a22
(a11 + a22 ) 2
=
±
+ a12 a21 − a11a22
2
4
Im allgemeinen erhält man ein Polynom n-ten Grades in λ, das nach dem Fundamentalsatz der
Algebra genau n (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen hat. Diese können komplexwertig
sein. Eine beliebige n × n Matrix A hat also maximal n verschiedene Eigenwerte λk. Die
Eigenwertgleichung hat mindestens eine nichttriviale Lösung xk.
Einige Eigenschaften von Eigenvektoren u. Eigenwerten
Bauerecker
MM Chemie II
Eigenwertgleichung A x = λ·x, A ist n × n Matrix, x Eigenvektor, λ komplexer (reeller) Eigenwert
Spektrum von A:
Gesamtheit der Eigenwerte λ1, λ2, …, λn
Spektraler Radius:
Größter Betrag |λj| aus der Reihe der n Eigenwerte.
a) Die Spur (= Summe der Diagonalelemente) der Matrix A ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.
Sie hat eine ähnliche Bedeutung wie die Determinante, die das Produkt der Eigenwerte von A ist.
b) Die inverse Matrix A-1 hat die Eigenwerte 1/λ1, 1/ λ2, …, 1/λn und dieselben Eigenvektoren
x1, x2, …, xn wie A (1, 2, … hier Indices!).
c) Die Matrix Am , (Exponent m = 1, 2, …) hat die Eigenwerte λ1m, λ2m, …, λnm und dieselben
Eigenvektoren x1, x2, …, xn wie A.
d) Ist A eine Dreiecksmatrix (obere oder untere), so sind die Diagonalelemente die Eigenwerte
von A. (Beweis: Bildung der Determinante von A – λE).
e) Die Eigenwerte einer hermiteschen (symmetrischen) Matrix, für die A+ = A (AT = A) gilt,
sind rein reell.
f) Die Eigenwerte einer schief-hermiteschen (schief-symmetrischen) Matrix, für die A+ = –A
(AT = –A) gilt, sind rein imaginär.
g) Die Eigenwerte einer unitären (orthogonalen) Matrix, für die A+ A= E (AT A = E) gilt,
haben den Betrag 1.
Bauerecker
MM Chemie II
Koordinatentransformation in 3 Dimensionen
k'
Ein Koordinatensystem KS sei gegen ein anderes KS´ beliebig verdreht (ohne Verzerrung),
bei gemeinsamen Ursprung. Dann spricht man von einer orthogonalen Transformation
und es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Basisvektoren beider Systeme:
Hintransformation
Rücktransformation
Basisvektoren
i′ = β11i + β12 j + β13k
j′ = β 21i + β 22 j + β 23k
i = β11i′ + β 21 j′ + β 31k ′
j = β12 i′ + β 22 j′ + β 32k ′
k ′ = β 31i + β 32 j + β 33k
k = β13i′ + β 23 j′ + β 33k ′
Orthogonale Transformationsmatrix B (B-1 = BT)
⎡ β11
B = ⎢⎢ β 21
⎢⎣ β 31
β12
β 22
β 32
β13 ⎤
β 23 ⎥⎥
β 33 ⎥⎦
⎡ β11
B T = ⎢⎢ β12
⎢⎣ β13
β 21 β 31 ⎤
β 22 β 32 ⎥⎥
β 23 β 33 ⎥⎦
Koordinatentransformation allgemeiner Vektor a
a′ = B ⋅ a
a = B T ⋅ a′
Vektortransformation in festem KS (ist formal der
Koordinatentransformation gleich, wird mit gleicher
Drehmatrix B beschrieben:
d′ = B ⋅ d
d = B T ⋅ d′
k
j'
j
i
i'
Zuordnung
Achsenrichtung x y z
Einheitsvektor i j k
Index-Nummer 1 2 3
9 Richtungskosinus βmn
sind die Kosinus der Winkel zwischen einem
Basisvektor des gestrichenen und einem Basisvektor des ungestrichenen Systems.
Bsp.: β13 = cos(∠i'k)
2
2
2
6 Orthogona- β11 + β12 + β13 = 1
litätsrelationen β 2 + β 2 + β 2 = 1
21
22
23
gelten zwischen 2
2
2
β
+
β
+
β
=1
31
32
33
ihnen:
β11β 21 + β12 β 22 + β13 β 23 = 0
β11β 31 + β12 β 32 + β13 β 33 = 0
β 21β 31 + β 22 β 32 + β 23 β 33 = 0
Diagonalisierung einer Matrix
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Eine n × n Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist,
d.h., wenn eine invertierbare Matrix B existiert, so dass D = BAB-1 Diagonalgestalt hat.
Satz a:
Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom det(A – λE).
