Fakultät für Physik und Astronomie der Ruhr

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Fakultät für Physik
und Astronomie der
Ruhr-Universität Bochum
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Institut für Theoretische Physik
Manuskript zu der Vorlesung
Grundlagen der
Mechanik und Elektrodynamik
basierend auf den Vorlesungen gehalten von H. Fichtner und U. Arendt Bochum 2011
ii
Grundlagen der
Mechanik und Elektrodynamik
März 2011
iv
Vorbemerkung:
Dieses Skript basiert auf der Vorlesung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik aus dem Wintersemester 2005/2006 und den Sommersemestern
2006, 2008, 2009 und 2010 an der Ruhr-Universität Bochum, gehalten von
PD Dr. Horst Fichtner und Dr. Udo Arendt. Es wurde in der vorliegenden
LaTeX-Version von Alexander Aab, Caroline Fink, Steen Meyer und David
L. Pohl erstellt.
Das vorliegende Skript kann (und soll
,) kein Lehrbuch ersetzen.
Insbeson-
dere ist es nicht so gründlich Korrektur gelesen wie manches Buch. Daher
sind wir dankbar für jeden Hinweis auf Fehler!
Inhaltsverzeichnis
I
Theoretische Mechanik
1
1
Historische Einführung
3
2
Newton'sche Mechanik
7
2.1
Moderne Formulierung der Newton'schen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Inertialsysteme und Galilei-Transformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Wechselwirkungen und Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.4
2.5
2.6
2.7
3
4
2.3.1
Wechselwirkungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.2
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Einfache Anwendung der Newton'schen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4.1
Senkrechter Wurf im Erdschwerefeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4.2
Fallender Regentropfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4.3
Schwingendes Spinnennetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5.1
Freie, harmonische Schwingung
2.5.2
Freie, gedämpfte Schwingung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5.3
Erzwungene, gedämpfte Schwingung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.1
Impulserhaltung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.2
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.6.3
Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Bewegung im konservativen Zentralkraftfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Das Zweikörperproblem
31
3.1
Allgemeines zu Mehrteilchensystemen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Erhaltungssätze für Mehrteilchensystem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
32
3.2.1
Impulserhaltung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2.2
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3
Das Zweiteilchensystem
3.4
Planetenbewegung als Zweikörperproblem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrange-Mechanik
34
36
37
4.1
Generalisierte Koordinaten und Geschwindigkeiten
4.2
Die Lagrange-Gleichungen 2. Art
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3
Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.4
. . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.3.1
Das freie Teilchen (s=3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3.2
Der schiefe Wurf (s=3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3.3
Atwood'sche Fallmaschine (s=1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Erhaltungssätze und Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4.1
Anzahl der Erhaltungsgröÿen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4.2
Zyklische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4.3
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4.4
Impulserhaltung
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inhaltsverzeichnis
vi
4.5
5
Das Hamilton-Prinzip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der starre Körper
44
47
5.1
Freiheitsgrade und Bewegung eines starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Kinetische Energie und Trägheitstensor eines starren Körpers
47
. . . . . . . . . .
48
5.2.1
Kinetische Energie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.2.2
Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.3
Drehimpuls und Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.4
Die Eulerschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.5
Lagrangefunktion des Starren Körpers
58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Theoretische Elektrodynamik
61
1
Historische Einführung
63
2
Die Maxwell-Gleichungen
2.1
2.2
3
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.1.1
Das Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.1.2
Das Ampère-Gesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.1.3
Das Faraday-Gesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.1.4
Quellenfreiheit des Magnetfeldes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Mathematischer Exkurs: Vektoranalysis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.2.1
Der Nabla-Operator und die vektoranalytischen Operatoren . . . . . . .
68
2.2.2
Der Gauÿ'sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.2.3
Der Stokes'sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.3
Anwendung der Sätze von Gauÿ und Stokes
2.4
Der Maxwell'sche Verschiebungsstrom
2.5
Die Maxwell-Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Elektrostatik
75
3.1
Anwendung des Gauÿ'schen Satzes
3.2
Direkte Lösung der 1. Maxwell-Gleichung
3.3
Superpositionsprinzip und Coulomb-Gesetz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.4
Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.5
Die mathematische Beschreibung einer Punktladung: die
3.6
Randwertprobleme
3.7
4
65
Die Grundgesetze der Elektrodynamik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δ -Funktion
75
76
. . . . . .
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
~ r)
E(~
und
Φ(~r)
3.6.1
Verhalten von
3.6.2
Poisson- und Laplace-Gleichungen
an Grenzächen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
83
3.6.3
Die Methode der Spiegelladung(en) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Magnetostatik
91
4.1
Anwendung des Stokes'schen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.2
Direkte Lösung der Maxwell-Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.3
Das magnetische Vektorpotential
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.4
Das Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.5
Die Kraft auf einen Strom im Magnetfeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.6
Verhalten von
an Grenzächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
~ r)
B(~
und
~ r)
A(~
Elektrodynamik
101
5.1
Die elektrodynamischen Potentiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.2
Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Inhaltsverzeichnis
vii
5.3
Erhaltungssätze in der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
5.4
Ein kurzer Überblick über elektromag. Wellen im Vakuum . . . . . . . . . . . .
106
5.4.1
Homogene Wellengleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.4.2
Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.4.3
Polarisation ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
III Spezielle Relativitätstheorie
113
1
115
2
3
Grundlagen
1.1
Michelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Die Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
1.2.1
116
Lineare Transformation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgerungen
115
119
2.1
Gleichzeitigkeit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
2.2
Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
2.3
Längenkontraktion
2.4
Geschwindigkeitsaddition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kovariante Formulierung
3.1
Der Minkowski-Raum
3.1.1
Vierervektoren
3.1.2
Die Eigenzeit
120
120
123
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
3.2
Vierergeschwindigkeit, Viererimpuls und Viererkraft
. . . . . . . . . . . . . . .
125
3.3
Viererstromdichte und Viererpotential
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
3.4
Der Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
3.5
Die Lorentz-Transformation der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
Teil I
Theoretische Mechanik
2
Inhaltsverzeichnis
1 Historische Einführung
•
•
Die Mechanik nimmt ihren
Anfang mit Aristoteles (384 - 322 v. Chr.).
Die erste Entwicklung der Mechanik erfolgte
aufgrund und in Übereinstimmung mit
der Alltagserfahrung; die wesentlichen Aussagen des Aristoteles waren:
(1) Zur Aufrechterhaltung einer Bewegung wird eine Kraft benötigt.
(2) Die Geschwindigkeit ist proportional zur Kraft.
(3) Bewegung ist ein Prozess (kein Zustand)
Diese Feststellungen sind zwar anschaulich bzw. der Alltagserfahrung gemäÿ plausibel,
aber
falsch und eignen sich nicht als Axiome oder Grundgesetze der Mechanik.
Bemerkung:
Schon Aristoteles schloss, dass es im Vakuum keinen Grund für die Änderung
der Bewegung eines Körpers gibt: ... entweder ständige Ruhe oder aber ... unendlich fortgehende Bewegung. Er betrachtete das aber als absurd und glaubte
so die Unmöglichkeit des Vakuums begründen zu können - nicht ahnend, dass
er das erste Newtonsche Axiom (s.u.) fast 2000 Jahre vor diesem formuliert
hatte!
Die Frühgeschichte der Mechanik lässt sich fortsetzen mit:
(1)
Archimedes (3. Jhdt. v. Chr.), Syrakus (Sizilien)
Statik, Hebelgesetze, archimedisches Prinzip
(2)
=
b
ältestes noch ungeändert geltendes physikalisches Gesetz
Hipparch (2. Jhdt. v. Chr.), Rhodos (Ägäisinsel)
astronomische Beobachtungen, Helligkeitsskala
(3)
Ptolemäus (2. Jhdt. n. Chr.), Alexandria (Ägypten)
Beschreibung des Weltsystems im Almagest
(4)
Heron (2. Jhdt. n. Chr.), Alexandria (Ägypten)
einfache Maschinen: Hebel, Schraube, Flaschenzug
(5)
Pappus (3./4. Jhdt.), Alexandria (Ägypten)
schiefe Ebene: Bewegung, Gleichgewicht
(6)
Johannes Philoponus (6./7. Jhdt.), Byzanz (Türkei)
Zweifel an Aristotelischer Mechanik (am Bsp. des freien Falls)
1 Historische Einführung
4
(7)
Jordamus Nemorarius (13. Jhdt.), (Deutschland)
erste Ansätze zum Energieerhaltungssatz
Ist irgendeine Wirkung fähig eine Last um eine gegebene Strecke zu heben, dann
kann sie die
Bemerkung:
n-fache
Last auf die
1/n-fache
Höhe heben. (sinngemäÿes Zitat)
Erster selbstständiger Schritt der europäischen Wissenschaft nach der Antike
und nach den von den Arabern verfeinerten Erkenntnissen
(8)
Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543), Frauenburg (Polen)
heliozentrisches Weltbild
(9)
Simon Stevin (1548 - 1620), Leiden (Niederlande)
Einführung des Kräfteparallelogramms
(10)
Johannes Kepler (1571 - 1630), Graz/Linz (Österreich) und Prag (Tschechoslowakei)
Gesetze der Planetenbewegung
(11)
Galileo Galilei (1564 - 1642), Florenz (Italien)
Fallgesetze
(12)
Christian Huygens (1629 - 1695), Den Haag (Niederlande)
Trägheitsprinzip, Relativitätsprinzip, Zykloidenpendel
(13)
Isaac Newton (1643 - 1727), Cambridge (England)
Axiome der modernen Mechanik
Gravitationsgesetz
Beginn der
modernen Mechanik mit Isaac Newton bzw. der Veröentlichung seiner Prin-
cipia (1687), in der die
Grundgesetze der Mechanik als Axiome formuliert sind:
(1) Jeder Körper verharrt in einem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen
Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.
(2) Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegten Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
(3) Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich;
oder: die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Bemerkung:
Teile der Principia online: http://members.tripod.com/∼gravitee/
5
klassische Mechanik
Kinematik
Statik
Hydrostatik
Hydrodynamik
chaotische
Dynamik
Thermo−
dynamik
Newton
Relativitäts−
theorie
Dynamik
Lagrange
Hamilton / Jakobi
Feldtheorien
(z.B. QED)
Quanten−
mechanik
Abbildung 1.1: Der Aufbau der Theoretischen Physik
Bemerkung:
Zitat aus
Leonardo da Vinci's (1452-1519) Tagebuch: Die Mechanik ist das
Prinzip der mathematischen Wissenschaften, weil man mit ihr zur Frucht des
mathematischen Wissens gelangt.
6
1 Historische Einführung
2 Newton'sche Mechanik
2.1 Moderne Formulierung der Newton'schen Axiome
Die Theorie der Mechanik beruht auf den drei Newton'schen Axiomen und einem Zusatz (Korollar). In moderner Formulierung lauten diese Grundgesetze:
Axiom 1
(=
b lex prima
=
b
Galilei'sches Trägheitsgesetz)
Es gibt Bezugs- oder Koordinatensysteme, in denen ein kräftefreie Körper (Massenpunkt) im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung verharrt.
Axiom 2
(=
b lex secunda
=
b
Bewegungsgesetz)
Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional
und geschieht in Richtung der Kraft:
d~
p
d
F~ =
=
(m ~v ) =
dt
dt
|
wenn
m 6= m(t)
Axiom 3
(=
b lex tertia
=
b
Sei
die Kraft des Körpers
F~12 (F~21 )
d~v
= m ~v˙ = m ~a
dt
m
Reaktionsprinzip)
1 (2)
auf den Körper
2 (1),
dann gilt:
F~12 = −F~21
Korollar
(=
b lex quarta
=
b
Superpositionsprinzip)
Wirken auf einen Körper (Massenpunkt) mehrere Kräfte
sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft
F~
F~ = F~1 + F~2 + ... + F~N =
F~1 , F~2 , ..., F~N , so addieren
gemäÿ:
N
X
i=1
F~i
2 Newton'sche Mechanik
8
Zum vollen Verständnis dieser Axiome sind folgende
(1)
F~
Kraft bzw. Kraftvektor
=
b
Denitionen erforderlich:
diejenige Anstrengung, die erforderlich ist,
den Bewegungszustand oder die Gestalt eines
Körpers zu ändern
(2)
Masse
m
=
b
skalare Materialeigenschaft eines Körpers,
die seinen Trägheitswiderstand gegenüber
Bewegungsänderungen bestimmt
(3)
=
b
Massenpunkt (MP)
physikalischer Körper der Masse
m
mit
allseitig vernachlässigbarer Ausdehnung
(4)
=
b
kräftefreier MP
ein MP, der keiner äuÿeren Einwirkung
unterliegt
(5)
Geschwindigkeit bzw.
Geschwindigkeitsvektor
~v
=
b
zeitliche Änderung des Ortsvektors
~v =
(6)
Beschleunigung bzw.
Beschleunigungsvektor
~a
=
b
vektors eines Körpers:
=
b
(linearer) Impuls bzw.
Impulsvektor
p~
d~r
= ~r˙
dt
zeitliche Änderung des Geschwindigkeits-
~a =
(7)
~r(t)
eines Körpers:
d~v
d2~r
= ~v˙ = ~r¨ = 2
dt
dt
Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor eines Körpers:
p~ = m ~v = m ~r˙
Bemerkung:
Die Gültigkeit der Newton-Axiome erfordert die Existenz einer
und eines
absoluten Zeit
absoluten Raumes (beide existieren aber gemäÿ der Relativitäts-
theorie (s.u.) nicht!)
Bemerkung:
F~ = m ~a
ist die
und setzt
m 6= m(t)
dynamische Grundgleichung der Newton'schen Mechanik
voraus (Allgemein:
m = m(t)
für viele Anwendungen wie
z.B. Auto, Rakete oder Relativitätstheorie)
Bemerkung:
Axiom I ist ein Spezialfall von Axiom II, denn es gilt:
F~ = 0
Bemerkung:
⇒
m ~a = 0
⇒
~a =
d~v
=0
dt
⇒
~v = const.
Das Korollar beschreibt das Kräfteparallelogramm. In Newtons Worten: Ein
Körper, auf den zwei Kräfte gleichzeitig wirken, bewegt sich entlang der Diagonalen eines Parallelogramms in derselben Zeit, in der er sich entlang der Seiten
des Parallelogramms unter Einwirkung jeweils nur einer der beiden Kräften
bewegen würde.
2.2 Inertialsysteme und Galilei-Transformation
9
Also:
→
F1
1
0
0
1
→
F = F→ →
1+F
2
→
F2
Bewegungs−
richtung
Abbildung 2.1: Kräfteparallelogramm
2.2 Inertialsysteme und Galilei-Transformation
Denition:
Gelten in einem Bezugs- oder Koordinaten-System die Newton'schen Axiome,
dann bezeichnet man dieses als
Bemerkung:
Inertialsystem.
Nicht alle Bezugssysteme sind Inertialsysteme (z.B. rotierende Systeme).
Damit ist die Frage nach der
Gesamtheit aller Inertialsysteme sinnvoll: Seien
Σ 0 bei
Σ=
t = 0. Mit den Annahmen t =
¨
~
(absolute Masse) gilt F = m ~
r = m ~r¨ 0 = F~ 0 . Weiter ergibt sich:
Z
! ¨0
0
¨
¨
¨
⇒ ~r = ~r
⇔
~r − ~r = 0
| ...dt
Z
0
˙
˙
⇒
~r − ~r = ~v = const.
| ...dt
Bezugssysteme mit
⇒
~r − ~r 0 = ~v t + ∆~r0
⇔
~r 0 = ~r − ~v t − ∆~r0
⇒
|
Σ, Σ 0 zwei
m = m0
t0 (absolute Zeit) und
~r 0 = ~r − ~v t
;
t0 = t
Galilei-Transformation
∆~r0 = 0 wegen
0
Σ
= Σ bei t = 0 Sie ist die allgemeinste Transformation, die in der Newtonschen Mechanik von einem Inertialsystem
Σ
in ein anderes Inertialsystem
Σ0
Σ ein Inertialsystem
~r 0 = ~r − ~v t gilt.
überführt. Es gilt also: Wenn
0
ist, dann ist Σ genau dann ebenfalls ein Inertialsystem, wenn
Bemerkung:
Es gibt unendlich viele Inertialsysteme.
Bemerkung:
Prinzipiell ist bei der Galilei-Transformation auch eine Drehung um einen zeitunabhängigen Winkel möglich (siehe z.B. Flieÿbach: Mechanik), d.h. die Achsen zweier Inertialsysteme müssen nicht paarweise orthogonal sein.
2 Newton'sche Mechanik
10
2.3 Wechselwirkungen und Kräfte
... sollten begriich unterschieden werden, da Folgendes gilt:
2.3.1 Wechselwirkungen
Die scheinbar zahlreichen in der Natur beobachtbaren Wechselwirkungen lassen sich auf
vier
fundamentale Wechselwirkungen zurückführen:
(1) Gravitative Wechselwirkung
(2) Elektromagnetische Wechselwirkung
(3) Schwache Wechselwirkung
(4) Starke Wechselwirkung
Es besteht die begründete
Honung, diese fundamentalen Wechselwirkungen auf eine Wech-
selwirkung zurückzuführen.
2.3.2 Kräfte
(A)
Die den zwei makroskopischen (Alltagserfahrung!) fundamentalen Wechselwirkungen
zugeordneten Kräfte:
Gravitationskraft (Newton):
m1 m2
F~ = −G
~er
r2
(mit der Gravitationskonstante
G = 6, 672 · 10−11
Coulomb-Kraft (Coulomb):
F~ =
m3
)
kg s2
1 q1 q2
~er
4 π ε0 r2
(mit der Dielektrizitätskonstante [des Vakuums]
ε0 = 8,8542 · 10−12
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
Geschwindigkeit der Ladung q bezeichnet)
As
)
Vm
Lorentz-Kraft (Lorentz):
(wobei
Bemerkung:
~v
die
Für Bewegungen nahe der Erdoberäche gilt für die Gravitationskraft:
h RE |F~ | = F = m
Messung von
(B)
g=
G ME
G ME
≈
m 2 =: m g ;
2
(RE + h)
RE
G ME
2
RE
g ≈ 9,81
m
s2
erlaubt die Bestimmung der Erdmasse!
Beispiele für weitere Kräfte:
Reibung zwischen Festkörpern:
Haftreibung:
Gleitreibung:
mit
~
N
~|
|F~ | = µs |N
~
~|
|F | = µk |N
(statische Reibungskraft)
(kinematische Reibungskraft)
als die die reibenden Flächen zusammenhaltende Normalkraft.
Materialkonstanten.
µs
und
µk
sind
2.4 Einfache Anwendung der Newton'schen Mechanik
11
Reibung in Gasen oder Flüssigkeiten:
Es gilt:
Bemerkung:
F~ = −µ(v) ~v
µ(v) = const.
µ(v) = α|~v | = α v
mit
=
b
=
b
v = |~v |
und
Stokes'sche Reibung
Newton'sche Reibung
Reibungskräfte sind bis heute nicht vollständig verstanden, d. h. die Ansätze
zu ihrer Beschreibung sind oft empirisch.
lineare Rückstellkraft:
In vielen physikalischen Systemen (z.B. Feder, Bogensehne) erfährt ein Körper bei einer
Auslenkung
∆~r
aus seiner Gleichgewichtslage (~
r
F~ = −k ∆~r
Bemerkung:
;
= 0)
eine Kraft (Hooke'sches Gesetz):
k = const. > 0
Wegen der dann oft resultierenden harmonischen Schwingung wird ein so be-
harmonischer Oszillator genannt. Dieser ist wichtig we-
schriebenes System
gen
•
seiner mathematisch strengen Behandelbarkeit
•
seiner Funktion als gute Approximation für viele Situationen (z.B. kleine
Störungen)
•
seines entsprechend häugen Auftretens in der Mechanik, Elektrodynamik
und Quantenmechanik
2.4 Einfache Anwendung der Newton'schen Mechanik
2.4.1 Senkrechter Wurf im Erdschwerefeld
Ein Stein der Masse
m
werde mit der Anfangsgeschwindigkeit
v0 > 0
aus einer Höhe
über dem Boden senkrecht nach oben geworfen. Wie lautet die Bahnkurve
h(t)
h0 > 0
und wann
schlägt der Stein mit welcher Geschwindigkeit auf den Boden auf ?
Unter Vernachlässigung der Luftreibung gilt:
Dynamische Grundgleichung
Betrachtung nur der
z -Koordinate:
~r = h ~ez
m ~r¨ = F~
⇒
⇔
ḣ = −g t + v0
m ḧ = −m g
⇒
⇔
ḧ = −g
h(t) = − 12 g t2 + v0 t + h0
Bewegungsgleichung
Bahnkurve
2 Newton'sche Mechanik
12
Aufschlagzeitpunkt:
!
⇒
h(t) = 0
⇔
⇒
⇒
|
t>0 1
− g t2 + v0 t + h0 = 0
2 2 v0
2 h0
2
t −
t−
=0
g
g
s
v0
v02 2h0
t1,2 =
±
+
g
g2
g
s
v0
v02 2 h0
tAuf schlag =
+
+
g
g2
g
Aufschlagzeitpunkt
Aufschlaggeschwindigkeit:
vAufschlag
=
=
ḣ(tA ) = −gtA + v0
q
q
−v0 − v02 + 2 gh0 + v0 = − v02 + 2 gh0
Aufschlaggeschwindigkeit
2.4.2 Fallender Regentropfen
m löse sich zum Zeitpunkt t0 in der Höhe h0 > 0 mit der Fallgev0 < 0 aus (s)einer Wolke. Auf den Tropfen wirke eine Newton`sche Reibungs~R = −α |~v | ~v ; α = const > 0. Zu bestimmen sind die Funktionen h(t), v(t) = ḣ(t), die
kraft F
asymptotische Fallgeschwindigkeit v∞ , sowie die typische Zeitdauer bis letztere erreicht ist.
Ein Regentropfen der Masse
schwindigkeit
Dynamische Grundgleichung:
m ~r¨ = F~
⇔
2
m ~r¨ = m ~g − α |~v | ~v ⇔
m ḧ = −m g + α v
~r = h ~ez
Bewegungsgleichung
Asymptotische Fallgeschwindigkeit:
!
v = const
⇔
⇒
ḣ = const
v∞
⇒
r
mg
=−
α
ḧ = 0
(< 0,
da
⇔
~v
2
−m g + α v∞
=0
nach unten gerichtet ist!)
2.4 Einfache Anwendung der Newton'schen Mechanik
13
Geschwindigkeitsverlauf:
m ḧ = −m g + α v 2
1
dv
α
=
2 dt
v 2 − v∞
m
⇒
m
2
v̇ = v 2 − v∞
α
⇔
⇔
m dv
2
= v 2 − v∞
α dt
Zt
. . . dt
t0
Zv(t)
Zt
Zv(t)
dv 0
α
1
1
1
α
0
=
dt
⇔
− 0
dv 0 =
(t − t0 )
0
2
2
0
v − v∞
m
2 v∞ v − v∞ v + v∞
m
v0
v0
t0
1
α
=
ln |v − v∞ | − ln |v + v∞ | − ln |v0 − v∞ | − ln |v0 + v∞ |
(t − t0 )
2 v∞
m
v∞ − v
v0 + v∞
α
1
ln
−
−
=
(t − t0 )
2 v∞
v + v∞
v∞ − v0
m
v − v∞
α
v0 + v∞
1
ln A
=
(t − t0 ) ;
A :=
<0
2 v∞
v + v∞
m
v0 − v∞
1
2 α v∞
v − v∞ =
exp
(t − t0 ) (v + v∞ )
A
m
1
1
· (v0 + v∞ )
exp { . . . } = v∞ 1 +
exp { . . . }
v 1−
A
A
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒ v(t) = v∞
(v0 + v∞ ) + (v0 − v∞ ) exp {. . .}
v0 (1 + exp {. . .}) + v∞ (1 − exp {. . .})
= v∞
(v0 + v∞ ) − (v0 − v∞ ) exp {. . .}
v0 (1 − exp {. . .}) + v∞ (1 + exp {. . .})
Grenzfälle:
Zeitdauer, nach der
t = t0
⇒
t→∞
⇒
2 v0
= v0
2 v∞
v0 + v∞
v(t → ∞) = v∞
= v∞
v0 + v∞
v(t0 ) = v∞
v∞ erreicht wird:
m
|v∞ |
1
=
=
∆t = t − t0 ≥
2 α |v∞ |
2g
2
Grenzfälle:
α → 0
α → ∞
⇒
⇒
r
m
αg
∆t → ∞
∆t → 0
Bahnkurve:
v(t) = v∞
B + C exp { . . . }
= v∞
B − C exp { . . . }
2 C exp { . . . }
1+
B − C exp { . . . }
;
B = v0 + v∞
C = v0 − v∞
Damit:
ḣ =
dh
= v
dt
⇒
dh
=
v dt
Zt Zt
⇒
h(t) − h0
=
v(t) dt =
t0
t0
=
v∞
2 C exp { . . . }
1+
B − C exp { . . . }
m
t+
ln |B − C exp { . . . } |
α v∞
t
t0
dt
2 Newton'sche Mechanik
14
⇒
h(t) = h0 + v∞
⇒
h(t) = h0 + v∞
h
i
h
i
m
m
t+
ln C exp { . . . } − B − t0 −
ln C − B
α v∞
α v∞



