mathematische fähigkeiten um gut an der epfl zu - Aleph-Null
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MATHEMATISCHE FÄHIGKEITEN UM GUT AN DER EPFL ZU BEGINNEN Mai 2006 c Section de mathématiques ° SMA-FSB-EPFL, Station 8, CH-1015 Lausanne MATHEMATISCHE FÄHIGKEITEN UM GUT AN DER EPFL ZU BEGINNEN Mai 2006 c Section de mathématiques ° SMA-FSB-EPFL, Station 8, CH-1015 Lausanne Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck, selbst teilweiser, in welcher Form und in welchem Medium auch immer, ist ohne Einverständnis der Herausgeber untersagt. Hinweis Wir haben diese Anleitung zusammengestellt, um es unseren zukünftigen Studenten/innen der EPFL zu ermöglichen ihr Studium gut zu beginnen. Sie enthält die mathematischen Grundlagen, die Sie im Allgemeinen schon vor ihrem Studienbeginn an EPFL behandelt haben. Gleichwohl, so wie wir haben feststellen können, sind einige Themenbereiche bestimmten Studenten/innen wenig bekannt, werden aber von anderen weitgehend beherrscht ; diese Anleitung bietet allen eine nützliche Hilfe, sei es durch die zu lösenden Aufgaben oder durch die Zusammenfassung der mathematischen Grundlagen. Wir möchten jedoch anmerken, dass diese Anleitung keine detaillierte Abhandlung darstellt : sie ersetzt auf keinen Fall die in der Schulzeit verwendeten Bücher. Es handelt sich weder um ein Arbeitsbuch , noch um eine Aufgabensammlung, noch um ein Repetitorium, sondern vor allem um eine Anleitung, die unsere zukünftigen Studenten/innen mit einem Kapitel ihrer Wahl aufgreifen können, und die es ihnen erlauben sollte, ihre Fähigkeiten bei der Lösung einer gestellten Aufgabe wie denen des Kapitels Aufgaben zum Einstieg zu überprüfen, indem sie ihre Beweisführung sowie ihre Kenntnisse abrufen. Wenn ihnen nach einiger Zeit des Nachdenkens bestimmte Lösungsmethoden fehlen - oder sie vergessen wurden -, so dürfte der "theoretische Teil" dieses Werkes den Leitfaden zur Lösung liefern - oder das Gedächtnis wieder aurischen. Die Kapitel 1 bis 9 sind aus diesem Grund gleichermassen in drei Teile strukturiert : (1) Aufgabenstellungen in Reihenfolge der Präsentation der Themen ; (2) Mathematische Grundlagen zu den Aufgaben ; (3) Lösungen zu den Aufgaben in mehr oder weniger detaillierter Form. Wesentlich ist, dass die Studenten/innen, die eine der gestellten Aufgaben lösen, sich über mögliche Lücken, die sich herausstellen könnten, klar werden und sie vor Beginn ihres Studiums schliessen, um mit einer soliden Basis in das erste Studienjahr zu gehen. Infolgedessen ist es nicht von Wichtigkeit, eine grosse Zahl der in dieser Anleitung erscheinenden Lösungen im Gedächtnis zu behalten, sondern hieraus ein bleibendes diversiziertes know-how zu ziehen. Mit Ausnahme des Kapitels 5 (Trigonometrie) und den Abschnitten 4.1 und 4.2 (Ebene Geometrie und Geometrie des Raumes), deren Inhalt wir als bekannt und beherrscht ansehen, werden die in den anderen Kapiteln entwickelten Begrie während des ersten Studienjahres in den Vorlesungen der Analysis (sowie der linearen Algebra für das Kapitel 9) wieder aufgenommen, vertieft und verallgemeinert. Angesichts der Kürze eines Semesters werden sie jedoch schnell und intensiv behandelt und nur ein einziges Mal dargelegt. Die Leser/innen nden nachfolgend eine Übersicht des zu behandelnden Stoes der ersten 14 Wochen bei vier Stunden Vorlesung pro Woche, damit sie sich einen Eindruck vom Inhalt und der den Themen durchschnittlich gewidmeten Zeit verschaen können. 4 Elementare Eigenschaften der reellen Zahlen Komplexe Zahlen Reelle Funktionen Zahlenfolgen und Reihen Grenzwerte und Stetigkeit Ableitung von Funktionen einer Variable Integration von Funktionen einer Variable (ungefähr (ungefähr (ungefähr (ungefähr (ungefähr (ungefähr (ungefähr 1 1 2 2 2 3 3 Woche) Woche) Wochen) Wochen) Wochen) Wochen) Wochen) Wir machen die zukünftigen Studenten/innen nochmals aufmerksam auf die Tatsache, dass der gegebene Unterricht intensiv ist und sie viel Beharrlichkeit und Regelmässigkeit in ihrer Arbeit beweisen müssen ; diese Konstanz wird ihnen helfen das erste Studienjahr zu meistern, selbst wenn vor Beginn des Studiums noch einige Wissenslücken vorhanden sind. Wir denken deshalb, dass ihnen eine solche Anleitung helfen wird den Wissenssto aufzunehmen und erlauben wird die Gesamtheit aller Vorlesungen mit gebotenen Gelassenheit und Zuversicht zu folgen. Auf dass ihr Studium eine Quelle der Zufriedenheit sei ! Ein grosser Dank geht an alle unsere Kollegen, die uns bei der Ausarbeitung dieser Anleitung geholfen und beraten haben. Yves Biollay, Amel Chaabouni, Joachim Stubbe. NB 1 Weitere Aufgaben nden Sie Auf der Internetseite des CMS (Cours de Mathématiques Spéciales) : http://cmswww.epfl.ch/ NB 2 Sie nden im Anhang das Programm des mathematischen Zweiges der neuen Matura. Den Gymnasiasten, die einen der Abschlüsse Bachelor oder Master erreichen möchten, empfehlen wir während ihrer Schulzeit einer naturwissenschaftlichen Ausrichtung zu folgen. Zum Gebrauch dieser Anleitung Folgender Gebrauch dieser Anleitung ist vorgesehen : Wenn Sie unseren Online-Test durchführen möchten (ihr Benutzername und Passwort nden Sie im Begleitbrief), gehen Sie auf die Internetseite http://matheval.epfl.ch/diagnostic/ Sie erhalten unmittelbar ein Feedback, das Ihnen ermöglicht, ihre Kenntnisse zu bewerten. Dieses Feedback ist rein persönlich : ihre zukünftigen Professoren haben hierzu keinen Zugang und es wird in keinem Fall in Prüfungen oder Klausuren an der EPFL verwendet. Sein Ziel ist es, Ihnen zu helfen ihr Studium gut zu beginnen, indem Sie eventuelle Schwächen erkennen um sie vor ihrer Ankunft zu beheben. Arbeiten Sie anschliessend die Kapitel der vorliegenden Anleitung durch, für die das Feedback nicht ohne Einschränkung positiv war und achten Sie hierbei insbesondere auf die Aufgaben. Es ist wesentlich, dass Sie versuchen die Aufgaben selbst lösen ohne sich zuvor ihre Lösung anzuschauen, denn Mathematik erlernen Sie nicht durch nachlesen sondern durch üben. Am ersten Tag der Vorlesungen haben Sie eine weitere Möglichkeit ihre Kenntnisse in diesen Themenbereichen zu bewerten. Sie erstellen eine Bilanz ihrer Fähigkeiten (ohne Einuss auf ihre zukünftigen Prüfungen), und erhalten in Analogie zum Online-Test ein personalisiertes Feedback. Vorwort An die zukünftigen Studenten/innen der EPFL : Gegenwärtig leben wir in einem goldenen Zeitalter der Mathematik. In den letzten Jahren konnten bis dahin oene Probleme, wie die Fermatsche Vermutung oder das Vierfarbenproblem, gelöst werden. Die Mathematik bendet sich in vollem Aufschwung und wir entdecken immer mehr Anwendungen in zahlreichen Gebieten. Die grundlegenden Naturgesetze werden durch Dierentialgleichungen beschrieben. Die Methoden und Konzepte der Analysis haben somit ihre Anwendung in allen Arten von Problemen der modernen angewandten Wissenschaften gefunden, insbesondere in der Raumfahrttechnik, in der Klimaforschung oder in der Übertragungstechnik. Anforderungen an moderne Kommunikationssysteme wie die Internet-Sicherheit beruhen auf Ergebnissen der Zahlentheorie und in der Modellierung von Mobiltelefonnetzen werden Konzepte der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Anwendung gebracht. Für die Herstellung von Medikamenten und ihre Anwendung im menschlichen Körper sind heutzutage wissenschaftliches Rechnen und numerische Analysis unabdingbar. Schliesslich beruht die Entwicklung von Methoden der Krebsbehandlung auf einer statistischen Analyse der biologischen Daten. Erwähnen wir ebenfalls die Finanzmathematik, die Transaktionen an der Börse weitgehend verändert haben. Die zukünftigen Beschäftigten in den zahlreichen Gebieten der Spitzentechnologie (das heisst Sie) brauchen mehr als je zuvor eine umfassendere mathematische Ausbildung. Die Kenntnis mathematischer Ergebnisse ist sicherlich wichtig, unerlässlich aber ist die Fähigkeit richtige Schlussfolgerungen zu ziehen und die Formeln mit Genauigkeit zu handhaben. Die Mathematik darf nicht als eine Sammlung anzuwendender Rezepte gesehen werden, sondern vielmehr als ein Reservoir von Ideen, die in vielfältiger Weise miteinander verknüpft werden können um die Probleme zu lösen, denen Sie in ihrem Berufsleben begegnen werden. Die EPFL ist sich dieser an Sie gerichteten Erwartungen vollends bewusst. Ein Wechsel des Arbeitstempos von der Schulzeit zum Universitätsstudium ist unvermeidlich. Der Sto wird schneller präsentiert und die Zeit, die zu seiner Nachbereitung zur Verfügung steht, ist geringer. Es ist daher notwendig, dass sie nicht vom Studienbeginn an derart empndliche Wissenslücken haben, die Sie vor unüberwindbare Schwierigkeiten stellen. Das Ziel des vorliegenden Werkes ist einen kurzen Überblick der mathematischen Themen zu geben, die für einen Beginn des Studiums unter guten Voraussetzungen nützlich sind, und eine Reihe von Aufgaben anzubieten um ihre Fähigkeiten logisch zu denken weiterzuentwickeln, denn diese sind unverzichtbar, um in den exakten Wissenschaften zu bestehen. Das angestrebte Ziel ist nicht ihre bisherige Ausbildung zu ersetzen sondern vor allem eine Übersicht anzubieten. Die folgende Sammlung wird in Abhängigkeit von der Praxis und der Entwicklung des Programms der EPFL vervollständigt. Wir bitten Sie uns ihre Anmerkungen an [email protected] zu senden. Wir wünschen Ihnen in ihrem Studium viel Erfolg ! Anthony C. Davison. Lausanne im Mai 2006. Zur deutschen Übersetzung : Ausser der Beseitigung einiger Druckfehler und der Anpassung von Bezeichnungen an den deutschen Sprachgebrauch wurden bei der Übersetzung nur geringfügige Veränderungen vorgenommen, die in vielen Fällen als solche gekennzeichnet sind. Joachim Stubbe. Lausanne im September 2006. Inhalt 9 Inhaltsverzeichnis Hinweis 3 Zum Gebrauch dieser Anleitung 5 Vorwort 7 Aufgaben zum Einstieg 12 1 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen 27 Themen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabenstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Aufbau des Zahlenbereichs . . . . . . . . . . . . . 1.2 Operationen auf der Menge R der reellen Zahlen 1.3 Ordnungsrelationen und geordnete Mengen . . . 1.4 Division algebraischer Summen . . . . . . . . . . 1.5 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . 1.8 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Verschiedene Beweismethoden . . . . . . . . . . . 1.10.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Widerspruchsbeweis . . . . . . . . . . . . 1.10.3 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . 1.10.4 Hypothesen, notwendige und hinreichende 1.11 Begrie aus der Mengenlehre . . . . . . . . . . . 1.12 Einführung in die Kombinatorik . . . . . . . . . . 1.13 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13.1 Rechenoperationen in C . . . . . . . . . . 1.13.2 Normaldarstellung komplexer Zahlen . . . 1.13.3 Wurzeln einer komplexen Zahl . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lösen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Gleichungen zweiten Grades . . . . . . . . . . 2.2 Transzendente Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . 2.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten . . . 2.3.2 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten . . . 2.4 Systeme nichtlinearer Gleichungen . . . . . . . . . . 2.4.1 Eine lineare und eine quadratische Gleichung 2.4.2 Zwei quadratische Gleichungen . . . . . . . . 2.5 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13 17 27 30 30 31 31 32 33 34 34 35 36 37 37 37 37 38 39 39 41 41 42 43 44 48 48 50 50 50 51 51 52 52 52 52 53 53 54 54 54 54 10 Inhalt 2.5.2 Quadratische Ungleichungen . . 2.5.3 Ungleichungen in zwei Variablen 2.5.4 Spezielle Ungleichungen . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . 3 Funktionen Aufgaben . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . 3.1 Allgemeine Begrie . . . . . 3.2 Reelle Funktionen . . . . . 3.3 Besondere reelle Funktionen Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Geometrie Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Flächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Geradengleichungen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Kreisgleichungen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Parameterdarstellung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . 4.1.7 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Geometrie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Grundbegrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Volumen- und Oberächenberechnung . . . . . . . . . . . 4.2.3 Allgemeine Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Allgemeine Gleichungen der Geraden . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Gleichung der Sphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Vektorielle Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Vektorielle Geometrie in der Ebene . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Vektorielle Geometrie im Raum . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Trigonometrie Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Winkelmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck . . . 5.3 Winkelfunktionen am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Spezielle Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Trigonometrische Bestimmungsgleichungen . . . . . . . . . . . 5.9 Trigonometrische Funktionen im allgemeinen ebenen Dreieck Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 56 57 59 59 60 60 61 62 65 66 66 68 68 68 72 74 74 75 76 76 79 79 80 81 82 82 82 82 86 88 90 93 93 95 95 95 96 97 97 98 101 102 102 104 Inhalt 11 6 Folgen, Reihen und Grenzwerte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . 6.2.2 Rekursiv denierte Folgen . . . . . . . . 6.3 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Beispiele von Reihen . . . . . . . . . . . 6.4 Grenzwert einer Funktion und stetige Funktion 6.5 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Dierentialrechnung Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Grundlegende Begrie . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Dierentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . 7.4.1 Charakterisierung von Extremwerten . . . 7.4.2 Monotonie- und Krümmungseigenschaften Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 8 Integralrechnung Aufagben . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . 8.1 Stammfunktion . . . . . 8.2 Das bestimmte Integral 8.3 Integrationsverfahren . . Lösungen zu den Aufgaben . 9 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . von f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Grundlegende Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Matrixaddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl . . . . . 9.2.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Transponierte einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Determinanten von 2 × 2 - und 3 × 3 - Matrizen . . . . . 9.2.6 Inverse von quadratischen Matrizen der Ordnung 6 3 . . 9.3 Anwendungen der Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Lösung eines linearen Systems bestehend aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 109 109 109 110 111 112 112 113 115 116 119 119 121 121 123 124 125 125 126 127 130 130 131 131 132 133 135 137 137 138 138 138 138 139 139 140 140 142 142 143 144 Anhang 145 Bibliographie 153 Aufgaben zum Einstieg HAUPTTHEMA JEDER AUFGABE EA 1 Vollständige Induktion. EA2 Lösen von Gleichungen. EA 3 Anwendung des Integrals auf die Berechnung einer Fläche. EA 4 Extremwert und Ableitung. EA 5 Integration von gebrochen rationalen Funktionen. EA 6 Trigonometrie : Sätze und Formeln. EA 7 Analytische Geometrie : Kreis und Gerade. EA 8 Extremwerte einer rationalen Funktion. EA 9 Asymptoten. EA 10 Extremwerte einer Funktion. EA 11 Grenzwerte bei Unendlich. EA 12 Grenzwerte. EA 13 Rationale Zahlen. EA 14 Natürliche Zahlen. EA 15 Der Absolutbetrag. EA 16 Der Logarithmus. EA 17 Kombinatorik. EA 18 Eine transzendente Gleichung. EA 19 Parameterdarstellung des Kreises. EA 20 Heronische Dreiecksformel. EA 21 Arkusfunktionen. EA 22 Eine konvergente Folge. EA 23 Kreis und Tangente. EA 24 Kurvendiskussion. EA 25 Aufgabe 1, Schweizerische Maturitätsprüfung Mathematik, normales Niveau, Herbst 2004. EA 26 Aufgabe 1, Schweizerische Maturitätsprüfung Mathematik, erweitertes Niveau, Frühjahr 2004. EA 27 Aufgabe 1, Schweizerische Maturitätsprüfung Mathematik, erweitertes Niveau, Herbst 2005. Aufgaben zum Einstieg 13 AUFGABENSTELLUNGEN EA 1 Zeige, dass die Zahl Nn = n5 − n für jede natürliche Zahl n > 1 durch 5 teilbar ist. EA 2 Wir betrachten ein Rechteck ABCD mit einem Flächeninhalt von 48 cm2 und nehmen an, dass die Seite AB kürzer als die Seite BC sei. Das Rechteck sei in einem Kreis mit Radius 5 cm einbeschrieben. Weiter sei E ein Punkt auf der Seite CD mit einem Abstand von x cm zu C (x > 0) und F ein Punkt auf der Seite CB im Abstand von px cm zu C (p > 0). Bestimme die Werte von p, für welche das Dreieck AEF ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis EF ist. EA 3 Berechne den Flächeninhalt A des durch den Graphen von g(x) = 7 − 2ex − 3e−x , e−x − 2 der x-Achse und den Geraden x = ln 2 und x = 3 ln 2 begrenzten Gebietes. EA 4 Sei Γ der im nachfolgenden Schaubild dargestellte Halbkreis vom Radius 1 mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Sei A ein Punkt in Γ mit Abszisse a > 0, D sein Spiegelbild bezüglich der y -Achse, E und F die entsprechenden Projektionen von D und A auf die x-Achse, C die Projektion von A auf die y -Achse und B der Schnittpunkt von y -Achse und dem Kreisbogen AD von Γ. Für welchen Wert von a ist die dargestellte Fläche ABCDEF A maximal ? B D C A 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 E O F EA 5 (x + 1)3 ≥ 1 für alle x ≥ 0, und schliesse daraus, dass 7x2 − 5x + 1 3 2 x − 4x + 8x + 10 f (x) = für alle x ≥ 0 positiv ist. x2 + 1 (b) Berechne den Flächeninhalt des Gebietes A, das von dem Graphen von f , seiner schrägen Asymptote sowie den Geraden x + y + 2 = 0, x = 0 und x = 6 begrenzt ist. (a) Zeige, dass \ = α und ACB \ = 2α. EA 6 Sei ABC ein Dreieck, so dass AB = 4, CAB Bestimme den Wert von α > 0, der den Flächeninhalt S(α) des Dreiecks ABC maximal macht. EA 7 Für welchen Wert von m ist die Gerade δ der Gleichung y = 2mx eine Tangente des Kreises γ um Ω = (m, 0) mit Radius 2 ? 14 Aufgaben zum Einstieg EA 8 Gegeben seien die Strecken d1 = P1 (0, 1)Q(2, 1) und d2 = P2 (2, 0)Q(2, 1). Weiter seien γi Kreise um Ωi ∈ di , vom Radius ri , welche durch Pi , i = 1, 2 gehen. Bestimme die Gleichung für r1 damit die Summe der Flächeninhalte der Kreisscheiben mit Rand γi maximal wird, wenn die Kreise sich von aussen berühren. EA 9 Bestimme die reellen Zahlen a, b und c, für die die Funktion f (x) = ax3 + bx2 − 2x + 3 x2 + cx + 2 die Asymptoten x = 2 und y = 2x + 3 besitzt. EA 10 Welche Abmessungen hat eine Vase von der Form eines Kreiszylinders von maximalem Volumen bei einer Oberäche von 1 m2 ? µ ¶x 1 EA 11 Mit Hilfe des Grenwertes lim 1 + = e bestimme α, so dass x→∞ x µ 3/x L = lim+ (1 + 2x) x→0 + α lim x→∞ x x+1 ¶2x =0 EA 12 Berechne folgende Grenzwerte : √ ( 2 − 2 sin α)2 lim α→ π 1 − sin2 2α 4 et lim x→π (x2 − (π + 1)x + π) sin( π−x 3 ) 3 2 2 x − (2π + 1)x + (π + 2π)x − π 2 EA 13 (a) Zeige, dass die Quadratwurzel einer positiven ganzen Zahl N dann und nur dann eine Zahl in Q ist, wenn N eine Quadratzahl ist, das heisst, wenn N = K 2 , K ∈ N. (b) √ Seien p√0 6= p00√zwei Primzahlen > 1. Ist p0 + p00 + p0 p00 rational ? EA 14 Betrachte die aus den Ziern a0 = 4, a1 , a2 , . . . , a24 , ai ∈ {0, 1}, 1 ≤ i ≤ 24 gebildeten natürlichen Zahlen. Zeige, dass diese Zahlen keine Quadratzahl sein können, wenn die Zier 0 genau 13 Mal auftritt. ¯ x ¯ |x| ¯ ¯ EA 15 Für y 6= 0, beweise ¯¯ ¯¯ = und ¯|x| − |y|¯ 6 |x − y|. y |y| EA 16 Für a 6= 1, b und c gebe notwendige und hinreichende Bedingungen, so dass logc+b a + logc−b a = 2 logc+b a · logc−b a. EA 17 Aus der Menge der Buchstaben nehmen wir die Vokale a, e, i, o, u und die Konsonanten m, n, p, r, s, t. (a) Wieviele aus 5 verschiedenen Buchstaben bestehende Wörter mit genau 2 Konsonanten und 3 Vokalen können wir bilden ? (b) Wieviele aus 7 verschiedenen Buchstaben bestehende Wörter können wir bilden, die genau 3 Konsonanten und 4 Vokale enthalten und die Vokale o und u in genau dieser Reihenfolge auftreten ("ou") ? p √ √ EA 18 Gibt es x ∈ Q, so dass 2p(p − p + 1) + x = 3 p − 1, wenn p eine Primzahl > 1 ist ? Für den Fall, dass x existiert, bestimme p. Aufgaben zum Einstieg 15 EA 19 Die Punkte Pi (i = 1, 2) bewegen sich gleichzeitig jeweils auf Kreisen Γi mit Mittelpunkt Ωi und Radius ri . Die Kreise Γi sind deniert durch : Γ1 : Ω1 = (8, 4), r1 = 2 ; Γ2 geht durch den Ursprung und Ω2 = (2, 2). Zu −−−→ −−−→ jedem Zeitpunkt ist der Winkel zwischen Ω1 P1 et Ω2 P2 gleich π4 . Gebe die Gleichung der Menge Γ der Mittelpunkte M aller Strecken P1 P2 in kartesischen Koordinaten an. EA 20 Beweise die Heronische Dreiecksformel : Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit Seitenlängen a, b, c und Umfang 2p ist gleich p p(p − a)(p − b)(p − c) (cf. 5.9). EA 21 Vereinfache folgenden Ausdruck weitmöglichst r α = arcsin(2t − 1) + 2 arctan 1−t , 0 < t ≤ 1. t EA 22 Bestimme α und β damit die durch xn = i 1 h 2 nπ 2 2 ) + β(n + n) cos nπ α(n − n)(1 + sin n2 + 1 2 denierte Folge gegen 3 konvergiert. EA 23 In welchem Punkt I schneiden sich die gemeinsamen Tangenten der durch die Gleichungen x2 + y 2 = 25 und x2 + y 2 = 50 − 14x − 2y dnierten Kreise Γ1 Und Γ2 ? EA 24 a) Untersuche die Funktion g(x) = ln(1 + | sin x|). √ b) Untersuche die Funktion f (x) = 3 x3 − 3x + 2 und zeichne ihren Graphen γ; Bestimme - falls er existiert - den Punkt T von γ , der eine zur Asymptoten δ parallele Tangente an den Graphen besitzt. EA 25 a) Untersuche die Funktion f (x) = x + 1 − ex Gebe hierzu ihren Denitionsbereich, ihre eventuelle Parität, Asymptoten, Ableitung, Variationstabelle und eventuelle Extrema an und zeichne ihr Schaubild (nach der zweiten Ableitung ist nicht gefragt) b) Besitzt die Funktionskurve von g(x) = 1 − x − ex eine Asymptote ? Falls ja, so bestimme sie. c) Für welche Werte von α ∈ R nehmen die Funktionen h(x) = α(x + 1) − ex ein Maximum an ? Gebe, als Funktion von α, die Koordinaten des Maximums von h an. d) Berechne den Flächeninhalt des durch die Funktionskurven von f und g sowie den Geraden x = 0 und x = 10 beschränkten Gebiets. EA 26 Wir betrachten die Folge reeller Funktionen (fn )n∈N∗ , welche durch die Vorschrift ½ xn ex : falls x ≤ 0 fn (x) = n x ln(x) : falls x > 0 deniert ist. Sei (Cn ) die zu fn gehörige Funktionskurve. 1. Prüfe die Funktionen fn auf ihre Stetigkeit in x = 0. Für welche n ∈ N∗ sind die fn an der Stelle x = 0 dierenzierbar ? 16 Aufgaben zum Einstieg 2. Untersuche das Monotonieverhalten von f1 (n = 1). Berechne die Koordinaten des Wendepunktes von f1 . Zeichne (C1 ). (Eine vollständige Untersuchung der Funktion ist nicht gefragt.) 3. Berechne die Flächeninhalte An (k) der durch den Graphen von fn und dem auf der Abzisse liegenden Intervalls [k; 1] mit 0 < k < 1 bestimmetn Gebiete. 1 Zeige, dass lim An (k) = , für jedes n ∈ N∗ . 2 k−−→0 (n + 1) k>0 EA 27 Im mit einem orthonormalen Koordinatensystem versehenen Raum gebe man sich die Punkte A( 0 ; 1 ; 3 ), B( 4 ; 3 ; 1 ), C( 6 ; 1 ; −3 ) und D( 4 ; −3 ; 1 ). 1. Bestimme die Gleichung der Ebene ABC in diesen Koordinaten. 2. Gebe die Parameterdarstellung der durch C gehenden Höhe im Tetraeder ABCD an (zur Ebene ABD senkrechte durch C gehende Gerade). 3. Berechne den spitzen Schnittwinkel der Ebenen ABC und ABD. 4. Berechne die Entfernung der Geraden AB und CD. 5. Bestimme den Mittelpunkt P der den Tetraeder ABCD umschreibenden Kugel sowie ihren Radius r. Gebe die Gleichung ihrer Oberäche an. Aufgaben zum Einstieg 17 LÖSUNGEN LEA 1 Beweis durch vollständige Induktion : Für n = 2 ist N2 = 30 durch 5 teilbar (Induktionsanfang). Wir nehmen nun an, dass Nn für ein gegebenes n durch 5 teilbar sei (Induktionshypothese) ; wir folgern mit dieser Annahme, dass wegen Nn+1 = (n + 1)5 − (n + 1) = n5 − n + 5(n4 + 2n3 + 2n2 + n) = Nn + 5Mn ; auch Nn+1 durch 5 teilbar ist. qed. LEA 2 Wir setzen AB = 2a und BC = 2b. Aus b < a, ab = 12 und a2 + b2 = 25 folgt a = 3 und b = 4. Die Gleichheit AE = AF impliziert AB 2 + BF 2 = AD2 + DE 2 , das heisst die Gleichung 3 − 4p x2 (1 − p2 ) + 2x(8p − 6) = 0, die nach x aufgelöst x = 4 ergibt. 1 − p2 Die Bedingungen 0 < CE ≤ CD und 0 < CF ≤ CB liefern das System von Ungleichungen 6 − 8p ≤ 3 0 < 1 − p2 (S) : 2 0 < 3p − 4p ≤ 2 1 − p2 Für positive p ergibt sich folgende Vorzeichentabelle : p 0 Vorzeichen von (6 − 8p) Vorzeichen von (3p − 4p2 ) Vorzeichen von (1 − p2 ) Vorzeichen von (6 − 8p)/(1 − p2 ) Vorzeichen von (3p − 4p2 )/(1 − p2 ) 3 4 6−8p 1−p2 Wir stellen fest, dass p > 3 4 < p < 1, dann sind 3/4 1 .. + . − − .. + . − − .. + + . − .. + . − k + .. + . − k + ∞ das System (S) nicht erfüllt. In der Tat, wenn 3p−4p2 1−p2 3p−4p2 1−p2 ≤ 2 und beide kleiner als Null, und wenn p > 1, dann ist die Ungleichung nicht erfüllt. Das Systeme (S) ist daher äquivalent zu √ 0 < p < 43 4− 7 3 2 3p − 8p + 3 ≤ 0 , was bedeutet, dass ≈ 0, 45 ≤ p < . 3 4 2p2 − 3p + 2 ≥ 0 LEA 3 Wegen des Vorzeichenwechsels von g(x) gibt der orientierte FlächeninZ halt A = ln 8 ln 2 g(x)dx nicht die richtige Antwort. (1 − 2ex )(1 − 3e−x ) den e−x (1 − 2ex ) x Faktor 1 − 2e , der nur in x = − ln 2 gleich Null ist, kürzen und erhalten g(x) = ex − 3. Die Funktion g(x) verschwindet nur in x = ln 3 und g(ln 2) = −1 < 0, g(ln 8) = 5 > 0. Im vorgegebenen Intervall [ln 2, ln 8] wechselt g(x) genau einmal das Vorzeichen : sie ist negativ in [ln 2, ln 3] und positiv in [ln 3, ln 8]. Die gesuchte Fläche A ist also Z ln 3 Z ln 8 9 ≈ 2, 27. A=− (ex − 3)dx + (ex − 3)dx = 4 + 3 ln 16 ln 2 ln 3 In der Tat, für ln 2 ≤ x ≤ ln 8, können wir in g(x) = 18 Aufgaben zum Einstieg √ LEA 4 Die Koordinaten des Punktes A sind (a, 1 − a2 ). Wir setzen S(a) = Fläche ABCDEF A ; dann gilt : Z ap p Fläche von CDEOC + Fläche von BOF AB = a 1 − a2 + 1 − x2 dx 0 p = a 1 − a2 + F (a) − F (0), √ wobei F (x) eine Stammfunktion von f (x) = 1 − x2 ist. Die Ableitung ist also gegeben durch p p a2 2 − 3a2 S 0 (a) = (a 1 − a2 )0 + F 0 (a) = 1 − a2 − √ + f (a) = √ 1 − a2 1 − a2 q 2 und S 0 hat genau eine (positive) Nullstelle a = 3 und sie wechselt dort ihr Vorzeichen ; an dieser Stelle nimm S(a) sein Maximum an. S(a) = LEA 5 (a) Es gilt 7x2 −5x+1 > 0 für jedes reelle x. Wir schliessen hieraus, dass sich die gegebene Ungleichung als x(x2 − 4x + 8) ≥ 0 schreiben lässt, woraus umgehend die Behauptung folgt. Hieraus folgt, dass für x ≥ 0 der Zähler der Funktion f (x) positiv ist und deshalb f (x) > 0 gilt. 7x + 14 (b) Wir schreiben f (x) = x − 4 + 2 und sehen, dass die durch y = x − 4 x +1 denierte Gerade die Asymptote ist ; sie schneidet die Gerade y = −x − 2 im Punkt (1, −3). Wegen f (x) − (x − 4) > 0, für x ≥ 0 und unter Berücksichtigung von (a) gilt für die gesuchte Fläche Z 6 Z 6 5 5 x+2 A = f (x)dx + + = (x − 4 + 7 2 )dx + 5 2 2 x +1 0 0 · ¸6 1 2 7 2 = x − 4x + ln(x + 1) + 14 arctan x + 5 2 2 0 7 = ln 37 + 14 arctan 6 − 1 ≈ 31, 3. 2 LEA 6 Sei h die durch den Punkt B gehende Höhe. Aus den Eigenschaften des Dreiecks folgt 0 < α < π3 und S(α) = 12 AC · h. Mit Hilfe des Sinussatzes nden sin 3α wir : S(α) = 4 . Die Bedingung S 0 (α) = 0 impliziert cos α 0 = 3 cos 3α · cos α + sin 3α · sin α = cos 3α · cos α − sin 3α · sin α + 2 cos 3α · cos α + 2 sin 3α · sin α = cos 4α + 2 cos 2α = 2(cos 2α)2 + 2 cos 2α − 1 = p(α) Durch die Substitution x = cos 2α wird diese √Gleichung in 2x2 + 2x − 1 = 0 ist. Schliesslich ist bei überführt, deren einzige zulässige Lösung x = 3−1 2 Ã√ ! 1 3−1 α = arccos 2 2 die Fläche S(α) maximal wie eine Untersuchung der Vorzeichen p(α) ergibt. LEA 7 Nehmen wir an, die Gerade δ sei eine Tangente an γ mit Berührungspunkt T . Wenn wir den Ursprung mit O bezeichnen, dann gilt OΩ = m und 2m = Steigung von δ = ΩT 2 =√ . OT m2 − 4 Wir leiten hieraus ab, dass m4 − 4m2 − 1 = 0 und somit m = ± p 2+ √ 5. Aufgaben zum Einstieg 19 LEA 8 Wir müssen die Funktion S = π(r12 + r22 ) minimieren, wobei r1 + r2 = p 5 − 4r1 . Wir können also S 2(1 + r1 ) 2 1) als einzig von r1 abhängige Funktion schreiben : S(r1 ) = π(r12 + (5−4r 4(1+r1 )2 ). Die notwendige Bedingung für r1 ist : µ ¶ 9(5 − 4r1 ) S 0 (r1 ) = π 2r1 − 2(1 + r1 )3 µ ¶ 4r1 (1 + r1 )3 − 9(5 − 4r1 ) = π 2(1 + r1 )3 = 0; |Ω1 Ω2 | = (2 − r1 )2 + (r2 − 1)2 , das heisst r2 = hieraus folgt, dass r1 folgende Gleichung erfüllen muss : 4r14 + 12r13 + 12r12 + 40r1 − 45 = 0. LEA 9 Damit die Gerade x = 2 eine senkrechte Asymptote ist, muss der Nenner von f (x) an der Stelle x = 2 verschwinden, das heisst, es muss 4 + 2c + 2 = 0 gelten, woraus c = −3 folgt. Damit die Gerade y = 2x + 3 eine schräge Asymptote ist, muss µ 3 ¶ ax + bx2 − 2x + 3 lim − 2x − 3 = 0 x→∞ x2 − 3x + 2 gelten, woraus a = 2 und b = −3 = c folgt. Wir verizieren in diesem Fall, dass derZähler von f (x) nicht in x = 2 verschwindet. LEA 10 Sei h die Höhe des Zylinders und r der Radius seiner Grundäche. Wir wollen V = πr2 h unter der Bedingung, dass die Oberäche gleich 1 = πr2 +2πrh r − πr3 1 − 3πr2 1 ist. Wir erhalten V (r) = . Es gilt V 0 (r) = = 0 für r = √ , 2 2 3π V 0 (r) > 0 für r ∈]0, √13π [ und V 0 (r) < 0 für r ∈] √13π , ∞[. Das Volumen V ist also maximal, wenn 1 r=h= √ ≈ 32, 6cm. 3π 1 LEA 11 Mit x = gilt : 2t ¶6t µ α 1 1 L = lim 1 + + α lim = e6 + 2 = 0. 1 2x t→∞ x→∞ t e (1 + x ) Folglich α = −e8 . LEA 12 Für den ersten Grenzwert gilt : √ ( 2 − 2 sin α)2 lim α→ π 1 − sin2 2α 4 Ã√ = lim α→ π 4 µ = lim α→ π 4 2 − 2 sin α cos 2α 2 √ 2 + 2 sin α !2 ¶2 = 1 . 2 Für den zweiten Grenzwert gilt : lim x→π (x2 − (π + 1)x + π) sin( π−x 3 ) 3 2 2 x − (2π + 1)x + (π + 2π)x − π 2 = = (x6=π) (x − π)(x − 1) sin( π−x 3 ) x→π (x − π)(x − π)(x − 1) sin( π−x 1 3 ) =− . lim x→π x − π 3 lim 20 Aufgaben zum Einstieg LEA 13 (a) Wir zerlegen die natürliche Zahl N in Primfaktoren : N = pk11 pk22 · · · pk` ` , wobei pi 6= pj , wenn i 6= j , Primzahlen > 1 sind und ki ∈ N∗ gilt. 1. Alle ki sind gerade √ : m` 1 ki = 2mi und N = pm = K ∈ N∗ , woraus N = K 2 folgt ; 1 · · · p` 2. ein oder mehrere ki sind ungerade : √ wir nehmen ki = 2mi + 1, mi ≥ 0, i = 1, .√ . . , j an. Dann gilt N = √ √ N 0 p1 · · · pj mit N 0 ∈ N∗ ; hieraus folgt, dass N ∈ / Q, denn p1 · · · pj ∈ / √ Q. In der Tat, wenn wir das Gegenteil annehmen, das heisst p1 · · · pj = m/n für zwei teilerfremde natürliche Zahlen m, n, dann gilt m2 = p1 p2 · · · pj n2 und p1 ist ein Teiler von m2 und somit Teiler von m : m = p1 m0 , was impliziert, dass p1 m02 = p2 · · · pj n2 ; folglich ist p1 ein Teiler von n2 also auch von n : n = p1 n0 . Dies ist ein Widerspruch. (b) √ 0 Wir √nehmen √ an, die betrachtete Zahl sei rational, das heisst p + p00 + p0 p00 = q ∈ Q+ ; es gilt dann p p p p p p p0 + p00 = q − p0 p00 und somit p0 + 2 p0 p00 + p00 = q 2 − 2q p0 p00 + p0 p00 √ und wir erhalten 2(1 + q) p0 p00 = q 2 + p0 p00 − p0 − p00 , oder auch p q 2 + p0 p00 − p0 − p00 ∈ Q, 2(1 + q) √ was im Widerspruch zur Annahme p0 p00 ∈ / Q steht. p0 p00 = LEA 14 Sei N eine solche Zahl : N enthält die Zier 4 und 11 Mal die Zier 1. Die Summe dieser Ziern 4 + 11 = 15 ; N ist also durch 3 ohne durch 9 = 32 teilbar zu sein. Somit kann diese Zahl keine Quadratzahl sein. ¯x¯ ¯ 1¯ ¯1¯ LEA 15 Falls y 6= 0, ¯¯ ¯¯ = ¯¯x ¯¯ = |x| · ¯¯ ¯¯. y¯ ¯ ¯ y¯ ¯ ¯y ¯1¯ ¯ ¯ ¯ 1¯ 1 folgt. Deswegen gilt Nun ist 1 = |1| = ¯y y ¯ = |y| · ¯ y ¯, woraus ¯ y1 ¯ = |y| ¯x¯ ¯1¯ 1 |x| ¯ ¯ ¯ ¯ = . ¯ ¯ = |x| · ¯ ¯ = |x| y y |y| |y| ¯ ¯ ¯|x| − |y|¯ 6 |x − y| zu beweisen bedeutet −|x − y| 6 |x| − |y| 6 |x − y| zu zeigen. Nun ist |x| = |(x − y) + y| 6 |x − y| + |y| , woraus |x| − |y| 6 |x − y| folgt. Ebenso ist |y| = |(y − x) + x| 6 |x − y| + |x| und somit −|x − y| 6 |x| − |y| und die gewüschte Behauptung ist bewiesen. LEA 16 Die für die Existenz notwendige Bedingung ist : a > 0, c > 0, −c < b < c, c + b 6= 1 und c − b 6= 1. Die betrachtete Gleichung lässt sich als ln a ln a ln a ln a + =2 · ln(c + b) ln(c − b) ln(c + b) ln(c − b) schreiben und ist äquivalent zu ln a · ln(c2 − b2 ) = ln a · ln a2 , das heisst zu ln(c2 − b2 ) = ln a2 . Letztere Gleichung ist dann und nur dann wahr, wenn c2 − b2 = a2 . LEA 17 a) Die Antwort ist ³ 6 ´³ ´ 5 · 5! = 180 000. 