Satz b:
Ist A diagonalisierbar, so ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D, bei der auf der Diagonalen
die Eigenwerte von A stehen.
Satz c:
Eine n × n Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige
Eigenvektoren besitzt. Diese bilden als Spaltenvektoren die n × n Matrix X = B-1
Falls A symmetrisch ist, lassen sich immer n zueinander orthogonale (linear unabhängige)
Eigenvektoren finden. Damit können symmetrische Matrizen immer auf Diagonalform gebracht
werden. Dagegen haben orthogonale („Dreh-“) Matrizen teilweise komplexe Eigenwerte.
Vorgehen:
Man bildet das charakteristische Polynom
und bestimmt die Eigenwerte und
Eigenvektoren. Sind letztere linear
unabhängig, ist D bestimmt:
⎛ λ1 0
⎜
⎜ 0 λ2
−1
−1
D = BAB = X AX = ⎜
... ...
⎜
⎜0 0
⎝
... 0 ⎞
⎟
... 0 ⎟
... ... ⎟
⎟
... λn ⎟⎠
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Hauptachsentransformation
Welche Kurve ist der folgenden allgemeinen Gleichung (z.B. für Kegelschnitte) zugeordnet?
a11 ⋅ x12 + 2a12 x1 x2 + a22 ⋅ x22 = 1 1
( x1
⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ x1 ⎞
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = 1
x2 )⎜⎜
⎝ a12 a22 ⎠ ⎝ x2 ⎠
xT ⋅ A ⋅ x = 1
Matrizenform
Eigenwerte bestimmen Kurvenform:
λ1, λ2 > 0
Ellipse
λ1·λ2 < 0
Hyperbel
λ1 oder λ2 = 0
Geradenpaar
⇒ A ist symmetrisch
Wir drehen das KS mit der orthogonalen Matrix B so, dass A in die Diagonalmatrix D (und x
in x') transformiert wird. Die λ1, λ2 sind Eigenwerte von A, siehe oben:
⎛ λ1 0 ⎞
⎟⎟
D = A′ = B ⋅ A ⋅ B = ⎜⎜
⎝ 0 λ2 ⎠
x′T ⋅ D ⋅ x = 1
−1
(x1′
⇒
⎛ λ1 0 ⎞⎛ x1′ ⎞
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 1
x2′ )⎜⎜
⎝ 0 λ2 ⎠⎝ x2′ ⎠
λ1 ⋅ x'12 +λ2 ⋅ x'22 = 1 2
Die zu den Eigenwerten gehörenden normierten
Eigenvektoren bilden die Spalten der Matrix B-1,
siehe oben. Durch Invertierung von B-1 erhält man
die Drehmatrix B und daraus den Drehwinkel ϕ.
Neue Form der
Gleichung
⎛ cos ϕ
B = ⎜⎜
⎝ − sin ϕ
Die Umwandlung von 1 in 2 heißt Hauptachsentransformation.
sin ϕ ⎞
⎟⎟
cos ϕ ⎠
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Permutationen
Eine Anordnung von n unterscheidbaren Elementen einer Menge in einer bestimmten
Reihenfolge heißt Permutation dieser Elemente. Eine entsprechende Anordnung von r § n
dieser Elemente heißt r-Permutation (oder auch Variation).
Satz a: Die Anzahl der r-Permutationen von n Objekten ist:
P (n, r ) = n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1) =
P (n, n) = n(n − 1)(n − 2)...3 ⋅ 2 ⋅1 = n!
n!
(n − r )!
Es gibt also n! Permutationen von n
⇒ verschiedenen Objekten.
Bsp: Es gibt P(n,r) verschiedene Möglichkeiten beim Ziehen von r Kugeln ohne Zurücklegen aus einer
Urne mit n Kugeln. Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es nach dem fundamentalen Abzählprinzip
n·n· …n = nr Möglichkeiten.
Satz b: Die Anzahl der Permutationen von n Objekten (Permutationen mit
Wiederholung), von denen je n1, je n2, … und je nr gleich sind, ist:
n!
n1!n2 !⋅ ⋅ ⋅nr !
Bsp.: Mit den 5 Buchstaben des Wortes DADDY kann man 5! = 120 verschiedene Worte bilden, sofern
man die drei D‘s unterscheidet (D1, D2, D3). Die 120 Worte lassen sich in einer 6 × 20 Matrix anordnen,
wobei immer nur die 6 = 3·2·1 = 3! Worte in einer Zeile stehen, die sich nur durch die Indices der D‘s
unterscheiden. Ohne Unterscheidung bleiben also nur 5! / 3! = 120 / 6 = 20 Möglichkeiten über.
