vc y y - Max-Planck-Institut fuer Physik, Muenchen
Werbung
Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie - schülerverständlich Christian Kiesling Max-Planck-Institut für Physik und Ludwig-Maximilians-Universität1 (Dezember 1916) 2 "Die mathematischen Prinzipien der Naturphilosopie"" Galileo Galilei 1564-1642 Der erste moderne Experimentator Experiment Erkenntnis Theorie Isaac Newton 1642-1727 Hypothese Newton‘sche Mechanik : Erste moderne Theorie 3 Das Newtonsche Gravitationsgesetz m ⋅M F =G 2 R M R Gravitationskonstante 2⎤ ⎡ Nm G = 6.673 × 10−11 ⎢ 2 ⎥ ⎢ kg ⎥ ⎣ ⎦ Drittes Keplersches Gesetz Umlaufzeit 4π 3 T = R GM 2 Johannes Kepler (1571-1630) 2 4 Newton‘sche Mechanik, Galilei-Transformation S S‘ Transformation der Raumkoordinaten: Zug (System S‘) x = x′ + Δ x′ Δ x (Entsprechendes gilt für y und z ) Bahndamm (System S) Transformation der Geschwindigkeit: dx v= dt ′ = w′ = 0 w Ball S U′ S‘ x′ U x dx ′ w′ = dt ′ Zug steht (noch): vZug = v = 0 w = w′ t′ = t 5 Newton‘sche Mechanik, Galilei-Transformation S x = x ′ + Δ(t ) S‘ x′ Δ(t) v x (konstante Geschwindigkeit) S S‘ w′ = 0 v w = w′ + v x′ x Δ(t ) = vt x = x ′ + vt Geschwindigkeit der Kugel, vom Bahndamm aus gemessen: w =v t′ = t 6 Überprüfung der Galilei-Transformation S w′ > 0 x′ S‘ v x = x ′ + vt w = w′ + v x Die Kugel rolle nun im Zug gegen die Fahrtrichtung: S S‘ v x′ x es sei w ′ = −v dann muss die Kugel im System S „stehen“: w = 0 w = w ′ + v = −v + v = 0 q.e.d. 7 Das Relativitätsprinzip (A. Einstein) „Die Physikalischen Gesetze sind unabhängig vom Bezugssystem“ (die Bezugssysteme sind unbeschleunigt zueinander) S S‘ ein stromdurchflossener Draht erzeugt ein Magnetfeld x′ Fadenstrahlrohr v x Beispiel: Lorentzkraft F = q ⋅ (E + v × B ) das bewegte Elektron wird im B-Feld zum Draht hin abgelenkt Keine Kraft auf das Elektron im S‘ System ??? 8 Das Relativitätsprinzip „Die Physikalischen Gesetze sind unabhängig vom Bezugssystem“ Beispiel: Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Bezugssystemen c = Lichtgeschwindigkeit Taschenlampe S S‘ −c (~300.000 km/sec) c x′ v x cS + = c + v cS − = c − v cS + = c ??? cS − = c Versuch von Michelson & Morley (1887) „Licht breitet sich in allen Bezugssystemen gleich schnell aus“ (vergleiche aber z.B. Flugzeuge im Flug von Ost nach West gegen West nach Ost) 9 Spezielle Relativitätstheorie (A. Einstein, 1905) w′ S‘ S v x ′ = x − vt x ′ w = w′ + v x Statt dessen: Lorentz-Transformation x′ = x − vt 1 − v 2/c 2 y′ = y z′ = z t − vx / c 2 t′ = 2 2 1 − v /c Galilei-Transformation nicht meht gültig bei hohen Geschwindigkeiten v c v = 0 : E = mc 2 w′ + v w= w ′v 1+ 2 c Lichtgeschwindigkeit c in jedem Bezugssystem nunmehr gleich. c ist auch die größte mögliche Geschwindigkeit E= p= mc 2 1 − v 2/c 2 mv 2 1 − v /c 2 350 km/h: Δm = 5 × 10−14 m 10 Effekte der Speziellen Relativitäts-Theorie (I) Materie (und Antimaterie) aus Energie E = mc 2 Elektron und Anti-Elektron („Positron“) werden aus Licht (sehr energiereiche „Photonen“, oder „Lichtteilchen“) erzeugt Teilchenspuren krümmen sich im Magnetfeld (Lorentzkraft) Flugrichtung 11 Effekte der Speziellen Relativitäts-Theorie (II) Zeit-Dilatation U′ S S‘ Bewegte Uhren gehen langsamer ! x′ v Beispiele: U Δt = x Δt ′ 1 − v 2/c 2 Zwillingsparadoxon Muonen in der kosmischen Strahlung Rand der Atmospäre (~10 km Höhe) μ Lebensdauer der Muonen τ = 2.2μs 8 −6 cτ = 3 × 10 × 2.2 × 10 = 660 m Erdoberfläche Reichweite ~ 12 Effekte der Speziellen Relativitäts-Theorie (III) Längen-Kontraktion Δx = Δx ′ 1 − v 2/c 2 Δx ′ S S‘ x′ v Δx x 13 … wie der relativistische Radler seine Umwelt wahrnehmen würde …. 