2 α v∞



(t − t0 ) − B 


 C exp
m
m

t − t0 +
ln 



α v∞
C −B




m
ln 1 = h0
α v∞
m
−B
t > t0 + ∆t ⇒ h(t) ≈ h0 + v∞ t − t0 +
ln
=
b
α v∞
C −B
Grenzfälle:
0+
h(t0 ) = h0 + v∞
lineare Funktion
Vergleich mit freiem Fall (siehe 2.4.1):
1
h(t) = − g t2 + v0 t + h0
2 1
2 v0
2
= − g t −
t + h0
2
g
v0 2
1
v2
+ 0 + h0
= − g t−
2
g
2g
h(t)
Scheitelpunkt
1
0
0
1
h
11
00
00 0
11
00
11
1
0
0
1
0
1
Parabel
lineare Fkt.
t
|v |
t = − q0
∆t
Abbildung 2.2: Der freie Fall
2.4.3 Schwingendes Spinnennetz
z
11
00
11
x00
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
00000000000
11111111111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
00000000000
11111111111
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00
11
00000000000
11111111111
00
11
00000000000
11111111111
00
11
00000000000
11111111111
00
11
00000000000
11111111111
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
z
000
111
000
111
00000
11111
111111
000000
000
111
00
11
000
111
00
11
00
11
00
11
s
x
y
(a) Skizze
Abbildung 2.3: System einer schwingenden Spinne
(b) Koordinatenwahl
2.5 Schwingungen
15
Das Spinnennetz schwingt nach dem Windstoÿ: Netzform bewirkt Rückstellkraft proportional
zur Auslenkung (Hooke'sches Gesetz):
F~ = −k x ~ex
Masse des Systems Netz + Spinne sei
S
m,
;
k>0
betrachtet werde die Bewegung des Schwerpunktes
ohne Luftreibung :
Dynamische Grundgleichung:
m ~r¨ = F~
⇒
m ẍ = − k x
⇔
m ẍ + k x = 0
(?)
Lösungsansatz:
Da
ẍ
bis auf Konstante gleich
x:
x(t) = A sin(ω t) + B cos(ω t)
ẋ(t) = A ω cos(ω t) − B ω sin(ω t)
ẍ(t) = −A ω 2 sin(ω t) − B ω 2 cos(ω t)
In
(?) eingesetzt:
⇒ −m A ω 2 sin(ω t) − m B ω 2 cos(ω t) + k A sin(ω t) + k B cos(ω t) = 0
⇔ (−m ω 2 + k) A sin(ω t) + (−m ω 2 + k) B cos(ω t) = 0
r
k
=
b Schwingungsfrequenz
⇒ −m ω 2 + k = 0 ⇒ ω =
m
Die Amplituden A und B folgen aus den
Anfangsbedingungen:
Für
x(0) = B ⇒ B = x(0)
1
ẋ(0) = A ω ⇒ A = ẋ(0)
ω
t = 0 gilt:
⇒ x(t) =
ẋ(0)
ω
sin(ω t) + x(0) cos(ω t)
Bahnkurve
Also: Netz (+Spinne) schwingt harmonisch, ist also ein harmonischer Oszillator
2.5 Schwingungen
Die grundlegenden Schwingungsformen (harmonische, gedämpfte bzw. erzwungene Schwingung) ergeben sich aus folgender dynamischer Grundgleichung:
mit:
m ~r¨
=
F~H + F~R + F~E
F~H
F~R
F~E
=
=
=
Rückstellkraft
Reibungskraft
externe (periodische) Kraft
2 Newton'sche Mechanik
16
Um die Notation im Folgenden übersichtlich zu halten, sei der
x=0
1-dim. Fall betrachtet, für den
die Ruhelage sei. Auÿerdem:
F~H
F~R
F~E
Bemerkung:
=
=
=
−k x ~ex
−µ vx ~ex = −µ ẋ ~ex
F0 cos(ω t) ~ex
;
;
;
k>0
µ>0
F0 > 0
(Hooke'sches Gesetz)
(Stokes'sche Reibung)
(harmonisch variierende Kraft)
Diese Wahl der Kräfte führt auf eine lineare Dierentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koezienten.
Eine weitgehende
Bemerkung:
analytische Behandlung ist möglich.
Im Fall der Newton'sche Reibung (s.o.) ergibt sich eine nichtlineare Dgl.
Für den 1-dim. Fall reduziert sich die obige allgemeine Form der dynamischen Grundgleichung
mit
~r¨ = ẍ ~ex
auf:
m ẍ = −k x − µ ẋ + F0 cos(ω t)
⇔
Man unterscheidet für
m ẍ + µ ẋ + k x = F0 cos(ω t)
k 6= 0:
µ=0 ;
F0 = 0
=
b
freie, harmonische Schwingung
µ 6= 0 ;
F0 = 0
=
b
freie, gedämpfte Schwingung
µ 6= 0 ;
F0 6= 0
=
b
erzwungene, gedämpfte Schwingung
die im Folgenden diskutiert werden.
2.5.1 Freie, harmonische Schwingung (µ = 0, F0 = 0)
Die dynamische Grundgleichung nimmt folgende Form an:
⇔
m ẍ + k x = 0
r
mit der Eigenfrequenz
Lösungsansatz
ω0 =
k
m
ẍ +
k
x=0
m
⇔
ẍ + ω02 x = 0
.
(a, b ∈ C) :
x(t) = a exp{bt}
ẋ(t) = ab exp{bt}
ẍ(t) = ab2 exp{bt}
Bemerkung:
Diese Form des Lösungsansatzes heiÿt Euler'scher Ansatz.
2.5 Schwingungen
17
Einsetzen ergibt:
k
k
a exp{b t} = 0 ⇒ b2 +
= 0
m
m
r
r
k
k
⇒ b1,2 = ± −
= ±i
= ± i ω0
m
m
b2 a exp{b t} +
Form der
allgemeinen Lösung:
x(t) = x1 (t) + x2 (t) = a1 exp{i ω0 t} + a2 exp{−i ω0 t}
Da die
physikalische Lösung reell sein muss, verwende die Euler'sche Formel
cos α + i sin α
exp{i α} =
:
h
i
h
i
⇒ x(t) = a1 cos(ω0 t) + i sin(ω0 t) + a2 cos(−ω0 t) + i sin(−ω0 t)
= (a1 + a2 ) cos(ω0 t) + i (a1 − a2 ) sin(ω0 t)
|
cos(−α) = cos α
sin(−α) = − sin α
Da
a1,2 ∈ C
und
a1 6= a2 ,
folgt wegen
x(t) =
reell:
!
x(t) = x̄(t)
!
⇒ (a1 + a2 ) cos(ω0 t) + i (a1 − a2 ) sin(ω0 t) = (ā1 + ā2 ) cos(ω0 t) − i (ā1 − ā2 ) sin(ω0 t)
⇒ a1 + a2 = ā1 + ā2
a1 − a2 = −(ā1 − ā2 )
⇒ a1 + a2 = a1 + ā1 = B
a1 − a2 = a1 − ā1 = −iA
Mit Hilfe von
⊕
:
2 a1 = 2 ā2
2 a2 = 2 ā1
a1 = ā2
x(t) = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t)
Anfangsbedingungen bei
A=
:
t=0
1
ẋ(0),
ω0
folgt wieder (s.o.)
B = x(0)
und
x(t) =
ẋ(0)
sin(ω0 t) + x(0) cos(ω0 t)
ω0
Skizze:
x(t)
t
Abbildung 2.4: Freie, harmonische Schwingung
⇒
mit
ā1 = a2
A, B ∈ R
2 Newton'sche Mechanik
18
2.5.2 Freie, gedämpfte Schwingung (µ 6= 0, F0 = 0)
⇒
m ẍ + µ ẋ + k x = 0
Hier gilt:
Lösungsansatz
ẍ +
µ
m
ẋ + ω02 x = 0
(a, b ∈ C):
⇒
x(t) = a exp{b t}
ẍ(t) = ab2 exp{b t}
⇒
ẋ(t) = ab exp{b t}
Einsetzen:
2
b +
µ
m
b+
ω02
=0
⇒
b1,2
µ
= −
±
2m
r
√
µ 2
µ
− ω02 = −
± D
2m 2m |
`
´
D :=
Form der allgemeinen Lösung:
µ 2
2m
− ω02
x(t) = a1 exp{b1 t} + a2 exp{b2 t}
Es lassen sich drei Fälle unterscheiden:
(
D
(1)
Schwache Dämpfung
<0 =
b
=0 =
b
>0 =
b
schwache
kritische
D<0 :
r
b1,2
=
⇒
x(t)
=
=
Dämpfung
starke
⇒
)
Schwingungsfrequenz:
ω :=
q
ω02 −
`
µ
2m
´
=
√
−D
=
µ 2
µ
µ
−
± i ω02 −
−
± iω
2m
2m
2m
o
h
i
n
µ
t
a1 exp {i ω t} + a2 exp {− i ω t}
exp −
n 2µm o h
i
exp −
t
(a1 + a2 ) cos(ω t) + i (a1 − a2 ) sin(ω t)
2m
Aus:
µ
µ
(a1 + a2 ) + i ω(a1 − a2 ) = −
x(0) + i ω(a1 − a2 )
2m
2m
n
1
µ o µ
x(t) = exp −
t
ẋ(0) +
x(0)
sin(ω t) + x(0) cos(ω t)
2m
2m
ω
x(0) = a1 + a2 ;
folgt:
ẋ(0) = −
x(t)
exp
K mm t
2
t
Abbildung 2.5: Schwach gedämpfte Schwingung
2.5 Schwingungen
(2)
19
kritische Dämpfung
D = 0:
√
µ
⇒ b1 = b2 = −
; d.h. ω =
−D = 0 und man ndet
n 2m
µ o
x1 = a1 exp −
t . Die zweite Lösung folgt aus einer
2m
Lösung für D < 0 :
nur eine spezielle Lösung:
Grenzwertbetrachtung der
1
⇒
cos(ω t) → 1 ;
ω sin(ω t) → t
n
µ o µ
x(t) = exp −
t
ẋ(0) +
x(0) t + x(0)
2m
2m
ω→0
⇒
Bemerkung:
- da keine Schwingung:
aperiodischer Grenzfall
- praktische Anwendung: Zeigermessinstrumente, Türschlieÿung
x(t)
(max. eine Nullstelle)
t
Abbildung 2.6: kritische Dämpfung, aperiodischer Grenzfall
(3)
Starke Dämpfung
D>0 :
⇒
b1,2
=
⇒
x(t)
=
Aus:
folgt:
r
µ
µ 2
− ω0 < 0
−
±
2m
2m
n
o
h
n√ o
n √ o i
µ
exp −
t
a1 exp
Dt + a2 exp − Dt
2m
√
µ
x(0) = a1 + a2 ;
ẋ(0) = −
(aq + a2 ) + D(a1 − a2 )
2m
1
1 µ
a1,2 =
x(0) ± √
ẋ(0) +
x(0)
2
2m
D
Damit:
x(t)
Bemerkung:
=
n
1
µ o
exp −
t
2
2m
"
√ 1
µ
x(0) + √ ẋ(0) +
x(0) exp
Dt
2m
D
#
√ 1
µ
+ x(0) − √ ẋ(0) +
x(0) exp − Dt
2m
D
Aperiodische Kriechbewegung ähnlich zu (2) aber mit kleinerer Amplitude
und längerer Rückkehr zur Ruhelage.
2 Newton'sche Mechanik
20
2.5.3 Erzwungene, gedämpfte Schwingung
Man hat:
Also:
⇔
m ẍ + µ ẋ + k x = F0 cos(ω t)
⇒
inhomogene Dgl.
allgemeine Lösung
=
ẍ +
µ
F0
ẋ + ω02 x =
cos(ω t)
m
m
allgemeine Lösung der homogenen
Dgl. + spezielle (= partikuläre)
Lösung der inhomogenen Dgl.
homogene Lösung: siehe 2.5.2
inhomogene Lösung: nach Einschwingzeit schwingt das System mit der Frequenz
Ansatz für partikuläre Lösung
daher
(a ∈ C, ω ∈ R):
⇒
x(t) = a exp{i ω t}
ω,
ẋ(t) = i ω a exp{i ω t}
⇒
ẍ = − ω 2 a exp{i ω t}
cos(ω t) 7−→ exp(i ω t)
Einsetzen:
−a ω 2 m + i ω µ a + a k = F0
ω02 =
k
m
µ
2
2
F0
F0 /m
F0 (ω0 − ω ) − i m ω !
|
⇒
a =
=
=
= |a| exp{ i φ}
k − ω 2 m + i ω µ (ω 2 − ω 2 ) + i µ ω
m
µ2 ω 2
2
2
2
0
(ω0 − ω ) +
m
m2
r
2 2
2 − ω 2 )2 + µ ω
(ω
0
√
F0
1
m2 = F0 r
⇒ |a| =
aā =
2
2
2 2
m
m
µ ω
2 − ω 2 )2 + µ ω
(ω02 − ω 2 )2 +
(ω
2
0
2
m
m
Im(a)
µ ω/m
µω
Φ = arctan
= arctan − 2
= arctan
Re(a)
ω0 − ω 2
m (ω 2 − ω02 )
F0 exp i ω t + φ
q
⇒ xinhomog (t) =
=
b partikuläre Lösung der inhom. Dgl.
2 2
m
(ω02 − ω 2 )2 + µmω2
Physikalisch relevant ist der Realteil, daher lautet die allgemeine Lösung:
x(t) = Re xinhomog (t) + xhomogen (t)
⇒
|
t
2m
µ
x(t)
≈
F0
cos(ω t + φ)
r
m
µ2 ω 2
(ω02 − ω 2 )2 +
m2
Bemerkung:
r
•
max. Amplitude für
ωR =
ω02 −
µ2
2
• µ = 0 ⇒ ωR = ω0 ⇒ |a| = ∞
•
µ2
> ω02
2
⇒
keine Resonanz mehr
=
b
Resonanzfrequenz
=
b Resonanzkatastrophe
2.6 Erhaltungssätze
21
Skizze:
Abbildung 2.7: Grenzfälle bei erzwungener, gedämpfter Schwingung
2.6 Erhaltungssätze
Idee: alternative Problemlösung nicht über die dynamische Grundgleichung
2.6.1 Impulserhaltung
Die Motivation zur Suche nach Erhaltungssätzen ergibt sich für den kräftefreien Fall aus dem
2. Newton'schen Axiom:
d~
p
F~ =
dt
Folgerung:
d~
p
= 0 ⇒ p~ = const.
dt
⇒
~ =0
F
=
b
Impulserhaltung
Für den kräftefreien Massenpunkt gilt der Impulserhaltungssatz.
Somit erscheint die Frage nach weiteren Erhaltungsgröÿen bzw. -sätzen sinnvoll.
2.6.2 Energieerhaltung
Aus der dynamischen Grundgleichung folgt:
m ~r¨ = F~
˙
· ~r
⇒ m ~r¨ · ~r˙ = F~ · ~r˙
⇔
d~r˙
d~r
m ~r˙ = F~ ·
dt
dt
⇔
m d ˙2
d~r
~r = F~ ·
2 dt
dt
Zt2
. . . dt
t1
⇒
m ˙2 ˙2
(~r − ~r1 ) =
2 2
Zt2
t1
d~r
F~ · dt =
dt
ZP2
F~ · d~r
P1
Mit den Denitionen
T = 12 m ~r˙ 2 = 12 m v 2
folgt
kinetische Energie
m 2 m 2
v − v1 = W
2 2
2
P
R2
W =
P1
⇔
T2 − T1 = W
F~ · d~r
Arbeit
2 Newton'sche Mechanik
22
Folgerung:
Die Änderung der kinetischen Energie eines Massenpunktes entspricht der an
ihm (von auÿen) geleisteten Arbeit.
Oenbar ist die kinetische Energie keine Erhaltungsgröÿe. Wir denieren daher
"konservati-
ve" Kräfte durch die Wegunabhängigkeit des Integrals:
RP
V (~r) = −
F~ (~r) · d~r
Potentielle Energie
oder Potential
P0
Dann gilt
ZP2
W
=
ZP0
F~ · d~r =
F~ · d~r +
F~ · d~r = −
ZP1
F~ · d~r +
ZP2
F~ · d~r
P0
P0
P0
P1
P1
ZP2
= V (~r1 ) − V (~r2 ) = V1 − V2
Damit folgt
T2 − T1 = W = V1 − V2
⇒
Folgerung:
T + V = E = const.
⇔
T2 + V2 = T1 + V1
=
b
Energieerhaltung
Für einen Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld gilt der Energieerhaltungssatz.
F~ = F~ (~r, ~v , t)
Bemerkung:
Für
Bemerkung:
Die Leistung
P =
ist
E
i.A. zeitabhängig, also keine Erhaltungsgröÿe.
dW
dt ist allgemein, also auch für nicht konservative Kräfte,
deniert.
Berechnung von
F~ (~r)
aus dem Potential
ZP
V (~r)
=
−
V (~r):
F~ · d~r = −
dV (~r)
dt
⇒
Beispiel:
=
d~r
F~ ·
dt
dt
t0
P0
⇒
Zt
∂V (~r) d~r ! ~ d~r
·
= −F ·
∂~r
dt
dt
∂V
(~
r
)
F~ = −
= − grad V
∂~r
In kartesischen Koordinaten gilt mit
~ =−
F~ = − grad V = −∇V
Damit die Denition des Potentials
unabhängig sein.
V (~r)
∂V
∂x
konservatives Kraftfeld
V = V (x, y, z):
~ex −
∂V
∂y
~ey −
∂V
∂z
~ez
als Wegintegral sinnvoll ist, muss das Integral weg-
2.6 Erhaltungssätze
23
P
1
0
0 1
1
C1
Z
−
C2
!
F~ · d~r = −
F~ · d~r
C2
C1
11
00
00
11
Z
P0
Abbildung 2.8: Wegunabhängigkeit
Wähle kartesische Koordinaten:
y
Z
4
dy
Z
Fx (x, y) dx +
(1)
2
3
!
1
(2)
Z
=
Fy (x + dx, y) dy
Z
Fy (x, y) dy +
(3)
Fx (x, y + dy) dx
(4)
x
dx
Abbildung 2.9: Beispielweg
Z
⇒
Z
{Fy (x + dx, y) − Fy (x, y)} dy −
{Fx (x, y + dy) − Fx (x, y)} dx = 0
x F (x + dx, y) − F (x, y)
x F (x, y + dy) − F (x, y)
y
y
x
x
dx dy −
dy dx = 0
dx
dy
x ∂F
x ∂F
x ∂F
∂Fy
∂Fx
∂Fx !
y
y
x
⇒
dx dy −
dy dx =
−
dx dy = 0 ⇒
−
=0
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
⇒
Gültigkeit für alle Komponenten liefert allgemein:
∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy
∂Fx
∂Fz
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
=0
~ × F~ = 0
rot F~ = ∇
⇒
konservatives Kraftfeld
2.6.3 Drehimpulserhaltung
Ausgehend von der dynamischen Grundgleichung:
~r × (. . .)
m ~r¨ = F~
d
(~a×~b)
dt
⇒
m(~r × ~r¨) = ~r × F~
⇒
d
{m(~r × ~r˙ )} = ~r × F~
dt
˙
= ~a˙ ×~b+~a×~b
d
(~r × p~) = ~r × F~
dt
⇔
und mit den Denitionen:
~ = ~r × p~
L
Drehimpuls
~ = ~r × F~
M
Drehmoment
folgt:
~
dL
~
=M
dt
⇒
~ =0
M
~
dL
=0
dt
⇒
~ = const.
L
=
b
Drehimpulserhaltung
2 Newton'sche Mechanik
24
Folgerung:
Für einen Massenpunkt im Zentralfeld mit
~ =0
F~ = F (~r)~er ⇒ ~r × F~ = M
gilt der Drehimpulserhaltungssatz.
2.7 Bewegung im konservativen Zentralkraftfeld
F~
F~
F~ (~r) = F (~r) ~er
F~ (~r) = − grad V (~r)
sei Zentralkraftfeld (vgl. 2.6.3):
sei konservative Kraft (vgl. 2.6.2):
In sphärischen Polarkoordinaten (r ,ϑ,ϕ) (Wahl aufgrund der Symmetrie des Problems!) gilt:
1
~er +
r
∂V
∂ϑ
1
grad V (~r) =
~eϑ +
r sin ϑ
∂V
!
~
F (~r) = F (~r) ~er = − grad V (~r) = −
~er −
∂r
⇒
∂V
∂r
!
∂V
~eϕ
∂ϕ
1 ∂V
∂V
1
~eϑ −
~eϕ
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
| {z }
|
{z
}
!
= 0 ⇒ V 6=V (ϑ)
⇒
F (~r) ~er = −
⇒
F (~r) = F (r)
∂V
∂r
= 0 ⇒ V 6=V (ϕ)
~er und V (~r) = V (r)
Also:
F~ (~r) = F (r) ~er
konservatives Zentralkraftfeld
Damit lauten dann der Energie- und Drehimpulserhaltungssatz:
1 ˙2
m ~r + V (r) = const.
2
~ = ~r × p~ = const.
L
E =
Es gilt in sphärischen Polarkoordinaten:
~r = r ~er ⇒ ~r˙ = ṙ ~er + r ~e˙ r = ṙ ~er + rϑ̇ ~eϑ + r sin ϑ ϕ̇ ~eϕ
Damit:
~ = ~r × p~ = r ~er × m ~r˙ = m r ~er × (ṙ ~er + r ϑ̇ ~eϑ + r sin ϑ ϕ̇ ~eϕ )
L
!
= m r2 ϑ̇ ~eϕ − m r2 sin ϑ ϕ̇ ~eϑ = const.
Da
~
L
konstant ist, erfolgt die Bewegung wegen
dieser Ebene als
ϑ=
π
2 (⇒
ϑ̇ = 0),
~ = ~r · (m ~r × ~r˙ ) = 0
~r · L
in einer Ebene. Wahl
so dass gilt
~ = −m r2 ϕ̇ ~eϑ
L
~ = m r2 ϕ̇
L = |L|
⇒
und auch
~r˙ = ṙ ~er + r sin ϑ ϕ̇ ~eϕ
⇒
~r˙ 2 = ṙ2 + r2 ϕ̇2
Für den Erhaltungssatz gilt dann:
E=
1
L2
1
m (ṙ2 + r2 ϕ̇2 ) + V (r) = m ṙ2 +
+ V (r)
2
2
2mr2
Man schreibt dieses Ergebnis gerne als
E=
1
m ṙ2 + Vef f (r)
2
2.7 Bewegung im konservativen Zentralkraftfeld
25
mit
Ve (r) = V (r) +
L2
2mr2
Eektives Potential
Statt die dynamische Grundgleichung zu lösen, kann man die
bestimmt) aus dem Energiesatz
Bahnkurve (durch
r(t), ϕ(t)
berechnen. Aus letzterem folgt:
r
dr
2
E − Ve (r) =
m
dt
dr
q
⇒
2
E
−
V
(r)
e
m
ṙ =
⇒
dt =
Integration liefert
t(r),
die Umkehrung dann
⇒
Folgerung:
t − t0 =
dr
q
2
m
(E − Ve (r))
Aus dem Drehimpulserhaltungssatz folgt:
dϕ
L
L
=
⇒ dϕ =
dt
2
dt
mr
m r2
Z
Z
L
dt
L dr
p
ϕ − ϕ0 =
dr
=
2
m r2 dr
r
2m (E − Ve (r))
L = m r2 ϕ̇
Integration liefert
r(t).
Z
ϕ(r),
(1)
und mit
⇒
r(t)
E < Ve ⇒
folgt
ϕ(t).
Diskriminante
<0⇒
keine reelle Lösung,
=
b
klassisch nicht
mögliche Bahnen
(2)
E = Ve ⇒ ṙ = 0
(aber nicht
ϕ̇!), =
b
(klassische) Umkehrpunkte der
Bewegung
(3)
E > Ve ⇒
nicht triviale reelle Lösung existiert,
=
b
klassisch erlaubte
Bewegungen
Bemerkung:
In der Quantenmechanik ist ein Eindringen in die klassisch nicht erlaubten
Bereiche möglich, man spricht vom
Tunneleekt. Man beachte aber, dass in
der QM der Bahnbegri seine Bedeutung verliert, so dass das Eindringen besser als nicht verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit bezeichnet wird.
2 Newton'sche Mechanik
26
Als
konkrete Anwendung untersuchen wir die Planetenbewegung:
Hier ist die konservative Zentralkraft = Gravitationskraft:
Mm
F~ = −G 2 ~er
r
⇒
V (r) = −G
|
Mm
r
~
~
F = −∇V Dann ndet man
Z
ϕ − ϕ0 =
r
2
r
2m E + G Mrm −
z.B. Bronstein
|
r
=
ϕ̃0 = ϕ0 + const.
|
⇒ϕ − ϕ̃0 = arcsin


GM m2
L
q
2mE +
GM m2
qL
GM m2
L
L2
2 m r2
=
1
2m
Z
L dr
q
r Er2 − GM mr −
L2
2m


√

2
1 L 2m
GM mr − L /m 
q
arcsin
+ const.
2 

2m
L
r G2 M 2 m2 + 2EL
m

⇒ sin(ϕ − ϕ̃0 ) =
r
L dr
−
1+
−


L
r
G2 M 2 m4
L2
L
r
2EL2
G2 M 2 m3

2 L
1
1 − GM
m2 r
=q
2
1 + G22EL
M 2 m3
Mit den Denitionen
L2
p=
G M m2
r
;
e=
1+
2 E L2
G2 M 2 m 3
und der Wahl
3
ϕ̃0 = π
2
erhält man
p
= 1 + e cos ϕ
r
Daraus folgert man für die
⇒
r(ϕ) =
Bahnkurve:
Aus diesen Überlegungen folgen die
1. Gesetz (1609):
p
1 + e cos ϕ
e=0
e<1
e=1
e>1
Kegelschnittgleichung
=
b
=
b
=
b
=
b
Kreis
(Planeten)
Ellipse
(Planeten)
Parabel
(Kometen)
Hyperbel
(Kometen)
Kepler'schen Gesetze:
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die
Sonne steht.
2.7 Bewegung im konservativen Zentralkraftfeld
27
Oenbar gilt für unser obiges Ergebnis:
Veff , E
L2
2mr 2
r
Veff (r)
GMm
r
E
Veff (r min )
Abbildung 2.10: Eektives Potenzial
Die Kurvenform ist klar wegen:
L2
GM m !
L2
−
=
0
⇒
r
=
0
2 m r2
r
2 G M m2
2
GM m !
L
L2
0
+
= 2 r0
Ve
= −
=
0
⇒
r
=
min
m r3
r2
G M m2
1 G2 M 2 m3
⇒ Ve (rmin ) = −
2
L2
Ve =
⇒
gebundene Bewegung für
⇒
0≤e<1
⇒
Ve ≤ E < 0
Ellipsen (Kreise für
e = 0) mit Sonne im Ursprung (=Brennpunkt)
Es gilt auch:
a
b
Für
p
1 − e2
p
= √
1 − e2
=
E = Ve (rmin ) = − 21
=
=
GM m
2 |E|
L
p
2 |E|m
=
√
L
a
√
m GM
groÿe Halbachse
kleine Halbachse
G2 M 2 m3
gilt z. B.:
L2
e=0;
a=b=
L2
G M m2
=
b
Kreisbahn
2 Newton'sche Mechanik
28
2. Gesetz (1609):
Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen.
Betrachte:
dr→
→
r
1
0
0
1
dA
Abbildung 2.11: überstrichene Fläche
⇒
dA =
⇒
Ȧ
heiÿt
1
1
d~r
1
1
L
| ~r × d~r | = |~r × | dt = |~r × ~v | dt =
|~r × p~ | dt =
dt
2
2
dt
2
2m
2m
L
dA
= Ȧ =
= const.
Flächensatz
dt
2m
Flächengeschwindigkeit.
3. Gesetz (1619)
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
Kuben der groÿen Halbachsen der Ellipsen.
Es gilt:
L
⇔ 2m Ȧ = L
2m
2m [A(T ) − A(0)] = L · T
Ȧ =
⇒
Ellipsenäche
|
⇔
⇔
Da die Konstante
= π ab
siehe
2mπab = L · T
2π
√
a3/2 = T
GM
|
oben
⇔
⇒
Z
T
. . . dt
0
L
1
√
2mπ
a3/2 = L · T
m GM
2 4π
2
T =
a3
GM
4π 2
G M für alle Planeten gleich ist, folgt:
T12
a31
=
T22
a32
2.7 Bewegung im konservativen Zentralkraftfeld
29
Veranschaulichung:
E, Veff
→
F
→
F
←
←
→
F
→
F
→
→
erlaubt
erlaubt
E
000
111
→
F
→
F
→
1
0
0
1
000000000
111111111
0
1
0
0000000001
111111111
1
0
0 =^
1
00000000
11111111
0
1
0
1
00000000
11111111
erlaubt
←
01111111111111111
10
10000000000000000
10
000000000000000
111111111111111
X
"Umkehrpunkte"
r
klassisch nicht erlaubte Bereiche
^ instabile Gleichgewichtslagen:
=
X
X
^ stabile Gleichgewichtslage:
=
d²Veff
dVeff
=0;
<0
dr
dr²
dVeff = 0 ; d²Veff > 0
dr
dr²
Abbildung 2.12: Potential und Teilchenenergie
Bemerkung:
Hier wird wieder die Bedeutung des harmonischen Oszillators oenbar. Die
Taylor-Entwicklung des Potentials liefert:
1 00
0
V (r) = V (r0 ) + V (r0 )(r − r0 ) + V (r0 )(r − r0 )2
2
so dass in einer Gleichgewichtslage
x = r − r0
0
r0 (mit V (r0 ) = 0) für kleine Auslenkungen
gilt:
1 00
V (r0 + x) ≈ V (r0 ) + V (r0 ) x2
2
Damit gilt für die Kraft an der Stelle
r = r0 + x:
00
F~ = − grad V = −V (r0 ) x ~er
Wenn:
00
V (r0 ) < 0
00
V (r0 ) > 0
⇒
=
b
⇒
=
b
F~
in Richtung der Auslenkung
Instabilität
F~
der Auslenkung entgegen gerichtet
Stabilität
30
2 Newton'sche Mechanik
3 Das Zweikörperproblem
Bisher:
Behandlung eines einzelnen Teilchens (Körper, Massenpunkt)
Nötig:
Erweiterung auf Teilchensysteme
3.1 Allgemeines zu Mehrteilchensystemen
Ausgangspunkt:
Newton-Axiome müssen für jeden einzelnen Massenpunkt gültig sein
Also:
Dynamische Grundgleichung(en) (=
b Axiom 2):
p~˙i
=
|
mi ~r¨i
mi 6= mi (t)
=
F~ext,i +
X
F~ij
=
F~ges,i
j
mit den Bezeichnungen:
mi
~ri
F~ext,i
F~ij
~
Fges,i
=
b
=
b
=
b
=
b
=
b
Masse des i-ten Teilchen
Ortsvektor des i-ten Teilchen
externe Kraft auf das i-te Teilchen
(interne) Kraft des j-ten auf das i-te Teilchen
auf das i-te Teilchen wirkende Gesamtkraft
Reaktionsprinzip (=
b Axiom 3):
F~ij = −F~ji
⇒
F~ii = 0
Bemerkung:
Axiom 1 als Spezialfall von Axiom 2 erfüllt (vgl. 2.1)
Bemerkung:
Wenn keine externen Kräfte auf ein Teilchensystem wirken, also
dann heiÿt das System
Bemerkung:
Die internen Kräfte
F~ext,i = 0 gilt,
abgeschlossen.
F~ij
sind zumeist
Zweikörperkräfte , d.h. sie hängen
lediglich von der Lage (und evtl. den Geschwindigkeiten) zweier Teilchen ab.
3 Das Zweikörperproblem
32
3.2 Erhaltungssätze für Mehrteilchensystem
Zusätzliche Schwierigkeit bei Mehrteilchensystemen: die Zahl der Bewegungsgleichungen kann
sehr groÿ sein
⇒
⇒
explizite Lösung aller Bewegungsgleichungen ist nicht nötig
Idee:
Berechnung von Bahnkurven aus Erhaltungssätzen (vgl. 2.6)
3.2.1 Impulserhaltung
Idee:
Summation aller dynamischen Grundgleichungen
N
X
⇒

p~˙i =
X
i=1
mi~r¨i =
X
=
X
i
F~ext,i +
i
X
F~ij  =
j
F~ext,i +
i
Mit den

X
XX
i
1 XX
2
F~ext,i +
i
j
|
i
F~ij + F~ji =
{z
}
X
F~ij
j
F~ext,i
i
=0
Denitionen:
M
~
R
=
P
=
1
M
P~
~
Fext
=
=
mi
iP
=
b
=
b
ri
i mi ~
P
~˙
m ~r˙ = M R
Pi ~ i i
Fext,i
=
b
=
b
i
Gesamtmasse
Ortsvektor des Schwerpunktes
Gesamtimpuls
(externe) Gesamtkraft
folgt:
~ =
MR
X
mi~ri
⇒
X
˙
~¨ =
MR
mi~r¨i = P~ = F~ext
i
i
Impuls- oder Schwerpunktsatz
mi 6= mi (t)
Schwerpunktsatz:
Der Schwerpunkt eines Teilchensystem bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse des Systems in
ihm vereinigt ist und die Summe der externen Kräfte auf ihn einwirkt.
Impulserhaltungssatz:
Für ein abgeschlossenes System
F~ext = 0
~¨ = P~˙ = 0
MR
Bemerkung:
bleibt der Impuls des Schwerpunktes erhalten:
⇒
P~ = const.
Die Bewegung eines gesamten Teilchensystems kann also durch die Bewegung
eines Massenpunktes, nämlich des Schwerpunktes beschrieben werden.
Bemerkung:
Mit Hilfe des Schwerpunktsatzes können sogenannte Relativkoordinaten deniert werden:
~ + ~si
~ri = R
3.2 Erhaltungssätze für Mehrteilchensystem
33
→
ri
→
si
→
R
Abbildung 3.1: Relativkoordinaten
~
R(t)
Wenn für ein gegebenes System
Lage
~ri (t)
bekannt ist, genügt also zur Angabe der
aller Teilchen des Systems die Kenntnis ihrer relativen Lage
Bezug auf den Schwerpunkt
~si (t)
~.
R
3.2.2 Energieerhaltung
Vorüberlegung:
Für konservative Kräfte
F~i = F~ext,i +
X
F~ij
gilt:
j
∂
~ i × F~i = 0
roti F~i =
× F~i = ∇
∂~ri
also
~ i Vext,i
(a) F~ext,i = −∇
(b) Wenn F~ij = −F~ji
⇒
Zentralkraft
(~rij = ~ri − ~rj ) :
Vij (~ri , ~rj ) = Vij (|~ri − ~rj |) = Vij (rij ) = Vji (rji )
~ i Vij = − ∂Vij = ∂Vij = ∂Vji = ∇
~ j Vji = −F~ji
F~ij = −∇
∂~ri
∂~rj
∂~rj
Insgesamt demnach:

