Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Aus der Definition des Marktportfolios, als Tangentialpunkt von (0, rf)
auf den zulässigen Bereich, lässt sich folgendes Verhältnis herleiten
(siehe Luenberger S 178)
ri = rf +
rM − rf
σM
2
σ iM
Dies ist die grundlegende CAPM-Bedingung, welche in einer etwas
modifizierten Notation als Security Marktet Line (SML) also die
Wertpapierlinie bezeichnet wird.
Dabei heißt es, dass ein Portfolio M nur dann das optimale MarktportFolio sein kann, falls die CAPM-Bedingung für jeden Finanztitel i
erfüllt ist.
Quantitative BWL: Finanzwirtschaft
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
σ iM
Der Ausdruck
2 wird üblicherweise als β i bezeichnet.
σM
β i misst
eine Art normierte Kovarianz des Finanztitels i mit dem
Marktportfolio. Das Marktportfolio hat offensichtlich ein β von 1.
Falls die Schwankungen der Rendite eines Finanztitels überwiegend
in die gleiche bzw. entgegen gesetzte Richtung strömen, wie die des
Marktes, hat βi einen positiven bzw. negativen Wert.
Sind die Schwankungen absolut gemessen stärker als die
Schwankungen der Marktrendite, ist βi im Betrag höher als 1 und
umgekehrt.
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Setzt man βi in die CAPM-Bedingung ein, lässt sich die Gleichung
folgendermaßen schreiben
ri = rf + ( rM − rf ) β i
Dies ist die klassische Form der SML, ausgedrückt in Form von βi.
Laut diesem Verhältnis setzt sich die erwartete Rendite eines
Finanztitels i aus einer sicheren Rendite rf und einer Risikoprämie,
die linear und positiv, da rM > rf, abhängig von βi ist.
Das Risiko, welches durch βi verkörpert wird, stammt aus der
Abhängigkeit der Rendite ri von der Entwicklung der Marktrendite rM.
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Offensichtlich liefert die SML Aussagen über die erwartete Rendite
eines Finanztitels i, abhängig von seiner Kovarianz mit dem Markt
(Marktportfolio). Das Verhältnis müsste also nicht für jede einzelne
Beobachtung bestehen, sondern grundsätzlich im Erwartungswert.
Nehmen wir nun folgendes Model an
rit = rf + ( rMt − rf ) β i + ε it
Dabei misst εit den zum Zeitpunkt t aktuellen Fehler der
Regressionsgleichung. Zur Geltung der SML wird angenommen, dass
E(εi) = 0.
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Für die Varianz der Rendite des Finanztitels i gilt
σ i = β i σ M + Var (ε i )
2
2
2
Es ist ersichtlich, dass sich die Varianz der Rendite ri aus zwei Teilen
zusammensetzt:
• βi2σM2 = eine Art Marktrisiko (welches durch die Abhängigkeit vom
Markt entsteht), üblicherweise bezeichnet als systematisches Risiko
• Var(εi) = spezifisches (durch die Marktentwicklung unerklärbares)
Risiko, bezeichnet als nichtsystematisches Risiko
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Da das nichtsystematische Risiko mit den anderen Finanztiteln
unkorreliert ist, lässt es sich durch Diversifikation des Portfolios
eliminieren. Im Gegensatz dazu kann man das systematische Risiko
wegen der Marktbindung mit den auf dem Markt bestehenden
Finanztiteln kaum loswerden.
Unterschied zwischen CML und SML:
• CML orientiert sich nach dem Gesamtrisiko
• SML zieht nur das systematische Risiko in Betracht (basierend auf
der Annahme, dass das nichtsystematische Risiko wegdiversifiziert
werden kann)
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Die Orientierung der SML an dem systematischen Risiko alleine lässt
sich auch mathematisch leicht zeigen, denn
σ i − Var (ε i )
βi =
σM
2
Nach dem Einsetzten in die SML, erhält man
ri = rf +
rM − rf
σM
σ i − Var (ε i )
2
Dies entspricht genau der CML, wobei anstatt des Gesamtrisikos
offensichtlich nur das systematische Risiko berücksichtigt wird!
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Capital Asset Pricing Model
(CAPM)
Die CML bestimmt also das Verhältnis zwischen der erwarteten
Rendite eines Finanztitels und dessen Gesamtrisiko σi, und die SML
bestimmt das Verhältnis zwischen der erwarteten Rendite eines
Finanztitels und dessen systematischem Risiko βiσM.
Die CML ist in dieser Hinsicht dementsprechend strenger! Daraus
folgen Aussagen über die Lage eines Finanztitels im Bezug auf die
beiden Geraden. Liegt ein Finanztitel
• über der CML => über der SML
• unter der CML => über/unter der SML
• über der SML => über/unter der CML
• unter der SML => unter der CML
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Wozu sollte man sich Fragen stellen, wo im Bezug auf die beiden
Geraden sich ein Finanztitel befindet?
