¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Physik Blatt 13

Universität des Saarlandes
Fakultät 7 – Physik und Mechatronik
Fachrichtung 7.1 – Theoretische Physik
Prof. Dr. K. Kruse / Denis Johann, M.Sc.
Gebäude E 2.6, Zi. 4.11 / 1.07.3
Mail: [email protected] / [email protected]
Web: http://www.uni-saarland.de/fak7/kruse/index.html
Saarbrücken, 28.1.2015
Übungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Physik
Blatt 13
Abgabe bis spätestens 04.02.2015 vor Beginn der Vorlesung
Aufgabe 13.1. Potentiale (1 + 1 + 1 = 3 P.)
Physikalische Potentiale ϕ, wie zum Beispiel, das elektrische Potential eines Elektrons, erzeugen ein zugehöriges Kraftfeld K = −∇ϕ. Berechnen Sie dieses Kraftfeld sowie dessen Divergenz für
a) ein Zentralpotential ϕ(x) = f (r), wobei r = kxk , f : R → R stetig differenzierbar.
b) das elliptische Potential ϕ(x) =
3
X
ai x2i
i=1
c) das Potential

2

−2πR2 + πr2 , falls r < R
3
ϕ(r) =
3
4πR

−
2 , falls r ≥ R
3r
Aufgabe 13.2. Teilchen im elektrischen Feld (1,5 P.)
Ein Elektron mit Ladung q bewege sich durch das elektrische Feld E(x, t) = E0 cos(kx1 − ωt)e3 . Dabei
wirkt auf das Elektron, dessen Bahn durch γ(t) = vt, v = const. ∈ R3 gegeben ist, die Kraft F = qE.
ZT
Berechnen Sie die bis zum Zeitpunkt T am Elektron verrichtete Arbeit A(T ) = F(x, t)dγ Skizzieren Sie
0
das elektrische Feld in der x1 − x2 −Ebene zu den Zeitpunkten t = 0 und t = π/ω.
Aufgabe 13.3. Vektoroperatoren in Kugelkoordinaten (1,5 + 1 = 2,5 P.)
Zeigen Sie, dass der ∇-Operator in Kugelkoordinaten (r, Θ, ϕ) die Gestalt
1
1
∇ = er ∂r + eΘ ∂Θ + eϕ
r
r sin(Θ)
hat. Berechnen Sie damit das elektrische Feld E = −grad(Ψ) eines Elektrons im Ursprung, wobei
Ψ(x) = −
1
e
4πε0 kxk
das elektrische Potential eines Elektrons, e die Elementarladung und ε0 die el. Feldkonstante.
Aufgabe 13.4. Koordinatentransformation (2 + 2,5 = 4,5 P.)
Durch
x = r sin(Θ) cos(ϕ)
y = r sin(Θ) sin(ϕ)
z = r cos(Θ)
ist eine Abbildung R+ × R2 → R3 definiert, welche die Transformation in sphärische Polarkoordinaten
beschreibt.
a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix und deren Determinante und bestimmen sie das Volumenelement dV
aus den Größen dr, dΘ, dϕ
b) Die Bahnkurve eines Teilchens sei in Kugelkoordinaten durch t 7→ (R, π/4, ωt) gegeben. Berechnen Sie
deren Darstellung in kartesischen und Zylinderkoordinaten. Skizzieren Sie anschließend die Bahnkurve.
Aufgabe 13.5. Integration (1,5 + 1,5 + 1,5 = 4,5 P.)
Berechnen Sie folgende Integrale in einem geeigneten Koordinatensystem Ihrer Wahl.
Z
a)
p
1/ x2 + y 2 d3 x, Ωa = (x, y, z) | x, y ≤ 0, x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ a
Ωa
Z
b)
x2 + y 2
d2 x, Ωb = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ y < 2}
Ωb
Z
c)
Ωc
(x2 + y 2 + z 2 )3 d3 x, Ωc = (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ 9, z ≥ 0