2 3 Aufgaben zum Einstieg 21 ³ 6 ´³ 3 ´ · 5! · 6 = 430 200. 3 2 b) Die Antwort ist LEA 18 Durch Quadrieren erhalten wir √ 2p2 − 7p + x − 1 = 2(p − 3) p. Falls p 6= 3, so ist die Gleichung √ p∈ / Q; falls p = 3, dann x = 4. √ p= 2p2 − 7p + x − 1 nicht zu erfüllen, denn 2(p − 3) LEA 19 Wir schreiben die sich bewegenden Punkte Pi ∈ Γi in der Parameterdarstellung unter Berücksichtigung der Phasendierenz π4 . √ ½ ½ xP2 = 2 + 2√2 cos(t + π4 ) xP1 = 8 + 2 cos t , P2 : P1 : . yP1 = 4 + 2 sin t yP2 = 2 + 2 2 sin(t + π4 ) −−→ −−→ −−→ Aus OM = 12 (OP1 + OP2 ), leiten wir die Koordinaten vonM her : ½ xM = 5 + 2 cos t − sin t , yM = 3 + cos t + 2 sin t woraus die Gleichung für Γ in kartesischen Koordinaten folgt : (x − 5)2 + (y − 3)2 = 5 . LEA 20 Fläche des Dreiecks 1 1 (Grundseite) · (Höhe) = ab sin γ (siehe erstes Schaubild in 5.9) 2 2 = 1 p 1 p ab 1 − cos2 γ = ab (1 − cos γ)(1 + cos γ) 2 2 1 2 Nun gilt mit dem Kosinussatz : cos γ = [c − (a2 + b2 )]. Hieraus folgt 2ab 1 p 1 ab · Fläche des Dreiecks = [(a + b)2 − c2 ][c2 − (a − b)2 ] 2 2ab = = = 1p (a + b − c)(a + b + c)(c − a + b)(c + a − b) 4 p p(p − a)(p − b)(p − c) denn, zum Beispiel, a + b − c = 2p − 2c. LEA 21 Wir stellen fest, dass zum Beispiel für t = 1 2 und t = 1 wir α = erhalten. √ Mit der Beziehung cos(arcsin x) = 1 − x2 und den Formeln cos 2x = 1 − tan2 x , 1 + tan2 x sin 2x = 2 tan x , 1 + tan2 x erhalten wir q cos α und somit α = = p 1 − (2t − 1)2 · 1− 1+ 1−t t 1−t t − (2t − 1) 2 1−t t 1−t t 1+ p √ √ = 2 t(1 − t)(2t − 1) − (2t − 1)2 1 − t t = 0 π für alle t ∈]0, 1]. 2 π 2 22 Aufgaben zum Einstieg LEA 22 Ist n gerade, so geht xn = gegen ∞ strebt ; Ist n ungerade, so geht xn = (α + β)(n2 − n) gegen α + β , wenn n n2 + 1 (2α − β)(n2 − n) gegen 2α − β , wenn n gegen n2 + 1 ∞ strebt. Die Folge (xn ) konvergiert somit gegen 3, wenn α + β = 2α − β = 3 , dass heisst α = 2 und β = 1. LEA 23 Die Mittelpunkte und die Radien der Kreise sind durch Ω1 (0, 0), Ω2 (−7, −1) und R1 = 5, R2 = 10 gegeben. Es gibt höchstens zwei gemein√ same Tangenten wegen δ(Ω1 , Ω2 ) = 5 2 < 15 = R1 + R2 . Wir betrachten den Kreis Γ02 mit Mittelpunkt Ω2 und Radius R2 − R1 = 5 und bestimmen die durch Ω1 = O gehenden Tangenten an Γ02 ; wir erhalten die beiden durch die Gleichungen 4x − 3y = 0 und 3x + 4y = 0 denierten Geraden t0i . Die gemeinsamen Tangenten ti der Kreise Γi sind zu t0i parallel und - wie wir nach kurzer Rechnung sehen - durch 4x − 3y = 25 und 3x + 4y = 25 gegeben, woraus I(7, 1) folgt. Zu bemerken sei noch, dass in diesem Fall t1 senkrecht zu t2 ist. LEA 24 a) Der Denitionsbereich der Funktion g ist Dg = R, sie ist periodisch mit der Periode π , denn die Sinusfunktion hat die Periode 2π und es gilt | sin(x + π)| = | sin x| ; es genügt daher, die Funktion auf dem Intervall [0, π] zu untersuchen cos x und auf diesem Intervall gilt g(x) = ln(1 + sin x). Mit g 0 (x) = und 1 + sin x −1 g 00 (x) = erhalten wir folgende Variationstabelle : 1 + sin x x g0 g 00 0 1 + − π/2 0 − − π −1 ln 2 g % & 0 0 Hieraus folgt, dass g im Punkt ( π2 , ln 2) ein lokales Maximum und eine waagerechte Tangente besitzt, und in (0, 0) sowie (π, 0), die Spitzen des Graphen bilden, ein lokales Minimum ist mit rechtsseitiger Tangente der Steigung 1 linksseitiger Tangente der Steigung −1 ; g ist konkav. Der Graph g ist von folgender Gestalt : 1.5 1 0.5 –1 1 –0.5 –1 2 3 4 Aufgaben zum Einstieg 23 p b) Die Funktion f lässt sich in der Form f (x) = 3 (x − 1)2 (x + 2) = (x + 2)1/3 (x − 1)2/3 schreiben, ihr Denitionsberech ist daher Df = R ; sie verschwindet in x = −2 und x = 1 und wechselt an der Stelle x = −2 ihr Vorzeichen. Wir haben f 0 (x) = (x + 1)(x + 2)−2/3 (x − 1)−1/3 und f 00 (x) = −2(x − 1)−4/3 (x + 2)−5/3 , woraus folgende Variationstabelle folgt : x f0 f 00 −∞ f + + −2 k k + % 0 % −1 0 − √ 3 4 − 1 k k +∞ + − +∞ & −∞ % 0 √ So hat f in (−1, 3 4) ein lokales Maximum und in (1, 0) ein lokales Minimum, das eine Spitze mit senkrechten Tangenten darstellt. In (−2, 0) ist die Tangente an γ senkrecht und für x → ±∞, besitzt γ die durch die Gleichung y = x denierte f (x) Asymptote δ (in der Tat, lim = 1 und lim f (x) − x = 0). Der Graph x→±∞ x x→±∞ γ ist auf dem Intervall ] − ∞, −2[ konvex und konkav auf dem Intervall ] − 2, 1[ und auf dem Intervall ]1, +∞[ wie aus dem Vorzeichen von f 00 hervorgeht. 6 4 2 –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 –4 –6 Durch Gleichsetzen von f 0 (x) mit der Steigung der Asymptoten δ erhalten wir den Punkt T (− 35 , 43 ) , in dem die Tangente an γ parallel zu δ ist. LEA 25 a) Die Funktion f ist auf ganz R deniert, das heisst Df = R ; sie ist weder f (x) gerade noch ungerade, denn f (−x) = −x + 1 − e−x . Es gilt lim = x→+∞ x µ f (x) −∞ ; also besitzt f keine Asymptote bei +∞. Wegen lim = lim 1+ x→−∞ x x→−∞ ¶ 1 ex − = 1 und lim (f (x) − x) = lim (1 − ex ) = 1, ist die Gerade x→−∞ x→−∞ x x y = x + 1 eine Asymptote bei −∞. Die Ableitung von f , f 0 (x) = 1 − ex verschwindet x = 0, ist positiv, wenn x < 0, und negativ, wenn x > 0 ; 24 Aufgaben zum Einstieg also besitzt f ein Maximum in (0, 0) und hat folgende Variationstabelle : x f0 −∞ + f 0 0 0 +∞ − % & −∞ −∞ sowie den Graphen : 4 2 –6 –4 –2 2 4 6 0 –2 –4 –6 b) Bei −∞ lässt sich g in der Form g(x) = 1 − x + δ(x) schreiben mit lim δ(x) = lim −ex = 0 ; deshalb besitzt die Funktionskurve g bei x→−∞ x→−∞ −∞ eine schräge Asymptote, welche durch die Geradengleichung y = g(x) −x + 1 gegeben ist. Bei +∞, lim = −∞ ; also hat g keine schräge x→+∞ x Asymptote. c) Damit die Funktionen h in (x0 , h(x0 )) einen Extremwert annehmen muss h0 (x0 ) = α − ex0 = 0 gelten, das heisst α = ex0 > 0. Es gilt h0 (x) > 0 für x < ln α und h0 (x) < 0 für x > ln α ; somit nehmen die Funktionen h ein Maximum an und die gesuchten Werte sind α ∈ R∗+ . In diesem Fall sind die Koordinaten des Maximums von h gleich (ln α, α ln α). d) Wir sehen, dass f (x) − g(x) = 2x > 0 für x > 0 und die gesuchte Fläche ist deshalb Z 10 Z 10 ¯10 ¯ 2x dx = x2 ¯ = 100 (f (x) − g(x)) dx = A= 0 0 0 LEA 26 1. Wegen n ∈ N∗ ist fn (0) = 0, lim fn (x) = x− −−→0 x<0 lim xn ex = 0 = fn (0) und x− −−→0 x<0 lim fn (x) = lim xn ln(x) = 0 = fn (0), woraus die Stetigkeit der fn x− − −→0 x− − −→0 x>0 x>0 an der Stelle x = 0 folgt. Die Funktionen fn sind an der Stelle x = 0 genau dann dierenzierbar, wenn n > 1 ; in der Tat sind sie genau dann fn (h) − fn (0) fn (h) dierenzierbar, wenn lim = lim existiert ; nun gilt h→0 h→0 h h ½ fn (h) 1 , falls n = 1 = lim hn−1 eh = lim 0 , falls n > 1 h− −−→0 h− −−→0 h h<0 h<0 Aufgaben zum Einstieg 25 und fn (h) lim = lim hn−1 ln(h) = h− − − → 0 h− − −→0 h h>0 h>0 ½ , falls , falls −∞ 0 n=1 n>1 2. Wir haben ½ f10 (x) ex (1 + x) ln(x) + 1 = , falls , falls x≤0 x>0 ; hieraus folgt, dass auf den Intervallen ]−∞, −1[ und ]0, e−1 [, f10 < 0 und somit f1 fallend ist, und dass auf den Intervallen ] − 1, 0[ und ]e−1 , +∞[, f10 > 0, das heisst f1 wachsend ist. Für x < 0, f100 (x) = ex (x + 2) verschwindet mit Vorzeichenwechsel an der Stelle x = −2, also hat f1 hier einen Wendepunkt mit Koordinaten (−2, −2e−2 ). Für x > 0, f100 (x) > 0 und somit gibt es keine weiteren Wendepunkte. Graphische Darstellung der Kurve(C1 ). 3 2 1 –4 –3 –2 –1 1 –1 3. Auf dem Intervall ]0, 1] ist fn (x) ≤ 0, also An (k) = − mittels partieller Integration erhalten wir : An (k) = 0+ k n+1 ln(k)+ n+1 Z Mit Hilfe des Grenzwertes 1 2 Z k 1 3 xn ln(x) dx und xn k n+1 1 k n+1 dx = ln(k)+ − 2 n+1 n+1 (n + 1) (n + 1)2 k lim k n+1 ln(k) = 0 schliessen wir, dass k−−→0 k>0 µ lim An (k) k−−→0 k>0 = = lim k−−→0 k>0 ¶ µ n+1 ¶ k n+1 1 k ln(k) + − lim 2 k−−→0 (n + 1)2 n+1 (n + 1) k>0 1 . (n + 1)2 LEA 27 1. Die Ebene ABC wird durch folgende linear unabhängigen Vektoren aufgespannt : 4 6 −−→ −−→ −→ − → − − → − → 2 et AC = OC − OA = 0 . AB = OB − OA = −2 −6 26 Aufgaben zum Einstieg Der Vektor −12 1 − − → − → − → n = AB × AC = 12 = −12 −1 −12 1 ist deshalb ein zur Ebene senkrechter Vektor. Es folgt hieraus, dass die Ebenengleichung von ABC von der Form x − y + z + α = 0 ist, wobei α eine Konstante ist, die wir dadurch bestimmen, dass die Koordinaten von A die Ebenengleichung erfüllen. Die Antwort ist also x − y + z − 2 = 0. 2. Es gilt −12 4 4 → − − − → − − → − − → −−→ 0 . 2 , AD = −4 also d = AB × AD = AB = −24 −2 −2 → − Der Vektor d ist ein Richtungsvektor der durch C gehenden Höhe des → −−→ −−→ − Tetraeders ABCD ; Mit OQ = OC +λ d , wobei Q( x ; y ; z ) ein Punkt auf der Höhe und λ eine reelle Zahl ist, erhalten wir die folgenden Gleichungen der Parameterdarstellung : x = 6+λ y = 1 , λ ∈ R. z = −3 + 2λ 3. Wir bezeichnen den spitzen Schnittwinkel der Ebenen ABC und ABD − → → mit ϕ. Da − n senkrecht zu ABC und d senkrecht zu ABD ist, gilt √ → − → |− n · d| 3 3 √ √ √ ≈ 0.7746, cos ϕ = = = → − − → 3 5 5 knk·kdk woraus wir ϕ ≈ 0, 6847 Radiant (≈ 39◦ ) ableiten. 4. Es gilt 4 −2 0 −−→ − − → − − → − − → 2 , CD = −4 und AB × CD = −12 . AB = −2 4 −12 Der Abstand δ(AB, CD) der beiden Geraden AB und CD ist somit durch −−→ −−→ −→ √ |(AB × CD) · AC| 72 δ(AB, CD) = = √ =3 2 −−→ −−→ 12 2 kAB × CDk gegeben. 5. Die Koordinaten ( x ; y ; z ) des Mittelpunkts P der den Tetraeder ABCD umschreibenden Kugel erfüllen die Gleichungen y = 0 x−3 = z , 2x − 4 = z − y −−→ die nach Vereinfachung sich aus folgende Beziehungen ergeben : kBP k2 = −−→ −→ −−→ −→ −−→ kDP k2 = r2 , kAP k2 = kCP k2 = r2 et kAP k2 = kBP k2 = r2 . Die Lösung ist x = 1, y = 0 et z = −2, das heisst P ( 1 ; 0 ; −2 ). −→ Um den √ Radius zu bestimmen, genügt es kAP k zu berechnen ; wir nden r = 3 3. Die Gleichung der Sphäre mit Mittelpunkt P und Radius r ist somit (x − 1)2 + y 2 + (z + 2)2 = 27 bzw. x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4z − 22 = 0. Kapitel 1 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen Aufgaben A1.1 Zeige, dass eine natürliche Zahl durch 9 teilbar ist, falls seine Quersumme durch 9 teilbar ist. Folgere hieraus eine Bedingung für die Teilbarkeit durch 3. A1.2 Für ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a und b sowie der Hypote- nuse c bestimme b ∈ N∗ et c ∈ N∗ falls a = 34. Löse dieselbe Aufgabe für de Fall a = 35. √ A1.3 Zeige, dass 3 333 nicht rational ist. A1.4 Ist r = 31/2 − 21/3 eine rationale Zahl ? A1.5 √ √ √ 5+2 2 √ √ in der Darstellung a + b c mit a, b, c ∈ Q. a) Schreibe r = 2 5−3 2 r r 7 3 b) Bestimme q ∈ Q so, dass das Produkt der Zahlen r1 = +q und 2 2 √ √ 5 2 − 42 √ rational ist. r2 = √ 2 7−3 3 √ √ A1.6 Zeige, dass r = ( 1 + α2 − α)1/3 − ( 1 + α2 +√α)1/3 eine Lösung der √ Gleichung x3 +3x+2α = 0 ist. Schliesse daraus ob δ = ( 5−2)1/3 −( 5+2)1/3 rational ist oder nicht. A1.7 Führe folgende Divisionen aus : x6 + 5x4 + 40x3 + 15x + 1 . x+3 −3x6 + x5 + 3x4 − 5 b) . x2 + 1 Bemerkung : Es ist ebenfalls möglich die Division "in umgekehrter Reihenfolge", d.h. beginnend mit der niedrigsten Potenz, durchzuführen. −5 + 3x4 + x5 − 3x6 c) [b) "in umgekehrter Reihenfolge"]. 1 + x2 a) A1.8 Zerlege folgende Brüche in eine Summe von einfachen Brüchen : a) 7x3 − 3x2 − 6x + 1 ; x4 + x3 + x + 1 b) x3 2x3 − 3 − x2 + 2x − 2 A1.9 Gebe die Partialbruchdarstellung folgender rationaler Funktionen an : a) x3 7 − 3x ; − 6x2 + 11x − 6 b) x2 + x + 1 (x − 1)8 28 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen A1.10 Für welches p besitzt die Partialbruchzerlegung von R(x) = einen einfachen Bruch, welcher eine Nullstelle in x = 0 hat ? −4x3 + px2 + 6x + 3 x4 − 1 A1.11 Sei p > 0 und m ∈ Z. a) Vereinfache A = [−p(−p−2 )m ]−2m . Für p = 2 bestimme m so, dass A gleich 165 . b) Vereinfache B = (p4/3 − p2/3 + 1)(p2/3 + 1). √ c) Löse die Rekursionsgleichung rn = prn−1 , n ∈ N∗ und r0 = 1. 6 + 121/2 + 181/2 + 541/2 den Nenner rational. 31/2 + 21/2 241/2 Zeige, dass D = 1/2 . 3 −1 d) Mache in D = A1.12 Vereinfache den Ausdruck E = a4x − 1 . ax + a−x 1 )+ A1.13 Berechne ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners N = 3 log2 ( 16 2 log√3 (27). A1.14 Zeige, dass es unter drei verschiedenen Mengen A1 , A2 et A3 wenigstens eine gibt, die keine der anderen entält. A1.15 Seien A, B et C Mengen. Zeige, dass (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) A1.16 Durch Einsetzen geeigneter Zahlen im binomischen Lehrsatz berechne Cn0 + Cn2 + Cn4 + · · · + Cn2p + · · · et Cn0 + 2Cn2 + 4Cn4 + · · · + 2p Cn2p + · · · A1.17 a) Wieviele sechsstellige Zahlen kann man aus den Ziern 1 à 8 bilden ? b) Dieselbe Frage mit der Einschränkung, dass jede Zier höchstens ein Mal auftreten darf. c) Wieviele sieben- bzw. sechsstellige Zahlen kann man mit den Ziern 1 - 1 - 1 - 3 - 4 - 4 - 5 bilden ? A1.18 Eine Urne enthält 10 weisse, 5 schwarze und 5 rote Kugeln. Man zieht 5 Kugeln. a) In wieviel Prozent der Fälle zieht man nur weisse Kugeln ? b) In wieviel Prozent der Fälle zieht man alle 3 Farben mit gleicher Anzahl von roten und schwarzen Kugeln ? c) In wieviel Prozent der Fälle zieht man mehr schwarze als weisse Kugeln ? A1.19 √ a) Für z = 1 + i 3, berechne z̄ , |z|, arg z , z −1 und z 3 . √ b) Gebe die Lösungen der Gleichung z 2 = 1 + i 3 in Polarkoordinaten (Normaldarstellung) sowie kartesischen Koordianten an. c) Gebe die dritten Wurzeln von w = 1 1−i + 1 i in Polarkoordinaten an. Aufgaben 29 A1.20 a) Bestimme alle z , welche die Gleichung |z| − 9i = 3z − 7 erfüllen. b) Bestimme alle z , für die z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 gilt. A1.21 Unter Verwendung der De-Moivreschen Formel zeige, dass sin 3t = 3 sin t − 4 sin3 t. √ A1.22 Für welche ganzen Zahlen n ist die komplexe Zahl ( 3 + i)n reel und positiv, reel und negativ oder rein imaginär ? 30 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen Mathematische Grundlagen 1.1 Aufbau des Zahlenbereichs Zahlen können in folgenden Zahlenbereichen zusammengefasst werden : N : Die unendlich abzählbare Menge der natürlichen Zahlen. Diese können wir einteilen in die Menge der Primzahlen, die dadurch charakterisiert sind, dass sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind, und solche, die keine Primzahlen sind, die sogenannten teilbaren natürlichen Zahlen. Es sei noch bemerkt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Z : Die Menge der ganzen Zahlen bestehend aus den mit den Vorzeichen + und − versehenen natürlichen Zahlen mit Ausnahme der 0, die kein Vorzeichen besitzt. Wir bezeichnen mit Z∗ = Z \ {0} die von 0 verschiedenen ganzen Zahlen. Q : Die Menge der rationalen Zahlen bestehend aus den Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, wobei der Nenner immer von 0 verschieden ist. In der Dezimalbruchdarstellung ergeben rationale Zahlen immer endliche oder periodische Dezimalbrüche. R : Die Menge der reellen Zahlen, die der Menge aller Dezimalzahlen entspricht. Es gelten folgende Eigenschaften : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Primfaktorzerlegung : Jede natürliche Zahl ist entweder selbst eine Primzahl oder lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. In der Menge der ganzen Zahlen Z heisst b ein Teiler von a (bzw. b teilt a), wenn es eine ganze Zahl k gibt, so dass a = kb. In diesem Fall sagen wir auch sagen auch, dass a durch b teilbar ist. Zwei ganze Zahlen a und b besitzen immer einen grössten gemeinsamen Teiler, in Zeichen ggT (a, b), da einerseits 1 alle ganzen Zahlen teilt und andererseits die abzählbare Menge der gemeinsamen Teiler von a und b immer durch |a| beschränkt ist, denn jeder Teiler d von a und b ist entweder kleiner oder gleich |a|. Zwei positive ganze Zahlen a und b besitzen immer ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, in Zeichen kgV (a, b), denn ab ist immer ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen. Zwei ganze Zahlen a und b heissen teilerfremd beziehungsweise relativ prim, wenn ggT (a, b) = 1, d.h. sie keine von 1 oder −1 verschiedenen Teiler besitzen. Q ⊂ R zeigen wir, dass √ 2 nicht rational ist. √ √ 2 ∈ Q. In diesem Falle lässt sich 2 als Beweis : Wir nehmen an, dass vollständig gekürzter Bruch schreiben : Zur Veranschaulichung der Eigenschaft √ 2= a b mit a ∈ N, b ∈ N∗ et a et b teilerfremd. Quadrieren beider Seiten ergibt a2 =2 b2 ⇒ a2 = 2b2 , woraus folgt, dass a2 gerade ist und somit auch a. Wir können also a als a = 2n 2 mit n ∈ N schreiben. Folglich ist b2 = a2 = 2n2 ebenfalls gerade und somit 1.2 Operationen auf der Menge R der reellen Zahlen 31 auch b. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch ab vollständig √ gekürzt ist, denn a und b sind beide durch 2 teilbar, woraus folgt, dass 2 ∈ / Q. 1.2 Operationen auf der Menge R der reellen Zahlen Auf der Menge R sind zwei innere Verknüpfungen deniert : Addition (in Zeichen +) und Multiplikation (in Zeichen ·). Diese Verknüpfungen besitzen folgende Eigenschaften : Eigenschaften : ∀a, b, c ∈ R, a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c ∃0, so dass a+0=a ∀a, ∃b, so dass a + b = 0 ⇒ b = −a a·b=b·a a · (b · c) = (a · b) · c ∃1 6= 0, so dass a·1=a ∀a 6= 0, ∃b, so dass a · b = 1 ⇒ b = 1/a Kommutativgesetz Assoziativgesetz Existenz eines neutralen Elements Existenz eines inversen Elements Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c Eine Menge mit diesen Eigenschaften bezeichnen wir als Körper (in unserem Falle der Körper der reellen Zahlen). Binomische Formeln : (a + b)2 (a − b)2 (a + b + c)2 (a + b)(a − b) (a + b)3 (a − b)3 (a − b)(a2 + ab + b2 ) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a2 + 2ab + b2 = = = = = = = a2 − 2ab + b2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a2 − b2 a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 − b3 a3 + b3 = ¶ n µ X n an−p bp p Binomischer Lehrsatz : n (a + b) p=0 µ wobei n p ¶ = Cnp die Binomialkoezienten bezeichnen (vgl.1.12). 1.3 Ordnungsrelationen und geordnete Mengen Sei E eine Menge und R eine (zweistellige) Relation. R heisst Ordnungsrelation, wenn ∀x, y, z ∈ E : xRx xRy et yRx ⇒ x = y xRy et yRz ⇒ xRz Reexivität, Identivität (Antisymmetrie) Transitivität. 32 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen (E, R) heisst dann geordnete Menge. Beispiele : Die Mengen (N, 6), (Z, 6), (Q, 6) et (R, 6) sind geordnete Mengen, weshalb wir üblicherweise die Ordnungsrelation R mit 6 bezeichnen. Wir schreiben x < y falls x ≤ y und x 6= y sowie x > y falls y < x. In den zuvor aufgeführten Mengen gilt für zwei Zahlen x, y immer, dass entweder x < y oder x = y oder x > y (Trichotomie genannte Eigenschaft). Monotonie von Addition und Multiplikation : x6y 0 6 x und 0 6 y ⇒ ⇒ x+z 6 y+z, 0 6 xy ∀z 1.4 Division algebraischer Summen Standardmethode im allgemeinen Fall - schrittweise Division 3x4 3x4 - 7x3 6x3 x3 x3 + 4x2 + 2x2 2x2 2x2 - 4x 4x 4x + 4 - 8 12 : x−2 3x3 − x2 + 2x + 4 : Division eines Polynoms P (x) durch ein Monom (x − x0 ) : Mit Hilfe des Hornerschen Schemas können die Koezienten des Quotienten rasch ermittelt werden. Hierzu schreiben wir Spezialfall - Hornerschema ¡ ¢ P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 = (x − x0 ) bn xn−1 + · · · + b2 x + b1 + b0 . Koezientenvergleich ergibt an = bn sowie die Rekursionsformel ak = bk − x0 bk+1 für k = n − 1, n − 2, . . . , 0. Die einzelnen Rechenschritte werden folgendermassen durchgeführt : Wir bilden eine Tabelle bestehend aus 3 Zeilen und n + 1 Spalten wobei n est der Grad des Polynoms P (x) ist : In die erste Zeile tragen wir, beginnend mit der ersten Spalte, die Koezienten an , an−1 , . . . , a1 , a0 ein. In der dritten Zeile steht an erster Stelle der Koezient an . In der zweiten Zeile stehen beginnend mit einer 0 die rekursiv zu berechnenden x0 bn , . . . , x0 b1 , die wir durch Multiplikation des unmittelbar voranstehenden Gliedes der dritten Zeile erhalten. Die Glieder der dritten Zeile ergeben sich dann durch Addition der darüberstehenden Glieder der beiden ersten Zeilen,d.h die Koezienten bn = an , bn−1 , . . . , b0 = P (x0 ). Beispiel : P (x) = 3x4 − 7x3 + 4x2 + 4 et x0 = 2 1.5 Partialbruchzerlegung 3 + 33 −7 4 −2 6 ¶¶I µH µ ¶¶ µµ ¶¶¶ µµµ ¶ µ µµµ·2 ¶¶¶·2 µµ ¶¶ µµµ ¶¶¶ µµ ¶¶ ² µµ ² ¶¶ −1 3 2 0 4 4 8 4 12 3x4 − 7x3 + 4x2 + 4 = (x − 2) · (3x3 − x2 + 2x + 4) + 12. Der letzte Term der dritten Zeile ist P (x0 ), hier P (2) = 12. Teilbarkeit Ein Polynom P (x) ist durch ein Polynom D(x) teilbar, falls es ein Polynom Q(x) gibt, so dass P (x) = D(x) · Q(x) für alle x ∈ R. Satz : Besitzt das Polynom P (x) eine Nullstelle in a ∈ R, so ist es durch x − a teilbar. 1.5 Partialbruchzerlegung P (x) . Ist der Grad von Q(x) P (x) grösser oder gleich dem von Q(x), so lässt sich durch Division ein ganzrationaler Teil abspalten. Sei R(x) der Rest dieser Divison. Die echt gebrochenR(x) rationale Funktion lässt sich als Summe von Partialbrüchen darstellen : Q(x) Jeder Faktor von Q(x) der Gestalt (x − a)n ergibt eine Summe von Partialbrün X Ai chen der Gestalt , Ai ∈ R. (x − a)i i=1 Wir betrachten die gebrochenrationale Funktion Jeder Faktor der Gestalt (x2 + bx + c)m mit einem irrreduziblem Polynom x2 + bx + c (d.h. ∆ = b2 − 4c < 0) ergibt folgende Summe von Partialbrüchen : m X Bj x + Cj , Bj , Cj ∈ R. 2 (x + bx + c)j j=1 Bemerkung : Man kann zeigen, dass sich jedes Polynom Q(x) als folgendes Produkt von Polynomen, die in R irreduzibel sind, darstellen lässt : Q(x) = (x − a1 )k1 · · · (x − am )km · (x2 + b1 x + c1 )l1 · · · (x2 + bn x + cn )ln , mit k1 , . . . km , l1 , . . . ln ∈ N\{0}, so dass k1 +· · ·+km +2(l1 +·+ln ) = Grad von Q. 34 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen 6 5 4 −2x +x+5 : Der Ausdruck 6x x+x soll als Summe von Partialbrüchen 4 −x3 −x+1 dargestellt werden. Durch Division erhalten wir : Beispiel 6x6 + x5 − 2x4 + x + 5 11x3 + x2 − x 2 = 6x + 7x + 5 + . x4 − x3 − x + 1 x4 − x3 − x + 1 3 2 +x −x Der Ausdruck x11x 4 −x3 −x+1 kann nun in Partialbrüche zerlegt werden. Aus der Produktdarstellung x4 − x3 − x + 1 = (x − 1)2 (x2 + x + 1) und dem allgemeinen Satz über die Partialbruchzerlegung folgt, dass diese von der Form A1 A2 B 1 x + C1 11x3 + x2 − x = + + 2 x4 − x3 − x + 1 x − 1 (x − 1)2 x +x+1 sein muss. Um die Koezienten A1 , A2 , B1 und C1 zu bestimmen multiplizieren wir diese Gleichung zunächst mit dem gemeinsamen Nenner : A1 (x−1)(x2 +x+1)+A2 (x2 +x+1)+(B1 x+C1 )(x−1)2 = 11x3 +x2 −x. (1.1) Durch Koezientenvergleich erhalten wir ein aus vier Gleichungen bestehendes lineares Gleichungssystem für die vier unbekannten Koezienten : A1 + B1 = 11 A2 − 2B1 + C1 = 1 A2 + B1 − 2C1 = −1 −A1 + A2 + C1 = 0 11 10 Es hat die Lösungen A1 = 23 3 , A2 = 3 , B1 = 3 und C1 = 4. Bemerkung : Setzen wir x = 1 in (1.1) ein, so erhalten wir 3A2 = 11 und somit A2 . 1.6 Potenzen und Wurzeln Eigenschaften : Für alle rellen x > 0 und rationalen Zahlen r, s gilt x0 xp/q r x · xs (xr )s Beispiel = = = = 1√ q xp (p ∈ N, q ∈ N∗ ) (r+s) x x(r·s) : 30,75 = 33/4 = (33 )1/4 = √ 4 27. 1.7 Exponentialfunktion und Logarithmus Eulersche Zahl e := lim (1 + n→∞ Allgemeine Exponentialfunktion 1 n ) ≈ 2, 71828 n Die allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a > 0 ist die mit ax bezeichnete Funktion mit folgenden Eigenschaften : 1.8 Intervalle 35 Eigenschaften : ax · ay ax ay x y (a ) = a(x+y) = a(x−y) = a(x·y) Die Funktion ex heisst e-Funktion oder kurz Exponentialfunktion. Natürlicher Logarithmus Der natürlicher Logarithmus einer rellen Zahl x > 0, bezeichnet mit ln x, ist gegeben durch die Beziehung : eln x = x, ∀x > 0 Eigenschaften : ∀x, y > 0, ln(1) = 0, ln(e) = 1, (e ≈ 2, 71828) ln(x ¶ = ln x + ln y µ · y) x = ln x − ln y ln y ∀x > 0, ∀y ∈ R, ln(xy ) ln(ey ) = y ln(x) = y Allgemeiner Logarithmus zur Basis a > 0, a 6= 1 Der allgemeine Logarithmus zur Basis a einer Zahl x > 0, bezeichnet mit loga (x), ist gegeben durch die Beziehung loga (x) = ln(x) , so dass aloga (x) = x. ln(a) Mit log x bezeichnen wir den Logarithmus von x zur Basis 10. 1.8 Intervalle Sei A 6= ∅ eine Teilmenge geordneten Menge der rellen Zahlen R. Untere Schranke A heisst nach unten beschränkt, falls es ein a ∈ R gibt, so dass für alle x ∈ A gilt : x ≥ a. Die Zahl a heisstuntere Schranke von A. Obere Schranke A heisst nach oben beschränkt, falls es ein b ∈ R gibt, so dass für alle x ∈ A gilt : x ≤ b. Die Zahl b heisst obere Schranke von A. Beschränkte Teilmenge Die Menge A heisst beschränkt, falls sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist. 36 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen Inmum Eine untere Schranke a ∈ R heisst Inmum oder auch untere Grenze von A, geschrieben a = inf A, falls a die grösste untere Schranke von A ist. Falls A nicht nach unten beschränkt ist, so denieren wir inf A = −∞. Supremum Eine obere Schranke b ∈ R heisst Supremum oder auch obere Grenze von A, geschrieben b = sup A, falls b die kleinste untere Schranke von A ist. Falls A nicht nach oben beschränkt ist, so denieren wir sup A = +∞. Minimum Eine untere Schranke a ∈ R heisst Minimum von A, geschrieben a = min A, falls a = inf A und a ∈ A. Maximum Eine obere Schranke b ∈ R heisst Maximum von A, geschrieben b = max A, falls b = sup A und b ∈ A. Beschränkte Intervalle Ein Intervall A 6= ∅ ist eine nichtleere Teilmenge von R welche alle Elemente zwischen inf A und sup A enthält. Für beschränkte Intervalle gibt es daher vier Möglichkeiten abhängig davon ob inf A und sup A zum Intervall gehören oder nicht gehören. Sei −∞ < a < b < +∞. Oenes Intervall : ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}. Geschlossenes Intervall : [a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b}. Nach links halboenes Intervall : ]a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b}. Nach rechts halboenes Intervall : [a, b[ = {x ∈ R : a 6 x < b}. Unbeschränkte Intervalle Oenes Intervall : Geschlossenes Intervall : ] − ∞, b[ [a, +∞[ = = {x ∈ R : x < b}. {x ∈ R : x > a}. : Das unbeschränkte Intervall R hat die Eigenschaft sowohl oen als auch geschlossen zu sein. Bemerkung 1.9 Absolutbetrag Jeder reellen Zahl x lässt sich die durch ½ x falls x ≥ 0, |x| = −x sonst denierte nichtnegative reelle Zahl zuordnen. Wir nennen |x| den Absolutbetrag von x. Aus der Denition folgt, dass |x| < a ⇔ −a < x < a et |x| 6 a ⇔ −a 6 x 6 a |x| > a ⇔ x < −a ou x > a et |x| > a ⇔ x 6 −a ou x > a. Eigenschaften : Für alle x, y ∈ R gilt : Positivität : Homogenität : Dreiecksungleichung : |x| > 0 et |x| = 0 ⇔ x = 0. |xy| = |x||y|. |x + y| 6 |x| + |y|. 1.10 Verschiedene Beweismethoden 37 : ¯ x ¯ |x| Si y 6= 0, ¯ ¯ = . |y| ¯ ¯ y ¯|x| − |y|¯ 6 |x − y|. Weitere Folgerungen ¯ ¯ • • 1.10 Verschiedene Beweismethoden 1.10.1 Direkter Beweis Er besteht darin, eine aufgestellte Behauptung (zum Beispiel einen Satz) von den Hypothesen ausgehend durch eine Folge logischer Schlussregeln zu beweisen. : Sei n eine positive ganze Zahl oder Null (n ∈ N) undp betrachten wir P (n) = n2 + 7n + 12. dann gibt es kein n mit der Eigenschaft P (n) ∈ N. Beweis : ∀n , n2 + 6n + 9 < n2 + 7n + 12 < n2 + 8n + 16 Beispiel ⇒ (n + 3)2 < P (n) < (n + 4)2 p ⇒ |n + 3| < P (n) < |n + 4| wegen n + 3 > 0 schliessen wir, dass √ n + 3 < P < (n + 3) + 1 √ folglich P ∈ /N qed. 1.10.2 Widerspruchsbeweis Er besteht darin, das Gegenteil der aufgestellten Behauptung anzunehmen und hieraus einen Widerspruch aufzuzeigen. : p Sei P (n) = n2 + 2n − 21, dann gilt P (n) ∈ / N. Beweis : Wir nehmen an, dass es ein n gibt, so dass P (n) eine Quadratzahl ist. Das heisst n2 + 2n − 21 = (p + 1)2 = p2 + 2p + 1 , p ∈ N Beispiel ⇒ n2 − p2 + 2(n − p) = 22 ⇒ (n − p) · (n + p + 2) = 22 = 1 · 22 = 2 · 11. | {z } | {z } ∈N n+p+2 = 22 n−p = 1 ⇒p= ou ∈N 11 2 ⇒ 2p + 2 = 21 ou 9 19 7 oder ∈ / N, Widerspruch. 2 2 1.10.3 Vollständige Induktion Wir wenden sie an, wenn in der aufgestellten Behauptung direkt oder indirekt die natürlichen Zahlen auftauchen ; dies ist insbesondere der Fall, wenn die Aussage von n ∈ N∗ abhängt. Methode : Wir zeigen zuerst, dass die Aussage für n=1 wahr ist (oder allgemeiner für ein N0 ∈ N)(der Induktionsbeginn ) ; anschliessend beweisen wir unter der Annahme, dass sie für eine gegebenes n, n ≥ 1 wahr ist(oder allgemeiner n ≥ N0 ), dass sie für n + 1 wahr bleibt (der Schluss von n auf n + 1). Beispiel : Zeige, dass S(n) = 12 + 22 + . . . + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 6 (∗) 38 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen 1 : Für n=1, 12 = · 1 · 2 · 3 ⇒1=1 wahr. 6 Nehmen wir an, die Gleichheit sei wahr für ein n ; dann gilt Beweis S(n+1) = 12 +22 +. . .+n2 +(n+1)2 = S(n)+(n+1)2 = 1 n(n+1)(2n+1)+(n+1)2 6 1 1 (n + 1)(2n2 + 7n + 6) = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 6 1 = (n + 1)[(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]; 6 dies ist (∗), wobei n durch n + 1 ersetzt ist qed. = Achtung : Wir müssen zeigen, dass das Ergebnis für n = 1 wahr ist. Einzig anzunehmen, dass eine Aussage für ein betsimmtes n wahr sei, und dann zu zeigen, dass sie für n + 1 wahr bleibt genügt nicht ! Gegenbeispiel : Es sei S(n) = −1+3·2−3+3·4−5+3·6−. . .−(2n−1)+3·2n. Wir nehmen an, dass S(n) = (n + 1)(2n + 1). Dann gilt S(n+1) = S(n)−(2n+1)+3·2(n+1) = (n+1)(2n+1)−(2n+1)+6n+6 = 2n2 +7n+6 = (n + 2)(2n + 3) = [(n + 1) + 1][2(n + 1) + 1]. MAber S(1) = −1 + 6 6= 2 · 3 ! 1.10.4 Hypothesen, notwendige und hinreichende Bedingungen Auch wenn die Hypothesen nicht erfüllt sind, ist die aufgestellte Behauptung nicht zwangsläug ebenfalls nicht erfüllt ! Exemple : Hypothese : sei x = 10n, n ∈ N∗ . Behauptung : x ist durch 5 teilbar. Die Zahl 15 erfüllt nicht die Hypothese, ist aber dennoch durch 5 teilbar ! Seien A, B und C Eigenschaften ; wir schreiben Ā, B̄ und C̄ für die Eigenschaften nicht-A, nicht-B und nicht-C . Allgemein gilt, wenn A ⇒ B , dann B̄ ⇒ Ā (nicht-B impliziert nicht-A), aber Ā ; B̄ . (A oder B ) ⇒ C beweisen wir, wenn wir zeigen, dass A ⇒ C oder B ⇒ C . A ⇒ (B und C ) beweisen wir, wenn wir zeigen, dass A ⇒ B und A ⇒ C . Darüberhinaus (A und B ) ⇒ C beweisen wir, wenn wir zeigen, dass (A und C̄ ) ⇒ B̄ . (A und B ) ⇒ C beweisen wir, wenn wir zeigen, dass es eine Eigenschaft D gibt, so dass (A und B und C̄ ) ⇒ (D und D̄). Notwendige und hinreichende Bedingungen 1: Folgende Bedingungen sind erfüllt, wenn wir fordern, dass eine Zahl durch 6 teilbar sei : Notwendige Bedingung : sie muss durch 2 teilbar sein. Hinreichende Bedingung : sie ist durch 12 teilbar. Notwendige und hinreichende Bedingung : sie ist durch 2 und durch 3 teilbar. Beispiel : Folgende Bedingungen sind erfüllt, wenn wir fordern, dass ein Viereck Q Beispiel 2 1.11 Begrie aus der Mengenlehre 39 ein Rhombus sei : Notwendige Bedingung : Q ist ein Parallelogramm. Hinreichende Bedingung : Q ist ein Quadrat. Notwendige und hinreichende Bedingung : Die Diagonalen von Q schneiden sich senkrecht in seiner Mitte. 