14 SRT: Die Welt hat 4 Dimensionen: Raum (3) und Zeit (1) schon erschöpft? … es kommt noch besser ! ART z „Ereignis E“ xE zE tE t x 15 Das erweiterte („allgemeine“) Relativitätsprinzip „Die Physikalischen Gesetze sind unabhängig vom Bezugssystem“ (auch in beschleunigten Systemen !!) S‘ dw ′ ≠0 dt S Zug wird beschleunigt, Kugel „rollt von selbst“ nach hinten x′ dv a= ≠0 dt x … kann man immer sagen, welches das bewegte Bezugssystem ist ? Einstein sagt: NEIN in beschleunigter Rakete im Gravitationsfeld 16 Gravitation, Beschleunigung und das Äquivalenzprinzip F = mschwer ⋅ g F = m träg ⋅ a mschwer ⋅g a= m träg Geradlinige Bahnen im „freien Fall“ m träg = mschwer „Äquivalenz-Prinzip“ „Kein Unterschied zwischen Beschleunigung und Schwerefeld (SF)“: Allgemeine Relativitätstheorie (ART) 1915 Massen bewegen sich auf gekrümmten Bahnen im SF 17 Gravitation: Gekrümmte Bahnen im Raum Ursache der Gravitationswirkung auf der Erdoberfläche: Masse M der Erde, Abstand R vom Erdmittelpunkt Freier Fall im Gravitationsfeld: eine gekrümmte Bahn ! F = m ⋅g M ⎡m ⎤ g = G 2 = 9.81 ⎢ 2 ⎥ R ⎣s ⎦ Sehr unterschiedliche Krümmungen ! Können sie auf eine gemeinsame Ursache („Raumkrümmung“) zurückgeführt werden ? 18 Raum und Zeit sind eine Einheit (4-dimensionale Welt) „Weltlinie“ des Balls ct 10m Lichtstrahl Weltlinie der Kugel Die Raum-Zeit hat eine einheitliche (lokale) Krümmung ART: auch das Licht fällt im Gravitationsfeld, hier: 1.4 × 10−15 [m ] 19 Auch Lichtstrahlen laufen auf krummen Bahnen … Grandioses Experiment zur Bestätigung der ART: Totale Sonnenfinsternis am 29. Mai 1919 Einstein‘s Vorhersage: 1.75 Bogensekunden Arthur Eddington (& A. Crommins) Isle of Principe (Golf von Guinea, vor der Küste Westafrikas) 20 Ein Englisches Schloss und die Allgemeine RelativitätsTheorie … mit „Gravitationslinse“ und wie es aussehen würde, wenn die Masse des Saturns, auf 10 m zusammengedrückt, davor wäre … 21 … und hier eine „echte“ Gravitationslinse … Die blauen „Zigarren“ sind die gravitationsverzerrten Bilder ein und derselben Galaxie hinter dem massereichen (hellen) Galaxienhaufen im Vordergrund 22 ART: Vom Gang der Uhren im Gravitationsfeld (und in beschleunigten Systemen) Uhr A sendet pro Sekunde einen Lichtblitz, wird von Uhr B empfangen 1. Blitz braucht Zeit t1 = L1 / c L1 < L , weil Rakete sich bewegt 2. Blitz braucht Zeit t2 = L2 / c L2 < L1 , weil Rakete beschleunigt L Fazit: Uhr A geht SCHNELLER als Uhr B, (von Uhr B aus gesehen). ART: Dasselbe gilt für Uhren im Gravitationsfeld Uhren am Boden gehen langsamer als Uhren in großer Höhe 23 ART: Ohne sie würde GPS nicht funktionieren… Satellitengestütztes „Global Positioning System“ Prinzip des GPS: Ortsbestimmung durch Zeitmessung der Signale vom Satelliten zum eigenen Standpunkt (A). Satellit sendet: eigene Position, eigene Uhrzeit Laufzeit: Vergleich der Satellitenuhr mit der eigenen in A 24 ART: Ohne sie würde GPS nicht funktionieren… v ≈ 3900 [m / s ] 2 Effekte: SRT und ART Satellit fliegt „schnell“ gemäß SRT läuft daher seine Uhr langsamer als die von A (von A aus gesehen) ~ 26000 km A Erde Δt − Δt ′ = 1 − 1 − v 2/c 2 = 0.835 × 10−10 s Δt Satellit fliegt „hoch“ gemäß ART läuft daher seine Uhr schneller als die von A (von A aus gesehen) Δt − Δ t ′ = −5.28 × 10−10 s Δt Fehler ohne ART: 6 mal so groß ! Δl = 13.3 [ cm ]×Δt [ s ] Entspricht 500 m in einer Stunde Messzeit !!! 25 Schwarze Löcher und das expandierende Universum z 15 1.4 × 10 10 m [m ] ct RK = R : 2M R =G 2 c „SchwarzschildRadius“ RS photon Licht kann diesem Gravitationsfeld nicht entkommen „Schwarzes Loch“ („black hole“) Gravitationsfeld der Erde M g =G 2 R Beispiele RK Erde: Blick auf das Zentrum der Milchstraße RS = 1 [cm ] Sonne: RS = 1.5 [km ] Vermutung: Im Zentrum der Milchstraße lauert ein ungeheuer massives Schwarzes Loch M ∼ 3.6 × 106 Sonnenmassen 26 Schwarze Löcher und das expandierende Universum Das galaktische Zentrum Innerhalb weniger Lichtjahre mehrere 10000 Sterne, die das Zentrum umkreisen (auf Kepler-Bahnen). Die Umlaufszeiten lassen auf die Masse des Zentrums schließen Ergebnis: ein supermassives Schwarzes Loch im Zentrum Vermutung: Die meisten Galaxien haben Schwarze Löcher im Zentrum 27
