QUANTENMECHANIK I

QUANTENMECHANIK I
Dr. Ulrich Wulf
Sommersemester 2004
2
Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis
7
I Physikalischer Zugang
9
1
Einleitung
11
2
Wellen mit Teilcheneigenschaften
2.1 Planck sches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Comptoneffekt, Charakterisierung der Teilcheneigenschaften des Photons . . . .
13
13
20
3
Teilchen mit Welleneigenschaften
3.1 Young sches Doppelspaltexperiment (1801) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Materiewellen und Welleneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
27
4
Die Schrödinger-Gleichung
4.1 Heuristische Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Wichtige mathematische Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung
4.3 Übergang zur zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung . . . . . .
4.3.1 Beispiel für diskretes Spektrum . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Allgemeines Prinzip zur Erzeugung der Wellengleichung .
4.4 Wahrscheinlichkeitsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Eindimensionale Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten . . . .
4.5.2 Potenzialbarriere - Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Rechteckiger endlich hoher Potenzialkasten . . . . . . . .
39
39
41
41
43
44
45
47
47
51
55
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II Mathematische Formulierung im Hilbertraum
61
5
63
63
64
65
65
68
Der Raum der Wellenfunktion eines Teilchens
5.1 Linearer Raum V (Vektorraum) . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Hilbertraum H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Zuordnung der physikalischen Zustände zum Hilbertraum .
5.3.1 Vollständige Funktionssysteme . . . . . . . . . . .
5.3.2 Entwicklung von Zuständen in Basisfunktionen . .
3
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INHALTSVERZEICHNIS
4
6
Operatoren im Hilbertraum
6.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Adjungierter Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
76
77
7
Allgemeine Postulate der Quantenmechanik
7.1 Allgemeine Eigenschaften hermitischer Operatoren und der Meßprozess . . . . . . .
7.2 Messung verschiedener Observabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
81
84
8
Zeitentwicklung des Systems
87
III Anwendungen
89
9
91
91
96
98
Das zentralsymmetrische Potenzial
9.1 Der Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Schrödinger-Gleichung im zentralsymmetrischen Potenzial . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Der Spin
115
11 Der harmonische Oszillator
121
12 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für den harmonischen Oszillator
129
13 Zeitunabhängige Störungstheorie
133
13.1 Störungstheorie ohne Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.2 Störungstheorie mit Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14 Zeitabhängige Störungstheorie und Wechselwirkungsbild
141
INHALTSVERZEICHNIS
5
Vorlesungsplan
I. Physikalischer Zugang zur Quantenmechanik (vom Experiment zur Naturbeschreibung) :
1. Versagen der klassischen Physik: Welle-Teilchen Dualismus
2. Quantenmechanische Beschreibung: Wellenfunktionen mit Wahrscheinlichkeitsdeutung
3. Schrödinger Gleichung, Postulate der Quantenmechanik
II. Mathematische Formulierung (Ordnung muss sein):
1. Hilbertraum
2. Vektoren im Hilbertraum und QM Zustände
3. Operatoren im Hilbertraum und QM Observable
4. Dynamik der Quantenssysteme
III. Anwendungen (der Erfolg der Quantenmechanik heiligt die Mittel):
1. Der harmonische Oszillator
2. Das Wasserstoffproblem
3. Der Spin
4. Vielteilchensysteme
5. Störungstheorie
6. ....
6
INHALTSVERZEICHNIS
Literaturverzeichnis
[1] W. Greiner: Theoretische Physik. Band 4: Quantenmechanik 2. Auflage, Verlag Harri
Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1979, ISBN 3–87144–474–X.
[2] J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Rev. edition, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994, ISBN 0–201–53929–2.
[3] R. Eisberg, R. Resnick: Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particules. 2nd edition, J. Wiley and Sons, New York,1985, ISBN 0–471–87373–X.
[4] T. Fließbach: Quantenmechanik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3–86025–714–5.
[5] A. S. Dawydow: Quantenmechanik 7. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin 1987, ISBN 3–326–00095–2.
7
8
LITERATURVERZEICHNIS
Teil I
Physikalischer Zugang
9
Kapitel 1
Einleitung
Warum Quantenmechanik?
Grundlegende Konzepte der klassischen Physik
i. Teilchen:
Lokalisierte Einheiten mit definierter Energie und Impuls
Zu jedem Zeitpunkt beschrieben durch Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten
Dynamik durch Newton’sche Bewegungsgleichungen festgelegt
q̇
∂H
∂p
und
T H pq
ṗ
∂H
∂q
V Hamiltonfunktion
bei gegebenen Anfangsbedingungen (Anfangsposition und -geschwindigkeit) sind Position und
Impuls des Teilchens zu jedem Zeitpunkt festgelegt.
ii. Wellen:
räumlich ausgedehnte Störung
An jedem Raum-Zeitpunkt beschrieben durch Wellenfunktion Ψ r t und deren zeitliche Änderung (Beispiel: Elektromagnetisches Feld E r t , Wellenfunktion mit drei Komponenten)
Zeitliche Entwicklung durch Wellengleichung
∆Ψ
1 ∂2
Ψ
c2 ∂t 2
bei gegebenen Anfangsbedingungen Ψ r 0 und Ψ̇ r 0 ist Ψ r t zu jedem Zeitpunkt festgelegt.
11
KAPITEL 1. EINLEITUNG
12
Versagen der klassischen Physik
Die klassische Physik versagt in mikroskopischen Dimensionen.
“Klassisches” Beispiel: das Atom
Elektrodynamik: Beschleunigte Ladungen strahlen, klassische Elektronenbahnen sind instabil
keine klassische Erklärung der z. B. im Wasserstoffatom gemessenen Linienspektren
Frage: Was wäre eine Welt ohne Atome ????????
Die Basiskonzepte sind falsch !!!!!
Wellen haben Teilchencharakter (
....
Photon) Hohlraumstrahlung, Photoeffekt, Compton Effekt
Teilchen haben Wellencharakter ( Materiewellen) Beugungsexperimente von Davisson und
Germer, Doppelspaltexperimente . . .
Welle-Teilchen Dualismus
Grundlegendes Konzept der Quantenmechanik
Ein quantenmechanisches Objekt wird durch eine Wellenfunktion beschrieben
schaft
Welleneigen-
die Wellenfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit das Teilchen als Ganzes zu messen
Teilcheneigenschaft, kein Determinismus
Dynamik der Wellenfunktion durch Schrödingergleichung beschrieben
Kapitel 2
Wellen mit Teilcheneigenschaften
2.1 Planck sches Strahlungsgesetz
Messung der spektralen Endergiedichte u ω T eines schwarzen Hohlraumstrahlers.
Öffnung
Abbildung 2.1: Hohlraumstrahler
schwarz:
sämtliche durch die Öffnung einfallende Strahlung wird vor Wiederaustritt
viele Male an Wänden absorbiert und wieder emittiert
Strahlungsfeld und
Wände sind im Gleichgewicht.
Absorption = Emission
Energiedichte U T ist im Hohlraum von der Form unabhängig.
U T u ω t dω aT
a 7 56 10 Jm K ∞
4
(2.1)
0
16
3
4
Stefan-Boltzmann-Gesetz
spektrale Verteilung ist universell
Wien sches Verschiebungsgesetz: Maximum u T ω , verschiebt sich bei wachsendem T zu höheren
Frequenzen.
13
KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
14
Rayleigh−Jeans
Wiensches
Gesetz
ω [Hz]
Abbildung 2.2: Energiedichte der Hohlraumstrahlung
Kleine Frequenzen klassisch verständlich Rayleigh-Jeans (Abbildung 2.1 rote Linie).
Problem: divergiert für ω
uωT
ω2
kT
π2 c3
(2.2)
∞
Ansatz für hohe Frequenzen von Wien (Abbildung 2.1 grüne Linie)
u ω T ∝ ω3 exp
bω T (2.3)
Korrekte Beschreibung im gesamten Bereich durch Planck sches Gesetz:
uωT
Geburt der Planck schen Konstante
h
ω
π c exp ω kT 1
3
(2.4)
2 3
6 6256 10
34
Nms
4 1356 10
15
eV s
(Planck sches Wirkungsquantum)
h
2π
sehr klein auf der Skala der im “Alltag” verwendeten Größen
ω “typische Energie”
im “Alltag” nicht sichtbar
2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ
ω
klassischer Grenzfall:
15
kT (thermische Energie)
Planck sches Gesetz wird dann wegen
exp
ω kT 1 ω u ω T kT
ω2
kT
π2 c3
identisch mit Rayleigh-Jeans. Im klassischen Limes verschwindet .
Was bedeutet diese typische Energie?
Planck sche Grundidee
Jeder mit der Frequenz ω schwingende Resonator (Oszillator) kann nur diskrete Energien E n aufnehmen mit:
En n ω nhν n N0
(2.5)
Dieses gilt sowohl für die Resonatoren der Wand (Gitterschwingungen) als auch für die Moden des
Strahlungsfeldes. n ist die diskrete Anregungsstufe des Oszillators. Für die Wahrscheinlichkeit, einen
mit ω schwingenden Resonator in der Anregungsstufe n zu finden, gilt die Boltzmann-Statistik:
pn
∑ exp En
kT
exp
∞
exp
En
kT
n 0
Z
n ω
kT
(2.6)
Für die mittlere Energie (Energieerwartungswert) dieser Methode ergibt sich
! "
n ω
kT
En
∑ E p ∑ exp ∑ exp βE # ∂ ln exp βE ∂β ∑
∑ exp βE ∂β∂ ln ∑ exp β ω$ dβd ln % 1 exp1 β ω'&
d
ω
ln 1 exp β ω ()
dβ
exp β ω * 1
, n- ω
∑n En exp
E¯
∞
n n
n
n
n
n
n
n ω
kT
n
n 0
∂
∂β
n
n
+
n
Später wichtig in Statistischer Physik:
, n-.
1
exp
1
ω
kT
Bose-Einstein-Statistik
(2.7)
KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
16
Klassischer Grenzfall:
E¯ kTkT: f
ω
kT
2
./ Quantisierungsenergie
thermische Energie exp β ω
1 kTω
klassischer Gleichgewichtsverteilungssatz für Oszillator
f 2: Anzahl der Freiheitsgerade; kinetische + potentielle Energie
Hergeleitet für einen einzelnen Oszillator:
E¯
ω
exp β ω 1
(2.8)
Gemessenes Planck sches Strahlungsgesetz:
ω
π!" c uωT
ω
exp β ω * 1
2
2 3
D
(2.9)
Woher kommt der Faktor D?
Antwort: D ist die Anzahl der elektromagnetischen (EM) Moden pro Frequenzintervall ω ω
und pro Volumen.
(Energiedichte)
10223
4
EM Moden (Schwinger)
pro Energieintervall
pro Volumen
ˆ Zustandsdichte
8 u ω T 9
mit
D ω :
5!66
7 30
mittlere Energie
in der Mode mit
ω
7
1
D ω E¯ ω
ω2
ω
2
3
π c exp kTω
(2.10)
ω2
π2 c3
(2.11)
kT
hω
=
große Frequenzen ω
Diskretisierung der zugelassenen Energien nicht
wichtig
klassisches Ergebnis für E¯ ω
kT
E¯ ω
ω2
uωT
kT = Rayleigh-Jeans
π2 c 3
u wächst mit ω2 durch den Zustandsdichtefaktor
kT
5
Anschauliche Interpretation der Experimentellen Ergebnisse
kleine Frequenzen ω kT
<!;<!; <!;<!; <;<;
<;!<;!<;!<!;<!;<!; <;<;<;
<;!<;!<!; <!;<!;<!; <;<;<;
<!;<;!<;!<!;<!;<!; <;<;<;
<;!<;!<;!<!;<!;<!; <;<;<;
<!;<!;<;!<!;<!;<!; <;<;<;
dω
2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ
17
hω
/
Übergangsbereich ω
> Boltzmann-Faktor
nur Grundzustand mit n 0 E0 0 besetzt
Besetzung höherer Zustände n 0 En 0 verEn
schwindet exponentiell mit kT
E¯ ω T fällt exponentiell
u ω T fällt exponentiell
kT
>
Maximum ist Kompromiss zwischen
Dω
E¯ ω
Abschätzung:
0 für kleinere Frequenzen
0 für höhere Frequenzen
JK ω 1 05 10 Js
8
1 38 10 JT K ) 1 05 10 Jω H z
k T/ ω
8
ω H z)/ 10 T K 8
ω 10 Hz)/ T 1000K quantenmechanisch korrekt:
(2.12)
E n 1 2 ω
1
ω Nullpunktschwingung
2
Übung: Berechne E¯ ω unter Berücksichtigung der Nullpunktenergie. Warum ändern sich die wekB
1 38 10
23
1
34
23
B
34
11
14
n
sentlichen Schlußfolgerungen nicht?
Schwingungsmoden des Hohlraumresonators
Hohlraumresonator = Würfel mit Kantenlänge L
Vernachlässigung des Lochs
L
j 0 div B 0
rot B ε µ E
Im Inneren des Hohlraumes: “freie” Maxwell Gleichung ρ
0
rotE B
Übungen: für jede Komponente ψ von E und B gilt die Schwingungsgleichung:
? ψ r t @% ∆ 1 ∂ ψ r t c ∂t &
div E
0 0
2
2
2
(2.13)
KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
18
mit
1
ε0 µ0
Freie Verschiebbarkeit der Ladungen auf dem Rand
Randbedingungen auf dem Rand (Wand)
c2
ψ r t verschwindet A
Ansatz für das Elektrische Feld E
Transversalkomponente E : t E r t
Normalkomponente
B : nB r t
n πy sin n πz exp iωt L
L
n πy
n πz
E c
cos
sin
exp iωt L
L
n πy
n πz
E c
sin
cos
exp iωt L
L
mit
k π n n n ω c k
n n n 1 2 BB ∞
L
? Zeige, dass sowohl ψ r t 0 als auch t E r t r R erfüllt sind!
Zeige aus div E 0 folgt:
nπ
nπ
nπ
c
c
c
0
L
L
L
∂β 1
c rot E
∂t
nur zwei Parameter z. B. c und c sind unabhängig.
Ex
c1
y
2
z
3
x
y
n πx L
n πx
sin
L
n πx sin
L
0
0
y
z
x
y
z
x
y
z
x
cos
sin
z
x
2
C
folgt:
B2
B1
2 x
1 ∂B
c ∂t
iω
B
c
c1 ny π
ny πy
nx πx
nz πz
cos
cos
sin
exp
L
L
L
L
E
Ist Lösung der Schwingungsgleichung + RB
nz
Jedem
Gitterpunkt
u n n n entsprechen 2 unabhängige Moden
c 1 c 0
c 0 c 1
x
y
z
1
2
1
2
(2.14)
3
rot E
icω D c nL π BB
BB
2 2
2
Zeige: Aus
B3
2
z
y
x
1
1
y
ny
nx
iωt 2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ
19
c F k cπL G n G cπL H n n n
Anzahl der Moden mit festem ω Anzahl der Gitterpunkte n in einer Kugelschale mit dem Radius n n GG
L
dn dω
πc
Frequenz der Moden
ω
2
2
x
2
y
2
z
(2.15)
ωL
πc
Abbildung 2.3: Gitterpunkte in einer Kugelschale
dN
D ω9
2 (Volumen der Kugelschale)
(Dichte der Punkte)
2
2
2
L ω L
4πn dn
2
1
π 2 2
dω
8
π c πc
8 nur Segment mit nx ny nz 0
ω2
π2 c3
I
V
L3
J (2.16)
KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
20
2.2 Der Comptoneffekt, Charakterisierung der Teilcheneigenschaften
des Photons
Um das Planck sche Strahlungsgesetz abzuleiten, haben wir postuliert, dass die Energie eines Oszillators der Frequenz ω quantisiert ist. Es sind nur diskrete Energien
En
n ω (2.17)
erlaubt. Im Falle des Hohlraumresonators ist ein solcher Oszillator eine Schwingungsmode des elektromagnetischen Feldes. Gleichung 2.17 haben wir “adhoc” anschaulich als Besetzung dieser Mode
mit einer diskreten Anzahl von n Photonen mit der Energie
E
ω
hν
h
c
λ
(2.18)
interpretiert.
Die Teilcheneigenschaften eines Photons werden weiterhin sehr eindrucksvoll im Comptoneffekt demonstriert. (Streuung von Licht an Elektronen)
Aufbau
Röntgenstrahlung
Einfallender
Strahl
λ genau
definiert
gestreuter Strahl
Graphit
QLPQLP QLPQLP QPQP
QPLQPLQLPQLP QPQP
QPLUTLQP WLVRSONMK QLPUTLQP WVOLNMK QPUTQP ONMK
UTQPLQPLOLNMKLUTLQPQLP OLNMKLUTQPQP ONMK
QPLQLP QLPQLP QPQP
QPLQPLQLPQLP QPQP
Streuer
Kristall
Blei
Detektor
Abbildung 2.4: Aufbau des Comptoneffektes
2.2. DER COMPTONEFFEKT, CHARAKTERISIERUNG DER TEILCHENEIGENSCHAFTEN DES PHOTONS21
Ergebnis
Abbildung 2.5: Ergebnis des Comptoneffektes
unverschobener Peak: λ0
verschobener Peak:
λ1
∆λ
λc
Compton Wellenlänge
λ0 ∆λ
h
1 cos θ
m0 c
h
2 43 10
m0 c
$ YX 0
m 0 0243Å
Nobelpreis 1927
12
KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
22
Erklärung
Abbildung 2.6: Erklärung des Comptoneffektes
1. Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Streuer und Photon:
Im Teilchenbild: Nicht zentraler Stoß zwischen einfallendem Photon und Streuer als Teilchen.
Energieerhaltung + Impulserhaltung gelten.
Unverschobener Peak:
Bei der Streuung bleibt das Atom als Ganzes erhalten
große Masse des Streuers
kleiner Energieübertrag
elektrischer Stoß
Verschobener Peak:
Streuer ist schwach gebundenes, fast freies Elektron, Atomrumpf an Stoß nicht beteiligt
kleine Masse des Streuers
relativ großer Energieübertrag
inelastischer Stoß
2. Teilcheneigenschaften des Photons:
Das Photon ist ein masseloses Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.
Die Masselosigkeit folgt bei v c aus der Relativitätstheorie.
E
Für m0
>
0 folgt bei v
c
E
∞
Einsteins Energie-Impuls Beziehung:
E2
c2 p2
m0 c2
H 1
m c 0
2 2
(2.19)
v2
c2
c2 p2
2.2. DER COMPTONEFFEKT, CHARAKTERISIERUNG DER TEILCHENEIGENSCHAFTEN DES PHOTONS23
ω hv
hvc λh
2
p
E
c
2
Verknüpfung der Teilcheneigenschaft p mit der Wellenlänge λ
Elastischer Stoß: Photon verliert Energie
Impuls wird kleiner
Quantitative Erfassung des Stoßes: p: Impuls Elektron
K: Kinetische Energie Elektron
y
Photon
E1 p1
Photon
E0 p0
’
λ
Elektron
θ
x
λ
K, p
Abbildung 2.7: Quantitative Erfassung des Stoßes
3. Impulserhaltung
)
:
p p cos θB p p 2p pp cossin θθ:
x-Komponente p0
y-Komponente p1 sin θ
0
1
4. Energieerhaltung
E0
2
1
m0 c2
p sin ϕ
p2 sin2 ϕ9
2
p2
0 1
E1
p cos ϕ
p2 cos2 ϕ
2
1
2
0
p1 cos θ
K
(2.20)
"Zm c
0
2
(2.21)
nichtrelativistische Behandlung
m0 c2 - Ruheenergie des Elektrons
c pE pE
0
0
1
1
K
K
(2.22)
KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN
24
Für das Elektron gilt:
c p m c K m c E2
2
K
K2
c2
2m0 c
2 2
0
2
2 2
c p
2Km0
2 2
0
2 2
p2
(2.23)
Übungen:Wir setzen für die Gleichung 2.20 für p 2 und die Gleichung 2.22 für K und erhalten:
1
p1
Durch multiplizieren mit h und λ1
λ1
λc
[
1
p0
1
1
m0 c
h
p1
λ0
h
m0 x
λc 1
$
cos θ
$
cos θ
2 43 10
12
mj
(2.24)
0 0243Ȧ
(2.25)
Betrachte Kurve für 90 in Experimenten!