~ i Vi = −∇
~ i Vext,i +
F~i = −∇

X
Vij 
j
Analog zum vorherigen Abschnitt kann daraus hergeleitet werden:

T +V =
X1
i
2
mi~r˙i 2 +
X

Vext,i +
i
1X
2
Energie(erhaltungs)satz
Vij  = const.
j
mit
T
V
=
=
X
Ti =
X1
i
i
X
X
i
Vi =
i
mi~r˙i 2
2


X
1
Vext,i +
Vij 
2
j
in
3 Das Zweikörperproblem
34
Energieerhaltungssatz:
Für ein Teilchensystem in einem (externen) konservativen Kraftfeld (und konservativen Zentralkräften untereinander) ist die Summe der kinetischen und potentiellen Teilchenenergien
zeitlich konstant.
Bemerkung:
Es gilt auch ein
Drehimpulssatz in der Form
X
~ ext,i = M
~ ext
~˙ =
M
L
und
i
die Aussage
2 hT i =
X
~ i Vi ) · ~ri
(∇
i
(=
b
Virialsatz ), wobei
< ... >
ein zeitlicher Mittelwert bedeutet.
3.3 Das Zweiteilchensystem
... ist ein wichtiger Spezialfall eines Mehrteilchensystems. Hier gilt für den
Schwerpunkt:
2
X
m1~r1 + m2~r2
~ = 1
R
mi~ri =
M
m1 + m2
i=1
Es ist zweckmäÿig den
System statt mit
Relativvektor (Dierenzvektor)
~r1 (t), ~r2 (t)
m1
äquivalent mit
~
R(t),
~r(t)
~r = ~r1 − ~r2
einzuführen, um das
zu beschreiben:
→
s1
→
~ + m2 ~r = R
~ + ~s1
~r1 = R
M
~ − m1 ~r = R
~ + ~s2
~r2 = R
M
→ →
r1
r2− r1
→
s2
→
R
→
m2
r2
Abbildung 3.2: Schwerpunktsystem
Die dynamischen Grundgleichungen lauten dann:
~21 = −F
~12 , F
~ext = F
~ext,1 + F
~ext,2
M = m1 + m2 , F
(I)
(II)
m1~r¨1 = F~ext,1 + F~12
m2~r¨2 = F~ext,2 + F~21
)
~¨ = F~ext
⊕ ⇒ MR
Dynamische
Grundgleichung
des Schwerpunktes
sowie:
F~ext,1 F~12 F~ext,2 F~21
1
1
(I) −
(II) ⇒ ~r¨ = ~r¨1 − ~r¨2 =
+
−
−
m1
m2
m1
m1
m2
m2
=
F~ext,1 F~ext,2
−
+
m1
m2
~
~
F21 = −F12 1
µ
=
1
m1
1
1
+
m1 m2
+
1
m2
⇒µ=
Dynamische
Grundgleichung
der Relativbewegung
F~ext,1 F~ext,2 F~12
F~12 =
−
+
m2
µ
m1
m1 m2
m1 +m2
=
b reduzierte Masse
3.3 Das Zweiteilchensystem
Für ein
35
abgeschlossenes Zweiteilchensystem (=
b Zweikörperproblem)
gilt dann
(F~ext,i = 0):
)
~¨ = 0
MR
µ~r¨ = F~12 ∼ ~r
(
=
b
kräftefreie Bewegung des Schwerpunktes
Bewegung einer Masse
µ im
Zentralfeld
Da die erste Gleichung trivial (,) gelöst wird, spricht man hier auch vom
F~12
eektiven Ein-
körperproblem .
Im Zweiteilchensystem gelten folgende
nützliche Zerlegungen:
Impuls:
P~
= p~1 + p~2
p~1 = m1 ~r˙1
m1 ~r˙1 + m2 ~r˙2
=
~˙ + m1 m2 ~r˙
m1 R
M
=
=
=
˙
~ + m1 m2 ~r˙ − m2 m1 ~r˙
m1 + m2 R
M
M
˙~
m1 R + µ ~r˙
=
~˙
MR
~˙ − µ ~r˙
p~2 = m2 R
kinetische Energie:
T
=
1
1
m1 ~r˙1 2 + m2 ~r˙2 2
2
2
m 2
1
1
m2 ~˙ ˙
˙~ 2 1
2
~r˙ 2 + m1 2
R · ~r
m1 R + m1
2
2
M
2
M
2
1
~˙ · ~r˙
~˙ 2 + 1 m2 m1 ~r˙ 2 − 1 m2 2 m1 R
m2 R
2
2
M
2
M
1 ~˙ 2 1 m1 m2 m1 + m2 ˙ 2 1 ~˙ 2 1 ˙ 2
MR +
~r = M R + µ ~r
2
2
M2
2
2
T1 + T2 =
=
+
=
Bemerkung:
Es treten keine Mischterme
~ · ~r
R
auf, was diese Koordinatenwahl vorteilhaft
macht.
Potential:
V (~r1 , ~r2 )
=
2
X
2
2
1 XX
Vext,i +
Vij (r) =
Vext,1 + Vext,2 + V12 (r)
2
i=1
i=1 j=1
V = V22 = 0; V21 = V12
11
Gesamtenergie:
E
=
T +V
=
1 ~˙ 2 1 ˙ 2
~ ~r + Vext,2 R,
~ ~r +V12 r
M R + µ ~r + Vext,1 R,
2
2
|
{z
}
=0
, wenn System abgeschlossen
Drehimpuls:
2
2
2
X
~ =M R
~ ×R
~˙ +
~ ×R
~˙ + m1 m2 ~r × ~r˙ + m2 m1 ~r × ~r˙ = M R
~ ×R
~˙ + µ~r × ~r˙
L
mi ~si × ~s˙ i = M R
M
M
i=1
Bemerkung:
Es lassen sich also alle wesentliche Systemgröÿen in einen
~ R
~˙
teil R,
und einen
Relativbewegungsanteil ~
r, ~r˙
Schwerpunktan-
separieren (in einem
abgeschlossenen Zweiteilchensystem ist diese Separation vollständig).
3 Das Zweikörperproblem
36
3.4 Planetenbewegung als Zweikörperproblem
Sei
und
~r1 = ~rp der Ortsvektor eines Planeten mit Masse mp
~r2 = ~rs der Ortsvektor der Sonne mit Masse ms
~r = ~r1 − ~r2 = ~rp − ~rs dann gilt:
Vext,i = 0
(abgeschlossenes System!)
ms mp
ms mp
Mµ
; M = ms + mp
= −G
; µ=
r
r
ms + mp
L2R
1 ~˙ 2 1 ˙ 2
Mµ 1
1
L2r
Mµ
2
2
E = MR
+ µ ~r − G
=
+
M
ṙ
+
−G
M Ṙ +
2
2
r 2
2M R2 2
2µr2
r
V12 ~r1 , ~r2 = V12 (~r) = −G
`
´
`
´
~ =L
~R + L
~r = M R
~ ×R
~˙ + µ ~r × ~r˙
L
vgl. 2.7 und 3.3 mit
Im
Schwerpunktsystem mit
~˙ = 0, Ṙ = 0
R
gilt also
1
Lr
Mµ
E = µṙ2 +
−G
2
2
2µr
r
µ
Nach 2.7 entspricht das gerade der Bewegung einer Masse
(ruhenden) Masse
M.
im gravitativen Zentralfeld der
Also:
r(φ) =
p
1 + e cos φ
(hier
e<1=
b
Ellipsenbahn)
Damit folgt:
Wahl
~r1 = ~rp
~+
= R
ms
r
M~
~r2 = ~rs
~−
= R
|
=
Wahl
mp
r
M~
~ =0
R
ms
r
M~
~ =0
R
|
=
m
− Mp ~r
Veranschaulichung:
~rs = −







Planet
=
b






und Sonne bewegen sich also
auf Ellipsen um ihren gemeinsamen
Schwerpunkt.
mp
mp µ
~rp = −
~rp
µ ms
ms
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
Planetenbahn
Schwerpunkt
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
Sonnenbahn
Abbildung 3.3: Planetenbewegung als Zweikörperproblem
Bemerkung:
Wegen
ms mp
gilt natürlich in sehr guter Näherung
damit der in 2.7 betrachtete Fall der Keplerbewegung.
~rp ≈ ~r ; ~rs ≈ 0
und
4 Lagrange-Mechanik
Neben der bisher behandelten Newton'schen Beschreibung der klassischen Mechanik gibt es
noch weitere (vgl. Schema Ende Kapitel 1.1). Von den beiden Alternativen, der
und der
Lagrange-
Hamilton-Mechanik, behandeln wir hier das Wesentliche der ersten. Basierend auf
den bisherigen Verlauf der Vorlesung kann die Lagrange'sche Formulierung der Mechanik wie
folgt motiviert werden:
Wir haben gesehen, dass zur Beschreibung eines physikalischen Systems die vektorielle dynamische Grundgleichung
m ~r¨ = F~
mitunter durch eine (oder mehrere entkoppelte) skalare
Gleichung(en) ersetzt werden kann, siehe die Beispiele in 2.4, 2.5 und 2.7. Man kann also fragen, ob sich die dynamische Grundgleichung direkt in eine (oder mehrere) skalare Gleichungen
überführen lässt.
Bemerkung:
Die
folgende
Formulierung
Herleitung
der
der
Lagrangegleichungen
Lagrangegleichungen
1.
Art,
2.
die
Art
vermeidet
Verwendung
des
die
sog.
d'Alembert'schen Prinzip und damit den Begri der Zwangskraft und (weitestgehend) der Zwangsbedingung. Diese werden im Rahmen der Hauptvorlesung
zur Theoretischen Mechanik behandelt. Hier geht es lediglich um die Vorstellung einer höheren Methode der analytischen Mechanik, die zur Newton'schen
Formulierung alternative Lösungen in oft eleganter Weise ermöglicht.
4.1 Generalisierte Koordinaten und Geschwindigkeiten
. . . formalisieren den ersten Schritt zur Lagrange-Formulierung.Daher machen wir folgende
Denition:
Wenn die Gesamtheit irgendwelcher skalarer Gröÿen
tane Lage eines Systems mit
s
q1 , q2 , . . . , qs die momenn-dimensionalen Kon-
Freiheitsgraden in einem
gurationsraum eindeutig bestimmt, so nennt man sie
generalisierte oder
verallgemeinerte Koordinaten und ihre Ableitungen q˙1 , q˙2 , . . . , q˙s generalisierte oder verallgemeinerte Geschwindigkeiten.
Bemerkung:
Im Allgemeinen hat ein Teilchen im
Freiheitsgrade; ein System aus
es
0 ≤ k ≤ nN
N
n-dimensionalen Kongurationsraum n
nN Freiheitsgrade. Gibt
Teilchen hat dann
Zwangsbedingungen, die die Bewegung(en) des Systems
einschränken, reduziert sich die Zahl der Freiheitsgrade auf
Beispiel:
nN − k .
Ebenes Pendel: Die Bewegung ist zunächst auf eine Ebene eingeschränkt, so
dass statt sphärischer
ebene Polarkoordinaten benutzt werden. Im Falle des
mathematischen Pendels mit masselosem Pendelarm konstanter Länge erfolgt
die Bewegung der Pendelmasse entlang eines Kreises, so dass das System nur
einen Freiheitsgrad hat. Also:
4 Lagrange-Mechanik
38
n = 3, (r, ϑ, ϕ)-Koordinaten
s = 1: betrachte nur ϕ als Koordinate,
Bemerkung:
da
r, ϑ = const.
Generalisierte Koordinaten müssen weder die Dimension einer Länge haben
noch geometrisch interpretierbar sein. Damit sind auch die zugehörigen Geschwindigkeiten verallgemeinert. So gilt im Falle des ebenen, mathematischen
Pendels z.B.:
generalisierte Koordinate
Energie:
1
2
T =
m ~r˙ 2 =
1
2
ϕ ⇒ generalisierte Geschwindigkeit ϕ̇ und kinetische
m (ṙ2 + r2 ϕ̇2 ) = 12 m r2 ϕ̇2
|
ṙ = 0 4.2 Die Lagrange-Gleichungen 2. Art
s ≤ nN skalaren Gleichungen aus
¨
~
den 3N dynamischen Grundgleichungen m ~
ri = Fi ; i = 1, . . . , N ? Der Einfachheit halber
betrachten wir den Fall N = 1, also ein Einteilchensystem. Sei qk eine der s unabhängigen
∂V
verallgemeinerten Koordinaten, dann gilt (mit
∂t = 0):
Die Ausgangsfrage ist also: Wie gelingt die Herleitung von
∂~r
~ = − ∂V
m ~r¨ = F~ = −∇V
·
∂~r
∂qk
∂~
r
∂V
∂~
r
∂V
⇒ m ~r¨ ·
=−
·
=−
∂qk
∂~r ∂qk
∂q
k
d
∂~r
d
∂~r
∂V
⇔
m ~r˙ ·
− m ~r˙ ·
=−
(F)
dt
∂qk
dt ∂qk
∂qk
Da gilt:
~r = ~r(q1 , q2 , . . . , qs , t) ⇒ ~r˙ =
s X
∂~r
∂ql
l=1
sowie:
ql
und
q̇l
q̇l
+
∂~r
∂~r˙
∂~r
⇒
=
∂t
∂ q̇k
∂qk
werden als
unabhängige Gröÿen
d
dt
∂~r
∂qk
=
s
X
l=1
(
∂
∂~r
· q̇l
∂ql ∂qk
|
{z
}
“
”
= ∂q∂
k
)
∂~
r
∂ql
aufgefasst!
#
" s X
∂
∂~r
∂
∂~r
∂~r
∂~r˙
· q̇l +
+
=
=
∂t ∂q
∂qk
∂ql
∂t
∂qk
l=1
| {z k }
r
= ∂q∂ ( ∂~
)
k ∂t
folgt aus (F):
)
˙
∂
~
r
∂~r˙
∂V
m ~r˙ ·
− m ~r˙ ·
=−
∂ q̇k
∂qk
∂qk
(
)
d 1 ∂~r˙ 2
m ∂~r˙ 2
∂V
m
−
=−
dt 2 ∂ q̇k
2 ∂qk
∂qk
d
dt
⇒
Wegen
T =
1
2
2
m · ~r˙
(
ndet man:
d
dt
∂T
∂ q̇k
−
∂T
∂V
=−
∂qk
∂qk
4.2 Die Lagrange-Gleichungen 2. Art
und wenn
V 6= V (q̇k )
39
gilt, schlieÿlich:
d
dt
∂T
∂ q̇k
d ∂V
dt ∂ q̇k
| {z }
−
−
∂T
∂V
−
∂qk
∂qk
=0
geschickte Null
d
⇒
dt
Mit der Denition der
d
dt
∂L
∂ q̇k
Bemerkung:
−
∂(T − V )
∂ q̇k
Lagrangefunktion
∂L
=0
∂qk
−
∂(T − V )
=0
∂qk
L := T − V
folgen die
Lagrangegleichungen 2. Art für konservative Kräfte
Im Unterschied zur vektoriellen Newton'schen Bewegungsgleichung (mit i.A.
n=3
Komponentengleichungen) handelt es sich bei den Lagrangegleichungen
2. Art um ein System von
s = n−k Gleichungen, in denen die die Freiheitsgrade
einschränkenden Zwangskräfte bereits implizit berücksichtigt sind.
Bemerkung:
Zur Formulierung der Lagrangegleichungen 2. Art ist die Kenntnis der Kräfte
nicht explizit erforderlich, sondern lediglich die des Potentials.
Bemerkung:
2 ,...,qs ,t)
L1 = λL, λ ∈ R und L2 = L + dF (q1 ,qdt
liefern dieselben Bewegungsgleichungen. L1 ist trivial; für L2 gilt:
d ∂L2
∂L2
d ∂L
∂
dF
∂L
∂
dF
−
=
+
−
−
dt ∂ q̇k
∂qk
dt ∂ q̇k
∂ q̇k dt
∂qk
∂qk dt
( s )
X ∂F
d ∂L
∂L
d ∂
∂F
dF
∂
=
−
+
q̇l +
−
dt ∂ q̇k
∂qk
dt ∂ q̇k
∂ql
∂t
∂qk dt
l=1
d ∂L
d ∂F
∂L
∂
dF
=
−
+
−
dt ∂ q̇k
∂qk
dt ∂qk
∂qk dt
d ∂L
∂L
=
−
dt ∂ q̇k
∂qk
Die Lagrangefunktionen
L
und
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil:
X ∂2F ∂F
=
q̇l +
∂qk
∂ql ∂qk
l
X ∂2F dF
∂
=
q̇l +
∂qk dt
∂qk ∂ql
d
dt
l
für zweimal stetig dierenzierbare
F (q1 , . . . , qs , t).
∂2F
∂t ∂qk
∂2F
∂qk ∂t
4 Lagrange-Mechanik
40
4.3 Anwendungsbeispiele
. . . zur Illustration der Methode:
4.3.1 Das freie Teilchen (s=3)
Koordinatenwahl:
q1 = x, q2 = y, q3 = z
O.B.d.A. 1
1
1
|
m ~v 2 = m ~r˙ 2 = m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) ; V = const. = 0
2
2
2 ∂L
∂T
d ∂L
∂L
∂L
=
= m ẋ ⇒
= m ẍ ;
=
= 0 ⇒ m ẍ = 0
∂ q̇1
∂ ẋ
dt ∂ q̇
∂q1
∂x
⇒ T =
⇒
Für die anderen Komponenten analog
⇒
m ~r¨ = 0
4.3.2 Der schiefe Wurf (s=3)
Koordinatenwahl:
⇒ T =
⇒
q1 = x, q2 = y, q3 = z
1
m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) ;
2
V = mgz
freies Teilchen in Bezug auf
d
dt
∂L
∂ q̇3
Also:
=
d
dt
∂
∂ ż
m z̈ + m g = 0
x-
und
y-
Koordinate:
1
m (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) − m g z
2
⇒
m ẍ = m ÿ = 0
∂L
∂L
= m z̈ ;
=
= −mg
∂q3
∂z
z̈ = −g
4.3.3 Atwood'sche Fallmaschine (s=1)
Koordinatenwahl:
q1 = z1 = z , z1 + z2 + πR = l
111111111111111111111
000000000000000000000
000000000000000000000
111111111111111111111
000000000000000000000
111111111111111111111
10
1010
1010
R
0
z = 01
1010
10
1010
1010
l
10
010
m1
z1 1
1010
1010
m2
010
z2 1
1010
010
z1
Abb. 4.1: Fallmaschine
⇒ z2 = l − πR − z ⇒ ż1 = ż ; ż2 = −ż
1
1
1
1
1
⇒ T = m1 ż12 + m2 ż22 = m1 ż 2 + m2 ż 2 = (m1 + m2 ) ż 2
2
2
2
2
2
V = −m1 g z1 − m2 g z2 = −m1 g z − m2 g (l − πR − z)
1
⇒ L = T − V = (m1 + m2 ) ż 2 + m1 g z + m2 g (l − πR − z)
2
1
= (m1 + m2 ) ż 2 + (m1 − m2 ) g z + m2 g (l − πR)
2
∂L
d ∂L
∂L
⇒
= (m1 + m2 ) ż ⇒
= (m1 + m2 ) z̈ ;
= (m1 − m2 ) g
∂ ż
dt ∂ ż
∂z
d ∂L ∂L
⇒
−
= 0 ⇔ (m1 + m2 ) z̈ − (m1 − m2 ) g = 0
dt ∂ ż
∂z
m1 − m2
⇔ z̈ =
g
m1 + m2
1 m1 − m2
⇒ z(t) = z0 + v0z (t − t0 ) +
g(t − t0 )2
2 m1 + m2
4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
41
4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
In der Newton'schen Mechanik haben wir den Impuls-, Energie- und Drehimpulserhaltungssatz
kennen und schätzen gelernt. Diese Sätze können natürlich auch im Rahmen der LagrangeMechanik hergeleitet werden. Sie bietet aber darüber hinaus einen tieferen Einblick in die
Begründung für die Existenz von Erhaltungsgröÿen. Betrachten wir zunächst die
4.4.1 Anzahl der Erhaltungsgröÿen
q1 , q2 , . . . , qs die generalisierten Koordinaten, die zusammen mit den generalisierten Geq˙1 , q˙2 , . . . , q˙s den Zustand eines Systems zum Zeitpunkt t bestimmen. Die Integration der Lagrangegleichungen 2. Art erfordert 2s Anfangswerte, also 2s freie Konstanten, die
(geschrieben als Funktionen der ql und q̇l ) die Erhaltungsgröÿen bzw. Bewegungsintegrale sind.
Seien
schwindigkeiten
In einem
abgeschlossenen System, für das die ql und q̇l nicht explizit von der Zeit abhängen,
kann eine der
2s
Konstanten, also
Konstanten als der (beliebige) Zeitnullpunkt gewählt werden, so dass
2s − 1 unabhängige Erhaltungsgröÿen
existieren.
Beispiele:
Freies Teilchen
Zweikörperproblem
Freiheitsgrade:
s=6
2 · 6 − 1 = 11
1
Konstante
(Schwerpunkt)
Konstanten
Drehimpulserhaltung:
s=3
2·3−1=5
1
3
3
Lenz-Runge-Vektor:
-
Summe:
7
unabh. Erhaltungsgröÿen:
Energieerhaltung:
Impulserhaltung:
⇒
2s − 1
3
3
3
10
Konstanten
Konstanten
nicht alle Erhaltungsgröÿen sind unabhängig oder gleich bedeutsam!
4.4.2 Zyklische Koordinaten
Der einfachste Fall zu einer Erhaltungsgröÿe zu gelangen liegt vor, wenn
∂L
∂qm
= 0,
denn dann
gilt:
Generalisierter oder verall-
d ∂L
∂L
d ∂L
−
=
=0
dt ∂ q̇m ∂qm
dt ∂ q̇m
⇒
pm
∂L
=
= const.
∂ q̇m
gemeinerter oder kanonischer oder konjugierter Impuls
qm
ist dann eine
Bemerkung:
zyklische Koordinate.
Man wählt also am geschicktesten die verallgemeinerten Koordinaten so, dass
möglichst viele zyklisch sind.
Beispiel:
Zweikörperproblem:
1. Wahl:
⇒
(q1 , q2 , q3 ) = (x1 , y1 , z1 ) ; (q4 , q5 , q6 ) = (x2 , y2 , z2 )
1
1
T = m1 (ẋ21 + ẏ12 + ż12 ) + m2 (ẋ22 + ẏ22 + ż22 )
2
2
p
Gm1 m2
V =−
; r = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
r
4 Lagrange-Mechanik
42
∂L
6= 0
∂ql
⇒
L=T −V
⇒
keine zyklischen Koordinaten
2. Wahl:
⇒
⇒
⇒
⇒
l
M R̈x = M R̈y = M R̈z = 0
p~ = const.
=
b
⇒
µ r2 ϕ̇ = const
∂L
=0
∂ϑ
⇒
da aber bereits
⇒
für alle
(q1 , q2 , q3 ) = (Rx , Ry , Rz ) ; (q4 , q5 , q6 ) = (r, ϑ, ϕ)
1
1
T = M (Ṙx2 + Ṙy2 + Ṙz2 ) + µ (ṙ2 + r2 ϕ̇2 )
2
2
GM µ
V =−
r
∂L
∂L
∂L
=
=
=0
L=T −V ;
∂Rx
∂Ry
∂Rz
∂L
=0
∂ϕ
⇒
;
kräftefreie Bewegung des Schwerpunktes
d ∂L
d
= (µ r2 ϕ̇) = 0
dt ∂ ϕ̇
dt
=
b
(Relativ-)Drehimpulserhaltung
d ∂L
=0
dt ∂ ϑ̇
∂L
= 0 ergibt
∂ ϑ̇
sich keine weitere Erhaltungsgröÿe
Insgesamt erhält man also:
5 zyklische Koordinaten und 4 Erhaltungsgröÿen
Neben dem zu einer zyklischen Koordinate gehörenden (erhaltenen) generalisierten Impuls lassen sich in der Lagrange-Mechanik natürlich auch die üblichen Erhaltungssätze für Energie,
Impuls und Drehimpuls formulieren. Mehr noch: die Lagrange-Beschreibung erlaubt einen einfachen Weg einen tiefer liegenden Zusammenhang zwischen Erhaltungsgröÿen und Symmetrien
zu erkennen. So sind die Haupt-Erhaltungssätze mit der Homogenität und Isotropie von Raum
und Zeit verknüpft. Um das einzusehen betrachten wir zunächst die
4.4.3 Energieerhaltung
Die
Homogenität der Zeit führt auf die Energieerhaltung: Wenn die Lagrange-Funktion
eines abgeschlossenen Systems invariant unter zeitlichen Translationen
t0 = t + α
ist, folgt:
∂L
=0
L = L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s , t) = L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s , t + α) ⇒
∂t
X d ∂L
dL X
∂L
∂L
∂L
d X ∂L
⇒
=
q̇l +
q̈l =
q̇l +
q̈l =
q̇l
dt
∂ql
∂ q̇l
dt ∂ q̇l
∂ q̇l
dt
∂ q̇l
l
l
l
"
#
d X
∂L
dH
⇒
q̇l − L = 0 ⇔
= 0 ⇒ H = const.
dt
∂ q̇l
dt
l
{z
}
|
=: H =
b
Hamiltonfunktion
4.4 Erhaltungssätze und Symmetrien
In konservativen Systemen mit
43
V = V (q1 , . . . , qs )
gilt
L = T (q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s ) − V (q1 , . . . , qs )
X ∂T X ∂L q̇l − L =
q̇l − (T − V ) =
⇒H =
2T − T + V = T + V = E
∂ q̇l
∂ q̇l
l
l
T
ist homogen, quadratisch in
q̇l , d.h.:
T (aq̇1 , . . . , aq̇s“) = ”a2 · T (q̇1 , . . . , q̇s )
P ∂T
⇒
q̇l = 2T
∂ q̇l
l
Damit lässt sich also die Hamilton-Funktion eines abgeschlossenen Systems als die Gesamtenergie
E =T +V
Bemerkung:
interpretieren und es gilt die Energieerhaltung.
Die Hamilton-Funktion ist nicht immer gleich der Gesamtenergie und nicht
immer eine Erhaltungsgröÿe.
4.4.4 Impulserhaltung
Wählt man für die generalisierten Koordinaten eines abgeschlossenen Systems die Ortsvektoren,
dann können die Lagrange-Gleichungen 2. Art geschrieben werden als
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂~vi ∂~ri
Zur Untersuchung der Folgerung aus der
räumliche Translation
0
~r = ~r + ~,
Homogenität des Raumes betrachten wir eine
mit der gilt:
δ~ri = ~ =
b
Translation!
X
X ∂L ∂L !
|
· δ~ri = ~ ·
δL =
=0
∂~ri
∂~ri
s.o. |
⇒
i
i
X d ∂L
=0
dt ∂~vi
⇒
⇒
i
d X ∂L
=0
dt
∂~vi
i
⇒
i
Das ist aber gerade der Gesamtimpuls
P ∂L
P~ =
∂~vi
X ∂L
=0
∂~ri
X ∂L
= const.
∂~vi
i
des Systems.
i
Bemerkung:
Aus der Additivität der Lagrange-Funktion (die besagt, dass die LagrangeFunktion eines Systems, welches aus zwei abgeschlossenen nicht miteinander wechselwirkenden Teilsystemen A und B besteht, durch die Summe der
Lagrange-Funktionen
L = LA + LB
der Teilsysteme gegeben ist) folgt die Ad-
ditivität von Energie und Impuls.
Bemerkung:
Auch der Drehimpulserhaltungssatz lässt sich mit einer Symmetrie verknüpfen, nämlich der Isotropie des Raumes. Das heiÿt die Lagrange-Funktion ist
invariant gegenüber (innitesimalen) Drehungen.
4 Lagrange-Mechanik
44
4.5 Das Hamilton-Prinzip
Bisher haben wir dierentielle Formulierungen der Mechanik behandelt. Die Mechanik kann
aber auch integral formuliert werden, was in der Vorlesung
Theoretische Mechanik ver-
tieft wird. Hier sei daher das grundlegende Integralprinzip der Mechanik erwähnt, nämlich das
Hamilton-Prinzip:
Die Bewegung eines mechanischen Systems erfolgt in der Zeitspanne zwischen t1 und t2 so,
dass das (Linien-)Integral
Zt2
L(q1 , . . . , qs , q̇1 , . . . , q̇s , t) dt
W =
t1
stationär ist, also
Bemerkung:
δW = 0
gilt.
Aus der Mathematik ist bekannt, dass die Bedingung
δW = 0
auf die Bedin-
gungen
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q˙l ∂ql
für den Integranden führt, also auf die Lagrangegleichungen 2. Art.
Bemerkung:
Das Hamilton-Prinzip ist unabhängig von dem Koordinatensystem, in dem die
Lagrangefunktion
Bemerkung:
formuliert ist.
Da die Dimension der Lagrangefunktion
W
Bemerkung:
L
die Dimension [W ]= Energie
×
L = T −V
Zeit =
die einer Energie ist, hat
Wirkung.
Da die Bewegung eines Systems oft (meistens?) so abläuft, dass
wird, spricht man auch vom
W
minimiert
Prinzip der kleinsten Wirkung.
(ursprünglich von Pierre Louis Moreau de Maupertius im Jahre 1744 formuliert)
Bemerkung:
Das Hamilton-Prinzip enthält keine neue bzw. weitergehende Physik. Es ist
aber formal wichtig, z.B. für die Aufstellung der Quantenmechanik (Stichwort:
Schrödinger-Gleichung!).
Auch die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik können aus einem Integralprinzip hergeleitet werden.
Anwendungsbeispiel: Ableitung des Fallgesetzes aus dem Hamilton-Prinzip
Ein anfänglich (t0
Erdboden nach
= 0)
t1 = 2 s.
ruhender Körper falle aus einer Höhe
h(0) = 20m
Alle Fallgesetze der Form
h(t) = h(0) − 2(1−n) g tn ;
g = 10
m
;
sn
n∈N
sind mit dem Messergebnis verträglich. Welches ist das richtige Fallgesetz?
und erreiche den
4.5 Das Hamilton-Prinzip
45
Es gilt:
h = h(0) − 2(1−n) g tn ⇒ ḣ = −2(1−n) n g t(n−1)
1
1
⇒L=T −V =
m ḣ2 − m g h = m 22−2n n2 g 2 t2n−2 − m g h(0) − 21−n g tn
2
2
m
1−n n
2
1−2n 2 2n−2
t
= mg 2
n t
− h(0) + 2
g
Damit gilt:
Z2
W (n) =
=
=
⇒
dW
dn
=
Z2 m
1−n n
1−2n 2 2n−2
t dt
L(t) dt = m g
2
n t
− h(0) + 2
g
0
0
n2
m
1
m g 2 21−2n
22n−1 − 2 h(0) + 21−n
2n+1
2n − 1
g
n+1
2
n
m
4
m g2
− 2 h(0) +
2n − 1
g
n+1
2
4
!
2 2n (2n − 1) − 2n
=0
mg
−
2
2
(2n − 1)
(n + 1)
2
⇒ = (2n2 − 2n)(n + 1)2 − 4 (2n − 1)2 = 0
⇔
n4 + n3 − 9n2 + 7n − 2 = 0
Lösungen sind Faktoren des konstanten Terms. Wenn ganzzahlig, dann
n ∈ {±1, ±2}.
Test durch Einsetzen bzw. Polynomdivision:
(n4 + n3 − 9n2 + 7n − 2) : (n − 2) = n3 + 3n2 − 3n + 1
Also
n=2
extremiert
W (n)!
46
4 Lagrange-Mechanik
5 Der starre Körper
Bisher:
Bewegung von einzelnen (unter Umständen miteinander wechselwirkenden)
punktförmigen Körpern (Teilchen, Massenpunkte) ohne Ausdehnung
Jetzt:
Beschreibung ausgedehnter Körper
Unter allen denkbaren ausgedehnten Körpern nimmt die Klasse der starren Körper eine besondere Stellung ein, da sie häug sind und vergleichsweise einfach behandelbar bleiben. Daher
zunächst folgende
Denition:
Bemerkung:
N Massenpunkten, die feste Abstände
|~ri − ~rj | = cij = const. ; i, j ∈ { 1, . . . , N }
Ein starrer Körper ist ein System aus
zueinander haben, d.h. es gilt:
Ausgedehnte Körper mit beweglichen Teilchen sind also keine starren Körper
(Auto, Koer . . . )
Bemerkung:
Das Konzept des starren Körpers ist eine Idealisierung (Atomkerne z.B. ruhen
nicht), die aber in sehr vielen Fällen keine wesentlichen Einschränkung für die
Beschreibung makroskopischer Körper nach sich zieht.
Um die einfache Behandelbarkeit eines starren Körpers einzusehen betrachten wir die
5.1 Freiheitsgrade und Bewegung eines starren Körpers
Die Lage eines starren Körpers ist durch die Ortsvektoren
~r1 , ~r2 , ~r3
von drei körperfesten Punk-
ten, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig bestimmt, da dann die Ortsvektoren aller
anderen Punkte des Körpers über die Abstandsbedingungen (siehe obige Def.) festgelegt sind.
Die Zahl der Freiheitsgrade ergibt sich dann wie folgt: die verbleibenden
3 · 3 Freiheitsgrade der
drei ausgewählten Punkte reduzieren sich um weiterer drei wegen deren Abständen zueinander:
|~r1 − ~r2 | = c12 ;
Also hat ein starrer Körper
|~r2 − ~r3 | = c23 ;
|~r3 − ~r1 | = c31 ;
c12 , c23 , c31 = const.
sechs Freiheitsgrade, die einer Translations- und einer Ro-
tationsbewegung zugeordnet werden können (Theorem von Chasles). Zur Beschreibung der
Rotationsbewegung benötigen wir den Begri der
die Rotationsbewegung eines einzelnen Punktes:
Winkelgeschwindigkeit: betrachten wir
5 Der starre Körper
48
→
ω
P0
1
R
dr→
Es gilt:
dϕ
→
d~r ⊥ ~r
d~r ⊥ ~n
Rotationsachse
r