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Binomischer Satz
n
⎛n⎞ n
⎛ n ⎞ k n−k
⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞ n −1 1 ⎛ n ⎞ n − 2 2
(a + b) = ⎜⎜ ⎟⎟a + ⎜⎜ ⎟⎟a b + ⎜⎜ ⎟⎟a b + ... + ⎜⎜ ⎟⎟b = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a b
k =0 ⎝ k ⎠
⎝1⎠
⎝ 2⎠
⎝n⎠
⎝0⎠
n
⎛n⎞
n!
n(n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
⎜⎜ ⎟⎟ =
=
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
⎝ k ⎠ k!(n − k )!
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 1,
⎝0⎠ ⎝n⎠
n! = 1 · 2 · ... · n
⎛n⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = n,
⎝1⎠
Binomialkoeffizienten
bilden das
⎛ 4⎞ 4 ⋅3⋅ 2
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ 3 ⎠ 1⋅ 2 ⋅ 3
Pascalsche Dreieck
„n Fakultät“
Der Satz kommt aus der Kombinatorik.
Die Binomialkoeffizienten im Pascalschen
Dreieck liefern im Grenzfall n → ∞ die
Normalverteilung (siehe auch Galtonsches
Brett).
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
u.s.w.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Wahrscheinlichkeitstheorie
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich aus dem Studium von Glücksspielen entwickelt. Sie
wird mittlerweile „seriös“ in der Thermodynamik, Quantentheorie, Messwertanalyse, Biologie,
Versicherungsmathematik, u.s.w., eingesetzt. Sie befasst sich mit den Gesetzmäßigkeiten von
zufälligen Ereignissen.
Ereignisraum (Stichprobenraum): Menge S aller möglichen Ergebnisse eines Experiments.
Elementarereignis: Ein nicht als Summe anderer Ereignisse darstellbares Ereignis (Ergebnis) a.
Ereignis: Menge von Elementarereignissen.
Unmögliches Ereignis: Leere Menge «.
Sicheres Ereignis: Menge S.
Verknüpfung von Ereignissen zu neuen Ereignissen:
a) A « B „A oder B treten ein“
b) A » B „A und B treten ein“
c) Ac ist Komplement von A, „A tritt nicht ein“
d) A und B heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn sie sich ausschließen, also ist A … B = «
ein unmögliches Ereignis.
Partition: Menge von unvereinbaren Ereignissen A1, A2, …, An, deren Vereinigung S ergibt.
Bsp. Würfeln:
Ereignisraum S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Elementarereignis „Würfeln einer Vier“ {4}, Ereignisse
A „ungerade Zahl“, B „gerade Zahl“, C „Primzahl“: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C= {2, 3, 5},
A … C = {3, 5} „ungerade Primzahl“, A … B = « „gerade und ungerade Zahl“.
Wahrscheinlichkeitsraum und Laplace-Experiment
Bauerecker
MM der Chemie II
S = {a1, a2, …, an} sei eine Menge (Ereignisraum) von n Elementarereignissen ai. Wenn man
jedem ai eine Wahrscheinlichkeit P(ai) zuordnet, so erhält man einen Wahrscheinlichkeitsraum falls gilt:
a) P(ai) ¥ 0 für alle P(ai)
b) P(ai) + P(a2) + … + P(an) = 1.
Bsp.:
Wir werfen 3 Münzen gleichzeitig und beobachten, wie oft Zahl
erscheint (4 Möglichkeiten).
Ereignisraum: S = {0, 1, 2, 3}
Wahrscheinlichkeitsraum: P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8, P(3) = 1/8
A = {1, 2, 3} = {„mindestens einmal Zahl erscheint“}
⇒ P(A) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8
K
K
K
Z
K
Z
Z
Z
K K
K Z
Z K
K K
Z Z
K Z
Z K
Z Z
1
3
3
1
Falls jedes der n Elementarereignisse ai im Ereignisraum die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt,
spricht man von einem Laplace-Experiment (Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum). Ein
Ereignis A mit genau r Elementen besitzt dann die Wahrscheinlichkeit P(A) = r / n.
Bsp.:
Karte zufällig aus Kartenspiel mit 52 Karten ziehen. Ereignisse: A = {„Karte ist Karo“},
B = {„Karte ist ein Bild“}
P(A) = Zahl der Karo / Zahl der Karten = 13 / 52, P(B) = Zahl der Bilder / 52 = 12 / 52,
P(A … B) = Zahl der Karo-Bilder / Zahl der Karten = 3 / 52.
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Ereignisbaum
Mit einem Ereignisbaum kann man die Wahrscheinlichkeiten einer Folge von Experimenten
(Zufallsprozess) gut darstellen.
Beispiel: Wir haben 3 Kartons mit folgendem Inhalt:
Karton I enthält 6 gute und 4 defekte Lampen.
Karton II enthält 5 gute und 1 defekte Lampe.
Karton III enthält 5 gute und 3 defekte Lampen.