Welle-Teilchen-Dualismus:
In Abhängigkeit von der experimentellen Situation kann sich das quantenmechanische Partikel
“Photon” wie ein Teilchen oder wie eine Welle verhalten.
Im Comptoneffekt:
Teilchenartig: Stoß mit dem Streuer
m
0
p
h
λ
E
hv
hc
λ
Wellenartig: anschließende Bragg-Streuung am Kritstall zur Messung der Wellenlänge der
Röntgenstrahlung.
In Wirklichkeit liegt immer das Quantenpartikel vor, die sich manchmal wie ein Teilchen und
manchmal wie eine Welle verhält.
Kapitel 3
Teilchen mit Welleneigenschaften
3.1 Young sches Doppelspaltexperiment (1801)
Zum Nachweis der Wellennatur des Lichtes
(Newton: Licht ist Teilchenstrahlung!)
Abbildung 3.1: Der Young sche Spaltversuch
Erklärung in Fraunhofer Näherung:
Jeder der Spalte ist eine Quelle von Kugelwellen. Für jede der Komponenten ψ des E und B Feldes
25
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
26
können wir schreiben:
ψ r t c % exp ikr r
1
1
mit
ω
exp ikr2
r2
&
(3.1)
ck Wichtig: Dadurch, dass beide Spalte von hinten von derselben Wellenfront angeleuchtet werden, strahlen sie mit synchroner Phasenlage.
Die Intensität (z. B. Schwärzung der Photoplatte) ist dann
G ψ G G c G A r1 r1 r 2r cos k r r $B\]
Hieraus folgt die für die Wellen typische Interferenz (siehe Übung).
^__ b b c d e
bb
für cos ff g 1
/
` konstruktive Interferenz
I __ b b c
a e
für cos ff C 1
/
destruktive Interferenz
2
I
2
2
1
c 2 r1 r2
r22 r12
2
c 2 r1 r2
r22 r12
2
2
2
1
2
(3.2)
1 2
4c2
r2
Wie in der Übung gezeigt werden wird, bekommen wir die angegebene Abschätzung im Fernbereich,
d. h. d L.
Für die Periodizität des Streifenmusters dx können wir im Fernbereich schreiben:
dx
L
λ
d
mit k
2π
λ
(3.3)
0 1 2 BB
(3.4)
Das läßt sich ausschließlich begründen durch:
Interferenzmaxima:
s
Interferenzminima:
s
.
d sin θ
I
d sin θ
Periodizitätsintervall:
dx
d
xmax
d
xmax
L
mλ
m
m 12 λ m 0 1 2 BB
m 1 x m 0. λ L
d
xmin
L
max
(3.5)
(3.6)
Im Teilchenbild würde man ein gänzlich anderes Ergebnis erwarten.
Zwei Maxima; Ort der Maxima nicht durch λ , sondern allein durch die Geometrie (Ort der Quelle,
der Spalt des Schirms) gegeben.
O. Carnal und J. Mlynek, Phys. Rev. Lett. 66, 2689 (1991)
Strahl von angeregten Helium-Atomen; Geschwindigkeit durch Temperatur in Reservoir geregelt. Angeregte He besser nachweisbar.
Vorher Elektron und Neutron, Ende 90-er Jahre C60 Moleküle.
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN
27
r
2
ν
θ
x
r
θ
d
r1
s
L
s = d sinθ
s = Gangunterschied
Abbildung 3.2: Periodizität des Streifenmusters
a.) Temperatur T
b.) Temperatur T
295K
83K
0 56Å
1 03Å
λdB
λdB
3.2 Materiewellen und Welleneigenschaften
1924 de Broglie: Licht ist nicht das einzige “Teilchen (Korpuskel)” mit Wellen-Teilchen-Dualismus.
Auch andere Partikel wie Elektronen, Neutronen, Protonen,... unterliegen dem Dualismus.
Die Wellen- und die Teilcheneigenschaften sind wie beim Photon verknüpft.
k
E ω
p
bzw.
!p G G
h
λ
(3.7)
Aus diesen Annahmen folge unterschiedliche Dispersion für ein Photon und ein massebehaftetes Teilchen
2π
k
(3.8)
ω λ bzw. ω k mit k
λ
Photonen:
E
ω
GG
G G
cp
h
c
λ
ω
2πc
λ
ck
(3.9)
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
28
θ
Abbildung 3.3:
Abbildung 3.4: Doppelspaltversuch mit Atomen
nichtrelativistisches freies Teilchen mit Masse m.
E
ω
p2
2m
1 h
2m λ
2
ω
2m 2πλ 2m k
2
(3.10)
Betrachten wir die Beschreibung eines freien Teilchens mit gegebenem Impuls durch Wellenfunktion
.
ψxt
Es unterscheiden sich nur die Dispersionen ω k .
Der Vergleich mit dem Experiment
Maxwell sche Geschwindigkeitsverteilung
ψ0 exp ik r exp
iω k t (3.11)
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN
29
Abbildung 3.5:
für die Teilchen im Ofen
f v
4π
h exp m
3 2 v2
2πkB T
mν2
2kB T
Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag der Geschwindigkeit eines herausgegriffenen Teilchen zwischen
ω und ω dω liegt.
f (v)
v
max
v
Abschätzung:
vmax
i
2T
steigt mit höherer Temperatur
m
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
30
j
pmax
λdB
2kT m
h
j
pmax
1
H
h
2kT m
(3.12)
2 kTh2m
4 1 67 10 kg
1 3 10 JK 300K
kT 295K 5 10 J
h 6 65 10 Js
mkT
5 10 J4 1 67 10 kg
2
2
h
6 65 10 J s
7 10 40 d m1
7 10
A1
4 m
0 8Å
λ
0 56Å bei T 295K
m
mHe
/
27
4m p
23
1
21
34
21
27
2
68 2 2
1 21 27 68
2
20
2
dB
gemessen: λdB
2
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN
31
0 V k Potenzial mit gegebenem Impuls p und fester Energie E Materiewelle wird durch Wellenfunktionen beschrieben
Freies Teilchen V
p2
2m
mit p
G p G
Wellenfunktion durch monocharomatische ebene Welle
ψrt
de Broglie
iω k t ψ0 exp ik r
k
E ω
p
p2
2m
= ohne Welle
(3.13)
(3.14)
2m
k2
(3.15)
Analogie zum elektromagnetischen Feld im Vakuum
E exp ikr iω k t = ebene Welle für jede Komponente
div E 0 folgt die Bedingung kE 0
E
aus
0
0
Die ebene Welle ist unendlich ausgedehnt.
Zu festem Zeitpunkt
y
k
ϕ = ϕ +4 π
0
x
ϕ= ϕ + 2 π
0
Wellenfronten
ϕ = kr − ωt
ϕ=ϕ
0
Abbildung 3.6: Skizze
Übungen Wellenfronten:
Ebenen mit konstanter Phase, ∞-ausgedehnt (z. B. ϕ
k r Z iωt
2π)
(3.16)
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
32
Abstand Wellenfront mit ϕ
ϕ0 und ϕ
ϕ0
2π ist
2π
λ
Wellenfront wandert in Richtung von k mit der Phasengeschwindigkeit
∞-Ausdehnung
v phas
ωk (3.17)
Idealisierung nicht real
Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion
Elektromagnetisches Feld
Wellenbild:
Pointingvector
ε0 xE 2
Energiestromdichte
Energie
Flache Zeit
S
Teilchenbild:
, N- ω
der Protonen
, -9 ZahlFläche
Zeit
S
N
, N- ∝ E
ω
Energie des Photons
2
: Die Anzahl der am Spalt zur Zeit registrierten Photonen ist proportional zum
elektrischen Feld.
dr
G G
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumenelement d r ψ r t d r 1
Sinnvoll nur für ein Ensemble von Teilchen.
Übertragung auf Materialwellen:
ψ rt
2 3
3
(3.18)
dx dy dz zu finden.
3
(3.19)
Wellenpakete
Eine monochromatische ebene Welle kann kein Teilchen darstellen, dass sich in einem bestimmten
Raumbereich befindet (Lokalisierung).
Beschreibung durch eine Überlagerung von monochromatischen ebenen Wellen
Wellenpaket.
ψ x t .
1
2π
j ∞
ωt B ψ̃ k dk exp i kx
∞
(3.20)
Hier nun eine Dimension betrachtet, der dreidimensionale Fall ist strukturgleich. ψ̃ k : Anzahl und
Phase der am Paket beteiligten m, ebene Wellen im k-Intervall k k dk.
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN
33
Typisches Beispiel: Gauß sches Wellenpaket
ψ̃ k ml
2σ20
π
1
4
n
exp
σ k k 2
0
k c exp σ20 k
2
0
0
2
(3.21)
ψ (k)
1
G0
k
0
Abbildung 3.7: Skizze
c
ml
2σ20
π
n
1
4
k : mittlerer Wellenvektor, A k um k
0
1
σ0 :
Normierungskonstante
(3.22)
dk
ψ̃ k
2π
(3.23)
G G
j
∞
0
2
1
lokalisiert.
Maß für die Breite der Gauß schen Verteilung
Entwicklung der Dispersion
:
ωk
) dω k k ) 1 d ω k k oBB
dkZ" G 2 dk G
ω v k k p β k k 2
ω k0
k0
0
2 k0
0
2
(3.24)
vg
0
g
0
0
2
vg : Gruppengeschwindigkeit
β: Dispersionsparameter
ψ x t q
c
2π
j ∞
dk exp
∞
σ k k 2
0
2
(3.25)
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
34
rs i ω v k k p β k j k t t
x v t
c exp i k x ωt $
j 2 σ iβt exp l 4 σ iβt un
F
exp ikx exp
Übungen Gauß sches Integral
GG
σ 0
F
2
β2 t 2
4
2
F
GGc G
2
β2 t 2
4
0
g
σ x v t
exp l 2 σ β t vn
x v t
exp wx σ 1 t zy
4
g
2 2
2
2
2
2
2
c2
2
g
0
2
Wahrscheinlichkeitsverteilung
ψ x t G G 0
(3.26)
2
2
g
β2 2
σ4
(3.27)
(3.28)
ψ
t=0
ψ (x, 0)|2
ψ (x, t)| 2
zeitliche
σ
0
2 β2 2
G + G2 t
Entwicklung
vg t
Abbildung 3.8: Evolution eines quantenmechanischen Wellenpaketes
σ0 : anfängliche Breite
Das Maximum des Wellenpaketes bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit.
Das Wellenpaket verbreitert sich (zerfließen). Der Bereich mit einer nennenswerten Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, wird mit der Zeit immer größer (diffusive Bewegung,
z. B. ...)
typische Verbreiterungszeit
Typische Zeit zum Auseinanderlaufen
τ
β
σ2
β
1 d2ω
2 dk2
(3.29)
(3.30)
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN
Photonen:
ω
β
k
0 keine Verbreiterung τ
35
∞
Massebehaftetes Teilchen:
ω
τ
2m k ∂∂kω m
β 2m
σ
2mσ
β
2
2
(3.31)
4
2
2
(3.32)
Je schwerer das Objekt und je größer die anfängliche Ausdehnung, je geringer das Auseinanderlaufen.
Makroskopisches Objekt: m
groß gegenüber Weltalter
1g
σ0
τ
1 cm
Mikroskopisches Objekt: Elektronen, σ 0
10
13
cm
1027 sec
τ 10
26
sec.
Orts-Impuls Unschärferelation
Gegeben P x : Wahrscheinlichkeitsdichte Variable x (Ereignis)
Wir wählen als Ereignisbereich x
∞ ∞
Für Wahrscheinlichkeitsdichte gilt die Normierungsbedingung
∞
.
dxP x
∞
1
Betrachte Gauß sche Wahrscheinlichkeitsdichte
.
Px
x 1
exp α x
N
0
2
∆x =
x0
Normierungsfaktor durch Normierungsbedingung gegeben
1
2α
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
36
1
1
exp
N
α x x 1
N
2
0
∞
dx exp
∞
j
"Z
αx2
π
a
N
i
π
α
(3.33)
ā: Erwartungswert oder Mittelwert von x̄
dx P x x
x̄ , x -:
1 Z "
dx N exp α x x x
1
dx x N exp α x x )
exp α x x x
x
N
∞
∞
u
∞
0
2
∞
∞
0
0
∞
∞
∞
2
du 1
∞
"Z 1
exp
N
αu2 u
0
2
0
0
(3.34)
0
∞
∆x: Schwankungsquadrat, “Breite” der Verteilung
∆x , x x̄ -. dx P x x x N1 dx exp α x x x x "Z
Gradstein, Ryzlik { j
απ 2α1 i απ 2α1 ∆x j 12α
2
2
2
0
∞
0
2
0
2
(3.35)
∞
3 461
1
2α
π
α
(3.36)
Anwendung auf das Gauß sche Paket
1. Im Impulsraum
9
c exp σ k k B
P k ψ̃ k c exp 2σ k k G G GG
α 2σ von Zeit unabhängig
1
1 ∆k ∆p ∆k 2σ
2σ
2α
j
ψ̃ k
2
2
k
2
0
2
2
k
2. Im Ortsraum
0
2
(3.37)
3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN
ψ x t G G
x v t
α exp 2σ 1 2
Pxt
37
ψ (x, 0)|2
2
g
ψ (x, t)| 2
t2
2
τ
∆x (t)
∆x(t) = 0
τ
mσ2
x0 = vg t
αx
∆x
11 1
j 2αx
1 σi 1 i cd e
t2
τ
2σ2
1
σ2 1
t2
τ2
t2
τ2
(3.38)
Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe
∆x∆p
X 2
∆x ∆p
i 2 i 1 σ 1
t2
τ2 2σ
t2
τ2
Heisenberg sche Unschärferelation
Am Anfang maximale Schärfe; Auseinanderfließen
Erhöhung der Unschärfe.
(3.39)
(3.40)
38
KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN
Kapitel 4
Die Schrödinger-Gleichung
4.1 Heuristische Konstruktion
1. Maxwell-Gleichungen:
“Bewegungsgleichung” für das elektromagnetische Feld. Bewegungsgleichung beschreibt die
zeitliche Entwicklung.
2. Schrödinger-Gleichung:
Bewegungsgleichung für die Materiewellen (in nichtrealistischer Näherung) 1926 aufgestellt.
Eine Herleitung ist nicht möglich, nur Plausibilität durch Experimente (Newton-Gleichung).
Ansatz, der durch seinen Erfolg gerechtfertigt werden muss.
Plausibilitätsbetrachtung
Ausgangspunkt: monochromatische Ebene
Welle, ψ0
1
ωt B ψrt
exp i k r
(4.1)
de Broglie
p ωk
Für die ebene Welle können wir schreiben
kψ r t . k exp i kr ωt B pψ r t :
i ∇ exp ik r Zuordnung
E
39
(4.2)
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
40
|} i ∇
Der Observable (Messgröße) p wird ein Operator i ∇ zugeordnet, der auf die Wellenfunktion ψ r t wirkt.
p
: ωψ r t ω exp i kr ωt B ∂ i ∂t exp i kr ωt B
Weiterhin können wir schreiben
Eψ r t
E
(4.3)
| i ∂t∂
E p
Schrödinger-Gleichung für freies Teilchen erfüllt die Dispersionsrelation für freies Teilchen
2
(4.4)
2m
wird übersetzt in
i
.~ ∆ψ r t 2m
∇ C ∆
∂
∂
∂
Laplace Operator
∂x
∂y
∂z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ ∇ ml
l ∂x ∂y ∂z n ∂x ∂y ∂z n
∂
ψ rt
∂t
2
i ∇ ∆ ∆ Übersetzung: E und p werden zu Operatoren, die auf die Wellenfunktion wirken.
hier ist
2
p2
2
2
2
In Anwesenheit eines Potenzials
2
2
2
2
2
2
p2
E
V rt
2m
V r t wird als multiplikativer Skalar angesehen. Wird ersetzt zu
i
.@%€~ ∆ V r t ψ r t 2m
&
∂
ψ rt
∂t
Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
mathematisch: partielle Differentialgleichung
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
2
(4.9)
4.2. WICHTIGE MATHEMATISCHE EIGENSCHAFTEN DER SCHR ÖDINGER-GLEICHUNG41
4.2 Wichtige mathematische Eigenschaften der Schrödinger-Gleichung
Erster Ordnung in Zeit
ψ r t ist durch die Anfangsverteilung ψ r 0 bestimmt. (kein Determinismus wegen der
statischen Interpretation von ψ r t ).
Die Schrödinger-Gleichung ist linear.
Superposition von Einzellösungen ist wieder eine Lösung
Die Schrödinger-Gleichung ist homogen.
Resultierende Wellenfunktionen sind zu allen Zeiten normierbar.
Die Schrödinger-Gleichung ist komplex.
komplexe Lösungen
4.3 Übergang zur zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
Sehr häufig ist das Potenzial V r t nicht von der Zeit abhängig.
V r V rt
(4.10)
(Zentral wichtigster Fall!)
In der klassischen Mechanik gilt dann vorausgesetzt die Erhaltung der Gesamtenergie
E
Z T V
p2
2m
V r H ! p r const
(4.11)
H p r ist die Hamilton-Funktion
Quantenmechanisch
9  pˆ V r $‚ ψ r t 2m
Hψ r t  2mpˆ V r ‚ Hamilton-Operator
H ∂
ψ rt
i
∂t
2
2
Operator linke Seite: nur von der Zeit abhängig.
Operator rechte Seite: nur vom Ort abhängig.
(4.12)
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
42
Produktansatz
q
φ t . φ t  pˆ V r ‚ ψ r 2m
ψ rt
∂
∂t
ψr φt
2
ψr i
ƒ >
Setze voraus: ψ r t
(4.13)
0 und dividiere durch
. 1
Hψ
(4.14)
ψ r
gleich einer von Ort und Zeit unabhängigen
linke Seite nur von der Zeit, rechte Seite nur vom Ort
i ∂
φt
∂ t ∂t
Konstante E
linke Seite:
i
:
φ t :
exp ∂
φt
t
Eφ t
E
i t
pˆ
V r $ ‚ ψ r Ĥψ r .@
2m
rechte Seite:
(4.15)
2
Eψ r
(4.16)
zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
hat die Form eines Eigenwertproblems
Ĥψ r
besser
denn die Eigenfunktion ψ r E des Operators Ĥ
Ĥψ r E
Eigenwert E abhängig
später Ĥ ist hermitesch
Eψ r
Eψ r E
E sind reell
Möglichkeiten
1. E
2. E
Teil eines Kontinuums
En diskrete Eigenwerte
- allgemeiner Fall
- beides vorhanden
…!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ …!…!…!„ ………„
…„!…„!…„!…!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …!„…!„…!„ …„…„…„
„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„!„„
E − Kontinuum
En diskrete Werte
(4.17)
(4.18)
4.3. ÜBERGANG ZUR ZEITUNABHÄNGIGEN SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
43
Zu jedem Eigenwert E gibt es eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ψ E r t
der Form
E
ψE r t
ψ r E exp i t
(4.19)
– Die zeitliche Evolution
des Zustandes besteht in einer einfachen Multiplikation des Pha
senfaktors exp i t – zeitunabhängig
ψ r t ψ r E (4.20)
G
G G
G
E
2
E
2
Auf Grund der Linearität der Schrödinger-Gleichung gilt, dass die Überlagerung
) ∑ ψ x E exp E
E
i t p
dEa E ψ r E exp i t (4.21)
eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung
ist. Die Dynamik
des Systems
besteht
in den unterschiedlichen Phasenfaktoren exp i t . Es gilt dann z. B. ψ r t > ψ r .
