Aufgabenzettel 9 - Universität Paderborn

Prof. Dr. Peter Bürgisser
Jesko Hüttenhain
Einführung in die Geometrie
Sommersemester 2013, Universität Paderborn
Aufgabenzettel 9
Hinweis: Dieser Zettel ist doppelt so lang wie die bisherigen Aufgabenzettel, dafür
erfolgt die Abgabe erst in 2 Wochen.
Aufgabe 1 (4 Punkte). Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal?






−1
√1
√1
√
1 0
5
1 1 0
3
6
2

 1




√
√2 
B =  2 1 −2
C = 1 0 1
A=
 3 0
6
−1
−1
√1
√
√
−1 2
1
0 1 1
3
2
6
Gebe zu jeder orthogonalen Matrix ihr Inverses an.
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei A ∈ Rn×n eine Matrix und In ∈ Rn×n bezeichne die Einheitsmatrix. Wir erinnern daran, dass A genau dann orthogonal ist, wenn A| A = In .
Zeige, dass A genau dann orthogonal ist, wenn AA| = In .
Aufgabe 3 (5 Punkte). Beweise die Additionstheoreme mit Hilfe von Drehmatrizen: Für
x, y ∈ R gilt
cos( x + y) = cos( x ) · cos(y) − sin( x ) · sin(y),
sin( x + y) = sin( x ) · cos(y) + cos( x ) · sin(y).
Aufgabe 4 (4 Punkte). Sei K ein Körper und U, V zwei K-Vektorräume. Eine Abbildung φ : U × V → K heißt bilinear, wenn für alle u ∈ U und alle v ∈ V die
Abbildungen
φ(u, −) : V −→ K
φ(−, v) : U −→ K
v0 7−→ φ(u, v0 )
u0 7−→ φ(u0 , v)
K-linear sind. Das Skalarprodukt euklidischer Vektorräume ist beispielsweise bilinear.
Seien B ⊆ U und C ⊆ V jeweils eine Basis. Zeige: Wenn für zwei bilineare Abbildungen φ, ψ : U × V → K und alle (b, c) ∈ B × C die Identität φ(b, c) = ψ(b, c) gilt, so
folgt bereits φ = ψ.
Aufgabe 5 (Auffrischungskurs komplexe Zahlen, 3 · 2 Punkte). Im folgenden sei
C = { a + bi | a, b ∈ R }
der Körper der komplexen Zahlen. Hier ist i2 = −1. Wir setzen C× := C \ { 0 }.
(a). Sei z ∈ C× . Bestimme a, b ∈ R mit der Eigenschaft, dass
1
z
= a + bi.
(b). Beweise: Jedes z ∈ C× lässt sich eindeutig schreiben als z = r · cis(α) für einen
Winkel α ∈ [0, 2π ) und eine positive, reelle Zahl r.
(c). Verwende Aufgabenteil (b), um zu zeigen, dass jede komplexe Zahl z ∈ C eine
Wurzel hat. Mit anderen Worten, finde alle y ∈ C mit y2 = z. Verwende deine
Formel, um alle Quadratwurzeln von i zu bestimmen.
Definition. Sei u ∈ Rn \ { 0 } ein Vektor. Wir nennen
R≥0 · u = { λ · u | λ ∈ R, λ ≥ 0 }
den von u erzeugten Strahl. Wir definieren den Vektor ũ = ku1 k · u mit kũk = 1 und
der Eigenschaft, dass R≥0 · u = R≥0 · ũ. Zu jedem Strahl gibt es also einen eindeutig
bestimmten Vektor der Länge 1, welcher den Strahl erzeugt. Für zwei Strahlen S und
T seien jeweils u und v die Vektoren der Länge 1, welche sie erzeugen. Sei θ ∈ [0, 2π )
so, dass D (θ ) ∈ SO(2) die eindeutig bestimmte Drehung mit v = D (θ )u ist. Dann
bezeichnen wir mit ^(u, v) oder ^(S, T ) den Winkel θ und nennen dies den Winkel
zwischen u und v bzw. den Winkel zwischen S und T.
Aufgabe 6 (5 Punkte). Seien S, S0 , T, T 0 vier Strahlen. Zeige: Es gibt ein D ∈ SO(2) mit
S0 = D (S) und T 0 = D ( T ) genau dann, wenn ^(S, T ) = ^(S0 , T 0 ).
Die Abgabe erfolgt bis Donnerstag, den 13.06.2013 um 14:00 Uhr. Gutes Gelingen!