1.11 Begrie aus der Mengenlehre Seien A, B und C Mengen. Teilmenge : A ⊂ B ⇔ ∀a ∈ A ⇒ a ∈ B . Durchschnitt : x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A und x ∈ B . Vereinigung : x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A oder x ∈ B . Komplement : x ∈ Ā ⇔ x ∈ / A (Ā bezeichnet man gelegentlich auch mit Ac ). Kardinalzahl einer endlichen Menge : card(A) = Anzahl der Elemente von A. Bemerkung : A = B genau dann wenn A ⊂ B und B ⊂ A. Eigenschaften : A∩B =B∩A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B)c = Ac ∩ B c Kommutativität Assoziativität Distributivität Gesetze von de Morgan Entsprechend gilt : A∪B =B∪A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . Dierenz (Restmenge) : A \ B = A ∩ Bc . Symmetrische Dierenz : A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∩ Bc ) ∪ (Ac ∩ B). Inklusion-Exklusion : card(A ∪ B) = card(A) + card(B ) − card(A ∩ B ). Kartesisches Produkt : A × B = {(a, b) | a ∈ A et b ∈ B} ; card(A × B ) = card(A) · card(B ). 1.12 Einführung in die Kombinatorik Permutationen Die Anzahl aller möglichen Anordnungen von n unterscheidbaren Objekten ist gegeben durch Pn = Ann = n! Variationen ohne Wiederholung von n Elementen zur p-ten Klasse Die Anzahl der Möglichkeiten p aus n ausgewählten Objekten unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Ordnung) ist Apn = n(n − 1) . . . (n − p + 1) = n! (n − p)! 40 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen Kombinationen von p aus n ausgewählten Objekten Wenn im vorstehenden Beispiel die Riehenfolge nicht mehr berücksichtigt wird, so ist die Anzahl der Möglichkeiten gleich µ Cnp ¶ n p = = n! p!(n − p)! Eigenschaften : ³ n ´ ³ = 0 ³ n ´ ³ = p ³ n ´ ³ n−1 = p−1 p Cn0 = Cnn = 1 Cnp = Cnn−p oder p−1 p Cnp = Cn−1 + Cn−1 n ´ =1 n ´ n n−p ´ ³ n−1 ´ + p Pascalsches Dreieck : 1> ¡¡ >>> ¡ >> ¡¡ >Á ¡¡ ¡ 1> 1> ¡¡ >>> ¡¡ >>> ¡ ¡ >> >> ¡ ¡¡ >Á >Á ¡¡¡¡ ¡¡¡ 1> 2> 1> ¡¡ >>> ¡¡ >>> ¡¡ >>> ¡ ¡ ¡ >> >> >> ¡ ¡ ¡¡ >Á >Á ¡¡¡¡ >Á ¡¡¡¡ ¡¡¡ 1> 3> 3> 1> ¡¡ >>> ¡¡ >>> ¡¡ >>> ¡¡ >>> ¡ ¡ ¡ ¡ >> >> >> >> ¡ ¡ ¡ ¡¡ >Á >Á ¡¡¡¡ >Á ¡¡¡¡ >Á ¡¡¡¡ ¡¡¡ 1 4 6 4 1 Ä Ã ~ Bemerkung à ~ à ~ à ~  : Aus dem binomischen Lehrsatz folgt die Summenformel n X Cnk = 2n k=0 . Bemerkung Haben wir beliebig viele Exemplare der n Objekte zur Verfügung oder lassen wir Wiederholungen zu, so erhöhen wir die Anzahl der Möglichkeiten. Es gelten : 0 Anp = np und 0 Cnp = p Cn+p−1 = (n + p − 1)! p!(n − 1)! Anzahl der Permutationen mit ni Wiederholungen des i-ten Objekts, i = 1, 2 . . . , k : Pn0 (n1 , n2 , . . . , nk ) = (n1 + n2 + · · · + nk )! n1 !n2 ! · · · nk ! 1.13 Komplexe Zahlen 41 1.13 Einführung in die komplexen Zahlen, die Menge C Eine komplexe Zahl z ist von der Gestalt z = x + iy wobei (x, y) ∈ R2 und i2 = −1 gilt. Wir nennen x den Realteil von z und y den Imaginärteil von z und wir schreiben x = Re z , y = Im z sowie C für die Menge der komplexen Zahlen. Zwei komplexe Zahlen z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 sind genau dann gleich, wenn x1 = x2 und y1 = y2 . Bemerkung : Falls Im z = 0, dann ist folglich z ∈ R und somit gelten die Inklusionen N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Wir veranschaulichen die Menge C der komplexen Zahlen durch die mit den kartesischen Koordinaten versehene Zahlenebene R2 indem wir der komplexe Zahl z = x + iy den Punkt (x, y) zuordnen wie in der nachstehenden Figur dargestellt. Die so erhaltene Ebene nennen wir Gausssche Zahlenebene. R z = z1 + z2 3 6 z2 y1 ¡ µ ¡ © * z1 = x1 + iy1 ¡ ©© ¡©© ¡© ¡© © - O x1 R 1.13.1 Rechenoperationen in C z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ). z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ). i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i. Absolutbetrag p Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist |z| = x2√+ y 2 . Falls z ∈ R, |z| ist dem für relle Zahlen eingeführten Absolutbetrag ( x2 = |x|) gleich. In der Zahlenebene entspricht |z| der Entfernung des z zugeordneten Punktes vom Nullpunkt 0. Eigenschaften des Absolutbetrags. Für alle z, z1 , z2 ∈ C gilt : 1. 2. 3. Positivität :|z| ≥ 0 et |z| = 0 ⇔ z = 0. Homogenität :|z1 z2 | = |z1 ||z2 |. Dreiecksungleichung :|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. : |z1 | Wenn z2 6= 0, | zz12 | = |z . 2| ¯ ¯ ¯|z1 | − |z2 |¯ ≤ |z1 − z2 |. Folgerungen • • Komplex Konjugierte Sei z = x + iy ; die Zahl z̄ = x − iy heisst die zu z konjugiert-komplexe Zahl. 42 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen Rechenregeln für konjugiert-komplexe Zahlen. Für alle z, z1 , z2 ∈ C gilt : 1.13.2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. z̄ = z. z1 + z2 = z¯1 + z¯2 . z1 · z2 = z¯1 · z¯2 . Wenn z2 6= 0, ( zz12 ) = zz¯¯12 . z · z̄ = |z|2 et |z̄| = |z|. Wenn z 6= 0, z −1 = z1 = |z|z̄ 2 . Im z = z−z̄ Re z = z+z̄ 2 2i . Normaldarstellung komplexer Zahlen Sei z = x + iy 6= 0. Dann ist |z| = r 6= 0 und zr entspricht einem Punkt auf dem ½ Einheitskreis. Somit gibt es eine im Intervall [0, 2π[ eindeutige Zahl θ, so x = r cos θ dass y = r sin θ 6 z r r ©© © ©© θ © - θ heisst Argument von z und wir schreiben θ = arg z . Das so denierte Paar (r, θ) bestimmt genau eine komplex Zahl z . Bemerkung : Das Paar (r, θ 0 ) mit θ 0 = θ + 2kπ , k ∈ Z deniert eine komplexe Zahl z 0 , die gleich z ist. Jede komplexe Zahl z 6= 0 lässt sich also in Polarkoordinaten darstellen (Normaldarstellung) : z = r(cos θ + i sin θ) wobei r = |z| und θ = arg z . De Moivresche Formel. Für alle n ∈ N und θ ∈ R gilt : (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ. Die De Moivresche Formel gilt auch für n ∈ Z. Rechnen in der Normaldarstellung. Sei zk = rk (cos θk +i sin θk ), k = 1, 2. 1. 2. 3. 4. z¯k = rk (cos θk − i sin θk ). Si zk 6= 0, z1k ¡= r1k (cos θk − i sin θk ). ¢ z1 · z2 = r1 r2 cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) . arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 + 2kπ, k ∈ Z. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl z = r(cos θ + i sin θ) 6= 0 entspricht einer zentrischen Streckung mit Zentrum O und Streckungsfaktor r gefolgt von einer Drehung um den Ursprung mit dem Winkel θ. 1.13 Komplexe Zahlen 43 1.13.3 Wurzeln einer komplexen Zahl Satz : Es seien s > 0, β ∈ R und n eine positive ganze Zahl. Die Gleichung z n = s(cos β + i sin β) besitzt genau n verschiedene Lösungen, die von folgender Gestalt sind : z= √ n s · (cos θ + i sin θ) où θ= β + 2kπ , n k = 0, 1, . . . , n − 1. (Algebraischer Ausdruck). Die Lösungen der Gleichung z 2 = a + ib, b 6= 0 sind r r h i 1 p 2 1 p 2 z = ± sgn b ( a + b2 + a) + i ( a + b2 − a) . 2 2 Quadratwurzel (für die Funktion sgn siehe 3.3) 44 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen Lösungen zu den Aufgaben L1.1 Jede natürliche Zahl N lässt sich eindeutig in der Form N = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 darstellen, wobei an , an−1 , . . . , a0 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Wir schreiben diese Darstellung folgendermassen : N = an (10n −1)+an−1 (10n−1 −1)+· · ·+a2 (102 −1)+a1 (10−1)+an +· · ·+a1 +a0 . Nun ist (10k −1) für jedes k ∈ N durch 9 teilbar (Beweis !). Wenn also an +· · ·+a0 durch 9 teilbar ist, dann ist auch N durch 9 teilbar. Ebenso folgt aus der Teilbarkeit von an + · · · + a0 durch 3, dass auch N durch 3 teilbar ist. ½ b + c = d0 wobei d0 > d00 natürL1.2 Das zu lösende Gleichungssystem ist c − b = d00 liche Zahlen sind, so dass d0 d00 = a2 . Ist a = 34, so bekommen wir (b, c) = (288, 290). Im Fall a = 35 erhalten wir vier Lösungen (b, c) ∈ {(612, 613), (120, 125), (84, 91), (12, 37)}. √ 3 a mit a, b ∈ N∗ teilerfremd (1), dann b gilt 333b3 = a3 woraus wir schliessen, dass 3 ein Teiler von a3 und somit auch von a ist. Deshalb gibt es ein a0 ∈ N∗ , so dass a = 3a0 und es gilt 333b3 = 27a03 beziehungsweise 37b3 = 3a03 , was bedeutet, dass 3 auch ein Teiler von b ist. Hieraus folgt, dass a und b einen gemeinsamenen Teiler haben, was (1) widerspricht. √ √ √ L1.4 Es gilt 3 − r = 3 2 und somit r3 + 9r + 2 = (3r2 + 3) 3, das heisst √ r2 + 9r + 2 = 3. Wenn r ∈ Q, dann ist auch die linke Seite der Gleichung 2 3(r + 1) √ rational im Widerspruch zu 3 ∈ / Q ; folglich gilt r ∈ / Q. L1.3 Wenn wir annehmen, dass 333 = L1.5 √ √ a) Wir erweitern den Bruch mit 2 5 + 3 2. Wir erhalten somit √ √ √ 1 √ 7√ ( 5 + 2 2)(2 5 + 3 2) = 11 + 10. 2 2 √ √ b) Nach Umformung wie in r a) folgt r r2 = 14 + 6. √ 7 3 √ Gemäss Annahme muss ( +q )( 14 + 6) = q 0 ∈ Q gelten und somit 2 2 √ √ √ √ √ ( 7 + q 3)( 7 + 3) = q 0 und (1 + q) 21 = q 0 − 3q − 7, woraus zwingend folgt, dass q = −1 und q 0 = 4. r= L1.6 Aus dem Binomischen Lehrsatz folgt r3 + 3r + 2α = 0. Ist α = 2, dann gilt r = δ und folglich δ 3 + 3δ + 4 = 0 = (δ + 1)(δ 2 − δ + 4), woraus wir√schliessen, dass √ die einzige reelle Lösung die ganze Zahl δ = −1 ist. Also gilt ( 5 − 2)1/3 − ( 5 + 2)1/3 ∈ Q. L1.7 10 x6 + 5x4 + 40x3 + 15x + 1 = x5 − 3x4 + 14x3 − 2x2 + 6x − 3 + . x+3 x+3 −3x6 + x5 + 3x4 − 5 x+1 b) = −3x4 + x3 + 6x2 − x − 6 + 2 . 2 x +1 x +1 a) Lösungen zu den Aufgaben c) 45 −5 + 3x4 + x5 − 3x6 x5 − x6 2 4 = −5 + 5x − 2x + . 1 + x2 1 + x2 L1.8 a) Wir faktorisieren zuerst den Nenner und erhalten x4 + x3 + x + 1 = (x + 1)2 (x2 − x + 1) . Die Zerlegung hat also folgendes Aussehen : A1 A2 7x3 − 3x2 − 6x + 1 Bx + C = + . + 2 x4 + x3 + x + 1 x + 1 (x + 1)2 x −x+1 Wir multiplizieren diese Gleichung mit dem Nenner und erhalten durch Koezientenvergleich gleichartiger Potenzen von x ein aus 4 Gleichungen bestehendes lineares Gleichungssystem für A1 , A2 , B et C : A1 + B = 7 A2 + 2B + C = −3 −A2 + B + 2C = −6 A1 + A2 + C = 1 Dessen Lösung ist A1 = 6, A2 = −1, B = 1 et C1 = −4 und es gilt daher : 7x3 − 3x2 − 6x + 1 6 1 x−4 = − + 2 . x4 + x3 + x + 1 x + 1 (x + 1)2 x −x+1 b) In diesem Fall gilt 2x2 − 4x + 1 A Bx + C 2x3 − 3 = 2 + =2+ + 2 ; 3 2 2 x − x + 2x − 2 (x − 1)(x + 2) x−1 x +2 A+B =2 B − C = 4 Wir erhalten A, B et C sind Lösungen des Gleichungssystems 2A − C = 1 3 2x − 3 1 A = − 31 , B = 73 et C = − 53 und somit 3 = 2− + 2 x − x + 2x − 2 3(x − 1) 7x − 5 3(x2 + 2) L1.9 a) Die Partialbruchzerlegung ist von der Gestalt nach Vereinfachung B C A + + und x−1 x−2 x−3 7 − 3x = A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2). Durch Einsetzen von x = 1 beziehungsweise 2 und 3 nden wir A = 2, B = −1 2 1 1 7 − 3x = − − . et C = −1 und somit 3 x − 6x2 + 11x − 6 x−1 x−2 x−3 b) Indem wir im Zähler x als x = (x−1)+1 schreiben erhalten wir den Ausdruck (x − 1)2 + 3(x − 1) + 3. Also gilt x2 + x + 1 3 3 1 = + + . (x − 1)8 (x − 1)8 (x − 1)7 (x − 1)6 46 Aufbau des Zahlenbereichs, Operationen A B Cx + D + + 2 und aus der geforderten Bedinx−1 x+1 x +1 gung ergibt sich, dass D = 0. Wir erhalten somit die Bestimmungsgleichung L1.10 Es gilt R(x) = A(x + 1)(x2 + 1) + B(x − 1)(x2 + 1) + Cx(x2 − 1) = −4x3 + px2 + 6x + 3, uas der wir durch Einsetzen von x = 1, x = −1 und x = 0, die Koezienten A = 14 (p + 5), B = − 14 (p + 1) und 3 = 14 (p + 5) + 41 (p + 1) erhalten, woraus schliesslich p = 3 folgt. L1.11 a) A = p2m(2m−1) ; m = −2. 2 b) B = p + 1. −n c) rn = p1−2 . √ √ √ √ d) D = 3 2 + 6 = 6( 3 + 1). x −x a2x − a−2x )(ax − a−x ) 2x (a + a = a = a3x − ax . ax + a−x ax + a−x √ S1.13 Es gilt N = 3 log2 (2−4 ) + 2 log√3 ( 3)6 = 3 · (−4) + 2 · 6 = 0. L1.12 Es gilt E = a2x S1.14 Wir beweisen die Aussage indirekt. Wir nehmen also an, dass jede Menge Ai , i = 1, 2, 3 mindestens eine andere enthält. Folglich gilt für j , j = 2 oder j = 3, die Inklusion Aj ⊂ A1 . Ebenso gibt es ein k , so dass Ak ⊂ Aj mit k 6= j und k 6= 1, denn, falls k = 1, so hätten wir A1 ⊂ Aj ⊂ A1 , also A1 = Aj im Widerspruch zur Annahme. Somit ist entweder j = 2 und k = 3 oder j = 3 und k = 2. Sei nun m, so dass Am ⊂ Ak . Wie zuvor sehen wir, dass m 6= k und m 6= j , also m 6= 2 und m 6= 3 und somit m = 1 ; Dies bedeutet A1 ⊂ Ak ⊂ Aj ⊂ A1 ; hieraus folgt, dass die drei Mengen gleich sind, was erneut im Widerspruch zur Annahme steht. Es folgt, dass mindestens eine Menge Ai keine andere Menge Aj enthält. L1.15 Wir zeigen zunächst, dass (A ∪ B) × C ⊂ A × C ∪ B × C . Hierzu sei (x, y) ∈ (A ∪ B) × C ; es gilt also x ∈ (A ∪ B) und y ∈ C , das heisst x ∈ A oder x ∈ B und y ∈ C , oder anders gesagt (x, y) ∈ A × C oder (x, y) ∈ B × C und somit (x, y) ∈ A × C ∪ B × C , was die behauptete Inklusion beweist. Umgekehrt, wenn (x, y) ∈ A×C ∪B ×C , so gilt (x, y) ∈ A×C oder (x, y) ∈ B ×C . Das Tupel (x, y) ist der Gestalt, dass x ∈ A und y ∈ C oder x ∈ B und y ∈ C , das heisst x ∈ (A ∪ B) und y ∈ C . Wir folgern, dass (x, y) ∈ (A ∪ B) × C und somit A × C ∪ B × C ⊂ (A ∪ B) × C . Die beiden Inklusionen implizieren die gesuchte Gleichheit der Mengen. L1.16 Es gilt (1 + 1)n + (1 − 1)n = Cn0 + Cn2 + Cn4 + · · · + Cn2p + · · · = 2n−1 2 und ebenso (1 + √ 2)n + (1 − 2 √ 2)n = Cn0 + 2Cn2 + 4Cn4 + · · · + 2p Cn2p + · · · L1.17 a) Es gibt 86 = 2620 144 solcher Zahlen. b) In diesem Fall gibt es 8! 2! = 200 160 Zahlen. c) Es gibt 420 siebenstellige und 180 + 60 + 120 + 60 = 420 sechsstellige solcher Zahlen. Lösungen zu den Aufgaben 47 L1.18 a) Anzahl der günstigen Ausfälle : 252 ; Anzahl der möglichen Ausfälle : 150 504 ; der Prozentanteil ist also 1, 63% . b) Anzahl der günstigen Ausfälle : 3000 + 1000 = 4000 ; Anzahl der möglichen Ausfälle : 150 504 ; der Prozentanteil ist demnach 25, 8% . c) Um die Anzahl der günstigen Ausfälle zu bestimmen, müssen wir alle 9 Fälle, in denen mehr schwarze als weisse Kugeln gezogen werden, betrachten. Zum Beispiel, im Falle dreier schwarzer und einer weissen (und somit einer roten) ³ 5 ´³ 10 ´³ 5 ´ = 500 Möglichkeiten. Insgesamt erhalten wir somit : gibt es 1 1 3 Anzahl der günstigen Ausfälle : 25 + 100 + 100 + 25 + 1 + 1000 + 500 + 50 + 450 = 2251 ; Anzahl der möglichen Ausfälle : 150 504 ; der Prozentanteil ist also 14, 5%. L1.19 √ √ π −1 1−i 3 a) z̄ = 1 − i 3, |z| = 2, arg z = , z = et z 3 = −8. 3 4 √ b) Wegen 1 + i 3 = 2(cos π3 + i sin π3 ) sind die beiden Wurzeln in der Normal√ √ 7π ), gegeben ; darstellung durch z1 = 2(cos π6 + i sin π6 ), z2 = 2(cos 7π 6 + i sin 6√ √ 2 √ 2 √ in kartesischen Koordinaten erhalten wir z1 = ( 3 + i), z2 = − ( 3 + i). 2 2 c) Es gilt w = 12 − 12 i, also |w| = 2−1/2 und arg w = 7π 4 woraus wir die Kubik¡ ¢ 1 7π 2kπ 7π 2kπ wurzeln √ cos( + ) + i sin( + ) , k ∈ {0, 1, 2} erhalten. 6 12 3 12 3 2 L1.20 p x2 + y 2 − 9i = 3x + 3yi − 7, das heisst a) Die zu lösende Gleichung ist p 2 2 x + y = 3x − 7 ≥ 0 und 3y = −9. Wir erhalten die eindeutige Lösung z = 4 − 3i. b) Mit Hilfe der Beziehung (1 − z) · (1 + z · · · + z 6 ) = 1 − z 7 sehen wir, dass 1+z · · ·+z 6 = 0 zu 1−z 7 = 0 und z 6= 1 äquilvalent ist. Die von 1 verschiedenen 2kπ Lösungen von z 7 = 1 sind durch cos 2kπ 7 + i sin 7 , k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} gegeben . L1.21 Aus (cos t + i sin t)3 = cos 3t + i sin 3t folgt sin 3t = Im (cos3 t + 3i cos2 t sin t − 3 cos t sin2 t − i sin3 t) = 3(1 − sin2 t) sin t − sin3 t = 3 sin t − 4 sin3 t. √ L1.22 Wir setzen z = 3 + i. Es gilt |z| = 2, arg z = π6 und somit z = 2(cos ¡ nπ π π nπ ¢ + i sin ) und z n = 2n cos( ) + i sin( ) . 6 6 6 6 Wir folgern, dass z für n = 12k , k ∈ Z, eine positive reelle Zahl und für n = 6(1 + 2k), k ∈ Z eine negative reelle Zahl ist. z rein imaginär, falls n = 3(1 + 2k), k ∈ Z. Kapitel 2 Lösen von Gleichungen Aufgaben A2.1 Ein Spaziergänger bendet sich auf einer Staumauer der Höhe 284 m. Er möchte die Wassertiefe des Sees unterhalb der Staumauer bestimmen. Hierzu wirft er einen Stein in einem Winkel von 30◦ oberhalb der Horizontalen in Richtung des Sees mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s. Der Stein schlägt nach 4 Sekunden auf der Wasseroberäche auf. Welche Wassertiefe hat der See ? (Um eine Lösung ohne Zuhilfenahme eines Tschenrechners zu ermöglichen und die Rechnungen zu vereinfachen nehmen wir eine Fallbeschleunigung von 10 m/s2 an). A2.2 Ein Fahrzeug steht in 98 m Entfernung von einer Markierung. Wir neh- men an, dass es zu einem gegebenen Zeitpunkt losfährt und eine konstante Beschleunigung von 4 m/s2 beibehält. Nach welcher Zeit erreicht es die Markierung ? Wenn ein zweites Fahrzeug vom selben Standpunkt mit konstanter Beschleunigung losfährt und die doppelte Zeit benötigt, um die Markierung zu erreichen, wie gross ist seine Beschleunigung ? A2.3 Löse die Gleichung ³ 3 ´ 3 1 1 2 e 2 x − e− 2 x = e 2 x + 5e− 2 x . A2.4 a) Löse folgende Gleichung nach y (als Funktion von x) auf : ln(ey − ex ) = y + ln 2 − ln(ey + ex ). b) Löse die Ungleichung log 12 (2x − 13 − 15 ) < 1 + log 12 2(x − 15). x A2.5½Bestimme den Parameter p, so dass das Gleichungssystem (S) : (p + 6)x + py = 3 px + y = p − 2 unendlich viele Lösungen besitzt. A2.6 Eine quadratische Form in den Variablen x und y ist eine Ausdruck der Gestalt Q(x, y) = ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f , wobei a, b, c, d, e und f reelle Zahlen sind. Die Gleichung Q(x, y) = 0 deniert einen Kegelschnitt. Löse folgendes Gleichungssystem (Schnittpunkt zwischen Kegelschnitt und Gerade) : ½ 2 x + 2y 2 + 3xy − 5x + y − 2 = 0 x + 3y + 7 = −1 A2.7 Bestimme die Koordinaten aller Punkte in R3 , die gleichzeitig in folgenden Mengen liegen : Aufgaben 49 auf einem Kreis in einer zur xy -Ebene parallel gelegenen Ebene mit Mittelpunkt (2, 3, 4) und einem Durchmesser, welcher gleich dem Abstand der beiden Ebenen ist ; in der durch die drei Punkte A = (1, 4, 8) , B = (2, 3, 4) et C = (4, 1, 1) festgelegte Ebene. (siehe Kapitel 4). A2.8 Löse die Ungleichung |x| + |2 − x| 6 x + 1. A2.9 Löse die Ungleichung x − 4 > p 2x(x − 7). A2.10 Unter Zuhilfenahme der Beziehungen sgn(xy) = sgn(x) · sgn(y) für alle xy 6= 0 und x · sgn(x) = |x| für alle x 6= 0, löse die Ungleichung ¡ ¢ |x| · 24x−2 + sgn(x3 + x2 + x) < 10. A2.11 Bestimme das Gebiet D in der Gaussschen Zahlenebene, welches durch die Ungleichung √ c|z − i| ≤ |z + 4 + 7i| mit(a) c = 1, (b) c = 2 beschrieben ist. A2.12 Zeige, dass für alle a, b, c > 0 folgende Ungleichungen gelten : 1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ; 2) (a + b + c)( a1 + 1b + 1c ) ≥ 9. 50 Lösen von Gleichungen Mathematische Grundlagen Durch folgende Umformungen können wir eine Gleichung äquivalent in eine andere überführen : adddieren desselben Ausdrucks auf beiden Seiten der Gleichung, multiplizieren (oder dividieren) beider Seiten mit einem (durch einen) von Null verschiedenen Ausdruck, andere Umformungen wie zum Beispiel das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung im Allgemeinen nur unter Hinzunahme weiterer Bedingungen. 2.1 Algebraische Gleichungen Eine algebraische Gleichung in R, beziehungsweise in C ist eine Gleichung von der allgemeinen Form P (x) = 0, wobei P eine Polynom mit reellen, beziehungsweise komplexen Koezienten ist. Eine algebraische Gleichung in R kann durchaus komplexe Wurzeln besitzen, wie das Beispiel x2 + e = 0 zeigt. Eigenschaften : Sei P ein Polynom mit reellen Koezienten. Ist eine komplexe Zahl z eine Wurzel der durch P (x) = 0 gegebenen Gleichung, dann ist auch z eine Wurzel der Gleichung. Jede algebraische Gleichung in C besitzt eine Produktdarstellung, das heisst, wenn P (x) ein Polynom vom Grad n mit komplexen Koezienten ist, dann existieren z1 , . . . , zn , so dass P (x) = (x − z1 ) · (x − z2 ) · · · · · (x − zn ). 2.1.1 Lineare Gleichungen Die Gleichung ax + b = 0 (a, b ∈ R) lässt sich auch in der Form ax = −b schreiben. Wenn a 6= 0, dann ist die Lösung der Gleichung x = − ab . Wenn a = 0 so haben wir die Gleichung 0 · x = b ; in diesem Fall besitzt die Gleichung keine Lösung, wenn b 6= 0 ; ist hingegen b = 0, so ist jede reelle Zahl eine Lösung. Um die Gleichung ax+b = 0 graphisch zu lösen gehen wir zur linearen Funktion y = ax + b über. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade im R2 und die Abzisse des Schnittpunktes dieser Geraden mit der x-Achse ist die Lösung der Gleichung. y 6 y = − x2 + 2 HH H HH HH O HH HH u H HH H x x=4 HH 2.2 Transzendente Gleichungen 51 Allgemeiner, wenn wir die Bestimmungsgleichung ax + b = cx + d, graphisch lösen müssen, so können wir auf zwei Arten verfahren : Entweder zeichnen wir die Geraden y = ax + b und y = cx + d oder wir zeichnen die Gerade ỹ = (a − c)x + (b − d). Im ersten Fall ist die Lösung durch die Abzisse des Schnittpunktes der beiden Geraden gegeben ( siehe auch 2.3.1), im zweiten Fall ist wie oben eine Gleichung der Form ãx + b̃ = 0 zu lösen. 2.1.2 Gleichungen zweiten Grades Wir betrachten die folgende Gleichung zweiten Grades (quadratische Gleichung) : ax2 + bx + c = 0 (a, b, c reell und a 6= 0). Wir dividieren alle Koezienten durch a und mit p = wir die sogenannte Normalform : b a und q = c a, erhalten x2 + px + q = 0. Wir lösen die Normalform der quadratischen Gleichung durch die sogenannte quadratische Ergänzung und erhalten : ³ p ´2 ³ p ´2 x+ = − q, 2 2 und somit die Lösungen x1,2 p =− ± 2 r³ ´ √ p 2 −b ± b2 − 4ac −q = . 2 2a Damit die Lösungen reell sind, muss notwendigerweise die Diskriminante b2 −4ac grösser oder gleich Null sein ; ist sie negativ, so sind beide Lösungen konjugiert komplexe Zahlen. Wir fassen zusammen : b2 − 4ac > 0 b2 − 4ac = 0 b2 − 4ac < 0 zwei verschiedene reelle Lösungen eine (doppelte) reelle Lösung zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen Für die Koezienten der Normalform der quadratischen Gleichung gilt der Wurzelsatz von Vieta : Wurzelsatz von Vieta x1 + x2 = −p et x1 x2 = q Entsprechende Relationen gelten auch für Gleichungen höheren Grades, insbesondere für die kubische Gleichung x3 + px2 + qx + r = 0. Bezeichnen wir ihre Lösungen mit x1 , x2 und x3 , so gilt x1 + x2 + x3 = −p ; x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = q ; x1 x2 x3 = −r 2.2 Transzendente Gleichungen Alle Bestimmungsgleichungen, die nicht algebraisch sind, nennen wir transzendent. Wichtige Fälle sind Exponentialgleichungen, logarithmische und goniometrische (trigonometrische) Bestimmungsgleichungen. 52 Lösen von Gleichungen 2.2.1 Exponentialgleichungen Beispiele 1) Löse 42x = 8. Wir können beide Seiten der Gleichung als Potenz zur gleichen Basis schreiben : (22 )2x = 23 bzw. 24x = 23 ; hieraus folgt, dass 4x = 3 und somit x = 34 . 2) Löse 9 · 3x · 27x = 81. Wir schreiben die Gleichung in der Form 32 · 3x · 33x = 34 oder 32+4x = 34 , woraus wir folgern, dass 2 + 4x = 4 und somit x = 12 . 3) Löse 7 · 2x + 2x+3 + 2x+2 = 76. Die Gleichung lässt sich zu 2x (7 + 8 + 4) = 76 oder 2x = 22 umformen, was x = 2 impliziert. 2.2.2 Logarithmische Gleichungen Beispiele 1) Löse loga (x + 1) + loga (3) = loga (6). Damit loga (x + 1) existiert muss x > −1 sein ; in diesem Fall gilt loga (3x + 3) = loga (6). Folglich 3x + 3 = 6, das heisst x = 1. 2) Löse log(x − 2) + log(x − 5) = 1. Es muss x > 5 gelten, damit beide Logarithmen deniert sind. Wir schreiben die Gleichung als log(x2 − 7x + 10) = 1, woraus folgt, dass x die quadratische Bestimmungsgleichung x2 − 7x + 10 = 10 erfüllt, welche die Lösungen x = 0 und x = 7 besitzt. Nur x = 7 erfüllt die Bedingung x > 5 und ist deshalb die gesuchte Lösung. 3) Löse die Exponentialgleichung 3x+2 = 23x−5 . Logarithmieren beider Seiten der Gleichung bedeutet log(3x+2 ) = log(23x−5 ) und deshalb erhalten wir (x + 2) log(3) = (2x − 5) log(2), also 2 log(3) + 5 log(2) x= . 2 log(2) − log(3) 2.3 Lineare Gleichungssysteme Ein Gleichungssystem heisst unterbestimmt, wenn die Anzahl Unbekannten grösser ist als die Anzahl der Gleichungen, und überbestimmt, wenn die Anzahl Unbekannten kleiner ist als die Anzahl der Gleichungen. Im Allgemeinen besitzt ein unterbestimmtes Gleichungssystem unendlich viele Lösungen ; hingegen hat ein überbestimmtes Gleichungssystem in der Regel keine Lösung. Wir beschränken uns hier auf lineare Gleichungssysteme bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wir zeigen zwei Lösungsverfahren, die sich sowohl in dem einen als auch in dem anderen Fall anwenden lassen. 2.3.1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Gegeben sei folgendes Gleichungssystem : ½ x + 3y = 15 2x − y = 2 Unser erstes Lösungsverfahren ist das Einsetzungsverfahren : Wir können zum Beispiel die zweite Gleichung als y = 2x − 2 schreiben ; Einsetzen dieses Ausdrucks für y in die erste Gleichung liefert eine Gleichung mit 2.4 Systeme nichtlinearer Gleichungen 53 einer Unbekannten mit der Lösung x = 3, woraus y = 4 folgt (siehe 2.1.1). Wir können ein solches System auch graphisch lösen. Nehmen wir zum Beispiel die beiden Gleichungen ½ ½ y+2 = x+3 y = x+1 =⇒ 2y + 3 = −4x + 11 y = −2x + 4 Betrachten wir in der Ebene die beiden Geraden y = x + 1 und y = −2x + 4, so liefert ihr Schnittpunkt I(1; 2) die gesuchte Lösungö. y 6 y =x+1 A ¡ ¡ A ¡ A ¡ A ¡ A ¡ Au (1, 2) ¡ ¡ A A ¡ A ¡ O x A ¡ A ¡ A A y = −2x + 4 AA 2.3.2 Drei Gleichungen mit drei Unbekannten Unser zweites Lösungsverfahren ist die Additionsmethode. Sie besteht darin, geeignete Linearkombinationen der Gleichungen zu bilden um Unbekannte zu eliminieren. Sei folgendes System gegeben : x+y+z =5 3x − y + 2z = 2 2x + y − z = 4 In diesem Beipiel können wir die Unbekannte y eliminieren indem wir die erste und die zweite Gleichung sowie die zweite und die dritte Gleichung addieren. Wir erhalten auf diese Weise zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten : ½ 4x + 3z = 7 5x + z = 6 Wir können nun nach selbem Prinzip weiter verfahren (zum Beipiel die zweite Gleichung mit 3 multiplizieren und die erste Gleichung subtrahieren) oder das Einsetzungsverfahren anwenden. Wir erhalten die Lösung x = 1, y = 3 et z = 1. Es ist ebenfalls möglich ein solches System graphisch zu lösen (wie zum Beispiel in der analytischen Geometrie). In diesem Fall stellt jede Gleichung eine Ebene im R3 dar. Die Lösung ist, falls sie existiert, durch die Schnittmenge der Ebenen gegeben. 2.4 Systeme nichtlinearer Gleichungen Derartige Gleichungssysteme treten häug in Problemen der analytischen Geometrie auf. 54 2.4.1 Lösen von Gleichungen Eine lineare und eine quadratische Gleichung Ein solches System lässt sich mit Hilfe der Substitutionsmethode einfach lösen. Beispiel Löse folgendes Gleichungssystem : ½ 2 x + y 2 − 4x − 1 = 0 x−y =1 Mit Hilfe der zweiten Gleichung schreiben wir x = y + 1 und durch Einsetzen dieses Ausdruckes für x erhalten wir die quadratische Gleichung y 2 − y − 2 = 0, welche die Lösungen y1 = −1 und y2 = 2 besitzt ; die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist folglich S = {(x1 = 0, y1 = −1); (x2 = 3, y2 = 2)}. 2.4.2 Zwei quadratische Gleichungen In Abhängigkeit von der Form des Systems versuchen wir die Gleichungen zu kombinieren um ein geeignetes Lösungsverfahren zu nden. Beispiel Löse folgendes Gleichungssystem : ½ 2 x + y 2 − 4x − 4y + 6 = 0 y2 x2 2 + 2 −x−y−1=0 Hier multilplizieren wir die zweite Gleichung mit 2 und subtrahieren sie von der ersten Gleichung wodurch wir die lineare Gleichung −2x − 2y + 8 = 0 erhalten. Das so erhaltene Gleichungssystem ist vom zuvor besprochenen Typ. Wir schreiben also x = 4 − y und durch Einsetzen in die ertse Gleichung erhalten wir die Gleichung y 2 − 4y + 3 = 0, welche die Lösungen y1 = 1 et y2 = 3 besitzt. Die Lösungsmenge ist also S = {(x1 = 3, y1 = 1); (x2 = 1, y2 = 3)}. Im folgenden Fall lösen wir eine quadratische Gleichung für x, indem wir y als Parameter auassen ; anschliessend setzen wir dieses Ergebnis in die zweite Gleichung ein und erhalten so eine quadratische Gleichung für x, dessen Lösungen uns ermöglichen jene des Systems zu nden. Beispiel Löse folgendes Gleichungssystem : ½ 2x2 + 3xy − y 2 = 9 x2 − 6xy + 5y 2 = 0 Die zweite Gleichung lässt sich in der Produktdarstellung (x − y)(x − 5y) schreiben,woraus wir folgern, dass x = y oder x = 5y . Durch Einsetzen von x = y in die erste Gleichung erhalten wir y = ± 23 und mit x = 5y nden wir y = ± 38 . Die Lösungsmenge des Systems ist also ¾ ½ 3 3 15 3 15 3 3 3 S = ( , ); (− , − ); ( , ); (− , − ) . 2 2 2 2 8 8 8 8 2.5 Ungleichungen 2.5.1 Lineare Ungleichungen Gegeben sei folgende Ungleichung für x : ax + b > 0, a, b ∈ R. 2.5 Ungleichungen 55 Ihre Lösung hängt wesentlich vom Wert des Parameters a ab. Ist a = 0, so erhalten ir die Ungleichung b > 0. Wenn b strikt grösser als 0 ist, so ist die Ungleichung für alle x ∈ R wahr. Andernfalls gibt es keine Lösung. Ist a 6= 0, so impliziert die Ungleichung ax > −b : −b falls a > 0, a −b x< falls a < 0, a x> das heisst x ∈] − b/a; +∞[; das heisst x ∈] − ∞; −b/a[. 2.5.2 Quadratische Ungleichungen Wir betrachten folgendes Polynom zweiten Grades : P (x) = ax2 + bx + c mit reellen Parametern a, b, c und a 6= 0. Dieses Polynom lässt sich in der Form µ ¶ ¡ b ¢2 b2 − 4ac P (x) = a x + − . 2a 4a2 schreiben. Wir sehen, dass das Vorzeichen von P (x) in folgender Weise von b2 − 4ac abhängt : 1) Ist b2 −4ac > 0, so besitzt die Gleichung P (x) = 0 zwei verschieden Lösungen x1 < x2 . das Vorzeichen von P (x) gleicht dem von a für x ∈] − ∞, x1 [∪]x2 , +∞[ und dem von −a für x ∈]x1 , x2 [. 2) Ist b2 − 4ac = 0, so ist das Vorzeichen von P (x) gleich dem von a für x ∈ R \ {x0 }, wobei x0 die (doppelte) Lösung von P (x) = 0 ist. 3) Ist b2 − 4ac < 0, so ist das Vorzeichen von P (x) gleich dem von a für jedes x ∈ R. Wir schliessen daraus, dass das Vorzeichen von P (x) gleich dem des Koezienten von ist x2 ausser zwischen den Nullstellen von P (das heisst Lösungen von P (x) = 0) ist, falls es sie gibt. Beispiel Löse die Ungleichung 3x2 − 8x + 7 > 2x2 − 3x + 1. Wir vereinfachen sie zu x2 − 5x + 6 > 0 und bestimmen die Lösungen der Gleichung x2 − 5x + 6 = 0, die durch x1 = 2 und x2 = 3 gegeben sind. Die Ungleichung ist also wahr, wenn x < 2 oder x > 3. 2.5.3 Ungleichungen in zwei Variablen Sei P (x, y) ein Polynom. In jedem durch die Lösungsmenge von P (x, y) = 0 begrenzten Gebiet der Ebene hat die Funktion P (x, y) ein konstantes Vorzeichen. Um es zu bestimmen, genügt es P in einem Punkt eines solchen Gebietes zu berechnen. Bemerkung : Wie oben gesehen gilt diese Eigenschaft auch für ein Polynom P (x) in einer Variable, sie lässt sich aber auch auf den Raum Rn veralllgemeinern. Beispiel Bestimme das Gebiet in der Ebene, für welches P (x, y) = 2y + x − 4 > 0 gilt. Die Lösungsmenge von P (x, y) = 0 ist eine durch die Punkte (4, 0) und (0, 2) gehende Gerade. In jeder durch diese Gerade begrenzte Halbebene wechselt P sein Vorzeichen nicht. Da P (0, 0) = −4 < 0 und P (5, 0) = 1 > 0, so ist das gesuchte Gebiet die durch P (x, y) = 0 begrenzte Halbebene, welche den Punkt (5, 0) enthält. 56 Lösen von Gleichungen 2.5.4 Spezielle Ungleichungen Dreiecksungleichung Für alle reellen x, y gilt |x + y| 6 |x| + |y|. Ungleichungen für Mittelwerte Seien x1 und x2 zwei positive reelle Zahlen. Dann gelten die fortlaufenden Ungleichungen 2 + x12 | {z } √ 2 x1 x2 | {z } 6 1 x1 geometrisches Mittel harmonisches Mittel x1 + x2 2 } | {z 6 . arithmetrisches Mittel Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x1 = x2 . Diese Ungleichungen lassen sich auf n Variable x1 , . . . , xn (zum Beispiel mittels vollständiger Induktion) verallgemeinern. Beweis (für n = 2) : Zu zeigen sind 1 x1 2 + 1 x2 6 √ x1 x2 (1) , √ x1 x2 6 x1 +x2 2 (2). Ungleichung (2) ist äquivalent zu 4x1 x2 6 (x1 + x2 )2 , welche zur trivia2 len Ungleichung 0 6 (x1 − x2 ) äquivalent ist. √ 2x1 x2 6 x1 x2 , welche zur zuvor bex1 + x2 wiesenen Ungleichung (2) äquivalent ist. Ungleichung (1) ist äquivalent zu Bernoullische Ungleichung Für jede natürliche Zahl n > 1 und jed relle Zahl x > −1 gilt : (1 + x)n ≥ 1 + nx Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn x = 0. