SKISEMINAR: K-THEORIE UND DIVISIONSALGEBREN Allgemeine
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SKISEMINAR: K-THEORIE UND DIVISIONSALGEBREN JOHANNES EBERT, MICHAEL JOACHIM, WEND WERNER Allgemeine Bemerkung. In einigen Passagen im von uns benutzten Buch [7] treten Begriffe und Sätze auf, die dort nicht definiert bzw. bewiesen werden und auch nicht Gegenstand der mathematischen Grundvorlesungen sind. Wenn Sie diese Begriffe nicht kennen, so in der Regel auch viele der anderen Seminarteilnehmer nicht und dies ist bei der Vorbereitung der Vorträge unbedingt zu beachten. Abhilfe schaffen in den meisten Fällen die Bücher [6] oder [5]. Vortrag 1. (Divisionsalgebren) Definitionen, Beispiele: R, C, die Quaternionen und die Oktaven. Quelle: [9] (Auf keinen Fall mehr als die Abschnitte 2-6,9,11) sowie [3, 2. Kapitel bis Ende Abschnitt 2.1] Vortrag 2. (Cayley-Dickson-Konstruktion und ein Überblick über die Klassifikationssätze) Die Beispiele des ersten Vortrags lassen sich in einheitlicher Weise konstruieren. Es gibt eine ganze Reihe klassischer Sätze, die Divisionsalgebren unter zusätzlichen Einschränkungen klassifizieren. Einige von diesen werden kurz vorgestellt. Ausführlich bewiesen wird der Satz von Frobenius, nach dem es bis auf Isomorphie drei assoziative Divisionsalgebren über dem Körper R gibt, nämlich R, C und H. Quelle: [3, Introduction, Abschnitt 2.2] sowie[8]. Vortrag 3. (Vektorbündel) Definitionen und Beispiele: Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit, insbesondere S n , tautologische Bündel auf projektiven Räumen. Quelle: [7], S. 4-9. Vortrag 4. (Operationen mit Vektorbündeln) Die bekannten Konstruktionen der linearen Algebra werden auf Vektorbündel verallgemeinert: direkte Summen, Skalarprodukte, Tensorprodukte. Tangetialbündel der projektiven Räume. Quelle: [7], S. 9-15. Vortrag 5. (Homotopieinvarianz von Vektorbündeln) Ist V → X ein Vektorbündel und f : Y → X stetig, so erhalten wir ein Vektorbündel f ∗ X → Y . Sind f0 , f1 zwei homotope Abbildungen, so sind f0∗ V und f1∗ V isomorph. Quelle: [7], 1.2, S. 18-21. Vortrag 6. (Vektorbündel über Sphären) Ein komplexes Vektorbündel vom Rang m auf S n wird durch eine ”Verklebefuntion” f : S n−1 → GLm (C) gegeben. Quelle: [7], S. 22-27. Vortrag 7. (Universelle Bündel) Es gibt ein m-dimensionales Vektorbündel auf dem Raum Grm (C∞ ) aller m-dimensionalen Unterräume des C∞ und jedes Vektorbündel auf einem Raum X wird durch eine Abbildung in diesen Raum induziert. Quelle: [7], S. 28-31. Vortrag 8. (Definition der K-Theorie) Für einen Raum X definiert man eine abelsche Gruppe K(X) aus den Vektorbündeln auf X. Diese besitzt eine Ringstruktur (Tensorprodukt) und ist ein kontravarianter Funktor (pullback). Es gibt eine relative Version für Raumpaare und die Hälfte einer langen exakten Sequenz. Quelle: [7], S. 39-41, 51-53. Vortrag 9. (Fundamentaler Produktsatz I) Der wichtigste Satz über die K-Theorie ist der Produktsatz, welcher K(X × S 2 ) durch K(X) berechnet. Aussage des Satzes und Beginn des Beweises. Quelle: [7], S. 42-51. Bemerkung: präzise Koordination mit dem Sprecher des folgenden Vortrages ist nicht nur sinnvoll, sondern unbedingt notwendig. 1 2 JOHANNES EBERT, MICHAEL JOACHIM, WEND WERNER Vortrag 10. (Fundamentaler Produktsatz II) Schluss des Beweises. Quelle: [7], S. 42-51. Bemerkung: präzise Koordination mit dem Sprecher des vorigen Vortrages ist nicht nur sinnvoll, sondern unbedingt notwendig. Vortrag 11. (Bott-Periodizität) Der Produktsatz wird umformuliert, um das zentrale Ergebnis der K-Theorie zu erhalten: den Bottschen Periodizitätssatz. Ferner wird K-Theorie zu einer verallgemeinerten Kohomologietheorie ausgebaut. Quelle: [7], S. 53-58. Vortrag 12. (K-theoretische Umformulierung des Divisionsalgebren-Problems) Äquivalent zur Existenz einer Divisionsalgebra der Dimension n ist die Parallelisierbarkeit von S n−1 , die Existenz einer H-Raumstruktur auf S n−1 und die Existenz einer Abbildung von Sphären mit ”Hopf-Invariante” 1. Quelle: [7], S. 59-62. Vortrag 13. (Das Spaltprinzip) Zur Lösung des Hopf-Invariante 1-Problems braucht man die Berechnung der K-Theorie projektiver Bündel und das Spaltprinzip, [7], page 63, 65-71. Vortrag 14. (Adams-Operationen und Lösung des Hopf-Invariante 1-Problems) Der Titel erklärt alles: auf der K-Theorie existiert eine zusätzliche algebraische Struktur, die Adams-Operationen, mit deren Hilfe das Hopf-Invariante 1-Problem leicht gelöst werden kann. Vortrag 15. (Reelle K-Theorie) Die letzten beiden, vielleicht etwas anspruchsvolleren Vorträge behandeln einen alternativen Zugang zum Satz über die Dimensionen reeller Divisionsalgebren, der auf reeller K-Theorie basiert. Diese wird hier eingeführt. Grundlage ist die Arbeit von Atiyah[1]. Vortrag 16. (Divisionsalgebren und Stiefel-Whitney-Klassen) Eine Divisionsalgebra in Dimension n führt auf ein Bündel über der Sphäre S n−1 mit nicht verschwindender n-ter Stiefel-Whitney-Klasse. Es stellt sich heraus, dass so etwas nur in Dimension n = 1, 2, 4 und 8 möglich ist. Vorlage ist das 10. Kapitel des Buches ‘Zahlen’[4] bzw. die Originalarbeit von Atiyah und Hirzebruch[2]. References [1] M. Atiyah: K-Theory and Reality, Von jedem Uni-Rechner aus hier zugänglich [2] M. Atiyah, F. Hirzebruch: Bott periodicity and the parallelisability of the spheres, Von jedem Uni-Rechner aus hier zugänglich [3] J. Baez: The Octonions [4] Ebbinghaus, e.a.: Zahlen [5] K. Jänich: Topologie [6] A. Hatcher: Algebraic topology, hier legal erhältlich [7] A. Hatcher: Vector bundles and K-theory, hier legal erhältlich [8] Wikipedia-Eintrag: Frobenius theorem (real division algebras) [9] Wikipedia-Eintrag:Quaternion Mathematisches Institut, Einsteinstraße 62, 48149 Münster E-mail address: [email protected], [email protected] [email protected]
