158 KAPITEL 8. L¨OSUNGEN ZU DEN ¨UBUNGSAUFGABEN

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KAPITEL 8. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Lösung zu Aufgabe 2.1.1: Relevante Einflußgrößen sind der ein-jährige Zins von 3%
und der zwei-jährige Zins von 5%. In die Formel (2.1) eingesetzt ergibt sich ein
Terminzins von 7%.
Das ist auch heuristisch klar: Der Terminverkäufer muss die Differenz zwischen den
5%, die er im Hedge zwei Jahre zahlt und den 3%, die er im ersten Jahr bekommt,
kompensieren.
Lösung zu Aufgabe 2.1.2: Wenn die Zinskurve um 0, 002 sinkt, ist der ein-jährige
Zins 2, 8%. Der Käufer zahlt dem Verkäufer 4, 2894% (Formel (2.2)) Prämie.
Heuristisch ist klar, dass bei steigender Zinskurve immer der Käufer zahlt, wenn
sich die Zinskurve nicht verändert. Das ist aber Spekulation. In der Tat ist es so,
dass sowohl die Zinskurve, die sich aufgrund von Angebot und Nachfrage einstellt,
fallend sein kann (Japan 2004, Schweiz 2005), als auch dass die Fluktuation eine
Zahlung an den Käufer ermöglicht.
Lösung zu Aufgabe 2.1.3: Betrachte den Hedge der Zahlung in T in Höhe von 1 (an
uns) mittels einer Kaskade ( Strips“) von Termingeschäften. Sei {t < t1 < . . . <
”
tn−1 < tn = T } die äquidistante Partition der Kardinalität n. Die Zahlung 1 in T
kann mit einem (vergebenen) Kredit der Laufzeit t1 und n − 1 (vergebenen) Terminkrediten1 (also Zinstermingeschäften) repliziert werden. Tipp: Siehe Abbildung 2.2
oder zeichne Zahlungsstromdiagramm. Es ist hilfreich, sich das Verfahren zunächst
für n = 2 vor Augen zu führen.
Die Terminkredite zahlen nach der n-ten Periode 1 aus, nach der n−1-ten den Betrag
f
r(t
Bn−1 , der zur Auszahlung von 1 nach der n-ten führt (also Bn−1 e
n −tn−1 )
t1
= 1),
usw. Nach der zweiten Periode zahlen sie B2 aus. B1 ist der Auszahlungsbetrag
des initialen Kredits, der zum aktuellen Zins rt1 eingegangen wird. Der zu leihende
Betrag A ergibt sich also aus dem Barwert, oder äquivalent:
0 = −A + B1 e−rt1 t1
Für die Termingeschäfte gilt wegen der Marktkonformität, d.h. dass faire“ Geschäfte
”
1
engl. forward starting bonds/loans“
”
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f
r(t
1 = Bn−1 e
n −tn−1 )
t1
B1 = Aert1 t1
Bi
Bn−1
t t1
tn−1
−Bi
B1
A
Bi−1
Bn−1
Martwerte 0 haben, des Terminzinses
0
=
−B1 + B2 e
0
=
−B2 + B3 e
f
−r(t
t1
f
−r(t
t1
2 −t1 )
3 −t2 )
···
0
=
−Bn−1 + 1 × e
f
−r(t
n −tn−1 )
t1
,
f
für das Intervall [ti , ti+1 ], i = 1, . . . , n − 1 auf die
wobei beim Terminzins r(t
i+1 −ti )
Indizierung des Zeitpunkts des Kontraktschlusses t verzichtet wurde. Nun gilt durch
sukzessives Einsetzen (von unten):
A=
n−1
Y
f
−r(t
e
i+1 −ti )
t1
−
=e
P n−1
i=0
f
r(t
i+1 −ti )
t1 n→∞
−→ e−
RT
t
f
r(u)
du
i=0
n→∞
f
:= rt1 der aktuelle Zins ist. Bemerke auch, dass t1 −→ 0.
wobei r(t
1 −t0 )
¤
Man kann sich übrigens leicht davon überzeugen, dass auch der Hedge mit den
Termingeschäften - z.B. einem Terminkredit und einem Initialkredit - anstatt eines
Kredits zum Wert A = e−rT (T −t) führt. Hier liegt keine Inkonsistenz vor.