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Seien x1 , . . . , xn und y1 , . . . , yn relle Zahlen. Dann gilt : à n !1/2 à n !1/2 n X X X yi2 . |xi yi | 6 x2i i=1 i=1 i=1 Beweis Wir betrachten folgendes (in λ ∈ R) quadratische Polynom : P (λ) = n n n n X X X ¡ ¢2 X |xi | + λ|yi | = |xi |2 + 2λ |xi yi | + λ2 |yi |2 . i=1 i=1 i=1 i=1 Dieses Polynom ist positiv (oder Null) ∀λ, also ist seine Diskriminante negativ (oder Null), das heisst : ¯ à n !2 à n !1/2 ¯ n n n n n ¯X ¯ X X X X X X ¯ ¯ 2 2 2 2 2 |xi yi | −4· |xi | · |yi | 6 0 ⇒ xi · yi >¯ |xi yi |¯ = |xi yi | ¯ ¯ i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 q.e.d. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn alle |xi | zu |yi | proportional sind. i=1 Lösungen zu den Aufgaben 57 Lösungen L2.1 Die Wassertiefe des Sees beträgt 224 m. L2.2 Das Fahrzeug erreicht die Markierung nach 7 Sekunden. Die Beschleunigung des zweiten Fahrzeugs beträgt 1 m/s2 . L2.3 Nach Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit e 2 x erhalten wir 3 2e3x − e2x − 5ex − 2 = 0, das heisst mit u = ex die kubische Gleichung 2u3 − u2 − 5u − 2 = 0,welche die Lösungen u = −1, u = − 12 und u = 2 besitzt. Die einzig zulässige Lösung ist somit x = ln 2. L2.4 a) Die Gleichung impliziert, dass e2y − e2x = 2ey ; also erfüllt t = ey die Gleichung t2 − 2t − e2x = 0. Nur dessen positive Lösung ist zulässig und wir erhalten deshalb √ y = ln(1 + 1 + e2x ). b) Notwendigerweise gilt x > 15. Wir können dann die Gleichung umformen zu 1 1 log 21 (2x − 13 − 15 x ) < log 2 ( 2 2(x − 15)), welche wiederum zu ln(2x − 13 − äquivalent ist, da log 12 a = 15 x ln a ln 12 15 ) > ln(x − 15) x et ln 12 < 0. Wir folgern hieraus, dass 2x − 13 − > x−15 und somit x2 +2x−15 > 0 ; also gilt x ∈ (]−∞, −5[∪]3, +∞[)∩]15, +∞[, das heisst x ∈]15, +∞[. L2.5 Wir können das Gleichungssystem als Schnittpunktproblem für zwei Gera- den in der Ebene geometrisch interpretieren : Es gibt unendlich viele Lösungen genau dann, wenn beide Geraden übereinstimmen. Insbesondere müssen die Koezienten von x und von y in den beiden Gleichungen zueinander proportional sein, das heisst p+6 p = p 1 oder p2 − p − 6 = 0 ½ Für p = −2, (S) ist gleich dem System sung besitzt. ½ Für p = 3, (S) ist gleich dem System der Gestalt y = 1 − 3x und x beliebig. also p = −2 oder p = 3. 4x − 2y = 3 , welches keine Lö−2x + y = −4 9x + 3y = 3 3x + y = 1 mit den Lösungen (x, y) L2.6 Mit hilfe des Einsetzungsverfahrens erhalten wir zwei Lösungen, das heisst zwei Schnittpunkte : (x, y) = (1, −3) oder (43, −17) L2.7 Die gesuchten Punkte benden sich in der durch die Gleichung z = 4 beschriebenen Ebene. Ihre dritte Koordinate ist somit gleich 4. Um die Gleichung der durch die Punkte A, B und C gehenden Ebene zu nden, −−→ −→ können wir ihre Normale durch die Bildung des Vektorproduktes AB × AC nden. Mit den Gleichungen für Kreis und Ebene erhalten wir folgendes aus zwei Gleichungen für zwei Unbekannte bestehendes System ½ x+y−5=0 (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4 √ √ √ √ mit den Lösungen (2 − 2 , 3 + 2 , 4) und (2 + 2 , 3 − 2 , 4). 58 Lösen von Gleichungen L2.8 Wir betrachten die gegebene Ungleichung je nach den Vorzeichen von x und 2 − x und ermitteln so die Lösung x ∈ [1, 3]. L2.9 Wir geben zuerst die notwendigen Bedingungen an x für die Existenz einer Lösung, und formen die gegebene Ungleichung in eine quadratische Ungleichung um, woraus wir die Lösung x ∈ [7, 8[ herleiten. L2.10 Es gilt : 10 > 24 ¡ ¢ |x| |x| 24 +|x|sgn x(x2 + x + 1) = 24 2 +|x|sgn(x)·sgn(x2 +x+1) = +x·1, x2 |x| |x| woraus folgt, dass x|x| − 10|x| + 24 < 0 beziehungsweise x2 − 10x − 24 > 0 x2 − 10x + 24 < 0 , , x<0 x>0 und somit x ∈] − ∞, −2[∪]4, 6[. L2.11 p p a) Es muss x2 + (y − 1)2 ≤ (x + 4)2 + (y + 7)2 gelten beziehungsweise nach Quadrieren y ≥ − 12 (x + 8). Das Gebiet D ist also gleich der oberhalb der durch x + 2y + 8 = 0 gegebenen Geraden liegende Halbebene. b) Wir erhalten die Ungleichung (x − 4)2 + (y − 9)2 ≤ 160. In diesem Fall √ ist D gleich der Kreisschiebe mit Mittelpunkt (4, 9) und Radius 4 10 (Rand miteingeschlossen). L2.12 Mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt 1) a · b √ + b · c + c ·√a ≤ (a2 +√b2 + c2 )1/2 (b2 + c2 + a2 )1/2 ; 2) 3 = a · √1a + b · √1b + c · √1c ≤ (a + b + c)1/2 ( a1 + 1b + 1c )1/2 . Kapitel 3 Funktionen Aufgaben A3.1 Gegeben sei f (x) = 3ax2 + a2 bx + a3 und a, b ∈ R. Berechne f (a), f (2b) und f (ab). A3.2 Sei f (x) = ln x2 + sin x et g(x) = e2x . Gebe f (g(x)) und g(f (x)) explizit an. A3.3 Bestimme den Denitionsbereich der Funktion f (x) = ln( x−2 x−1 ). A3.4 Zeige, dass die durch f : R −→ R und f (x) = x3 gegebene Funktion injektiv ist. A3.5 Bestimme die Umkehrfunktion zu f : R+ −→ R wenn a) f (x) = x2 + x, b) f (x) = 3e2x − 4ex + 1. A3.6 Bestimme, falls sie existiert, die Periode T der durch f (x) = x−[x], x ∈ R gegebenen Funktion. √ √ A3.7 Zeige, dass die durch f : R −→ R undf (x) = x2 + 2− x2 + 1 gegebene Funktion beschränkt ist A3.8 Es seien γ1 und γ2 die durch die Gleichungen y1 (x) = x3 − 3x2 + 2x beziehungsweise y2 (x) = x2 + px + q gegebenen ebenen Kurven. Für welche p und q schneiden sich die Kurven γi auf der durch x = −2 gegebenen senkrechten Geraden und auf der positiven x-Achse ? A3.9 Zeichne den Graphen der Funktion y(x) = x 5 |x| 20 + 2|x| 4 . 1 1 1 x5 − x4 + ax3 − 13x + 6 ebene Kurve x4 + ax2 − 8 γ . Es seien M und N zwei Punkte von γ mit Abzissen xM = −1 et xN = 1. A3.10 Wir betrachten die durch y(x) = (a) Bestimme a, so dass die Strecke M N die y -Achse in y = − 59 schneidet. (b) Für zuvor ermitteltes a gebe die Schnittmenge I von γ und der durch die Punkte A(−1, −3) und B(2, 3) gehende Gerade an. 60 Funktionen Mathematische Grundlagen 3.1 Allgemeine Begrie Fonctions Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen. Die Vorschrift, welche jedem x ∈ X ein Element y ∈ Y zuordnet, heisst Funktion oder Abbildung von X nach Y und wir bezeichnen sie mit f : X → Y . Um darzustellen, dass f (x) das zu x durch die Funktion f zugeordnete Element aus Y ist, verwenden wir auch die Schreibweise x 7→ f (x). Wir sagen, dass f (x) der Wert von f an der Stelle (im Punkt) x oder der Bildpunkt von x unter f ist. Die Menge X heisst Denitionsbereich von f und Y sein Wertebereich. Sind X und Y Teilmengen von R, so nennen wir f eine reelle Funktion. Wir führen folgende Begrie und Bezeichnungen ein : Bild einer Funktion Die mit f [X] bezeichnete und durch f [X] = {y ∈ Y : es existiert x ∈ X , so dass f (x) = y} = {f (x) : x ∈ X} gegebene Teilmenge von Y heisst Bild von X unter f oder Bildmenge und wird häug als Im(f ) geschrieben. Graph einer Funktion Der Graph Gf einer Funktion f ist eine Teilmenge von X × Y und durch Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X}. deniert. Im Allgemeinen können wir ihn in einem Koordinatensystem darstellen. So stellen wir zum Beispiel den Graph einer reellen Funktion durch ihre Funktionskurve in der mit kartesischen Koordinaten ausgestatteten Ebene dar. Surjektive Funktion Eine Funktion f : X → Y heisst surjektiv, wenn f [X] = Y oder anders gesagt, wenn jedes y ∈ Y das Bild unter f von mindestens einem x ∈ X ist. Injektive Funktion Eine Funktion f : X → Y heisst injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ X aus x1 6= x2 folgt, dass f (x1 ) 6= f (x2 ). Anders gesagt, ist jedes y ∈ f [X] das Bild unter f genau eines x ∈ X . Bijektive Funktion Eine Funktion f : X → Y heisst bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Identische Abbildung Die Funktion IdX : X → X , die durch IdX (x) = x deniert ist, heisst identische Abbildung oder Eins-Abbildung auf X . Die identische Abbildung ist bijektiv. Konstante Funktion Eine Funktion f : X → Y heisst konstant, wenn f (x1 ) = f (x2 ) für alle Paare (x1 , x2 ) ∈ X × X . Verknüpfung von Funktionen Seien f : X → Y und g : Y 0 → Z zwei Funktionen mit der Eigenschaft f [X] ⊂ Y 0 . Dann heisst die Funktion g ◦f : X → Z , die durch g ◦f (x) = g(f (x)) deniert ist, heisst Komposition der Funktionen g und f . 3.2 Reelle Funktionen 61 Umkehrfunktion Ist f : X → Y bijektiv, so können wir eine Funktion f −1 : Y → X denieren, die jedem y ∈ Y das x aus X zuordnet, welches die eindeutige Lösung der Gleichung y = f (x) ist. Die Funktion f −1 heisst Umkehrfunktion von f ; sie ist wie f bijektiv und es gilt f −1 ◦ f = IdX , f ◦ f −1 = IdY . Einschränkung einer Funktion Sei S eine Teilmenge von X und g : S → Y eine Funktion mit der Eigenschaft g(x) = f (x) für alle x ∈ S . Wir nennen g Einschränkung von f und schreiben hierfür f /S (lies : f eingeschränkt auf S ). Fortsetzung einer Funktion Sei X ⊂ S . Eine auf S denierte Funktion g heisst Fortsetzung von f , wenn f eine Einschränkung von g auf X ist, das heisst g/X = f . 3.2 Reelle Funktionen Seien X und Y nichtleere Teilmengen von R, f : X → Y eine reelle Funktion und x, x1 , x2 ∈ X . Nullstellen einer Funktion Die Nullstellen einer Funktion f sind die Werte von x, für die die Funktion verschwindet, das heisst xi ist genau dann eine Nullstelle von f , wenn f (xi ) = 0. Wachsende und streng wachsende Funktion Eine Funktion f heisst (monoton) wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1 ) ≤ f (x2 ). Eine Funktion f heisst streng (monoton) wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1 ) < f (x2 ). Fallende und streng fallende Funktion Eine Funktion f heisst (monoton) fallend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1 ) ≥ f (x2 ). Eine Funktion f heisst streng (monoton) fallend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f (x1 ) > f (x2 ). Beschränkte Funktion Sei A eine nichtleere Teilmenge von X . Eine Funktion f : X → Y heisst auf A nach oben beschränkt, wenn die Menge f [A] nach oben beschränkt ist, das heisst, wenn es M ∈ R gibt, so dass f (a) 6 M für alle a ∈ A. Sie heisst auf A nach unten beschränkt sur A, wenn die Menge f [A] nach unten beschränkt ist, das heisst, wenn es m ∈ R gibt, so dass f (a) > m für alle a ∈ A. Ist f gleichzeitig auf A nach unten und nach oben beschränkt, dann heisst sie beschränkt auf A. Eine Funktion f ist auf der Menge A genau dann beschränkt, wenn es eine Konstante C > 0 gibt, so dass |f (a)| ≤ C für alle a ∈ A. Symmetrie (Parität) Eine Funktion f : X → Y heisst gerade, wenn für alle x ∈ X gilt ; −x ∈ X und f (−x) = f (x). Sie heisst ungerade, wenn für alle x ∈ X gilt ; −x ∈ X und f (−x) = −f (x). Periodizität Eine Funktion f : R → R heisst periodisch mit Periode p 6= 0, wenn f (x + p) = f (x) für alle x ∈ R. Hieraus folgt, dass f auch die Perioden np, n ∈ Z∗ hat. 62 Funktionen Häug können wir die kleinstmögliche Periode p > 0 bestimmen. Ist insbesondere f (x) eine stetige nicht konstante Funktion (siehe Kapitel 6), dann ist T = inf p, so dass f (x + p) = f (x), eine positive Zahl und wir nennen sie die primitive Periode von f . Konvexe Funktion Sei I ein Intervall. Eine Funktion f : I → R heisst auf I konvex, wenn für alle x1 , x2 aus I und alle t ∈ [0, 1] die Ungleichung f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ). (3.1) gilt. Die Funktion f heisst strikt konvex, wenn für alle x1 6= x2 aus I und alle t ∈]0, 1[ die strikte Ungleichun gilt : f (tx1 + (1 − t)x2 ) < tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ). Sei f : I → R konvex auf I und x1 < x2 . Wenn wir t = setzen, so wird Ungleichung(3.1) zu f (x) 6 x2 − x , x ∈ [x1 , x2 ] x2 − x1 f (x2 ) − f (x1 ) (x − x2 ) + f (x2 ). x2 − x1 Geoemetrisch bedeutet diese Ungleichung, dass die durch die Punkte (x1 , f (x1 )) und (x2 , f (x2 )) gehende Strecke für x ∈ [x1 ; x2 ] stets unter der Kurve y = f (x) liegt. f (x) f (x1 ) • • f (x2 ) x1 x2 Ist f : I → R konvex und diernezierbar (siehe Kapitel 7), dann liegt jede Tangente der Kurve y = f (x) unterhalb der Kurve. Konkave Funktion Eine Funktion f heisst konkav beziehungsweise strikt konkav, wenn −f konvex beziehungsweise strikt konvex ist. 3.3 Besondere reelle Funktionen Lineare und ane Funktionen Eine ane Funktion ist eien Funktion vom Typ f (x) = ax + b, wobei a ∈ R und b ∈ R ; ihr Graph stellt eine Gerade im R2 dar ; wenn b = 0, so heisst sie linear und ihre graphische Darstellung im R2 ist eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Quadratische Funktionen Eine quadratische Funktion ist eine Funktion vom Typ f (x) = ax2 + bx + c mit a ∈ R∗ und b, c ∈ R ; ; ihr Graph stellt eine Parabel im R2 dar. Eine quadratische Funktion ist im Allgemeinen nicht bijektiv, nichtsdesdotrotz hat sie bijektive Einschränkungen. Als Beispiel nehmen wir die bijektive Funktion 3.3 Besondere reelle Funktionen 63 f: R+ → R+ x 7→ x2 , deren Umkehrfunktion die Quadratwurzel ist, die wir als f −1 (x) = √ x schreiben. Ganzrationale Funktionen Eine ganzrationale Funktion f ist eine Funktion von der Gestalt f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , wobei an von Null verschieden und alle ai reelle Zahlen sind. Die natürliche Zahl n ist der Grad der ganzrationalen Funktion. Die Wurzeln oder Lösungen der Gleichung f (x) = 0 sind die Nullstellen von f , dass heisst diejenigen xi , für die f (xi ) = 0. Ist xi eine Nullstelle von f , so können wir f (x) durch (x − xi ) teilen (siehe 1.4). Rationale Funktionen Eine rationale Funktion, auch gebrochenrationale Funktion genannt, ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen p(x) und q(x) deniert ist : p(x) f (x) = . q(x) Hier ist q(x) von der Nullfunktion verschieden. Die Werte von x, für die q(x) = 0 heissen Pole von f . (siehe 1.5 für die Partialbruchdarstellung). Potenzfunktionen Sei p ∈ R. Die Funktion f (x) = xp , x ∈ R∗+ heisst Potenzfunktion. Wenn p ∈ Q, so können wir ihren Denitionsbereich Df in Abhängigkeit von p erweitern. 3 f(x)=x p p>1 p=1 2 0<p<1 y p=0 1 p<0 0 1 x 2 3 1. p = 0 : f (x) = 1, Df = R ; 2. p ∈ N∗ : Df = R und f ist ungerade beziehungsweise gerade, wenn p ungerade beziehungsweise gerade ist ; 3. p ∈ Z∗− : Df = R∗ ; 64 Funktionen 4. p > 0, p ∈ / N∗ : Df = R oder R+ und p < 0, p ∈ / Z∗− : Df = R∗ oder R∗+ . 1 Die Umkehrfunktion von f (x) = xp ist f −1 (x) = x p , falls x ≥ 0. Für beliebiges p ∈ R können wir die Funktion xp auch durch ep ln x denieren. Exponentialfunktion und logarithmische Funktion Siehe 1.7 Trigonometrische Funktionen Siehe Kapitel 5. Hyperbolische Funktionen Per denitionem : sinh x = ex − e−x 2 cosh x = ex + e−x 2 tanh x = sinh x ex − e−x = x cosh x e + e−x coth x = cosh x ex + e−x = x falls x 6= 0 sinh x e − e−x Gelegentlich nden wir die Schreibweisen shx beziehungsweise chx, thx und cthx für sinh x beziehungsweise cosh x, tanh x und coth x. Signumfunktion und Gaussche Treppenfunktion Die mit sgn bezeichnete Signumfunktion ist folgendermassen deniert : sgn : R∗ −→ x 7−→ {−1; ½ +1} −1 si x < 0 +1 si x > 0 Mit [x] bezeichnen wir ganzzahligen Anteil einer reellen Zahl x, die sogenannte Gaussche Treppenfunktion oder Gaussche Klammerfunktion, die folgendermassen deniert ist : Ein beliebiges x ∈ R schreiben wir als x = n + δ mit n ∈ Z und 0 ≤ δ < 1. Dann gilt f (x) = [x] = n. Beispiel 1 : [0] = 0, [ 61 3 ] = [20+ 3 ] = 20, [−1] = −1 et [−π] = [−4+(4−π)] = −4. Lösungen zu den Aufgaben 65 Lösungen zu den Aufgaben L3.1 Wir erhalten f (a) = a3 (4 + b), f (2b) = a3 + 12ab2 + 2a2 b2 und f (ab) = a3 (1 + 4b2 ). L3.2 Die Kompositionen der Funktionen sind f (g(x)) = 4x + sin(e2x ) und g(f (x)) = x4 e2 sin x . L3.3 Der gesuchte Denitionsbereich ist Df =] − ∞, 1[∪]2, ∞[. L3.4 Wir zeigen, dass f (x1 ) = f (x2 ) die Gleichheit x1 = x2 impliziert. x31 = x32 ergibt 1 3 0 = x31 − x32 = (x1 − x2 )[(x1 + x2 )2 + x22 ], 2 4 ½ x2 = 0 also x1 − x2 = 0 oder das heisst x1 = x2 = 0. x1 + 21 x2 = 0 L3.5 √ a) Wir lösen die Gleichung x2 + x = y nach x ≥ 0 auf, woraus x = −1+ 21+4y = ¡√ ¢ 4x + 1 − 1 , x ∈ R+ . f −1 (y) folgt und wir schreiben f −1 (x) = 12 ¡√ ¢ b) Analog erhalten wir f −1 (x) = ln 3x + 1 + 2 − ln 3, x ∈ R+ . L3.6 Es gilt f (x + 1) = x + 1 − ([x] + 1) = f (x) ; also T ≤ 1. Wenn wir uns somit auf x ∈ [0, 1[ beschränken, gilt f (x) = x, die ncht periodisch ist, woraus T = 1 folgt. L3.7 Aus der Umformung f (x) = folgt 0 < f ≤ √1 2+1 p x2 + 2 − und |f (x)| ≤ p x2 + 1 = √ √ x2 1 √ + 2 + x2 + 1 2 − 1. L3.8 Aus der Gleichung y1 (−2) = y2 (−2) schliessen wir, dass 2p − q = 28, und aus y1 (x) = y2 (x) = 0 folgt 2p + q = −4. p und q müssen ½ 2p − q = p+q = x = 2 oder x = 1 und somit p + q = −1 oder die Gleichungssysteme ½ 28 2p − q = 28 oder −1 2p + q = −4 erfüllen, die die Lösungen (p, q) = (6, −16) oder (p, q) = (9, −10) besitzen. L3.9 Für x 6= 0 können wir y(x) in die Form [sgn(x 5 ) + 2]|x| 4 bringen, das 1 1 4 1 4 1 1 4 1 4 heisst y = |x| = (−x) , falls x < 0, und y = 3|x| = 3x , falls x > 0. Der Graph von y ist aus zwei Kurven, die Kurven von Potenzfunktionen sind, zusammengesetzt. L3.10 (a) Die Koordinaten von M et N sind (−1, 17−a a−7 ), a¶6= 7 und (1, 1) ; die Gleiµ 1 17 − a chung der Geraden M N ist y − 1 = − (x − 1). Da (0, − 59 ) ein 2 2(a − 7) Punkt von M N ist, nden wir a = −2. (b) Für a = −2 erhalten wir nach Kürzen von x + 2, y= x4 − 3x3 + 4x2 − 8x + 3 ; (x − 2)(x2 + 2) die Gleichung der Geraden AB ist y = 2x − 1 ; hieraus folgt, dass die Abzisse von I die Gleichung x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1 = 0 erfüllen muss, das heisst (x − 1)2 (x2 + 1) = 0. Die einzige Lösung ist folglich I = N . Kapitel 4 Geometrie Aufgaben A4.1 Beweise folgende Sätze mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck und a, b, c, a0 , b0 , h gemäss nachfolgendem Schaubild. Satz des Euklid : a2 = a0 · c und b2 = b0 · c. Höhensatz : h2 = a0 · b0 C HH ¢ ¢ HH ¢ b¢ ¢ 0 ¢ b A Ha HH h H a 0 c HH H H B A4.2 Gegeben sei die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Erkläre den geometrischen Ort des ihr gegenüberliegenden Eckpunktes. A4.3 Gegeben seien zwei Kreise σ1 et σ2 der Radien R1 < R2 . Wieviele gemeinsame Tangenten können die Kreise σi , i = 1, 2 haben ? A4.4 Bestimme die Gleichung des durch die Punkte A(0, 0), B(−2, 4) und C(4, 4) gehenden Kreises γ . A4.5 Berechne das Volumen V des Tetraeders (Pyramide mit dreieckiger Grundäche) der Höhe 12, dessen Grundäche durch die Punkte A(− 31 , 1, 1), B(−3, −1, 2) und C(1, 2, −1) bestimmt ist. A4.6 Gegeben seien drei Punkte A(2, −2, 1), B(2, −3, 3), C(3, −3, 1) und eine − → durch den Punkt Q(2, −3, 1) gehende Gerade mit Richtungsvektor d = (3, 1, −6). Bestimme einen Punkt D auf d, so dass das Volumen des Tetraeders ABCD gleich 1 ist. A4.7 Bestimme m so, dass die durch die Gleichungen 6mx + (2m + 3)y + √ m m2 + 1 = 0 und ( 56 m + 1)x − (2m − 3)y + und d2 zueinander senkrecht sind. e√−m 17 = 0 denierten Geraden d1 A4.8 a) Bestimme die Gleichung der zu den Punkten A(2, 1, −4) und B(4, 3, 2) gehörenden Mittelebene. ½ x−y+z = 2 denierten y − 2z = 3 Geraden d liegenden Punkt C , der zu A und B denselben Abstand hat. b) Finde den auf der durch die Gleichungen A4.9 Es sei τ die durch den Punkt P (1, 4) gehende Gerade negativer Steigung, welche gleichzeitig tangential am durch die Punkte A(0, 2), B(3, −1) und C(4, 0) denierten Kreis anliegt. Auf τ bestimme einen Punkt Q mit Abzissenwert xQ > 6, so dass der Abstand zwischen Q und K(12, 13) gleich 13 ist. Aufgaben 67 A4.10 Finde mit Hilfe der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene eine Formel für den Abstand zweier windschiefer Geraden mit Richtungs→ − − → vektoren d1 und d2 , welche durch die Punkte P1 beziehungsweise P2 gehen. − → ° °−→ d ° ° A4.11 Begründe, weshalb °AP × − → ° dem Abstand des Punktes P von der kdk − → durch den Punkt A gehenden Geraden d mit Richtungsvektor d entspricht. A4.12 Sei π die durch die drei Punkte A(1, 8, 1), B(4, −1, 10), C(−2, 3, 6) de- nierte Ebene. Ein von der punktförmigen Lichtquelle P (−13, 2, 4) ausgehender Lichtstrahl trit auf den Punkt Q(19, −11, −25) nachdem er von der Ebene π reektiert wurde. Bestimme den Auftrepunkt I in der Ebene π und den Reexionswinkel α des Strahls. A4.13 Schneidet die durch die Punkte E( 5 2 , 2 , 21 ) und F ( 72 , 3 , 32 ) gehende Gerade die durch die Punkte A( 0 , 0 , 0 ), B( 1 , 0 , 1 ), C( 1 , 2 , 1 ) und D( 0 , 0 , 1 ) denierte Sphäre ? Hinweis : Es ist nicht nach den Koordinaten eines möglichen Schnittpunktes gefragt sondern nur ob er existiert oder nicht. A4.14 Gegeben sei die Sphäre (x − 1)2 + (y + 2)2 + z 2 = 81. Ein von einer in (−2, 14, 24) gelegenen punktförmigen Lichtquelle S susgehender Lichtstrahl trit auf im Punkt T ( 2 , 2 , 8 ) auf die Sphäre. Geht der reektierte Strahl durch den Punkt P ( 169 , 103 , 372 ) ? A4.15 Bestimme den Spiegelpunkt P 0 des Punktes P (1, 2, 1) bezüglich der durch die Punkte A(1, −3, 7) und B(4, 3, −2) gehende Gerade d. A4.16 Wir nennen eine Gerade eine Transversale, wenn sie zwei windschiefe Geraden schneidet. Finde die Schnittpunkte der Transversale t mit Richtungs− → → vektor t = (3, 3, 5), welche die durch − r g1 = (1, 4, −1) + λ(1, 2, 1) beziehung− → sweise r g2 = (2, 3, 1) + µ(1, 1, 2) gehenden Geraden g1 beziehungsweise g2 −−→ → schneidet (hier ist − r g = OP , P ∈ g , ein Punkt in g ). − A4.17 Gegeben seien die windschiefen Geraden → r g1 = (−7, −1, 3)+λ(4, 1, −1) → und − r g2 = (6, 2, 10)+µ(4, −3, 1). Bestimme die Endpunkte der kleinsten Strecke AB mit A ∈ g1 und B ∈ g2 . 68 Geometrie Mathematische Grundlagen 4.1 Ebene Geometrie Wir setzen voraus, dass die Begrie "Punkt" und "Gerade" bekannt sind. 4.1.1 Grundbegrie Parallele Geraden Zwei Geraden heissen parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben oder übereinstimmen. Wenn sie genau einen Punkt gemeinsam haben, so nennen wir sie sich schneidend. Wenn sie sich in einem Winkel von 90◦ schneiden, so heissen sie zueinander senkrecht oder orthogonal. Strecke Wir bezeichnen mit (AB) die durch die Punkte A und B gehende Gerade. Eine Strecke [AB] ist die Menge aller Punkte der Geraden (AB), die zwischen den Punkten A und B liegen. Die Punkte die A und B sind die Endpunkte der Strecke. Orthogonale Projektion Die orthogonale Projektion eines Punktes A auf eine Gerade d ist der Schnittpunkt der Geraden d mit der durch den Punkt A gehenden zu ihr orthogonalen Geraden. Abstand zwischen zwei Punkten Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B ist gleich der Länge der Strecke [AB]. Wir bezeichnen ihn mit δ(A, B) oder |AB|. Abstand eines Punktes von einer Geraden Der Abstand eines Punktes A von einer Geraden d, bezeichnet mit δ(A, d), ist gleich dem Inmum der Abstände zwischen A und einem Punkt B der Geraden d ; das ist der Abstand zwischen A und dem Punkt P der Geraden d, für den die Strecke [AP ] mit der Geraden d einen rechten Winkel bildet. Der Punkt P ist daher die orthogonale Projektion von A auf d. Abstand zwischen zwei parallelen Geraden Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden d1 und d2 , bezeichnet mit δ(d1 , d2 ), ist der Abstand eines Punktes der Geraden d1 von der Geraden d2 . Geometrischer Ort Wir nennen geometrischen Ort die Menge aller Punkte, die eine oder mehrere gegebene Bedingungen erfüllen. Mittelsenkrechte Die Mittelsenkrechte auf [AB] ist der geometrische Ort aller Punkte, die von den beiden Endpunkten A und B gleichen Abstand haben. Dies ist eine Gerade, welche die Strecke [AB] senkrecht in ihrer Mitte schneidet. Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende zwischen zwei sich schneidenden Geraden ist der geometrische Ort aller Punkte, die von beiden Geraden gleichen Abstand haben. Dies ist eine Gerade, die den Winkel zwischen den beiden Geraden in zwei gleich grosse Winkel teilt. Wenn sich zwei Geraden schneiden, so werden zwei Winkelpaare gebildet. In diesem Fall gibt es also zwei aufeinander senkrecht stehende 4.1 Ebene Geometrie 69 Winkelhalbierende. Halbgerade Wir bezeichnen als Halbgerade die Mengen aller Punkte einer Geraden, die auf derselben Seite eines Punktes A dieser Geraden, der auch Ursprung der Halbgeraden genannt wird, liegen. In diesem Fall sagen wir auch, dass die Halbgerade vom Punkt A ausgeht. Somit zerlegt jeder Punkt A einer Geraden d diese in zwei Halbgeraden d1 und d2 wie nachfolgendes Schaubild zeigt. ³ d1 ³³ ³ ³ d A ³³³ ³³ ³ u ³ ³³ A³³³ u ³³ ³³ A ³ u ³³ ³³ ³³ ³³ ³ ³ ³³ d2 ³ Winkel Als Winkel bezeichnen wir das durch zwei von selben Punkt ausgehenden Halbgeraden erzeugte Schaubild. Der Ausgangspunkt der beiden Halbgeraden heisst Scheitelpunkt des Winkels. Ein Winkel deniert auf diese Weise den Teil der Ebene, den wir überstreichen, wenn wir eine Halbgerade durch Drehung um den Scheitelpunkt in die andere überführen. Wir können einen Winkel orientieren : seine Orientierung wird als positiv festgelegt, wenn die Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn durchgeführt wird. Wir benutzen hier als Winkelmass Grad oder Radiant (siehe 5.1). Zwei Winkel, die sich zu 90◦ beziehungsweise π/2 ergänzen heissen Komplementwinkel. Ergänzen sie sich zu 180◦ ou π so heissen die Winkel Supplementwinkel. Ein Winkel von 90◦ heisst rechter Winkel und ein Winkel von 180◦ wird als gestreckter Winkel bezeichnet. Zwei sich schneidende Geraden bilden zwei Winkelpaare, α1 = α2 und β1 = β2 . Die Winkel α1 und α2 , beziehungsweise β1 und β2 , heissen Scheitelwinkel. ! !! ! β1 !!! XX XXX ! m 1 XXαX α2 !! ! XXX ! X ! β2 ! ! XXX ! Wenn eine Gerade d zwei andere Geraden d1 und d2 wie im nachfolgenden Schaubild schneidet, ergibt sich folgende Situation : α2 und γ1 heissen (innere) Wechselwinkel, α1 und γ2 (äussere) Wechselwinkel und α1 und γ1 Stufenwinkel. 70 Geometrie ¢ ¢¢ β1 ¢ α1 ( d2 (((( ( ¢ ( m ( ((((¢ (((( α2 ¢ β2 ¢ ¢ δ1 γ ¢ 1 m d1 ¢ γ2 ¢ ¢ δ2 ¢ ¢ d¢ Sind d1 und d2 parallele Geraden, so sind Wechselwinkel und Stufenwinkel jeweils einander gleich : α1 = α2 = γ1 = γ2 und β1 = β2 = δ1 = δ2 . Dreiecke Ein Dreieck ist ein dreiseitiges Polygon und besitzt somit drei Innenwinkel. Die Summe dieser Winkel beträgt 180◦ beziehungsweise π . Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten und somit zwei gleich grossen Winkeln heisst gleichschenklig. Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten und somit drei Winkeln von 60◦ heisst gleichseitiges Dreieck. Eine Seitenhalbierende ist die von einem Eckpunkt zur Mitte der gegenüberliegende Seite führende Strecke. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der Schwerpunkt G des Dreiecks genannt wird. Der Punkt G ist auch ein Teilpunkt der Seitenhalbierenden ; er teilt sie im Verhältnis 2 :1. Eine Höhe in einem Dreieck ist diejenige Strecke, die auf einer Dreiecksseite (Anmerkung des Übersetzers : oder ihrer Verlängerung) senkrecht steht und zu dem dieser Seite gegenüberliegenden Eckpunkt führen. Anders gesagt, ist eine Höhe die Strecke zwischen einem Eckpunkt und seiner orthogonalen Projektion auf die ihm gegenüberliegende Seite. Die Höhen schneiden sich in einem Punkt H , dem Höhenschnittpunkt. Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkte Ω, die Winkelhalbierenden in einem Punkte I . In einem gleichschenkligen Dreieck der Winkel α, α und β stimmt die Winkelhalbierende des Winkels β mit der Mittelsenkrechten als auch der Höhe sowie der Seitenhalbierenden überein. In einem gleichseitigen Dreieck stimmen die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden, die Seitenhalbierenden und die Höhen überein ; es gilt deshalb G = H = Ω = I. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten übereinstimmen, in zwei Seiten und den zwischen ihnen liegendem Innenwinkel übereinstimmen, in einer Seite und den beiden anliegenden Innenwinkeln (also zwangsläug 4.1 Ebene Geometrie 71 in allen drei Winkeln) übereinstimmen. Somit ist ein Dreieck eindeutig bestimmt, wenn die Länge seiner drei Seiten, die Länge zweier Seiten und die Grösse des zwischen ihnen liegenden Innenwinkels , die Länge einer Seite und die Grösse der beiden anliegenden Innenwinkel gegeben sind. Bemerkung : wenn α und β bekannt sind, so ist der dritte Winkel γ = (180 − α − β)◦ . Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei gleichliegenden Innenwinkel (also in zwangsläug in drei Innenwinkeln) übereinstimmen, in zwei Seitenverhältnissen und dem von diesen Seiten gebildeten Innenwinkel übereinstimmen, in drei Seitenverhältnissen übereinstimmen, ihre Seiten paarweise parallel oder paarweise senkrecht zueinander sind. Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten, das heisst c2 = a2 + b2 . ©© ©© c© © © © b ©© a Strahlensätze Gegeben sei das Dreieck ABC und zwei zu (BC) parallele Geraden d1 , d2 . Dann gilt AD AE DE = = AB AC BC und GE EC GC = = FD DB FB ¯ B¯ D ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A ¯¯ A¯ A ¯A ¯ A A G ¯ F A ¯ A ¯ A ¯ d1 A AE A A d2 A A A C A 72 Geometrie Kreise Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festem Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises, einen gegebenen Abstand r haben ; r wird als Radius des Kreises bezeichnet. Eine Sehne [CD] eines Kreises ist eine Strecke mit auf dem Kreis liegenden Endpunkten C und D. Eine Sehne [AB], die durch den Mittelpunkt des Kreises geht heisst Durchmesser des Kreises ; in diesem Fall sind A und B entgegengesetzt. Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht durch den Kreismittelpunkt. Satz Durch drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte A, B , C geht genau ein Kreis. Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der durch die Eckpunkte A, B und C gehende Kreis. Sein Mittelpunkt Ω ist gleich dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. In einem Kreis mit Mittelpunkt Ω und Winkeln wie im nachfolgenden Schaubild heisst der Winkel α Peripheriewinkel und der Winkel β Zentriwinkel. Es gilt β = 2α. •,, , µµµ ,, , µµ α ,, ,, µµµ , µµµ Ω Ä•??? ,,, Ä µµ ÄÄÄ ??? ,, ?? , µµµÄÄÄ β ??, µÄµ ÄÄ ?, Die Tangente an einem Kreis mit Mittelpunkt Ω und Radius r ist eine Gerade d, die genau einen Punkt mit den Kreis gemeinsam hat. In diesem Fall ist der Abstand zwischen Ω und d gleich r. Satz Durch einen ausserhalb eines Kreises mit Mittelpunkt Ω und Radius r liegenden Punktes P , das heisst δ(P, Ω) > r, gehen immer zwei Tangenten dieses Kreises. Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis, zu dem jede Dreiecksseite tangential ist. Sein Mittelpunkt I ist gleich dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. 4.1.2 Flächenberechnung Dreieck Flächeninhalt = Grundseite · Höhe b·h = 2 2 4.1 Ebene Geometrie 73 ¡ ¡ ©© © ¡ © ©© ¡ © ¡ © h ¡ ©© © ¡ © ¡ ©© b Kennen wir die Seitenlängen a,b und c des Dreiecks, so ist der Flächeninhalt durch die Heronische Dreiecksformel gegeben : Flächeninhalt = p p(p − a)(p − b)(p − c), wobei p den halben Umfang des Dreiecks bezeichnet, das heisst p = 12 (a + b + c). Wenn wir darüber hinaus den Radius r des Umkreises und die Winkel α, β und γ des Dreiecks kennen, so gilt Flächeninhalt = abc = 2r2 sin α sin β sin γ. 4r Kennen wir den Radius R des Inkreises, so haben wir folgende Formel : Flächeninhalt = R · p Allgemeine Polygone Wenn wir keine explizite Formel für den Flächeninhalt kennen, so zerlegen wir das Vieleck in Dreiecke und summieren über die Flächeninhalte der Dreiecke, die wir mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, des Sinussatzes oder des Kosinussatzes berechnen (siehe Kapitel 5). Kreis Flächeninhalt = π · r2 '$ ¡ ¡ r &% Kreissektor Siehe Kapitel 5. 