sin ϑ = R/r
|
|d~r| = R dϕ = r sin ϑ dϕ
ϑ
d~r = ~n × ~r dϕ




→
n
0
Abbildung 5.1: Schwerpunktsystem
Für die
Rotationsgeschwindigkeit gilt demnach:
~vrot =
d~r
dϕ
= (~n × ~r)
=: (~n × ~r) ω = ω ~n × ~r = ω
~ × ~r
dt
dt
ω
~ = ω ~n
Damit gilt allgemein (im nichtrotierenden System):
~v = ~vtra + ~vrot = ~vtra + ω
~ × ~r
~v
:
Geschwindigkeit im Inertialsystem
~vtra
:
Translationsgeschwindigkeit
~vrot
:
Rotationsgeschwindigkeit
Daraus folgt
mit
~r
d
dt
~r =
P
d
dt
im Inertialsystem
0
~r + ω × ~r
Operator−
−−−−−−−−→
schreibweise
P0
Σ
und
~r 0
im rotierenden System
d
dt
=
P
d
dt
+ω
~ × (. . .)
P0
Σ 0.
5.2 Kinetische Energie und Trägheitstensor eines starren
Körpers
5.2.1 Kinetische Energie
In einem Inertialsystem gilt:
~ × ~ri
~vi = ~vtra+ ω
T
=
N
X
1
i=1
=
N
X1
mi ~vi =
mi (~vtra + ω
~ × ~ri )2
2
2
N
X
1
i=1
2
2
i=1
N
X
mi ~vtra 2 +
i=1
N
X
1
mi (~
ω × ~ri )2 +
mi ~vtra · (~
ω × ~ri )
2
i=1
5.2 Kinetische Energie und Trägheitstensor eines starren Körpers
49
Mit:
M=
N
X
Spatprodukt
mi ;
|
~ ) · ~ri ;
~vtra · (~
ω × ~ri ) = (~vtra × ω
N
1 X
~
R=
mi ~ri
M
(Schwerpunkt)
i=1
i=1
folgt:
T =
1
2
M~vtra
2
| {z }
N
X
mi
+
|i=1
Translationsenergie
Im
2
(~
ω × ~ri )2
{z
Rotationsenergie
TT
~
Schwerpunktsystem (R
= 0)
~
(~v × ω
~ ) · MR
| tra {z
}
+
wechselseitige Energie
}
TR
durch Translation
(~vtra )
TW ,
bestimmt
und Rotation (ω
~)
gilt dann:
N
X mi
1
T = TT + TR = M~vtra 2 +
(~
ω × ~ri )2
2
2
kinetische Energie des starren Körpers
i=1
Bemerkung:
Wird ein starrer Körper in mindestens einem Punkt festgehalten, so reduziert
sich seine kinetische Energie auf die Rotationsenergie (Euler Theorem).
5.2.2 Trägheitstensor
Die Rotationsenergie lässt sich schreiben als:
“
”2
“
”2
~a × ~b = ~a2 ~b 2 − ~a · ~b
TR =
=
=
=
=
N
h
i
X1
1
mi (~
ω × ~ri )2 =
mi ω
~ 2~ri 2 − (~
ω · ~ri )2
2
2
i=1
i=1

!
!
!2 
3
N
3
3
X
X
X
X
1
mi 
ωk ωk
rim rim −
ωk rik 
2
m=1
i=1
k=1
k=1
" 3 3 3
#
N
3 X
3
X1
XX X
X
mi
(ωk ωl rim rim δkl ) −
(ωk rik ωl ril )
2
i=1
k=1 l=1 m=1
k=1 l=1
( 3 3 " 3
#
)
N
XX X
X
1
(rim rim δkl ) − rik ril ωk ωl
mi
2
i=1
k=1 l=1 m=1
( N
" 3
#)
3
3
XX 1 X
X
mi
(rim rim δkl ) − rik ril
ωk ωl
2
m=1
i=1
k=1 l=1
|
{z
}
N
X
=: Ikl =
b
3
=
3
1 XX
1
Ikl ωk ωl =
Ikl ωk ωl
2
2
k=1 l=1
Bemerkung:
Trägheitstensor
Summenkonvention
i ist der Teilchenindex nicht der Komponentenindex.
5 Der starre Körper
50
Bemerkung:
Beachte, dass hier
ωk , ωl
die Komponenten von
ω
~
in einem körperfesten KS
sind.
Der (diskrete)
↔
I
Trägheitstensor lautet explizit:

(−ri1 ri3 )
(ri2 2 + ri3 2 ) (−ri1 ri2 )
=
mi  (−ri2 ri1 ) (ri1 2 + ri3 2 ) (−ri2 ri3 ) 
i=1
(−ri3 ri1 )
(−ri3 ri2 ) (ri1 2 + ri2 2 )

 

N
I11 I12 I13
−rix riy
−rix riz
riy 2 + riz 2
X
−riy riz  =  I21 I22 I23 
rix 2 + riz 2
=
mi  −riy rix
i=1
I31 I32 I33
−riz rix
−riz riy
rix 2 + riy 2

N
X
Denition:
Die Diagonalelemente des Trägheitstensors heiÿen
Nichtdiagonalelemente
Trägheitsmomente, die
Deviationsmomente
In der Praxis besteht ein starrer Körper aus sehr(!) vielen Massenpunkten, und es ist daher
zweckmäÿig von einer diskreten auf eine kontinuierliche Darstellung überzugehen d.h. von einer
Summation über die einzelnen Massenpunkte auf eine Integration über das Volumen
V
des
starren Körpers:
Ikl =
N
X
3
X
"
mi
i=1
N
X
#
δkl − rik ril
rim rim
i=1
|
=
!
{z
=~
ri 2
mi ri 2 δkl − rik ril
}
i=1
Der Übergang zur kontinuierlichen Darstellung gelingt mit der Einführung der Massendichte
ρ(~r)
mit
M=
R
ρ(~r) dV
als (Gesamt-) Masse des starren Körpers:
Z
Ikl =
ρ(~r) ~r 2 δkl − rk rl dV
V
z.B.
Bemerkung:
=
|
y
3
X
ρ(x1 , x2 , x3 )
kartesische Koordinaten
!
xm xm δkl − xk xl
dx1 dx2 dx3
m=1
Im (oft vorliegenden) Fall einer konstanten Massendichte gilt natürlich:
Z
Ikl = ρ̄
~r 2 δkl − rk rl dV ;
ρ̄ =
M
V
V
Bemerkung:
Wie die Bezeichnung Trägheitstensor andeutet, beschreibt der Tensor die
↔
Trägheit eines starren Körpers bei seiner Bewegung. Damit kommt
I
diejenige
Rolle zu, die die Masse bei der Beschreibung der Bewegung einer Punktmasse
hat. Oensichtlich ist der Trägheitstensor durch die Massenverteilung in einem
starren Körper bestimmt.
5.2 Kinetische Energie und Trägheitstensor eines starren Körpers
51
Anwendungsbeispiele:
(A) Bewegung eines geworfenen Buches (Steins, Pakets):
Translationsbewegung (
=
b
Wurfparabel) und Rotationsbewegung. Letztere ist durch den
Trägheitstensor bestimmt. In Bezug auf den Schwerpunkt gilt mit
ρ = const.:
z = x3
y = x2
3
X
Z
Ikl = ρ
ec
s.
las
nik
M
+ 2c
b
k
dV
a
Z Z+ 2 Z+ 2
x = x1
− xk xl
m=1
V
ha
!
x2m δkl
= ρ
− 2c
a
− 2b − 2
3
X
!
x2m δkl − xk xl
dx1 dx2 dx3
m=1
Abb. 5.2: Buchschwerpunkt
Trägheitsmomente:
yh
i
x21 + x22 + x23 δ11 − x1 x1 dx1 dx2 dx3
y
y
= ρ
x22 + x23 dx1 dx2 dx3 = ρ
y 2 + z 2 dx dy dz
I11 = Ixx = ρ
c
a
c
b
Z+ 2 Z+ 2
Z2
2
y +z
dx
= ρ
− a2
− 2c
2
Z+ 2 dy dz = ρ a
1 3
y + z2 y
3
− 2c
− 2b
+ b
2
dz
− 2b
c
#
" #
Z+ 2 " 3
3
c 3
b
2 b
2
2
= ρa
+ z 2 b dz = ρ a
c+
b
3 2
3 2
3 2
− 2c
1 3
1 3
M 2
= ρa
b c+ c b =
b + c2
12
12
12
Analog:
I22 = Iyy =
ρ=
M
V
=
M
abc
M 2
a + c2 ;
12
I33 = Izz =
M 2
a + b2
12
Deviationsmomente:
=
yh
i
x21 + x22 + x23 δ12 − x1 x2 dx1 dx2 dx3
y
y
−ρ
x1 x2 dx1 dx2 dx3 = −ρ
x y dx dy dz
I12 = Ixy = ρ
b
Z+ 2 =
−ρc
− 2b
1 2
x
2
+ a
Z
2
dy = − ρ c
− a2
Analog verschwinden alle anderen Deviationsmomente.
0 dy = 0
5 Der starre Körper
52
⇒
Die Achsen eines kantenparallelen Koordinatensystems (hier mit Ursprung im
Schwerpunkt des starren Körpers) sind
ches:
↔
Is
(B)
Hauptträgheitsachsen (s.u.) des Bu-

b2 + c2
0
0
M

0
a2 + c2
0
=
12
2
2
0
0
a +b

Anders ist die Situation, wenn die Drehung des Buches z.B. um eine Achse durch einen
Eckpunkt erfolgt (ρ
= const.):
y
z
ik
an
ss.
M
h
ec
kla
x
Abbildung 5.3: Eckpunktaufhängung
Trägheitsmomente:
I11 = ρ
Zc Zb Za 0
0
2
y +z
2
Zc dx dy dz = ρ a
1 3
2
b + z b dz
3
0
0
1 3
1
= ρa
b c + b c3
3
3
M 2
=
b + c2
3
ρ=
M
abc
Analog ergibt sich:
I22 =
M 2
a + c2 ;
3
I33 =
M 2
a + b2
3
Deviationsmomente:
I12 = −ρ
y
Zb
x y dx dy dz = −ρ c
0
1 2
1
1
M
a y dy = −ρ c a2 b2 =
− ab
2
2
2
4
ρ=
(andere analog)
Insgesamt also:

↔
I Eck


= M


1 2
3 (b
+ c2 )
− 14 a b
− 14 a c
− 14 a b
1 2
3 (a
+ c2 )
− 14 b c
− 14 a c

− 14 b c





1 2
3 (a
+ b2 )
M
abc
5.2 Kinetische Energie und Trägheitstensor eines starren Körpers
Bemerkung:
53
Statt beide Trägheitstensoren direkt zu berechnen kann man auch den
Stei-
ner'schen Satz ausnutzen, der einen Zusammenhang zwischen Trägheitstensoren eines starren Körpers, die in achsenparallelen Koordinatensystemen berechnet werden, herstellt. Sei
x̃1 = x1 + a1 ;
~a
ein Verschiebungsvektor mit
x̃2 = x2 + a2 ;
x̃3 = x3 + a3 ;
~a = (a1 , a2 , a3 ) = const.
dann gilt:
↔
I 0+~a
=

a22 + a23 −a1 a2 −a1 a3
+ M  −a2 a1 a21 + a23 −a2 a3 
−a3 a1 −a3 a2 a21 + a22

↔
I0
bzw:
↔
I 0+~a
=
↔
I0
kl
Bemerkung:
+M
kl
3
X
!
a2m δkl − ak al
m=1
Der Trägheitstensor ist symmetrisch, d.h. es gilt
Ikl = Ilk . Diese Symmetrie im-
pliziert, dass er stets auf Diagonalform gebracht werden kann (im Prinzip durch
Einführung eines neuen, gedrehten Koordinatensystems, siehe aber auch den
folgenden Abschnitt), also
0 = I0 δ .
Ikl
kl kl
Die neuen Koordinatenachsen heiÿen
Hauptträgheitsachsen und die Elemente in

 
I1 0 0
I11 0
0
I =  0 I22 0  =  0 I2 0 
0 0 I3
0
0 I33
↔
heiÿen

Hauptträgheitsmomente
Um Ordnung in die Fülle der möglichen Bewegungen starrer Körper zu bringen, sind folgende
Begrisbildungen hilfreich:
Denition:
Ein rotierender starrer Körper heiÿt
mente gleich (z.B.
I1 = I2 6= I3
Kreisel. Sind zwei Hauptträgheitsmo-
), spricht man von einem
Kreisel (z.B. Zylinder, Scheibe). Gilt sogar
um einen
symmetrischen
I1 = I2 = I3
handelt es sich
Kugelkreisel (z.B. Würfel, Kugel). Wirken äuÿere Kräfte liegt ein
schwerer Kreisel vor, sonst ein freier Kreisel.
Zur weiteren Beschreibung eines starren Körpers sind wichtig der ...
5 Der starre Körper
54
5.3 Drehimpuls und Drehimpulssatz
Für einen starren Körper, der nur rotiert, gilt:
~E =
L
N
X
mi~ri × ~vi =
i=1
N
X
mi~ri × (~
ω × ~ri ) = ω
~
i=1
N
X
mi (~ri )2 −
i=1
N
X
mi~ri (~ri · ω
~)
i=1
In kartesischen Koordinaten hat man

 2




N
LEx
yi + zi2 −xi yi
−xi zi
ω1
ω1
X
 LEy  =
mi  −yi xi x2i + zi2 −yi zi   ω2  = Ikl  ω2 
i=1
LEz
−zi xi
−zi yi x2i + yi2
ω3
ω3

Bemerkung:
Der
Der Gesamtdrehimpuls ist
~ =L
~B + L
~E
L
,
mit
~B =
L
b Bahndrehimpuls
Eigendrehimpuls kann also mit dem Trägheitstensor in Verbindung gebracht werden:
↔
~E = I ω
L
~
Bemerkung:
Der Eigendrehimpuls ist im Allgemeinen nicht parallel zur Winkelgeschwindigkeit
Bemerkung:
Eigendrehimpuls des starren Körpers
⇒
mathematisch schwierige Behandlung.
Im Unterschied zu einem einzelnen MP verschwindet die Wirkung der auf einen
Körper einwirkenden Kräfte nicht notwendigerweise dann, wenn die Summe der
Kräfte verschwindet, sondern es kann zu einem resultierenden Drehmoment
kommen:
~ = ~r1 × F~ + ~r2 × − F~ = (~r1 − ~r2 ) × F~ 6= 0
M
, wenn
Ein starrer Körper ist also nur dann im Gleichgewicht, wenn
X
F~i = 0 und
i=1
Natürlich gilt auch der
X
~ri × F~i = 0.
i=1
Drehimpulssatz:
~
dL
~˙ = M
~ ext = M
~
=L
dt
Insbesondere gilt (bezogen auf den Schwerpunkt):
~˙ E = M
~
L
Schwerer Kreisel
~˙ E = 0
L
Freier Kreisel
~r1 6= ~r2
5.3 Drehimpuls und Drehimpulssatz
55
Der Zusammenhang zwischen Eigendrehimpuls und Winkelgeschwindigkeit bietet einen einfachen Weg, die Hauptträgheitsmomente eines starren Körpers zu bestimmen. Es gilt nämlich:


I 0 0
ω1
 0 I 0   ω2 
ω3
0 0 I

↔
~E = I ω
L
~=
wenn
~ E || ω
L
~
und damit für diesen Spezialfall
↔
Eigenwertgleichung für den Tensor
~E = I ω
L
~ = I~
ω
und seine (skalaren) Eigenwerte
↔
I
Iλ
Das heiÿt weiter:
I11 ω1 + I12 ω2 + I13 ω3
I21 ω1 + I22 ω2 + I23 ω3
I31 ω1 + I32 ω2 + I33 ω3
Die Hauptträgheitsmomente
=
=
=
I ω1
I ω2
I ω3
I1,2,3
I11 − I
I12
I13
I21
I
−
I
I23
22
I31
I32
I33 − I
Als ein
)
(I11 − I) ω1 + I12 ω2 + I13 ω3 = 0
I21 ω1 + (I22 − I) ω2 + I23 ω3 = 0
I31 ω1 + I32 ω2 + (I33 − I) ω3 = 0
(
⇔
folgen dann aus der Lösbarkeitsbedingung
=0
also
als
Lösungen
einer
kubischen
Gleichung. Man kann dann zeigen, dass
die
zugehörigen
zueinander sind
Drehachsen
orthogonal
(Hauptachsen).
Beispiel für eine typische Kreiselbewegung betrachten wir den gyroskopischen
Eekt (=
b Präzession ): oenbar erfolgt die Änderung des Eigendrehimpulses in Richtung
des einwirkenden Drehmoments, d.h.:
~
~˙ E = dLE = M
~
L
dt
⇒
~E = M
~ dt
dL
z
1
0
0
1
0
1
0
1
0
→1
0
0
1
ω1
p
0
1
0
1
0
1
0
1
→
0
1
0000000
1111111
M = ae→x
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
1111
0000
dϕ
1111111
0000000
→
0000000
1111111
0000000
1111111
LE
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
x mg→
a
x
→
→
dLE || M
→
mg
Abbildung 5.4: Gyroskopischer Eekt
y
5 Der starre Körper
56
Für ein
drehendes Rad auf einem Hebelarm der Länge
⇒
Mit
dϕ =
dLE
M
=
dt
LE
LE
und es gilt vektoriell:
Ähnlich gilt für die
a
gilt dann:
~ = ~r × F~ = a ~ex × (−mg) ~ez = a m g ~ey
M
~ | = M = a m g ⇒ dL
~ E = M dt ~ey
|M
ωp =
folgt:
dϕ
M
=
dt
LE
Präzessionsfrequenz
~E = M
~.
ω
~p × L
Präzession der Erde:
Solare Gravitation
> Zentrifugalkraft
LE
0000
1111
0000
1111
00000
11111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
11
00
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
11
00
0000
1111
0000
1111
111111
000000
0000
1111
1
0
Solare Gravitation
< Zentrifugalkraft
Abbildung 5.5: Präzession der Erde
Gesamtdrehmoment führt zur Rotation von Drehimpulsvektor
~E
L
mit
ωp ≈
26000 Jahren
(Platonisches Jahr)
Zur systematischen Untersuchung der Kreiselbewegung betrachtet man ...
5.4 Die Eulerschen Gleichungen
Der Drehimpulssatz für den starren Körper
~˙ E = M
~
L
in einem Inertialsystem
Σ
0
rotierenden System Σ :
d
dt
~E + ω
~E = M
~
L
~ ×L
Σ0
↔
Mit
~E = I ω
L
~
folgt
↔
Iω
~˙ + ω
~×
↔
Iω
~
~
=M
Insbesondere gilt im Hauptachsensystem:

 
 
 

I1 ω̇1
ω1
I1 ω1
M1
 I2 ω̇2  +  ω2  ×  I2 ω2  =  M2 
I3 ω̇3
ω3
I3 ω3
M3
⇔
I1 ω̇1 + (I3 − I2 ) ω2 ω3 = M1
I2 ω̇2 + (I1 − I3 ) ω1 ω3 = M2
I3 ω̇3 + (I2 − I1 ) ω1 ω2 = M3
Euler'sche Gleichungen
lautet im
5.4 Die Eulerschen Gleichungen
Bemerkung:
57
Die Euler'schen Gleichungen sind nichtlinear. Einfach analytische Lösungen
~ = 0)
(M
lassen sich lediglich für den Fall des freien Kreisels
Beispiel:
angeben
Symmetrischer freier Kreisel
~ =0
M
I1 = I2 6= I3 ;
I1 ω̇1 + (I3 − I1 ) ω2 ω3 = 0
I1 ω̇2 + (I1 − I3 ) ω1 ω3 = 0
I3 ω˙3
= 0
⇒
I1 ω̈1 + (I3 − I1 ) ω˙2 ω3 = 0
I2 ω̇2 + (I1 − I3 ) ω1 ω3 = 0
⇒
ω3 = const. ⇒
d
dt (. . .)
(I)
(II)
(II) in (I):
(I3 − I1 )2 2
ω̈1 +
ω3 ω1 = 0
I12
⇒
ω̈1 + ω02 ω1 = 0
⇔
⇒
ω0 =
I3 − I1
ω3
I1
ω1
ω2
Folglich führt die Rotationsachse in den Komponenten
mit der Eigenfrequenz
Bemerkung:
ω0
und
harmonische Schwingungen
aus.
Für einen Kugelkreisel
I1 = I2 = I3
ω0 = 0,
folgt
d.h. es ergibt sich keine
Schwingung.
Anwendung:
Polbewegung der Erde
Wegen der Abplattung des Erdkörpers ist die Erde kein Kugelkreisel, sondern ein symmetrischer
Kreisel, der als Rotationsellipsoid genähert werden kann. Die Hauptträgheitsmomente eines
Rotationsellipsoids sind:
⇒
Mit
ω3 = 2π/24
die sogenannte
I1 = I2 =
ω0 =
M 2
5 (b
+ c2 ); I3 =
M
2
5 (a
+ b2 )
I3 − I1
a2 + b2 − b2 − c2
a2 − c2
ω3 =
ω
=
ω3
3
I1
b2 + c2
b2 + c2
Stunden und
a = b = 6378
km (Äquator) und
c = 6357
km (Pol) folgt
Chandler'sche Periode zu:
T =
2π
≈ 304 Tage
ω0
Die Abweichung von der tatsächlich beobachteten Periode
stand, dass die Erde nicht wirklich ein starrer Körper ist.
∼ 433
Tagen beruht auf dem Um-
5 Der starre Körper
58
5.5 Lagrangefunktion des Starren Körpers
Geeignete generalisierte Koordinaten
qs
(s.o.) sind die sogenannten
Eulerschen Winkel, die
(bei Beschränkung auf Rotation) die Orientierung eines körperfesten Koordinatensystems relativ zu einem (ruhenden) Inertialsystem angeben. Haben beide Koordinatensysteme ihren
Ursprung im festen Punkt eines starren Körpers, so gilt
~r 000 = A−1 ~r
⇔