Wir bestimmen zufällig einen Karton und wählen zufällig daraus eine Lampe. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit P, dass diese defekt ist?
Wir führen eine Folge von zwei Experimenten aus: a) Zufallsauswahl eines Kartons; b) Zufallsauswahl
einer Glühlampe (defekt = D, nicht defekt = N). Der folgende Ereignisbaum beschreibt diesen Prozess.
An jedem Ast stehen die einzelnen
Wahrscheinlichkeiten:
Wir haben jeweils
D 1/3 · 2/5 = 2/15
drei sich ausschließende Mög2/5
lichkeiten, eine gute/defekte
N 1/3 · 3/5 = 3/15
I
Glühlampe zu wählen. Daher
3/5
1/3
werden die einzelnen WahrD 1/3 · 1/6 = 1/18
1/6
scheinlichkeiten addiert:
1/3
II
1/3
5/6
N
1/3 · 5/6 = 5/18
3/8
D
1/3 · 3/8 = 3/24
5/8
N
1/3 · 5/8 = 5/24
III
2 1
3 113
+ +
=
15 18 24 360
3 5 5 247
P( N ) = + +
=
15 18 24 360
P( D) =
Zufallsvariable und Verteilungsfunktion
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
In den Naturwissenschaften betrachtet man oft Verteilungen von Messdaten, indem man z.B. eine Messung
mehrfach wiederholt und die Messwerte der Größe nach Intervallen zuordnet. In ähnlicher Weise beschreibt
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (Werten) eines Experiments.
Dabei kann die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Auftretens eines Ereignisses (Wertes a) sinnvollerweise
durch die Verknüpfung mit einer so genannte Zufallsvariablen X exakt ausgedrückt werden: P(X = a). Mit
X kann auch die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden, dass zufällig ein Ereignis (Wert) aus einem
Intervall I auftritt: P(X ∈ I).
Definition Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X § x). F gibt die Wahrscheinlichkeit
dafür an, dass X irgendeinen Wert kleiner/gleich x annimmt. F kann abzählbar (diskrete Verteilung) oder
kontinuierlich (z.B. Messwerte) sein.
Hieraus erhalten wir die Verteilungsfunktion:
Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreter Verteilung:
⎧ P für x = x j ( j = 1,2,3,...)
f ( x) = ⎨ j
0 sonst
⎩
Bsp: X sei Augenzahl
bei Würfelexperiment,
X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
f(x)
F ( x) =
∑ f (x ) = ∑ P
j
x j ≤x
x j ≤x
j
F(x)
1
3/6
1/6
0
5
x
0
5
x
Mittelwert, Varianz und Standardabweichung
Bauerecker
MM der Chemie II
einer Zufallsvariable X und ihrer Verteilung.
Geometrische
Entsprechung
Verteilung
diskret
Mittelwert
(Erwartungswert)
μ
Varianz
σ2
∑x
j
kontinuierlich
f (x j )
∫ x f ( x)dx
j
∑ (x
−∞
2
j
− μ) f (x j )
j
Standardabweichung
+∞
σ
x-Koordinate des
Schwerpunkts
der Verteilung
+∞
2
(
x
−
μ
)
f ( x)dx
∫
−∞
(σ ist positive Wurzel aus
Oft ist eine Transformation von X wichtig, der Form
X* = a + bX. Dann transformieren sich μ und σ2 zu
μ* = a + bμ und σ*2 = b2 σ2
σ2)
x-Koordinate des
Trägheitsmoments
der Verteilung um die
Schwerpunktsachse
Für die standardisierte Zufallsvariable Z gilt
μ = 0 und σ = 1
X −μ
Z=
σ
Bauerecker
Mathematische Methoden der Chemie II
Poissonverteilung
Bei der Binomialverteilung ist der Mittelwert μ = np. Für kleine p und große n geht diese
Verteilung in die Poissonverteilung über
(ohne Beweis):
f ( x) =
μx
x!
e−μ
(x = 0, 1, 2, ...)
mit der Varianz σ2 = μ
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Poissonverteilung für verschiedene Werte von μ.
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Schraube ist p = 0,01. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass 100 Schrauben mehr als 2 defekte Schrauben enthalten (Ereignis A)?
Lösung: Berechnung des Gegenteils „nicht mehr als 2 defekte Schrauben“ (Ereignis B). Die Anzahl
der Experimente ist n = 100. Damit ist p relativ klein und n relativ groß, so dass die PoissonVerteilung eine Approximation der Binomialverteilung darstellt, mit μ = pn = 1.
P(B) = f(0) + f(1) + f(2) = e-1 ( 1 + 1 + ½) = 91,97 %.
P(A) = 1 – P(B) = 8,03 % (oder 7,94 % mit der Binomialverteilung berechnet).