74 Geometrie 4.1.3 Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten :(x, y) Polarkoordinaten : (ρ, θ) J 6 P (x, y) u ©© ©© ρ © © © θ ©© I O P (ρ, θ) r O I Im kartesischen Koordinatensystem heisst der Punkt O Ursprung, die Achse OI Abszisse und die Achse OJ Ordinate. Im Polarkoordinatensystem heisst der Punkt O Pol und die Achse OI Polarachse. Um von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten überzugehen haben wir die Beziehungen ½ x = ρ cos θ y = ρ sin θ und um von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten überzugehen benutzen wir die Beziehungen p 2 2 ρ= x +y θ = arctan y x 4.1.4 resp. π + arctan y x Geradengleichungen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten In der xy−Ebene ist eine Gerade d der geometrische Ort aller Punkte, die eine Gleichung der Form ax + by + c = 0 mit a, b, c ∈ R erfüllen. Diese Gleichung heisst allgemeine Geradengleichung. Wenn b 6= 0, dann ist ihre Steigung m gleich m=− a b Geht die Gerade durch die Punkte A(a1 , a2 ) und B(b1 , b2 ), so lautet die Geradengleichung y − a2 x − a1 = b1 − a1 b2 − a2 wenn b1 − a1 6= 0 und b2 − a2 6= 0 x = a1 wenn b1 − a1 = 0 und b2 − a2 6= 0 y = a2 wenn b1 − a1 6= 0 und b2 − a2 = 0 Im ersten Fall ist die Steigung m der Geraden gleich m= b2 − a2 b1 − a1 4.1 Ebene Geometrie 75 und wir können die Geradengleichung in die Punktrichtungsform bringen : y − a2 = m(x − a1 ). Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung besitzen. Wir können ebenso eine Gerade in Polarkoordinaten darstellen. Geht die Gerade d durch den Pol O, so ist die Polargleichung von d einfach θ = konstant. Geht die Gerade d nicht durch den Pol O, so können wir ihre Gleichung mit Hilfe der Koordinaten (θ0 , ρ0 ) des Schnittpunktes von d und der auf ihr sekrecht stehenden durch O gehenden Geraden bestimmen. Es gilt demnach ρ= ρ0 . cos(θ − θ0 ) A A A A A Ar ρ £A £ A £ ρ0A ©A £ θ©© θ0 A © £ A d O A Bemerkung : Ausgehend von der allgemeinen Geradengleichung ax + by = −c 6= 0 gilt die Beziehung −c ρ= . a cos θ + b sin θ 4.1.5 Kreisgleichungen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten Die Gleichung des Kreises in allgemeiner Lage mit Mittelpunkt Ω(x0 , y0 ) und Radius r ist (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 . Diese Formel folgt unmittelbat aus dem Satz von Pythagoras. Die allgemeine Kreisgleichung ist von der Gestalt ax2 + ay 2 + 2dx + 2ey + f = 0 wobei a 6= 0 und d2 + e2 > af. Die Gleichung der Tangente im Berührungspunkt T (xt , yt ) an den Kreis mit Mittelpunkt Ω(x0 , y0 ) und Radius r ist (xt − x0 )(x − x0 ) + (yt − y0 )(y − y0 ) − r2 = 0. Ist der Kreis durch die allgemeine Kreisgleichung gegeben, so wird die Gleichung dieser Tangente zu axt x + ayt y + d(xt + x) + e(yt + y) + f = 0 76 Geometrie Die zwei Tangenten der Steigung m an den Kreis mit Mittelpunkt Ω(x0 , y0 ) und Radius r haben folgende Gleichungen : p y − y0 = m(x − x0 ) ± r m2 + 1 In Polarkoordinaten ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt Ω(x0 , y0 ) und Radius r durch ρ2 − 2ρρ0 cos(θ − θ0 ) + ρ20 = r2 gegeben, wobei ρ0 und θ0 die Polarkoordinaten von Ω sind. Um diese Gleichung aus der kartesischen Gleichung zu erhalten, genügt es, die Substitution (x0 , y0 ) = (ρ0 cos θ0 , ρ0 sin θ0 ), (x, y) = (ρ cos θ, ρ sin θ) vorzunehmen und die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen anzuwenden (siehe Kapitel 5). 4.1.6 Parameterdarstellung einer Kurve Wir können eine Kurve als Menge aller Punkte x und y darstellen, die für zwei auf einer Teilmenge von R denierten Funktionen f und g die Beziehungen ½ x = f (t) y = g(t) erfüllen. Eine solche Darstellung heisst Parameterdarstellung der Kurve und t ist der Parameter ; oft wird t als Zeitvariable interpretiert. Die Parmeterdarstellung der durch die Punkte A(a1 , a2 ) und B(b1 , b2 ) gehenden Geraden ist ½ x = a1 + t(b1 − a1 ) , t∈R y = a2 + t(b2 − a2 ) Die Parameterdarstellung des Kreises mit Mittelpunkt Ω(a, b) und Radius r ist ½ x = a + r cos t , t ∈ R. y = b + r sin t 4.1.7 Kegelschnitte Kegelschnitte sind ebene Kurven, die durch Schnitt eines Kreiskegels mit einer Ebene, die nicht die Spitze enthält, entstehen. Wir erhalten somit folgende Kurven : Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel. Der Kreis ist nichts anderes als der Spezialfall einer Ellipse und wurde schon zuvor behandelt. Ellipse Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten, die Brennpunkte genannt werden, konstant = 2a ist. Sie besitzt zwei senkrecht aufeinander stehende Symmetrieachsen, die grosse Achse und kleine Achse der Ellipse genannt werden ; ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Schnittpunkte der Ellipse mit ihren Achsen 4.1 Ebene Geometrie 77 heissen Scheitel. Die Brennpunkte liegen mit gleichem Abstand zum Mittelpunkt auf der grossen Achse. Die Mittelpunktsgleichung der Ellipse mit Mittelpunkt C(x0 , y0 ) und zur xAchse parallelen grossen Achse hat folgende Form : (x − x0 )2 (y − y0 )2 + −1=0 , a2 b2 a>b 2b ist die Länge der kleinen Achse ; wir bezeichnen mit 2c den Abstand der beiden Brennpunkte und es gilt a2 = b2 + c2 . Man nennt c auch lineare Exzentrizität. Steht die grosse Achse senkrecht auf der x−Achse, so vertauschen wir die Variablen x − x0 und y − y0 . Hyperbel Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Dierenz der Abstände von zwei festen Punkten, die Brennpunkte genannt werden, konstant gleich = 2a ist. Sie besitzt zwei senkrecht aufeinander stehende Symmetrieachsen. Die erste geht durch die Brennpunkte und heisst Hauptachse. Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Hauptachse heissen Hauptscheitel der Hyperbel. Ist die Hauptachse parallel zur x−Achse, so ist die Mittelpunktsgleichung der Hyperbel mit Mittelpunkt C(x0 , y0 ) durch (y − y0 )2 (x − x0 )2 − −1=0 2 a b2 gegeben. Sie besitzt zwei durch die Gleichungen (x − x0 )2 (y − y0 )2 − =0 2 a b2 denierten Asymptoten. Ist die Hauptachse senkrecht zur Abzisse, so vertauschen wir die Variablen x − x0 und y − y0 . Parabel Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einer festen Leitlinie genannten Geraden und einem festen Punkt, der Brennpunkt heisst, den gleichen Abstand haben. Sie besitzt eine Symmetrieachse, die durch den Brennpunkt geht und Parabelachse heisst. Der Schnittpunkt der Parabelachse und der Parabel deniert den Scheitel der Parabel. Ist die Parabelachse parallel zur x−Achse und ist sein Scheitel der Punkt S(x0 , y0 ), so ist die Scheitelgleichung der Parabel durch (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) gegeben. Hier ist |p| der Abstand zwischen Brennpunkt und Leitlinie oder der doppelte Abstand zwischen Brennpunkt und Scheitel. Ist die Parabelachse senkrecht zur Abzisse, so wird die Scheitelgleichung zu (y − y0 ) = Konsequenz 1 (x − x0 )2 2p : Der Graph von y = ax2 + bx + c ist eine Parabel. 78 Geometrie Allgemeine Kegelschnittgleichung Die allgemeine Kegelschnittgleichung ist von der Form ax2 + by 2 + cxy + dx + gy + f = 0 Durch eine geeignete Rotation des Koordinatensystems erhalten wir eine der drei zuvor präsentierten Gleichungen (Anm. des Übersetzers : mit Ausnahme von Spezialfällen, in denen wir entweder keine reelle Kurve, einen Punkt, eine Gerade, ein Paar von Geraden oder die ganze Ebene erhalten). Wir können ebenfalls eine Translation durchführen um entweder den Mittelpunkt oder einen Brennpunkt in einen beliebigen Punkt zu überführen. Numerische Exzentricität Es ist ebenfalls möglich die Kegelschnitte über eine Grösse, die wir numerische Exzentricität nennen, zu denieren. Hierzu geben wir uns einen Brennpunkt genannten Punkt F und eine Gerade d, die wir Leitlinie nennen wollen. Ein Kegelschnitt ist dann die Menge aller Punkte P , für die das Verhältnis zwischen ihrem Absrand zum Brennpunkt und ihrem Abstand zur Leitlinie konstant ist. Die Konstante ist die numerische Exzentricität des Kegelschnittes : e= δ(P, F ) δ(P, d) Wenn 0 < e < 1, dann haben wir eine Ellipse, wenn e = 1 eine Parabel und wenn e > 1 eine Hyperbel. Ist der Abstand zwischen Brennpunkt und Leitlinie gleich r, dass heisst δ(F, d) = r, und plazieren wir den Kegelschnitt so, dass der Brennpunkt im Ursprung und die Hauptachse auf der Abzisse liegt , so ist die allgemeine Kegelschnittgleichung durch (1 − e2 )x2 + y 2 − 2e2 rx − e2 r2 = 0 gegeben. In Polarkoordianten hat sie die Form ρ= er 1 − e cos θ Tangenten der Kegelschnitte Kegelschnittgleichung Gleichung der Tangente im Punkt T (xt , yt ) des Kegelschnittes (x − x0 )2 (y − y0 )2 ± −1=0 a2 b2 (xt − x0 )(x − x0 ) (yt − y0 )(y − y0 ) ± −1=0 a2 b2 (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) (yt − y0 )(y − y0 ) = p(xt − x0 ) + p(x − x0 ) 4.2 Geometrie des Raumes Kegelschnittgleichung 79 Gleichung der Tangente der Steigung m (x − x0 )2 (y − y0 )2 + −1=0 2 a b2 y − y0 = m(x − x0 ) ± (x − x0 )2 (y − y0 )2 − −1=0 a2 b2 y − y0 = m(x − x0 ) ± p a2 m2 + b2 p a2 m2 − b2 (y − y0 )2 = 2p(x − x0 ) (y − y0 ) = m(x − x0 ) + p 2m (x − x0 )2 = 2p(y − y0 ) (y − y0 ) = m(x − x0 ) − pm2 2 4.2 Geometrie des Raumes Wir setzen die Begrie Punkt, Gerade und Ebene als bekannt voraus. 4.2.1 Grundbegrie Zu einer Ebene senkrechte und parallele Gerade Eine Gerade schneide eine Ebene im Punkt P . Wenn diese Gerade zu allen durch den Punkt P gehenden Geraden der Ebene senkrecht ist, dann sagen wir, dass diese Gerade senkrecht oder orthogonal zur Ebene ist und wir bezeichnen sie als Normale der Ebene. Hat eine Gerade keinen oder aber mehr als einen Punkt mit der Ebene gemeinsam, so ist sie zur Ebene parallel. Sich schneidende Ebenen, parallele Ebenen und orthogonale Ebenen Wir sagen, dass zwei Ebenen zueinander parallel sind, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben oder aber gleich sind. Andernfalls nennen wir sie sich schneidend. Der Durchschnitt zweier sich schneidender Ebenen ist eine Gerade. Zwei Ebene sind zueinander orthogonal, oder senkrecht, wenn die durch einen beiden Ebenen gemeinsamen Punkt gehenden Normalen zueinander senkrecht sind. Parallele und windschiefe Geraden Wir nennen zwei Geraden parallel, wenn sie gleich sind oder wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und in einer Ebene liegen. Liegen sie nich in einer Ebene und haben keine Punkt gemeinsam, so nennen wir sie windschief. Winkel zwischen zwei Ebenen Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen ihren Normalen. Orthogonale Projektion eines Punktes oder einer Geraden auf eine Ebene Die orthogonale Projektion eines Punktes P auf eine Ebene ist derjenige Punkt P 0 der Ebene, so dass die Gerade P P 0 zur Ebene orthogonal ist. Dieser Punkt ist gleichzeitig der Schnittpunkt der Ebene mit ihrer durch P gehenden Normalen. Die orthogonale Projektion einer Gerade d auf eine Ebene ist diejenige Gerade in der Ebene, die durch die orthogonalen Projektionen der Punkte von d gebildet wird. 80 Geometrie Winkel zwischen Ebene und Gerade Der Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden ist der Winkel zwischen der Geraden und seiner orthogonalen Projektion. Abstand eines Punktes von einer Ebene Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene π ist gleich dem Abstand zwischen P und seiner orthogonalen Projektion P 0 auf π ; er ist gleich der Länge der Strecke [P P 0 ] und wir bezeichnen ihn mit δ(P, π). Bemerkung : Für alle Punkte P 00 ∈ π gilt δ(P, π) ≤ δ(P, P 00 ). Abstand einer Geraden von einer Ebene Der Abstand zwischen einer Ebene π und einer zu ihr parallelen Geraden d ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes P von d von der Ebene π ; wir bezeichnen in mit δ(d, π). Ist d eine Gerade in π , dann gilt δ(d, π) = 0. Schneidet die Gerade d die Ebene π , können wir vereinbaren, dass der Abstand zwischen d und π Null ist. Abstand zwischen windschiefen Geraden Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden di , i = 1, 2 ist gleich dem Abstand der ersten Geraden von der zu ihr parallelen Ebene, die die zweite Gerade enthält. Dieser Abstand ist gleich der Länge δ , die durch δ = min δ(P1 , P2 ) mit Pi ∈ di gegeben ist. Abstand zwischen zwei Ebenen Der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen ist der Abstand eines Punktes oder einer Geraden der ersten Ebene von der zweiten Ebene. Mittelebene Die Mittelebene zweier Punkte beziehungsweise zweier zueinander paralleler Geraden ist der geometrische Ort aller Punkte, die von beiden Punkten beziehungsweise beiden Geraden den gleichen Abstand haben. Winkelhalbierende Ebene Die winkelhalbierende Ebene zweier sich schneidender Geraden beziehungsweise zweier sich schneidender Ebenen ist der geometrische Ort aller Punkte, die von beiden Geraden beziehungsweise beiden Ebenen den gleichen Abstand haben. 4.2.2 Volumen- und Oberächenberechnung Würfel Ist a die Kantenlänge eines Würfels, dann gilt Volumen = a3 Oberäche = 6a2 Gerades Prisma Volumen Manteläche = Grundäche · Höhe = Querschnittsäche · Länge der Seitenkante = Umfang des Querschnittes · Länge der Seitenkante 4.2 Geometrie des Raumes 81 Pyramide Volumen = 1 · Grundäche · Höhe 3 Kreiszylinder Sei r der Radius des Grundkreises und h die Höhe des Kreiszylinders. Dann gilt Volumen = πr2 h Manteläche = 2πrh Oberäche = 2πr(r + h) Kreiskegel Sei r√der Radius des Grundkreises und h die Höhe des Kreiskegels. Dann ist l = h2 + r2 der Abstand eines Punktes auf dem Grundkreis zur Spitze des Kegels, und es gilt 1 Volume = πr2 h 3 Manteläche Oberäche = πrl = πr(r + l) Kugel Ist r der Radius der Kugel, so gilt Volumen = 4 3 πr 3 Oberäche = 4πr2 Cavalierisches Prinzip 1. Ebene Flächen mit gleichlangem Querschnitt in gleichen Höhen haben gleichen Flächeninhalt. 2. Körper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen Höhen haben gleiches Volumen. : Zwei Parallelogramme oder zwei Dreieck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe haben den gleichen Flächeninhalt ; zwei Prismen oder zwei Pyramiden mit gleicher Grundäche und gleicher Höhe haben gleiches Volumen. Die Querschnitte sind hierbei immer parallel zur Grundseite beziehungsweise Grundäche gewählt. Beispiele 4.2.3 Allgemeine Ebenengleichung Eine Ebene ist der geometrische Ort aller Punkte im xyz -Raum, die eine Gleichung der Form ax + by + cz + d = 0 erfüllen. 82 Geometrie 4.2.4 Allgemeine Gleichungen der Geraden Im Raum können wir eine Gerade als Schnittmenge zweier Ebenen interpretieren. Die Gerade ist somit der geometrische Ort aller Punkte, die Lösungen beider Ebenengleichungen sind : ½ a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 4.2.5 Gleichung der Sphäre Die Sphäre ist der geometrische Ort aller Raumpunkte, die von einem Mittelpunkt der Sphäre genannten Punkt den gleichen Abstand haben. Diesen Abstand nennen wir Radius der Sphäre. Die Gleichung der Sphäre Σ mit Mittelpunkt (x0 , y0 , z0 ) und Radius r ist somit (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 . Eine Tangentialebene an eine Sphäre Σ ist eine Ebene, die Σ in genau einem Punkt T berührt. Hat dieser Punkt die Koordinaten (xT , yT , zT ), so ist die Gleichung der Tangentialebene von der Form (xT − x0 )(x − x0 ) + (yT − y0 )(y − y0 ) + (zT − z0 )(z − z0 ) = r2 . Jede durch den Punkt T gehende Gerade der Tangentialebene ist eine Tangente an der Sphäre. 4.3 Vektorielle Geometrie in Ebene und Raum 4.3.1 Vektoren Nachfolgend betrachten wir ausschliesslich Vektoren im R2 und R3 . Im R2 , beziehungsweise im R3 , besteht ein Vektor aus einem (Anm. des Übersetzers : geordneten) Paar, beziehungsweise Tripel reeller Zahlen, die wir Komponenten des Vektors nennen, die eine Richtung, eine Orientierung und eine Länge oder Norm denieren. Wennµwir A(1, ¶ 2) und B(3, 5) in der Ebene darstellen, −−→ 2 entspricht der Vektor AB = graphisch einem Pfeil mit Anfangspunkt 3 A und Endpunkt B . µ ¶ −−→ 2 Nehmen wir die Punkte C(5, 1) und D(7, 4), so ist der Vektor CD = der3 −−→ selbe wie AB . Tatsächlich haben sie die gleiche Richtung und Orientierung und die gleiche Länge, obwohl sie nicht denselben Anfangs- und Endpunkt haben. 6 B(3, 5) Á ­­ ­ ­ ­ A(1, 2) O D(7, 4) Á ­­ ­ ­ ­ C(5, 1) - 4.3 Vektorielle Geometrie 83 Norm eines Vektors ¶ u1 − ein Vektor im R2 . Seine Norm, geschrieben als k→ u k, ist gleich u2 p → → − der Länge des Vektors − u . Es gilt also k u k = u21 + u22 . u1 p − → u k = u21 + u22 + u23 Im R3 ist die Norm des Vektors − u = u2 durch k→ u3 gegeben. Ist die Norm eines Vekors gleich 1, so nennen wir den Vektor normiert oder Einheitsvektor. → Sei − u = µ Vektoraddition Wir können Vektoren addieren, addieren. Wenn µ ¶ indem wir ihre Komponenten µ ¶ 1 3 − → − → wir so zum Vektor u = den Vektor v = addieren, erhalten wir 4 1 den Vektor − → → → w =− u +− v = µ ¶ 1 4 µ + 3 1 ¶ µ = 1+3 4+1 ¶ µ = 4 5 ¶ . Setzen wir A(1, 4) und B(4, 5), so haben wir gemäss untenstehendem Schau→ → − bild − u +− v =→ w , woraus folgt, dass −−→ AB = µ 3 1 ¶ −−→ −→ → → → =− v =− w −− u = OB − OA. Geben wir uns zwei Punkte A(a1 , a2 ) und B(b1 , b2 ), so gilt −−→ AB = µ b1 b2 ¶ µ − a1 a2 ¶ µ = b1 − a1 b2 − a2 Dies gilt ebenso für Vektoren des R3 . 6 B − → v³³ ³ 1 ¶ 7 ¿ ³³ ¶ ¿ ¤º ¿ ¤ → − ¤− u ¿→ w ¤ ¿ ¤¿ ¤¿ A O Hieraus folgt die Gleichheit −−→ −−→ −→ AB + BC = AC. - ¶ . 84 Geometrie Eigenschaften (i) (ii) (iii) (iv) Kommutativität : Assoziativität : neutrales Element : Inverses Element : − → → → − u +− v =− v +→ u − → → − − → → → → u + ( v + w ) = (− u +− v)+− w − → − − → → − → − → 0 + u = u = u + 0 − Zu jedem Vektor → u gibt es einen eindeutigen − → − → → → → → Vektor − u , so dass − u −− u = −− u +− u = 0 Multiplikation von Vektor und Skalar Multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar α ∈ R, so ändert sich seine Richtung nicht, wohl aber seine Länge seine µ multiplizieren ¶ µ beziehungsweise ¶ u1 αu1 − → → − Norm mit |α|. Ist u = , dann gilt α u = . Die Orientieu2 αu2 rung bleibt erhalten, wenn α > 0, und wird umgekehrt, wenn α < 0. Daher gilt −−→ −−→ −AB = BA. Eigenschaften (v) (vi) (vii) (viii) → − − → α(− u +→ v ) = α→ u + α− v − → → − − → (α + β) u = α u + β u → → α(β − u ) = (αβ)− u − → − → 1· u = u Kollinearität und Orthogonalität Zwei Vektoren sind kollinear, wenn einer das skalare Vielfache des anderen ist. → → Zwei Vektoren − u et − v sind orthogonal, wenn ihre Richtungen senkrecht zuei→ → nander sind. Wir schreiben − u ⊥− v. Bezugssystem und Basis In der Ebene nennen wir drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte ein Bezugssystem. Sind A, B und C drei solche Punkte im R2 dann sind die Vektoren −−→ −→ AB und AC nicht kollinear. Darüberhinaus können wir jeden anderen Vektor −−→ −→ − → → u des R2 in der Form − u = α1 AB + α2 AC , mit reellen Zahlen α1 , α2 schreiben. Wir sagen dann, dass diese beiden Vektoren eine Basis bilden. Jede andere Basis des R2 enthält ebenfalls zwei Vektoren. Im Raum nennen wir vier Punkte, von denen drei ein Bezugssystem in einer Ebene bilden und der vierte nicht in dieser Ebene liegt, ein Bezugssystem. Sind −−→ A, B , C und D vier solche Punkte im R3 , dann können wir drei Vektoren AB , −→ −−→ → AC und AD bilden, so dass wir jeden anderen Vektor − w des R3 in der Form −−→ −→ −−→ − → w = α1 AB + α2 AC + α3 AD mit αi ∈ R schreiben können. Sie denieren eine Basis des R3 . Ein Bezugssytem (O; I; J) in der Ebene heisst orthonormiert, wenn °−→° °−→° −→ −→ °OI ° = °OJ ° = 1 und OI ⊥ OJ. Im Raum heisst ein Bezugssystem (O; I; J; K) orthonormiert, wenn °−→° °−→° °−−→° °OI ° = °OJ ° = °OK ° = 1 und −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ OI ⊥ OJ , OI ⊥ OK , OJ ⊥ OK . 4.3 Vektorielle Geometrie 85 Skalarprodukt im R2 und R3 → − − Das Skalarprodukt zweier Vektoren − u und → v im R2 mit → u = µ ¶ v1 − → v = ist die relle Zahl v2 → − → u ·− v = u1 v1 + u2 v2 . µ u1 u2 ¶ und u1 → − − Das Skalarprodukt zweier Vektoren − u und → v im R3 mit → u = u2 und u3 v1 − → v = v2 ist die relle Zahl v3 → − → u ·− v =u v +u v +u v . 1 1 2 2 3 3 Eigenschaften des Skalarprodukts im R2 und R3 − → → → − u ·− v =− v ·→ u − → − → − → → − → → u · ( v + w) = − u ·→ v +− u ·− w − → → − − → − → u · (α v ) = α( u · v ) − → → u ·− u >0 → − → − − und − u ·→ u =0 ⇔→ u = 0 Darüberhinaus gelten folgende Beziehungen zwischen Norm und Skalarprodukt : → k− uk → − |− u ·→ v| = √− → → u ·− u → → 6 k− u k k− vk Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ¢ 1¡ → → → → k− u +− v k2 − k− u k2 − k− v k2 2 − → → u ·− v = − → → u ·− v → → = k− u k k− v k cos ϕ → → und ϕ ist der Winkel zwischen − u und − v Das Skalarprodukt erlaubt uns, zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren leicht auf ihre Orthogonalität zu prüfen : − → − → − − − → u ·→ v = 0 genau dann wenn → u ⊥→ v oder − u = 0 oder − → − → v = 0 → → → → → → In der Tat gilt − u ·− v = k− u k k− v k cos ϕ = 0 ; wenn − u = 6 0, − v = 6 0, dann π cos ϕ = 0, also ϕ = ± . 2 Vektorprodukt − → → − Das Vektorprodukt zweier Vektoren → u und − v des R3 , geschrieben als − u ×→ v − → − → → − − → oder u ∧ v , ist ein zu u und v orthogonaler Vektor. → → → − → → Sind − u und − v nicht zueinander parallel, dann bildet {− u ; → v ; − u ×− v } eine 3 positiv orientierte Basis des R (Rechtehandregel). → → Die Komponenten des Vektors − u ×− v sind u2 v3 − u3 v2 − → → u ×− v = u3 v1 − u1 v3 . u1 v2 − u2 v1 86 Geometrie → − : Geometrisch interpretiert ist k− u ×→ v k gleich dem Flächeninhalt → − − → des von u und v aufgespannten Parallelogramms. Daüberhinaus gilt − → → → k→ u ×− v k = k− u k k− v k |sin ϕ| Bemerkung Eigenschaften − → → u ×− v − → → − − → u × ( v + w) → − → (− u +→ v)×− w → − − → (α u ) × v − → − → u × (→ v ×− w) = = = = = − → −→ v ×− u − → − → − → u × v +→ u ×− w − → → − − → → ( u × w) + ( v × − w) − → − → α( u × v ) , α ∈ R → − → − → → (− u ·→ w )− v − (→ u ·− v )− w − → − → − − → u und → v sind genau dann parallel wenn → u ×− v = 0 Spatprodukt → − → Das Spatprodukt der Vektoren − u, → v und − w des R3 ist die durch das zusammengesetzte Produkt − → − → u · (→ v ×− w ) = u1 v2 w3 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2 − u1 v3 w2 − u2 v1 w3 − u3 v2 w1 denierte reelle Zahl. Gelegentlich verwenden wir auch folgende Schreibweise : − → → → → → − u · (− v ×− w ) = [− u,− v ,→ w ]. Eigenschaften → → − → → − → → − [− u,− v ,→ w ] = [− v ,− w,→ u ] = [− w,− u,→ v] − → − → → − − → − → → − − → → − → → − → [ u , v , w ] = -[ u , w , v ] = -[ v , u , − w ] = -[− w,→ v ,− u] → − − → − → → − − → − → → − − → − → → − → → λ · [ u , v , w ] = [λ u , v , w ] = [ u , λ v , w ] = [ u , − v , λ− w] → − → − − → → − → → − − → − → → − → 0 − 0 − [ u + u , v , w ] = [ u , v , w ] + [u , v , w ] − → − : Geometrisch interpretiert ist |→ u · (− v ×→ w )| gleich dem Volumen − → → − − → des von den drei Vektoren u , v und w aufgespannten Parallelepipeds (Spats). Bemerkung − − → → − → → → → Hadamard-Ungleichung : |→ u · (→ v ×− w )| 6 k− u k k→ v ×− w k 6 k− u k k− v k k− w k. 4.3.2 Vektorielle Geometrie in der Ebene Geradengleichung in Vektorschreibweise Es seien A(xA , yA ) und B(xB , yB ) zwei verschiedene Punkte der Ebene. Ein Punkt P gehört genau dann zur Strecke [AB], wenn es eine reelle Zahl α, 0 6 −→ −−→ α 6 1 gibt, so dass AP = αAB , das heisst −−→ −→ −−→ OP = (1 − α)OA + αOB Wir sagen in diesem Fall, dass P die Strecke [AB] im Verhältnis α teilt. Ist M der Mittelpunkt der Strecke [AB], dann gilt α = 12 und µ ¶ −−→ 1 ³−→ −−→´ xA + xB yA + yB OM = OA + OB = , . 2 2 2 4.3 Vektorielle Geometrie 87 Wir können die durch die Gleichung ax + by + c = 0 denierte Gerade als Menge aller Punkte P , die eine Vektorgleichung der Form → − −−→ −→ OP = OA + λ d , λ ∈ R µ ¶ − → −b erfüllen. A ist ein Punkt der Geraden und d = ist der Richtungsvektor a der Geraden. Sind zwei Punkte A und B der Geraden gegeben, so können wir −−→ AB als Richtungsvektor nehmen. → Wir denieren den mit − n bezeichneten Normalenvektor der Geraden als den zu − → d senkrechten Vektor. Wird die Gerade durch die allgemeine Geradengleichung ax + by + c = 0 beschrieben, dann haben wir µ ¶ − → a − → − n = und → n · d = 0. b Der Abstand des Punktes P1 (x1 , y1 ) von der Geraden ax + by + c = 0 ist durch die Gleichung ¯−−→ → − n ¯¯ |ax1 + by1 + c| ¯ √ δ = ¯AP1 · → ¯= − knk a2 + b2 gegeben, wobei A ein belibieger Punkt der Gerade ist. Die Orthogonale Projektion von P1 auf der Eigenschaft µ −−→0 −−→ −−→ OP = OP1 − AP1 · diese Gerade ist der Punkt P 0 mit ¶ − − → → n n . · − → − → knk knk Der Spiegelpunkt von P1 bezüglich dieser Geraden ist der durch folgende Gleichung gegebene Punkt P 00 : µ ¶ − → → −−→ −−→ −−→ − n n 00 OP = OP1 − 2 AP1 · − · − → knk k→ nk ¶ d1 so können wir in folgender Weise von einer d2 in die andere Darstellung übergehen : → − Ist A = (xA , yA ) und d = − → −−→ −→ OP = OA + λ d ½ ⇔ µ x = xA + λd1 y = yA + λd2 ⇔ d2 x − d1 y − d2 xA + d1 yA = 0 − → → − − → → − Wegen d1 · d2 = kd1 k kd2 k cos ϕ ist der Winkel ϕ zwischen zwei Geraden d1 und d2 durch → − − → →·− → |− n | d1 · d2 | 1 n2 | = arccos ϕ = arccos − → − → →k k− →k k− n n 1 2 kd1 k kd2 k gegeben. Die Gleichungen der beiden Winkelhalbierenden der Geraden ai x + bi y + ci , i = 1, 2 sind a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 p =± p 2 2 2 a1 + b1 a2 + b22 88 Geometrie Vektorform der Kreisgleichung In der vektoriellen Schreibeweise können wir den Kreis als die Menge aller Punkte P beschreiben, für die die Gleichung −−→ kP0 P k = r −−→ bzw. kP0 P k2 = r2 gilt. Die Tangente im Punkt P1 (x1 , y1 ) des Kreises ist die Menge aller Punkte P , so dass −−−→ −−→ −−−→ −−→ P0 P1 · P0 P = r2 ou P0 P1 · P1 P = 0. 4.3.3 Vektorielle Geometrie im Raum Ebenengleichung in Vektorschreibweise Es ist ebenfalls möglich die durch den Punkt P1 (x1 , y1 , z1 ) gehende Ebene → − der nicht kollinearen Richtungsvektoren − u et → v durch in Vektorschreibweise zu denieren. Diese Ebene ist durch die Menge Aller Punkte P , die die Gleichung −→ −−→ → − 0P = 0P1 + λ− u + µ→ v , λ, µ ∈ R erfüllen, gegeben. Geben wir uns zwei andere Punkte P2 und P3 der Ebene, so −−−→ −−−→ dass P1 P2 et P1 P3 nicht kollinear sind, so können wir diese als Richtungsvektoren nehmen. Die durch die allgemeine Ebenengleichung ax + by + cz + d = 0 denierte Ebene hat den Normalenvektor a − → n = b c und wir können hiermit die Gleichung der Ebene in der Form −−→ − → n · P P1 = 0 n1 → schreiben. Sind der Normalenvektor − n = n2 und ein Punkt A = (xA , yA , zA ) n3 der Ebene bekannt, so ergibt sich die Gleichung n1 x + n2 y + n3 z − n1 xA − n2 yA − n3 zA = 0. Bemerkung : Um aus der Vektorschreibweise in die kartesische Schreibweise − → zu wechseln können wir den Vektor → u ×− v als Normalenvektor nehmen, wobei − → → − u und v die Richtungsvektoren der Ebene sind. Der Abstand eines Punktes P1 (x1 , y1 , z1 ) von der den Punkt A enthaltenden Ebene ax + by + cz + d = 0 ist durch ¯−−→ − → n ¯¯ |ax1 + by1 + cz1 + d| ¯ √ δ = ¯AP1 · − ¯= k→ nk a2 + b2 + c2 gegeben. Die orthogonale Projektion eines Punktes P1 auf diese Ebene ist der Punkt P 0 , der die Gleichung ¶ − µ → → −−→0 −−→ −−→ − n n · − OP = OP1 − AP1 · − → knk k→ nk 4.3 Vektorielle Geometrie 89 erfüllt. Der Spiegelpunkt P 00 von P1 bezüglich der Ebene lässt sich wie im Fall der Spiegelung bezüglich einer Geraden ermitteln. Im Raum ist es nicht mehr möglich die Normale einer Geraden zu denieren ; zu einer gegebenen Geraden gibt es in jedem Punkt dieser Geraden unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Geraden, die eine zu dieser Geraden senkrechte Ebene erzeugen. − → Ist d der Richtungsvektor der Geraden d, A ein Punkt von d und P ein ausserhalb von d liegender Punkt, so ist der Abstand des Punktes P von d − → ° °−→ d ° ° δ(P, d) = °AP × − → ° kdk und die orthogonale Projektion von P auf d ist der durch à → − ! → − −−→0 −→ −→ d d OP = OA + AP · → · → − − kdk kdk gegebene Punkt P 0 . → und − → ist Der Winkel ϕ zwischen zwei Ebenen mit Normalenvektoren − n n 1 2 →·− → |− n 1 n2 | ϕ = arccos − → →k . kn1 k k− n 2 Sind a1 x+b1 y+c1 z+d1 = 0 und a2 x+b2 y+c2 z+d2 = 0 ihre Ebenengleichungen, so erhalten wir folgende Gleichung für die winkelhalbierende Ebene : a2 x + b2 y + c2 z + d2 a1 x + b1 y + c1 z + d1 p p =± 2 2 2 a1 + b1 + c1 a22 + b22 + c22 Gleichung einer Sphäre in Vektorschreibweise Die Gleichung einer Sphäre mit Mittelpunkt P0 (x0 , y0 , z0 ) und Radius r ist in Vektorschreibweise −−→ kP0 P k = r ou −−→ kP0 P k2 = r2 . Die Tangentialebene am Punkt P1 der la Sphäre ist die Menge aller Punkte P , die folgende Gleichung erfüllen : −−−→ −−→ P0 P1 · P0 P = r2 oder −−−→ −−→ P0 P1 · P1 P = 0 90 Geometrie Lösungen zu den Aufgaben L4.1 Satz des Euklid : Aus a2 + b2 = c2 und b02 + h2 = b2 folgern wir a2 = c2 − b02 − h2 = (a0 + b0 )2 − b02 − (a2 − a02 ) und somit 2a2 = 2a0 (a0 + b0 ) et a2 = a0 c. Höhensatz : Um den Höhensatz zu beweisen wenden wir den Satz des Euklid an. Es gilt h2 = a2 − a02 = a0 c − a02 = a0 (c − a0 ) = a0 b0 . L4.2 Der geometrische Ort ist gleich dem Kreis mit der gegebenen Hypotenuse als Durchmesser. Zum Beweis genügt es den allgemeinen Satz über die Eigenschaft des Peripheriewinkels und des Zentriwinkels an zuwenden und hierbei die Winkel von 90◦ und 180◦ zu wählen. L4.3 Die Anzahl gemeinsamer Tangenten an σ1 und σ2 ist gleich 0, wenn σ1 im Inneren von σ2 liegt, gleich 1, wenn σ1 im Inneren von σ2 liegt und an ihm tangential ist, gleich 2, wenn sich σ1 und σ2 schneiden, gleich 3, wenn σ1 ausserhalb von σ2 liegt und und an ihm tangential ist, und gleich 4, wenn σ1 ausserhalb von σ2 liegt. L4.4 Allgemeine Methode : Wir können die Aufgabe lösen, indem wir die Glei- chungen der Mittelsenkrechten von [AB] und [AC] bestimmen ; wir erhalten x − 2y + 5 = 0 und x + y − 4 = 0 und ihr Durchschnitt bestimmt den Mittel−→ punkt Ω von γ . Sein Radius ist dann durch kΩAk gegeben, was uns erlaubt, die Kreisgleichung aufzustellen. Im gegebenen Fall ist die Gleichung von γ wegen (0, 0) ∈ γ von der Gestalt x2 + y 2 + αx + βy = 0. Einsetzen der Tatsache, dass B und C auf γ liegen, ergibt ½ α − 2β = 10 also (α, β) = (−2, −6) und γ : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 10 α + β = −8 L4.5 Das gesuchte Volumen ist V = 31 (Grundäche) · (Höhe), also V = °´ °−−→ −→° 1³1° °−−→ −→° ° ° °AB × AC ° · 12 = 2°AB × AC ° = 10 3 2 L4.6 Die Koordinaten des Punktes D auf d sind von der Form (2+3λ, −3+λ, 1− −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ 6λ). Wir müssen somit die Gleichung 1 = 61 |[AB, AC, AD]| = 16 |AD·(AB× AC)| lösen und erhalten 2λ − 2 = ±6. Wir nden deshalb zwei Punkte D1 (14, 1, −23) und D2 (−4, −5, 13). L4.7 Aus der Orthogonalität der Richtungsvektoren (oder der Normalenvektoren) erhalten wir m = −3. L4.8 −−→ a) Der Vektor AB = 2(1, 1, 3) ein Normalenvektor der gesuchten Ebene und M (3, 2, −1), der Mittelpunkt von [AB], ist ein Punkt dieser Ebene, woraus ihre Gleichung folgt : x + y + 3z = 2. b) Der Punkt C ist durch den Durchschnitt von d mit der Mittelebene von A → und B festgelegt. Mit Hilfe der Gleichung für d in Vektorschreibweise, − rd = −−→ OP = (3, −1, −2) + λ(1, 2, 1), nden wir λ = 1 und C(4, 1, −1). Lösungen zu den Aufgaben 91 L4.9 Der Mittelpunkt Ω von γ ist der Durchschnitt der Mittelsenkrechten x − y = 1 und x + y = 3 ; mit Ω(2, 1) erhalten wir die Gleichung von γ : (x − 2)2 + −→ (y − 1)2 = kΩAk2 = 5. Sei T (ξ, η) der Berührungspunkt von τ ; die Gleichung von τ ist (ξ − 2)(x − 2) + (η − 1)(y − 1) = 5 und P ∈ τ impliziert ξ − 3η = −6, woraus wegen T ∈ γ die Gleichung (3η − 8)2 + (η − 1)2 = 5 folgt ; wir erhalten η = 2 oder 3 und somit die Punkte T1 (0, 2) und T2 (3, 3). Wegen der angenommenen negativen Steigung von τ bleibt nur T2 : die Gleichung von τ ist deshalb x + 2y = 9. Wir müssen noch Q, den Schnittpunkt von τ und des Kreises vom Radius 13 um den Mittelpunkt K , das heisst der Gleichung (x − 12)2 + (y − 13)2 = 169, bestimmen ; wir erhalten die Gleichung (−2y−3)2 +(y−13)2 = 169 mit Lösungen y = 1 oder 95 und daher x = 7 oder 27 5 . Die Bedingung xQ > 6 impliziert xQ = 7, yQ = 1. L4.10 Für den Abstand des Punktes P2 (x2 , y2 , z2 ) von der den Punkt A enthaltenden Ebene ax + by + cz + d = 0 gilt : ¯−−→ − → n ¯¯ ¯ δ = ¯AP2 · − ¯ → knk In unserem Fall gehen die windschiefen Geraden d1 und d2 mit Richtungsvek→ − − → toren d1 und d2 durch die Punkte P1 beziehungsweise P2 ; es genügt daher zu − → − → berücksichtigen, dass d1 in der von d1 und d2 aufgespannten Ebene liegt, und den Abstand des Punktes P2 von dieser Ebene zu suchen. − → − → Da d1 × d2 ein Normalenvektor dieser Ebene ist, ist der Abstand der beiden Geraden gleich ¯−−−→ → − →¯ ¯P1 P2 · (− d1 × d2 )¯ . → − − → k d1 × d2 k L4.11 Bezeichnen wir mit P 0 die Projektion von P auf d und mit α den Winkel − → −→ zwischen AP und d im positiven Drehsinn, dann gilt − → ° ¯ °−→ ¯ → d ° ¯ 1 −→ − ° ¯ 0 AP × ° − → °=¯ − → kAP k k d k sin α¯ = |P P | = δ(P ; d). kdk kdk L4.12 Wir bestimmen den Spiegelpunkt P 00 von P bezüglich π ; I ist dann der Schnittpunkt der Geraden (P 00 Q) mit der Ebene π , denn |P I| + |IQ| = |P 00 I|+|IQ| ist die kürzeste über I gehende Verbindung zwischen P und Q (Physikalische Eigenschaft der Lichtstrahlen). Wir erhalten I(−11, 4, 5) et α = π/4. L4.13 Um die Frage zu beantworten genügt es zu prüfen, ob der Abstand des Mittelpunktes der Sphäre von der Geraden kleiner oder grösser als der Radius ist. In Analogie mit der Aufgabe 4.4 können wir die Mittelebenen der Punkte verwenden, um den Mittelpunkt zu bestimmen, oder, was auf dasselbe hinausläuft −→ −−→ −−→ −−→ den Punkt P zu suchen, für den kP Ak = kP Bk = kP Ck = kP Dk. Bezeichnen wir die Koordinaten von P mit (p1 , p2 , p3 ), so gilt : −→ −−→ kP Ak = kP Dk gibt p21 + p22 + p23 = p21 + p22 + p23 − 2p3 + 1, also p3 = 1/2, −→ −−→ kP Ak = kP Bk gibt p21 + p22 + p23 = p21 − 2p1 + 1 + p22 + p23 − 2p3 + 1 also p1 = 1/2, −→ −−→ kP Ak = kP Ck gibt p21 + p22 + p23 = p21 − 2p1 + 1 + p22 − 4p2 + 4 + p23 − 2p3 + 1 also p2 = 1. √ −→ 6 . Hieraus folgt der Radius kAP k = 2 − → −−→ Wählen wir EF = (1, 1, 1) = d als Richtungsvektor der Geraden, erhalten wir 92 Geometrie √ − → ° √ °−−→ d ° 6 p ° δ(P ; d) = °EP × − → ° = 2 > 2 = 1, 5. Die Gerade schneidet die Sphäre kdk nicht. L4.14 Wir müssen zunächst die Tangentialebene der Sphäre an den Punkt T ermitteln. Ihre Gleichung ist x + 4y + 8z − 74 = 0. Wir prüfen anschliessend, ob die Gerade (ST ) durch den Spiegelpunkt P 00 von P bezüglich der Tangentialebene geht (oder, ob (P T ) durch S 00 geht), was der Fall ist. Oder wir prüfen, ob (1) P in der die Geraden (ST ) und (ΩT ) enthaltenden Ebene ist, wobei Ω der Mittelpunkt der Sphäre ist ; \ (2) cos (ST, ΩT ) = cos (P\ T, ΩT ). L4.15 Die Gleichung der zu d orthogonalen und durch den Punkt P gehenden Ebene π ist x + 2y − 3z = 2. −−→ −−→ −→ Sei I der Schnittpunkt von π und d ; dann gilt OI = 12 (OP + OP 0 ), das heisst −−→0 −→ −−→ OP = 2OI − OP = 2(3, 1, 1) − (1, 2, 1) = (5, 0, 1). L4.16 Seien G1 ∈ g1 und G2 ∈ g2 zwei gewählte Punkte und I1 , I2 die jeweiligen − → → → Schnittpunkte der Transversalen mit g1 und g2 . Die Vektoren − g1 , − g2 und t −−−→ −−−→ −−→ −−−→ − → → → bilden eine Basis und es gilt G1 G2 = G1 I1 + I1 I2 + I2 G2 = λ− g1 + τ t + µ− g2 , −−−→ − → − − → − → → − → woraus zum Beispiel folgt, dass G1 G2 · ( t × g1 ) = λ · 0 + τ · 0 + µ g2 · ( t × g1 ). −−−→ Mit den Werten G1 G2 = (2, 3, 1) − (1, 4, −1) = (1, −1, 2), erhalten wir µ = −3 −−→ −−→ −−→ → und analog λ = −2. Folglich OI1 = OG1 + λ− g1 = (−1, 0, −3) und OI2 = −−→ → OG2 − µ− g2 = (5, 6, 7). L4.17 Es handelt sich um den Abstand der Geraden gi . Die Gerade (AB) ist − → → → eine Transversale mit Richtungsvektor t = − g1 × − g2 ∼ (1, 4, 8). Wir können die Methode aus der Aufgabe 4.16 anwenden und erhalten A(1, 1, 1), B(2, 5, 9) und −−→ kABk = 9. Kapitel 5 Trigonometrie Aufgaben A5.1 In Analogie zum nachstehenden Schaublid betrachten wir die Gebiete Di (αi , ri , Ri ), i = 1, 2. Bestimme R1 als Funktion von r1 und R2 unter den Annahmen, dass D1 und D2 denselben Flächeninhalt haben, α1 doppelt so gross wie α2 ist sowie r2 = R1 . • αi ri MMM MMM Di Ri A5.2 Ein Gewicht wird mit Hilfe eines über eine feste Rolle vom Radius 12cm führenden Seils gehoben. Berechne, auf welcher Länge das Seil in Kontakt mit der Rolle ist, wenn das Seil in einem Winkel von 15◦ bezüglich der Senkrechten gezogen wird. √ A5.3 Bestimme die Periode der Funktion f : x 7→ 1 + 4 cos(3x + π). A5.4 Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel im Punkt C . \, wenn AC = 5 und Bestimme den Sinus und den Kosinus des Winkels CAB \ grösCB = 12. Entscheide ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechners ob CAB ser oder kleiner als π/3 ist. A5.5 Zeige, dass in einem beliebigen nicht rechtwinkligen Dreieck mit Winkeln α, β , γ die Beziehung tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ gilt. A5.6 Ein Boot bendet sich am Fusse einer 600m hohen Klippe. Das Boot bewegt sich auf dem Meer entlang des entsprechenden Längenkreises. Bestimme die Höhe des noch sichtbaren Teils der Klippe, wenn das Boot 80km zurückgelegt hat sowie die minimale Entfernung, damit die Klippe nicht mehr sichtbar ist. Wir nehmen hierzu an, dass die Erde eine Kugel vom Radius 6370km ist. A5.7 Ein Wanderer will in der Nacht von einem Ort A nach B gelangen. Mit einer Geschwindigkeit von 4km/h gehend verlässt er A entlang einer geraden Linie, welche um 15◦ von der Verbindungslinie der Orte abweicht. An einem Punkt P angekommen ändert er seine Richtung um 40◦ und erreicht nach 15 Minuten B . Berechne die Länge der Strecke AB 94 Trigonometrie A5.8 An einem Fluss misst ein Beobachter einen Winkel von 30◦ zur Spitze eines am entgegengesetzten Ufers bendlichen Masten. Er wechselt seinen Standpunkt, indem er 20m dem Flusslauf folgt. Nun sieht er die Mastspitze unter einem Winkel von 15◦ . Berchne die Breite des Flusses und die Höhe des Masten. A5.9 Löse die Gleichung sin x + cos 5x = cos 3x − sin 7x. A5.10 Bestimme A > 0 und ϕ, so dass 3 · cos x + 4 · sin x = A · cos(x − ϕ), ∀x. A5.11 Löse die Gleichung cos 2t − 5 6 sin t = √ tan X wenn X eine Lösung von 8 sin 2x + cos 2x = 10 cot x − 2 ist. A5.12 Löse folgende Gleichung für 3π < t < (sin t − 2 − √ 3 cos t)(2 + sin t − √ 7π 2 : √ √ 3 cos t) = 3( 2 sin t − 6 cos t) − 8. A5.13 Es sei ABC ein Dreieck mit Seitenlängen a = 7, b = 8, c = 9. Bestimme den Winkel α0 , damit das Dreiecks A0 B 0 C 0 denselben Flächeinhalt wie ABC √ 0 hat, wenn b = 2 5 et c0 = 24. A5.14 Wir wollen die Entfernung δ zwischen einem Ort A und einem Ort B , welcher von A aus nicht sichtbar ist, bestimmen. Auf einem von A ausgehenden Strahl wählen wir hierzu zwei Punkte D1 und D2 , von denen wir A und B sehen können. Wir messen die Entfernungen AD1 = 600m und AD2 = 700m sowie die Winkel ]AD1 B = 56, 25◦ und ]AD2 B = 43, 09◦ . Berechne die Entfernung δ . A5.15 Zwei Schie N1 und N2 benden sich auf demselben Längenkreis in einer Entfernung von d und beobachten ein Satelliten S . In dem Augenblick, in dem die Bahn von S die Senkrechte von N1 kreuzt, sieht der Beobachter auf N2 den Satelliten unter einem Winkel α. Bestimme die Höhe h = N1 S des Satelliten (wir bezeichnen mit r, gemeseen in km, den Radius der las kugelfömig angenommenen Erde). A5.16 Sind folgende Funktion periodisch ? Wenn ja, was ist ihre Periode ? (1) f (x) = sin( √ π π 5 x)+cos( x) ; (2) f (x) = sin x+sin( 2x) ; (3) f (x) = +sin2 x. 14 91 2 A5.17 Untersuche die Funktion h(x) = esin(πx/2) . 95 Mathematische Grundlagen 5.1 Winkelmasse Das Bogenmass eines Winkels mit Scheitelpunkt O gleicht der Länge des zugehörigen Kreisbogens s auf einem Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt O (Einheitskreis) : 1 ¡ ¡ ¡ s ¡ ¡α r ¡ 1 O Die Einheit des Winkels ist dann der Radiant ; 1 Radiant ist das Mass des Winkels, für den die zugehörige Bogenlänge auf dem Einheitskreis gleich 1 ist. Das Gradmass eines Winkels mit Scheitelpunkt O erhält man durch die Festsetzung : α(rad) α(◦ ) = 2π 360 Das Mass 1(◦ ) enstpricht dem 360sten Teil des Umfanges eines Einheitskreises. Auf einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r gehört zu einem Zentriwinkel mit α Radian ein Kreisbogen der Länge l =α·r und die Fläche des entsprechenden Kreissektors ist σ= 1 2 αr . 2 5.2 Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Denitionen c ©© © ©© B © ©© © β a ©© α A ©© b C Sei α < π2 der Winkel mit Scheitelpunkt A in einem rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel mit ScheitelpunktC ). Mit sin α, cos α, tan α und cot α bezeichnen wir die Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von α genannten Winkelfunktionen, welche folgendermassen deniert sind : 96 Trigonometrie a c cos α = b c a sin α = b cos α cot α = b 1 = a tan α sin α = tan α = Eigenschaften cos2 α + sin2 α = 1 tan β = tan(π/2 − α) = cot α. sin β = sin(π/2 − α) = cos α 1 = 1 + tan2 α cos2 α 1 = 1 + cot2 α sin2 α 5.3 Winkelfunktionen am Einheitskreis 6 6 cot α 1 \ " " " " " " −1 " " " sin α " "α " cos α " tan α 1 cot α \ \ \ sin \ α " " α \ \ cos α \ \ −1 " 1 " −1 \ −1 0≤α≤ 6 π 2 π 2 cot α 1 \ " " " " " α "" " cos α " " sin α " −1 " " " " " −1 π≤α≤ 1 3π 2 " tan α 1 −1 ≤α≤π 6 cot α \ \ \ \ \ tan α \ \ \ \ 1 \ cos α \ 1 \ sin α α \ \ tan α \ \ −1 \ \ \ 3π ≤ α ≤ 2π 2 Die jeweiligen Quadranten bestimmen die Vorzeichen von cos α und sin α. 5.4 Spezielle Werte 97 5.4 Spezielle Werte α 0 π 6 π 4 cos α 1 0 √ 3 2 1 2 √ 1 2 π 2 0 tan α 0 √ cot α n.d. 3 3 √ 1 1 3 ¡•@ @ ¡ @ ¡ @ a ¡ a @ ¡ @ ¡ ¡ π/4 π/4 @ ¡ @ √ c = 2a √ 2 2 π 3 sin α 2 2 √ π/3 √ 3 2 √ 1 n.d. 3 a 3 3 a h= 0 π/3 √ 3 2 a π/3 a 5.5 Graphische Darstellung und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen 2 sin 1 –4 –2 0 2 4 –1 cos –2 sin : ] − ∞, ∞[−→ [−1, 1] cos : ] − ∞, ∞[−→ [−1, 1] 98 Trigonometrie 4 tan 2 –4 0 –2 2 4 –2 cotan –4 tan : ] π2 + kπ, π2 + (k + 1)π[−→] − ∞, ∞[ cot : ]kπ, (k + 1)π[−→] − ∞, ∞[, k ∈ Z. sin(α + 2πn) = sin(α), n ∈ Z sin(−α) = − sin(α) tan(α + nπ) = tan(α), n ∈ Z tan(−α) = − tan(α), cos(α + 2πn) = cos(α), n ∈ Z cos(−α) = cos(α) cot(α + nπ) = cot(α), n ∈ Z cot(−α) = − cot(α) Die ungerade Funktion sin hat also die Periode 2π ; wir sagen auch sie sei 2π 2π periodisch. Hieraus folgt, dass für festes p die Periode von sin(pα) gleich ist. p Die Funktion cos ist 2π -periodisch und gerade, die Funktionen tan und cot sind π -periodisch und ungerade. 5.6 Einige Formeln sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β 5.6 Formeln 99 Zeichnerischer Beweis von sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β . B JJ J α J J J E • •J D ´ ´ ´ ´ ´ ´ 1 ´ β ´´ ´ ´ ´ α • ´ O sin(α + β) = A |AB| = = = = C |AE| + |EB| |CD| + |EB| |OD| sin α + |BD| cos α cos β sin α + sin β cos α Aufgabe : Schreibe tan(α + β) als Funktion von tan α und tan β à l'aide des quatre formules principales précédentes. tan(α + β) = = sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β = cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β ³ ´ sin α + sin β cos α cos β cos α cos β tan α + tan β ³ ´= sin α sin β 1 − tan α tan β cos α cos β 1 − cos α cos β Auf dieselbe Art und Weise erhalten wir folgende trigonometrische Formeln : tan(α + β) = tan α + tan β 1 − tan α tan β tan(α − β) = tan α − tan β 1 + tan α tan β cot(α + β) = cot α cot β − 1 cot β + cot α cot(α − β) = cot α cot β + 1 cot β − cot α Andererseits gilt sin(2ϕ) = sin(ϕ + ϕ) = sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ 100 Trigonometrie und somit sin α + sin β µ ¶ α β β α α β β α = 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ·³ µ ¶ µ ¶³ ¸ ´ α α β β β β α α´ = 2 sin cos sin2 + cos2 + sin cos sin2 + cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 µ ¶ α α α β β β β α α β β α = 2 sin cos cos2 + sin2 sin cos + cos2 sin cos + sin cos sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ¶µ ¶¸ ·µ β α β α β α β α cos cos + sin sin = 2 sin cos + cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 (α + β) (α − β) = 2 sin cos 2 2 sin α sin β = = sin(2ϕ) 1 [cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β] 2 1 [cos(α − β) − cos(α + β)] 2 = 2 sin ϕ cos ϕ r cos(2ϕ) = cos2 ϕ − sin2 ϕ = 1 − 2 sin2 ϕ = 2 cos2 ϕ − 1 r sin ϕ 2 =± 1 − cos ϕ 2 cos ϕ 2 =± tan ϕ 2 r 1 − cos ϕ =± 1 + cos ϕ cot ϕ 2 =± sin ϕ = sin ϕ 1 − cos ϕ = 1 + cos ϕ sin ϕ = 2 tan ϕ2 1 + tan2 ϕ2 r cos ϕ 1 + cos ϕ 2 1 + cos ϕ 1 − cos ϕ = sin ϕ 1 + cos ϕ = 1 − cos ϕ sin ϕ = 1 − tan2 1 + tan2 ϕ 2 ϕ 2 sin α + sin β = 2 sin α−β α+β cos 2 2 cos α + cos β = 2 cos sin α − sin β = 2 cos α+β α−β sin 2 2 cos α − cos β = −2 sin tan α + tan β = sin(α + β) cos α cos β tan α − tan β = sin(α − β) cos α cos β cot α + cot β = cot α − cot β = α+β α−β cos 2 2 α+β α−β sin 2 2 sin(α + β) sin α sin β − sin(α − β) sin α sin β 5.7 Umkehrfunktionen sin α sin β = cos α cos β = sin α cos β = cos α sin β = 101 1 [cos(α − β) − cos(α + β)] 2 tan α tan β = tan α + tan β cot α + cot β tan α cot β = tan α + cot β cot α + tan β cot α cot β = cot α + cot β tan α + tan β 1 [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 [sin(α − β) + sin(α + β)] 2 1 [sin(α + β) − sin(α − β)] 2 5.7 Umkehrfunktionen : Die Arkusfunktionen 3 arccos 2 3 arccot arctan 2 1 1 –4 –2 0 2 4 –1 –1 –0.5 0.5 1 –1 arcsin arcsin : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] arctan : R −→] − π2 , π2 [ arccos : [−1, 1] −→ [0, π] arccot : R −→]0, π[. Falls y = sin α und x = cos α 6= 0, gilt immer tan α = y/x ; jedoch ist arctan(y/x) si x > 0 et y > 0 π + arctan(y/x) si x < 0 et y ∈ R 2π + arctan(y/x) si x > 0 et y < 0 α= π/2 si x = 0 et y > 0 3π/2 si x = 0 et y < 0 102 Trigonometrie 5.8 Trigonometrische Bestimmungsgleichungen Für alle k ∈ Z gilt : cos x = 0 sin x = 0 cos x = cos y ⇔ ⇔ ⇔ x = π/2 + kπ x = kπ x = y + 2kπ oder x = −y + 2kπ tan x = 0 cot x = 0 ⇔ ⇔ x = kπ x = π/2 + kπ tan x = tan y ⇔ x = y + kπ cot x = cot y ⇔ x = y + kπ sin x = sin y ⇔ x = y + 2kπ oder x = π − y + 2kπ 5.9 Trigonometrische Funktionen im allgemeinen ebenen Dreieck C ¨'' ¨ ' ?? ¨¨ ' ??r ?? ¨¨¨ γ '' '' ??¨ '' a b¨¨¨??• '' ¨ ¨¨ ' ¨ β '' ¨ α ¨¨ c A B Sinussatz : a b c = = = 2r sin α sin β sin γ In der Tat, wie untenstehende Abbildung zeigt, gilt : sin γ = C ¨'' ¨ ' ¨¨ '' ¨ ¨ γ '' ¨¨ '' ¨ ¨ F ¨ • F x ¨ x.x... FFr ''' ¨ F x ¨x¨xx γ FFFF'' ¨ x F' x¨¨x c/2 B A c/2 c = . r 2r 5.9 Trigonometrische Funktionen im allgemeinen ebenen Dreieck 103 Kosinussatz : a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = c2 + a2 − 2ca cos β c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ Dies folgt aus den in der Abbildung geltenden Beziehungen : C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ b ¡ ¡ ¡ a y ¡ ¡ ¡ A ¡ β c π−β x B b2 = (x + c)2 + y 2 = x2 + 2xc + c2 + y 2 = (x2 + y 2 ) + c2 + 2xc = a2 + c2 + 2xc. Nun ist cos(π − β) = x/a et cos(π − β) = − cos β ; und somit erhalten wir b2 = a2 + c2 + 2ac cos(π − β) = a2 + c2 − 2ac cos β. Heronische Dreiecksformel : Fläche des Dreiecks = p p(p − a)(p − b)(p − c) wobei 2p = a + b + c = Umfang des Dreiecks. 104 Trigonometrie Lösungen zu den Aufgaben L5.1 Unter verwendung der Beziehungen Di = 21 αi (Ri2 − ri2 ), i = 1, 2 erhalten wir r 1 2 (2r + R22 ). 3 1 L5.2 Die gesuchte Länge ist l = α · r mit r = 12cm und α = 165◦ in Radiant umzuformen : R1 = l = 11 · π ≈ 34, 56cm. 2π . 3 L5.4 Eine einfache Rechnung zeigt AB = 13 und erlaubt uns die gesuchten \ zu bestimmen : sin ϕ = 12/13, cos ϕ = 5/13 Funktionen des Winkels ϕ = CAB und somit ϕ > π/3, denn cos(π/3) = 1/2 > 5/13 = cos ϕ. L5.3 Die Funktion f ist periodisch mit der Periode L5.5 Der Ausdruck tan(α + β) lässt sich zu einem Ausdruck, welcher nur tan α und tan β enthält umformen. Zum anderen ist er gleich − tan γ . L5.6 Die nach 80km noch sichtbare Höhe H ist (in Metern) 600 − h ; mit einem Erdradius von r = 6370km und dem vom Erdmittelpunkt ausgehenden Winkels ϕ des Kreisbogens von 80km Länge gilt (r+h) cos ϕ = r und somit H ≈ 97, 61m. Analog bestimmen wir die minimale Entfernung, von der aus die Klippe nicht mehr zu sehen ist, zu 87, 427km. L5.7 Wir wenden den Sinussatz an und erhalten eine Entfernung von AB ≈ 2, 48km ergibt. AB sin 140◦ = 1km sin 15◦ , woraus sich L5.8 Breite des Flusses : 10,48 m ; Höhe des MAsten : 6,05 m. L5.9 Die Gleichung ist zu 2 sin(4x) cos(3x) = 2 sin(4x) sin(x) äquivalent. Also mπ π nπ oder + , m, n ∈ Z 4 8 2 L5.10½Wir schliessen, dass A und ϕ folgendes Gleichungssystem erfüllen müsA cos ϕ = 3 sen : Die Lösung ist A = 5 und ϕ ≈ 0, 927rad. A sin ϕ = 4 x= L5.11 Wir setzen z = tan x (z 6= 0) und erhalten für z ∈ {−5, −2, 1} die Gleichung z 3 + 6z 2 + 3z − 10 = 0 ; nur die Lösung tan X = 1 ist zulässig. Die gegebene Gleichung wird somit zu sin t + 1 = 0 und besitzt die Lösung t = − π2 + 2kπ, k ∈ Z. √ L5.12 Wir setzen y = sin t − 3 cos t ; die Gleichung schreibt sich dann als √ √ (y − 2)(y + 2) = 3 2y − 8 et s'écrit y 2 − 3 2y + 4 = 0. √ √ Sie besitzt zwei verschiedene Lösungen : y1 = 2 et y2 = 2 2. Es bleiben somit folgende Gleichungen zu lösen √ sin t − 3 cos t = yi ; wir schreiben hierzu die linke Seite als A sin(t − α) mit A = 2, cos α = 1/2 und √ sin α = 3/2, das heisst α = π/3. Folglich √ √ π 2 π sin(t − ) = oder sin(t − ) = 2, was nicht möglich ist. 3 2 3 Deshalb gilt sin(t − π π π π ) = sin alsot − = + 2kπ 3 4 3 4 Lösungen zu den Aufgaben ou t− 105 π π 3π = π − + 2kπ = + 2kπ, 3 4 4 das heisst 7π 13π + 2kπ ou + 2kπ, k ∈ Z. 12 12 7π 37π Die Bedingung 3π < t < impliziert nun, dass t = . 2 12 L5.13 Wir erhalten die √ Fläche des Dreiecks mit Hilfe der Heronischen Dreiecksformel zu ABC = 12 5 gleich dem des Dreiecks A0 B 0 C 0 , der durch 21 b0 c0 sin α0 π 5π gegeben ist. Es folgt hieraus, dass sin α0 = 0.5 und somit α0 = oder . 6 6 L5.14 Wir wenden den Sinussatz auf das Dreieck BD1 D2 an und nden D1 B ≈ 300m, anschliessend bestimmen wir mit Hilfe des Kosinussatzes im Dreieck BAD1 den Wert von δ 2 und erhalten δ = AB ≈ 500m. t= S5.15 S gogogo g g g g o ggggg oo ggggg ooooo g g g g g oo N2 ggggggg α ooo o o o h d ooooo o o ooo N1 •oo r O Es gilt : π \ ON +α 2S = 2 π d \ \2 . N − (α + ϕ) où ϕ = = SON 2 SO = 2 r Mit dem Sinussatz folgt hieraus : ¶ µ ³π ´ ³π ´ d cos α + sin − (α + ϕ) sin +α cos α r 2 2 = d.h. = r h+r r h+r und h h=r L5.16 i cos α − 1 . ¡ d¢ cos α + r π π (1) Wir setzen f1 (x) = sin( 14 x) und f2 (x) = cos( 91 x). Diese Funktionen sind periodisch mit den Perioden T1 = 28 beziehungsweise T2 = 182. Die Funktion f = f1 + f2 ist periodisch mit einer Periode T , wenn es m und n in N∗ gibt, so dass m · 28 = n · 182 ; Die kleinsten solche Zahlen sind m = 13, n = 2, das heisst T = 364 = P P CM (T1 , T2 ). 2π · n, was (2) In diesem Fall müssen wir m und n nden, so dass 2π · m = √ 2 √ unmöglich ist, weil 2 keine rationale Zahl ist. Die Funktion f ist also nicht periodisch. (3) Die Fuktion f schreibt sich als f (x) = 3 − 21 cos(2x) und ist somit π periodisch. 106 Trigonometrie L5.17 Die Funktion h ist auf ganz R deniert : Dh = R ; sie ist periodisch mit der Periode 4, denn sin hat die Periode 2π . Es genügt also, die Funktion auf dem πx π πx Intervall [0, 4] zu untersuchen. Die Ableitung h0 (x) = cos( )esin( 2 ) versch2 2 windet in x = 1 und x = 3, ist positiv in den Intervallen [0, 1[ und ]3, 4] (dort ist h also monoton steigend) und negativ in Intervall ]1, 3[ (dort ist h also monoton falπx π2 ³ πx πx ´ 1 − sin2 ( ) − sin( ) esin( 2 ) zu lend). Um die Nullstellen von h00 (x) = 4 2 2 nden setzen wir t = sin( πx Gleichung t2 + t − 1 = 0. 2 ) und lösen die so erhaltene √ πx −1 + 5 Die einzig zulässige Lösung ist t = sin( ) = ,das heisst im vorlie2 2 genden Intervall die angenäherten Werte von x = 0, 424 und x = 1.576 als Nullstellen von h00 . Wir fassen unsere Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen : x h0 h00 0 0.424 + + h + − 0 % e √ −1+ 5 2 1 0 1.576 − − 0 e % & − + e √ −1+ 5 2 3 0 4 + + 1 & % e−1 1 Es folgt hieraus, dass h ein lokales Maximum im Punkt (1, e), ein lokales Minimum im Punkt (3, 1e ) und zwei Wendepunkte (0.424, e0.618 ) et (1.576, e0.618 ) ; √ (0.618 als Näherungswert für −1+2 5 ) besitzt ; sie ist konkav auf [0.424, 1.576] und konvex auf den Intervallen [0, 0.424] und [1.576, 4]. 3 2 1 –2 –1 1 –1 2 3 4 5 Kapitel 6 Folgen, Reihen und Grenzwerte Aufgaben A6.1 Berechne - falls sie existieren - die Grenzwerte der Folgen (an ), n ∈ N∗ , wenn √ (−1)n+1 1 n2 + n n cos πn − 1 n a) an = π+ ; b) an = [π+(−1) ·n] ; c) an = . n n 2n2 + n cos πn A6.2 Wie A 6.1 für die Folgen der Glieder xn , wenn 2(n + 1)! − n · n! ; (n + 2)! a) xn = c) xn = cos h b) xn = d) xn = [1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)]2 ; (2n − 1)4 · 3n + π n i n1 ; 3n + (π − 41 )n A6.3 Berechne y = lim yn , wenn yn = n→∞ 2n2 (n + 1)(2n + 1) ¸n . sin(n2 + ln n) √ 7 n11 A6.4 Sei (xn ) die durch xn+1 = 12 xn + 3 und x0 = 0 denierte Folge. Berechne den Grenzwert von (xn )n∈N . A6.5 Berechne die unendliche Reihe P∞ −k . k=0 (−2) A6.6 Sei C1 ein Würfel der Kantenlänge c1 = c und vom Volumen V1 mit Grundäche in der xy -Ebene. Auf C1 stellen wir einen Würfel C2 vom Volumen V2 = 12 V1 , auf C2 einen Würfel C3 mit V3 = 12 V2 , etc . . . Welche maximale Höhe h können wir mit den so aufeinander gestellten Würfeln erreichen ? Wie gross ist das Volumen V des entsprechenden Körpers ? A6.7 Seien p und q zwei von einem Punkt der Ebene O ausgehende Halbgera- den, so dass der zwischen den Halbgeraden liegende Winkel ϕ ein spitzer Winkel ist. Ausgehend von einem Punkt P1 (6= O) von p konstruieren wir die Senkrechte auf q , welche q im Punkt Q1 schneider ; ausgehend von Q1 konstruieren wir die Senkrechte auf p, welche p im Punkt P2 schneidet ; usw. Wenn OP1 = a, berechne die Reihe L(ϕ) = lim n→∞ n X (Pk Qk + Qk Pk+1 ). k=1 −−−−−→ A6.8 Im R2 betrachten wir die Vektoren Ak−1 Ak , k ∈ N∗ , so dass ihre Pfeil- richtung positiv ist, wenn k ungerade ist, beziehungsweise negativ für gerade −−−−−→ −−−→ −−−−−→ k . Weiter sei A0 = O, kA0 A1 k = ` und kAk Ak+1 k = 12 kAk−1 Ak k. Berechne −−→ lim kOAk k. k→∞ A6.9 Wende die Denition des Grenzwertes an um lim cos x = 1 zu zeigen. x→0 108 Folgen, Reihen und Grenzwerte A6.10 Bestimme - vorausgesetzt sie existieren - folgende Grenzwerte : a) lim x→+∞ sin x ; x A6.11 Berechne 1 lim x sin . x √ lim e1/x |x| , falls x gegen Null strebt. b) x→0 A6.12 Wir betrachten folgende Funktionen f und g : ½ a) f (x) = 1 arctan( x−3 ) si π si 2 (x + 1)2 4 b) g(x) = 1 x +3 x 6= 3 , x=3 si x < 1 si x = 1 si x > 1 Untersuche f auf Stetigkeit in x0 = 3 und g auf Stetigkeit in x0 = 1. A6.13 Untersuche folgende Funktionen auf Stetigkeit in ihrem Denitionsbereich. a) f1 (x) = cos(5x2 − e2x+1 ) b) f2 (x) = |x| c) f3 (x) = [x] d) f4 (x) = sgn x, wobei |x| den Absolutbetrag von x, [x] die Ganzzahlfunktion (Gausssche Klammerfunktion) von x und sgn x die Vorzeichenfunktion (signumfunktion) von x bezeichnet, welche in 1.9 und 3.3 deniert sind. A6.14 1 1 ≤ x ≤ , die Funktion 3 2 f (x) = [1 − x2 ] graphisch dar, wobei [x] Ganzzahlfunktion (Gausssche Klammerfunktion) von x bezeichnet. b) Für welches c ist die Funktion g(x) = 2[x(2 − x)] + c[cos πx] an der Stelle x = 1 stetig ? a) Stelle im Intervall − A6.15 Bestimme die Asymptoten folgender Funktionen : a) f1 (x) = x2 − x − 2 ; 2x − 6 b) f2 (x) = x2 − 1 . x2 + 1 109 Mathematische Grundlagen 6.1 Punktmengen Begrie aus der Mengenlehre Voir 1.11 Beschränkte Mengen und Intervalle Voir 1.8 Umgebung Sei V eine Teilmenge von R und x ∈ V . V ist eine Umgebung von x in R, falls es ein oenes Intervall ]a, b[⊂ V gibgt, so dass x ∈]a, b[. Gleichermassen können wir sagen, dass V eine Umgebung von x in R ist, falls es ein δ > 0 gibt, so dass ]x − δ, x + δ[⊂ V . Bemerken wir ebenfalls, dass wenn U und V zwei Umgebungen von x in R sind, dann sind U ∩ V und U ∪ V ebenfalls Umgebungen von x in R. 6.2 Folgen Folge Une Zahlenfolge ist eine Abbildung f von N in die rellen Zahlen R. Wir bezeichnen die Folge mit (x0 , x1 , x2 , . . .) oder (xn )n∈N oder kurz (xn ). Beschränkte Folge Sei (xn ) eine Folge. Wir nennen die Menge der (xn ) Wertebereich oder auch Bildmenge der Folge (xn ). Der Begri einer beschränkten Folge entspricht somit dem einer beschränkten Menge sobald man ihre Bildmenge betrachtet. Somit sagen wir, dass (xn ) nach unten beschränkt ist, falls es ein m ∈ R gibt, so dass xn > m für alle n ∈ N gilt. Eine Folge (xn ) heisst nach oben beschränkt, falls es ein M ∈ R g n ∈ N gibt, so dass xn 6 M für alle n ∈ N gilt. Eine Folge heisst beschränkt, falls sie gleichzeitig nach oben und nach unten beschräänkt ist. Satz Die Folge (xn ) ist genau dann beschränkt, falls es ein c > 0 gibt, so dass |xn | 6 c für alle n ∈ N. Monotone Folge Eine Folge (xn ) heisst monoton steigend beziehungsweise streng monoton steigend, falls xn 6 xn+1 , beziehungsweise xn < xn+1 für alle n ∈ N. Sie heisst monoton fallend beziehungsweise streng monoton fallend, falls xn > xn+1 beziehungsweise xn > xn+1 , für alle n ∈ N. Eine Folge heisst monoton, falls sie entweder monoton steigend oder monoton fallend ist. Konvergente Folge Eine Folge (xn ) konvergiert gegen x ∈ R, falls es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl Nε gibt, so dass |xn − x| < ε für alle n > Nε gilt. Wir schreiben in diesem Falle lim xn = x n→+∞ und sagen, dass die Folge (xn ) konvergent ist und gegen den Grenzwert x ∈ R konvergiert. 110 Folgen, Reihen und Grenzwerte Eine nicht konvergente Folge heisst divergent. Bemerkung : Falls der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig oder anders gesagt besitzt jede Folge höchstens einen Grenzwert. Satz Jede konvergente Folge ist beschränkt. Grenzwertsätze Es seien (xn ) et (yn ) zwei konvergente Folgen, so dass x et lim yn = y. lim xn = n→+∞ n→+∞ Für alle α, β ∈ R : lim (αxn + βyn ) = αx + βy. (6.1) lim xn yn = xy. (6.2) n→+∞ n→+∞ lim xn n→+∞ yn = x y falls yn , y 6= 0. lim |xn | = |x|(= | lim xn |). n→+∞ n→+∞ (6.3) (6.4) Arithmetische Folge Eine arithmetische Folge ist eine Folge mit dem allgemeinen Bildungsgesetz xn = n · a + d, n ∈ N und a, d ∈ R. Falls a = 0, so ist die Folge konstant und somit konvergent ; anderenfalls ist sie divergent. Geometrische Folge Eine geometrische Folge ist eine Folge mit dem allgemeinen Bildungsgesetz xn = λ · an , n ∈ N und a, λ ∈ R. Falls a = 1, so ist die Folge konstant und somit konvergent ; im Falle a = −1 ist sie divergent. Für |a| > 1 divergiert die geometrische Folge und für |a| < 1 konvergiert sie gegen 0. Folgen mit Potenzen 1 (−1)n Sei q eine positive rationale Zahl ; die Folgen q et , n ≥ 1 sind konvergent n nq und ihr Grenzwert ist Null. 6.2.1 Konvergenzkriterien Einschachtelungsprinzip Seien (xn ), (un ) und (vn ) drei Folgen, so dass (un ) und (vn ) gegen denselben Grenzwert L konvergieren. Falls es eine natürliche Zahl N0 gibt, so dass für alle n > N0 die Ungleichungen un 6 xn 6 vn gelten, so konvergiert (xn ) gegen L. Hieraus lassen sich folgende Konvergenzkriterien ableiten : Sei (xn ) eine Folge, für die der Grenzwert ¯x ¯ ¯ n+1 ¯ ρ = lim ¯ ¯ n→+∞ xn 6.2 Folgen 111 existiert. Falls ρ < 1, so konvergiert die Folge, und falls ρ > 1, so divergiert die Folge. Im Falle ρ = 1 kann die Folge sowohl konvergent ( wie zum Beispiel die durch xn = 1 für alle n ∈ N denierte Folge) oder divergent sein (wie im Falle der durch xn = (−1)n denierten Folge). Sei (xn ) eine beschränkte Folge und (yn ) eine gegen 0 konvergente Folge. Dann konvergiert die Folge (xn yn ) ebenfalls gegen 0. Monotoniekriterium 1. Eine nach oben beschränkte monoton steigende Folge konvergiert gegen das Supremum ihrer Bildmenge. 2. Eine nach unten beschränkte monoton fallende Folge konvergiert gegen das Inmum ihrer Bildmenge. 3. (Intervallschachtelung) Sei (xn ) eine monoton steigende Folge und (yn ) eine monoton fallende Folge, so dass lim (xn − yn ) = 0. n→+∞ Dann gilt : (a) Für alle n ∈ N : x0 6 xn 6 xn+1 6 yn+1 6 yn 6 y0 . (b) (xn ) und (yn ) konvergieren gegen denselben Grenzwert. 6.2.2 Rekursiv denierte Folgen Die lineare Rekursion xn+1 = qxn + b Sei (xn ) die durch xn+1 = qxn + b und x0 = a denierte Folge. Ihr Bildungsgesetz können wir explizit angeben (Beweis mittels vollständiger Induktion) : µ ¶ 1 − qn b b n xn = x0 q + b = + a− q n falls q 6= 1 1−q 1−q 1−q und xn = a + bn falls q = 1. Sei q 6= 1. Mit Hilfe vorheriger Resultate (geometrische Folge) erhalten wir folgende Eigenschaft : Die durch xn+1 = qxn + b rekursiv denierte Folge konvergiert für alle x0 genau dann, wenn |q| < 1. In diesem Fall gilt b lim xn = . n→+∞ 1−q Die Rekursion xn+1 = (1 + q)xn − qxn−1 Sei (xn ) die durch xn+1 = (1 + q)xn − qxn−1 und x0 = a0 , x1 = a1 denierte Folge. Ihr Bildungsgesetz können wir explizit angeben (Beweis mittels vollständiger Induktion) : xn = und a0 − a1 n a1 − qa0 + q , n > 2 falls q 6= 1 1−q 1−q xn = a0 + n(a1 − a0 ) falls q = 1. 112 Folgen, Reihen und Grenzwerte Die so denierte Folge konvergiert für jedes Paar (a0 , a1 ) genau dann, wenn |q| < 1. In diesem Fall gilt a1 − qa0 lim xn = n→+∞ 1−q Nichtlineare Rekursionen Sei (xn ) die durch xn+1 = f (xn ) und x0 = a denierte Folge für eine stetige Funktion f (siehe Abschnitt 6.4). Falls die Folge gegen einen Grenzwert l konvergiert, dann muss l die Gleichung l = f (l) erfüllen. Falls wir also zeigen können, dass (xn ) konvergiert, dann ist ihr Grenzwert eine bestimmte Lösung L der Gleichung l = f (l) (andere mögliche Lösungen müssen ausgeschlossen werden). 6.3 Reihen Reihe und Partialsummen Die zu einer Folge (xn ) gehörende Folge von Partialsummen Sn = n X xk = x0 + x1 + . . . + xn . k=0 heisst (unendliche) Reihe. xn heisst n − tes Glied der Reihe. Konvergenz Eine Reihe heisst konvergent, falls die Folge (Sn ) ihrer Partialsummen konvergiert, d.h. lim Sn = S. n→∞ S bezeichnen wir als Summe der Reihe. In diesem Fall schreiben wir S = P ∞ k=0 xk . Falls eine Reihe nicht konvergiert, so ist sie divergent beziehungsweise sie divergiert. 6.3.1 Beispiele von Reihen Geometrische Reihe Wir nennen geometrische Reihe eine Reihe, für die xn = xn . Sie hat folgende Eigenschaften : n−m+1 si x = 1 n X k x = 1. ; n+1 − xm x k=m falls x 6= 1 x−1 2. Sie konvergiert genau dann wenn |x| < 1 ; in diesem Fall gilt ∞ X k=0 xk = 1 . 1−x 6.4 Grenzwert einer Funktion und stetige Funktion 113 Harmonische Reihe Wir nennen harmonische Reihe die Reihe, für die xn durch xn = 1 n und x0 = 0 deniert ist. Diese Reihe ist divergent. Alternierende harmonische Reihe Wir nennen alternierende harmonische Reihe die Reihe, für die xn durch xn = (−1)n n und x0 = 0 deniert ist. Diese Reihe konvergiert gegen − ln 2. 