G G G G
:
ψ rt
∑ a n ψ En r t
dEa E ψE r t
n
n
n
n
E
2
2
4.3.1 Beispiel für diskretes Spektrum
Beispiel: unendlich hoher rechteckiger Potenzialkopf
V=
00
−a
00
V=
x
a
Abbildung 4.1: Skizze
Klassisch:
V x. const J 21 p p p ) V x
Wegen der Translationsinvarianz in y und z Richtung sind p und p erhalten.
1 p
ε E
p p V x
2m
2m
ε: Gesamtenergie der Bewegung in x Richtung
E
T
2 2 2
x y z
y
2
y
2
z
2
x
(4.22)
z
(4.23)
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
44
x
a† x†
Bewegung des Teilchens ist vollständig im Bereich
a eingeschränkt.
Quantenmechanisch:
Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
‡
Eψ r E A ˆ2m
l
Hψ r E
∂2
∂x2
2
∂2
∂y2
∂2
∂z2
n V x‰ \ ψ r E Eψ r E
(4.24)
ebene Welle in dieser Richtung erhalten
ψ r E ψ x exp ik y ikz Das Potenzial ist von y und x unabhängig.
(4.25)
y
Eingesetzt in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
A ˆ2m
l
2
∂2
∂x2
ky2
k n V x \ ψ x exp ik y Eψ x exp ik y 2
z
y
ikz z
y
ikz z
(4.26)
4.3.2 Allgemeines Prinzip zur Erzeugung der Wellengleichung
1. Nimm Jordansche Regeln
E
p
i ∇
i ∂t∂
p̂
Ê
2. Nimm die klassische Energie-Impulsbeziehung
E
p2
2m
V r t nichtrelativistische Teilchen
3. Ersetze in der Energie-Impulsbeziehung die Skalare durch Operatoren und wende die Operatoren auf die Wellenfunktionen an
i
∆ V r t $ ψ r t ˆ
2m
∂
∂t
2
Andere Beispiele:
Photonen n0
∆
0
. E
G pG c
oder E 2
p2 c2
1 ∂2
ψ rt
0
Wellengleichung für die Komponenten von E und B
c2 ∂t 2
relativistische massebehaftete Teilchen
(4.27)
(4.28)
4.4. WAHRSCHEINLICHKEITSSTROM
45
E2
l ∆
∂2
1
c2 ∂t 2
n
ψ
m20 c4
m0 c2
2
p2 c2
ψ
(4.29)
(4.30)
Klein-Gordon-Gleichung für spinlose Teilchen (z. B. Mesonen)
Andere Möglichkeit: Diverse Gleichungen zur relativistischen Beschreibung von Spin
(Elektronen) = Dirac-Gleichung.
1
2 -Teilchen
4.4 Wahrscheinlichkeitsstrom
Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ
die Schrödinger-Gleichung lautet
i
Multiplikation von links mit ψ
Š
∂ψ
∂t
ψ wird durch folgende Überlegung erklärt:
% 2m
∆ V r & ψ r t 2
∂ψ Š r t Š
i ψ r t
ψ Š €% ∆ V r ψ r t &
∂t
2m
(4.31)
2
(4.32)
Die Komplex-Konjugierte der Schrödinger-Gleichung ist
i ∂ψ∂t Š % 2m
∆ V r & ψŠ r t 2
(4.33)
von links mit ψ r t multipliziert,
i ψ r t ∂ψ∂t Š ψ % 2m
∆ V r & ψŠ r t 2
(4.34)
Gleichung 4.32 - Gleichung 4.34
% ψŠ r t ∂t∂ ψ r t ) ψ r t ∂t∂ ψŠ r t & ˆ2m
ψŠ ∆ψ r t ψ∆ψŠ r t $
2m
∇ ψŠ ∇ψ ψ∇ψŠ Š ψ ‹ ∇ψ
∂t∂ ψŠ r t ψ r t $ ∇ 2im ∇ ψ∇ψ
i
(4.35)
2
(4.36)
2
Es existiert eine Kontiunitätsgleichung.
8
9
∇ j
9
ψŠ r t ψ r t ∂
ρrt
∂t
ρrt
(4.37)
(4.38)
(4.39)
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
46
Wahrscheinlichkeitsdichte = “Dichte” gemessene Teilchendichte,
j
Š ψŠ ∇ψ
Š
2im ψŠ ∇ψ
(4.40)
interpretierbar wegen der Kontiunitätsgleichung. = Wahrscheinlichkeitsstromdichte
In Übungen
Bedingung:
∂N
∂t
N
d 3 rρ r t
d3r
Normintegral
0 ∂
ρrt
∂t
B
0 ψ r
ψ
0
N
(4.41)
> N t
ΠB
r 0 (4.42)
0
“Natürliche” Bedingung für eine “zugelassene” Wellenfunktion mit
N

d 3 rρ r t
∞
(4.43)
Für zugelassene Wellenfunktionen ist das Normintegral eine Konstante und ψ r t wird so gewählt,
dass
1
d 3 rρ r t
(4.44)
Zugelassene Wellenfunktionen im 1d Fall bisher behandelt
J a GG
1. diskretes Spektrum in ∞-hohen Rechteckst... ψ x
2. diskretes Spektrum ε

0
0 endlich hohe Potenzialtopf ψ ∝ exp
G G
κx
3. Wellenpakete, z. B. Gauß sches Wellenpaket aus Kontinuumswellenfunktionen
Nichtzugelassene Zustände
J
 †k G
G
2. Für x ∞ exponentielle divergierende Lösungen der Schrödinger-Gleichung in endlich hoGG
diskretes Spektrum.
hem Potenzialtopf für ε  0. In jedem Fall ausgeschlossen
1. Streuzustände = Eigenfunktionen für ε 0 endlich hoher Potenzialtopf, Potenzialbarriere je∞
∞ Sonderrolle (uneigentliche Basisfunktion des Hilbertraumes).
doch ψ x ∞ t
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
47
4.5 Eindimensionale Beispiele
4.5.1 Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten
V=
00
00
V=
x
Abbildung 4.2: Eindimensionaler Potenzialkasten
zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Aƒ 2m
∆ V xŽ E \ ψ r E 0
ψ r E ψ x exp ik y ki z 2
Ansatz:
y
Effektiv 1d-Problem
A ~2m
dxd V xŽ ε \ ψ xq
2
(4.45)
(4.46)
z
2
0
2
ε
0 ψ xI
J
GG
2. Innenraum x  0
GG
2m
k k 2
E
2
y
2
z
(4.47)
Lösungen
1. Außenraum x
0
Lösung der Dgl.
% 2m
dxd ε& ψ xq 0
ψŒ 2mε ψ 0
(4.48)
Vergleiche mit Dgl. für den klassischen harmonischen Oszillator (formal) mit der Federkonstante D.
D
D
ẍ ω i
x 0 x t A sin ωt δ
(4.49)
m
m
Ansatz für ψ
2mε
ψ A sin kx δ k i
(4.50)
Zusätzlich: Berücksichtigung der Randbedingungen
ψ a I ψ a . 0
(4.51)
2
2
2
2
2
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
48
Eigenfunktion
“’‘“’‘ “’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“’‘“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“’‘ “’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“’‘“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“’‘ “’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“’‘“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
“‘’“‘’“’‘“’‘ “’‘“’‘ “‘“‘
n=1
n=3
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’”’••’” ”’••’” ”’••’” ”••”
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’•’””’• •’””’• •’””’• •””•
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’”’••’” ”’••’” ”’••’” ”••”
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’•’””’• •’””’• •’””’• •””•
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’”’••’” ”’••’” ”’••’” ”••”
”’”’•’”•’” •’”•’” •’”•’” •”•”
”’”’•’””’• •’””’• •’””’• •””•
a
−a
n=2
Abbildung 4.3: Eigenfunktion
– n2a π x a$—
A sin – nπ2a x nπ2 —
nπ2a nπL 2a L :
ψn
k
δ
ε
2mεk¯ 2 2
n
kn
δn
n
2
n
Breite
π
2
2m
k 2m
πL 2
En
An sin
2
2 2
n
(4.52)
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
49
Vollständig diskretes Spektra
Lösungen der zeitabhängigen
Schrödinger-Gleichung
ψ x E exp i t ψ En r t
E3
n=3
En
n
“stationäre Zustände”, denn
ρ
G ψ x E G G A G
n
2
n
x a$ 2 sin2 nπ
L
Quantisierung der stationären Zustände
Berechnung der Normierungskonstanten
E2
™˜ dxρ x
G A G dx sin nπ2a x a$ "Z
A H
n=2
1
a
n
2
2
a
1
2L
2
L
n
E1
n=1
i
– —
D E
2
πn
x a
sin
L
L
π 2 2
En
n
2m L
Eigenfunktion und Eigenwerte
ψ x En
Quantenmechanische Nullpunktsenergie
2m
D πL E
2
E1
^__
2
∞ für
` ^aG x G J
G yz G JJ
GG
0
sonst
Betrachte dreidimensionales ∞ Kastenpotenzial
V
`_
__a
Grundzustandsenergie
a
a
a
(4.53)
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
50
Übungen:
. ψ r E { { ψxE
vollständig reell wählbar
nx ny nz
{ { 2m D πa E n n n n n n 1 2 3 BB
2
2
E nx ny nz
x
y
2
x
2
y
2
z
(4.54)
z
Vollständig diskretes Energiespektrum
= im Einschlusspotenzial gebundene Zustände
= extrem vereinfachtes Modell für diskretes Termschema im H-Atom wird eingehender diskutiert.
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
4.5.2 Potenzialbarriere - Tunneleffekt
Rastertunnelmikroskop
Nobelpreis 1986
Konstanthaltung des Tunnelstromes durch Nachfuehrung der Spitze
:
Abbildung 4.4: Rastertunnelmikroskop 1
51
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
52
Atomare Aufloeesung: Einzelnes Dotieratom auf Halbleiteroberflaeche
Potentiallandschaft fuer den Tunnelvorgang:
Abbildung 4.5: Atomare Auflösung und Potenziallandschaft
Idealisierung der Potenziallandschaft: rechteckige Potenzialbarierre der Höhe V0 .
Reduktion auf 1d-Problem
‡
ik z
ε 2m
k k ψr E
E
Aƒ 2m
dxd V xŽ ε \ ψ x:
2
ψ x exp iky y
2
2
y
z
2
z
2
2
ε: Energie der Bewegung in x Richtung
0
(4.55)
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
53
z
A eikx
V0
einlaufend
t e ikx
r e− ikx
−a
a
x
Abbildung 4.6: Skizze Idealisierung der Potenziallandschaft
†š
Für x
a
I 0 V x
freies Teilchen
Aƒ 2m
∂x∂ ε \ ψ x ™ a 2
2
Differentialgleichung 2. Ordnung
2
0
(4.56)
2-Lösungen
q
) B exp ikx
ε (4.57)
2m k k j 2mε
Interpretation der Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung
ψ x  a t = ψ x exp i t A exp ikx iωt + B exp ikx iωt "Z "Z
k J 0 einlaufende Welle,
k  0 auslaufende Welle,
ψx
A exp ikx
2
2
E
Für x
J
Punkte gleicher Phase
bewegen sich in positive
x-Richtung
“nach rechts laufender
Zustand”
Punkte gleicher Phase
bewegen sich in negative
x-Richtung
“nach links laufender
Zustand”
a
A 2m
dxd ε \ ψ x J a ε:
ψ x J a9
2
2
0
2
g
C exp ikx
0 exp
ikx
Wir können Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung der Form
A
B
1
C
r
D
t
0
(4.58)
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
54
finden.
(von links einlaufender) Streuzustand.
Stückelung der Wellenfunktion
ε
Setze voraus

V0
klassisch ist keine Bewegung von der linken Seite
über die Barriere hinweg auf die rechte Seite erlaubt.
Tunneleffekt, es gibt eine auf der rechten Seite ausG εG > 0
Messung des Stromes durch die
laufende Welle
Tunnelspitze.
Wellenfunktion zwischen a und a
Aƒ 2m
dxd V ε \ ψ G x G  a ε 0
Quantenmechanisch
2
2
0
2
(4.59)
Entscheidender Unterschied zwischen den vorher genannten Fakten
ε J 0 weil V J ε
(4.60)
Daher keine oszillierende Wellenfunktion, wie exp ikx , sondern eine exponentiell wachsende oder
V0
0
fallende Wellenfunktion.
 a ε:
GG
ψ x
κ
g b exp κx
2m V ε F
a exp κx
(4.61)
0
(4.62)
eikx
t eikx
t e− ikx
Abbildung 4.7: Schematische Darstellung
Insgesamt: x
™
a
I
ψ x ε .
g r exp ikx
(4.63)
a† x† a
a exp κx ) b exp κx (4.64)
xX a
ψ x ε . t exp ikx (4.65)
Bestimmung der vier unbekannten Koeffizienten r k a k b k t k , durch je zwei Kontinuitätsgleichungen bei a und bei a.
Kontinuität der Wellenfunktion bei x a
ψxε
exp ikx
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
1.
exp
55
ikag r exp ika
a exp
Kontinuität der Ableitung der Wellenfunktion bei x
Œ ™ a ε:
ψŒ x  a ε :
GG
C
(4.66)
a
ik exp ikx
(4.67)
(4.68)
a
ika 2.
ik exp
(g κ a exp κaŽ r exp ika
Übungen: Leite die beiden entsprechenden Gleichungen bei x
T
Für jedes ε
b exp κa
* r exp ikx(
κ a exp κx * b exp κx $
ψ x
sodass, für x
κap J 0 ε 1
c c e + G t k G
e
1
b exp
κa( a ab und zeige, dass
2
(4.70)
sin 2 kL
4 VE 1 VE
0
(4.69)
0
R gibt es zwei Lösungen (links einfallende und rechts einfallende)
ε Kontinuum
Wellenenfunktionen sind nicht normierbar
G
G
dx ψ x E
∞
(4.71)
Wellenfunktionen sind komplex, können nicht reell gewählt werden
4.5.3 Rechteckiger endlich hoher Potenzialkasten
(a)
(b)
−a
(c)
a
ε 1. Fall
ε 2. Fall
− V0
Abbildung 4.8: Skizze rechteckiger hoher Potenzialkasten
Für ε
J
0 kontinuierliches Spektrum
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
56
1. linkseinfallender Streuzustand ψ L

(a) x
.
a
)
ψL x ε
(b)
a† x†
a
ψ x ε I
L
exp ikx
a exp ikx g
ikx
r L exp
k
a b exp ikx L
κ
L L
j
2mε
(4.72)
2m ε V F
+ k V 0
(4.73)
0
(c)
ψL x ε
t L exp ikx
(4.74)
2. rechtseinfallender Streuzustand ψ R
(a) x
J
a
.
ψR x ε
(b)
a† x†
(c) x
™
exp
ikxg .
a
ψR x ε
a
q
aR exp
j
r R exp ikx
k
iκx) 2mε
(4.75)
bR exp iκx
(4.76)
ikx
A ˆ d V xŽ ε \ ψ x ε
2m dx
ψR x ε
t R exp
(4.77)
2
2
(4.78)
2
ist lineare Dgl. 2-ter Ordnung, zwei linear unabhängige Lösungen.
ψL x ε ψ R x ε
3. Was passiert für ε
(a) x
™

ψ
p
AψL x ε
BψR x ε
(4.79)
0?
a
I
ψxε
g
A exp κx
B exp
κx
κ
F
G G F 2m G ε G
ik V 0
2m ε
(4.80)
0
(b)
a† x†
(c) x
J a
a
ψ x ε .
a exp iκx g
.
ψxε
b exp iκx )
C exp κx
κ F
B exp
κx
ε
2m V0
(4.81)
(4.82)
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
57
Wichtig: Die Wellenfunktion darf für x
1.
2.
3.
œ›
∞ nicht divergieren
nicht alle Lösungen der Dgl. 2. Ordnung sind als Wellenfunktion akzeptabel
Bedingung B 0 und C 0
Setze A 1 = Normierungskoeffizient (Linearität)
x
a
ψxε
exp κx
a x a
ψxε
a exp iκx b exp iκx
x 0
ψxε
B exp κx
™ †
J
.
†
.
.
g Durch Stückelung erhält man vier Gleichungen mit drei Unbekannten.
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
58
Übung: Lösung nur bei bestimmten Energien.
V
2−fach entartet, Streufunktionen
x
ε<0
diskretes Spektrum
reel wählbar
− V0
Abbildung 4.9:
Beispiel: Comptoneffekt, Übergang von diskretem Zustand in das Kontinuum
ŸžŸž ŸŸ
ŸžŸžŸŸ
ŸžŸžŸŸ
žŸŸž ŸŸ
Abbildung 4.10:
4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE
59
Allgemeines 1d-Potenzial endlicher Reichweite
V (|x| > d) = 0
quasigebundene
Zustände
Kontinuum
ε < Diskretes Spektrum
Abbildung 4.11:
quasigebundener Zustand = zerfallende Zustände
z. B. α-Zustand
Schrödinger-Gleichung kann viele physikalische Probleme beschreiben, nicht klären.
Verallgemeinbar auf allgemeines 3d-Potenzial mit endlicher Reichweite.
60
KAPITEL 4. DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Teil II
Mathematische Formulierung im
Hilbertraum
61
Kapitel 5
Der Raum der Wellenfunktion eines
Teilchens
5.1 Linearer Raum V (Vektorraum)
Gegeben
Menge von Elementen (“Vektoren”) - ψφχ
Menge von Skalaren a b c
Regeln für
BB
-
BB
(a) Vektoraddition ψ φ
(b) skalare Multiplikation aψ
(a) Vektoraddition: Eingenschaften einer Abelschen Gruppe
V φ V ψ φ ψ
V
Kommutativität
ψ
φ φ
ψ φ) X ψ φ χ
Assoziativiät
Nullelement
ψ ψ
ψ ψ 0
Inverselement
(b) Multiplikation
ψ
V
φ
ψ
V
Distributität
aψ
bφ
V
0
φ aψ aφ
a bψ I abψ
aψ
Assoziativität
0
Einselement
1 ψ
63
ψ
KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
64
5.2 Hilbertraum H
Gegeben
-
Menge von Vektoren - ψ φ χ
Menge von Skalaren
(a) H ist ein linearer Vektorraum
(b) H hat ein definiertes Skalarprodukt ψ φ das eine komplexe Zahl ist.
ψ φ. φ ψ Š
Hermitizität
ψ aφ Linearität
bφ2
1
a ψ φ ) b ψ φ 1
ψ ψ +¢¡ ψ ¡ X
Positivität der Norm
2
. 0 Anmerkungen - ψ φ
2
0
Vektoren ψ und φ sind orthogonal.
H ist separabel
In jeder beliebigen Folge existiert eine konvergente Teilfolge. Es gibt eine Cauchy-Folge ψ n , sodass
für jedes ψ H und ε 0 ein ψn gilt mit
J
¡ ψ
ψn
¡  ε
(5.1)
(Jedes Element von H kann als Grenzwert einer Cauchy-Folge von Elementen aus H dargestellt werEntwicklung von ψ in einer Basis.)
den
£
Cauchy-Folge ψn
{¤
lim
kl
H ist vollständig
Jede Cauchy-Folge von Elementen ψn
∞
¡ψ
k
ψl
¡
0
(5.2)
H konvergiert zu einem Element in H . D. h., es gilt
{ lim¤
nm ∞
dann gibt es einen eindeutigen Grenzwert ψ
¤
lim
n ∞
¡ψ
n
ψm
H mit
¡ ψ
ψn
¡ 0
¡ 0
(5.3)
(5.4)
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUST ÄNDE ZUM HILBERTRAUM
65
5.3 Zuordnung der physikalischen Zustände zum Hilbertraum
Der Raum der quadratintegrablen Funktionen ist ein Hilbertraum.
r ψ : IR C G
HŒ r ψ : IR C G
H
3d
1d
3
 ∞ t
G G
dx ψ x dx  ∞ t
G G
d3r ψ r
2
(5.5)
2
(5.6)
Auf der anderen Seite gilt für einen quantenmechanische Zustand
¡ ¡
und nicht nur ψ
¡ ψ x ¡ ¥% d x ψ x̄ G G & 1
3
2
1
2
∞. Im Allgemeinen gilt
¡ ψ ¡ 1 ¡ ψ ¡ 1 ¡ αψ 1
2
1
βψ2
(5.7)
¡ > 1
(5.8)
Fragestellung: Physikalische Zust ände bilden also keinen Hilbertraum?