  
 
x 000
cos ψ sin ψ 0
1
0
0
cos ϕ sin ϕ 0
x
 y 000  =  − sin ψ cos ψ 0   0 cos ϑ sin ϑ   − sin ϕ cos ϕ 0   y 
0
0
1
0 − sin ϑ cos ϑ
0
0
1
z
z 000
{z
}|
{z
}|
{z
} | {z }
| {z } |

körperfes-
Drehung um
Drehung um
Drehung um
Inertial-
tes System
z 00 -Achse
x0 -Achse
z -Achse
system
Die Drehwinkel
ϕ, ϑ, ψ
heiÿen
Euler'sche Winkel.
Für die Winkelgeschwindigkeit
ω
~
hat man die Darstellung:
ω
~ = ωϕ ~ez + ωϑ ~ex0 + ωψ ~ez 00 = ϕ̇ ~ez + ϑ̇ ~ex0 + ψ̇ ~ez 00
Da im körperfesten System
ω
~ = ω1 ~ex000 + ω2 ~ey000 + ω3 ~ez 000
ω1 = ϕ̇ sin ϑ sin ψ + ϑ̇ cos ψ ;
Da die Rotationsenergie durch
grangefunktion:
L=T −V
=
+
+
Bemerkung:
1
2 I1
1
2 I2
1
2 I3
ω2 = ϕ̇ sin ϑ cos ψ − ϑ̇ sin ψ ;
1
1
1
TR = I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32
2
2
2
ϕ̇ sin ϑ sin ψ + ϑ̇ cos ψ
2
(ϕ, ϑ, ψ)
so, dass
A)
:
ω3 = ϕ̇ cos ϑ + ψ̇
gegeben ist, folgt für die La-
2
ϕ̇ sin ϑ cos ψ − ϑ̇ sin ψ
2
ϕ̇ cos ϑ + ψ̇ − V (ϕ, ϑ, ψ)
Wählt man
folgt (mit
− ∂V
∂ψ = M3
Lagrangefunktion
rotierenden
des
starren
Körpers (Kreisels)
das Drehmoment um die
z 000 -
Achse
angibt, folgt die 3. Euler'sche Gleichung (s.o.). Die beiden anderen LagrangeGleichungen 2. Art sind
Gleichungen.
nicht identisch mit den beiden anderen Euler'schen
5.5 Lagrangefunktion des Starren Körpers
59
60
5 Der starre Körper
Teil II
Theoretische Elektrodynamik
62
5 Der starre Körper
1 Historische Einführung
Elektrische und magnetische Wechselwirkungen waren bereits im alten Griechenland (v.Chr.)
bekannt:
•
Reibungselektrizität bei Bernstein (gr.: ηλεκτ ρoν = Elektron)
•
Eisenanziehung durch Magnetstein (aus der Provinz µαγνησια = Magnesia)
.
.
.
1186
Alexander Neckham:
erste geschriebene Erwähnung eines Kompass
1269
Pierre de Maricourt:
Magnet-Pole (Experiment mit kugelförmigen Magneten)
1600
William Gilbert:
- Erde ist selbst ein Magnet
⇒
Erklärung für den Kompass
- nicht nur Bernstein zeigt Reibungsanziehung
- Vorschlag diese Kraft elektrisch zu nennen
1663
Otto von Guericke:
ebenfalls elektrische Abstoÿung
1785
Charles Aug. Coulomb:
F~ ∼
1820
Hans Chr. Oersted:
elektrischer Strom hat magnetische Wirkung
1830
André-Marie Ampère:
~ ×B
~ ∼ ~j
∇
1831
Michael Faraday:
~ ×E
~ ∼
∇
1873
James Clerk Maxwell:
Maxwell-Gleichungen
1881
Joseph John Thompson:
F~ =
1889
Oliver Heaviside:
~
F~ = q (~v × B)
1891
Hendrik A. Lorentz:
~ + ~v × B)
~
F~ = q (E
Bemerkung:
Der
Aufbau
der
qQ
(~r
|~
r−~
rq |3
1
2
− ~rq )
~
∂B
∂t
~
q (~v × B)
Vorlesung
erfolgt
nach
der
Formulierung
Gleichungen analog zur geschichtlichen Entwicklung:
•
Aufstellung der Maxwell-Gleichungen
•
Elektrostatik (ρ
•
Magnetostatik (ρ
•
Elektrodynamik (ρ
6= 0, ~j = 0,
∂
∂t
6= 0, ~j =
6 0,
= 0)
∂
∂t
6= 0, ~j =
6 0,
= 0)
∂
∂t
6= 0)
der
Maxwell-
1 Historische Einführung
64
Zur Einordnung der Elektrodynamik
. . . ins Studium:
Eine der vier Theorievorlesungen:
klassische Mechanik, klassische Elektrodynamik, Quantenmechanik, statistische Physik
. . . in die Physik:
Beschreibung einer der vier fundamentalen Wechselwirkungen:
gravitative W.:
Alltagserfahrung, Planetensystem, . . .
elektromagn. W.:
Alltagserfahrung, Atombau, Technik, . . .
schwache W.:
β -Zerfall,
starke W.:
Kernkräfte
Neutrinooszillationen
makroskopisch
mikroskopisch
. . . in die Vereinheitlichung physikalischer Theorien:
Erste gelungene Vereinheitlichung ursprünglich verschiedener Gesetze der Physik:
klassische Elektrodynamik
=
b
Theorie der Elektrizität, des Magnetismus und der Optik
. . . in die Feldtheorie:
Existenz
elektromagnetischer Strahlung belegt die Realität von elektrischen und
magnetischen Feldern (unabhängig von ihren Quellen). Statt der Untersuchung der Kräfte
zwischen elektrischen Ladungen steht die Untersuchung der elektrischen und magnetischen
Felder selbst im Vordergrund.
2 Die Maxwell-Gleichungen
2.1 Die Grundgesetze der Elektrodynamik
Vor der Aufstellung der Maxwell-Gleichungen wurden die Grundgesetze der Elektrodynamik
zunächst individuell formuliert:
2.1.1 Das Coulomb-Gesetz
Coulomb fand 1785 experimentell für die Kraft zwischen geladenen Kugeln mit der Ladung
und
q
Q:
→ →
r − rq
q
→
Q
→
F~ = k
F
qQ
(~r − ~rq )
|~r − ~rq |3
Coulomb-Gesetz
→
rq
r
Abbildung 2.1: Kraftrichtung
falls
q
und
Q
sich abstoÿen, also, wie bereits früher erwähnt (vgl. Mechanik Kapitel 2.3.2),
eine zum Gravitationsgesetz analoge Form, die aber (je nach Vorzeichen von
q
und
Q)
beide
Kraftrichtungen zulässt.
Bemerkung:
Die Gültigkeit des Coulomb-Gesetzes ist gut bestätigt (siehe z.B. Rebhan
12.1.7, S.427):
~ =0
• E
innerhalb eines Faraday'schen Kägs
•
QED:
~ ∼
m = 0 ⇔ |E|
•
Messung:
•
Abstand von Spektrallinien liefert Gültigkeit bis
1
r2
m . 8 · 10−52 kg,
gültig bis
r ≈ 2, 5 · 108 m
r ≈ 10−17 m
Daraus folgt, dass das Coulomb-Gesetz über mindestens 25 Gröÿenordnungen
gültig ist.
Bemerkung:
Ein Wort zu den Einheiten (siehe z.B. Jackson): Man unterscheidet das
cgs- bzw. Gauÿ-System:
k=1
cm, g, s abgeleitet
1
−12 As
k = 4πε
;
ε
0 = 8, 8542 · 10
Vm
0
(Coulomb): 1 C = 1 As
Ladungseinheit (statcoulomb) ist aus
SI- bzw. MKSA-System:
Ladungseinheit
2 Die Maxwell-Gleichungen
66
Um die elektrische Wechselwirkung mit den anderen fundamentalen Wechselwirkungen zu vergleichen (vgl. Mechanik Kapitel 2.3.1), ist eine Energiebetrachtung hilfreich:
Z
Idee:
Energie = Kraft
F~ · d~s
· Weg =
Man hat für
•
die
elektrostatische Wechselwirkungsenergie zweier Ladungen
r
stand
•
die
voneinander:
im Ab-
typische Bindungsenergie der Kernkraft mit der Lichtgeschwindigkeit
c = 2, 9979 · 108 m
s
h c
c
We = 2π
=
~
r
r
•
We =
q =Q=e
1 e2
4πε0 r
und dem Planck'schen Wirkungsquantum
Wg = G
die gravitative Energie zwischen zwei Protonen:
h = 6, 6261 · 10−34 Js:
m2p
r
so dass
We
Wk
We
Wg
also
=
=
e2
1
= α≈
4πε0 ~c
137
e2
= 1, 23 · 1036
4πε0 Gm2p
W g We Wk
Bemerkung:
(=
b
Sommerfeld'sche Feinstrukturkonstante)
gilt.
Die Tatsache, dass die Gravitation trotz ihrer Schwäche im Alltag bedeutsam
ist, deutet auf einen extrem guten Ladungsausgleich hin.
Bereits hier lässt sich der Begri der
elektrischen Felder einführen, wenn man nämlich die
Coulomb-Kraft als Wirkung eines Feldes (der Ladung
~ r)
F~ = Q E(~
mit
~ r) :=
E(~
q)
auf die Ladung
Q
interpretiert:
1
q
(~r − ~rq )
4πε0 |~r − ~rq |3
Die Felddenition erfolgt hier formal aus praktischen Gründen, sagt aber nichts über die
tatsächliche Existenz von elektrischen Feldern aus. Das wird erst mit dem Nachweis elektromagnetischer Wellen möglich (vgl. Elektrodynamik).
Mit Hilfe des Feldbegris lässt sich auch eine
Integraldarstellung des Coulomb-Gesetzes an-
geben. Der Felduss durch eine geschlossene Fläche um eine felderzeugende Ladung
Ursprung) ist gegeben durch (∂V
Z
=
b
~ · df~
E
∂V
Oberäche eines Volumens
=
q
4πε0
Z
V = VKugel
q
(im
V ):
~er
q
· ~er r2 dΩ =
2
r
ε0
gegeben. Verallgemeinert man noch von einer auf mehrere Ladungen, so gilt gemäÿ des (experimentell gefundenen) Superpositionsprinzips:
Z
ε0
~ · df~ =
E
X
Z
qi =
∂V
Das ist die
Integralform des Coulomb-Gesetzes.
ρ dV = QV
V
2.1 Die Grundgesetze der Elektrodynamik
67
2.1.2 Das Ampère-Gesetz
Oersted fand 1820, dass ein stationärer elektrischer Strom magnetische Wirkung erzeugt.
Ampère formulierte diesen Befund zehn Jahre später mathematisch. Für einen unendlich lan-
I~ = I~ez
gen, geraden, vom Strom
durchossenen Leiter gilt:
I
~ = µ0 I ~eϕ ; µ0 = 4π · 10−7 V s =
B
b
2πr
Am
→
B
r
Permeabilität
des Vakuums
Abbildung 2.2: Magnetfeldrichtung
Allgemeiner gilt für die Zirkulation des Magnetfeldes
I
Z
C
C
~ · d~s = µ0 I
B
2π
Z
C
~:
B
1
r dϕ = µ0 I
r
Ampère-Gesetz
Abb. 2.3: Zirkulation
Für beliebige, ausgedehnte Ströme gilt mit der
1
µ0
Das ist die
Z
~ · d~s =
B
∂A
Z
Stromdichte
~
~j · dA
~j :
Z
mit:
I=
A
~
~j · dA
A
Integralform des Ampère-Gesetzes. Es zeigt sich weiter, dass für das magne-
tische Feld immer gilt:
Z
~ · df~ = 0
B
∂V
im Unterschied zum elektrischen Feld also keine magnetischen Ladungen existieren.
2.1.3 Das Faraday-Gesetz
1831 beobachtete Faraday, dass durch zeitlich veränderliche Ströme in benachbarten Stromkreisen ein Strom induziert wird. Faraday betrachtete drei Anordnungen:
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
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111111111111
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111111111111
000000000000
111111111111
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111111111111
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111111111111
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111111111111
000000000000
111111111111
→
000000000000
111111111111
B
000000000000
111111111111
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
→1111111111111
0000000000000
v1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
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1111111111111
0000000000000
1111111111111
→
0000000000000
1111111111111
B
0000000000000
1111111111111
→
v
I
I
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
→
000000000000
111111111111
B
000000000000
111111111111
I
(a) Bewegter Stromkreis im Ma-
(b) Bewegter Magnet und ruhen-
(c) Veränderliches Feld eines
gnetfeld
der Stromkreis
ruhenden Magneten und ruhender Stromkreis
Abbildung 2.4: Verschiedene Anordnungen
In allen drei Fällen ieÿt im Stromkreis ein Strom
des magnetischen Flusses
elektrische Feld
φm
~ · dA
~,
= AB
R
I
als Folge der zeitlichen Änderungen
und Faraday fand für das den Strom erzeugende
2 Die Maxwell-Gleichungen
68
Z
∂A
Diese Gleichung ist das
Bemerkung:
~ · d~s = − dφm = − d
E
dt
dt
Z
~ · dA
~
B
A
Faraday-Gesetz.
Maxwell postulierte später, dass das Faraday-Gesetz unabhängig von der
Leiterschleife existiert, also ein zeitlich veränderliches Magnetfeld grundsätzlich
ein elektrisches Feld induziert.
2.1.4 Quellenfreiheit des Magnetfeldes
Coulomb und Zeitgenossen glaubten zunächst, dass auch Magnetfelder durch magnetische Ladungen erzeugt würden und formulierten eine magnetische Version des Coulomb-Gesetzes.
Ampère war der Erste, der der Idee nachging, dass alle magnetischen Eekte auf bewegte
elektrische Ladungen zurückgeführt werden können, d.h. dass magnetische Ladungen nicht existieren. Der 2. Teil der Aussage ist soweit bisher bekannt korrekt. Dies bedeutet (in Analogie
zur Integralform des Coulomb-Gesetzes, vgl. E-Dynamik Kapitel 2.1.1), dass gilt:
Z
~ · df~ = 0
B
∂V
d.h.
ρmag = 0
Bemerkung:
bzw.
QV,mag = 0.
Die Aussage der obigen Gleichungen kann man sich mit der Vorstellung veranschaulichen, dass jede magnetische Feldlinie eine geschlossene Kurve ist (ggf.
erfolgt die Schlieÿung im Unendlichen) bzw. dass der magnetische Fluss
φm
durch eine geschlossene Oberäche verschwindet.
2.2 Mathematischer Exkurs: Vektoranalysis
Ein unverzichtbares Hilfsmittel der Theoretischen Physik und (im Vergleich zur klassischen Mechanik) besonders für die Elektrodynamik ist die Vektroranalysis. Für letztere äuÿerst nützlich
ist
2.2.1 Der Nabla-Operator und die vektoranalytischen Operatoren
Erinnerung:
Zur Beschreibung von Feldern und der Untersuchung ihrer Eigenschaften wird
der Nabla-Operator deniert:
∂ ∂ ∂
, ,
(kartesische Koordinaten)
∂x ∂y ∂z
1 ∂
∂
∂
= ~er
+ ~eϕ
+ ~ez
(Zylinder-Koord.)
∂ρ
r ∂ϕ
∂z
= ...
~ =
∇
2.2 Mathematischer Exkurs: Vektoranalysis
Mit Hilfe des
~ -Operators
∇
69
bildet man
- den Gradient eines skalaren Feldes:
~
grad Φ = ∇Φ
- die Divergenz eines Vektorfeldes:
~ = ∇
~ ·A
~
div A
- die Rotation eines Vektorfeldes:
~ = ∇
~ ×A
~
rot A
- den Laplace-Operator:
~ · ∇Φ
~
div grad Φ = ∇
= ∆Φ
.
und es gilt anschaulich:
→→
∇ A
→ →
∇x A
Vektorfeld
∆φ
Skalares Feld
→
∇φ
Abbildung 2.5: Der Nabla-Operator
(vgl. mathematische Methoden der Physik)
2.2.2 Der Gauÿ'sche Satz
~ ist der
~ · d∂V
A
~ durch die geschlossene Oberäche ∂V eines Volumens V . Man kann
Fluss des Vektorfeldes A
sich diesen Fluss zusammengesetzt denken aus den Flüssen Φix , Φiy und Φiz durch die Seiten
kleiner, das Volumen V ergebende (Elementar-)Würfel mit Volumen ∆τ , also:
... kann wie folgt anschaulich motiviert werden (vgl. 2.1.1 und 2.1.4):
Φ=
R
∂V
∆y
Φ=
X
{Φix + Φiy + Φiz }
∆z
Ax (x+ ∆x, y, z)
Ax (x, y, z)
i
x
x+ ∆x
Abbildung 2.6: Fluss durch Quader
Für einen Würfel
(∆x = ∆y = ∆z)
gilt:
∆Ax
Φix = Ax (x + ∆x, y, z) − Ax (x, y, z) ∆x∆y =
∆x∆y∆z
∆x
Da das Gleiche für die
y−
und
z−Richtung
Φi = Φix + Φiy + Φiz =
∆x∆y∆z = ∆τ
∆Az
∆Ax ∆Ay
+
+
∆τ
∆x
∆y
∆z
gilt folgt mit der Wahl
:
2 Die Maxwell-Gleichungen
70
Nimmt man alle Würfel zusammen und berücksichtigt, dass sich die Beiträge der innenliegen-
∆x → 0, ∆y → 0, ∆z → 0
den Seiten wegheben, erhält man im Grenzfall
Z
~ · df~ =
A
X ∆Ax
lim
∆x → 0
∆y → 0
∆z → 0
∂V
∆Ay
∆Az
+
+
∆x
∆y
∆z
i
Z
:
~ dV Gauÿ'scher Satz
div A
∆τ =
V
2.2.3 Der Stokes'sche Satz
... kann ebenso einfach motiviert werden (vgl. II.2.1.2):
Feldes
(∆F )i ,
~
A
um die Fläche
F
ZF =
R
∂F
~ · d~s
A
ist die Zirkulation des
herum. Zerlegt man letztere in (Elementar-) Quadrate mit Fläche
so gilt
ZF
X
=
ZFi =
XZ
i
i
X
=
~ · d~s
A
ZFix + ZFiy
A y (x+ ∆x, y, z)
A y (x, y, z)
(∆F )i
i
∆x
Abbildung 2.7: Zirkulation um Fläche
Für ein Quadrat gilt:
ZFiy
=
Ay (x + ∆x, y, z) − Ay (x, y, z) ∆y
ZFix
=
− Ax (x, y + ∆y, z) + Ax (x, y, z) ∆x
∆Ay
∆Ax
−
∆x
∆y
∆Ay
∆x∆y
∆x
∆Ax
= −
∆x∆y
∆y
=
und somit
ZF i =
∆x∆y =
∆Ay
∆Ax
−
∆x
∆y
∆Fi = ∆x∆y
~ez · ∆Fi~ez
was verallgemeinert werden kann zu:
~ 0 · ∆F~i
ZFi = A
mit
und
~0 =
A
∆F~i
∂F
~ex +
∆Ax ∆Az
−
∆z
∆x
~ey +
= ∆y∆z ~ex + ∆z∆x ~ey + ∆x∆y ~ez
Daraus erhält man im Grenzfall
Z
∆Ay
∆Az
−
∆y
∆z
∆x, ∆y, ∆z → 0
~ · d~s =
A
Z
F
~ · dF~
rot A
insgesamt (nach Sum.):
Stokes'scher Satz
∆Ay
∆Ax
−
∆x
∆y
~ez
2.3 Anwendung der Sätze von Gauÿ und Stokes
71
2.3 Anwendung der Sätze von Gauÿ und Stokes
Aus der Integralform des Coulomb-Gesetzes folgt mit dem Gauÿ'schem Satz:
Z
~ · f~ =
E
ε0
Z
Z
~ dV
div E
ρ dV = ε0
∂V
V
V
~ = ρ
⇒ div E
ε0
Gauÿ'sches Gesetz
Analog folgt für ein Magnetfeld:
Z
Z
~ · df~ = 0
B
=
∂V
⇒
~ dV
div B
V
~ =0
div B
keine magnetischen Ladungen
Aus der Integralform des Ampère-Gesetzes folgt mit dem Stokes'schen Satz:
1
µ0
Z
~ · d~s =
B
Z
∂A
~= 1
~j · dA
µ0
A
~ = µ0~j
⇒ rot B
Z
~ · dA
~
rot B
A
Ampère'sches Gesetz
Analog folgt für ein elektrisches Feld:
Z
~ · d~s = − d
E
dt
∂A
~
~ = − ∂B
⇒ rot E
∂t
Z
~ · dA
~=
B
A
Z
~ · dA
~
rot E
A
Faraday'sches Gesetz
Damit sind die Grundgesetze der Elektrodynamik in dierentieller Form bereitgestellt.
2.4 Der Maxwell'sche Verschiebungsstrom
Die in 2.3 formulierten Dierentialgleichungen für das elektrische und magnetische Feld enthalten noch einen inneren Widerspruch. Aufgrund der Erfahrungstatsache (Messung!), dass die
(~j = ρ ~v )
Z
Z
Z
Z
∂ρ
~j · df~ = − d
dV =
ρ dV = −
div ~j dV
dt V
∂V
V ∂t
V
Ladung eine Erhaltungsgröÿe ist, gilt
also
∂ρ ~ ~
+∇·j =0
∂t
Nun ist aber wegen
Kontinuitätsgleichung
div rot = 0:
1 ~
~ = ~j
∇×B
µ0
⇒
1 ~ ~
~ =∇
~ · ~j = 0
∇· ∇×B
µ0
⇒
∂ρ
=0
∂t
Das bedeutet, diese Gleichung kann nur für stationäre Systeme gelten. Maxwell's Idee war es
nun wegen
~ ·E
~ =ρ
εo ∇
zu schreiben:
~
~ · ~j + ∂ρ = ∇
~ · ~j + ε0 ∂ ∇
~ ·E
~ =∇
~ · ~j + ∇
~ ε0 ∂ E
∇
∂t
∂t
∂t
!
(
)
~
∂
E
~ ~j + ε0
=∇
=0
∂t
2 Die Maxwell-Gleichungen
72
und die rechte Seite des Ampère'schen Gesetzes entsprechend zu erweitern:
~
~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E
rot B
∂t
Der Term
~
ε0 ∂∂tE
Bemerkung:
wird
Maxwell'scher Verschiebungsstrom genannt.
Eine entsprechende Überlegung für
~ ×E
~ = − ∂ B~
∇
∂t
liefert keinen
Widerspruch, denn
~ ×E
~ =∇
~ ·
~ · ∇
∇
~
∂B
−
∂t
!
=−
∂ ~ ~ ∇·B =0
∂t
2.5 Die Maxwell-Gleichungen
... die also lauten:
1
ρ(~r, t)
ε0
~ r, t) = 0
div B(~
~
~ r, t) = − ∂ B(~r, t)
rot E(~
∂t
~
~ r, t) = µ0 ~j(~r, t) + µ0 ε0 ∂ E(~r, t)
rot B(~
∂t
~ r, t) =
div E(~
und die
Lorentz-Kraft
h
i
~ r, t) + ~v (~r, t) × B(~
~ r, t)
F~ (~r, t) = q E(~
sind die
vollständigen Grundgleichungen der Elektrodynamik im Vakuum (Beachte:
ρ 6= 0, ~j 6= 0).
Bemerkung:
Die
Maxwell-Gleichungen in Materie lauten (nicht weiter in der Vorlesung
behandelt):
~ r, t) = ρ(~r, t)
div D(~
~ r, t) = 0
div B(~
~ r,t)
~ r, t) = − ∂ B(~
rot E(~
∂t
~ r, t) = ~j(~r, t) +
rot H(~
Die Gröÿe
ε
und
µ
~ r, t) = ε0 εE(~
~ r, t)
D(~
Material-Gleichungen
~ r,t)
∂ D(~
∂t
~ r, t) = µ0 µH(~r, t)
B(~
werden als Dielektrizitätskonstante bzw. Permeabilität
bezeichnet und können im Allgemeinen auch Tensoren sein. Für
erhält man oenbar die Vakuum-Gleichungen. Die
ε = µ = 1
Lorentzkraft-Gleichung
schreibt man für den Materiefall zweckmäÿig als Kraftdichte-Gleichung:
h
i
~ r, t) + ~v (~r, t) × B(~
~ r, t)
f~(~r, t) = ρ(~r, t) E(~
2.5 Die Maxwell-Gleichungen
Bemerkung:
73
Lorentzkraft anschaulich plausibel:
Die Bewegung von
Magnetfeld um
~v
q
erzeugt einen Strom entlang
~v .
Dieser Strom erzeugt eine
herum, das ein äuÿerlich anliegendes homogenes Magnetfeld
auf der einen Seite verstärkt und auf der anderen Seite schwächt.
Der dadurch erzeugte Symmetriebruch macht eine seitliche Kraft plausibel.
→
B
→
q
v
→
→
|B| oben > |B| unten
=> Symmetriebruch
→
Bq
Abbildung 2.8: Lorentzkraft
Bemerkung:
Eine eindeutige Lösung der Maxwell-Gleichungen erfordert Randbedingungen.
Diese sind grundsätzlich durch
~ r) = 0 ;
lim E(~
|~
r|→∞
~ r) = 0
lim B(~
|~
r|→∞
gegeben. Zusätzlich gibt es Randbedingungen an (physikalisch oder mathematisch motivierten) Grenzächen an Orten
|~r| < ∞.
Randwertprobleme werden später behandelt.
Die damit verbundenen
74
2 Die Maxwell-Gleichungen
3 Elektrostatik
∂
ρ 6= 0, ~j = 0,
= 0, so dass die Maxwell-Gleichungen
∂t
)
~ =0
~ = ρ ; div B
div E
~ = 0 (wegen Randbedingung)
ε0
⇒B
~
~
rot E = 0 ; rot B = 0
. . . ist charakterisiert durch
Es gibt also nur ein (statisches) elektrisches Quellenfeld
es gibt verschiedene
~
E
lauten:
mit verschwindender Rotation, und
Möglichkeiten zur Berechnung von
~ r)
E(~
:
(i) mit Hilfe des Gauÿ'schen Satzes aus dem Coulomb-Gesetz
(ii) durch direkte Lösung der 1. Maxwell-Gleichung
(iii) durch Anwendung des Superpositionsprinzips auf das Coulomb-Gesetz
(iv) aus dem zu einem Problem gehörenden elektrostatischen Potential
Diese Alternativen seien zunächst allg. und dann jeweils an einem konkreten Beispiel erläutert.
3.1 Anwendung des Gauÿ'schen Satzes
Oenbar gilt (vgl. 2.2.2):
~ =
div E
Z
⇔
~ · df~ =
E
∂V
ρ
⇒
ε0
qV
;
ε0
Z
~ dV =
div E
V
df~ = df ~n ;
1
ε0
Z
ρ dV
V
~n =
b Flächennormaleneinheitsvektor
∂V des Volumens V mit der eingeschlossenen Ladung qV
~ = E ~n mit E = |E|
~ = const. gilt, ist das Problem gelöst, denn:
E
Z
Z
qV
~
~
~ = qV ~n
E · df = E
df =
⇒ E
ε0
ε0 O V
∂V
∂V
Gelingt es nun, die Oberäche
wählen, dass auf ihr
Beispiel:
Homogen geladene Kugel
0

Q
3Q

=
= const. ; |~r| ≤ R

V
4πR3
ρ=


0
; |~r| > R
ρ=0
ρ = const
V=
→
r
R
4
3
πR³
qV = Q
Abbildung 3.1: Kugel
so zu
3 Elektrostatik
76
Entsprechend unterscheidet man zweckmäÿigerweise:
(|~r| ≤ R)
- das Feld im Innenraum
(|~r| > R)
- das Feld im Auÿenraum
Für Letzteres gilt (V
Z
∂V
= Kugel mit beliebigem Radius r)
Z
Q
1 Q
~
~
r2 dΩ = Ea 4πr2 =
⇒ Ea =
E · df =
Ea
ε0
4πε0 r2
∂V
~ = Ea~er ; df~ = r2~er dΩ
E
Für den Innenraum
Z
∂V
(|~r| ≤ R)
~ · df~ = Ei 4πr2 = ρ
E
ε0
ndet man:
Z
dV =
∂V
4
3Q
· πr3
3
ε0 4πR 3
⇒
Ei =
1 Qr
4πε0 R3
Also insgesamt:
~ r) =
E(~

1 Qr


~e ; |~r| ≤ R

 4πε0 R3 r




1 Q
~er
4πε0 r2
; |~r| > R
Abbildung 3.2: E-Feldverlauf
Bemerkung:
Dieses Feld verwendet man u.a. als einfaches Modell für einen Atomkern.
3.2 Direkte Lösung der 1. Maxwell-Gleichung
Zu lösen ist das Dierentialgleichungssystem
ρ
ε0
~
rot E = 0
~ =
div E
Lösung (wie immer!) durch Wahl geeigneter Koordinaten mit den jeweiligen Randbedingungen.
3.3 Superpositionsprinzip und Coulomb-Gesetz
77
Homogen geladene Kugel (s.o.)
Beispiel:
Wähle sphärische Polarkoordinaten (=
b Kugelkoordinaten):
~ r) = E(r) ~er
E(~
⇒
Damit gilt für den Innenraum
~ =∇
~ ·E
~ =
div E
(|~r| ≤ R)
1 d 2
r E(r)
2
r dr
:
1 d 2
d 2
ρ
ρr2
⇒
(r
E
)
=
(r
E
)
=
i
i
r2 dr
ε0
dr
ε0
Z
ρ 1 3
ρ r
1 Qr
ρ r 02 0
r dr =
r
⇒ Ei =
=
⇒ r2 Ei =
ε0 0
ε0 3
ε0 3
4πε0 R3
|
ρ = const.
Für den Auÿenbereich
(|~r| > R)
1 d 2
(r Ea ) = 0 ⇒
r2 dr
ndet man:
d 2
const.
(r Ea ) = 0 ⇒ r2 Ea = const. ⇒ Ea =
dr
r2
Die Anschlussbedingung (siehe 3.6.1)
const. ! 1 Q
=
R2
4πε0 R2
⇒
!
Ea = Ei
const. =
bei
Q
4πε0
|~r| = R
⇒
liefert:
Ea =
1 Q
4πε0 r2
Also wie vorher:
~ r) =
E(~