6.4 Grenzwert einer Funktion und stetige Funktion Grenzwert einer (reelwertigen) Funktion Eine Funktion f : X → Y hat den Grenzwert l wenn x gegen x0 strebt, beziehungsweise geht gegen l, wenn x gegen x0 strebt, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ X mit 0 < |x − x0 | < δ gilt : |f (x) − l| < ε. Wir schreiben kurz 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − l| < ε Es sei bemerkt, dass im Allgemeinen δ von x0 und ε abhängt. Wir schreiben lim f (x) = l. x→x0 : Eine Funktion f geht genau dann gegen l für x gegen x0 , wenn jede gegen x0 konvergente Folge (xn ) die Folge (f (xn )) gegen l konvergiert. Bemerkung Rechtsseitiger Grenzwert und linksseitiger Grenzwert Eine Funktion f : X → Y hat den rechtsseitigen Grenzwert l, beziehungsweise linksseitigem Grenzwert l an der Stelle x0 , falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für x ∈ X die Implikation 0 < x − x0 < δ , beziehungsweise 0 < x0 − x < δ , ⇒ |f (x) − l| < ε gilt. Wir schreiben lim f (x) = l, beziehungsweise lim f (x) = l. x→x+ 0 x→x− 0 Grenzwert im Unendlichen Die Funktion f (x) strebt gegen l, wenn x gegen Unendlich geht, falls es zu jedem ε > 0 ein N ∈ R gibt, so dass x > N ⇒ |f (x) − l| < ε. Wir schreiben lim f (x) = l oder lim f (x) = l. x→∞ x→+∞ Die Funktion f (x) strebt gegen l, wenn x gegen minus Unendlich geht, falls es zu jedem ε > 0 ein N ∈ R gibt, so dass x < N ⇒ |f (x) − l| < ε. 114 Folgen, Reihen und Grenzwerte Wir schreiben lim f (x) = l. x→−∞ Grenzwertsätze Die Rechenregeln (6.1), (6.2), (6.3), (6.4) sowie der Einschachtelungssatz für die Grenzwerte von Folgen lassen sich auf Funktionen übertragen. Es gilt demnach : Seien f , g und h in der Umgebung von a denierte Funktionen mit den Eigenschaften lim f (x) = L x→a et wobei a endlich oder unendlich ist und L, l endlich sind lim g(x) = l x→a Dann gilt für alle α, β ∈ R : lim (αf (x) + βg(x)) = αL + βl lim f (x)g(x) = Ll x→a x→a lim f (x) x→a g(x) = falls insbesondere L = l und f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), dann L falls l 6= 0 ; l lim h(x) = l = L. x→a bemerkung : Im Falle, dass L, l gleichzeitig Null oder Unendlich sind ergibt in der Regel für Quotienten unbestimmte Ausdrücke, welche wir häug mit Hilfe der Regel von Bernoulli und L'Hospital auösen können ; siehe 7.3. An einer Stelle (in einem Punkt) x0 stetige Funktion Eine Funktion f heisst stetig in x0 , wenn lim f (x) = f (x0 ). Diese ist gleichbex→x0 deutend mit der Aussage, dass es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε oder anders gesagt : Der Grenzwert in x = x0 und der Funktionswert von f (x) stimmen in diesem Punkt überein. Rechtsseitige und linksseitige Stetigkeit in x0 Eine Funktion f heisst rechtsseitig stetig in x0 wenn lim f (x) = f (x0 ). x→x+ 0 Eine Funktion f heisst rechtsseitig stetig in x0 , wenn lim f (x) = f (x0 ). x→x− 0 Bemerkung : Eine Funktion ist genau dann stetig in x0 , wenn sie rechts- und linksseitig stetig in x0 ist. Auf einem oenen Intervall ]a, b[ stetige Funktion Eine Funktion f heisst stetig auf ]a, b[, wenn f (x) in jedem Punkt x0 ∈]a, b[ stetig ist. Auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] stetige Funktion Eine Funktion f heisst stetig auf [a, b], wenn f (x) stetig auf ]a, b[, rechtsseitig stetig in a und linksseitig stetig in b ist. Sätze über stetige Funktionen Seien f und g auf einem Intervall I stetige Funktionen und h eine auf einem Intervall J , welches f (I) beinhaltet, stetige Funktion. Dann sind αf + βg und f f g stetig auf I , wobei α , β ∈ R, ist stetig auf I \ {Nullstellen von g} und g 6.5 Asymptoten 115 h ◦ f ist stetig auf I . Beispiele stetiger Funktionen 1. Jedes Polynom f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ist stetig auf R. 2. Eine rationale Funktion f (x) = stetig. p(x) q(x) ist in jedem x0 , für das q(x0 ) 6= 0, 3. Die allgemeine Exponentialfunktion f (x) = ax (a > 0) ist stetig auf R. 4. Die allgemeine Logarithmusfunktion f (x) = logb (x) (b > 0, b 6= 1) ist stetig auf R∗+ . 5. Die trigonometrischen Funktionen sin x und cos x sind stetig auf R, tan x ist in jedem x0 6= (2k + 1) π2 , k ∈ N stetig und cot x ist in jedem x0 6= kπ, k ∈ N stetig. Zwischenwertsatz Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Dann besitzt f ein Maximum M und ein Minimum m und f und nimmt alle Werte zwischen m und M an, d.h. Imf = [m,M ]. Folglich, wenn c ein Wert zwischen f (a) und f (b) ist, so gibt es ein x0 ∈ [a, b], so dass f (x0 ) = c. Insbesondere, wenn f (a)f (b) < 0, so gibt es ein x0 ∈]a, b[, so dass f (x0 ) = 0. 6.5 Asymptoten Senkrechte Asymptote Die Gerade x = a heisst senkrechte Asymptote an den Graphen der Funktion f , wenn lim f (x) = ±∞ oder lim f (x) = ±∞ x→a+ x→a− Waagerechte Asymptote Die Gerade y = h1 heisst waagerechte Asymptote an den Graphen der Funktion f bei +∞, wenn lim f (x) = h1 . x→+∞ Analog heisst die Gerade y = h2 waagerechte Asymptote an den Graphen der Funktion f bei −∞, wenn lim f (x) = h2 . x→−∞ Schräge (oder schiefe) Asymptote Die Gerade y = m1 x + h1 heisst schräge Asymptote an den Graphen der Funktion f bei +∞, wenn f (x) = m1 x + h1 + ∆(x) mit lim ∆(x) = 0. x→+∞ In diesem Fall, f (x) x→+∞ x m1 = lim und h1 = lim x→+∞ ¡ ¢ f (x) − m1 x . Die Denition einer schräges Asymptote bei −∞ ist analog. 116 Folgen, Reihen und Grenzwerte Lösungen zu den Aufgaben L6.1 a) lim an = π ; n→∞ c) an = b) es gibt keinen Grenzwert ; n (−1) √ − n12 n n 2 + (−1) n 1+ L6.2 d'où lim an = n→∞ 1 . 2 1 ; n+1 4 n b) Nach Vereinfachung haben wir xn = 1 4 , woraus folgt, dass der (2n)4 (1 − 2n ) 1 Grenzwert dieser Folge ist ; 16 µ ¶ π [1 + (q1 )n ]1/n hier sind q1 und q2 positive c) Wir schreiben xn = cos · 3 [1 + (q2 )n ]1/n 1 Zahlen < 1, also lim xn = ; x→+∞ 2 (2n)n 1 1 nn · = ·q d) On a xn = , n (n + 1) (2n + 1)n (1 + n1 )n (1 + 1 )2n a) Der gesuchte Grenzwert ist 0 ; , denn xn = 2n und somit lim xn = e−3/2 (cf 1.7). x→∞ L6.3 Wegen 0 ≤ |yn | ≤ strebt. Folglich y = 0. 1 , strebt |yn | gegen 0, wenn n gegen Unendlich n11/7 L6.4 Es handelt sich um eine rekursiv denierte Folge der Gestalt xn+1 = qxn +b mit q = 1 2 und b = 3, woraus folgt, dass ihr Grenzwert 6 ist. L6.5 Es handelt sich um eine geometrische Reihe mit Quotienten q = − 12 ; ihr Wert ist also gleich 23 . 1 2 L6.6 Da der Würfel Ck+1 das Volumen Vk+1 = Vk hat, ist seine Kantenlänge 1 ck . Daher gilt ck+1 = √ 3 2 h = lim n→∞ n X ck = c k=1 ∞ X √ √ 1 m 3 3 (√ ) = ( 2 + 4 + 2)c 3 2 m=0 und V = V1 ∞ X 1 ( )m = 2c3 . 2 m=0 L6.7 Q1 © Q2 ©© © ©© © ©© © ©© © ϕ © © O ϕ ϕ ϕ P2 P1 Nach vorangehendem Schaubild gilt L(ϕ) = lim (l + l cos ϕ + l cos2 ϕ + · · · + l cosn+1 ϕ) mit n→∞ l = P1 Q1 ; Lösungen zu den Aufgaben 117 also L(ϕ) = l a sin ϕ = . 1 − cos ϕ 1 − cos ϕ −−−−−→ L6.8 Unter Berücksichtigung der Pfeilrichtung der Vektoren Ak−1 Ak erhalten wir −−→ kOAk k −−−→ −−−→ −−−→ −−−−−→ kA0 A1 k − kA1 A2 k + kA2 A3 k − · · · + (−1)k−1 kAk−1 Ak k 1 1 1 (−1)k−1 = ` − ` + ` − ` + ··· + `. 2 4 8 2k−1 −−→ Somit ist lim kOAk k gleich der alternierenden geometrischen Reihe = k→∞ 1 1 1 1 (1 − + − + − · · · )` 2 4 8 16 √ L6.9 Für |x| < 2ε = δ gilt ` 1+ mit Grenzwert 1 2 = 2 `. 3 x x x x x x2 | cos x − 1| = 2 sin2 ( ) = 2| sin( )| · | sin( )| ≤ 2| | · | | = < ε. 2 2 2 2 2 2 Hieraus folgt lim cos x = 1. x→0 L6.10 a) Die Werte von sin x liegen zwischen −1 und +1 ; es gilt somit die fortlaufende Ungleichung : 1 sin x 1 − ≤ ≤ für x > 0. x x x 1 1 sin x Mit lim = lim − = 0, schliessen wir, dass lim = 0. x→∞ x x→∞ x→∞ x x 1 b) Analog zu a), denn −|x| ≤ x sin ≤ |x| und mit lim |x| = lim −|x| = 0 x→0 x→0 x 1 erhalten wir lim x sin = 0. x→0 x L6.11 Wenn x von rechts gegen Null strebt, erhalten wir lim+ e1/x wenn x von links gegen Null strebt, so gilt lim e x→0 √ 1/x −x √ x = +∞ ; = 0. x→0− L6.12 a) Wir berechnen den rechts- und linksseitigen Grenzwert von f (x) an der Stelle x0 = 3 : 1 π lim arctan( ) = = f (3). x−3 2 x→3+ Folglich ist f an der Stelle 3 rechtsseitig stetig ; andererseits lim arctan( x→3− 1 π ) = − 6= f (3). x−3 2 Somit ist f an der Stelle 3 nicht linksseitig stetig und deshalb auch an der Stelle x0 = 3 unstetig. b) In diesem Fall haben wir : lim g(x) = lim− (x + 1)2 = 4 = lim+ g(x) = lim+ ( x→1− x→1 x→1 also ist g(x) an der Stelle x0 = 1 stetig. x→1 1 + 3) x et g(1) = 4 ; 118 Folgen, Reihen und Grenzwerte L6.13 a) Die aus den auf R stetigen Funktionen h(x) = cos x und g(x) = 5x2 − e2x+1 komponierte Abbildung f1 (x) = (h ◦ g)(x) ist ebenfalls auf R stetig. b) Die Funktion f2 (x) = |x| ist in R deniert ; Sie ist stetig in R+ , denn f2 (x) = x für x ≥ 0, und stetig in R∗− , denn f2 (x) = −x für x < 0. Weiterhin ist sie wegen lim f2 (x) = 0 = f2 (0), an der Stelle 0 auch linksseitig stetig und x→0− somit stetig, woaraus die Stetigkeit in R folgt. c) Die Funktion f3 (x) = [x] ist auf R deniert und auf jedem Intervall ]n, n + 1[ mit n ∈ Z stetig. Hingegen ist sie an den Stellen xn = n ∈ Z ; in der Tat, für n ∈ Z, lim− [x] = n − 1 und lim+ [x] = n ; sie ist deshalb rechtsseitig stetig auf R. x→n x→n d) Die Funktion f4 (x) = sgn x ist auf R∗ deniert und sowohl in R∗+ als auch in R∗− , das heisst auf ihrem Denitionsbereich stetig donc sur son domaine de dénition. L6.14 a) Es ist f (0) = 1, sonst f (x) = 0. Insbesondere lim f (x) 6= f (0). x→0 b) Zunaächst ist g(1) = 2[1] + c[−1] = 2 − c. Für x = 1 ± ε, 0 < ε ≤ 14 gilt g(1 ± ε) = 2[1 − ε2 ] − c[cos πε] = 2 · 0 − c · 0 denn √ 2 ≤ cos πε < 1 ; somit ` = lim g(x) = 0 und g ist stetig, wenn ` = g(1), x→1 2 woaraus c = 2 folgt. L6.15 x2 − x − 2 ist auf R \ {3} deniert und dort stetig. 2x − 6 An der Stelle 3 hat f1 den rechtsseitigen Grenzwert lim f1 (x) = +∞ sowie a) Die Funktion f1 (x) = x→3+ den linksseitigen Grenzwert lim f1 (x) = −∞ : Die durch die Gleichung x = 3 x→3− denierte Gerade ist eine senkrechte Asymptote an den Graphen von f1 . Anx 4 dererseits können wir f1 als f1 (x) = + 1 + schreiben, woraus folgt, 2 2x − 6 x x dass lim f1 (x) − ( + 1) = 0 ; somit ist die Gerade y = + 1 eine schräge x→±∞ 2 2 Asymptoten an den Graphen von f1 bei ±∞. x2 − 1 ist auf R deniert und dort stetig und es gilt x2 + 1 lim f2 (x) = 1 ; es folgt hieraus, dass die durch die Gleichung y = 1 denierte b) Die Funktion f2 (x) = x→±∞ Gerade eine waagerechte Asymptote an den Graphen von f2 bei ±∞ ist. Kapitel 7 Dierentialrechnung Aufgaben A7.1 Sei g(x) eine auf R positive und stetige Funktion und f (x) = Mit Hilfe der Denition f 0 (x0 ) = lim h→0 f 0 (0) = g(0). sin[αxg(x)] p . g(x) f (x0 + h) − f (x0 ) , bestimme α so, dass h x2 1 , x > gegebene ebene Kurve. 2 1+x 2 Bestimme die Gleichung der Tangente an γ , die durch den Punkt P ( 4 , 2 ) geht. A7.2 Sei γ die durch die Gleichung y = A7.3 Sei f deniert durch ( f (x) = (i) (ii) x2 − 2x sin x x2 + 1 si x < 0 si x > 0 ; Zeige, dass f in 0 stetig ist. Ist f an der Stelle 0 dierenzierbar ? A7.4 Gegeben seien die ebenen Kurven γ1 : y = x2 − px, x 6 1 und γ2 : y = q sin π4 x + cos π4 x, x > 2. Wir verbinden γ1 und γ2 im Intervall x ∈ [1, 2] durch eine Strecke. Bestimme p und q , so dass die so erhaltene Kurve Γ auf ganz R stetig dierenzierbar ist. A7.5 Betsimme die Ableitungen folgender Funktionen : µ (i) esin(x 3 +cos x2 ) (ii) cos2 x3 + 1 x2 + 1 ¶ . A7.6 Bestimme mit Hilfe der Regel [g(f (x))]0 = g 0 (f (x)) · f 0 (x)die Ableitungen von arctan x und arcsin x. 0 [g(f (x))] . Setze f (x) = arctan x (oder arcsin x) und g 0 (f (x)) wähle eine geeignete Funktion g . Hinweis : Es gilt f 0 (x) = A7.7 Mit Hilfe der Eigenschaften der Logarithmusfunktion (siehe 1.7) und der Regel (g ◦ f )0 = (g 0 ◦ f ) · f 0 bestimme die Ableitungen folgender Funktionen für a > 0 und x > 0 : (i) ax (ii) loga x (iii) xx A7.8 Bestimme die Ableitungen der Funktionen tanh x und artanh x (siehe 3.3) 120 Dierentialrechnung 1 − bx − e− sin bx = −b . x→0 x2 s r q √ A7.10 Berechne die Ableitung vonf (x) = x x x x , x > 0. A7.9 Bestimme b 6= 0, so dass lim A7.11 Sei f (x) = sin ax. Zeige, dass f (n) (x) = an sin(ax + nπ 2 ) . A7.12 Bestimme die lokalen Extrema und das globale Minimum der Funktion f (x) = p 3 x3 − 4x2 + 5x − 2, x > 0 (Angabe der Koordinaten !). A7.13 In welchem Punkt P der durch die Gleichung y = x2 − 6x + 3 gegebenen Parabel γ ist die durch P gehende Tangente an γ parallel zur Tangente, die der durch y = x3 + 6x2 + 14x − 7 denierten Kurve in dessen Wendepunkt anliegt ? A7.14 Sei C ein horizontaler zylindrischer Heizöltank vom Radius R = 50cm und Länge L = 4m. Es iessen bei konstanter Rate stündlich δ = 2 Liter Öl nach unten ab. Mit welcher Geschwindigkeit sinkt der Pegel zum Zeitpunkt, in dem er sich 75cm unterhalb des des Maximalstandes bendet ? 121 Mathematische Grundlagen 7.1 Grundlegende Begrie Ableitung einer Funktion in einem Punkt (an einer Stelle) Sei f eine reelwertige Funktion, x0 ∈ Df und h 6= 0, so dass x0 + h ∈ Df . Die Funktion f ist dierenzierbar im Punkt x0 , wenn folgender Grenzwert existiert : lim h→0 f (x0 + h) − f (x0 ) . h Wir bezeichnen ihn dann mit f 0 (x0 ) und nennt ihn die Ableitung von f an der Stelle x0 . Für eine in x0 dierenzierbare Funktion können wir deshalb schreiben : f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · h + h · r(h) mit lim r(h) = 0 ; h→0 gleichzeitig folgt hieraus, dass f (x) stetig in x = x0 ist. Ableitung als Funktion Sei D(f 0 ) die Menge aller Elemente von X für die die Funktion f : X → Y dierenzierbar ist. Falls D(f 0 ) nichtleer ist, so nennen wir die Abbildung von D(f 0 ) in die reellen Zahlen R, die jedem x in D(f 0 ) die reelle Zahl f 0 (x) zuordnet die Ableitungsfunktion von f oder kurz die Ableitung von f . Wir schreiben sie als df d f 0 oder . Der Operator ist ein Dierentialoperator. dx dx df (x) dy Wenn f (x) = y , so gilt die Beziehung f 0 (x) = = , oder dy = f 0 (x)dx ; dx dx wir nennen dy das Dierential von y . Satz Sei f eine auf dem oenen Intervall I denierte Funktion. Falls f 0 (x) auf I existiert, so ist f stetig auf I . Bemerkung Eine stetige Funktion f kann eine nichtstetige Ableitung f 0 besitzen. Wir bezeichnen mit C 1 (I) die Menge aller auf I stetig dierenzierbaren Funktionen, das heisst aller Funktion mit stetiger Ableitung auf I . Geometrische Interpretation Die Steigung der durch die Punkte (x0 , f (x0 )) und (x0 + h, f (x0 + h)) gehenden Sekanten ist gleich f (x0 + h) − f (x0 ) h Wenn h gegen 0 strebt, so gehen die Sekanten gegen die Tangente des Graphen von f an der Stelle x0 . f 0 (x0 ) ist also gleich der Steigung der Tangente von f in x0 . Die Gleichung dieser Tangente ist gegeben durch y = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ). 122 Dierentialrechnung f (x) f (x0 ) h x0 x0 + h Physikalische Interpretation (Newtonsche Mechanik) Der Begri der Ableitung oder allgemeiner die Dierentialrechnung - wurde nicht nur zur Lösung geometrischer Prox(t) C bleme hergeleitet (TangentenB problem, Leibniz) sondern auch A zur Beschreibung physikalischer Gesetze (Newton, Gravitationsgesetz). Vom Standpunkt der Mechanik lässt sich die Ableitung folgendermassen interpretieren : Wenn x(t) die Abszisse des Ortes eines Teilchens als Funktion der Zeit bezeichnet, So stellt die Ableitung x0 (t) die Geschwindigkeit dieser Abszisse dar wie nebenstehende Abbildung zeigt (wir bezeichen die Geschwindigkeit mit v(t)). Wie wir bereits zuvor gesehen haben, gleicht der Wert der Gev(t) schwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt der Steigung der Tangente am Graphen von x(t). Es sei an dieser Stelle schon bemerkt, dass in diesem Beispiel die Fläche zwischen der Geschwindigkeitskurve und der tAchse der in diesem Zeitraum zurückgelegten Entfernung auf der Abszisse gleicht (Letzte Ordinate in (x(t) − t Diagramm) (Siehe Kapitel 8). Im Beispiel ist AB eine Strecke und BC Teil einer Parabel. t t 7.2 Dierentiationsregeln 123 Linksseitige und Rechtsseitige Ableitung Eine rechts der Stelle x0 denierte Funktion f : X → Y heisst rechtsseitig dierenzierbar in x0 , wenn der folgende Grenzwert existiert : f (x0 + h) − f (x0 ) . h lim+ h→0 Wir bezeichnen ihn mit f (x+ 0 ) und nennt ihn die rechtsseitige Ableitung von f in x0 . Analog denieren wir die linksseitige Aleitung : 0 f 0 (x− 0 ) = lim− h→0 f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) − f (x0 − k) = lim+ h k k→0 Satz Eine Funktion f ist genau dann an der Stelle x0 dierenzierbar, wenn sie dort 0 + 0 links- und rechtseitig dierenzierbar ist und f 0 (x− 0 ) = f (x0 ) = f (x0 ). 7.2 Dierentiationsregeln und Ableitungen elementarer Funktionen Wenn f und g in I dierenzierbar sind, so gelten die Dierentiationsregeln (i) (ii) 0 (αf (x) + βg(x)) = αf 0 (x) + βg 0 (x) 0 (f (x) · g(x)) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x) µ (iii) (iv) f (x) g(x) ¶0 = f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) (g(x))2 0 (g(f (x))) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) Die Regel (iv) lässt sich auch in der Form ¡ ¢¯ ¯ ¯ dg f (x) ¯¯ dg(y) ¯¯ df (x) ¯¯ = · ¯ ¯ dx dy ¯y=f (x0 ) dx ¯x=x0 x=x0 schreiben. Ableitung von Umkehrfunktionen Wenn f (x) eine bijektive und dierenzierbare Funktion ist, so folgt aus der 1 dy = 0 , das Beziehung y = f −1 (x), dass x = f (y) und dx = f 0 (y)dy , oder dx f (y) heisst [f −1 (x)]0 = 1 f 0 (f −1 (x)) : f (x) = sinh x ; Die zugehörige Umkehrfunktion ist f −1 (x) = arsinh x, x reel. Dann gilt 1 1 1 =√ =q . (arsinh x)0 = cosh(arsinh x) 2 1 + x2 1 + sinh (arsinh x) Beispiel 124 Dierentialrechnung Ableitung spezieller Funktionen : f (x) f 0 (x) a 0 xp pxp−1 (p ∈ R) |x| sgnx (x 6= 0) ln x 1 x ex ex sin x cos x cos x − sin x tan x 1 = 1 + tan2 x cos2 x cot x − 1 = −(1 + cot2 x) sin2 x NB : Wenn p eine beliebige reelle Zahl ist, so ist xp nur für x > 0 deniert. Mit Hilfe der Dierentiationsregeln und obenstehender Tabelle lassen sich im Prinzip alle Ableitungen berechnen (siehe Aufgaben). 7.3 Sätze der Dierentialrechnung Satz von Rolle Ist eine Funktion f auf dem abgeschlossenen [a, b] stetig und im oenen Intervall ]a, b[ dierenzierbar und gilt f (a) = f (b), dann gibt es ein c ∈]a, b[, so dass f 0 (c) = 0. Mittelwertsatz Ist eine Funktion f auf dem abgeschlossenen [a, b] stetig und im oenen Intervall ]a, b[ dierenzierbar, dann gibt es ein c ∈]a, b[, so dass f 0 (c) = 6 f (b) − f (a) b−a » » »»» » »» f (x) »»» » »»» »»» »» »»» »»» » »»» »» a c b 7.4 Ableitungen höherer Ordnung Um einige unbestimmte Ausdrücke der Gestalt genden Satz anwenden : 125 0 0 zu berechnen, können wir fol- Regel von Bernoulli und L'Hospital Seien f und g zwei an der Stelle a dierenzierbare Funktionen und es gelte f 0 (x) f (a) = g(a) = 0. Wenn g 0 (a) 6= 0 und lim 0 existiert, dann gilt x→a g (x) f 0 (x) f (x) = lim 0 . x→a g (x) x→a g(x) lim Diese Regel lässt sich auf den Fall verallgemeinern, in dem f und g an der Stelle a nicht deniert sind. 7.4 Ableitungen höherer Ordnung Wenn f 0 selbst wieder dierenzierbar ist, so schreiben wir (f 0 )0 = f 00 ( f 00 heisst die zweite Ableitung von f ) und analog die Folge f 000 , f (4) ,. . . , f (n) . Den so iterierten Dierentialoperator schreiben wir folgendermassen : df (n−1) (x) dn f (x) = dx dxn Wir denieren C k (I) als die Menge aller k -mal in I dierenzierbaren Funktionen mit stetiger k -ter Ableitung f (k) (wir vereinbaren, dass C 0 (I) die Menge der auf I stetigen Funktionen bezeichnet). Es gelten die Inklusionen : C k+1 (I) ⊂ C k (I) ⊂ . . . ⊂ C 0 (I). f (n) (x) = Geometrische und physikalische Interpretation Wir haben gesehen, dass f 0 (x0 ) die Steigung der Tangente an f (x) in x0 darstellt, das heisst den innitesimalen Funktionszuwachs von f (x) in einer Umgebung von x0 beschreibt. Genauso stellt f 00 (x0 ) den innitesimalen Funktionszuwachs von f 0 (x) in einer Umgebung von x0 dar, den wir die Krümmung von f (x) bei x0 nennen. Wenn f 00 (x0 ) > 0 so ist der Graph von f (x) konvex bei x0 ; wenn f 00 (x0 ) 6 0 so ist er konkav bei x0 (siehe Kapitel 3). In der physikalischen Interpretation bezeichnet x(t) den Ort eines sich entlang der x-Achse bewegenden Teilchens und v(t) = x0 (t) seine Geschwindigkeit und x00 (t) = v 0 (t) bedeutet dann die Änderung der Geschwindigkeit, das heisst die Beschleunigung. 7.4.1 Charakterisierung von Extremwerten Sei f ∈ C 0 (I). Wir können die Extremwerte der Funktion mit Hilfe ihrer Ableitungen charakterisieren. Wenn x0 eine Extremstelle von f ist, so gehört x0 zu einer der folgenden Mengen : 1. den Randpunkten von I (falls solche existieren) ; 2. den inneren Punkten von I an denen f 0 nicht existiert ; 3. den inneren Punkten von I an denen f 0 existiert und gleich Null ist. Wenn wir im Fall (3) zusätzlich annehmen, dass f 0 im Intervall ]x0 −α, x0 +α[⊂ I existiert, so gilt : 0 für x0 − α < x < x0 f (x) < 0 f 0 (x0 ) = 0 Wenn , dann hat f ein (lokales) Minimum in x0 0 f (x) > 0 für x0 < x < x0 + α 126 Dierentialrechnung (Wir erhalten das analoge Kriterium für ein lokales Maximum, indem wir < und > für f 0 (x)) umkehren. Wenn also f 0 (x) an der Stelle x = x0 ihr Vorzeichen wechselt, dann besitzt f in (x0 ,f (x0 )) einen Extremwert. Die zweite Ableitung erlaubt den Vorzeichenwechsel von f 0 zu garantieren und somit die Extremwerte zu charakterisieren. Wenn f 0 (x0 ) = 0, dann gilt : f 00 (x0 ) > 0 f 00 (x0 ) < 0 7.4.2 ⇒ ⇒ f (x) hat ein lokales Minimum in x0 . f (x) hat ein lokales Maximum in x0 . Monotonie- und Krümmungseigenschaften von f Wenn f 0 > 0 (beziehungsweise f 0 < 0) für alle x ∈ I , dann ist die Funktion auf diesem Intervall streng monoton steigend (beziehungsweise streng monoton fallend). Wenn f 0 (x0 ) = 0, dann besitzt der Graph von f im Punkt (x0 , f (x0 )) eine waagerechte Tangente. 0 + Wenn f an der Stelle x0 stetig ist und wenn f 0 (x− 0 ) 6= f (x0 ) existieren, dann besitzt der Graph von f im Punkt (x0 , f (x0 )) einen Knickpunkt. Wenn f an der Stelle x0 stetig ist und wenn lim |f 0 (x)| = +∞, dann besitzt x→x0 der Graph von f im Punkt (x0 , f (x0 )) eine senkrechte Tangente. Wendepunkt Der Punkt (x0 , f (x0 )) ist eine Wendepunkt des Graphen von f , wenn die Funktionskurve γ von f die Tangente von γ an der Stelle x0 durchschneidet. Genauer gesagt, wenn die Gleichung der Tangenten durch y(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) gegeben ist, dann gilt : f (x)−y(x) wechselt das Vorzeichen bei x = x0 ⇒ (x0 , f (x0 )) ist ein Wendepunkt . Wenn f 00 an der Stelle x0 das Vorzeichen wechselt, das heisst sich die Krümmung von f an der Stelle x0 ändert, dann dann besitzt der Graph von f einen Wendepunkt in (x0 , f (x0 )). Wenn gleichzeitig f 0 (x0 ) = 0, dann ist der Wendepunkt ein sogenannter Stufenpunkt. Lösungen zu den Aufgaben 127 Lösungen zu den Aufgaben L7.1 Es gilt x0 = 0 , f (0) = 0 und p f (h) sin[αhg(h)] p sin t = lim · α g(h) = α g(0) wegen lim = 1. t→0 t h→0 h h→0 hαg(h) p Hieraus folgt, dass die Bedingung f 0 (0) = g(0) die Beziehung α = g(0) impliziert. 1 L7.2 Die Gleichung der Tangente ist durch y = x gegeben. 2 In der Tat, wenn xP , yP die Koordinaten von P und (xT , yT ) ∈ γ ¯die des yT − yP ¯ Berührungspunkts der Tangente an γ bezeichnen, so gilt = y 0 ¯ und xT − xP xT 1 4 2 somit x + 5x − 8x + 2 = 0. Diese Gleichung besitzt nur eine Lösung > , denn 2 mit der Produktdarstellung ergibt sich f 0 (0) = lim x4 + 5x2 − 8x + 2 = (x − 1)(x3 + x2 + 6x − 2) = (x − 1)P3 (x) ; 1 1 und da P30 (x) > 0 für x > 0 und P3 ( ) > 0, so istP3 (x) > 0 für x > . 2 2 L7.3 (i) Es genügt zu zeigen, dass lim f (x) = lim f (x) = f (0) bzw. sin x lim (x2 − 2x) = lim 2 = 0. x→0− x→0+ x + 1 x→0− x→0+ (ii) Wir müssen prüfen, ob f 0 (0− ) = f 0 (0+ ). Wir nden f 0 (0− ) = −2 und f 0 (0+ ) = 1 ; also ist f in 0 nicht dierenzierbar. L7.4 Es seien x1 = 1, x2 = 2 und yi , i = 1, 2die Ordinaten der Punkte von Γ mit Abzissen xi . Weiter seien yi0 , i = 1, 2, die Steigungen der Tangenten an Γ im π π Punkt (xi , yi ). Es muss y10 = y20 gelten, woraus p = 2 + , und y2 − y1 = − 4 4 ³ π´ und q = − 1 + folgt. 2 L7.5 ¡ (i) 3 esin(x ¢ +cos x2 ) 0 = = = = ¡ sin(x3 +cos x2 ) ¢ ¡ ¢0 e · sin(x3 + cos x2 ) ¡ sin(x3 +cos x2 ) ¢ ¡ ¢0 e · cos(x3 + cos x2 ) · x3 + cos x2 ¡ sin(x3 +cos x2 ) ¢ ¡ ¢ e · cos(x3 + cos x2 ) · 3x2 − sin x2 · (x2 )0 ¡ sin(x3 +cos x2 ) ¢ e · cos(x3 + cos x2 ) · (3x2 − 2x sin x2 ) . ¶¸0 µ 3 ¶ · µ 3 x4 + 3x2 − 2x x +1 x +1 = − sin 2 . cos2 x2 + 1 (x2 + 1)2 x2 + 1 h ¡ ¢i0 g f (x) ¢ . Wir setzen f (x) = arctan x und g(x) = tan x ; L7.6 Es gilt f 0 (x) = 0 ¡ g f (x) mit g 0 (x) = 1 + (tan x)2 erhalten wir (ii) ¡ ¢0 arctan x = ¡ ¢0 tan(arctan x) (x)0 1 = ¡ ¢2 = 2 1+x 1 + x2 1 + tan(arctan x) Ebenso (oder mit 7.2) erhalten wir ¡ ¢0 1 . arcsin x = √ 1 − x2 L7.7 (i) Um die Ableitungen zu bestimmen benutzen wir folgende Eigenschaft des Logarithmus (siehe 1.7) : ln ax = x ln a. 128 Dierentialrechnung Wir setzen f (x) = ax ; es gilt also : ln f (x) = x ln a und somit heisst f 0 (x) = ax ln a. (ii) Aus loga x = f 0 (x) = ln a, das f (x) ln x 1 folgt (loga x)0 = . ln a x ln a (iii) Ist f (x) = xx , so gilt ln f (x) = x ln x. Es folgt f 0 (x) = f (x) · (ln x + 1) = (1 + ln x)xx . µ ¶0 sinh x 1 = = 1 − tanh2 x. cosh x cosh2 x 1 1 (artanh x)' = . ¡ ¢2 = 1 − x2 1 − tanh(ar tanh x) L7.8 (tanh x)0 = L7.9 Mit zweimaliger Anwendung der Regel von Bernoulli und L'Hospital erhal- ten wir : b2 1 − cos bx · e− sin bx b −b = − lim = − lim (sin bx + cos2 bx)e− sin bx 2 x→0 x 2 x→0 also b = 2. L7.10 Die gegebene Funktion lässt sich auch als f (x) = x 2 x 4 x 8 x 16 = x 16 1 1 1 1 15 schreiben, woraus 1 − 16 f 0 (x) = 15 folgt. 16 x L7.11 Die Beziehung gilt für n = 1, denn f 0 (x) = a cos ax = a sin(ax + π2 ). Wir nehmen nun an, dass sie für ein gegebenes n wahr sei : f (n) (x) = an sin(ax+ nπ 2 ); (n+1)π nπ (n+1) (n) 0 n n+1 Dann folgt f (x) = [f (x)] = a cos(ax + 2 ) · a = a sin(ax + 2 ) q.e.d.. L7.12 Das √ lokale Maximum von f bendet sich in (1, 0), das lokale Minimum 3 √ 5 4 in ( , − ) und das globale Minimum in (0, − 3 2). 3 3 L7.13 Die Abzisse des Wendepunktes W ist gleich −2 und die Steigung der Tangente in W beträgt 2, also P (4, −5). L7.14 Wenn wir den Tank zum Zeitpunkt t = 0 zu leeren beginnen und wenn h = h(t) die Höhe des Pegels des noch verbleibenden Öls bezeichnet, so gilt nach t Stunden h = R − R cos α = R(1 − cos α) und die verbleibende Menge Öl ist gleich 1 1 1 V = L · ( · 2α · R2 − · 2R sin α · R cos α) = LR2 (α − sin 2α), 2 2 2 wobei α den in untenstehender Figur angegebenen Winkel bezeichnet. R α 6h ? Lösungen zu den Aufgaben 129 Da V , h und α von t abhängen, gilt : dα dV = LR2 (1 − cos 2α) · dt dt also und dh dα = R sin α dt dt dh R sin α dV δ = · = . dt LR2 (1 − cos 2α) dt 2LR sin α Für den angegebenen Pegelstand erhalten wir h = 2R − 75 = 25cm und somit cos α = 1 √ cm/h. 10 3 1 2, sin α = √ 3 2 ; folglich | dh | = dt Kapitel 8 Integralrechnung Aufagben √ A8.1 Gegeben seien die Funktionen F1 (x) = 2 arcsin √x2 und F2 (x) = arcsin 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 0 . Bestimme die Funktionen fi (x) , i = 1, 2, für welche die Fi zugehörige Stammfunktionen sind. Was können wir aus dem Ergebnis schliessen ? A8.2 Bestimme die zur Geraden y = 1 asymptotische ebene Kurve γ , welche die Eigenschaft besitzt, dass die Steigung m ihrer Tangente in jedem Punkt 4x P (x, y) ∈ γ gleich ist. (1 + x2 )2 A8.3 Berechen √den Flächeninhalt A des Gebietes D = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ 3 3 [0, 1], x 6 y 6 x}. A8.4 Sei γ die durch xy − x + 1 = 0 denierte ebene Kurve. Sei τ eine durch den Ursprung des Koordinatensystems gehende Tangente an γ . Bestimme den Flächeninhalt A des beschränkten Gebietes, welches durch τ , die x-Achse und γ begrenzt wird. A8.5 Bestimme die Gleichung der in der xy -Ebene zu y = x parallelen Geraden d, so dass das von dieser Geraden und der Kurve γ : y = x2 − x + 1 eingeschlossene endliche Gebiet den Flächeninhalt 288 hat. Z Z 1 1 √ A8.6 Bestimme a) I = dx b) I = dx. 1 + ex 1+x+ 1+x Z A8.7 Bestimme I = arcsin x dx. Z A8.8 Bestimme a) I = Z (ln x)2 dx x3 cos x dx. b) I = 4x3 − px2 − 6x − 3 eine 1 − x4 Stammfunktion F (x), die nicht arctan x enthält ? Bestimme die entsprechende Stammfunktion F (x). A8.9 Für welchen Wert von p hat die Funktion f (x) = A8.10 Berechne das Integral Z I= 0 π x sin x dx. 1 + cos2 x Z Benutze und beweise hierzu die Beziehung Z b f (x)dx = a a b f (a + b − x)dx. 131 Mathematische Grundlagen 8.1 Stammfunktion Stammfunktion von f auf I Sei f eine auf dem Intervall I ⊂ R denierte Funktion. Eine dierenzierbare Funktion F heisst Stammfunktion von f auf I , wenn gilt : F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I ; hieraus folgt, dass F stetig auf I ist. : Eine Stammfunktion ist bis auf eine additive Konstante eindeutig deniert, das heisst zwei Stammfunktionen ein und derselben Funktion auf I unterscheiden sich nur durch eine Konstante. Bemerkung Beispiel : f (x) = x2 + 1 f (x) = sin 2x x3 +x+2 3 F1 (x) = 1 + sin2 x x3 +x−1 3 F2 (x) = 4 − cos2 x F1 (x) = F2 (x) = Unbestimmtes Integral Sei f eine auf dem Intervall I ⊂ R denierte Funktion. Wir bezeichnen mit Z f (x)dx die Menge (Schar) aller Stammfunktionen von f auf I . Dies ist das unbestimmte Integral von f . Wenn F irgendeine Stammfunktion von f auf I ist, dann gilt Z f (x)dx = F (x) + C , C ∈ R. Eigenschaft des unbestimmten Integrals : Z ¡ ¢ αf (x) + βg(x) dx = α Z Z f (x)dx + β g(x)dx 132 Integralrechnung Stammfunktionen elementarer Funktionen f (x) F (x) f (x) F (x) a ax 1 x ln |x| 1 1 + x2 arctan x xp xp+1 p+1 (p ∈ R \ {1}) ln x x(ln x − 1) √ 1 1 − x2 arcsin x ex ex √ 1 1 + x2 argsinh x sin x − cos x √ cos x sin x sinh x tan x − ln | cos x| cosh x cot x 1 x2 cosh x 1 (x − a)(x − b) ln | sin x| argcosh x −1 sinh x ¯ ¯ ¯x − a¯ 1 ¯ ¯ ln a − b ¯x − b¯ (a 6= b) 8.2 Das bestimmte Integral Das bestimmte Integral Sei f eine auf [a; b] Stetige Funktion und x0 , x1 , . . . , xn eine äquidistante Zerlegung von [a, b], das heisst x0 = a, x1 = a + h, . . . , xn = b und h = b−a n ist die Schrittweite der Zerlegung. Als bestimmtes Integral von f auf [a, b] bezeichnen wir den Grenzwert : lim n→∞ n X f (ci ) · i=1 b−a , n ci ∈ [xi−1 , xi ]. Rb Falls dieser Grenzwert existiert, so schreiben wir ihn als a f (x)dx ; wir nennen hierbei a und b die zugehörigen Integrationsgrenzen. Wir können ebenfalls beliebige nicht äquidistante Zerlegungen von [a; b] betrachten, wobei wir allerdings garantieren müssen, dass alle Schrittweiten gegen Null gehen, wenn n gegen Unendlich strebt. Das so erhaltene Integral nennen wir Riemannsches Integral. Geometrische Interpretation Rb Ist f positif auf [a, b], so ist der Wert von a f (x)dx gleich dem Flächeninhalt der Ordinatenmenge von f , das heisst der durch die x-Achse, den Geraden x = a et x = b und der Funktionskurve begrenzten Fläche (Flächeninhalt unter der Kurve ). Ist f negativ, so wird dieser Flächeninhalt negativ gezählt. Das besRb timmte Integral a f (x)dx gleicht somit dem orientierten Flächeninhalt in der Planimetrie. 8.3 Integrationsverfahren 133 6 ©© © ©© © © © ©© © © © © ©© © a © ©© © ©© © © © © © © © b f (x) - Hauptsatz der Integralrechnung Wenn F eine Stammfunktion von f auf [a, b] ist, dann gilt Z b f (x)dx = F (b) − F (a). a Eigenschaften des bestimmten Integrals Z a (i) f (x)dx = 0 a Z Z b (ii) a f (x)dx = − f (x)dx a Z b b ¡ ¢ αf (x) + βg(x) dx = α (iii) Z Z b a a f (x) 6 g(x) ∀x ∈ [a, b] Z b ⇒ f (x)dx 6 a Z Z b (v) a (iv) Z c f (x)dx = ¯Z ¯ ¯ a g(x)dx a f (x)dx , a<c<b c ¯ Z ¯ f (x)dx¯ 6 b b b f (x)dx + a g(x)dx a Z (iv) b f (x)dx + β b ¯ ¯ ¯f (x)¯dx , a<b a Mittelwertsatz (der Integralrechnung) Wenn f ∈ C 0 (I) und ρ(x) > 0 ∀x ∈ I = [a, b], dann gibt es ein c ∈ [a, b], so dass Z b Z b ρ(x)f (x)dx = f (c) ρ(x)dx a Z Spezialfall ρ ≡ 1 : a b f (x)dx = (b − a)f (c) a 8.3 Berechnung von Stammfunktion, Integrationsverfahren Zur Berechnung von Stammfunktionen benutzen wir, dass die Integration die Umkehrung der Dierentiation ist. 134 Integralrechnung Direkte Berechnung Einige Stammfunktionen lassen sich unmittelbar aus den Regeln der Dierentiation herleiten. Hierzu formen wir - falls nötig - den Integranden f (x) dergestalt um, dass wir eine bekannte Ableitung erhalten. Prinzip : Wenn der Integrand von der Gestalt u0 (x)h(u(x)) ist und wir eine Stammfunktion H von h kennen, dann gilt Z u0 (x)h(u(x))dx = H(u(x)) + C. Wenn u eine auf [a, b] stetig dierenzierbare Funktion und h stetig zwischen u(a) und u(b) ist, dann gilt für das bestimmte Integral Z Z b 0 u(b) u (x)h(u(x))dx = h(t)dt. a u(a) Partielle Integration Aus der Produktregel (f (x) · g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) folgt f 0 (x)g(x) = (f (x) · g(x))0 − f (x)g 0 (x). Folglich gilt Z Z 0 f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx und für das bestimmte Integral Z b ¯b Z ¯ f (x)g(x)dx = f (x)g(x)¯ − 0 a a b f (x)g 0 (x)dx. a ¯b ¯ wobei per denitionem f (x)g(x)¯ = f (b)g(b) − f (a)g(a). a : In einer Reihe von Fällen müssen oder können wir durch mehrere partielle Integrationen das gesuchte Integral schrittweise auf ein bekanntes Integral zurückführen. Bemerkung Substitutionsregel ¡ ¢ Wir setzen x = Φ(t), das heisst f (x) = f Φ(t) und dx = Φ0 (t)dt. Somit gilt Z Z f (x)dx = f (Φ(t))Φ0 (t)dt. Ist f stetig auf [a, b] und Φ stetig dierenzierbar auf [c, d] sowie Φ(c) = a und Φ(d) = b, dann gilt für das bestimmte Integral Z Z Φ(d) d f (x)dx = Φ(c) ¡ ¢ f Φ(t) Φ0 (t)dt c Stammfunktionen rationaler Funktionen Jede rationale Funktion ist integrierbar ; die Methode besteht darin, eine Partialbruchzerlegung vorzunehmen, da alle auftretenden Partialbrüche elementare Stammfunktionen haben. ¶ Z µ Z 2 1 1 x +x+1 dx = + dx = ln |x| + arctan x + C. Beispiel : x3 + x x 1 + x2 Lösungen zu den Aufgaben 135 Lösungen zu den Aufgaben L8.1 Um die fi (x) zu nden, bestimmen wir die Ableitungen Fi0 (x) ; wir erhal- 2 = f2 (x). Wir folgern, dass sich F1 und F2 nur um eine 2 − x2 Konstante unterscheiden. 