Lösung: Physikalische Zustände erzeugen eine Äquivalenzklasse ψ̂ mit
wobei die Äquivalenzrelation
/
φ
Cr φ G φ / ψ ¦t ψ̂
/
bedeutet
|
ψ
φ
λψ mit λ
(5.9)
C λ > 0
(5.10)
Die Elemente von ψ̂ sind physikalisch äquivalent.
Alle Äquivalenzklassen ψ̂ bilden den Hilbertraum H der quadratintegrierbaren Funktionen.
5.3.1 Vollständige Funktionssysteme
{
r Ht
Geeignete Mengen von Vektoren bilden die Basis des Hilbert-Raumes. Sei u n
system: un um
δn m . Dieses System ist eine Basis,
§ ψ
H gilt ψ
∑ cn un
ein Orthogonal(5.11)
n
mit geeigneten Koeffizienten cn
u ψ ∑ c ¨ u Z © u¨ " ¨ c G
¨
Betrachte den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen in einer Dimension
u x
u
ψ
ψ x
u ψ dx uŠ x ψ x
δn n
n
n
n
n
n
n
n
∞
n
n
∞
n
(5.12)
KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
66
dann erhalten wir
∑ c u x . ∑ dy uŠ y ψ y B u x dy ∑ uŠ y u x ψ y
"Z c
e
∑ uŠ y u x 9
δ x y
ψ x q
∞
n n
n
(5.13)
n
n
n
∞
∞
(5.14)
n
n
n
∞
δx y
n
(5.15)
n
n
ψ x q
“Zerlegung der 1”
und
∞
y ψ y
dyδ x
∞
(5.16)
δ x y wird in der Umgangssprache als Dirac sche Delta-Funktion bezeichnet. Korrektur: verallgemeinerte Funktion, Veranschaulichung durch Folge von einfachen Funktionen.
z. B. Lorenz-Kurven
x δx
0
ε
¤ x 1
lim
πε 0 x
0
ε2
2
lim¤
ε 0
x
Fε x
(5.17)
0
Fε (x)
ε4
= lim ε
ε
0
Fε (x − x 0 )
3
ε
2
ε1 > ε > ε > ε4
2
3
ε1
x
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUST ÄNDE ZUM HILBERTRAUM
ε
F x dx dx
1
x ε
1
F ε^
lim F x: ` a ∞ x 0
¤
∞
sonst
∞
∞
ε
2
∞
∞
dxδ x
2
∞
67
∞
(5.18)
(5.19)
ε
1
ε
ε 0
(5.20)
ε
keine “normale” Funktion
In drei Dimensionen lautet die Zerlegung der 1
r uŠ r δ r r ψ r d r δ r r ψ r ∑ un
1
n
2
1
(5.21)
2
n
mit
1
3
2
1
2
(5.22)
2
Betrachte Fouriertrafo in 1d. Wir können für jede quadratintegrable Funktion schreiben
ψ xq dk ψ̃ k exp ikx
j 2π
dk
+
ψ̃ u x j 2π
u x ist jedoch nicht quadratintegrierbar
k
(5.23)
ψ̃ k ist auch quadratintegrierbar und sieht aus, wie eine Entwicklung nach einer Basis u k x .
k
uneigentliche Basis des Hilbertraumes.
(5.24)
KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
68
5.3.2 Entwicklung von Zuständen in Basisfunktionen
Wiederholung
Physikalischer Zustand ˆ Vektor im Hilbertraum H normiert
ψ ψ.
fG G ψ GfG 1
3. Axiom für Hilbertraum, Separabilität von H
1 2 BBf , so dass für jedes ψ GfG ψ ψ GfG  ε“
“Es existiert eine Candy-Folge ψn H n
stens ein ψn der Folge existiert für das
H und ε
J
0 wenig-
n
Man sagt: Die Folge ψn liegt dicht im H
Umformulierung für Physiker
Skript Analysis V, Vorlesung: Prof. F. Sauvigny, Kapitel XIV “Lineare Operatoren im Hilbertraum”,
S. 118, Satz 5
r t { “Sei H ein separabler Hilbertraum, dann gibt es ein vollständiges Orthonormalsystem u n
n 12
u u δ {
Orthonormalsystem:
n
Vollständigkeit:
ψ
m
(5.25)
nm
∑ C u § ψ C u ψ ∞
n n
H”
H
(5.26)
n 1
mit
n
(5.27)
n
im Sinne des Verschwindens der Norm
¤ fG G ∑ C u GfG N
lim ψ
N
n n
∞
0
(5.28)
n 1
Beweis:
Konstruktion der un aus den ψn durch Schmidt sches Orthonormalisierungsverfahren.
Wichtiger Spezialeffekt
M
αf
βg
M
Dimension des Teilraums n = Anzahl der linear unabhängigen Element
n
†
H ist linearer Teilraum des Hilbertraumes H , falls für beliebiges f g M und α β C
∞ Teilraum wird auch als unitärer Raum bezeichnet.
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUST ÄNDE ZUM HILBERTRAUM
Unitärer Raum
r B B ϕ t¦ n § f M
Ein unitärer Raum M besitzt eine orthonormale Basis ϕ i
∑ ϕ f ϕ
n
f
k
k
l 1
n
69
dim H mit der Eigenschaft
(5.29)
Beispiel:
Wellenfunktionen im ∞-hohen Potenzialkasten
v
®«­®«­ ®«­®«­ ®«­®«­ ®­®­
®­«®­«®«­®«­ ®«­®«­ ®­®­
­«®®­«­«®®«­ ­«®®«­ ­®®­
®­«®«­ ®«­®«­ ®«­®«­ ®­®­
®­«®«­ ®«­ ®­
ª«ª«¬«ª¬«ª ¬«ª¬«ª ¬«ª¬«ª ¬ª¬ª
ª«ª«¬«ª¬«ª ¬«ª¬«ª ¬«ª¬«ª ¬ª¬ª
ª«ª«ª«¬¬«ª ª«¬¬«ª ª«¬¬«ª ª¬¬ª
ª«ª«¬«ª¬«ª ¬«ª¬«ª ¬«ª¬«ª ¬ª¬ª
ª«¬«ª ¬«ª ¬«ª ¬ª
−a
a
x
Abbildung 5.1:
M
r ψ : R C G ψ G x G J a. 0t
r ψ : R C G dx G ψ x G  ∞t
2
C
H
M ist ein unendlich dimenionaler Teilraum von H , denn Fourierreihe für ψ M
: ∑ a i 2 sin k x a$ nπ L
k 2a
∑ a u x
i L2 sin k x a$
u x :
∞
ψx
n
n
(5.30)
n 1
n
(5.31)
∞
n n
(5.32)
n 1
n
n
(5.33)
bilden vollständiges Orthonormalsystem.
Orthonormalität
u u 9 u x Š u x dx
∞
n
m
n
∞
m
(5.34)
KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
70
a$ sin k x a$ 2 a
sin kn x
L a
δm n
{
(5.35)
m
(5.36)
Berechnung der Entwicklungskoeffizienten
an
2
i
u ψ. L
a
dx sin kn x ψ x
n
Ortsdarstellung
Vektor im Hilbertraum
ψx
ψ
Zustandsvektor
u x
G G n-
n
,n
n
G
ej
δ{
¯ x ∑ e r e
, m n- δ {
G
Orthonormalität
ψ - ∑ , n ψ - n GEntwicklung
G G
∑ u x u xŒ 1 ∑ n - , n
δ x xŒ G G
dxum x un x
mn
e j ei j
mn
n n n
n n
i j
m 1
n
n
ej
dualer Vektor
Š δ {
ψ x I ∑ a u x ˜
Vektor im RB
r
Basisvektoren
uŠ x (5.37)
a
° e
1
n
n
∑n en
n
n
5
7
30
1 0 0
0 1 0
0
1
dyadisches Produkt
Basiswechsel
Gegeben sind zwei unterschiedliche vollständige Orthonormalsysteme
1
∑ G n- , n G ∑ G m- , mN
N
n 1
m 1
r G n-±t
und
r G m-±t
mit
(5.38)
Der Einfachheit halber Annahme eines N-dimensionalen Teilraumes ( ˆ Standardannahme für numerische Rechnungen, denn der Computer kann nicht mit unendlich vielen Basiselementen rechnen).
,
G - ∑ G n- n G ψ-. ∑ a G nψ
N
N
n 1
n 1
n
(5.39)
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUST ÄNDE ZUM HILBERTRAUM
G a 023
71
In der n-Darstellung ist der Zustandsvektor ψ ein N-komponentiger Spaltenvektor
G -
a1
..
.
5!6
7 aN
Der zu ψ duale (oder auch adjungierte) Vektor wird gebildet durch
,ψ G
∑ , ψ G n- , n G ∑ , n G ψ- Š
N
N
n
N
n
∑ aŠ , n G
N-komponentige Zeilenvektor a Š² aŠ aŠ BBB aŠ .
,n
G
(5.40)
(5.41)
n
n
1
N
2
Wir finden dann
, ψ G ψ-9
1
(5.42)
∑ G an G 2
(5.43)
n
N
G -
∑ , ψ G n- , n G ψN
n
In der m-Darstellung ist ψ ein Spaltenvektor
b
023
b1
..
.
bN
5!6
, m 1 ψ- 5
G 7 7 30 ,
m M ψG
Z "
∑ G m- , m!" G ψ - ∑ G n- , n G m-"Z , m G ψ bm
ψ
an
U
023
a1
..
.
aN
m
bm
mn
an
N ³ N Matrix mit U , n G m!5 6 U U U 5!6 b 5!6
7 023 ... ... ... 7 230 ... 7 Unm bm
11
d
Ud U U
wobei,
(5.45)
(5.46)
nm
1i
1N
1
UN1 UNi UNN
bN
Die i-te Spalte beinhaltet den i-ten Basisvektor des Orthogonalsystems
U ist eine unitäre Matrix.
D. h.
(5.44)
mn
8 Ud U U
UŠ 1
1
nm
1
r G m-±t
G -
in der Basis n .
inverse Matrix
(5.47)
(5.48)
KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
72
Andere Basissysteme
Der Operator
2m
∆ V r L
Hop
definiert über seine Eigenwertgleichung
.
HopUn x
r ±t
(5.49)
E n un x
(5.50)
das vollständige Orthonormalsystem u n x . Von zentraler Bedeutung sind für die Quantenmechanik
auch der Impulsoperator in Ortdarstellung
C i ∇ r r
pop
und der Ortsoperator
(5.51)
(5.52)
op
Auch diese Operatoren erzeugen ein vollständiges Orthonormalsystem
exp ikr p exp ikr exp ik r j 2π i ∇ j 2π p j 2π
Für ebene Wellen gilt das Fourierintegral für alle normierbaren Wellenfunktionen
1 d kψ k exp ikr ´
ψ r j 2π
1. Impulsoperator
op
3
(5.53)
(5.54)
Die Eigenfunktionen des Impulsoperators bilden ein kontinuierliches (überabzählbares) und
nicht normierbares Funktionssystem.
Normierung auf δ-Funktion
ikŒ r exp ikr δ k kŒ c
dann folgt nach linksseitiger Multiplikation von (5.54) mit ¶ µ µ e und Integration ˜
l n
1
2π
3
2
d 3 r exp
exp
ik r
2π
3
(5.55)
d 3 r die
Berechnung der Entwicklungskoeffizienten:
l j 12π n
3
ikŒ r ψ r 9 l 1 u"dZur d kŒ ψ kŒ 2π n
"! exp ikr exp ik Πr "Z
c
¨
e
d kŒ ψ kŒ δ k kŒ ψ k 3
d 3 r exp
3
3
(5.56)
δk k
3
Vollständigkeitsrelation
(5.57)
5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUST ÄNDE ZUM HILBERTRAUM
Setze (5.57) in (5.54) ein
: l 1 2π n
δ r r Œ¸: l 1 2π n
ikr exp ikr Œ· ψ r Œf
d k exp ik r r Œ·B
Œ
3
ψr
d 3 r d 3 k exp
3
2. Ortoperator
G
-
73
(5.58)
3
(5.59)
Die Eigenvektoren r des Ortsoperators lassen sich im Ortsraum nur formal durch Funktionale
darstellen
δ r r0
δ x x0 δ y y0 δ z z0
(5.60)
x y z sind die kontinuierlichen Eigenwerte des Vektoroperators
r δ r r rδ r r r δ r r r0
0
0
0
op
0
0
0
(5.61)
0
Zeigen durch Anwendung von Testfunktionen
d r f r rδ r r r f r r d r f r (5.62)
Ortdarstellung des abstrakten Vektors ψ - ˆ Projektion auf r - .
G G
,
(5.63)
ψ r r ψ G
Ortdarstellung des Impulsvektors p G
, r p - 1 exp ikr p k
(5.64)
G j 2π
Ortdarstellung des Energievektors n G
, r n- u r (5.65)
G
Die Ausdrücke , r p - und , r n - sind die Skalarprodukte der Eigenvektoren von je zwei unterG
G
schiedlichen Basissystemen.
3
0
0
0
3
0
n
, r p - ˆ
G
unitäre Matrix zum Übergang der p-Darstellung in rDarstellung.
. j
ψr
1
2π
d 3 r exp ir k ψ k
(5.66)
74
KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS
Kapitel 6
Operatoren im Hilbertraum
G ¹ G ψŒ - ¹ Ô ¹ G ψund ein Bra-Vektor , ϕ ein Bra-Vektor , ϕ Œ
G
G, ,
ϕŒ ϕ Ô
G G
G Œ-
Ein Operator Ô im Hilbertraum ordnet einen Ket-Vektor ψ einem Ket-Vektor ψ zu
1
1
(6.1)
1
6.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen
Ein linearer Operator hat die Eigenschaften
G )- b G ψ -$g aÔ G ψ -) bÔ G ψ , ψ G a , ψ G b Ô a , ψ G Ô b , ψ G Ô Ô a ψ1
und
2
1
r , Gt
1
2
2
1
2
(6.2)
(6.3)
Die in der Quantenmechanik vorkommenden Operatoren sind in der Regel linear. Wir setzen ein
VONS ϕn voraus und setzen die vollständige 1 in Gleichung (6.1) in den markierten Stellen ein.
Wir erhalten auf Grund der Linearität von Ô
∑ G ϕn - , ϕn"Z G ϕ Œ - ∑ , ϕn G "!O G ϕn ¨ - , ϕn"!¨ G ϕ -
n
nn
bn
¨
b Oa Onn
¨
an
¨
(6.4)
Für die Entwicklungskoeffizienten ergibt sich eine zu 6.1 äquivalente Matrizengleichung
a , ϕ ϕ-B b b , ϕ ϕŒ -B
G
G
wobei die Vektoren a und b gegeben sind durch
a
und die Matrix
n
n
n
, n Ô nŒ·-B 20
O O ¨
32
G G
nn
75
n
BB
BB BB
B B B B BB BB
O11 O12 O13
O21 O22 O23
O31 O32 O33
(6.5)
(6.6)
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM
76
Die Operatoren lassen sich also durch unendlich-dimensionale Matrizen darstellen. Darstellungsfreie
Repräsentation des Operators
Ô ∑ ϕn ϕn Ô ϕn ϕn
(6.7)
,
,
G¨ - G G ¨ - ¨ G ,
,
G ψ- ∑ ϕ G ϕ- ϕ G nn
Analog
n
(6.8)
n
n
Anmerkung zur darstellungsfreien Representation des Operators
darstellungsfrei:
G -
Die Basisvektoren ϕn sind als abstrakte Hilbertraumelemente ausgedrückt und nicht als N-Tupel in
einer konkreten Basis.
Analogie zu einer linearen Abbildung  im reellen R3 mit
y
Âx
x und y
R
3
Koordinatenfreie Darstellung von x
∑ x e
5
x
x 3 x 7
0 x
3
x
ei : orthonormierte Einheitsvektoren
i i
(6.9)
i 1
1
Darstellung des Vektors x im System der e i
2
(6.10)
3
Operator im Hilbertraum H
Abbildung im reelen R 3
∑¨ O ¨ G ϕ - , ϕ ¨ G
 ∑ A
e ° e
"Z Dyadisches Produkt
r ,ϕ Gt
r e e e t
O ¨ : unendlich-dimensionale A 3 x 3 Matrix
3
Koordinatenfreie Darstellung
Ô
nn
n
ij
n
Basis
n
Darstellung
i
j
ij
nn
1
2
3
ij
nn
Matrix
6.2 Adjungierter Operator
Betrachte zunächst den Bra-Vektor
u"Zau a , ψ G ψ-B
Spalten
Das Ket , ψ ist der zu ψ - adjungierte Vektor, , ψ ψ - d
G
G
G G
ad Darstellung
º ψ- d , ψ ∑ aŠ , ψ
aZŠ u
u"
G
G
G
G -
ψ
∑ an G ψn -
º Darstellung
n
n
n
n
n
n
T
n
Zeilenvektor
(6.11)
(6.12)
6.3. HERMITESCHER (SELBSTADJUNGIERTER) OPERATOR
77
T : transponiert
Es gilt dann
, ψ ψ- G
∑ G an G 2
n
º Darstellung
Š ∑ G an G 2
a Ta
n
aŠ BB aŠ 1
023
N
d
a1
..
.
aN
5!6
7 ∑ G an G 2 (6.13)
n
Anschauliche Definition des zu Ô adjungierten Operators Ô über seine Darstellung
º
Ô 2032
O
O11 O12 O13
O21 O22 O23
O31 O32 O33
BB B B B B
OŠ
OŠ
OŠ
º
OŠ 2032 OOŠŠ OOŠŠ OOŠŠ
Ô d
BB BB BB
T
11
12
13
21
22
23
31
32
33
BB
BB
BB
BB
BB
BB
BB
BB
(6.14)
(6.15)
Von der allgemeinen Matrizenrechnung abgeleitete Regeln ( Übung)
Ôd d Ô
Ô Ô d Ôd Ôd
Ô ψ-B d , ψ Ôd G
G
Wendet man Regel 3 auf O d ϕ -$ d an, erhält man
G
, ϕ Ô ψ-. , Ôd ϕ ψ- § ϕ- ψ-»
G G G
G G
Definition von Ôd ohne Darstellung
wichtig!
1
2
2
1
H
(6.16)
6.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator
Definition: Ein Operator ist genau dann hermitesch, wenn gilt
Ô
oder äquivalent
Ôd selbstadjungiert
, ϕ Ô ψ- , Ôϕ ψG G
G
Diese Operatoren sind von zentraler Wichtigkeit für die Formulierung der Quantenmechanik.
(6.17)
(6.18)
78
KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM
Kapitel 7
Allgemeine Postulate der
Quantenmechanik
BG
P1: Zustand eines Systems
Der Zustand eines Systems ist zu jedem Zeitpunkt durch einen Zustandsvektor ψ t im Hilbertraum spezifiziert. ψ t enthält alle zugänglichen Informationen über das System.
BG
P2: Zu jeder physikalischen Messgröße A (Observable) gehört ein Hermitescher Operator.
Konstruktion: Klassisch ist jeder Observablen eine Funktion F r p zugeordnet.
^_ µ V r 9
` _a p
F r p
r l r³ p
p2
2m
Z E p r Energie
Impuls
Ort
Drehimpuls
Quantenmechanisch wird in dieser Funktion durch Einsetzen des Quantenmechanik-Operators ein
Operator.
Klassisch
Quantenmechanik
p
pˆ
Impuls
r
Ort
Energie
Drehimpuls
rˆ
µ V r rx p
µ V rˆ rˆ ³ pˆ
2
pˆ
2m
p2
2m
Überkomponenten definiert
Wie ist die Funktion eines Operators â definiert?