1 Qr


~e ; |~r| ≤ R

 4πε0 R3 r




1 Q
~er
4πε0 r2
; |~r| > R
3.3 Superpositionsprinzip und Coulomb-Gesetz
Das Coulomb-Gesetz für die Kraft
F~ ,
die eine Ladung
q
auf eine Testladung
Q
ausübt, lautet
wie gesehen (vgl. 2.1.1):
F~ (~r) =
was die (von
Q
unabhängige) Denition des elektrischen Feldes
~ r) =
E(~
der Ladung
q
qQ
1
(~r − ~rq )
4πε0 |~r − ~rq |3
1
q
(~r − ~rq )
4πε0 |~r − ~rq |3
nahe legt. Für das Gesamtfeld mehrerer (N ) Ladungen gilt gemäÿ des Superpo-
sitionsprinzips:
~ r) =
E(~
N
X
i=1
~ i (~r) =
E
N
1 X
qi
(~r − ~ri )
4πε0
|~r − ~ri |3
i=1
3 Elektrostatik
78
Daraus folgt schlieÿlich für eine kontinuierliche Ladungsverteilung
~ r) =
E(~
Bemerkung:
1
4πε0
ρ(~r 0 )(~r − ~r 0 )
1
dV =
|~r − ~r 0 |3
4πε0
Z
V
Z
V
ρ(~r):
ρ(~r 0 )(~r − ~r 0 ) 3 0
d r
|~r − ~r 0 |3
Die Kraft auf eine Ladungsverteilung ist somit
F~ =
Z
~ r) d3 r
ρ(~r) E(~
R3
wobei die Gesamtladung durch
Z
Q=
ρ(~r) d3 r
R3
gegeben ist.
Beispiel:
Homogen geladene Kugel (s.o.)
Im Innenraum
(|~r| ≤ R)
gilt:
ρ
4πε0
~ r) =
E(~
Z2π Zπ ZR
0 0 0
ρ = const.
ρ
2π
4πε0
=
~ez k ~r
Z1 ZR
(~r − ~r 0 ) 0 2
r sin ϑ dr0 dϑ dϕ
|~r − ~r 0 |3
√
−1 0
(~r − ~r 0 ) r0 2
dr0 dcos ϑ
r2 + r0 2 − 2rr0 cos ϑ 3
= ...
Man erhält also einen vergleichsweise komplizierten Ausdruck, in dem nicht
zuletzt Vektoren die Integration verkomplizieren. Daher neue Idee:
3.4 Das elektrische Potential
Aus der (bisher nicht benutzten) Gleichung
~ r).
∇Φ(~
Dieses skalare Feld
Φ(~r)
~ =∇
~ ×E
~ = 0 folgt, dass E(~
~ r) ∼ grad Φ(~r) =
rot E
kann aus (vgl. 3.3):
~ r) =
E(~
1
4πε0
Z
V
ρ(~r 0 )(~r − ~r 0 ) 3 0
d r
|~r − ~r 0 |3
mit der vektoranalytischen Identität
~ ~r
∇
1
|~r − ~r 0 |
=−
~r − ~r 0
|~r − ~r 0 |3
wie folgt bestimmt werden:
Z
1
1
~
−ρ(~r) ∇~r
d3 r0
4πε0 V
|~r − ~r 0 |
Z
Z
1 ~
ρ(~r)
1
ρ(~r)
3 0
~
= −
∇~r
d r = −∇~r
d3 r0
0
0|
4πε0
|~
r
−
~
r
|
4πε
|~
r
−
~
r
0
V
V
~ r) =
E(~
3.4 Das elektrische Potential
79
Demnach gilt:
~ r) = −∇Φ(~
~ r)
E(~
Φ(~r) =
mit
Damit lautet die 1. Maxwell-Gleichung
1
4πε0
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
V
ρ(~r 0 ) 3 0
d r + const.
|~r − ~r 0 |
in der Elektrostatik äquivalent
∆Φ = −
und ist als
Z
~ ·∇
~ = ∆):
(∇
ρ
ε0
Poisson-Gleichung bekannt.
Die Umkehrung von
~ r) = −∇Φ(~
~ r)
E(~
führt auf die nützliche Beziehung
Z~r
Φ(~r) = −
~ r 0 ) · d~s
E(~
~
r0
Wegen
~ ×E
~ =0
∇
ist das Integral wegunabhängig:
Z
I
~ × E)
~ · dA
~=
(∇
A
~ · d~s = 0
E
∂A
P
1
0
0 1
1
C1
Zb
C2
11
00
11
00
~ · d~s
E
gleich für Weg (I) und (II)
a
P0
Abbildung 3.3: Beliebige Wege
Bemerkung:
Die Kenntnis des elektrostatischen Potentials
des elektrostatischen Feldes
~ r).
E(~
Φ(~r)
ist äquivalent zur Kenntnis
Die Tatsache, dass ein skalares Feld
dieselbe Information enthält wie ein vektorielles
~ r)),
(E(~
ziellen Form des Vektorfeldes, welches nicht beliebig ist, sondern
~ ×E
~ =0
∇
erfüllt.
Beispiel:
Homogen geladene Kugel (s.o.)
Es gilt:
Φ(~r) =
ρ
4πε0
Z2π Zπ ZR
0
=
|
~e k ~r
z
ρ
2π
4πε
0
0 0
ZR Z1
0 −1
1
r02 sin ϑ dr0 dϑ dϕ
|~r − ~r 0 |
√
(Φ(~r))
liegt hier an der spe-
r02
dcos ϑ dr0
2
02
0
r + r − 2rr cos ϑ
3 Elektrostatik
80
Trick! |
=
ZR Z1
ρ
2ε0
d
dcos ϑ
1
√
dcos ϑ dr0
... − 0
rr
0 −1
ρ
= −
2ε0 r
ZR
0
=
r02
r0 |r − r0 | − |r + r0 | dr0
|8
{z
}
< −2 rr 0 ; r < r 0
=
: −2 r 0 2 ; r ≥ r 0

Rr 0 2 0 RR 0 0



r dr + rr dr ; r ≤ R

ρ
r
0
R
R
ε0 r 

02
0

; r>R
 r dr
0
ρ=
3Q
4πR3
|
=

2
r
3 1
Q
1 3
r2
r2
Q



+
=
·
; r≤R
−
−

4πε0 R3

2 R R3
4πε0 2 R R3
1 Q
4πε0 r





; r>R
Daraus folgt für das elektrische Feld
~ r) =
E(~
~ = −∇Φ
~ :
E

1 Qr


~e ; |~r| ≤ R

 4πε0 R3 r




1 Q
~er
4πε0 r2
; |~r| > R
3.5 Die mathematische Beschreibung einer Punktladung: die
δ -Funktion
Zur formalen Beschreibung des elektrostatischen Feldes und Potentials einer Punktladung
es notwendig, die entsprechende Ladungsverteilung
einer Punktladung am Ort
~rq ,
dass
ρ(~r)
ρ(~r)
nur an einem Punkt ungleich Null ist, also:
ρ(~r) =

 0 ; ~r 6= ~rq

? ; ~r = ~rq
mit
Z
ρ(~r) d3 r =
V

 q

;
0 ;
falls
~rq
in
V
sonst
Das Gewünschte leistet die (Dirac'sche) Delta-Funktion:
ρ(~r) = q δ 3 (~r − ~rq )
Z
mit
V
q
ist
zu denieren. Oenbar gilt im Falle
δ 3 (~r − ~rq ) d3 r =

 1 ;

0 ;
falls
~rq
sonst
in
V
3.5 Die mathematische Beschreibung einer Punktladung: die δ -Funktion
Demnach ist
δ 3 (~r −~rq ) = 0 für ~r 6= ~rq
81
δ 3 (0) = ∞). Es gibt verschiedene
(und anschaulich(!) gilt
Darstellungen der Delta-Funktion als Grenzwert von Funktionenfolgen. Am Anschaulichsten
ist der eindimensionale Fall, wo z.B. gilt:
δ(x − x0 ) = lim
η→0+
1
η
2
π η + (x − x0 )2
In der Tat gilt hier:
Z∞
Z∞
δ(x − x0 ) dx = lim
η→0+
−∞
−∞
1
η
1
dx = lim
arctan
2
2
η→0+ π
π η + (x − x0 )
=
b δ(x − x0 ) =
x − x0
η
0
∞
;
;
+∞
=1
−∞
x 6= x0
x = x0
Abbildung 3.4: Funktionenfolge
Es gelten folgende
Beziehungen für die eindimensionale
δ -Funktion:
Z∞
f (x)δ(x − a) dx = f (a)
−∞
Zx2
f (x)δ(x − a) dx =
f (a) ;
0
;
falls
x1 < a < x 2
a < x1 ∨ a > x2 )
sonst (also
x1
Zr1
f (r)δ(r) dx = f (0)
aber
für
r1 > 0
in Polarkoordinaten
0
δ(kx) =
δ(f (x)) =
1
δ(x)
|k|
X
1
i
|f 0 (xi )|
xi =
δ(x − xi )
einfache Nullstelle von
f (x): f (xi ) = 0, f 0 (xi ) 6= 0
d
H(x − a)
dx
0 ; x<0
H(x) =
1 ; x>0
δ(x − a) =
Abbildung 3.5: Heaviside-Funktion
3 Elektrostatik
82
und
für die 3-D
δ 3 -Funktion:
Z
f (~r) δ 3 (~r − ~a) d3 r = f (~a)
R3
0
~
r
=
const.
0
~
r
=
0
1
~r − ~r 0
~r
1 ~
~
δ (~r − ~r ) =
∇~r ·
∇~r ·
=
4π
|~r − ~r 0 |3
4π
|~r|3
1
1
δ 3 (~r − ~r 0 ) = − ∆~r
4π
|~r − ~r 0 |
3
0
Damit gilt formal für Feld und Potential einer Punktladung
~ r) =
E(~
1
4πε0
Z
ρ(~r 0 ) = q δ 3 (~r 0 − ~rq )
=
=
q
bei
~r 0 = ~rq
(vgl. 3.3 und 3.4):
ρ(~r 0 )(~r − ~r 0 ) 3 0
d r
|~r − ~r 0 |3
Z 3 0
δ (~r − ~rq )(~r − ~r 0 ) 3 0
q
d r
4πε0
|~r − ~r 0 |3
q
1
(~r − ~rq )
4πε0 |~r − ~rq |3
bzw.:
Φ(~r) =
=
=
Z
1
ρ(~r 0 ) 3 0
d r
4πε0
|~r − ~r 0 |
Z 3 0
δ (~r − ~rq ) 3 0
q
d r
4πε0
|~r − ~r 0 |
q
1
4πε0 |~r − ~rq |
3.6 Randwertprobleme
Wie bereits in 2.5 bemerkt, erfordert eine eindeutige Lösung der Maxwell-Gleichungen (oder
der im Falle der Elektrostatik äquivalenten Poisson-Gleichung) Randbedingungen. Neben den
grundsätzlichen (natürlichen) elektrostatischen Randbedingungen
~ r) = 0
lim E(~
|~
r|→∞
und
lim Φ(~r) = 0
|~
r|→∞
gibt es häug physikalisch bedingte oder mathematisch motivierte zusätzliche Randbedingungen an Grenzächen innerhalb des Integrationsgebietes bei
0 < |~r| < ∞.
Diese sind stets
künstlich und müssen mit den Maxwell-Gleichungen verträglich sein, das heiÿt aus denselben
folgen. Dazu betrachten wir das
3.6 Randwertprobleme
83
~ r) und Φ(~r) an Grenzächen
3.6.1 Verhalten von E(~
Grenzächen treten auf, wenn sich Materie im Integrationsgebiet bendet. Man unterscheidet
prinzipiell:
Leiter
=
b
Isolatoren
=
b
Materialien, in denen sich ein oder mehrere Elektronen pro Atom frei bewegen können.
Materialien, in denen jedes Elektron an ein bestimmtes Atom gebunden ist
und bleibt.
Wir beschränken uns hier auf Leiter und leitende Grenzächen. Die Isolatoren (ein Beispiel ist
die homogen geladene Kugel) werden in der so genannten Elektrodynamik in Materie behandelt (siehe Hauptvorlesung).
Für einen
(i)
Leiter gelten folgende Aussagen:
~ r) = 0 innerhalb des Leiters:
E(~
~0
Aufgrund eines äuÿeren Feldes E
werden die freien Elektronen verschoben mit dem
Eekt des Aufbaus einer positiven und negativen Ladungsanhäufung am Leiterrand. Die
Elektronenbewegung verschwindet, wenn das durch die induzierten Ladungen erzeugte
Feld
Fall
~ i im Leiter das äuÿere Feld E
~ 0 gerade kompensiert. Damit ist im elektrostatischen
E
~
~
~
E(~r) = E0 + Ei = 0 im Inneren des Leiters, einschlieÿlich seiner Oberäche.
→
Ε0
Leiter
−
−
−
−
−
→
Ε1
+
+
+
+
+
Abbildung 3.6: Leiter im elektrostatischen Feld
(ii)
ρ(~r) = 0 innerhalb des Leiters:
~ = div ~0 = 0 = ρ ⇒ ρ = 0
Wegen div E
ε0
(iii)
Die gesamte Nettoladung bendet sich an der Leiteroberäche:
Das ist der einzige Ort, wo sie sein kann...
(iv)
Ein Leiter ist ein Äquipotential , d.h.
Oberäche. Wegen
(v)
Φ(~r) = const.
~
~
E = 0 = −∇Φ ⇒ Φ = const.
im Leiter einschlieÿlich der
~ r) ist direkt auÿerhalb des Leiters senkrecht zu seiner Oberäche:
E(~
Andernfalls gäbe es eine Komponente parallel zur / an der Oberäche im Widerspruch
zu (i).
Bemerkung:
Aussage (v) folgt auch aus (iv), denn Feldlinien stehen gemäÿ
~ = −∇Φ
~
E
stets
senkrecht auf Äquipotentialächen.
Bemerkung:
Die Aussagen (i) und (ii) gelten insbesondere auch für ausgehöhlte Leiter:
der Hohlraum ist feld- und ladungsfrei (=
b Faraday'scher Käg).
3 Elektrostatik
84
Flächenladung motiviert. Das Beispiel der
Mit Aussage (iii) ist erstmals der Begri der
~ =E
~i = 0
E
~
~
auf E = Ea 6= 0). Dieses unstetige Verhalten kann allgemein mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen
Leiteroberäche zeigt, dass
~ r)
E(~
am Ort einer Flächenladung springt (hier von
bestimmt werden:
l
{
ε
→
E⊥2
σ
→
E ||2
→
A
E ||1
F
{
ε
→
E⊥1
Abbildung 3.7: Flächenladung
Sei
~1 = E
~ k1 + E
~ ⊥1 =
E
b
~2 = E
~ k2 + E
~ ⊥2 =
E
b
Feld unterhalb der Flächenladungsdichte
σ
Feld oberhalb der Flächenladungsdichte
σ
Durch Anwendung des Gauÿ'schen Satzes auf ein hinreichend kleines quaderförmiges Volumen
V =A·
ndet man:
I
∂V
⇒ E⊥2 − E⊥1 =
σ
ε0
~ · df~ = QV
E
ε0
→0 |
⇔
(E⊥2 − E⊥1 ) A =
1
σA
ε0
=
b Unstetigkeit der Senkrechtkomponente, wenn σ 6= 0
Anwendung des Stokes'schen Satzes auf eine hinreichend kleine Fläche liefert:
~ ×E
~ =0 ⇒
∇
→0 I
~ · d~s = 0
E
|
⇔
Ek2 l − Ek1 l = 0
∂F
⇒ Ek2 = Ek1
=
b Parallelkomponente immer stetig
Insgesamt gilt demnach (~
n=
b Flächennormaleneinheitsvektor):
~2 − E
~ 1 = σ ~n
E
ε0
Verhalten des elektrischen Feldes an Grenzächen
Für das elektrische Potential folgt sofort:
Rb
~ · d~s = 0
Φ2 − Φ1 = − E
a
a=b
Stetigkeit des Potentials
3.6 Randwertprobleme
85
da die Weglänge gleich Null wird. Das Potential ist also stetig an geladenen Grenzächen. Nicht
so sein Gradient, denn wegen
~ = −∇Φ
~
E
gilt natürlich:
~ 2 − ∇Φ
~ 1 = − σ ~n
∇Φ
ε0
Bemerkung:
Obige Ergebnisse erklären nun, dass wir bei der homogen geladenen Kugel
(Nichtleiter!) keine Unstetigkeiten gefunden haben: dort gibt es keine geladenen
Grenzächen, sondern nur eine ausgedehnte Ladungsverteilung.
Bemerkung:
Natürlich ist eine Flächenladung eine mathematische Idealisierung, weil:
(a) Ladungsträger selbst eine Ausdehnung haben (Ionen!) und
(b) die Anordnung der Ladungsträger nicht in einer unendlich dünnen Schicht
erfolgt (sondern üblicherweise in einer Schicht der Dicke von 1-2 Atombzw. Moleküldurchmessern). Allerdings sind diese Schichtdicken im Allgemeinen sehr (sehr!) viel kleiner als typische Leiterdurchmesser, so dass
die Idealisierung sinnvoll ist.
3.6.2 Poisson- und Laplace-Gleichungen
Zur Lösung elektrostatischer Probleme, bei denen sich Leiter im elektrostatischen Feld benden,
wird meist von (vgl. 3.4)
∆Φ(~r) = −
ρ(~r)
ε0
Poisson-Gleichung
∆Φ(~r) = 0
Laplace-Gleichung
allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung erhält man formal aus
ausgegangen. Die
Φ(~r) = Φhomog (~r) + Φinhomog (~r)
wobei
Φhomog (~r)
die allgemeine Lösung der homogenen Poisson-Gleichung, also der Laplace-
Gleichung ist und
Φinhomog (~r)
eine spezielle (partikuläre) Lösung der Poisson-Gleichung, und
daher
ρ(~r)
∆Φ(~r) = ∆Φhomog (~r) +∆Φinhomog (~r) = ∆Φinhomog = −
ε0
|
{z
}
=0
gilt. Die homogene Gleichung besitzt unendlich viele voneinander unabhängige Lösungen, wie
zum Beispiel:
p
2
2
Φ(~r) = Φ(x, y, z) = exp {αx + βy} sin
α +β z ;
Eine eindeutige Lösung für das Potential
bedingungen. Man unterscheidet das
Φ(~r)
α, β
beliebig
erhält man nur bei Vorgabe geeigneter Rand-
erste, zweite und dritte Randwertproblem der
Potentialtheorie je nach Art der Randbedingungen:
(1) Vorgabe der Potentialwerte am Rand
Leiter(n) eingeschlossenen Volumens
Φ
Ai
∂V =
PN
i=1 Ai eines von einem (oder mehreren)
V:
= Φi = const. =
b Dirichlet-Problem
3 Elektrostatik
86
(2) Vorgabe der Normalkomponente des Potentialgradienten auf dem Rand:
∂Φ
σ
~
~n · ∇Φ
=−
=
∂n
ε
R
|
0
~ =
~n·∇
∂
∂n
=
b von Neumann-Problem
(3) Vorgabe einer Kombination gemäÿ (1) und (2) auf verschiedenen Teilstücken des Randes
(kombiniertes) Dirichlet- von Neumann-Problem
=
b
Bemerkung:
Das in der Elektrostatik häugste Randwertproblem ist das Dirichlet-Problem,
auf das im Folgenden der Schwerpunkt gelegt wird.
Bemerkung:
Bei Vorgabe von
Φ
und
∂Φ
∂n an derselben Stelle des Randes spricht man von
Cauchy-Randbedingungen, bei denen das Problem in Ausnahmen überbestimmt ist.
Das Problem der Lösung der Poisson-Gleichung in einem gegebenen Volumen besteht also in
der Berechnung:
(a) einer partikulären Lösung
(b) der allgemeinen Lösung
Φinhomog (~r)
Φhomog (~r)
der Poisson-Gleichung
der Laplace-Gleichung
Im Rahmen der Vorlesung wird nur auf eine Methode näher eingegangen, nämlich
3.6.3 Die Methode der Spiegelladung(en)
. . . bedient sich des Potentials einer ktiven Ladungsverteilung auÿerhalb des betrachteten Volumens, welche eine einfache Erfüllung der Randbedingungen auf dem Rand des Volumens
erlaubt. Die Grundidee von Spiegelladungen (=
b Bild-, Scheinladungen) ist also die Ersetzung
des Problems
Bestimme
Φ(~r)
in V bei vorgegebenen
ρ(~r 0 )
und vorgegebenen Randbedingungen auf
∂V .
durch das Problem:
Bestimme
Φ(~r)
in V bei vorgegebenen
ρ(~r 0 )
und vorgegebenen Spiegelladungen (deren
Hinzunahme die Erfüllung der Randbedingungen garantiert).
Die Methode sei an einem einfachen
Standardbeispiel illustriert, nämlich einer Punktladung
vor einer (geerdeten), unendlich ausgedehnten, planaren Metalloberäche:
Φ=0
b
Φ(x = 0) = 0.
Das betrachtete Volumen V ist der Halbraum für x ≥ 0.
Die Erdung der Metallplatte garantiert
q
x
qb
a
Abbildung 3.8: geerdete Platte
3.6 Randwertprobleme
87
Das Dirichlet-Problem lautet:
∆Φ(~r) = −
q
δ (~r − a ~ex )
ε0
Φ(x = 0, y, z) = 0
lim Φ(~r) = 0
|~
r|→∞
Aus Symmetrieüberlegungen bietet sich eine Positionierung einer zweiten Punktladung, also
der Bildladung
qb
bei
~r = −b ~ex
an, so dass gilt:
1
Φ(~r) =
4πε0
Die Idee ist nun, die Unbekannten
b
1
Φ(x = 0, y, z) = 0 =
4πε0
und
q
qb
+
|~r − a ~ex | |~r + b ~ex |
qb
aus der Randbedingung bei
(
!
q
x=0
qb
zu bestimmen:
)
p
+p
(0 − a)2 + y 2 + z 2
(0 + b)2 + y 2 + z 2
was durch
b=a
qb = −q
und
erfüllt werden kann. Demnach erfüllt:
1
Φ(~r) =
4πε0
die Randbedingung bei
∆
n
1
|~
r−a ~ex |
o
x = 0
= −4π δ (~r − a ~ex )
q
q
−
|~r − a ~ex | |~r + a ~ex |
und es gilt oenkundig auch
lim|~r|→∞ Φ(~r) = 0.
Da zudem
gilt, ist die eindeutige Lösung des Problems gefunden.
Interessant ist nun meist die Berechnung
(i) des elektrischen Feldes
~ r)
E(~
in
V.
(ii) der auf der Metallplatte inuenzierten Ladungsdichte
ladung
σ
und der entsprechenden Gesamt-
qinf l .
(iii) der Kraft, die von der Metallplatte auf die Ladung
q
ausgeübt wird.
Für obiges Beispiel gilt:
(i)
das elektrische Feld ergibt sich direkt aus
~ = −∇Φ
~ =
E
(ii)
q
4πε0
~r − a ~ex
~r + a ~ex
3 +
|~r − a ~ex |
|~r + a ~ex |3
die inuenzierte Flächenladung erfüllt
ε0 q
~
σ = −ε0 E
(x = 0, y, z) = −
4πε0
Es gilt somit auch:
lim|~r|→∞ σ(~r) = 0
(
2a
p
3
a2 + y 2 + z 2
)
=−
q
a
p
2π a2 + y 2 + z 2 3
3 Elektrostatik
88
Veranschaulichung für q>0:
Φ=0
→
E
σ
q
x
Abbildung 3.9: Ladungsverteilung auf geerdeter Metallplatte mit Punktladung davor
Die gesamte auf der Metallplatte inuenzierte Ladung ist dann:
Ebene Polarkoordinaten:
y = r cos φ, z = r sin φ
Z∞ Z∞
qinf l =
Z∞
σ(y, z) dy dz = 2π σ(r) r dr
−∞ −∞
q
= −2π
2π
0
Z∞
√
0
(iii) Die
ar
a2 + r2
3
1
dr = +qa √
2
a + r2
∞
= −q
0
Kraft auf die Ladung q ergibt sich schlieÿlich aus (Spiegelladungs-Feld!)
q2
1
q2
F~ = −
(a
~
e
+
a
~
e
)
=
−
~ex
x
x
4πε0 |a ~ex + a ~ex |3
16πε0 a2
und zeigt also in Richtung Metallplatte.
Bemerkung:
Es gibt zahlreiche weitere Beispiele zur erfolgreichen Verwendung der Methode
der Spiegelladung. Dennoch bleibt sie in der Regel auf Probleme mit einfacher
Geometrie beschränkt.
Bemerkung:
Dehnt man den Gültigkeitsbereich des oben berechneten Potentials auf den
gesamten
R3
aus, handelt es sich um das Potential eines
elektrischen Dipols.
3.7 Der elektrische Dipol
89
3.7 Der elektrische Dipol
Ein System aus zwei Ladungen gleichen Betrags, aber unterschiedlichen Vorzeichens nennt man
elektrischen
Dipol. Wie in 3.6.3 gesehen ist das Dipolpotential gegeben durch:
1
Φ(~r) =
4πε0
q
q
−
|~r − ~r1 | |~r − ~r2 |
Veranschaulichung von Potential und Feld
;
mit
q
bei
~r1
und
−q
bei
~r2
~ = −∇Φ
~ :
E
Φ = const
Sei der Koordinatenursprung in der Mitte zwi-
−q
schen beiden Ladungen (Symmetrie!) dann gilt
q
ϑ
mit
d~ = ~r2 − ~r1 :
→
E
1
~r1 = − d~ ;
2
1
~r2 = + d~
2
→
r
Abbildung 3.10: elektrischer Dipol
Für das elektrostatische Potential
Φ(~r) soll stets die natürliche Randbedingung lim|~r|→∞ Φ(~r) =
0 gelten (siehe Abschnitt 3.6). Wie aber das Potential gegen Null geht, hängt von der Ladungsverteilung ρ(~
r) ab und man kann prinzipiell zwei Situationen unterscheiden:
R
(a) die Gesamtladung ist verschieden von Null: Q =
ρ(~r) d3 r 6= 0
R
(b) die Gesamtladung ist gleich Null: Q =
ρ(~r) d3 r = 0
Im Fall (a) ist anschaulich klar, dass das Potential in groÿem Abstand von der Ladungsvertei-
ρ(~r) d3 r
aus hinreichend groÿer
Wie aber ist der asymptotische Potentialverlauf falls die Gesamtladung
Q verschwindet, wie es
lung sich dem einer (Netto-) Punktladung
Q
annähert, da
R
Entfernung als solche erscheint.
gerade beim Dipol der Fall ist? Dazu macht man folgende Näherung:
"
2
2 #
d
d
1
d
|~r − ~r1,2 |2 = r2 ∓ r d cos θ +
= r2 1 ∓
cos θ +
2
r
4 r
− 1
2
1
1
d
1
d
⇒
≈
1∓
cos θ
≈
1±
cos θ
|~r − ~r1,2 |
r
r
r
2r
Damit gilt für das
√
−1
1±x
≈ 1 ∓ x2 ; |x| 1
Dipolpotential:
1
Φ(~r) ≈
4πε0
q
d
q
d
1 q d cos θ
1+
cos θ −
1−
cos θ
=
r
2r
r
2r
4πε0
r2
das heiÿt es fällt für groÿe
ab.
~
|~r| |d|
|~r| d
wie
1
1
und damit stärker als das Punktladungspotential
r
r2
3 Elektrostatik
90
Bemerkung
Analoge Überlegungen (siehe Hauptvorlesung) liefern:
q
−q
+q
−q
+q
+q
=
b
Monopol:
Φ(~r) ∝
1
r
=
b
Dipol:
Φ(~r) ∝
1
r2
=
b
Quadrupol:
Φ(~r) ∝
1
r3
=
b
Oktupol:
Φ(~r) ∝
1
r4
−q
−q
+q
+q
−q
+q
−q
−q
+q
für groÿe Abstände von diesen so genannten
Multipolen. Die zunächst für
diskrete Ladungsverteilungen durchgeführte Überlegung lässt sich auf beliebige
kontinuierliche Ladungsverteilungen übertragen. Daraus resultiert dann die so
genannte Multipolentwicklung eines elektrostatischen Potentials, mit der man
die dominanten Beiträge bestimmen und anschaulich interpretieren kann.
In der Physik ist auch der Fall
~ → 0 interessant, also ein Dipolpotential, welches man sich aus
|d|
zwei Punktladungen gleichen Betrags und unterschiedlichen Vorzeichens am selben Ort zusammengesetzt denken kann. Die Beschreibung erfolgt dann über das
elektrische Dipolmoment
p~ = q d~:
Φ(~r) =
1 q d cos θ
1 p~ · ~r
=
3
4πε0
r2
4πε
0 r
p
~ · ~r = q d r cos θ
Diese Denition kann dann auch im Grenzfall
Potential eines elektrischen Dipols
~ →0
|d|
für gegebenes
p~
verwendet werden (z.B.
können Punktteilchen ein Dipolmoment haben, obwohl ihre elektrische Ladung verschwindet).
Das elektrische Feld eines Dipols ergibt sich zu:
~ r) = −∇Φ =
E(~
Bemerkung:
1
4πε0
3 (~
p · ~r) ~r
p~
− 3
5
r
r
Feld eines elektrischen Dipols
Über seine Rolle bei der Multipolentwicklung elektrostatischer Felder hinaus
ist der Begri des Dipols auch bedeutsam in der Behandlung elektromagnetischer Strahlung. Im Rahmen der Elektrodynamik (im Unterschied zur Elektrostatik) wird die Dipolstrahlung behandelt (siehe Hauptvorlesung!)
4 Magnetostatik
. . . ist charakterisiert durch
mit der Lorentz-Kraft
ρ 6= 0, ~j =
6 0,
∂
∂t
= 0,
~ = ρ
div E
ε0
~ =0
rot E
~ + ~v × B
~ .
F~ = q E
so dass die Maxwell-Gleichungen lauten:
~ =0
div B
~ = µ0 ~j
rot B
~ nun auch ein statisches,
E
∂ρ ~ ~ ~ ~
wegen
+ ∇ · j = ∇ · j = 0 die
∂t
Es gibt demnach zusätzlich zu einem elektrostatischen Quellenfeld
~.
B
magnetisches Wirbelfeld
Diese Felder sind entkoppelt, da
Maxwell-Gleichungen nicht gekoppelt sind. Es genügt also im Folgenden die Gleichungen
~ =0
div B
~ = µ0 ~j
rot B
~
F~ = q ~v × B
zu untersuchen.
Wie im elektrostatischen Fall gibt es verschiedene Methoden, ein Magnetfeld zu berechnen:
(i) mit Hilfe des Stokes'schen Satzes aus dem Ampère-Gesetz
(ii) durch direkte Lösung der Maxwell-Gleichungen
(iii) aus dem zu einem Problem gehörenden magnetischen Vektorpotential
(iv) aus dem (verallg.) Biot-Savart-Gesetz
4.1 Anwendung des Stokes'schen Satzes
Oenbar gilt (vgl. 2.2.3):
~ = µ0 ~j
rot B
⇒
Z Z
~
~
~
~
∇ × B · dA = µ0 ~j · dA
A
Z
⇔
~ · d~s = µ0
B
Z
~;
~j · dA
A
~ = dA ~n ;
dA
A
∂A
Ist nun die Geometrie hinreichend einfach,
des Randes
~n = Flächennormaleneinheitsvektor
∂A
~
B
der stromdurchsetzten Fläche
konstant entlang des geschlossenen Weges (also
A
Z
~
) und parallel zu letzterem (B
µ0
B=
~
~j · dA
A
Z
ds
∂A
k d~s
), so gilt
4 Magnetostatik
92
Bemerkung:
Aufgrund der Wirbelnatur von
gabe von
Beispiel:
~
B = |B|
~
B
ist diese allgemeine Beziehung auf die An-
beschränkt.
gerader, mit konst. Stromdichte durchossenen Leiter mit Radius
R
→
Zylinderkoordinaten: ( r , ϕ , z )
j
∂A
(
~j(~r) =
A
r≤R
r>R
j ~ez , j = const. ;
0;
r
→
B
R
r
z
Abbildung 4.1: stromdurch. Leiter
Für das Feld im
Leiterinneren gilt:
~ = B ~eϕ ; d~s = d~r = r dϕ ~eϕ
B
Z
Z2π
~ · d~s = B r dϕ = B 2πr
⇒
B
Z
~ · d~s = µ0
B
Z
~
~j · dA
0
∂A
⇔
|
Bi 2πr = µ0 jπr2
∂A
⇒
Im
~ i = µ0 jr ~eϕ
B
2
Auÿenraum des Leiters gilt wegen
Z
~j · dA
=
jπR2
Ba 2πr
=
µ0 jπR2 =: µ0 I
(Integrand = 0 für r > R):
µ0 I
~eϕ
2πr
~a =
⇒B
Insgesamt also:
4.2 Direkte Lösung der Maxwell-Gleichungen
Zu lösen ist das Dierentialgleichungssystem
~ =0
div B
~ = µ0 ~j
rot B
Lösung (wie immer !) durch Wahl geeigneter Koordinaten und Beachtung der gegebenen Randbedingungen.
4.2 Direkte Lösung der Maxwell-Gleichungen
93
.
|B|
~ r) = Bϕ (r) ~eϕ
B(~
w 1r
wr
 µ0