Man kann auch rein analytisch vorgehen: Der Zeitwert A in t einer Zahlung der
RT f
du = r(T −t) (T − t).
Höhe 1 in T > t ist A = e−r(T −t) (T −t) . Zu zeigen ist also t r(u)
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KAPITEL 8. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Definiere f (u) := r(u−t) (u − t). Dann gilt
Z
t
Z
T
f
du =
r(u)
T
du
lim rf
ε→0 ((u+ε)−u)
t
Z
T
r(u+ε−t) (u + ε − t) − r(u−t) (u − t)
du
u+ε−u
t ε→0
Z T
f (u + ε) − f (u)
=
lim
du
ε
t ε→0
Z T
d
f (u)du, wenn f als diff’bar angenommen wird
=
du
t
= f (T ) − f (t)
=
lim
= r(T −t) (T − t) − 0
¤
Lösung zu Aufgabe 2.1.4: Beweis der Zinsterminsbewertung: Da im Zeitpunkt t ein
f
Zinstermingeschäft zum Zins von r(T
−t1 ) marktgerecht wäre, also Barwert 0 hätte,
stellt die Zahlungsdifferenz, die durch die Differenz aus vereinbartem Zins K und
f
r(T
−t1 ) in T erfolgt, den einzigen abzudiskontierenden Wert dar:
f
r(T
(T −t1 )
−t )
(eK(T −t1 ) − e
1
s
)Ae−rT −t (T −t) .
Wenn man sich den Wert als Summer der beiden Barwerte vorstellt ist anschaulich
f
r(T
(T −t1 )
−t )
klar, dass (eK(T −t1 ) − e
1
s
)Ae−rT −t (T −t) .
Genauer ist aber Nachrechnen, d.h. Abdiskontieren der beiden Zahlungen −A in t1
und AeK(T −t1 ) in T :
s
s
ft = −Ae−rt1 −t (t1 −t) + AeK(T −t1 ) e−rT −t (T −t)
s
s
s
= (−e−rt1 −t (t1 −t) erT −t (T −t) + eK(T −t1 ) )Ae−rT −t (T −t)
s
s
s
= (eK(T −t1 ) − e−rt1 −t (t1 −t)+rT −t (T −t) )Ae−rT −t (T −t)
= (eK(T −t1 ) − e
f
r(T
(T −t1 )
−t )
1
s
)Ae−rT −t (T −t)
wegen Formel (2.1).
Das Programm könnte in SAS z.B. so aussehen:
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/* FRA Pricing Engine */ proc iml;
t_0=0; print "Das Termingeschaeft wurde iniziert in t_0=:"; print
t_0; t_1=1; print "Das Termingeschaeft wird wirksam in t_1=:";
print t_1; T=2; print "Das Termingeschaeft endet in T=:"; print T;
kt=0.5; print "Das Termingeschaeft wird bewertet in t=:"; print
kt; K=0.07; print "Der vereinbarte Terminzins ist K=:"; print K;
start r_s_t(t, r_spot);
r_spot=0.01+ 0.02*t;
finish;
run r_s_t(1.5, r_s_T_kt); run r_s_t(0.5, r_s_t_1_kt);
r_f_T_t_1=(r_s_T_kt*(T-kt) - r_s_t_1_kt*(t_1-kt))/(T-t_1);
f_kt_K=(exp(K*(T-t_1)) exp(r_f_T_t_1*(T-t_1)))*exp((-1)*r_s_T_kt*(T-kt));
print "Das Termingeschaeft hat in t den Wert"; print f_kt_K; quit;
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KAPITEL 8. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
mit dem Ergebnis
The SAS System
Das Termingeschaeft wurde iniziert in t_0=:
T_0
0
Das Termingeschaeft wird wirksam in t_1=:
T_1
1
Das Termingeschaeft endet in T=:
T
2
Das Termingeschaeft wird bewertet in t=:
KT
0.5
Der vereinbarte Terminzins ist K=:
K
0.07
Das Termingeschaeft hat in t den Wert
F_KT_K
0.0200003
Das Termingeschäft ist also ca. 2% vom Nominal wert nach einem halben Jahr, ohne
das etwas passiert ist!