79
KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
80
¼
w ∂a∂t n ¼¼¼ a F̂ Œ â ∑ n!1 w ∂∂F̂â n
¼
Hermizität des Ortsoperators in einem Ortsoperator x
x̂ϕ Š ψdx x ϕ x B Š ψ x dx ϕ Š x x ψ x B dx
G
.
F a
2
1
∑ n!
n
n
a 0
n
n
n
2
¼¼
¼¼
¼
ân
(7.1)
a 0
Š
ϕ x̂n ψdx
(7.2)
7.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN HERMITISCHER OPERATOREN UND DER MESSPROZESS81
7.1 Allgemeine Eigenschaften hermitischer Operatoren und der Meßprozess
G -
Ein hermitischer Operator  hat reelle Eigenwerte an . Die Eigenvektoren ψn können so gewählt
werden, dass sie ein vollständiges Orthonormalsystem bilden ( Übungen).
, ψ ψG
Mit den Elementen ψ - kann der Operator dargestellt werden als
G
 ∑ , ψ G  G ψ - G ψ - , ψ G
∑a , ψ G ψ - G ψ - , ψ G
∑a G ψ - , ψ G + ∑a P
Projektionsoperator auf , ψ P ψ - ,ψ G
G
G
Allgemeine Definition eines Projektoperators P̂
G ψ-
∑ Wn G ψn - ;Wn (7.3)
n
n
n
m
n
m
(7.4)
n
mn
n
m
n
n
n
m
n
(7.5)
n n
(7.6)
mn
n
n
n
n
n
n
(7.7)
n
P̂
d P̂
2
P̂
P̂
Postulat 3: Messung und Eigenwerte eines Operators
G B G B-
Das einzig mögliche Ergebnis einer Messung der Observablen A am Zustandsvektor ψ t sind die
reellen Eigenwerte an von Â. Wenn das Resultat einer Messung von A der Wert a n ist, dann ist der
Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung gegeben durch die Projektion von ψ t auf den
Eigenvektor ψn .
ψ nach
ψn ψn ψ t
Wn t ψn
(7.8)
G -
G - , G B-
G -
G
Postulat 4: Statistisches Resultat von Messungen
G , ψ ψ- W P a (7.9)
G G G G G
Bei einer m-fachen Entartung des Eigenwertes a wird die Wahrscheinlichkeit gegeben durch
P a ∑ , ψ ψ - ∑ W
(7.10)
G G G G G Messung einer Observablen an einer Gesamtheit von Einzelsystemen. Einzelsysteme ohne gegensei Erwartungswert A¯der Observablen A im Zustand
tige Wechselwirkung, vor Messung Zustand ψ G
G ψ
A¯ (7.11)
∑ a P a ∑ G , ψ G ψ - G
∑ a , ψ G ψ - , ψ G ψ- , ψ G Â G ψ-
(7.12)
Wenn eine Observable A eines Systems im Zustand ψ gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit,
einen der nichtentarteten Eigenwerte a n des entsprechenden Operators  zu erhalten, gegeben durch
n
n
2
n
n
2
n
m
n
m
2
j
n
n
j 1
n n
j 1
n
n
n
n
n
n
j 2
n
n
n
2
KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
82
Postulat 4 für kontinuierliche Spektren
G - a G a- a R Eigenwert zu G aDie Wahrscheinlichkeitsdichte bei einer Messung von  hat einen Wert zwischen a und a finden, wenn der Ausgangszustand ψ - ist.
G dP a G ψ a G G , a G ψ- G
da
dP a ā da a
da a ψ a da
G G
,
,
,
da a ψ G a- a G ψ-. ψ G Â G ψ
mit A da a a - , a
G G
 a
2
2
2
Beispiel 1:
Ortsoperator in 1d
A
x̂
a
G ψ x G G , x G ψ- G
dx x ψ x x̄ G G
a p
d pp p - , p
G G
ψ p , p ψG G G G G
, p ψ- dx , p"Z x - , x"! ψ G
c ½ cG h( e
e·¾ Gc e
1
dx exp ikx ψ x j 2π
p
Fouriertransformierte von ψ x mit k , ψ p̂ ψ-. d p ψ p p G G
G G
2
2
2
A
p̂
dP p p̂
2
:
dp
ψ p
p̄
2
1
2π
da. Wir
(7.14)
(7.15)
(7.16)
(7.17)
x
dP x
dx
Impulsoperator in 1d
(7.13)
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
ψx
exp ipx
2
(7.23)
(7.24)
Beispiel: Gauß sches Wellenpaket
ψ x t q
mit
ωt B ψ̃ k j ψ̃ k l 2σπ n exp σ k k ψ p t q 1 dx exp ikx ψ x t k p
j 2π
1
2π
2
0
∞
dk exp i kx
(7.25)
∞
1
4
2
0
0
2
(7.26)
(7.27)
7.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN HERMITISCHER OPERATOREN UND DER MESSPROZESS83
ikx 1 dkŒ exp ikŒ x ω ψ̃ kŒ·
j 2π 1
exp iωt dk Œ ψ̃ k Œ dx exp i k Œ k x 2π
c "!
¨
e
exp iωt ψ̃ k ψ p t ψ̃ k G
G G G
l 2σπ n exp l 2σ p p n
j
∞
dx exp
∞
∞
∞
∞
∞
(7.28)
(7.29)
δk k
dP p dp
2
dP (p)
dp
1
2π
2
1
2
2
0
(7.30)
2
0
0
2
(7.31)
2
(7.32)
Von Zeit abhängig!!
p
p0 = h k 0
p̄
dP p
p
dp
dp
p0
(7.33)
Unschärfe
,
G G -
Diese Standardabweichung bei einer Messung der Observablen A am Zustand ψ mit ψ A ψ
+ , ψ Â A¯ ψ-$
, ψ GG Â 2AA¯G A¯ G ψ-$
, ψ G Â A¯ G ψ-$
, ψ 2A¯Â ψ- 2A¯, ψ  ψG G 2A¯ G G
∆A
1
2
2
2
2
mit
2
2
A¯
(7.34)
1
2
(7.35)
1
2
(7.36)
(7.37)
2
A¯ G ψ-. 0 wenn ψ - ein Eigenzustand von A ist, Â ψ - a ψ - , dann ist A¯ , ψ Â ψ -
G
G
G G G
¯
 A ψ - 0
∆ψ 0 G
Betrachte
Â2
2
2
2
(7.38)
a und damit
(7.39)
Schlussfolgerung geht in beide Richtungen:
G -
Eine Messung ohne Unschärfe ∆A 0 geht nur dann, wenn das System in einem Eigenzustand d a
des Operators  ist. Dann wird mit Sicherheit der Eigenwert a von a gemessen.
G -
KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
84
7.2 Messung verschiedener Observabler
Betrachte zwei Observablen A und B, dann gilt folgende Unschärferelation
∆A ∆B X 1 , ψ Â B̂ ψ- 4 G
G G G
2
2
2
(7.40)
wobei A B der Kommutator der Operatoren A und B ist, der definiert ist durch
 B̂)
ÂB̂
B̂Â
(7.41)
Beweis
â
Â
A¯
B¯
 Bb̂œ B̂ â b̂
∆A , ψ â
∆B , ψ G b̂
G
2
2
2
2
hermitesch
hermitesch
G ψψ-G
Aus der Schwarz schen Ungleichung folgt dann,
∆A ∆B , â - , b̂ - , âψ âψ- , b̂ψ b̂ψG¡ âψ ¡ G ¡ b̂ψG ¡ G X , âψG b̂ψG - G G
G G G
2
2
2
2
2
Benutze
2
2
b̂â 1 â b̂
"Z 2 Z" âb̂ b̂â d b̂d ad âd bd b̂â âb̂ ε̂ âb̂
1
âb̂
2
γ̂
(7.42)
(7.43)
(7.44)
ε̂
(7.45)
Übungen:
γ̂:
ε̂:
hermitescher Operator
antihermitescher Operator
, ψ G ε̂ G ψ- , ε̂ψ G ψ- , ψ G ε̂ψ- Š ε¯Š
Erwartungswerte rein imaginär
,
,
G âψ G b̂ψ- G G1 ψ, G âb̂ G ψ- G ,
4 G ψ G "Zγ̂ G ψ -) ψ G "Zε̂ G ψ - G
reell
imaginär
J 14 G , ψ G "Z¿γ̂ G ψ - G 14 G , ψ G ε̂ G ψ- G
∆A ∆B X 1 , ψ A B ψ
4 G
G G G
ε¯
2
(7.46)
2
(7.47)
2
2
(7.48)
2
(7.49)
0
2
2
2
(7.50)
7.2. MESSUNG VERSCHIEDENER OBSERVABLER
g
1. Verträgliche Observable  B̂
85
0
Zwei Operatoren A und B sind dann und nur dann miteinander vertauschbar (verträglich), wenn
sie ein vollständiges Orthogonalsystem gemeinsamer Eigenvektoren haben. Nimm Eigenbasis
von
 an
a n an
δnn
∑ an an 1
r G -±t
n
BA
G Π-
∑ an G an - , an G
∑ G an - , an G B G a n ¨ - ,
∑ an G an - , an G B G a n ¨ - , an ¨
n
AB
AB
,
Â
BA
,
G - G
nn
¨
(7.51)
G
a a ¨ . 0
, a B a ¨ - a a ¨ 0
G G
¨
0 nn
n
Keine Entartung:
an
Œ
n
n
n
n
, a B a ¨ - 0
§ G À ¨ G
B a ¨ - λ a ¨ G
G
§ > aÀ ¨¨
n
n
n n
n
(7.52)
(7.53)
(7.54)
(7.55)
n
n n
n
n
(7.56)
d. h., die Eigenvektoren von  sind auch Eigenfunktionen von B̂
unschärfefreie gleichzeitige Messung von A und B: Systemzustand ist einer der gemeinsamen Eigenvektoren von  und B̂.
Bei Entartung:
BB
Die Observablen A B C M bilden einen vollständigen Satz von kommulierenden Observablen, wenn es genau ein System von Eigenzuständen gibt.
Def: Ein reiner Zustand wird durch die Messung eines vollständigen Satzes von kommutierenden Observablen präpariert
+
(7.57)
G ψ- G ψ a b c BB m B- G a b c BB m Die Zahlen a b c BB m sind die Quantenzahlen, die den Zustand ψ - eindeutig festlegen. Ist
G
das System in diesem Zustand, können alle Observablen ohne Unschärfe gemessen werden.
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2. Nichtverträgliche Observable
Aus prinzipiellen Gründen nicht gleichzeitig scharf messbar.
Wichtiges Beispiel: Ort und Impuls
i
i
KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK
86
In Ortsdarstellung, 1d
i dxd x̂ x
p̂ x̂9 i d x x i d
dx
dx
d
d
i % x dx dx x& i p̂
(7.58)
(7.59)
(7.60)
Betrachte die Wirkung des Operators auf eine Funktion
: x d ψ xŽ d xψ x
&
dx
dx
d x dx ψ xŽ ψ x x dxd ψ x
ψ x
i % x d d x ψ x: i ψ x
dx dx &
% x dxd d
x ψx
dx
x̂ p̂) i
Betrachte
A
∆x
∆p
∆A ∆B
p̂
2
B
x
(7.61)
(7.62)
(7.63)
(7.64)
Vertauschungsrelation
X 12 G , ψ G A B G ψ- G
x̂ p̂) i Heisenberg sche Unschärferelation
(7.65)
(7.66)
Kapitel 8
Zeitentwicklung des Systems
Postulat 5:
B G B-
B- G
G B G
Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors ψ t wird durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
bestimmt
∂ ψt
i
Ĥ ψ t
(8.1)
∂t
Schrödinger-Gleichung ist erster Ordnung in Zeit
ψ t folgt, wenn ψ t 0
ψ 0 vorgegeben ist.
Ansatz:
B-:
G
i ∂ Û t t ψ t B-9
∂t
G
∂
i Û t t 9
∂t
ψ t B G
U t t Zeitentwicklungsoperator
ĤÛ t t ψ G
ĤÛ t t ψt
0
Û t t0
0
(8.2)
0
(8.3)
0
0
0
0
Wichtiger Spezialfall
0
V r nicht V V r t U t t exp i Ĥ t t B
1 i
Û t t 9
∑ n! t t $ Ĥ
1 i
∂ Û t t 9
n t t Ĥ
∑
∂t
n! i Ĥ ∑ n 1 1 ! i t t $ u"Z'
i Ĥ Û t t ∂Ĥ
∂t
0 z. B. bei V
0
Beweis:
- G
G G
(8.5)
(8.6)
0
∞
0
0
n
(8.4)
n
(8.7)
n 0
n
0
0
n 1
n
(8.8)
n 1
0
n 1
n 1
Ĥ n
1
(8.9)
m n 1
0
87
(8.10)
KAPITEL 8. ZEITENTWICKLUNG DES SYSTEMS
88
i
9
Ud
Ud U ∂
Û t t0
∂t
i exp Ĥ t t B i i exp Ĥ t t B exp Ĥ t t B U ist unitär
Ĥ
U t t0
(8.11)
(8.12)
0
0
0
1
(8.13)
Teil III
Anwendungen
89
Kapitel 9
Das zentralsymmetrische Potenzial
dreidimensional, Hamiltonoperator rotationsinvariant
9.1 Der Drehimpulsoperator
Konstruktion nach Postulat 2
l r ³ p *
³ 5
L̂
30 L̂ 7 30
L̂
klassisch
quantenmechanisch
Lˆ rˆ pˆ
ŷ p̂z
ẑ p̂x
x̂ p̂y
x
y
z
d L̂i ist hermitisch, L̂i
ẑ p̂y
x̂ p̂z
ŷ p̂x
5
7
L̂i
d ŷ p̂ Lx
z
ẑ p̂y
d p̂d ŷd p̂d ẑd p̂ ŷ ŷ p̂ ẑ p̂ L
z
z
y
z
y
x
p̂y ẑ
(9.1)
(9.2)
reelle Eigenwerte ˆ mögliche Messwerte
Kommutatorbeziehungen (Übungen)
Li und L j mit i
>
L̂ L̂ g
L̂ L̂ )
L̂ L̂ )
x
y
y
z
z
x
i L̂
L̂ L̂ L̂ L̂ i L̂
L̂ L̂ L̂ L̂ i L̂
L̂x L̂y
L̂y L̂x
z
y z
z y
x
z x
x z
y
j, nicht verträgliche Variablen können nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.
Definiere den Operator für das Quadrat des Drehimpulses.
L ˆ L ˆ L ˆ
2
Lˆ
2
2
2
x
y
z
91
(9.3)
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
92
L ˆ L̂ g L ˆ L̂  L ˆ L̂ ) 0 es gilt (Übungen)
2
2
2
(9.4)
(d. h., Lˆ ist verträglich mit L̂ )
Es können gleichzeitig das Betragsquadrat und eine Komponente scharf gemessen werden. z. B.
x
y
z
2
i
L2 und Lz .
L2 und Lz
z
Lz
L
Abbildung 9.1:
Die Komponenten Ly und Lz sind unbestimmt.
rˆ ³ pˆ C i r Š ³ ∇
5
z 5!6
y
L
30 L 7 i 023 z x 7 L
x
y
Übungen in Kugelkoordinaten (x r sin ϑ cos ϕ y r sin ϑ sin ϑ z r cos ϑ)
5!6
sin ϕ
cot ϑ cos ϑ i 023 cos ϕ cot ϑ sin ϕ 7 Á i l e ∂ϑ∂ sin1 ϑ e ∂ϕ∂ n L̂ L̂ L̂ L̂
A sin1 ϑ ∂ϑ∂ % sin ϑ ∂ϑ∂ & sin1 ϑ ∂ϕ∂ \
Ortsdarstellung des Drehimpulsoperators
Lˆ
∂
∂z
∂
∂x
∂
∂y
x
y
z
∂
∂ϑ
∂
∂ϕ
2
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϑ
2
x
2
y
∂
∂y
∂
∂z
∂
∂x
ϕ
ϑ
2
z
(9.5)
(9.6)
(9.7)
(9.8)
2
2
2
2
(9.9)
9.1. DER DREHIMPULSOPERATOR
93
z
r
υ
ϕ
y
x
Abbildung 9.2: Skizze zum besseren Verständnis
Eigenfunktionen der Operatoren L̂2 und L̂z
Die Operatoren L̂2 und L̂z sind verträglich.
gemeinsamen Eigenvektoren.
Sie haben ein vollständiges orthonormales System von
Eigenvektoren von L̂2
Eigenwertgleichung in Ortdarstellung
q A 1 ∂ % sin ϑ ∂ 1 ∂ \ φ ϑ ϕ
∂ϑ &
sin ϑ ∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ
L φ ϑ ϕ
Lösung: Kugelfunktionen Y {
φ ϑ ϕ. Y { ϑ ϕ l m ! 2l 1 P { cos ϑ$ exp imϕ
4π l m Hier sind P { die Legendre schen Polynome
1 m x 1
dd
P { x .
1 x h
2 l!
dx d
L̂2
φϑϕ
2
2
2
2
(9.10)
(9.11)
lm
lm
lm
(9.12)
lm
2 m 2
lm
l
l m
l m
2
l
(9.13)
X m ÂX l Die Eigenwerte sind
l l 1
L l 0 1 2 3 BBZ
(9.14)
d. h.,
L̂ Y { ϑ ϕ I
l l 1 Y { ϑ ϕ (9.15)
Eigenwert
2l 1-fache Entartung dieses Eigenwertes für
l l 1 ist von m unabhängig.
l X m X™ l.
Beispiel l 3
L (9.16)
l l 1 12 mit der Bedingung
l
2
2
z
2
ln
lm
2
2
2
2
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
94
3 m š 3 l 3 m C 2 l 3 m š 1p BB l 3 m 3 haben
{
Die Eigenvektoren Yl m mit l
dasselbe Drehimpulsquadrat.
L̂2 ist ein hermitescher Operator.
Eigenfunktionen können so gewählt werden, dass sie ein vollständiges Basissystem bilden.
Š¨ ¨ Raumwinkel
d cos ϑ d ϕY Š¨ ¨ ϑ ϕ Y ϑ ϕ. δ ¨ δ ¨ ¨
Orthonormierung
Š
∑ ∑ Y ϑŒ ϕŒ Y ϑ ϕ. δ cos ϑŒ Ž cos ϑ $ δ ϕ ϕŒ Vollständigkeit
Einführung von abstrakten Vektoren l m - .
G
Y ϑ ϕ ist “Ortsdarstellung” von l mG
Y { ϑ ϕ , ϑ ϕ l m -
G
Ort r ˆ Raumwinkel Ω
G r - G ϑ ϕ- .
, l Œ mŒ l m-9 dΩY ¨ ¨ Ω Y Ω δ { ¨ δ ¨
G
∑ ∑ G lm - , lm G 1 Vollständigkeit Die Y ϑ ϕ sind so gewählt, dass sie auch Eigenfunktionen zu L̂ sind
l m ! 2l 1 ∂
L̂ Y
i ∂ϕ 4π l m ! P { cos ϑB exp imϕ
i i m Y m Y Mögliche Messwerte von L sind m .
'"ZΩu
d
1
Yl m Ω Ylm Ω
2π
lm
lm
1
ll
mm
0
∞
m l
lm
lm
l 0m
(9.17)
l
lm
lm
lm
lm
ll
mn
(9.18)
(9.19)
m
l 0m
(9.20)
l
lm
z
z lm
lm
lm
lm
(9.21)
(9.22)
z
Anmerkung:
∑
ˆ l
Durch die Bildung spezieller Linearkombinationen φ
m
2
am Ylm hätten wir die Eigenvektol
ren ϕ auch als simultane Eigenvektoren von L z und L wählen können.
9.1. DER DREHIMPULSOPERATOR
95
G Ã l - G l l 1B -pBB G ll - sind bezüglich L̂ nicht
Die bezüglich L̂2 entarteten Eigenvektoren l
entartet.
z
Ein Zustand mit den unschärfefrei gemessenen Messwerten
L2
und
ist eindeutig bestimmt
l l 1
l mh
2
z
reiner Zustand.