j r ~eϕ ; r ≤ R
2
=
µ
I
 0 1 ~eϕ ; r > R
2π r
r
r=R
Abbildung 4.2: B-Feldverlauf
Beispiel:
gerader, mit konst. Stromdichte durchossener Leiter mit Radius
R
~ = Br~er + Bϕ~eϕ + Bz ~ez
B
∂Bϕ
∂Br
1 ∂
1 ∂Bz
∂Bz
∂Br
~
~
~er +
~eϕ +
~ez
⇒ ∇× B =
−
−
(rBϕ ) −
r ∂ϕ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
∂ϕ
Wähle wieder Zylinderkoordinaten:
Wegen
µ0 ~j = µ0 j ~ez
folgen die Gleichungen:
∂Bϕ
1 ∂Bz
−
=0
r ∂ϕ
∂z
∂Br
∂Bz
−
=0
∂z
∂r
∂Br
1 ∂
(rBϕ ) −
= µ0 j
r ∂r
∂ϕ
(I)
(II)
(III)
Die Problemsymmetrie liefert
∂
∂
=
= 0.
∂ϕ
∂z
Gleichung (I) ist daher erfüllt.
Aus Gleichung (II) folgt:
Bz 6= Bz (r) ⇒ Bz = const. = 0
|
nat. Randbed:
Gleichung (III) liefert für den
r Bϕ =
Innenraum
|~
r |→∞
(r ≤ R):
1
µ0
C1 µ 0
µ0 j r 2 + C1 ⇒ B ϕ =
jr+
=
jr
2
2
r 2
C = 0,
1
und für den
~ r) = 0
lim B(~
Auÿenraum (r
B<∞
für
r→0
> R):
rBϕ = const. ⇒ Bϕ =
wegen
C2
µ0 jR2
µ0 jπR2 µ0 I
=
=
=
r 2 r
2πr
2πr
I = jπR2
r=R:
C2 ! µ 0
µ0 2
=
jR ⇒ C2 =
jR
2
2
R
Anschlussbedingung bei
also die erwartete Lösung.
4 Magnetostatik
94
~ = 1 ∂ (rBr ) + 1 ∂Bϕ + ∂Bz = 1 ∂ (rBr ) = 0
div B
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
r ∂r
C3
Br =
= 0, da C3 = 0, wegen B < ∞ für r → 0
r
Bemerkung:
Aus
folgt noch:
4.3 Das magnetische Vektorpotential
Ähnlich wie im Falle des elektrostatischen Feldes (vgl. 3.4) legt hier die Gleichung
~ =0
div B
die Denition eines Potentials nahe:
~ ·B
~ =0
∇
ist stets erfüllt für
~ =∇
~ ×A
~
B
Damit folgt aus dem Ampère'schen Gesetz:
~ ·A
~ · ∆A
~ = µ0 ~j
~ ∇
~ ×A
~ =
~ ×B
~ = ∇
~ × ∇
∇
∇
Vektoranalytisches
BAC-CAB
,
Ähnlich wie im Falle des skalaren elektrostatischen Potentials
~ r) nicht eindeutig festgelegt:
A(~
~
~ 0 + ∇λ
~ die Gleichung:
A=A
Vektorpotential
tion
λ(~r)
mit
Φ(~r)
ist auch das magnetische
Oenbar gilt nämlich für eine beliebige Funk-
~ = ∇
~ ×A
~ = ∇
~ ×A
~0 + ∇
~ × ∇λ
~ = ∇
~ ×A
~0
B
Diese Wahlfreiheit bzgl.
λ(~r)
kann genutzt werden, um
~ ·A
~ = 0
∇
zu erreichen ( Coulomb-
Eichung, s.u. ), denn:
~ ·A
~ = ∇
~ ·A
~0 + ∇
~ · ∇λ
~
~ ·A
~ 0 + ∆λ =! 0
∇
= ∇
Dazu ist also die Funktion
λ(~r)
⇒
~ ·A
~0
∆λ = −∇
lediglich als Lösung einer Poisson-Gleichung zu bestimmen
(vgl. 3.6.3). Mit dieser Coulomb-Eichung hat man dann (s.o.)
~ ×B
~ = −∆A
~ = µ0 ~j
∇
d.h. die Komponente von
~ r)
A(~
erfüllen jeweils eine Poisson-Gleichung:
~ = −µ0 ~j
∆A
Die formale Lösung ist uns längst bekannt (siehe 3.4):
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
~j(~r 0 ) 3 0
d r
|~r − ~r 0 |
V
~ ) und Flächenströmen (K
~ ) gilt entsprechend:
Für den Spezialfall von Linien- (I
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
L
I~
dr0
|~r − ~r 0 |
;
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
A
~
K
d2 r0
|~r − ~r 0 |
4.3 Das magnetische Vektorpotential
Bemerkung:
Das Vektorpotential
95
~ r)
A(~
kann nicht (wie das elektrostatische Potential
Φ(~r))
mit einer potentiellen Energie in Verbindung gebracht werden. Das liegt an der
Tatsache, dass magnetischen Kräfte keine Arbeit leisten können.
Bemerkung:
Die Integralformeln sind nur in wenigen Fällen leicht lösbar (ähnlich wie im
elektrostatischen Fall, vgl. 3.4) und man löst daher besser direkt die (drei)
Poisson-Gleichung(en).
Bemerkung:
Obwohl im magnetischen Fall ein Vektorfeld nicht durch ein skalares Feld ersetzt werden kann, ist dennoch die Verwendung von
~ r)
A(~
vielfach nützlich,
wie sich im weiteren Verlauf der Vorlesung noch zeigen wird.
Beispiel:
gerader, mit konst. Stromdichte durchossener Leiter mit Radius
R
Die Poisson-Gleichung(en) lautet:
~ = −µ0 ~j
∆A
Es genügt, die
∆Az =
⇒ ∆Az =
Az -Komponente
1 d
r dr
⇒ Az,i (r) = −
dAz
r
dr
−µ0 j
0
zu betrachten:
; r≤R
; r>R
Innenraum
(r ≤ R):
Az < ∞ für r → 0
= − µ0 j ⇒
dAz
µ0
C1 µ 0
=− jr+
=− jr
dr
2
r
2
µ0
µ0 2
j r + C2 =
j r 2 − R2
−
4
4
Wahl
Az (R) = 0
(r > R):
d
dAz
r
=0
dr
dr
Auÿenraum
⇒
dAz
C3
=
dr
r
Wenn keine Oberächenströme bei
r = R
⇒
Az (r) = C3 ln(r) + C4
vorliegen, gelten die Anschlussbe-
dingungen (vgl. 4.6):
!
Az,i (R) = Az,a (R)
⇒
C4 = − C3 ln(R)
dAz,i ! dAz,a =
dr R
dr R
⇒
−
⇒
µ0
C3
jR =
2
R
Az,a (r) = −
⇒
r
µ0
jR2 ln
2
R
C3 = −
µ0 2
jR
2
4 Magnetostatik
96
Insgesamt demnach:
 µ
 − 0 j r2 − R2 ~ez
4
~ r) = Az (r) ~ez =
A(~
 − µ0 jR2 ln r ~ez
2
R
;
r≤R
;
r>R
Und damit schlieÿlich wieder:

µ
 + 0 j r ~eϕ
2
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r) =
B(~
 + µ0 jR2 1 ~eϕ = µ0 I ~eϕ
2
r
2πr
;
r≤R
;
r>R
4.4 Das Biot-Savart-Gesetz
Aus der Integraldarstellung des Vektorpotentials im vorherigen Abschnitt folgt eine entsprechende Darstellung für das Magnetfeld:
Z ~ 0
j(~r ) 3 0
µ0 ~
∇×
d r
4π
|~r − ~r 0 |
V
Z
µ0 ~ 0 ~
1
=
j ~r × ∇
d3 r0
−
4π
|~r − ~r 0 |
~ =∇
~ ×A
~ =
B
“
”
~ × A
~ Φ = Φ∇
~ ×A
~−A
~ × ∇Φ
~
∇
0
~ × ~j (~r ) = 0
∇
=
Z ~ 0
j (~r ) × (~r − ~r 0 ) 3 0
µ0
d r
4π
|~r − ~r 0 |3
(Verallgemeinertes)
Biot-Savart-Gesetz
Diese Beziehung ist analog zu der in 3.3 hergeleiteten für das elektrostatische Feld. Oenkundig
gilt auch für Magnetfelder das Superpositionsprinzip.
Die in der Praxis oft (meist?) unhandliche Integralformel kann durch Spezialisierung auf
Linienströme, d.h. durch
~j(~r) d3 r0 = I d~r 0
auf das ursprüngliche Biot-Savart-Gesetz (1820) reduziert werden:
~ r ) = − µ0 I
B(~
4π
Z
(~r − ~r 0 ) × d~r 0
|~r − ~r 0 |3
Biot-Savart-Gesetz für Linienströme
L
Bemerkung:
Oft wird das Biot-Savart-Gesetz nur für geschlossene Linienströme angegeben.
4.4 Das Biot-Savart-Gesetz
Beispiel:
97
gerader, Stromdurchossener, ausdehnungsloser Leiter
Wähle Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z ). Dann gilt:
z
~r 0 = z 0 ~ez
∧
⇒
→
ρe
ρ
{
→ ’
→r − r
(z − z’) →
ez
d~r 0 = dz 0 ~ez
~r − ~r 0 = ρ ~eρ + (z − z 0 ) ~ez
→
r
→
r’
⇒ (~r − ~r 0 ) × d~r 0 = −ρ ~eϕ dz 0
11
00
00
11
I
Abbildung 4.3: stromdurchossener
Leiter
Also:
~ r ) = + µ0 I
B(~
4π
Z∞
−∞
µ0
I~eϕ
=
−
4πρ
ρ ~eϕ
0
p
3 dz
2
0
2
ρ + (z − z )
−∞
Z
+∞
z − z0 = ρ t
⇒ dz 0 = −ρ dt
√
1
1 + t2
3
dt
+∞
µ0 I
t
µ0 I
= +
~eϕ √
= +
~eϕ
2
4πρ
2πρ
1 + t −∞
|
{z
}
=2
Das entspricht (natürlich!) dem oben gefundenen Ergebnis für das Magnetfeld
auÿerhalb eines geraden Drahtes endlicher Dicke.
Beispiel:
Magnetfeld im Mittelpunkt
P einer kreisförmigen Leiterschleife
In Zylinderkoordinaten gilt:
~r 0 = R ~eρ
∧
⇒
d~r 0 = R dϕ ~eϕ
~r − ~r 0 = ~0 − R ~eρ = −R ~eρ
I
→
r’
P
R
⇒ (~r − ~r 0 ) × d~r 0 = −R2 dϕ ~ez
Abbildung 4.4: Leiterschleife
4 Magnetostatik
98
Also:
~ r = 0) = + µ0 I
B(~
4π
Z2π
0
R2 ~ez
µ0 I
ez
p
3 dϕ = 2 R ~
2
(−R)
In Übereinstimmung mit der Erwartung verschwindet das Magnetfeld für
R → ∞.
4.5 Die Kraft auf einen Strom im Magnetfeld
Bisher wurde das Magnetfeld für gegebene stationäre Strom(dichte)verteilungen berechnet.
Was geschieht aber mit einem Strom, der sich im Magnetfeld einer anderen Stromverteilung
bendet? Die Antwort ergibt sich mit Hilfe des magnetischen Anteils der Lorentz-Kraft
~
q(~v × B)
auf eine Ladung:
Für mehrere Ladungsträger mit Ladung
q
mit der Teilchenzahldichte
n
(= Teilchenzahl pro
Volumen) gilt:
~j(~r 0 ) = q n(~r 0 ) ~v
so dass sich eine (Lorentz-)Kraftdichte (s.o.)
~ = ~j × B
~
f~(~r 0 ) = q n ~v × B
denieren lässt. Daraus ergibt sich unmittelbar:
F~ =
Z
f~(~r 0 ) d3 r0 =
V
Z
~ d3 r 0
~j × B
V
Dies erklärt z.B. die Anziehung/Abstoÿung von gleichsinnig/entgegengesetzt von Strom durchossenen parallelen Leitern (Schulversuch?):
→
→
F
→
F
F
→
F
Abbildung 4.5: Kraft auf stromdurchossene Leiter
Kraftrichtung ergibt sich aus
~
⇒B
•
rechte-Hand-Regel für stromdurchossenen Draht
•
Stromrichtung in jeweils anderen Draht (Elektronen mit
~
• f~ = ~j × B
q<0
!)
~ r) und A(~
~ r) an Grenzächen
4.6 Verhalten von B(~
99
~ r) und A(~
~ r) an Grenzächen
4.6 Verhalten von B(~
Aufgrund der gesehenen Analogie zwischen Elektro- und Magnetostatik stellt sich die Frage
nach der Auswirkung von Flächenströmen (analog zu Flächenladungen). Dazu eine zu 3.6.1
analoge Betrachtung:
l
Flächen−
→
strom K
{
→
B||2
ε
→
B⊥2
A
→
B||1
F
{
ε
→
B⊥1
Abbildung 4.6: Flächenstrom
Sei
~1 = B
~ k1 + B
~ ⊥1 =
B
b
~2 = B
~ k2 + B
~ ⊥2 =
B
b
~
K
~
K
Feld unterhalb eines Flächenstroms
Feld oberhalb eines Flächenstroms
Durch Anwendung des Gauÿ'schen Satzes auf ein hinreichend kleines quaderförmiges Volumen
V =A·ε
ndet man:
Z
0=
~ dV =
div B
V
⇒
Z
~ · df~ = (B⊥2 − B⊥1 ) A
B
|
ε → 0 ∂V
B⊥2 = B⊥1
=
b Senkrechtkomponente immer stetig
Anwendung des Stokes'schen Satzes auf eine hinreichend kleine Fläche
~ ×B
~ = µ0 ~j ⇒
∇
Z Z
⇔
∂F
~
⇒ Bk2 − Bk1 = µ0 |K|
F:
Z
~
~
~
∇ × B · dF = µ0 ~j · dF~
~ · d~s = µ0 |I|
~
B
⇒
|
~ = µ0 |K|
~ l
(Bk2 − Bk1 ) l = µ0 |I|
ε → 0 |
~
~
I = K l ~ =
=
b Unstetigkeit der Parallelkomponente, wenn |K|
6 0
4 Magnetostatik
100
Insgesamt gilt demnach (~
n
=
b
Flächennormaleneinheitsvektor):
~2 − B
~ 1 = µ0 K
~ × ~n
B
Verhalten
des
magnetischen
Fel-
des an stromdurchossenen Grenzächen
~
Für das magnetische Vektorpotential gilt in Coulomb-Eichung (∇
A⊥2 − A⊥1 = 0
und wegen
(analog
zur Folgerung aus
~ ×A
~=B
~ folgt:
∇
Z
Z
Z ~ · dF~ =
~
~
~
~
B
∇ × A · dF =
A · d~s =
0
F
F
∂F
~ = 0):
·A
~ = 0)
div B
⇒
Ak2 − Ak1 = 0
ε → 0 ⇒ F → 0 Das magnetische Vektorpotential ist also an stromdurchossenen Grenzächen insgesamt stetig:
~2 − A
~1 = 0
A
Für seine Normalenableitung gilt hingegen:
~
~
~ 1 = ∂ A2 − ∂ A1 = −µ0 K
~ 2 − ~n · ∇
~ A
~
~ A
~n · ∇
∂n
∂n
Bemerkung:
Diese Ergebnisse erklären (a posteriori) die Wahl der Anschlussbedingungen in
den Abschnitten 4.2 und 4.3
Bemerkung:
Ähnlich wie eine Flächenladung ist ein Flächenstrom natürlich eine Idealisierung, vgl. die entsprechende Bemerkung bezüglich
Bemerkung:
σ.
Wie in der Elektrostatik kann auch für das magnetische Vektorpotential eine
Multipolentwicklung gemacht werden. Man ndet wegen
Monopolbeitrag immer verschwindet. Mit dem
1
2
R
~r 0
× ~j(~r 0 ) d3 r0
ndet man für den
~ × ~r
~ r ) = µ0 m
A(~
4π r3
;
~ ·B
~ = 0,
∇
dass der
magnetischen Moment
magnetischen Dipol:
~ =∇
~ ×A
~ = µ0
B
4π
3 (~r · m)
~ ~r m
~
− 3
r5
r
m
~ =
5 Elektrodynamik
Im Unterschied zu den vorangehenden Kapiteln sei nun auch
chung der Maxwell-Gleichungen mehr vorliegt. Sie lauten also:
∂
6= 0,
∂t
so dass keine Vereinfa-
ρ
ε0
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
~
div B = 0
~ =
div E
~
~ = µ0 ~j + µ0 ε0 ∂ E
rot B
∂t
~ =q E
~ + ~v × B
~ und der aus den Maxwell-Gleichungen
mit der Lorentzkraft F
∂ρ
Kontinuitätsgleichung
+ ∇ · ~j = 0.
∂t
herleitbaren
Wie zuvor bemerkt, können die Maxwell-Gleichungen auch äquivalent als Integralgleichungen
formuliert werden (Anwendung des Gauÿ'schen und Stokes'schen Satzes!):
Z
~ · df~ =
E
qV
ε0
∂V
Z
~ · d~s = − d
E
dt
~ · dF~
B
F
∂F
Z
Z
~ · df~ = 0
B
∂V
Z
~ · d~s = µ0
B
Z
~j · dF~ + µ0 ε0 d
dt
F
∂F
Z
~ · dF~
E
F
Im allgemeinen ist aber die Lösung der Dierentialgleichungen einfacher, so dass wir uns im
Folgenden auf die dierentielle Formulierung beschränken.
Im Unterschied zu den Gleichungen der Elektro- und Magnetostatik sind die vollen MaxwellGleichungen gekoppelt, d.h.
~
E
und
~
B
sind ebenso wenig unabhängig voneinander wie
ρ
und
~j .
Um eine Entkopplung zu erreichen, betrachten wir
5.1 Die elektrodynamischen Potentiale
Die
Idee ist die gleiche wie im statischen Fall: man versucht durch Denition geeigneter Po-
tentialfunktionen die Formulierung der Maxwell-Gleichungen zu vereinfachen. Wie zuvor (vgl.
4.3) scheint die Einführung des magnetischen Vektorpotentials
~ =0
∇·B
⇒
~ =∇×A
~
B
~
A
vielversprechend:
5 Elektrodynamik
102
Damit folgt:
(
~
~ + ∂B = 0
∇×E
∂t
⇒
∇×
~
~ + ∂A
E
∂t
)
=0
In Verallgemeinerung des elektrostatischen Falles gilt hier:
~
~ + ∂ A = −∇Φ
E
∂t
⇒
~
~ = −∇Φ − ∂ A
E
∂t
Damit sind die beiden homogenen Gleichungen stets erfüllt, wenn
ihrer Bestimmung setzt man
~
E
und
~
B
Φ
und
~
A
bekannt sind. Zu
in die inhomogenen Gleichungen ein:
~ = −∆Φ − ∂ ∇ · A
~ = ρ
∇·E
∂t
ε0
⇒
∆Φ +
∂ ~ =−ρ
∇·A
∂t
ε0
und:
~ = ∇× ∇×A
~ = ∇ ∇·A
~ − ∆A
~
∇×B
(
)
~
∂
∂
A
= µ0~j − µ0 ε0
∇Φ +
∂t
∂t
1 ∂Φ
1 ∂2
~
~
−∆ A+∇
∇·A + 2
= µ0~j
⇒
c2 ∂t2
c ∂t
1
c2
= ε 0 µ0
~ − ∇
A
⇔
:= ∆ −
Bemerkung:
1 ∂2
c2 ∂t2
1 ∂Φ
~
= −µ0~j
∇·A + 2
c ∂t
Man löst also zunächst für gegebene Ladungs- und Stromdichteverteilung die
inhomogenen Gleichungen für die Potentiale
homogenen Gleichungen für
Bemerkung:
~
E
und
Φ
und
~
A
und mit diesen dann die
~.
B
Man beachte, dass die elektrodynamischen Potentiale
~ nicht mit denen
Φ und A
aus der Elektro- und Magnetostatik identisch sind, sondern diese verallgemeinern (Zeitabhängigkeit!).
Die Lösung der beiden Potentialgleichungen ist nicht trivial, da auch diese Gleichungen in der
gegebenen Formulierung gekoppelt bleiben. Um eine Entkopplung zu erreichen bedient man
sich sogenannter
5.2 Eichtransformationen
103
5.2 Eichtransformationen
Die Grundidee hierbei ist (erneut wie früher gesehen!), dass für die Bestimmung der elektro-
~
E
magnetischen Felder
und
~
B
die Potentiale
Φ
und
~
A
nicht eindeutig bestimmt sein müssen.
Wir erinnern uns (vgl. 4.3), dass (jetzt zeitabhängig!)
~ r, t) = A
~ 0 (~r, t) + ∇λ(~r, t)
A(~
unabhängig von
λ(~r, t)
verträglich ist mit
~ =∇×A
~
B
Da nun im Allgemeinen auch
~
E
,
da
∇ × ∇λ(~r, t) = 0
vom Vektorpotential abhängt (s.o.), muss gefordert werden:
~
~
~ = −∇Φ − ∂ A = −∇Φ − ∂ A0 − ∂ ∇λ
E
∂t
∂t
∂t
~
∂λ
∂ A0
!
⇒ Φ0 = Φ +
= −∇Φ0 −
∂t
∂t
Mit den Gleichungen
~ r, t) = A
~ 0 (~r, t) + ∇λ(~r, t)
A(~
∂λ(~r, t)
Φ(~r, t) = Φ0 (~r, t) −
∂t
liegt eine
Eichtransformation vor, unter der die physikalischen Felder
~
E
und
~
B
invariant
sind. Diese Nichteindeutigkeit der Potentiale kann nun genutzt werden, um die inhomogenen
Gleichungen für die Potentiale weiter zu vereinfachen. Es bietet sich zunächst die
Coulomb-
Eichung (vgl. 4.3) an, die hier aber nicht weiter verfolgt wird. Der wesentliche Nachteil der
Coulomb-Eichung ist die Tatsache, dass die Potentialgleichungen gekoppelt bleiben.
Vorteilhafter ist
Die Loren(t)z-Eichung:
Vorbemerkung:
Ursprünglich gefunden vom dänischen Physiker Ludwig V. Lorenz, also nicht
vom Holländer Hendrick A. Lorentz. Dennoch wird die Eichung in vielen
Lehrbüchern nach Letzterem benannt (vgl. Jackson, Grith)
Setzt man die allgemeine Form der Eichtransformation (s.o.) in die inhomogenen Potentialgleichungen ein, so ndet man:
∂
∂ ~ 0 + ∂ (∇ · ∇λ) = − ρ
∆λ +
∇·A
∂t
∂t
∂t
ε0
∂ ρ
~0 = −
⇒ ∆Φ0 +
∇·A
∂t
ε0
∆Φ0 −
⇒
2
2
~ 0 − 1 ∂ (∇λ) + ∆ (∇λ) − ∇
~ 0 + (∇ · ∇λ) − ∇ 1 ∂Φ0 − 1 ∂ λ = −µ0~j
A
∇
·
A
::::::
::::::::
c2 ∂t2
c2 ∂t
c2 ∂t2
~0 − ∇
~ 0 + 1 ∂Φ0 = −µ0~j
A
∇·A
c2 ∂t
5 Elektrodynamik
104
Und dadurch motiviert schreibt man:
∂
Φ0 +
∂t
~ 0 + 1 ∂Φ0
∇·A
c2 ∂t
=−
ρ
ε0
Die zur Entkopplung der Gleichungen notwendige Wahl ist oensichtlich
~0 +
∇·A
1 ∂Φ0
=0
c2 ∂t
was als Loren(t)z-Eichung bekannt ist. Im statischen Fall
∂
( ∂t
= 0)
geht sie in die Coulomb-
Eichung über.
Diese bedingt:
2
1 ∂Φ0
~ − ∆λ + 1 ∂Φ + 1 ∂ λ =! 0
=
∇
·
A
c2 ∂t
c2 ∂t
c2 ∂t2
2
1 ∂ λ
~ + 1 ∂Φ
− λ = 2 2 − ∆λ = ∇ · A
c ∂t
c2 ∂t
~0 +
∇·A
⇒
Es genügt demnach
Φ0 = −
(
~0 = −
A
1 ∂ 2 Φ0
− ∆Φ0
c2 ∂t2
~0
1 ∂2A
~0
− ∆A
2
c ∂t2
=−
ρ
ε0
)
= −µ0~j
zu lösen. Damit ist das Ziel erreicht: die beiden inhomogenen Gleichungen (=
b 4 partielle Differenzialgleichungen für 4 Funktionen) sind entkoppelt, d.h.
ρ
und
~j
Φ0
und
~0
A
können für gegebenes
unabhängig voneinander bestimmt werden.
Bemerkung:
Aufgrund der Symmetrie der beiden Gleichungen in Loren(t)z-Eichung bieten
sie sich als natürlicher Ausgangspunkt für eine
kovariante Formulierung
der Elektrodynamik an.
Die Lösungen der Potentialgleichungen in Loren(t)z-Eichung werden in der Hauptvorlesung zur
E-Dynamik behandelt. Hier untersuchen wir noch
5.3 Erhaltungssätze in der Elektrodynamik
Wie immer sollte natürlich auch in der Elektrodynamik die Erhaltung von Energie, Impuls
und Drehimpuls gewährleistet sein. Das sei für die zuerst genannte Gröÿe (Energie) explizit
gezeigt. . .
Der Energiesatz der Elektrodynamik:
Die für die Physik grundlegenden Erhaltungssätze für z.B. Impuls, Energie oder auch Drehimpuls gelten (natürlich) auch in der Elektrodynamik. Für die klassische Elektrodynamik ist der
Energiesatz (neben dem Ladungserhaltungssatz) von besonderer Bedeutung, wie im Folgenden
gezeigt wird.
5.3 Erhaltungssätze in der Elektrodynamik
105
Man geht dazu üblicherweise aus von der von einem elektromagnetischen Feld an einem geladenen Teilchen geleisteten Arbeit
n
o
~ + q ~v × B
~ · {~v dt} = q E
~ · ~v dt
dW = F~ · d~r = q E
Für eine Ladungsverteilung
ρ
folgt:
n
o
dW
~ + ρ ~v × B
~ · {~v dt} = ρE
~ · ~v dt = ~j · Edt
~
= f~ · d~r = ρE
V
|
~j = ρ ~v
Das heiÿt: Die pro Volumen- und Zeiteinheit vom Feld an der Ladungsverteilung geleisteten
Arbeit ist durch
(
~ =
~j · E
~
~j · E
gegeben. Mit Hilfe der Maxwell-Gleichungen ndet man:
~
1 ~ − ε0 ∂ E
∇×B
µ0
∂t
~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E~
∇×B
∂t
“
i
~
1 h~ ∂E
~=
~
~
~
~
·E
B
·
∇
×
E
−
∇
·
E
×
B
− ε0
·E
∂t
µ0
”
“
”
“
”
~
~
~
~
~
~
∇×B ·E =B· ∇×E −∇· E×B
~
~
1
~ ×B
~ − 1B
~ · ∂ B − ε0 E
~ · ∂E
=
− ∇· E
µ0
µ0
∂t
∂t
)
~ = − ∂ B~
∇×E
∂t
= −∇ ·
1 ~
~
E×B
µ0
∂
−
∂t
Dieser Ausdruck führt auf folgende
(
~2
ε0 ~ 2
B
E +
2
2µ0
)
Denitionen:
Uem (~r, t)
=
ε0 ~ 2
1 ~2
E (~r, t) +
B (~r, t)
2
2µ0
~ r, t)
S(~
=
1
µ0
n
o
~ r, t) × B(~
~ r, t)
E(~
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Energiestromdichte bzw. Poynting-Vektor
mit denen man ndet:
∂Uem
~ = −~j · E
~
+∇·S
∂t
(Dierentielles) Poynting-Theorem
Das Theorem besagt, dass die (explizite) zeitliche Änderung der elektromagnetischen Feldenergiedichte durch die Energiestromdichte und eine Senke gegeben ist. Anders formuliert: Die
pro Zeiteinheit an den Ladungen im Volumen
Änderungen (Abnahme!) der Feldenergie in
V
V
geleisteten Arbeit ist gleich der Summe der
und des Energieusses durch die Oberäche
∂V
des Volumens.
Bemerkung:
Für die Energie(dichte) des elektromagnetischen Feldes gilt das Superpositionsprinzip
nicht. Sei z.B.
~ = E
~1 + E
~2
E
i.A.
⇒
~ 2 6= E
~2 + E
~ 2,
E
1
2
d.h. die
Gesamtenergiedichte ist ungleich der Summe der Einzelenergiedichten.
Beispiel:
~1 = E
~ 0,
E
~ 2 = −E
~0 ⇒ E
~ =E
~1 + E
~ 2 = ~0, d.h. die GesamtenerE
giedichte verschwindet obwohl die Einzelenergiedichten von Null verschieden
sind.
Für alles Weitere siehe die Hauptvorlesung...
5 Elektrodynamik
106
5.4 Ein kurzer Überblick über elektromag. Wellen im Vakuum
5.4.1 Homogene Wellengleichung
Für ladungs- und stromfreie Bereiche gilt für die elektromagnetischen Potentiale in Loren(t)zEichung:
Φ(~r, t) = 0
~ r, t) = 0
A(~
Für die Felder erhalten wir aus den Maxwell-Gleichungen:
~ ·E
~ =
∇
~ ·B
~ =
∇
0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
0
~
~ ×B
~ = 1 ∂E
∇
c2 ∂t
mit:
~ ∇
~ ·E
~ −∆E
~ = −∆E
~
~ × ∇
~ ×E
~
= ∇
∇
| {z }
| {z }
=0
~
B
− ∂∂t
~
~ × ∂B
⇒ −∇
∂t
2E
~
∂
1
~−
⇒ ∆E
c2 ∂t2
= −
~
1 ∂2E
~
= −∆E
c2 ∂t2
= 0
ergibt sich:
~ =0
E
und entsprechend auch
~ =0
B
Das heiÿt: In kartesischen Koordinaten erfüllt jede Komponentenfunktion
f
die Wellenglei-
chung.
4f =
1 ∂2f
c2 ∂t2
oder alternativ
f = 0
5.4.2 Ebene Wellen
Im
1-dimensionalen Fall sehen wir, dass
∂2f
1 ∂2f
−
=0
∂x2 c2 ∂t2
gelöst wird durch:
f (x, t) = f1 (kx − ωt) + f2 (kx + ωt),
⇒
⇒
⇒
o.B.d.A.:
ω≥0
1
1
k 2 f100 (kx − ωt) + k 2 f200 (kx + ωt) − 2 f100 (kx − ωt) ω 2 − 2 f200 (kx + ωt) ω 2 = 0
c
c
2
ω
k 2 − 2 f (x, t) = 0
c
ω 2 = k 2 c2
Dispersionsrelation der elektromagnetischen Wellen
5.4 Ein kurzer Überblick über elektromag. Wellen im Vakuum
Im
3-dimensionalen Fall gilt entsprechend:
Untersuchung von
107
f (~r, t) = f1 (~k · ~r − ωt) + f2 (~k · ~r + ωt)
f1 ( ~|k · ~r{z− ωt} )
P hase φ(~
r,t)
feste Zeit:
Fläche konstanter Phase ist durch
~k · ~r = const. gegeben. ~k · ~r
ist die Gleichung
der Wellenfront-Ebene.
→
k
→
r1
→
r2
→
r3
Abbildung 5.1: Wellenfront-Ebene
Zeitablauf :
für den
Zeitablauf (Bewegung der Ebene) gilt
~k · ~r − ωt = krk − ωt = c1 = const.
c1 ω
⇒ rk =
+ t
k
k
Die Ebene bewegt sich mit (Phasen)geschwindigkeit:
wähle f1 :
drk
ω
=
dt
k
in Richtung
~k .
z.B. ebene Welle:
n o
f1 (~r, t) = A exp i ~k · ~r − ωt
~k :
Wellenvektor,
λ=
2π
:
k
(eigentlich nur der Realteil)
Wellenlänge (Abstand nächstbenachbarter Wellen-
fronten)
2π
ω
ω = 2π ν :
fester Ort ~
r0 : Wiederholung nach
ν=
1
:
τ
Frequenz,
τ=
Kreisfrequenz und es gilt
c = λν =
λ
τ
Übertragung auf elektromagnetisches Feld (nur der Realteil ist physikalisch relevant) mit
o
n ~ = E
~ 0 exp i ~k · ~r − ωt
E
n o
~ = B
~ 0 exp i ~k̄ · ~r − ω̄t
B
Die Wellengleichung ist erfüllt. Die Kopplung erfolgt über die Maxwell-Gleichungen durch
~
~ = − ∂B
∇×E
∂t
5 Elektrodynamik
108
Mit den Nebenrechnungen
−
~
∂B
∂t
!
= iω̄Bx
x
n o
= iω̄B0x exp i ~k̄ · ~r − ω̄t
~
∇×E
=
x
∂
∂
Ez −
Ey
∂y
∂z
n o
= (E0z iky − E0y ikz ) exp i ~k · ~r − ωt
n o
~ 0 exp i ~k · ~r − ωt
= i ~k × E
x
ergibt sich:
o
n o
n ~ 0 exp i ~k · ~r − ωt
~ 0 exp i ~k̄ · ~r − ω̄t
i ~k × E
= i ω̄ B
Da dies für alle Raum-Zeit-Punkte gelten soll, fordern wir:
ω = ω̄
;
~k = ~k̄
Wir erhalten die Beziehung
~k × E
~ 0 = ωB
~0
und mit
~ = 0, div B
~ =0
div E
erhalten wir
~k · E
~ 0 = 0, ~k · B
~0 = 0
Weiterhin folgt aus
~ ×B
~ =
∇
~
1 ∂E
entsprechend
c2 ∂t
~k × B
~0 = − ω E
~0
c2
~ 0, B
~ 0 , ~k
E
bilden also ein Rechtssystem:
→
E0
→
k
→
B0
Abbildung 5.2: Rechtssystem
~k ist, handelt es sich um transversale Wellen.
~ kann man aus E
~ bestimmen:
B
Da die Auslenkung senkrecht zu
~k = k ~ez ,
so folgt
z.B. wegen
~
E
direkt und
~ = (E0x ~ex + E0y ~ey ) exp {i (kz − ωt)}
E
~ = 1 (−E0y ~ex + E0x ~ey ) exp {i (kz − ωt)}
B
c
  