4x L8.2 In jedem Punkt P (x, y(x)) muss die Beziehung y 0 (x) = gelten ; (1 + x2 )2 integrieren ergibt 2 y(x) = − + C . Wegen lim y(x) = 1 erhalten wir C = 1 und somit x→∞ 1 + x2 2 x −1 . y(x) = 2 x +1 Z 1 Z 1 √ 1 3 L8.3 Der gesuchte Flächeninhalt A ist A = xdx − x3 dx = . 2 0 0 ten f1 (x) = √ L8.4 Sei T (xT , yT ) der Berührungspunkt der Tangente und y = y(x) die Gleichung der Kurve γ . Es gilt y 0 (xT ) = Also yT xT woraus 1 T (2, ) folgt. 2 Z A = [ Inhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse OT ]− 1 2 1 1 (1− ) dx = ln 2− . x 2 L8.5 ZSei y = x + h die Gleichung von d ; h ist so zu bestimmen, dass b [(x + h) − (x2 − x + 1)]dx = 288, wobei a und b Die Abzissen der √ √ Schnittpunkte von γ und d bezeichnen. Wir nden a = 1 − h et b = 1 + h √ und erhalten so I = 43 h h, also h = 36. I = a L8.6 Z e−x dx = − ln |e−x + 1| + C. e−x + 1 Z Z √1 √ 1 1+x √ √ √ b) I = dx = dx = 2 ln(1 + x + 1) + C. 1 + x( 1 + x + 1) 1+ 1+x a) I = L8.7Z Durch partielle Integration erhalten wir Z I= (x)0 arcsin x dx = x arcsin x − √ p x dx = x arcsin x + 1 − x2 + C . 1 − x2 L8.8 a) Mit zweimaliger partieller Integration erhalten wir Z I = = Z (x)0 (ln x)2 dx = x(ln x)2 − 2 µ ¶ Z ln x dx = x(ln x)2 − 2 x ln x − 1 dx x(ln x)2 − 2x ln x + 2x + C. b) Mit dreimaliger partieller Integration erhalten wir Z Z I = x3 (sin x)0 dx = x3 sin x − 3 x2 sin x dx · ¸ Z 3 2 = x sin x − 3 −x cos x − (−2x cos x) dx · µ ¶¸ Z 3 2 = x sin x − 3 −x cos x + 2 x sin x − sin x dx = x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x − 6 cos x + C. 136 Integralrechnung L8.9 Wir führen eine Partialbruchzerlegung von f (x) durch : f (x) = A + x−1 B Cx + D + 2 . Damit die Funktion arctan x nicht in der Stammfunktion x+1 x +1 von f (x) auftritt, muss D = 0 gelten. Durch Einsetzen von x = 0 nden wir A = 14 (p + 5) , B = − 14 (p + 1) , −3 = −A + B , woraus p = 3 und anschliessend C = −5 folgt. Folglich Z 4x3 − 3x2 − 6x − 3 5 F (x) = dx = 2 ln |x − 1| − ln |x + 1| − ln(x2 + 1) + K 1 − x4 2 . L8.10 Mit der Substitution x = a + b − t gilt Z Z b x=a Z Z a f (x)dx = − b f (a + b − t)dt = t=b f (a + b − t)dt. a Z π Z π π sin x x sin x (π − x) sin(π − x) dx = dx − dx, 2 (π − x) 2x 1 + cos 1 + cos 1 + cos2 x 0 0 0 Z π ¯π sin x π2 ¯ und deshalb 2I = π dx = −π arctan(cos x)¯ = , das 2 2 0 0 1 + cos x π2 heisst I = . 4 Also I = π Kapitel 9 Matrizenrechnung Aufgaben A9.1 Gegeben seien 1 A= 0 1 1 1 2 1 , −2 0 2 B= 0 1 0 1 , 1 1 0 0 −3 C= 8 1 4 −10 −1 3 −7 . −1 Bereche A · B · C . Welche Folgerungen kann man aus dem Ergebnis ziehen ? µ ¶ µ ¶ 1 2 1 0 A9.2 Gibt es eine Matrix A, so dass A · = ? 2 4 1 1 µ 0 1 A9.3 Sei A = 1 0 gebnissen schliessen ? ¶ . Berechne A2 und A−1 . Was kann man aus den Erµ A9.4 Gegeben seien A = −1 2 0 1 1 0 0 ¶ 1 , 1 3 −4 . 1 Berechne AB et AC . µ A9.5 Finde eine Matrix A, so dass A · 1 B = 0 0 2 2 2 4 ¶ µ = 1 2 3 3 2 1 −1 0 1 1 0 1 1 und ¶ . A9.6 Berechne die inverse Matrix von A = 4 5 4 . A9.7 Löse folgendes Gleichungssystem mit Hilfe der Kramerschen Regel : 2x + 2y + 3z = −3 3x − 7y − 5z = 4 5x − 3y − 2z = 5 C = 138 Matrizenrechnung Mathematische Grundlagen 9.1 Grundlegende Begrie Matrix Seien m und n ∈ N∗ . Ein Zahlenfeld bestehend aus m Zeilen und n Spalten a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. .. . . am1 am2 · · · amn nennen wir eine Matrix vom Typ m × n, oder kurz m × n - Matrix. Wir bezeichnen sie mit A = (aij )i=1,...,m j=1,...,n beziehungsweise A = (aij ). Die rellen Zahlen aij heissen die Elemente der Matrix A. Beispiele : a11 A1 = a21 a31 µ a11 a13 a11 a21 a23 , A3 = , A2 = a21 a31 a33 a12 a22 a32 a12 a22 ¶ Die Matrizen A1 , A2 und A3 sind vom 3 × 3, 3 × 1 und 2 × 2. : Ein Vektor im R3 kann durch eine 3 × 1 - Matrix dargestellt werden. Wir können daher eine Matrix als ein Feld nebeneinander stehender Spaltenvektoren betrachten (siehe 9.2.5). Bemerkung Quadratische Matrix Ist m = n, so heisst die Matrix quadratisch der Ordnung n . Die Matrizen A1 und A3 im voranstehenden Beipiel sind quadratisch der Ordnung 3 beziehungweise 2. Spezielle Matrizen Die Matrix O =¡(oij¢) mit oij = 0 ∀i, j bezeichnet eine Nullmatrix. Die durch In = δij denierte quadratische Matrix der Ordnung n heisst Einheitsmatrix der Ordnung n Hierbei bedeutet δij das Kronecker - Symbol, das heisst δij = 1, falls i = j , und δij = 0 sonst. : Nullmatrizen Beispiele µ O= 0 0 0 0 , Einheitsmatrizen µ I2 = 1 0 0 1 ¶ 0 0 O= 0 0 0 0 ¶ , 1 0 I3 = 0 1 0 0 0 0 . 1 9.2 Rechnen mit Matrizen 9.2.1 Matrixaddition Zwei Matrizen A und B können wir addieren, wenn sie vom selben Typ sind. Wir erhalten dann sie Summe, indem wir die Elemente mit gleichen Indizes addieren : A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ). 9.2 Rechnen mit Matrizen µ Beipiel : 2 1 0 0 1 −1 139 ¶ µ + 0 −1 1 3 −2 4 ¶ µ = 2 0 1 4 −2 3 ¶ . Eigenschaften der Matrixaddition : (i) A + B = B + A (ii) A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (iii) A + O = A 9.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Wir multiplizieren eine Matrix A = (aij ) mit einer reellen Zahl λ ∈ R, indem wir jedes Element der Matrix mit λ multiplizieren : λ·A = λ·(aij ) = (λ·aij ). 2 0 −1 0 1 6 −6 = −3 3 . Beispiel : − · 2 −2 4 1 −2 Eigenschaften : (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) A·λ=λ·A λ · (A + B) = λ · A + λ · B (λ + µ) · A = λ · A + µ · A λ · (µ · A) = (λµ) · A 1·A=A 0·A=O 9.2.3 Matrixmultiplikation Das Produkt A · B zweier Matrizen lässt sich nur bilden, wenn die Anzahl der Spalten von A der Anzahl der Zeilen von B gleicht. Insbesondere ist es möglich, dass A · B deniert ist, nicht aber B · A. Es seien A = (aik ) eine m × p - Matrix undt B = (bkj ) eine p × n - Matrix. Die Matrix C = A · B , geschrieben C = (cij ), ist die durch cij = p X aik bkj . k=1 denierte m × n - Matrix. Das Element cij ist also gleich dem Skalarprodukt der i-ten Zeile der ersten Matrix und der j -ten Spalte der zweiten Matrix. µ ¶ 1 0 1 0 2 Beipiel : AB = · −3 −1 = 0 3 4 0 1 µ ¶ µ ¶ 1 · 1 + 0 · (−3) + 2 · 0 1 · 0 + 0 · (−1) + 2 · 1 1 2 = . 0 · 1 + 3 · (−3) + 4 · 0 0 · 0 + 3 · (−1) + 4 · 1 −9 1 1 0 2 In diesem Beispiel, existiert auch BA und ist gleich −3 −3 −10 . 0 3 4 140 Matrizenrechnung Eigenschaften der Matrixmultiplikation : (i) A · (B + C) = A · B + A · C (ii) A · (B · C) = (A · B) · C (iii) (A + B) · C = A · C + B · C (iv) A · (λ · B) = λ · (A · B) NB : Sind A und B n × n - Matrizen, so existieren die Produkte AB und BA ; allgemein gilt A · B 6= B · A : Die Multiplikation zweier Matrizen ist nicht kommutativ. 9.2.4 Transponierte einer Matrix Die Transponierte einer Matrix A = (aij ) ist die mit t A bezeichnete und nach der Vorschrift t A = (aji ) gebildete Matrix. Dies bedeutet, dass die i-te Zeile beziehungsweise die j -te Spalte von A die i-te Spalte beziehungsweise diej -te Zeile von t A ist. ¶ µ 1 4 1 0 5 . Beispiel : Wenn A = 0 2 dann t A = 4 2 3 5 3 Rechenregeln für Transponierte : (i) (ii) (iii) 9.2.5 t (A + B) = t A + t B (λ · A) = λ · t A t (A · B) = t B · t A t Determinanten von 2 × 2 - und 3 × 3 - Matrizen Sei A folgende quadretische Matrix der Ordnung 2 : µ A= a11 a21 a12 a22 ¶ . Ihre Determinante, geschrieben Det(A) oder |A| ist die durch |A| = a11 a22 − a21 a12 denierte reelle Zahl. Im Falle einer 3 × 3 - Matrix A, gegeben durch a11 A = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 können wir die Sarrussche Regel anwenden, um ihre Determinante zu berechnen : wir addieren die Produkte entlang der absteigenden Diagonalen und subtrahieren die Produkte entlang der aufsteigenden Diagonalen ; diese Regel gilt ausschliesslich für quadratische Matrizen der Ordnung 2 und 3. 9.2 Rechnen mit Matrizen 141 Wir verfahren also folgendermassen : a11 a12 a11 E a12 E a13 E EE EE EE EE EE EE EE EE EE E E E a21 a22 E a23 E a21 E a22 EE EE EE EE EE EE EE EE EE E E E a31 a32 a33 a31 a32 und somit Det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 . NB : Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen deniert. µ ¶ − → a1 → : Gegeben seien die Spaltenvektoren − a = und b = a 2 µ ¶ µ ¶ b1 a1 b1 , sowie die hieraus gebildete Matrix M = . Wir schreiben b2 a2 b2 → − → gelegentlich Det(− a ; b ) anStellevon Det(M ). a1 b1 c1 → − − → In Analogie, wenn → a = a2 , b = b2 , − c = c2 und M = a3 b3 c3 a1 b1 c1 − → → → a2 b2 c2 , so schreiben wir gelegentlich Det(− a ; b ;− c ) anstatt Det(M ). a3 b3 c3 Bemerkung Eigenschaften von Determinanten : (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) Det(t A) = Det(A) Addieren wir zu einer Zeile (Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (Spalte), so ändert sich die Determinante nicht. Vertauschen wir zwei Zeilen (beziehungsweise zwei Spalten) so wechselt die Determinante ihr Vorzeichen. Multiplizieren wir eine Zeile (beziehungsweise eine Spalte) mit λ, so wird die Determinante ebenfalls mit λ multipliziert. Für quadratische Matrizen der Ordnung 2, − → → − − → → → → → Det(− a1 + − a2 ; b )=Det(− a1 ; b )+Det(− a2 ; b ), und für quadratische Matrizen der Ordnung 3, − → − − → → − → → → → − − Det(− a1 + − a2 ; b ; → c )=Det(→ a1 ; b ; − c )+Det(→ a2 ; b ; − c ); Insbesondere gilt : Hat eine Matrix eine nur aus Nullen bestehende Zeile (beziehungsweise Spalte) , so ist ihre Determinante Null. NB : Im Allgemeneinen gilt Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) sowie Det(λA) 6= λDet(A). Ist jedoch A eine quadratische Matrix der Ordnung n, so gilt gemäss der Eigenschaft (v) die Beziehung Det(λA) = λn Det(A), da wir die Matrix λA 142 Matrizenrechnung erhalten, indem wir jede Zeile (beziehungsweise Spalte) von A mit λ multiplizieren. 9.2.6 Inverse von quadratischen Matrizen der Ordnung 6 3 Die Inverse einer m × n - Matrix A ist diejenige Matrix A, die durch die Eigenschaft A−1 · A = A · A−1 = In deniert ist. Bemerkung : Eine quadratische Matrix A hat genau dann eine Inverse wenn Det(A) 6= 0. Wir nennen in diesem Fall die Matrix A invertierbar. Sei A die durch µ A= a b c d ¶ denierte quadratische Matrix der Ordnung so dassµad −¶cb 6= 0, das heisst µ 2, ¶ a b mit linear unabhängigen Spaltenvektoren und . Seine Inverse ist c d dann µ ¶ 1 d −b A−1 = (9.1) −c a ad − cb Ist A eine quadratische Matrix der Ordnung 3 und Det(A) 6= 0, so ist seine Inverse durch ´ 1 ³ A−1 = (−1)i+j · dij , Det(A) gegeben, wobei dij die Determinante derjenigen Matrix bezeichnet, die wir durch Streichen der i-ten Zeile und der j -ten Spalte von t A erhalten. Beispiel : Gegeben sei die Matrix 1 2 A = −1 0 2 1 0 3 . 1 Aus ihrer Transponierten erhalten wir d11 = 0 · 1 − 3 · 1 = −3, d12 = 2, d13 = 6 sowie alle folgenden Elemente. Nach Berechnung der Determinante von A und der Multiplikation jedes dij mit (−1)i+j nden wir −3 −2 6 1 7 1 −3 . A−1 = 11 −1 3 2 Eigenschaften der Inversen : (A · B)−1 = B −1 · A−1 t (A−1 ) = (t A)−1 1 (iii) Det(A−1 ) = Det(A) (iv) (λ · A)−1 = λ−1 · A−1 (i) (ii) 9.3 Anwendungen der Matrizenrechnung Die Matrizenrechnung erlaubt unter anderem n lineare Gleichungen mit n Unbekannten auf sehr einfache Weise zu lösen. Wir benutzen hierzu die Kramersche Regel. 9.3 Anwendungen der Matrizenrechnung 143 9.3.1 Lösung eines linearen Systems bestehend aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten Gegeben sei folgendes lineares Gleichungssystem : a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 Wir setzen a1 b1 c1 d1 − → − → − → → a = a2 , b = b2 , − c = c2 , d = d2 . a3 b3 c3 d3 → − → → Obiges System besitzt genau dann eine eindeutige Lösung wenn Det(− a ; b ;− c ) 6= 0. Im vorliegenden Fall hat die Lösung folgende Darstellung : → − − → → Det( d ; b ; − c) x= , − → − → − → Det( a ; b ; c ) − → → − Det(→ a ; d ;− c) y= , − → − → − → Det( a ; b ; c ) − → − → → Det(− a; b; d) z= − → → . → Det(− a ; b ;− c) − → → → Ist Det(− a ; b ;− c ) = 0, so treten zwei mögliche Fälle auf : − → → − − − → − → − − → → → → 1. Det( d ; b ; c ) = Det(− a ; d ;→ c ) = Det(− a ; b ; d ) = 0 und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, 2. Mindestens eine dieser drei Determinanten est von Null verschieden und in diesem Fall besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. 144 Matrizenrechnung Lösungen zu den Aufgaben L9.1 1 0 A·B·C = 0 1 0 0 0 0 . 1 Wir schliessen daraus, dass A, B und C invertierbar sind. Weiter können wir folgern, dass A = C −1 · B −1 , B = A−1 · C −1 und C = B −1 · A−1 . L9.2 Die¶ Matrix A µmuss vom µ ¶ Typ 2 × 2 sein. Mit den Abkürzungen B = 1 2 1 0 und C = , gilt Det(B) = 0, Det(C) = 1 und folglich kann 2 4 1 1 es kein solches A geben, denn andernfalls hätten wir Det(AB) = Det(A) · Det(B) = Det(C), das heisst 0 = 1. L9.3 µ 2 A = ¶ 1 0 0 1 . Da A2 gleich der Eineitsmatrix ist, schliessen wir A = A−1 . Dies können wir auch mit Hilfe von (9.1), 9.2.6. direkt beweisen. Es ist also möglich, dass eine von der Einheitsmatrix verschiedene Matrix selbst ihre Inverse ist. L9.4 µ A·B =A·C = 1 0 0 1 ¶ . Wir sehen, dass für nicht quadratische Matrizen aus A·B = A·C nicht zwingend B = C folgt. Obwohl A · B = A · C = I2 sind weder B noch C die Inversen von A, denn A als nicht quadratische Matrix hat keine Inverse. ¶ µ 1 0 gilt Det(B) 6= 0. Folglich ist B und C = 1 1 µ ¶ 1 2 −1 invertierbar und A = C · B −1 = . 1 0 2 µ L9.5 Mit B = 2 2 2 4 ¶ L9.6 Wir erhalten A−1 3 1 −8 = 8 7 −4 8 −4 7 −8 . 3 L9.7 Die Lösung des Gleichungssystems ist x = −114 = −3 . 38 38 76 =1, y= =2, z= 38 38 Anhang Schweizerische Maturitätsprüfung Richtlinien 2003-2006 M1 Mathematik IV. PROGRAMME A. Programme für das normale Niveau Algebra Die Kandidatin/der Kandidat kann : Gleichungen, Gleichungen und Systeme von Gleichungen 1. Grades mit einer, zwei oder drei Variablen lösen und verschiedene LösungsmethoUngleichungen den beschreiben und Ungleichungen mit einer Variablen lösen Systeme Die Auösungsformel der Gleichung zweiten Grades erklären, beweisen und anwenden Graphen einer Funktion zweiten Grades darstellen die Formel von Vieta beweisen und Polynome zweiten Grades faktorisieren Gleichungen lösen, die auf Gleichungen zweiten Grades zurückgeführt werden Analysis Die Kandidatin/der Kandidat kann : übliche Funktionen eine Funktion beschreiben (Denitionsbereich, Eigenschaften, Graphen) und folgende üblichen Funktionen anwenden : konstante Funktion, Identität, lineare und ane Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Betragsfunktion, sin(x), cos(x), tan(x), ex , ax , ln(x), loga x Grenzwerte, Stetigkeit den Grenzwert- und Stetigkeitsbegri für Funktionen intuitiv darstellen Grenzwerte für x → a und x → ∞ auch für unbestimmte Aus0 ∞ berechnen drücke , 0 ∞ Die senkrechten und schiefen Asymptoten einer Funktion denieren und bestimmen 146 Anhang Ableitungen die Ableitbarkeit einer Funktion in einem Punkt und in einem Intervall denieren die graphischen Elemente, die in der Denition der Ableitung auftreten, interpretieren die Ableitung von Funktionen nach der Summenregel, Produktregel, Quotientenregel erklären und beweisen Ableitungen unter Verwendung der Denition und der Ableitungsregeln (inklusive der Kettenregel) berechnen den Satz, der die Beziehung zwischen erster Ableitung und Kurvenverlauf verknüpft, erklären und anwenden die Ableitung zur Lösung von Optimierungsproblemen anwenden eine vollständige Kurvendiskussion einer ableitbaren oder stückweise denierten Funktion (Denitionsbereich, Symmetrie, Periodizität, Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte) durchführen und den zugehörigen Graphen darstellenö Stammfunktionen Integrale eine Stammfunktionen denieren, ihre Eigenschaften anwenden, Stammfunktionen der üblichen Funktionen berechnen den Integralbegri intuitiv und als Grenzwert von Summen darstellen Stammfunktionen zur Berechnung von Integralen anwenden die Integralrechnung zur Bestimmung von Flächeninhalten, die durch Graphen von Funktionen begrenzt sind, anwenden Geometrie Die Kandidatin/der Kandidat kann : Trigonometrie auf dem Einheitskreis den Sinus und den Kosinus eines Winkels oder einer reellen Zahl interpretieren und daraus die Periodizität der trigonometrischen Funktionen ablesen die fundamentalen Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen gleicher Winkel, komplementärer Winkel, supplementärer Winkel und Gegenwinkel erklären und beweisen die Additionstheorem erklären und beweisen einfache goniometrische Gleichungen des Typus sin(ax) = b lösen den Sinus- und den Kosinussatz erklären und beweisen Dreiecksaufgaben lösen (rechtwinklige und beliebige Dreiecke) vektorielle Geometrie der Ebene und des Raumes den Vektorbegri, die Vektoraddition und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar mit den zugehörigen Eigenschaften, sowie die Begrie der Linearkombination von Vektoren und der kollinearen und komplanaren Vektoren darstellen vektorielle Basen der Ebene und des Raumes und der zugehörigen Koordinatensysteme in Beziehung setzen, insbesondere orthonormierte Basen und Koordinatensysteme die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke, des Schwerpunktes eines Dreiecks und die norm eines Vektors bestimmen das Skalarprodukt (algebraische und trigonometrische Darstellung) denieren und seine Eigenschaften anwenden das Vektorprodukt denieren und seine Eigenschaften anwenden den Abstand zweier Punkte und des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen die Fläche eines Parallelogramms und jene eines Dreieckes berechnen Programme Mathematik - Schweizerische Maturitätsprüfung 147 Analytische Geometrie der Ebene die Parametergleichungen und die Normalenform einer Geraden erstellen und damit den Richtungsvektor, den Normalenvektor, die Steigung und den senkrechten Achsenabschnitt im Ursprung herleiten die gegenseitige Lage zweier Geraden diskutieren und ihren eventuell existierenden Schnittpunkt berechnen den Zwischenwinkel zweier Geraden berechnen, den Abstand eines Punktes von einer Geraden, die Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden bestimmen die kartesische Kreisgleichung und die Gleichung ihrer Tangenten erstellen Stochastik Die Kandidatin/der Kandidat kann : beschreibende auf einfache Situationen die Begrie Population, Bestand und Statistik relative Häugkeit anwenden die Verteilung anhand eines Kreis- oder Stabdiagrammes oder eines Histogrammes darstellen Masszahlen einer Verteilung (Mittelwert, Varianz und Standardabweichung) denieren und interpretieren Wahrscheinlichkeiten die Begrie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses darstellen die Ereignisse nicht-A, A oder B , A und B , unabhängige und unvereinbare (disjukte) Ereignisse denieren den Satz P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) erklären und beweisen die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeiten anwenden P (A \ B) = einen Ereignisbaum anwenden die Binomialverteilung anwenden P (A ∩ B) P (B) 148 Anhang Schweizerische Maturitätsprüfung Richtlinien 2003-2006 M1 Mathematik B. Programme für das erweiterte Niveau Algebra Die Kandidatin/der Kandidat kann : Gleichungen, Gleichungen und Systeme von Gleichungen 1. Grades mit einer, zwei oder drei Variablen lösen und verschiedene LösungsmethoUngleichungen den beschreiben und Ungleichungen mit einer Variablen lösen Systeme Systeme von Ungleichungen mit zwei Variablen graphisch lösen Die Auösungsformel der Gleichung zweiten Grades erklären, beweisen und anwenden Graphen einer Funktion zweiten Grades darstellen die Formel von Vieta beweisen und Polynome zweiten Grades faktorisieren Gleichungen lösen, die auf Gleichungen zweiten Grades zurückgeführt werden formale Gleichungen und Ungleichungen mit Parameter diskussion lösen komplexe Zahlen den Begri der komplexen Zahl und ihrer verschieden Formen (algebraische, trigonometrische und Exponentialform) darstellen die Operationen unter all ihren obengenannten Formen denieren, ihre Eigenschaften und die Formel von Moivre darstellen eine komplexe Zahl in der Gauss'schen Ebene darstellen, ihre Teile identizieren (Real- und Imaginärteil, Modul und Argument) Gleichungen in der Menge C lösen eine Addition oder eine Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer weiteren komplexen Zahl, mit der imaginären Zahl i, sowie den Abbildungen von C nach C vom Typ z → a·z +b geometrisch interpretieren Analysis Die Kandidatin/der Kandidat kann : übliche Funktionen eine Funktion beschreiben (Denitionsbereich, Eigenschaften, Graphen) und folgende üblichen Funktionen anwenden : konstante Funktion, Identität, lineare und ane Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Betragsfunktion, sin(x), cos(x), tan(x), ex , ax , ln(x), loga x reelle Folgen das Prinzip der vollständigen Induktion erklären, und es zum Beweis von Sätzen anwenden eine Folge durch ihren allgemeinen Term oder durch vollständige Induktion, insbesondere eine arithmetische oder geometriche Folge, denieren die Begrie der konvergenten Folgen und der Grenzwerte denieren und illustrieren die Formel für die Summe der n ersten Terme einer arithmetischen und geometrischen Folge darstellen und beweisen die Konvergenz einer geometrischen Folge und der zugehörigen Reihe diskutieren Programme Mathematik - Schweizerische Maturitätsprüfung 149 Grenzwerte, Stetigkeit den Grenzwert- und Stetigkeitsbegri für Funktionen intuitiv darstellen Grenzwerte für x → a und x → ∞ auch für unbestimmte Aus0 ∞ drücke , berechnen 0 ∞ Die senkrechten und schiefen Asymptoten einer Funktion denieren und bestimmen Ableitungen die Ableitbarkeit einer Funktion in einem Punkt und in einem Intervall denieren die graphischen Elemente, die in der Denition der Ableitung auftreten, interpretieren die Relation zwischen Ableitbarkeit und Stetigkeit erklären die Ableitung von Funktionen nach der Summenregel, Produktregel, Quotientenregel, die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen und die Ableitung der Umkehrung einer Bijektion erklären und beweisen Ableitungen unter Verwendung der Denition und der Ableitungsregeln berechnen die Sätze von Rolle und die Sätze der endlichen Zuwächse (Lagrange), die Regel von l'Hospital darstellen und illustrieren die Beziehung zwischen erster Ableitung und Kurvenverlauf erklären und anwenden die Beziehung zwischen zweiter Ableitung, Konkavität, Konvexität und Wendepunkt erklären und anwenden die Ableitung zur Lösung von Optimierungsproblemen anwenden eine vollständige Kurvendiskussion einer ableitbaren oder stückweise denierten Funktion (Denitionsbereich, Symmetrie, Periodizität, Asymptoten, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte) durchführen und den zugehörigen Graphen darstellenö Stammfunktionen Integrale eine Stammfunktionen denieren, ihre Eigenschaften anwenden, Stammfunktionen der üblichen Funktionen berechnen Stammfunktionen unter Verwendung der Integrationsregel der Substitution und der Regel der partiellen Integration für übliche Funktionen berechnen und erkären das Integral als Riemannsche Summe präsentieren den Hauptsatz der Integralrechnung erklären und beweisen, diesen Satz zur Berechnung von Integralen anwenden Stammfunktionen zur Berechnung von Integralen anwenden die Integralrechnung zur Bestimmung von Flächeninhalten, die durch Graphen von Funktionen begrenzt sind, anwenden Volumen von Rotationskörpern berechnen 150 Geometrie Anhang Die Kandidatin/der Kandidat kann : Trigonometrie auf dem Einheitskreis den Sinus und den Kosinus eines Winkels oder einer reellen Zahl interpretieren und daraus die Periodizität der trigonometrischen Funktionen ablesen die fundamentalen Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen gleicher Winkel, komplementärer Winkel, supplementärer Winkel und Gegenwinkel erklären und beweisen die Additionstheorem erklären und beweisen einfache goniometrische Gleichungen anhand der Sätze lösen, die aus den Additionstheorem hergeleitet sind den Sinus- und den Kosinussatz erklären und beweisen Dreiecksaufgaben lösen (rechtwinklige und beliebige Dreiecke) vektorielle Geometrie der Ebene und des Raumes den Vektorbegri, die Vektoraddition und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar mit den zugehörigen Eigenschaften, sowie die Begrie der Linearkombination von Vektoren darstellen die Begrie der kollinearen und komplanaren Vektoren denieren und anwenden vektorielle Basen der Ebene und des Raumes und der zugehörigen Koordinatensysteme in Beziehung setzen, insbesondere orthonormierte Basen und Koordinatensysteme die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke, des Schwerpunktes eines Dreiecks und die norm eines Vektors bestimmen das Skalarprodukt (algebraische und trigonometrische Darstellung) denieren und seine Eigenschaften anwenden das Vektorprodukt und das Spatprodukt denieren und ihre geometrischen Eigenschaften angeben und diese Begrie anwenden den Abstand zweier Punkte und des Winkels zwischen zwei Vektoren berechnen die Fläche eines Parallelogramms und jene eines Dreieckes berechnen das Volumen eines Parallelepipeds berechnen Analytische Geometrie der Ebene die Parametergleichungen und die Normalenform einer Geraden erstellen und damit den Richtungsvektor, den Normalenvektor, die Steigung und den senkrechten Achsenabschnitt im Ursprung herleiten die gegenseitige Lage zweier Geraden diskutieren und ihren eventuell existierenden Schnittpunkt berechnen den Zwischenwinkel zweier Geraden berechnen, den Abstand eines Punktes von einer Geraden, die Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden bestimmen die kartesische Kreisgleichung und die Gleichung ihrer Tangenten erstellen die Ellipse, die Parabel und die Hyperbel (Brennpunkte, Leitgeraden, Exentrizität, Asymptoten) denieren und ihre Eigenschaften darstellen, daraus die Hauptachsengleichungen herleiten die Parametergleichungen der Ellipse anwenden Programme Mathematik - Schweizerische Maturitätsprüfung Analytische Geometrie des Raumes 151 die Parametergleichungen der Geraden und daraus den Richtungsvektor herleiten Parametergleichungen und kartesische Gleichung (Normalform) der Ebene ertsellen und daraus Richtungsvektoren und Normalenvektor ermitteln die gegenseitige Lage zweier Geraden, einer Ebene und einer Geraden oder zweier Ebenen untersuchen und ihre eventuell existierende Schnittmenge bestimmen den Abstand zweier Punkte und jenen eines Punktes von einer Geraden bestimmen die Winkel zwischen zwei Geraden, zwischen einer Geraden und einer Ebene, zwischen zwei Ebenen bestimmen die kartesischen Gleichungen der Kugel und der Tangentialebene erstellen lin. Algebra Die Kandidatin/der Kandidat kann : Vektorräume von 2 und 3 Dimensionen lineare Abbildungen Matrizen die Struktur eines reellen Vektorraumes denieren und diese im R2 und R3 und anderen Beispielen erkennen Unterräume von Vektorräumen konstruieren und darin Basen und Dimension bestimmen eine lineare Abbildung zwischen linearen Vektorräumen erkennen und deren Kern und Bildraum berechnen den Matrixbegri zur Beschreibung der linearen Abbildung relativ zu einer Basis anwenden die Summe von zwei linearen Abbildungen, das Produkt einer linearen Abbildung mit einer reellen Zahl, die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen mit Hilfe von Operationen auf den zugeordneten Matrizen beschreiben den Begri der Determinante einer 2 × 2- oder 3 × 3-Matrix denieren die Umkehrung einer linearen Abbildung mit Hilfe der inversen Matrix beschreiben die Eigenwerte und Eigenvektoren einer linearen Abbildung denieren, geometrisch interpretieren und berechnen, die Unterräume, die einem Eigenwert zugeordnet sind, bestimmen obige Begrie anhand von Symmetrien, Rotationen, Ähnlichkeiten, Projektionen und Anitäten im R2 und im R3 illustrieren Stochastik Die Kandidatin/der Kandidat kann : beschreibende auf einfache Situationen die Begrie Population, Bestand und Statistik relative Häugkeit anwenden die Verteilung anhand eines Kreis- oder Stabdiagrammes oder eines Histogrammes darstellen Masszahlen einer Verteilung (Mittelwert, Varianz und Standardabweichung) denieren und interpretieren Kombinatorik einfache Anordnungen (Variationen, Kombinationen) mit und ohne Wiederholungen, Permutationen mit und ohne Wiederholungen erkennen und unterscheiden, diese abzählen und zur Lösung einfacher kombinatorischer Probleme anwenden die Koezienten des Pascalschen Dreieckes berechnen und im Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz anwenden 152 Wahrscheinlichkeiten Anhang die Begrie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses darstellen die Ereignisse nicht-A, A oder B , A und B , unabhängige und unvereinbare (disjukte) Ereignisse denieren den Satz P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) erklären und beweisen die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeiten anwenden P (A \ B) = P (A ∩ B) P (B) einen Ereignisbaum anwenden die Binomialverteilung anwenden Zufallsvariablen eine Zufallsvariable, eine diskrete und eine stetige Zufallsvariable, ein Wahrscheinlichkeitsgesetz und eine Wahrscheinlichkeitsdichte denieren den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsvariable berechnen, insbesondere im Falle der Binomial- oder Normalverteilung Bibliographie 153 Bibliographie [1] Commission romande de mathématiques (CRM), Notions élémentaires, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2005. [2] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie 1, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 7ème édition, 1999. [3] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie 2, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 7ème édition, 1999. [4] Commission romande de mathématiques (CRM), Algèbre, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2ème édition, 1996. [5] Commission romande de mathématiques (CRM), Analyse, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2002. [6] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie vectorielle et analytique plane, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2ème édition, 1993. [7] Commission romande de mathématiques (CRM), Géométrie vectorielle et analytique de l'espace, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2ème édition, 2003. [8] Commission romande de mathématiques (CRM), Algèbre linéaire, Editions du Tricorne, collection Fundamentum de mathématiques, 2ème édition, 2000. [9] Commission romande de mathématiques (CRM), Formulaires et tables, Editions du Tricorne, 2002. [10] Jean-Michel Kern, Algèbre, Editions Loisirs et Pédagogie (L.E.P.), 3ème édition, 1992. [11] Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR), 2000. [12] J. Douchet et B. Zwahlen, Calcul diérentiel et intégral. Fonctions réelles d'une variable réelle, PPUR, 2ème édition, 1992. [Référence de manuel de base proposé aux étudiants de 1ère année à l'EPFL].