L̂2 und L̂z bilden bezüglich der Funktionen φ ϑ ϕ einen vollständigen Satz kommutierender
Observablen.
Durch die Angabe der Quantenzahlen m und l ist der quantenmechanische Drehimpulszustand
eindeutig bestimmt.
Veranschaulichung
Ly[h]
4
3
Die quantenmechanisch erlaubten Impulse liegen im Impulsraum auf diskreten Kugelschalen mit dem Radius
2
1
Lx [h]
− L z[h]
L
l l 1
Beispiel l = 3
bezüglich einer (z. B. durch ein schwaches Magnetfeld definierten Achse) kann l z nur bestimmte
Werte einnehmen, die durch
cos ϑ
m
F l l 1
m
l B B l
(9.23)
gegeben sind.
Die Orthogonalkomponenten Ly und Lx sind unscharf, was einer Präzession um die z-Achse entspricht.
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
96
9.2 Schrödinger-Gleichung im zentralsymmetrischen Potenzial
Y V r . Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Hψ r @%€~ ∆ V r ψ r E ψ r (9.24)
&
2m
Für das zentralsymmetrische Potenzial gilt V r
lautet dann
2
In der Übung wurde gezeigt, dass wir in Kugelkoordinaten schreiben können
n 1 L ˆ &
Lˆ C % ∂ Y ϑ ϕ cos ϑ ∂Y ϑ ϕ ∂ϑ
∂ϑ
∆
mit
2
2
2
% l
∂
1 ∂
r2
r2 ∂r
∂r
2
lm
lm
2
(9.25)
2
1
∂2
sin2 ϑ ∂ϕ2
&
(9.26)
2
Da Lˆ nur von ϑ und ϕ abhängig ist, gilt
∆ L ˆ g 0 und V r L ˆ ) 0 V r ϑ ϕ L 0 weil, z. B. – ϕ —Ä > 0 , dann folgt
Wenn V V r ϑ ϕ H L ˆ g 0 Lˆ ist in einem zentralsymmetrischen Potenzial eine Erhaltungsgröße.
Weiterhin gilt für jede Impulskomponente L , Lˆ L g 0 und L ist nur von ϑ ϕ abhängig,
∆ L̂ ) 0 V r L ) 0
Ĥ L̂  0 2
2
(9.27)
∂
∂ϕ
2
2
(9.28)
2
2
i
i
i
i
i
i
(9.29)
(9.30)
Jede einzelne Drehimpulskomponente bleibt erhalten.
2
Die Operatoren Ĥ Lˆ L̂z sind ein vollständiges System kommutierender Observabler und haben genau ein gemeinsames vollständiges Orthogonalsystem.
Ein reiner Zustand ist ein gemeinsamer Eigenvektor, der durch die Eigenwerte der Operatoren Ĥ Lˆ
und einem L̂i z. B. (L̂z ) eindeutig bestimmt ist.
Ansatz für den Eigenzustand
: R r Y ϑ ϕ
^
`
a ~ 1 ∂ l r ∂ 1 Lˆ ÇÈ V r Ê ÉÌË R r Y ϑ ϕ
Í
2m ÅÆ r ∂r
∂r n
r
E R r Y ϑ ϕ
ψr
lm
(9.31)
2
2
2
2
lm
2
2
lm
(9.32)
(9.33)
9.2. SCHRÖDINGER-GLEICHUNG IM ZENTRALSYMMETRISCHEN POTENZIAL
8
1 n 2m
"Z r V r Ž E ÐÇÈ ÏÏ R r Y ϑ ϕ
ÅÎÎ l
Æ
l l 1
V r ) 2m
V
r
% 2m
r1 drd l r drd n ∂
1 ∂
r2
2
2m r ∂r
∂r
2
2
l l
lm
2
97
(9.34)
VDreh
2
l
ef f
E R r &
2
2
2
2
Vel f f r
l
(9.35)
0
(9.36)
Übungen
R r χ r r
% ˆ2m
drd V r E & χ r 0
B
χ r 0 0 und V r . ∞ 0
Ansatz
l
l
2
2
l
ef f
2
Regularitätsbedingung
(9.37)
l
l
J
Für E 0
Für jedes E gibt es genau eine Lösung.

E 0
Diskrete Eigenwerte En
Rl r
durch Angabe von E
J
. 0 oder En

0 eindeutig bestimmt.
ψr
Rl r Ylm ϑ ϕ
durch die Angabe von E l und m vollständig bestimmt.
Beispiel: rechteckiger Potenzialtopf
J Kurzreichweitiges Potenzial
es gibt
ein R0 , sodass V r R0
0 ist.
a
r
E2
V
E1
−V0
Ansatz für r
E 0
J
J
V0 >0
a
J a:
χr
E
g
B exp ikx
2m
k
2
2
C exp
ikx
(9.38)
(9.39)
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
98
Für r

a
χ
V E χ χ r 09
Œ Ñ
2m
0
ef f
2
 a 0
(9.40)
(9.41)
Die Lösung ist bis auf die Normierungskonstante A eindeutig
A χ0 r
χr
V
(9.42)
Stückelungsbedingungen für Wellenfunktionen und deren Ableitung bei r a
eindeutige Lösung.
Für jede Energie gibt es eindeutig festgelegte Koeffizienten A und B
Für E  0
B exp κx ) C exp κx (9.43)
χ r J a :
E 2m
(9.44)
κ
Alle mathematisch möglichen Lösungen mit C > 0 müssen verworfen werNormierbarkeit von χ
C 0.
den.
Nur bei diskreten Energien E gibt es genau eine Lösung.
χ r Im Potenzialtopf
sin k Ò x 0
kÓ
Ò F
2
2m E
0
2
n
9.3 Das Wasserstoffatom
=
d A ∆ e E \ ψ r 0
2m
GrG
ψ r R r Y ϑ ϕ r χ r Y ϑ ϕ Vereinfachung des Zweikörperproblems. Das Elektron bewegt sich im Coulombpotenzial
m p me
des ortsfesten Protons bei r p 0
r re r p re µ 1 mme e me m.
M
2
Ansatz
e
2
ln
e
(9.45)
(9.46)
ln
führt auf die Gleichung
ÅÎÎ ˆ Î
d2
2m dr2
2
Æ
1 ÇÐÏ Ô2m
r E ÏÏ χ r 0 È
G G !" e2
r
2
l l
l
2
(9.47)
Ve f f
Kepler Problem
Ve f f
L2
2m r2
γ
mM
r
(9.48)
J R ² 0 Schwierigkeit:
langreichweitiges Potenzial, d. h. es gibt kein R 0 für das gilt, V r
gleichung schwieriger als bei kurzreichweitig.
0
Lösung der Radial-
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
99
steiler
Anstieg
l = oo
schematisch
h² l(l +l) = V
2m r²
Dreh
V eff
schneller Abfall
klassisch
r
elliptische Bahn E > E lmin
kontinuierliche Energie
klassische kreisförmige Bahn
E=E
l
min
e²
r
−
Abbildung 9.3: Skizze
Lösung der Radialgleichung
Allgemeine Forderungen für V
¤
lim Ve f f r
r
∞
0
¤
0 lim Ve f f r
r
0
(9.49)
Das Verhaltem am Ursprung wird durch den Drehimpulsterm bestimmt
1
χŒ χ 0
r
l l
lineare Dgl. 2. Ordnung
l
χ c r scheidet wegen lim ¤ r ∞ aus. χ r Lösung überall eindeutig.
Asymptotisches Verhalten r ∞ V 0
l
1 2
ergeben zwei linear abhängige Lösungen χ i i
χi
2
(9.50)
2
r
0
c r κi
κ1
l
1
c rl
κ2
d 1
C l Lösung für V , eindeutig bestimmt
ef f
%€ 2m
drd E & χ r 0 2
2
2
(9.51)
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
100
Gebundene Zustände: E

0
)
χr
B
B exp κr
κr C exp
χ r ∞ 0
κ
C exp
j κr 2m E
J
0
(9.52)
(9.53)
Konstruktion der Lösung im gesamten Bereich durch Sommerfeld sche Polynommethode.
Ansatz
χr
mit dem Polynomansatz
κr r d P r P r ∑ α r l 1
(9.54)
k
(9.55)
exp
k
k
Das Einführen einer dimensionslosen Variablen führt zu
ρ
Betrachte m p
=
me 0 53Å
2
r
aB
aB
me
Bohr scher Radius
2
r 0
r r r
r m
µ m
1
(9.56)
p
e
p
e
e
me
mp
Schrödinger Gleichung
^__
`_
∆
_a 2m
e
m
__
E É _Ë_ ψ r c e zentralsymmetrisch Í
ψ r χ r Y ϑ ϕ
r
"Ze r
2
2
0
(9.57)
V r
Ansatz
e
(9.58)
lm
Radialgleichung
ÅÎÎ
ÎÎ ~ ÎÎ
ÎÆ
d2
2m dr2
2
1 ÇÐÏÏÏ
Ô2m
"Z r ÏÏ Ï
"Z
ÈÏ
e2
r
2
l l
2
VDreh
Ve f f
E χe r
0
(9.59)
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
101
V
proportional
1
r²
V eff
r
proportional − 1
r
Abbildung 9.4:
Quanten-Kepler-Problem
Vgrav
Ve f f
{ r9
grav
|
γmM
V
r
L2
mM
γ
2mr2
r
e2
r
(9.60)
(9.61)
L2 : klassisches Drehimpulsquadrat kontinuierlich
l l 1 2 : quantenmechanisches Drehimpulsquadrat, diskret l
klein, aber l extrem groß
l 1 l 2 l l 1 2 l 1 ∆ l 2 l 1 2 0 l
l l 1
l
∆ l2
2
2
2
2
Quantelung irrelevant.
0 1 2 BBB Planetenbahnen: 2
2
2
2
sehr
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
102
Für E

0 gebundene Zustände
Klassisches Kepler-Problem
a.) periodische planare Kreisbahnen
r
ρ
ρ0
ρy
ϕ
0
ϕ
ρ
Abbildung 9.5: Kreisbahn
b.) periodische planare Ellipsen
l erhalten. Für Kreise ϕ̇
l
µρ0
ρt ϕt
ω
ρx
ρmin
ρmax
ρy
Abbildung 9.6: Ellipsen
x
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
103
ϕ̇ l
µρ t
Bewegung in ρ Koordinaten, bestimmt durch Energieerhaltung
E
µ 2
ρ̇
2
e2
2µρ
V ρ µ 2
ρ̇
2
(9.62)
Ve f f ρ
(9.63)
1d-Bewegung im Potenzial Ve f f ˆ Radialgleichung in der Quantenmechanik.
J
nicht betrachtet E
0
klassisch: Hyperbelbahn - nicht periodisch frei,
Quantenmechanik = Streuzustand.
V
ρ min
ρmax
ρ
0
ρ
0 > E > E min
Emin
Ellipse
Kreisbahn
Abbildung 9.7:
V ρ Quantenmechanik: die Radialgleichung führt für E  0 zur Quantisierung der Bewegung in r d
e
l l 1
% 2m
dr r 2m
r E& χ r
Umkehrpunkte ρ̇
0
E
2
Ve f f ρmin
2
2
ef f
max
(9.64)
Richtung.
2
2
l
2
(9.65)
ist Eigenwertproblem.
:
P r :
κr r d P r κ i
∑α r
Lösungsansatz nach Sommerfeld scher Polynommethode
χl r
l 1
exp
k
k
k
(9.66)
2mE
(9.67)
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
104
Korrektes Verhalten von χl für r
wir
0 und r
∞. Durch Einführen dimensionsloser Variabler erhalten
me η i E 2ma
% d 2
dρ
ρ
χ ρ exp ρ
r
aB
E
ER
2
aB
0 53Å
2
Bohr scher Radius
13 6 eV
0
l l 1
η χ ρ
ρ
&
ηρ ρ d P ρ 2
R
B
2
2
2
Einsetzen von
l
2
l 1
(9.68)
(9.69)
(9.70)
(9.71)
führt auf die Dgl. für das Polynom
Œ ) 2 l l ρ 1 ηn PŒ ρp ρ2 1 η l 1$ ¶ ρ 0 P ρ ∑ α ρ ∑ ρ r α d k 1 k 2 l 1 $Ñ 2α 1 η k l 1$ ¯t¦
α d 2 η l k 1Ž 1 a k 1 k 2l 2 P ρ
Einsetzen von
k0
κ
k
(9.72)
(9.73)
k 0
führt auf
k0
k 1
k 1
k
(9.74)
k 0
Für alle ρ
k 1
k
(9.75)
Frage: Kann k0 unendlich sein?
Für k
∞
Betrachte die Reihe für exp d 2η
k
ak 1
αk
exp 2ηρ 9
βd
2ηρ
∑
2ηρ
k
k!
k
(9.76)
∑ βk ρ
βk
k
k
2η
/ k
Für große ρ (große k wichtig in der Potenzreihe)
P ρ ∝ exp 2ηρ χ ρ exp ηρ ρ d P ρ/
k 1
βk
k
2η
k!
2η
1
l 1
k
(9.77)
(9.78)
´
exp ηρ
(9.79)
l k1 1 (9.80)
divergent, d. h. nicht normierbar.
Abbrechen bei k0 erfordert
0
η l k 1Ž 0
1
η
0
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
105
Hauptquantenzahl
Definiere die ganze Zahl n (Hauptquantenzahl)
n
l
En
k
1
0
ER
n2
(9.81)
1 2 3
n
(9.82)
Quantisierung der zugelassenen Energien
x*
χl r
χnl r und Rl r
Rnl r
k0 ist die Radialquantenzahl: Anzahl der Knoten von R nl r .
Bahndrehimpulquantenzahl l:
Wegen k0
En
X
0 und l
X
0 muss gelten:
0
ist unabhängig von l
† l
n
l
0 1 BBB n 1
n-fache zufällige Entartung des Eigenwertes E n .
Bezeichnung in der Chemie
l
l
l
l
0
1
2
3
s-Orbitale
p-Orbitale
d-Orbitale
f-Orbitale
Magnetische Quantenzahl m:
l B BB 0 BBB± l
Gesamtentartung des Energieniveaus n
2l
1
fache Entartung von n
u"Z2u ∑ 2l 1 Spin
n 1
gm
2n2
(9.83)
l 0
Zur Form der Orbitale
n
l
2
zufällige Entartung
Ö
l
R 0 Õ >
0 kein Drehimpulspotenzial
n
1
Z" 0
m
0
nur s-Orbital
0
l
0
s-Orbital
Ž
l
1
p-Orbital
Ž
m
m
m
m
0
1
0 ÉÌÍ Ë
1
gleiche Radialfunktion
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
106
Abbildung 9.8:
Die normierten Radialfunktionen R nl r (links) und die normierten radialen Wahrscheinlichkeitsdichten Wnl r (rechts) für das Wasserstoffatom.
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
107
Abbildung 9.9:
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
108
n
3
l
l
l
0
1
2
s-Orbital
m
m
m
m
m
m
m
m
p-Orbital
d-Orbital
n0 = 0
l=2
χ 22
χ
11
r
l=1
χ 00
l=0
Abbildung 9.10:
1
0
1
2
1
0
1
2
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
109
Das Wasserstoffatom - Wiederholung der Vorlesung
mp
∞
µ
me
m
Elektron
me
Proton
r
mp
Aƒ 2m
∆ lr E \ ψ r 0
r χ Y ϑ ϕ +, r nlm-
ψ r ψ
r
G
Schrödinger-Gleichung
2
2
Lösung
(9.84)
nl
nlm
lm
G nlm- abstrakter Zustandsvektor charakterisiert durch die Quantenzahlen n l m.
E
1
1
#
E E 13 6 eV
n
n
2ma n
a 0 53 Å
me
χ r bestimmt durch Radialgleichung
d
e
l l 1
% 2m
dr r 2m r E & χ r . 0 Y ϑ ϕ mit l † m † l sind Kugelfunktionen.
mX 0
2l 1 l m !
P cos ϑ $ exp imϕ Y 1 4π
l m !
2
R
2
n
(9.85)
2
B
2
2
(9.86)
2
B
2
(9.87)
nl
2
2
2
2
2
n
2
nl
(9.88)
ln
n
lm
m
l
(9.89)
Plm zugeordnetes Legendre Polynom.
m

1 Y ϑ ϕ$ Š
0
Ylm ϑ ϕ
m
m
(9.90)
l
Beispiele:
l
l
0
1
0
^__
`_
m _a
m
Y
j
1
4π
1
: Y11
0
: Y10
1
: Y1
1
cos ν H
sin ν exp iϕ H
H
3
8π
3
4π
3
8π
sin ν exp iϕ
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
110
Polardiagramme:
G
G
Betrachte
Θm
l ϑ
G
G
2π Ylm ϑ ϕ
2
2
(9.91)
= Winkelabhängigkeit der Dichteverteilung (nur von ϑ abhängig).
l
m
0
0
G
G
θ00 ϑ
1
2
2
(9.92)
z
υ
|θ0
0 | ( υ ) |²
1
2
x, y
Abbildung 9.11:
l
1
l
1
m
™›
1
0
m
Äquivalente:
×G G ∝ sin ϑ
θ ϑ ∝ cos ϑ
G G
θ1 1 ϑ
0
1
Wahl der drei Orthonormierten Eigenzustände für l
2
2
2
2
2
1
11
10
(9.94)
1, in Chemie häufig benutzt.
9 1 Y ϑ ϕ) Y ϑ varphi$
j2
«i 4π3 sin ϑ sin ϕ
3
cos ϑ φ ϑ ϕ 9
Y ϑ ϕ Øi
4π
φ11 ϑ ϕ
(9.93)
1 1
(9.95)
(9.96)
(9.97)
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
111
z
x, y
Abbildung 9.12:
z
x, y
Abbildung 9.13:
9 1 Y ϑ ϕŽ Y ϑ ϕ$
j2
«i 4π3 sin ϑ cos ϕ
φ31 ϑ ϕ
11
1 1
In abstrakten Hilbertraum-Vektoren
1 9
G
j 2 G 11-B G 1 1$- G φ -9 G 101 - G φ -9 j 2 G 11´- G 1 1$- φ11
0
1
1
1
G -
Die Zustände φi1 sind
orthonormal
(9.98)
(9.99)
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
112
Eigenvektoren von L̂2 , aber nicht von L̂2z
G ϕ -
i
1
reiner Zustand, weil wohldefinierte Linearkombination von reinen Zuständen.
G -
G -
∑ aim 1m und damit ist φi1 genau definierter Hilbertraum-Vektor 0̂ reiner Zustand.
m
Im Gegensatz zum Zustandsgemisch:
r G -±t
r G -±t
System wird durch ein Ensemble ψi von reinen Zuständen ψi beschrieben. Für jeden dieser
Zustände ist nur die Wahrscheinlichkeit Pi R seines Auftretens bekannt mit ∑ Pi 1. Der system-
d
beschreibende Hilbert-Vektor ist nicht bekannt.
Betrachte
π
ϑ
2
i
sin ϑ
1
∝ sin ϕ
G G
φ11 ϕ
2
2
(9.100)
y
= "px − Orbital"
ϕ
x
Abbildung 9.14:
∝ cos ϕ
G G
G φ G “p OrbitalŒ
φ31 ϕ
2 2
1
2
2
(9.101)
(9.102)
z
Bsp.: Der reine Zustand (hier in Ortsdarstellung)
. ∑ a φ ϑ ϕ
φϑϕ
3
i
i 1
(9.103)
i 1
ist normalerweise nicht bekannt. Insbesondere die Phase mit der sich die φ i1 überlagern, ist schwer
ermittelbar. Aber: die Rotationssymmetrie ist gegeben. Daraus folgt
P1
Wahrscheinlichkeit von φ11
P2
P3
13 Das Zustandsgemisch ist bekannt, es beinhaltet weniger Information insbesondere über Phasenlagen.
9.3. DAS WASSERSTOFFATOM
113
y
= "py − Orbital"
x
Abbildung 9.15:
Einfaches Atommodell für wasserstoff ähnliche Atome
Betrachte ein Atom mit der Ordnungszahl Z
Kernladung Z und Z Elektronen
−
−
−
Z=5
Z+
−
−
Abbildung 9.16:
Näherung: Die Elektronen sehen ein effektives zentralsymmetrisches Potenzial, dass dem
nahe kommt.
