K-Theorie
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Seminar Bachelor S2D2 Master S4D2 Sommersemester 2014 K-Theorie Montags, 16:15 — 18:00 Uhr, Seminarraum 1.008 Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer Vorbesprechung: Mittwoch, 5. Februar 2014, 16:15 - 17:00 Uhr, Kl. Hörsaal Die topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie. Das heisst, es gibt eine Folge von Funktoren K n (−, −) , definiert für Paare (X, A) von topologischen Räumen mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen, so dass die Axiome von Eilenberg-Steenrod erfüllt sind. Mit dieser Kohomologietheorie konnte man einige der schwierigsten geometrisch-topologischen Probleme lösen, wie zum Beispiel das Vektorfeldproblem für Sphären. Das erste Ziel des Seminars ist es, die topologische K-Theorie, also zunächst die Gruppen K n (X, Y ), zu definieren. Deren Elemente werden von Vektorraumbündeln über X repräsentiert, welche über Y trivial sind. Dann werden wir beweisen, dass diese Funktoren tatsächlich eine verallgemeinerte Kohomologietheorie bilden. Anschliessend werden wir eine berühmte Anwendung behandeln: für welche n gibt es eine n-dimensionale reelle Divisionsalgebra ? der Satz von Adams besagt, dass es nur folgende Divisionsalgebren über R gibt: R selbst, die komplexen Zahlen C, die Quaternionen H, und die Oktonionen O. Zum Beweis benutzt man die K-Gruppen K ∗ (S m ) von Sphären zusammen mit einer weiteren Struktur, den sogenannten AdamsOperationen. Als Haupttext benutzten wir das Buch von M. Atiyah [Atiyah]. Dieses Buch ist sehr elegant, aber vielleicht an vielen Stellen zu knapp geschrieben. Deshalb empfehlen wir, falls nötig, noch die Bücher von D. Husemoller [Husemoller], M. Karoubi [Karoubi], A. Hatcher [Hatcher] und K. Knapp [Knapp]. Die Vorträge sind auf 90 Minuten angelegt: das heisst, man bereite ca. 80 Minuten vor und stelle sich auf viele Zwischenfragen ein. Die Vorträge müßen mindestens 2 Wochen vor dem Vortragstermin fertig sein. Und mit mir durchgesprochen sein. Man beachte, dass das Seminar als Bachelorseminar oder als Masterseminar belegt werden kann. Für Masterstudenten kommen nur die späteren Vorträge in Frage und diese Vorträge müssen dann auf Englisch gehalten werden. — Bitte achten Sie darauf, dass Sie das jeweils für Sie richtige Anmeldeformular benutzen. 1 Vorträge (1) Vektorbündel - grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.14 [Atiyah, 1.1 - 1.2]. Heike Herr (2) Vektorbündel über kompakten Räumen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.14 [Atiyah, Seiten 10-20]. David Bauer (3) Vektorbündel über kompakten Räumen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.4.14 [Atiyah, Seiten 20-31]. Isabell Große-Brauckmann (4) Definition von K 0 (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.14 [Atiyah, 2.1-2.2 Seite 46]. Georg Kempa (5) Bott-Periodizität 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.14 Emilio Rossi Ferrucci Elba Garcia Falide Rigel Apolonio Juarez Ojeda [Atiyah, 2.2, Seiten 46-55]. (6) Bott-Periodizität 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5.14 Emilio Rossi Ferrucci Elba Garcia Falide Rigel Apolonio Juarez Ojeda [Atiyah, 2.2, Seiten 55-64]. (7) Kohomologische Eigenschaften der K-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.14 [Atiyah, 2.4]. Daniel Valenzuela ∗ (8) Beispiele von Berechnungen von K ∗ (X) und Definition von KG (X) . . . . . . . . . . . . . . . 16.6.14 Baran Öner Moritz Sümmermann [Atiyah, 2.5, 1.6, 2.3]. (9) Multiplikation auf K ∗ (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.6.14 Leon Hendrian Orlando Marigliano [Atiyah, 2.6]. (10) Der Thom-Isomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.6.14 Aras Ergus Thorben Kastenholz [Atiyah, 2.7]. (11) Äußere Potenzen und Adams-Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.14 [Atiyah, Seiten 117-119, 135-136]. Tobias Lenz (12) Hopf-Invariante und Divisionsalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.14 [Atiyah, Seiten 136-137], [Hatcher, Seiten 59-62]. 2 Tomasz Przezdziecki Literatur [Atiyah] [Ebbinghaus] [Hatcher] [Husemoller] [Karoubi] [Knapp] M. Atiyah: K-Theory. Benjamin Inc. (1967) H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag (1983). A. Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. Siehe http://www.math.cornell.edu/hatcher/VBKT D. Husemoller: Fibre Bundles. McGraw-Hill (1966). M. Karoubi: K-Theory. Springer-Verlag (1978). K. Knapp: Vektorbündel. Springer-Verlag (2013). 3