• Evaluierung eines Finanztitels => Investitionsentscheidungen
• Beurteilung von CAPM
Grundsätzlich ist die Lage eines Finanztitels relativ zur SML für die
Beantwortung der vorliegenden Fragen maßgebend! Jedoch kann
unter gewissen Umständen auch die Information basierend auf der
CML nützlich sein!
Jedenfalls deutet ein Nichterfüllen von der SML-Gleichung (unter
Berücksichtigung aller Annahmen) darauf hin, dass die Allokation auf
dem Markt ineffektiv sei!
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Wie soll man nun die Lage eines Finanztitels zur SML messen?
Eine geeignete Weise bietet das Aufstellen eines Regressionsmodells,
wobei man den konstanten Regressionskoeffizienten standardmäßig
mit einbezieht.
rit = α i + rf + ( rMt − rf ) β i + ε it
Die CAPM-Bedingung, d.h. der Finanztitel liegt auf der SML, ist erfüllt,
falls αi = 0, bzw. falls der in der Regression ermittelte optimale Wert
αi ≠ 0 nicht statistisch signifikant ist.
αi misst im Grunde die Differenz von Finanztitel i von der SML.
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Dabei lässt sich αi aus der Regressionsgleichung, da E(εi) = 0, leicht
ausdrücken wie
α i = ri − [rf + (rM − rf ) β i ]
In der Praxis wird dieser Wert oft als „Jenssen-Index“ bezeichnet.
Daher wird anstatt αi oft die Bezeichnung Ji verwendet.
Falls Ji ≠ 0 für irgendeinen Finanztitel i, heißt es, dass das bisher
angenommene Marktportfolio suboptimal sei, denn es müsste (unter
der Berücksichtigung aller Annahmen) möglich sein, ein „besseres“
Marktportfolio zu konstruieren, indem man Finanztitel mit Ji > 0 kauft
(ihren Anteil erhöht) bzw. diejenigen mit Ji < 0 verkauft (ihren Anteil
verringert).
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Was die optimale Investitionsentscheidung betrifft, wurde gerade
angesprochen (im Zusammenhang mit Jenssen-Index), wann ein
Finanztitel zu kaufen bzw. zu verkaufen sei. Dies hängt direkt mit dem
Preis des Finanztitels zusammen.
Im Bezug auf den Preis, würde man grundsätzlich argumentieren, dass
ein unterbewerteter bzw. überbewerteter Finanztitel zu kaufen bzw.
zu verkaufen sei.
Drückt man die erwartete Rendite in der SML in einer Preisform dar,
stellt man fest, dass diese Argumentation mit derjenigen, die basierend
auf der Höhe von Jenssen-Index getroffen wurde, vollkommen
übereinstimmt!
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Die SML lässt sich folgendermaßen schreiben
Ε( PiT ) − Pˆi 0
= rf + (rM − rf ) β i
ˆ
Pi 0
Dabei entspricht E(Pi,T) dem erwarteten Preis des Finanztitels i zum
Zeitpunkt T und Pˆi 0 dem korrekten (denn SML sei hier erfüllt) aktuellen
Preis von Finanztitel i. Daher muss für den korrekten aktuellen Preis
gelten
Pˆi 0 =
Ε( PiT )
1 + rf + (rM − rf ) β i
Offensichtlich wird für die Abzinsung des künftigen erwarteten Preises
ein um die Risikoprämie bereinigter Zinssatz verwendet. In der
Risikoprämie wird nur das systematische Risiko berücksichtigt!
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Nehmen wir nun an, dass der aktuelle Preis Pi,0 von Finanztitel i über
dem korrekten Preis liegt
Ε( PiT )
Pi 0 >
1 + rf + (rM − rf ) β i
Dies lässt sich schreiben als
rf + (rM − rf ) β >
und schließlich
Ε( PiT )
−1
Pi 0
ri < rf + (rM − rf ) β i ⇔ J i < 0
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Evaluierung von Finanztiteln
und CAPM
Daraus folgen also folgende Aussagen
Pi 0 > Pˆi 0 ⇔ J i < 0
Pi 0 < Pˆi 0 ⇔ J i > 0
Das bedeutet, dass ein überbewerteter bzw. unterbewerteter FinanzTitel einen negativen bzw. positiven Jenssen-Index impliziert und
umgekehrt.
Falls diese Information am Markt vorhanden ist, wird die erhöhte bzw.
gesenkte Nachfrage nach unter- bzw. überbewerteten Finanztiteln ihren
Preis erhöhen bzw. senken, so dass der Markt auf diese Weise zum
Gleichgewicht (=Equilibrium), also zum optimalen Marktportfolio,
tendiert.
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