Energieniveaus bilden die Termschalen
n
1
E
n
2
E2
L-Schale
l
l
n
3
E3
M-Schale
l
l
l
E1
K-Schale
l
0
m
0
1
2
0
g1
2
1 0 1 \ g 8
m 0
m 1 0 1
ÉÍ Ë g m 2 Ã 1 0 1 2
0 m
1 m
Schalenmodell.
0
2
3
18
1
r
Potenzial
KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL
114
Pauli-Prinzip:
Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin). Jeder Zustand darf nur mit einem Elektron besetzt werden.
n=3
3s
3p
n=2
2s
2p
l=0
n=3
3d
l=1
1s
L − Schale
2 Elektronen
l=0
Abbildung 9.17:
Das Pauli-Prinzip wird als neues unabhängiges Prinzip für Vielfermionensysteme eingeführt.
Kapitel 10
Der Spin
Aufspaltung der Eigenzustände von L̂2 im Magnetfeld
Aus der Elektrodynamik folgt, dass jedem Bahndrehimpuls L ein magnetisches Moment M zugeordnet
ist.
q
M
L
(10.1)
2m
wobei q die Ladung und m die Masse des Teilchens sind. Die Energie eines magnetischen Moments
in einem äußeren Magnetfeld ist
q
HB
BM
BL
(10.2)
2m
#
Wir wählen B B0 ez und gehen zur Quantenmechanik über, indem wir die Observable durch den
Operator ersetzen
q
ĤB
B0 L̂z B0 keine Systemobservable
(10.3)
2m
Betrachte
(10.4)
Ĥ Ĥ0 ĤB
Ĥ0 = Hamiltonoperator bei B
0, zentralsymmetrisch
G -.
Ĥ0 n l m
G -
Enl0 n l m
(10.5)
ĤB : bricht Rotationssymmetrie. Es gilt jedoch
Ĥ Ĥ g Ĥ L̂ g Ĥ L̂ ) 0 2
0
2
0
n l m- bleiben die Eigenfunktionen von Ĥ.
G
Ĥ n l m -:
Ĥ n l m -) Ĥ n lm G
G
G
E G n l m-Ž qB2m L̂ G n l m E G n l m-Ž 2mq B m G n l m E G n l me
E 2m
E
Bm
Aufspaltung ∆E µ B
0
B
0
0
nl
0
nl
nlm
nlm
0
nl
0
B 0
115
(10.6)
(10.7)
z
(10.8)
0
(10.9)
(10.10)
(10.11)
KAPITEL 10. DER SPIN
116
m=−1
m= 0
p
m= 1
s−Niveau unverändert wegen
m=0
s
µB
e
2m
Bohrsches Magneton
(10.12)
Zeeman-Effekt: Niveauaufspaltung linear mit Magnetfeld gemessen.
Komplikation:
Der Bahndrehimpuls ist nicht die einzige Quelle des magnetischen Moments. Es existiert ein innerer
Drehimpuls S (Spin, Drall), der klassisch nicht verständlich ist. Dieser führt zu einem zusätzlichen
magnetischen Moment
MS
2µB S
(10.13)
Stern-Gerlach-Versuch
Abbildung 10.1: Der Stern-Gerlach-Versuch
Auch mit neutralem H
l
0.
H
Fz
mu B + V
∂V∂z µ ∂B∂z
m
m
z
(10.14)
(10.15)
Experiment
Es gibt zwei diskrete Werte für µ z . Annahme zur Erklärung: Es existiert ein innerer
Drehimpuls der ein magnetisches Moment erzeugt.
117
µ q
j
2m
gS : g-Faktor ˆ Abweichung von klassisch erwartetem Wert.
gS
S
Zwei Werte für µS
z
S
(10.16)
1
2
› 12 m 1 1
S 2 l 2 1n
Sz
S
2
i
G G 2
S
(10.17)
3
4
(10.18)
ms = 1
2
|S| = h
3
4
m=− 1
2
Experimentell: gS
2 !!! klassisch völlig unverständlich
Mathematische Formulierung des Spins
Es gibt einen Spin-Operator Sˆ mit den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses
Ŝ Ŝ Ù i ∑ ε
Ŝ Ŝ Ù i Ŝ
Ŝ Sˆ g 0
i
j
i jk Ŝk
(10.19)
k
Bsp.
und
Ŝz hat zwei Eigenwerte
x
y
z
(10.20)
2
› i
2
Ŝz
Darstellung mit 2 x 2 Matrizen
G ›k-™› 2 G ›k-
(10.21)
(10.22)
KAPITEL 10. DER SPIN
118
Ŝz
Sz
G k-
G Ú- 2 l 01
l 01 n
l 01 n
1n
0
Zweikomponentenvektor ˆ Spinor
Aus den Kommutatorrelationen folgen dann die Darstellungsmatrizen
Sx
Sy
2 l
2 l
0
1
1
0
0
i
0
n
i
n sodass wir schreiben können
Si
σx
σz
2 σ
l 01 10 n
l 10 01 n
i
l
0
1
(10.23)
i
0
n
Pauli-Matrizen
Dem Teilchen wird ein innerer Freiheitsgrad zugeordnet
Der Zustandsraum H ist der Produktraum aus den bisher behandelten räumlichen Zustandsraum H Raum und dem Spin-Zustandsraum
HSpin .
H HRaum HSpin
(10.24)
°
Die Basis dieses Raumes muss daher um den Spin-Freiheitsgrad erweitert werden.
G r - G r m S
mS
™› G 1 G
In der Ortsdarstellung hat die Wellenfunktion daher zwei Komponenten
, r ( ψ-:
, r à G ψ:
G - und kann daher als Spinor
d r ψ r
ψ
r d
r n
l
ψ
ψ
(10.25)
(10.26)
119
dargestellt werden.
r :
r G :
G
G
G d
ψ
ψ
2
2
Wahrscheinlichkeit das Spin am Ort r nach oben
dto. nach unten
r ψ r d
G
G G G
d3r ψ
2
2
(10.27)
120
KAPITEL 10. DER SPIN
Kapitel 11
Der harmonische Oszillator
Betrachte den Hamiltonoperator
p̂2 mω2 2
x̂
(11.1)
2m
2
der in einem eindimensionalen parabolischen Potenzial resultiert. Zur Bestimmung der Eigenvektoren und -werte konnte man wie beim Wasserstoffatom die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
in Ortsdarstellung aufstellen und mit der Sommerfeld schen Polynommethode lösen. Eine andere
Lösungsmöglichkeit des Eigenwertproblems ist die algebraische Methode, die auf der Einführung
von Leiteroperatoren beruht.
Ĥ
i p̂
i mω
x̂ Vernichtungsoperator
l
2
mω n
i p̂
dâ i mω
l
x̂ Erzeugungsoperator
2
mω n
d
Offensichtlich sind weder a noch a hermitesch, aber es gilt â d â d d â
â
(11.2)
(11.3)
Wir erhalten weiterhin
a ad Ù
% &
Ã Ñ u"Z u g mω
i p̂
i p̂
x̂
x̂
2
mω
mω
i
i
x̂ p̂
p̂ x̂
2
2
i
x̂ p̂
1
(11.4)
(11.5)
(11.6)
i
Weiterhin definieren wir den hermiteschen Besetzungszahloperator
N̂
d
a a
mω
x̂
2
l i p̂
mω
n l x̂ 121
(11.7)
i p̂
mω
n
(11.8)
KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
122
i x̂ p̂ p̂x̂
n mω
2 mω Û "Z { ÜÌ 1ω % 2mp̂ mω2 x̂ & 12
Ĥ 1
ω 2
ω l N̂ 12 n mω
2
l x̂ 2
p̂2
m2 ω2
xp
2
Ĥ N̂ ) 0 Ĥ
2
(11.9)
i
2
(11.10)
(11.11)
(11.12)
G -
Ĥ und N̂ haben ein vollständiges gemeinsames Orthonormalsystem n .
G - n G n-
N̂ n
n sind die Eigenwerte von N̂. Weiterhin ist
-G : l n 12 Ón ω G n-.
E l n 1 ω
n 2Ó
Ĥ n
G -
En n
n
(11.13)
(11.14)
Zur Feststellung der Bedeutung der Operatoren bilden wir (wir lassen die “Hüte” über den Vektoren
weg)
N aœ ad a ag ad aa ad aa
ad a a # a
N ad œ ad aad ad ad a ad a ad ) ad Wir finden daher
- G 9
Na n
- a N G nG
a n n - a n - n 1 a n G G
G
aN n
Hier wieder der Hut über den Operatoren!
-G : n 1 â G nâ n -:
C n 1G
G
N̂ â n
Das Adjungierte der Gleichung
, â n , n âd CŠ , n 1
G C G , n 1 n 1- G
, n '"âZd ua n-:
G bb G
G G
G
Wähle C reell
â n-: Cj n j n n 1- Absteigeoperator = Vernichtungsoperator
G
G
2
n
C
(11.15)
(11.16)
(11.17)
(11.18)
(11.19)
(11.20)
2
(11.21)
123
d G n- j n 1 G n 1- Aufsteigeoperator = Erzeugungsoperator (11.22)
Betrachte die Folge von Zuständen die durch wiederholte Anwendung von a auf den Zustand n G
resultieren.
und analog
â
-:
G
a n -:
G
a n -:
G
a n -:
G
j n G n 1F n n 1 G n 2F n n 1 n 2 G n 3F n n 1pBB n i 1 G n i-
a n
2
3
i
Es gibt zwei unterschiedliche Fälle:
(a) n
N0
Serie bricht ab, wenn n
1 i 0 i n
(11.23)
(11.24)
(11.25)
(11.26)
1
d G n- 0 der Zustand G 1- kann nicht konstruiert werden.
Serie bricht nicht ab. Zustände mit negativem Eigenwert n
(b) n N
n 0
N̂ n -. n n G
G
an
1
können konstruiert werden. Dieses führt aber auf einen Wiederspruch, denn
,n
,n
G n G n-
Skalarprodukt positiv definiert.
n
n
N0
0 Zustand mit kleinster Energie
, n ad a n- , an anG G
G
G N̂ G n-
X
0
n 1 2 ω
Grundzustand.
En
ω
2
Konstruktion der Grundzustandswellenfunktion:
Nimm
G -
a 0
in Ortsdarstellung
% mω dxd x& ψ x:
% x d x ψ x:
& dx
ψ x:
2
0
0
0
0
0
0 mit x0
0
(11.27)
i mω
1
1 x
, x G 0- exp w l
π1 4 j x
2 x n y
(11.28)
2
0
0
(11.29)
KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
124
, G
Wir berechnen x 1 nach â
d G n.- j n 1 G n 1- in Ortsdarstellung
1
d
ψ x I
x x
ψ x . , x 1 -
l
dx n
G
j 2x
1
Allgemeine Formel
2
0
0
(11.30)
0
I , x n:
-G j 1n! , x G ad G 0 j 1n! l j 2x1 n l x x dxd n ψ x
j 1π2 n! x d 1 h l x x dxd n exp l F
j π21 n!x exp l. 2xx n H l xx n F
ψn x
n
n
(11.31)
n
2
0
(11.32)
0
0
n
2
0
n 1 2
0
n
x2
2x20
n
(11.33)
2
n
n
2
0
0
0
Hn y : Hermitesches Polynom
. 1 H y 2y
H y 4y 2
H y 8y 12y
H y 16y 48y 12
H y 32y 160y ^__ symmetrisch für n gerade
_
"Z gerade
Funktion
ψ x ` _
__a asymmetrisch für n ungerade
"Z
H0 y
1
2
2
4
4
3
3
2
5
5
3
n
V x ∞ ∞
G G kein Kontinuum, nur gebundene Zustände
vollständig diskretes Spektrum E n 1 2 ω.
Eigenfunktion ψ können reell gewählt werden.
ungerade Funktion
n
n
Realistisches Potenzial
Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
x t mit Periodendauer T
dt T 2
ωkl x dx
2ω
dt
2π
ω dx
π dx dt
quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit
ψ x dx G G
ωqu x dx
n
2
120y
(11.34)
125
Abbildung 11.1:
Oszillierendes Wellenpaket
Bisher haben wir stationäre Lösungen der Schrödinger-Gleichung betrachtet. Diese entsprechen einer
zeitlich konstanten Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
. ψ x G G
ωn x
2
n
(11.35)
Klassisch wird die Bewegung eines Massenpunktes im harmonischen Potenzial durch eine Oszillation
xt
δ
x0 cos ωt
(11.36)
beschrieben, wobei x0 die frei wählbare Amplitude ist und δ die frei wählbare Anfangsphase. Diese
klassisch bekannte Bewegung entspricht einer sich periodisch verändernden Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Wie kann eine solche Bewegung quantenmechanisch beschrieben werden?
, BG G
BG
Antwort: Die klassische Oszillation x t eines Massenpunktes entspricht in der Quantenmechanik dem
Zeitverhalten des Ortserwartungswertes ϕ t x̂ ϕ t eines Wellenpaketes ϕ t .
Wir schreiben
B -: Û t 0 ϕ t 0BG
G E
Û t 0 q
exp
∑ l i t nCG ϕ - , ϕ G ϕt
n
n
n 0
n
(11.37)
(11.38)
KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
126
parabolische Näherung
freies Kontinuum
V (x)
parabolische Näherung bricht zusammen
gebundene angeregte Zustände
Grundzustand
Abbildung 11.2:
Zeitentwicklungsoperator
B-: ∑ exp i n 1 2 ωt ϕ - , ϕ ϕ t 0 (11.39)
G
G
G "!c e (11.40)
∑ C 0 exp i n 1 2 ωt G n-
C 0 : Entwicklungskoeffizienten, die durch die Anfangsbedingungen ϕ x t 0 festgelegt sind.
ϕt
n
n
n 0
Cn 0
n
n 0
n
Das Adjungierte
, ϕ t ∑ CŠ 0 exp i n 1 2 ωt Z
G Wir finden damit
, ϕ t x̂ ϕ t B-: ∑ CŠ 0 C 0 , n x̂ m- exp i m n ωt G G
G G
{
i 2mω
∑ j n C Š 0 C 0 exp iωt CŠ 0 C 0 exp iωt 
i 2mω
Re w ∑ j nCŠ 0 C 0 exp iωt y
+ x cos ωt δ
n
(11.41)
n 0
n
m
(11.42)
nm
∞
n
n 1
n 1
n
n 1
(11.43)
∞
n 1
n
(11.44)
n 1
0
(11.45)
Der Erwartungswert im harmonischen Oszillator vollzieht genau dieselben Oszillationen wie der klassische Oszillator. Die genaue Übereinstimmung ist eine Eigenheit des Oszillators.
Allgemein: Ehrenfest-Theorem.
127
Abbildung 11.3:
128
KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Kapitel 12
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung für den
harmonischen Oszillator
Postulat: Für geschlossene klassische Bahnen gilt für ein Teilchen in einer Dimension die Bedingung
p
ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ klassische
ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ (t),ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ p ÞÝÞÝ (t))Trajektorien
(x
ÞÝLÞÝLÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ imÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ Phasenraum
ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞÝÞÝ
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
ß
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
n
ÞÝLÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ àß ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞÝÞÝ
ÞÝLÞÝLÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß FÞLÝÞLÝ àßàß nÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞÝÞÝ
ÞÝLÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ àßàß ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞÝÞÝ
x
ÞÝLÞÝLÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ àßàßß ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞÝÞÝ
ÞÝLÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ààß ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞÝÞÝ
ÞÝLÞÝLÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ ÞLÝÞLÝ quantenmechanisch
ÞÝÞÝ Trajektorie
erlaubt
Fn
™á
p dq
n α h
n
1 2 BB
(12.1)
α: nicht a-prion bestimmbare Konstante
Fn : Fläche von der n-ten “quantenmechanisch erlaubten” Phasenraumtrajektorie eingeschlossen. (Phasenraumvolumen)
129
130KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNG F ÜR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR
Für harmonischen Oszillator
H
k: Federkonstante
p2
2m
mω2 2
x
2
E
ω
k
m
(12.2)
131
Phasenraumbahnen sind Ellipsen
p
pmax =
2mE
x max =
2E
m ω²
x
Abbildung 12.1:
á
pdx
En
ω
En
pmax
πpmax xmax
n α h
n α n 12 ω α 12
j 2mE ™j 2j mω j n 1
j 2 ∆p
2E
i mω
™j 2 i mω j n 1
"! 2
, G
Führe den Paritätsoperator ein
P̂ f x f x (12.3)
(12.4)
(12.5)
(12.6)
(12.7)
(12.8)
x0
Parität der Wellenfunktion x n
f x
P̂2 f x
P̂2
1
(12.9)
Eigenwertgleichung
:
P̂ ϕ x:
P̂ ϕ x
2
λ
λ ϕ x ϕ x › 1 zwei Eigenwerte
λϕ x
2
(12.10)
(12.11)
(12.12)
132KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNG F ÜR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR
mit Eigenfunktionen
λ A
Paritätsoperator ist hermitesch
dx }
dx
P̂d Aus P̂2
P̂
1
P̂P̂
d ∞
∞
∞
∞
1
1
.
.
ϕx
ϕx
:
:
ϕ
ϕ
x ϕd x
x ϕ x
dx ϕ Š x P ψ x q
ϕ Š x ψ x dx
dx ϕ Š x ψ x q
dx P ϕ x B Š ψ x ∞
(12.13)
∞
∞
(12.14)
∞
P̂ ist unitär.
Wir finden für den harmonischen Oszillator
2m
dxd Ĥ P̂Ĥ 2
Ĥ
P̂Ĥ
2
mω2 2
x
2
Ĥ P̂
Ĥ P̂

G - P H z 0 Allgemein für 1d-Problem mit V x Y V x ’
(12.15)
0
(12.16)
Ĥ und P̂ haben ein vollständiges gemeinsames Orthonormalsystem. Da Ĥ keine Entartung aufweist, ist dieses eindeutig durch n gegeben.
Parität gewählt werden.
Eigenfunktionen können mit definierter
Kapitel 13
Zeitunabhängige Störungstheorie
Betrachte die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
G -
Ĥ ψ
Ĥ0
V̂ G ψ- E G ψ-
(13.1)
Aufteilung im “ungestörtes Problem”, das als gelöst vorausgesetzt wird
G -.
G -
εn n
Ĥ0 n
(13.2)
und eine Störung V̂ . Beispiel: Ĥ0 Hamiltonoperator für H-Atom, V̂ Störung durch ein extern angelegtes Feld
Veränderung der Energieniveaus (Stark-Effekt).
13.1 Störungstheorie ohne Entartung
G -
Keine Entartung der n .
Betrachte Eigenwertgleichung
B-. E λ ψ λBG
G
Ĥ0
reeller Parameter λ, für
λV̂ ψ λ
λ
λ
1
0
(13.3)
zu lösendes Problem
gelöstes Problem
Ansatz: Entwicklung der Lösung in Potenzen von λ
9
ε ∑ λ E c e
ψ λ B-9
G
G n-) ∑ λ G ψ En λ
n
ν
ν 1
∞
n
gesuchte Lösung für λ
En
n
ν
ν 1
ν
(13.4)
ν
n
(13.5)
1,
E 1:
ε E c e E c e oBBc c
ψ -:
ψ 1 B-. n -B ψ e -B ψ e -pâBBB
G
G
G G
G
1
n
n
2
n
n
n
1
n
n
133
2
n
(13.6)
(13.7)
KAPITEL 13. ZEITUNABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
134
ce
Idee: wenn V̂ hinreichend schwach ist, bringen schon die linearen Korrekturterme E n
eine gute Näherung.
1
c eG
1
und ψn
Setze unseren Ansatz in die Schrödinger-Gleichung mit dem Parameter λ ein!
