Softwarepraktikum zu Elemente der Mathematik

Softwarepraktikum zu Elemente der Mathematik
Übungsblatt 3
Für alle Aufgaben: Machen Sie bei Bedarf ausführlichen Gebrauch von der
Online-Dokumentation unter wiki.geogebra.org !
1 CAS: Funktion
ax
Definieren Sie in der CAS-Ansicht die Funktion f (x) := 1+x
2.
a) Bestimmen Sie Rdie ersten zwei Ableitungen von f .
5
b) Berechnen Sie 1 f (x)dx
c) Geogebra kann auch Taylorentwicklungen berechnen: Wie lautet die Taylorentwicklung von f an der Stelle x=1 bis zum Grad 5?
2 CAS: Polynom
Gegeben sei das Polynom g(x) := x4 − 4x3 + 6x2 − 4x − 5. Verwenden Sie die
CAS-Ansicht, um alle Nullstellen von g zu bestimmen.
3 CAS: Matrix


a 0.2 0
Gegeben sei die Matrix M = 0.4 0.4 0.2. Bestimmen Sie in der CAS0.2 b 0.2
Ansicht Rang, Determinante und Inverses von M .
4 Multiplikation
Veranschaulichen Sie die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen. Verwenden
Sie zwei Schieberegler für die zu multiplizierenden Zahlen a und b und erzeugen
Sie eine rechteckige Fläche, die in a × b Quadrate unterteilt ist.
Ergänzen Sie das ganze um eine Textausgabe, die den Flächeninhalt anzeigt.
5 LineareAbbildungen
1
2
Sei M =
. Betrachten Sie die durch M gegebene lineare Abbildung
−3 −1
f : R2 → R2 .
a) Veranschaulichen Sie, dass f geradentreu ist, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet.
Hinweis: Die Funktion MatrixAnwenden[<Matrix>, <Objekt>] bildet jeden
Punkt des Objektes durch die Matrix ab.
b) Veranschaulichen Sie, dass f ellipsentreu ist, d.h. Ellipsen werden auf Ellipsen
abgebildet. Wie muss eine Ellipse aussehen, damit sie auf einen Kreis abgebildet
wird? Tipp: Matrix invertieren.
6 Ableitung
Veranschaulichen Sie den Weg von der Sekantensteigung zur Ableitung am Beispiel der Funktion f (x) = (x21+1) .
1
a) Definieren Sie eine Variable h als Schieberegler auf dem Intervall [0, 1] sowie
einen auf dem Graph von f frei verschiebbaren Punkt A. Erstellen Sie damit die
Sekante s, die den Funktionsgraphen bei x1 = x(A) und x2 = x1 + h schneidet.
b) Definieren Sie einen Punkt P, der sich in x-Richtung synchron mit A bewegt
und dessen y-Koordinate der Steigung von s entspricht. Verwenden Sie den
Spurmodus.
c) Welche Funktion beschreibt genau die Spur von P? Denken Sie an den Differenzenquotienten. Plotten Sie zum Vergleich den Graphen dieser Funktion sowie
den von f 0 (x).
7 Sinus
Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius 1 und definieren Sie einen Punkt P, der
sich auf dem Kreisumfang frei bewegen lässt. P definiert damit den Winkel α
zwischen P und der x-Achse (α = 0 entspricht P auf 3 Uhr).
a) Veranschaulichen Sie mit diesem Ansatz die Sinusfunktion.
b) Verfahren Sie analog für Cosinus und Tangens.
8 Kegelschnitte
Welche Arten von Kurven kann man durch Variation von a, b, c ∈ R aus der
2
2
Gleichung xa + yb = c erhalten?
Visualisieren Sie diese mit Hilfe von Schiebereglern für a, b und c.
9 Messdaten
Laden Sie die Datei data.csv herunter
(http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/user_upload/rezny/geogebra/2017/
data.csv). Die Datei enthält Messwerte“ als (x, y)-Paare. Die gemessene Größe
”
y hängt quadratisch von x ab.
Importieren Sie die Daten in GeoGebra und bestimmen Sie mit dem StatistikWerkzeug Analyse zweier Variablen“ eine Regressionskurve als Polynom zwei”
ten Grades.
Plotten Sie anschließend die Messwerte und die Regressionskurve in der Grafikansicht.
10 Werkzeuge
Verwenden Sie nur die Werkzeuge: Gerade durch 2 Punkte, parallele Gerade,
Schneide und Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt, um sich neue Werkzeuge zu
definieren. Selbst definierte Werkzeuge dürfen Sie weiterverwenden.
a) Definieren Sie ein Werkzeug, das zu drei Punkten A, B und P eine Gerade
durch A und B sowie die dazu senkrechte Gerade durch P konstruiert.
b) Definieren Sie ein Werkzeug, das die winkelhalbierende Gerade zu einem
durch 3 Punkte bestimmten Winkel konstruiert.
c) Definieren Sie ein Werkzeug, das den Inkreis eines Dreicks konstruiert. (Inkreis: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden)
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d) Definieren Sie ein Werkzeug, das den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruiert. (Schwerpunkt: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden)
e*) Definieren Sie ein weiteres nützliches Werkzeug.
11 Ampel*
a) Erstellen Sie eine Ampel mit einer Schaltfläche. Bei jedem Klick auf die
Schaltfläche soll die Ampel in die nächste Phase umspringen (Rot – Rot/Gelb
– Grün – Gelb – etc.).
b) Erweitern Sie die Ampel um ein Kontrollkästchen für die Nachtschaltung.
Wenn es aktiviert ist, soll das gelbe Licht periodisch blinken und Rot und Grün
abgeschaltet werden.
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