Ĥ 0
λV̂
w G n-) ∑ λ G ψ - y w ε ∑ λ E c e y w G n-) ∑ λ G ψ - y
∞
∞
v
n
v
ν 1
n
∞
nu
v
n
v 1
ν
ν
n
(13.8)
nu 1
Sortiere nach Potenzen von λ!
λ0 :
λ1 :
λ2 :
G -p-. G c e -)
G
c - e -
c e -) c e G c e - G c e -) cG e )- E c e ψ G
G
G
G
G
Ĥ0 n
εn n
1
1
1
V̂ n Ĥ0 ψn
εn ψn
En n
2
1
2
2
V̂ ψn
Ĥ0 ψn
εn ψn
En n
1
1
n
n
Hierarchie von Gleichungen
Störungstheorie
0. Ordnung
1. Ordnung
2. Ordnung
Gleichung mit λ 0
Gleichung mit λ1
Gleichung mit λ2
1. Ordnung
E c e V̂ n- Ĥ ε ψ -
G
G
c
e
Entwickle ψ - in das Basissystem der n G
G
c
c
ψ e - ∑ a { e m -
G
G
Daraus folgt:
c
c
E e n -) ∑ ε ε a { e m - V̂ n -
G G
G
Projektion auf , k
G
ε ε a c e E c e δ { , k V̂ n-
{
G G
Setze n k
E c e , n V̂ n-
G G
Setze n > k
ac { e , k G V̂ G n- k > n
ε ε
1
n
0
n
1
n
(13.9)
1
n
∞
1
n
1
nm
(13.10)
m 1
1
n
n
m
1
nm
(13.11)
m 1
n
k
1
nk
1
n
nk
1
n
1
nk
1. Ordnung
n
n
+
εn
1
n
(13.13)
(13.14)
k
E c e ε , n G V̂ G n, c
k V̂ n ψ - +
n -B ψ e - n -) ∑
G
G G
G À ε G εG G k - En
(13.12)
n
1
n
k n
n
k
(13.15)
(13.16)
13.1. STÖRUNGSTHEORIE OHNE ENTARTUNG
135
-G Ž ε G ψ c e V̂ G ψ - E c e G n-p E c e G ψ c e Projektion auf n - durch Multiplikation der linken Seite , n .
G
G
, n V̂ '"ψZcu e - E c e E c e , n ψ c e G G æ æç
G "Zê é
äã å è æ ç
, n V̂ k - , k V̂ n- c e
8
∑ G εG ε G G E
À ,
c
8 E e ∑ G n G V̂ G k - G
À ε ε
Betrachte 2. Ordnung
Ĥ0 n
2
n
n
1
n
∑
k n
2
1
n
1
n
2
1
n
1
n
n
(13.17)
1
n
n
1
k V̂ n
εn εk k
ann
(13.18)
0
2
(13.19)
n
n
k n
k
2
2
(13.20)
n
n
k n
k
Störung des Energiewertes in zweiter Ordnung
Beispiel: Quadratischer Stark-Effekt
Betrachte H-Atom im Grundzustand
,r
G -.
1
100
H
Störung durch konstantes elektrisches Feld
E
πa3B
exp
l ar n (13.21)
b
0 0 E V̂ r e E r̂ e Ez ẑ
z
(13.22)
1. Ordnung
, 100 G V̂ G 100-
1
E100
e Ez
0
1
πa3B
d 3 r z exp
l a2r n
B
Zweite Ordnung
, nlm z 100- ∝ d rR { r Y Š{ ϑ ϕ rY ϑ ϕ exp r a G G
αδ { δ {
dr d R { r exp r a E c e ∑ G , n l m G V̂ G 100- G ∑ G , n 1 0 G V̂ G 100- G
ε { ε
ε ε
{ { À {
u"Z u
dd
9
4 a E quadratischer Stark-Effekt
z
r cos ϑ ∝ rY10 ϑ ϕ
3
m0 l1
3
nl
10
lm
nl
B
B
2
2
nl
10
(13.24)
2
n
n l m 1 00
(13.23)
n 2
n1
(13.25)
1
n nr l 1
3
B
2
z
(13.26)
KAPITEL 13. ZEITUNABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
136
Klassische Erklärung
e−
P
E
+
Dipol−
moment
+
e−
ohne Feld
|P|=α E
α : Polarisierbarkeit
Abbildung 13.1:
Energie des Dipols im elektrischen Feld
V
P E αEz2
(13.27)
13.2. STÖRUNGSTHEORIE MIT ENTARTUNG
137
13.2 Störungstheorie mit Entartung
Für den nichtentarteten Fall gilt in erster Ordnung
, n G V̂ , G n(13.28)
m V̂ n ψ -
n -) ∑
(13.29)
G
G À ε G εG G m-
Tritt eine Entartung auf, z. B. ε ε divergiert der m M-Term in der Reihe für ψ - , wenn
G
, M V̂ n-ƒ > 0.
G G
En
εn
n
n
m n
M
m
n
n
Grundidee zur Behebung des Problems:
Die entarteten Eigenvektoren des ungestörten Problems werden so gewählt, dass das Matrixelement
verschwindet.
Durchführung:
Annahme: Eigenwert εn sei N-fach entartet
Gnα-:
-:
H0 n
Ĥ0
G
G nα- -
εn n
εn
G
α
1 2 BBB N
(13.30)
(13.31)
α: Zusätzlicher Index bei Entartung.
Betrachte nun den modifizierten Ansatz für die erste Ordnung
B-:
G
ψλ
∑ Cα G nα -
Z" b
vorher ë
ε λE c e α 1
λ
c
∑ an { me G m-
À
1
(13.32)
m n
n
1
Eλ
Einsetzen in Schrödinger-Gleichung
(13.33)
B-. E λ ψ λBG
G
Ĥ0
Ĥ0
∑ Cα G nα -
λV̂ ψ λ
(13.34)
bringt in Nullter Ordnung
N
α 1
εn
∑ Cα G nα -
N
α 1
Cα : unter der Bedingung der Normierbarkeit frei wählbar.
Erste Ordnung
(13.35)
KAPITEL 13. ZEITUNABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
138
Ĥ0
c { e )- V̂ ∑ C nαc G
À c G
∑ a { e G m-p E e ∑ C G nα-
À
∑
N
1
an m m
εn
(13.36)
α
nα 1
m nα
1
nm
1
(13.37)
α
nα 1
m nα
G -
,
G - nβ G
Wir projizieren auf einen Eigenvektor n β aus der Menge der entarteten Eigenvektoren nα
nα
δα β .
- {
c
I
E eC
G
∑ Cα , n β G V̂
N
1
nα
α 1
β
(13.38)
Korrektur des Zustandes in Nullter Ordnung
Korrektur der Energie in Erster Ordnung als Ersatz von E
c e , n V̂ n- ohne Entartung.
G G
1
Gleichung 13.38 ist eine Eigenwertgleichung.
Definiere:
V , nβ V̂ nαG G
1. Darstellungsmatrix V
αβ
(13.39)
des Störoperators im Raum der entarteten Eigenvektoren.
C 2. Eigenvektor C
β
Cβ
(13.40)
Dann ist Gleichung 13.38 äquivalent zum Matrix-Eigenwertproblem
E c e C VC
1
(13.41)
Weil V̂ hermitesch ist, ist auch V hermitesch.
N Eigenvektoren Cγ
γ
ce
N reelle Eigenwerte Eγ
G
n Eigenkets nγ
1 B BB N
1
G - ∑ C G nα-
nγ
N
α 1
γ
α
= spezielle Eigenvektoren des ungestörten Problems.
γ
1 B BB N
(13.42)
13.2. STÖRUNGSTHEORIE MIT ENTARTUNG
139
G - G n -pBB G n r G m- G m > n ¸ t
Basis des ungestörten Problems n1
r G - G m > nt
Für die m
Ordnung.
2
N
folgt aus der Gleichung 13.36 derselbe Ausdruck wie ohne Entartung 1.
,m
V n G - G ψ - G n -p ∑À ε G εG G m ε , n G V̂ G n - ε E c e
E
ψ
γ
nγ
n
m n
nγ
Linearer Stark-Effekt:
Betrachte das 2. Niveau im H-Atom
, r n 1-:
G
, r n 2-:
G
, r n 3 4-q
G
ϕ3
Störoperator
V̂
γ
ψ200
ψ210
h 4
1
3
2
exp
l
2aB
1 r
exp
3
6a 2 2aB
ψ21
r
2aB
er E Störmatrixelement
Vαβ
ezEz
C
eEz r
n
l
r
exp
6aB 2aB
3
2
i
(13.44)
4
2s
2p m r
Y10
2aB
1
1
1
n
B
× γ
r
Y00
2aB
l
(13.43)
m
n
vierfache Entartung N
ϕ1
ϕ2
γ
n
γ
n × r
Y1
2aB
1
4π
Y10
3
(13.45)
0
(13.46)
(13.47)
(13.48)
Š
d 3 r ϕα V̂ ϕβ
(13.49)
Nach längerer Rechnung
V12
V21
3eEz aB
V
Ù0223
V0 alle anderen Vαβ
0 V0
V0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
5!66
7 Wir bekommen die Eigenvektoren und Eigenwerte
1
j2
C1
1
1
0
0
0223 7
5!66
ce
E1
1
V0
0
(13.50)
KAPITEL 13. ZEITUNABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE
140
1
j2
5!66
0223 7
5!6
0 6
0223 01 7
0
5!6
0 6
0223 00 7
1
1
0
0
C2
C3
C4
c e #
E2
1
ce
E3
1
ce
E4
1
V0
0
0
1
(1)
εn + Eγ
linearer Stark−Effekt
(1)
εn
(1)
= E 3 = E4
Ez
G -
G -
Die Ladungsverteilungen zu ψn1 und ψn2 haben ein Dipolmoment.
Kapitel 14
Zeitabhängige Störungstheorie und
Wechselwirkungsbild
Betrachte jetzt eine zeitabhängige Störung
H
Ĥ0
V̂ t (14.1)
Das ungestörte Problem sei zeitunabhängig und gelöst;
Ĥ0
G -
G -
εn n
(14.2)
Für das volle Problem gibt es keine zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Daher müssen wir die
zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lösen.
B-. G
$ B-
G
∂
Ĥ0 λV̂ t ψ t
ψt
∂t
wobei wir wieder einen reelen Kopplungsparameter λ eingeführt haben. Wir entwickeln ψ t
VONS der n .
i
G -
Für λ
c 0 gilt ck t
k
∞
k
(14.4)
k
k 1
const. Das Einsetzen des Ansatzes bringt
ε c t & exp D i ε t E G k ∑ % i ε ∑ c t exp D i t E ε λV̂ t G k - d ck t
dt
k 1
∞
k
(14.5)
k k
k
k
,
B- in das
G
B- ∑ c t exp i ε t k - D E G
G
ψt
(14.3)
(14.6)
k
k 1
G dc t i
dt Projektion auf m ergibt
m
Ansatz für die Lösung
∞
, G G k-
λ ∑ ck exp iωmk m V̂ t
k 1
. c c e t p λ c c e t ) cm t
0
m
1
m
141
ωmk
c e ) oBB
2
λ 2 cm t
epsilonm
ε
k
(14.7)
(14.8)
142KAPITEL 14. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD
Anfangsbedingung
c e . {
0
System ist zur Zeit t
c e c c e ì BB' 0 1
2
m
βm n und cm
cm 0
G ψ 0 B-. n - G
G
(14.9)
0 im Eigenzustand n
(14.10)
Das Wechselwirkungsbild
Wir gehen vom Hamiltonoperator
H
V t
H0
(14.11)
aus, wobei H0 nicht von der Zeit abhängt. Der Zeitentwicklungsoperator des ungestörten Systems ist
.
Û t
exp
iĤ0t
´
(14.12)
Die Wellenfunktionen im Wechselwirkungsbild sind
B- Û d t ψ t B-. U d t U t ψ -
G
G
G
ψW t
BG
ψ t 0 B - ψ - : Zustand in Heisenberg-Bild
G
G
S
0
(14.13)
H
0
ψS t : Zustand in Schrödinger-Bild
S
H
Trafo-Operator ÂS in Schrödinger-Bild
ÂW
Ud
0
ÂS Û0
(14.14)
ÂS : Operator in Schrödinger-Bild
, ψ t
S
B-: , ψ U Â U d ψ G G
, ψ GG Â G ψ - G
ÂS ψS t
W
0
W
W
S
0
(14.15)
W
(14.16)
W
Zeitabhängigkeit der Zustände
B-:
G
i
1
ψ t B-. exp l Ĥ t exp l Ĥt
ψ 0
(14.17)
G
n
n
G
i
i (14.18)
exp l H t n exp l H t n G ψ G 0B Û t G ψ 0B- (14.19)
Wichtig für Vielteilchen: Zeitentwicklungsoperator in Ww-Bild, Randbedingung U 0 í 1
ψw t
exp i H0 t
0
W
UW
Störungstheorie!
W
0
S
0
S
w
143
B-9 i Ĥ exp i Ĥ exp i Ĥ t B ψ 0B
G
G
i
exp i Ĥ t l n Ĥ exp i Ĥ t B G ψ 0
i
exp i Ĥ t Ĥ "Z Ĥ exp i H t exp i H t exp i H t ψ 0 G
i V̂ G ψ t B
d
ψW t
dt
0
0
W
(14.20)
W
0
0
0
V̂
0
W
0
G -
H0 k
B-:
G
ψ t B-:
G
W
∑ ak t k
G -
(14.23)
ak
k
k
k
(14.22)
εk k
-G + ∑ c t exp l i ε t n G k i
exp l H t ∑ a t k G
ni
∑ a exp l ε t n G k - ∑ c t G k -
ψS t
(14.21)
W
W
Entwickle VW und ψW in die Eigenzustände von H0
Vorher geschrieben
0
k
0
exp
i t c
k
(14.24)
(14.25)
k
k
k
k
(14.26)
k
k
k
G -
ck : Entwicklungskoeffizienten des Zustandes im Wechselwirkungsbild in der Darstellung k .
Einsetzen in die Bewegungsgleichung
,
Projektion auf m
G
B-: i V̂ ψ t BG
i G G -: V̂ ∑ c t G k -
d
ψW t
dt
d
∑ dt ck t k
k
W
W
W
(14.27)
k
(14.28)
k
9 ∑ , m V̂ k - c t G G
, m V̂ k -9 , m exp l i H t V̂ exp l i H t k G G
G n
nG
exp iω t , m G V̂ G k - ω ε ε
i d c t 9 ∑ c t exp iω t , m V̂ t k - V̂ λ dt
G G
i
d
cm t
dt
k
W
(14.29)
k
W
0
0
m
mk
m
k
mk
mk
k
Störungstheoretischer Ansatz erster Ordnung in λ (schwache Störung)
k
(14.30)
(14.31)
(14.32)
144KAPITEL 14. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD
9
c t Einsetzen 0-te Ordnung
ce
0
Wähle cmn
i
c c âBB
c e t p λ c e t p
V̂ t
λV̂ t
n
0
m
c e 0 c c e t . d 0
cm t
dt
(14.33)
1
m
0
m
(14.34)
c0m zeitunabhängig
(14.35)
δmn
System soll zum Zeitpunkt t
G -
0 im Zunstand n sein.
1. Ordnung
c e 9
8 i d cc e dt
i
∑ c0k t d 1
cm t
dt
k
1
m
, G G k
t , m V̂ t n G G
exp iωmk t m V̂ t
exp iωmn
(14.36)
(14.37)
Mit der Lösung
cc e t C i dt Œ exp iω t Œ , m V̂ t Œ nG G
t
1
m
(14.38)
mn
0
Dann bekommen wir im Schrödinger-Bild
B-9
G
∑ ck t k(14.39)
n
G
i
exp l ε t nCG n-) ∑ cc e exp l i ε t nG m(14.40)
Die Wahrscheinlichkeit in ψ t B- den Zustand m - zu finden
G
G c
(14.41)
p δ c e
G
G
ˆ Wahrscheinlichkeit des Überganges n m Gültigkeitsbedingung für Störungstheorie 1. Ordnung
c c e t 1
m > n
(14.42)
G
G
Bsp.: Periodische Störung
(14.43)
V̂ t V̂ exp iωt g V̂ exp iωt ψS t
exp
k
l
i
εk t
∞
n
1
m
m 1
S
n
mn
1
m
2
1
n
0
t
0
(wegen Hermizität normalerweise nicht wichtig)
Etwa: elektromagnetische Strahlung trifft auf geladenes Teilchen.
mn
145
c , m V̂ n- dt Œ exp i ω ω t Œf
i c e t:
(14.44)
"Z G G
î
(14.45)
, m G V G n- dt Œ exp i ω "! ω t Œ è
ist immer nur einer der beiden Beiträge wichtig und zwar nur, wenn
Für relativ lange Zeiten t J
^__ Ω / 0
__ ω ω ε J ε
__
Absorbtion von Energie von Störung
_
Term mit , m V n- wichtig
G G
`_
(14.46)
__
__ Ωd / 0 __a ω ω
 ε
εEingabe
“Emission” an Strömung
Term mitvon, m Energie
V n - wichtig
Gilt H H t Energie keine Erhaltungsgröße.G G
verschwindet im zeitlichen Mittel.
Wenn Ω / 0 Term mit Ω d oszilliert schnell
t
1
m
mn
0
Ω
0
t
t
0
mn
Ω
0
ωmin
mn
mn
m
n
t
0
mn
m
n
0
Betrachte
* 1
exp iΩt 2 exp iΩ 2t * exp iΩ 2t 
iΩ
2 exp iΩt 2 Ω
sin l
t
Ω
2 n
dt Œ exp iΩt Œ 4 sin Ωt 2 t 2πδ Ω
Ω
G
G
Für lange Zeiten wird nur bei Ω / 0 eine Übergangswahrscheinlichkeit festgestellt.
cc e t , m V̂ n- 4 sin D ï E
G
G G G × G G Ω×
V̂
V̂d
V̂
V̂
t
Œ
Œ dt exp iΩt
0
t
1
exp iΩt
iΩ
2
t ∞
2
2
(14.47)
(14.48)
(14.49)
(14.50)
0
2
1
m
2
2
0
t
0
Ω
2
(14.51)
146KAPITEL 14. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD
t
Ω
2π
Ω
Übergangsrate
ωn
¤
1
m
d
,m
-G
×
G
G
G
2π
t ∞
Für ω
c e ,
G G m G V× G n- G
cm t 2
t
4 sin2 Ωt 2
Ω2 t
0 Fermis Goldene Regel
V
n
2
(14.52)
2
(14.53)
ε › ω
δ εm
2
(14.54)
n
Anwendung: Strahlung von Atomen
Vorgegeben Elektomagnetische Welle, durch Vektorpotenzial beschrieben
A ε
Art
0
ω
ˆ stehender Welle, z. B. im Resonator
ωt cos kr
ck und εk
(14.55)
0
ε: Polarisationsfilter
A0 : Amplitude
Ĥ
p̂2
2me
Zer
!" 2
Elektronen im ungestörten Atom
Â2 : Terme weggelassen
e
A p̂
me c
"Z Kopplungsterm
Ĥ0
V̂ t (14.56)
147
e ˆ
Ap
me c
V t
V̂0 exp
iωt ) V̂ d
0
exp iωt
(14.57)
wegen
:
cos x
V0
Langwellennäherung k
/
2π
λ
0
(14.58)
(14.59)
e
1
d V0
Wab
g ixà eA c p̂ 2m c
1
exp ix exp
2
A0 ε
ε p̂ exp ikx
2mc
A0 ε
eA0
ε p̂ exp ikx
εp
2mc
2me c
πe2 A0 2
b ε p̂ a 2
2m2e c2 2
δ ε b εa
ω δ ε b εa
G G G, G G - G
"Z "Z ω$ Absorption
Emission
(14.60)
(14.61)
A20 : induzierte Emission, induziert Absortiv, auch spontane Emission. Quantisieren EM-Feld