0
E0x
−k E0y
−E0y
~ 0 = 1 ~k × E
~ 0 = 1 0 × E0y  = 1  k E0x  = 1  E0x 
B
ω
ω
ω
c
0
0
0
k
Sei o.B.d.A.
5.4 Ein kurzer Überblick über elektromag. Wellen im Vakuum
Nehmen wir nun
E0y = 0
109
an, ergibt sich für die (physikalisch relevanten) Realteile
~ = E0x cos (kz − ωt) ~ex
E
~ = 1 E0x cos (kz − ωt) ~ey
B
c
Abbildung 5.3: Transversale Welle
5.4.3 Polarisation ebener Wellen
Die o.a. Lösung ist eine sich in positiver z-Richtung fortpanzende, monochromatische Welle.
Sie ist allein durch
~
E
(oder
O.B.d.A. betrachte nun:
~)
B
festgelegt.
~ -Feld
E
mit
E0x
E0x = |E0x | eiφ
Dabei ist
φ(~r, t)
und
E0y
und
komplex:
E0y = |E0y | ei(φ+δ)
die oben eingeführte Phase. Für das reale physikalische Feld gilt:
~ = Ex ~ex + Ey ~ey
E
mit
Ex = |E0x | cos (kz − ωt)
Ey = |E0y | cos (kz − ωt + δ)
Der Wert von
δ
bestimmt die Art der Polarisation, deshalb gibt es eine
Fallunterscheidung der Polarisationen
• linear polarisiert: δ = 0 oder δ = ±π
~ = (|E0x | ~ex ± |E0y | ~ey ) · cos (kz − ωt + φ)
fester Vektor E
p
~
|E0y |
E = |E0x |2 + |E0y |2 · |cos (kz − ωt + φ)|, tan α = ± |E0x
|
y
E 0y
→
E
α
E 0x
Abb. 5.4: E-Feld Komponenten
x
Abb. 5.5: E-Feld Ausrichtung
5 Elektrodynamik
110
• zirkular polarisiert: δ = ± π2 und |E0x | = |E0y |
~ = E {cos(kx − ωt + φ) ~ex ∓ sin(kz − ωt + φ) ~ey }, |E|
~ = const.
E
y
z
→
E
δ=
π
2
x
rechts zirkular
polarisiert
Abb. 5.7: E-Feld Ausrichtung
Abb. 5.6: E-Feld Komponenten
Blickt man in positive
z -Richtung
(Ausbreitungsrichtung), so dreht sich
• elliptisch polarisiert (in x, y): δ = ± π2
und
~
E
nach rechts.
|E0x | =
6 |E0y |
Ex = |E0x | cos(kz − ωt + φ), Ey = ∓|E0y | sin(kz − ωt + φ)
y
⇒
Ex
|E0x |
2
+
Ey
|E0y |
2
z
|E 0y|
=1
|E 0x|
x
elliptisch
polarisiert
Abbildung 5.8: E-Feld Ausrichtung
• elliptisch polarisiert (beliebig): δ
beliebig und
|E0x | =
6 |E0y |
y
z
|E 0y|
|E 0x|
x
Abbildung 5.9: E-Feld Ausrichtung
5.4 Ein kurzer Überblick über elektromag. Wellen im Vakuum
111
112
5 Elektrodynamik
Teil III
Spezielle Relativitätstheorie
114
5 Elektrodynamik
1 Grundlagen
Ursprüngliche Erwartung:
Licht ist an ein materielles Medium, den Äther (gr.: aither
=
b
die obere Luft) gebunden,
wie z.B. Schallwellen an Luft.
Die daraus folgende Überlegung, dass die Lichtgeschwindigkeit dann vom Bewegungszustand
des Bezugssystems abhängen sollte, sollte überprüft werden mit dem
1.1 Michelson-Morley-Experiment
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x
0
1
0
l2 =1
l
0
1
0
1
0
1
0
1
00000000000000
11111111111111
0
1
00000000000000
11111111111111
0
1
00000000000000
11111111111111
0
1
00000000000000
11111111111111
111111111111111
0 000000000000000
1
00000000000000
11111111111111
l1 = l
00000000000000
11111111111111
0
1
00000000000000
halbdurchlässiger11111111111111
0
1
00000000000000
11111111111111
Spiegel (H)
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
000000000
111111111
Empfänger
0
1
000000000
111111111
(Schirm)
Spiegel 1 (S1)
Spiegel 2 (S2)
→ |=v
|v
Erde
Abbildung 1.1: Versuchsaufbau
Berechnung der Laufzeiten
H → S1 → H :
H → S2 → H :
l
l
2 lc
2l
1
+
= 2
=
2
c+v c−v
c −v
c 1 − v22
c
√
2
2
2 l +x
1
2l 1
q
t2 =
; x = v t2
⇒
t2 =
c
2
c 1− vc22
t1 =
Die Laufzeitdierenz

2l 

t1 − t2 =
c 

2
2
 2l
v
1
v
v2
=
q
l
−
1
+
+
.
.
.
−
1
+
+
.
.
.
=
2 
c
c2
2 c2
v2
c2
1 − vc2
1− 2
c
v
|~
v
| ≈ 30 km ⇒
≈ 10−4
1
1
führt zu einem Phasenunterschied (ν = Wellenfrequenz)
Es wurde aber
∆φ = 0 beobachtet!
Erde
∆φ = ν(t2 − t1 ) ≈ ν
s
lv 2
c3
c
1 Grundlagen
116
Um die eventuelle Ungenauigkeit in den Armlängen l1
Bemerkung:
wurde der Apparat um
−90◦
= l2 = l
auszuschlieÿen
gedreht, so dass dann eine Phasendierenz von
−∆φ erwartet würde. Damit ergibt sich zur Orientierung 0◦ und −90◦ eine Gesamtphasendierenz 2∆φ, die im Experiment zu 2∆φ ∼ 31 erwartet wurde.
Das Instrument hätte um den Faktor 40 kleinere Phasendierenzen detektieren
können - eine solche wurde aber nicht beobachtet.
Es gab verschiedene Deutungen dieses Negativresultats:
(1)
Michelson: Äther bewegt sich mit der Erde.
(2)
Lorentz/Fitzgerald/Lodge: Der Instrumentenarm in Bewegungsrichtung ist (um den Faktor
(3)
1−
1 v2
2 c2 ) verkürzt (infolge eines Ätherdrucks).
Einstein: (i) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes ist unabhängig vom Bewegungszustand des Systems. (ii) In allen gleichförmig bewegten Systemen gelten dieselben Naturgesetze (Kovarianz der Naturgesetze).
Heute wissen wir, dass Einsteins Deutung die richtige ist.
1.2 Die Lorentztransformation
Betrachte zwei relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit
Σ, Σ0 (o.B.d.A. sei ~v
t = 0,
= v ~ez ). Wenn zum Zeitpunkt
v
bewegte Bezugssysteme
z
zu dem beide Koordinatensysteme densel-
z’
y’
ben Ursprung haben, ein Lichtsignal von dort ausgesendet wird, sehen Beobachter in
Σ und Σ0
eine
02
2 02
x’
sphärische Lichtausbreitung:
2
2
2
2 2
x +y +z = c t
Da
c = const.
bzw.
und in
Σ
02
x
und
y
+y
02
Σ0
+z
v
=c t
x
gleich ist, sind
die beiden Rechnungen nicht mit einer GalileiTransformation
z 0 = z − vt
verträglich.
Daher:
Abb. 1.2: Bezugssysteme
1.2.1 Idee: Lineare Transformation
x0
y0
z0
t0
=
=
=
=
x
y
a11 z + a12 t
a21 z + a22 t
Da nun der Beobachter in
0
(insbesondere für z
= 0)
Σ
 
x0
1 0 0
0
 y0   0 1 0
0
=
⇒
0



z
0 0 a11 a12



t0
0 0 a21 a22





das System
Σ0

x
 y 
 
 z 
t
mit dem Bewegungsgesetz
der Ansatz:
z 0 = γ (z − vt)
⇐
t0 = δ (εz + t)

a11 = γ
; a12 = −γ v
a21 = δ ε ; a22 = δ
nahe, in dem also nur noch drei Koezienten unbekannt sind.
z = vt
sieht, liegt
1.2 Die Lorentztransformation
117
Damit folgt:
x0 2 + y 0 2 + z 0 2 − c2 t0 2 = 0
⇔ x2 + y 2 + γ 2 z 2 − 2 zvt + v 2 t2 − c2 δ 2 ε2 z 2 + 2 εzt + t2 = 0
2
2 2 2
2v
2
2
2
2
2 2 2
⇔ x + y + z γ − c δ ε −c t δ − γ 2 −2 zt vγ 2 + εc2 δ 2 = 0
c
|
{z
}
{z
}
|
{z
}
|
!
!
= 1
= 0
!
= 1
Also:
⇒
γ 2 − c2 δ 2
c2 δ 2 − γ 2 v 2 = c2
⇒
c2 δ 2 = c2 + γ 2 v 2
(II)
vγ 2 + εc2 δ 2 = 0
⇒
ε=−
vγ 2
c2 δ 2
(III)
v2γ 4
=1
+ γ 2v2
⇔
γ 2 c2 + γ 4 v 2 − v 2 γ 4 = c2 + γ 2 v 2
{z
}
|
γ2 −
(II) in (I) :
v2γ 4
=1
c4 δ 4
γ 2 − c2 δ 2 ε2 = 1
c2
( I)
= 0
⇔
(II) : δ 2 =
(III) :
c2
ε=−
Damit lautet die
x0
y0
z0
t0
=
=
=
=
Bemerkung:
γ 2v2
+
c2
γ2 =
c2
c2
c2 +
=
−
⇒
v2
γ=q
1
1−
v2
c2
c2 v 2
2
4
2 2
2 2
c2 − v 2 = c − v c + c v = c
= γ2
c2
c2 (c2 − v 2 )
c2 − v 2
⇒
δ=γ
v
c2
Lorentztransformation explizit:
x
y
γ (z − vt) γ t − cv2 z
bzw:
x
y
z
t
=
=
=
=
x0
y0
γ (z 0 + vt0 ) γ t0 + cv2 z 0
So wie die Galilei-Transformationen die
Lorentztransformation
Galilei-Gruppe bilden, bildet die
Gesamtheit der Lorentztransformationen die
Lorentz-Gruppe.
118
1 Grundlagen
2 Folgerungen
2.1 Gleichzeitigkeit
Ereignisse, die in einem für einen Beobachter ruhenden Inertialsystem
erscheinen von einem relativ zu
Σ
Σ
bewegten System nicht mehr gleichzeitig. Leuchten z.B. in
zwei Lampen an den beiden Orten
z1
v
t02 − t01 =
γ t 2 − 2 z2
c
L-Trafo
Σ0
D.h. in
Σ gleichzeitig erscheinen,
leuchten die beiden Lampen
z2 gleichzeitig auf (t1 = t2 ), dann gilt
v
v − γ t1 − 2 z1 =
γ 2 (z1 − z2 ) 6= 0
c
c
und
in
Σ0 :
t1 = t2 nicht gleichzeitig auf.
Der Begri der Gleichzeitigkeit ist nur sinnvoll in Bezug auf ein gegebenes
Folgerung:
Inertialsystem, nicht aber für die Gesamtheit aller Inertialsysteme.
2.2 Zeitdilatation1
keine absolute Gröÿe mehr, wird also mit-
Gemäÿ der Lorentz-Transformation ist die Zeit
transformiert: Uhren in bewegten Systemen gehen langsamer als in ruhenden Systemen. Ein
Beobachter im ruhenden System
stem
Σ0
Σ
beobachte eine im relativ zu
Σ
gleichförmig bewegten Sy-
ruhende Uhr.
Er ndet:
vz20
vz10
0
0
0
0
0
∆t = t2 − t1 =
=
γ t2 + 2 − γ t1 + 2
γ(t2 − t1 ) = γ ∆t
c
c
L-Trafo
Wegen
γ > 1
ndet er
∆t0 < ∆t.
Uhr ruht in
Σ0 ⇒ z10 = z20
Die bewegte Uhr geht also langsamer, die Zeit in
Σ0
ist
0
gedehnt. Diese sog. Zeitdilatation ist symmetrisch, d.h. ein Beobachter in Σ ndet für das
mit einer in
Σ
ruhenden Uhr gemessene Zeitintervall:
vz2 vz1 ∆t0 = t02 − t01 =
γ
t
−
−
γ
t
−
=
2
1
γ (t2 − t1 ) = γ ∆t
c2
c2
L-Trafo
Also:
∆t < ∆t0
Nachweis:
=
b
Uhr
ruht in
Σ :⇒ z1 = z2 bewegte Uhr geht langsamer.
Zwei Flugzeuge in Ost- und Westrichtung: die Uhren an Bord zeigen eine andere
Zeit als eine (z.B. am Nordpol) ruhende Uhr. Wegen ~
vW est
und
~vOst = ~vF lugzeug + ~vErdrot
Zeitdierenz der Beobachter von
1
lat. dilatabilis
=
b
dehnbar, Dehnung
|~vW est | < |~vOst |
∆t ≈ 323ns.
gilt
= ~vF lugzeug −~vErdrot.
und es ergibt sich eine
2 Folgerungen
120
2.3 Längenkontraktion
Die Ausdehnung eines bewegten Körpers ist in Bewegungsrichtung verkürzt. Ein Beobachter
in
Σ,
der einen in
Σ0
ruhenden Stab der Länge
L0 = z20 − z10
beobachtet, ndet:
L0 = z20 − z10 = γ (z2 − vt2 ) − γ (z1 − vt1 ) = γ (z2 − z1 ) = γL
|
t
=
1 t2 |
L-Trafo.
Mit
γ > 1 ⇒ L0 > L:
der bewegte Stab ist also kürzer. Entsprechendes gilt für einen in
Σ
0
ruhenden Stab der von Σ aus beobachtet wird.
Anwendung:
µ-Mesonen:
Zerfall von
µ-Mesonen entstehen durch die Wechselwirkung der kosmischen Strahlung mit
der Erdatmosphäre in einer Höhe von etwa h = 10 km mit etwa Lichtgeschwinq
digkeit
v=
2499
2500
c≈c
und werden auf dem Erdboden
τµ = 2 · 10−6
Bei einer Lebensdauer von
(h = 0)
nachgewiesen.
s können die Teilchen also einen Weg
s ≈ τµ · c ≈ 2 · 10−6 s · 3 · 108
m
s
≈
600 m
10 km
zurücklegen. Warum gelangen die Teilchen also dennoch zum Erdboden?
Die spezielle Relativitätstheorie sagt, dass ein (hochrelativistisches)
γ = 1−
= 200 m zurücklegen muss,
den Weg vom Entstehungsort bis zum Erdboden um
verkürzt sieht, d.h. lediglich der Weg
h/γ =
10 km
50
µ-Mesonen
= 50
−1/2
v 2 /c2
was mit seiner Lebensdauer verträglich ist. Umgekehrt gilt für einen Beobachter
auf der Erde, dass die Lebensdauer eines
µ-Mesons
verlängert (gedehnt) ist:
τB = γ τµ = 50 · 2 · 10−6 s = 1 · 10−4
s
so dass das Teilchen einen Weg von
s ≈ τB · c ≈ 1 · 10−4 · 3 · 108
m
= 3 · 104
m
= 30 km
zurücklegen kann, also ausreichend lange lebt um den Erdboden zu erreichen.
2.4 Geschwindigkeitsaddition
Wie transformiert sich die Geschwindigkeit eines Objektes zwischen zwei relativ zueinander
gleichförmig bewegten Systemen
Es gilt (relative Bewegung in
Σ
und
Σ0 ?
z -Richtung):
x = x0
y = y0
z = γ (z 0 + vt0 )
t = γ t0 + cv2 z 0
dx = dx0
dy = dy 0
⇒
dz = γ (dz 0 + v dt0 )



dt = γ dt0 + cv2 dz 0




2.4 Geschwindigkeitsaddition
121
⇒
~u = (ux , uy , uz ) =
=
=
=
dx dy dz
, ,
dt dt dt
dx0
dy 0
γ (dz 0 + v dt0 )
,
,
v
v
γ dt0 + c2 dz 0
γ dt0 + c2 dz 0
γ dt0 + cv2 dz 0
0
0
dx
dy 0
dz
1
,
, γ
+v
0
dt0
dt0
dt0
γ 1 + cv2 dz
dt0
0
1
0
0
u
,
u
,
γ
u
+
v
x
y
z
γ 1 + cv2 u0z
!
~u 0
=
Explizit also:
ux =
u0x
v ;
γ 1 + 2 u0z
c
uy =
u0y
γ 1+
v 0
u
c2 z
γ≈1
⇒
;
uz =
Additionstheorem
u0z + v
vu0
1 + 2z
c
der
Geschwindig-
keit
Es gelten die Grenzfälle:
(1) v c
⇒
ux = u0x ,
uy = u0y ,
uz = u0z + v
Das aber ist gerade die Galilei-Transformation der Geschwindigkeiten.
(2) v → c
⇒
γ→∞
⇒
ux → 0,
uy → 0,
uz →
u0z + c
1+
u0z
c
=
u0z + c
c + u0z
c=c
Das heiÿt die beobachteten Geschwindigkeiten sind stets durch die Lichtgeschwindigkeit nach
oben begrenzt.
122
2 Folgerungen
3 Kovariante Formulierung
3.1 Der Minkowski-Raum
Die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie legen eine Erweiterung des (klassischen) 3-dim
Kongurationsraumes (z.B.
~r = (x, y, z)
) auf eine 4-dim Raum-Zeit nahe:
3.1.1 Vierervektoren
Die Lorentz-Transformation kann als Drehung in einem 4-dim. Vektorraum betrachtet werden,
denn es gilt:
 
x0
1
 y0   0

 
 z0  =  0
t0
0

0
0
1
0
0
γ
0 −γ cv2

0
x


0  y
−γv   z
γ
t
 
1
x0
 y0   0
⇒0
 
r := 
 z0  =  0
0
ict0
|
⇒
cos α = γ
sin α = iγ vc
Bemerkung:


0
0
0

1
0
0 

0 cos α sin α  
0 − sin α cos α
{z
}

⇒
 
x0
1

 y0   0
 ⇒ 
 

 z0  =  0
0
ict0

Drehmatrix
0
0
1
0
0
γ
0 −iγ vc

x
0


0  y
iγ vc   z
ict
γ





x
y 
 =: DL ⇒
r
z 
ict
DL
2
⇒ sin2 α + cos2 α = −γ 2 vc2 + γ 2 = γ 2 1 −
v2
c2
=1
⇒ det D2 = |D2 | = 1
Der Drehwinkel
α
ist imaginär, da wegen
cos α = γ > 1
gilt und da
sin α
rein
imaginär ist.
Da Drehungen Längen unverändert lassen, gilt weiter:
⇒0
⇒
|r | = |r|
⇔
x0 2 + y 0 2 + z 0 2 − c2 t0 2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2
Das ist gerade der Ausgangspunkt zur Herleitung der Lorentz-Transformation (siehe 1.2 oben).
Denition:
Die 4-dim
Vierervektoren
⇒ ⇒0
r, r
sind Verallgemeinerungen der Ortsvektoren
im 3-dim Kongurationsraum. Allgemein gilt:
⇒
r = (~r, ict)
Vierervektoren heiÿen auch
;
⇒0
r = ~r 0 , ict0
Weltvektoren.
3 Kovariante Formulierung
124
Denition:
Der
Minkowski-Raum oder die Raum-Zeit ist der 4-dim Vektorraum, der
die Vierervektoren enthält. Punkte im Minkowski-Raum sind
Ereignisse (vgl.:
Punkte im Kongurationsraum sind Orte). Kurven im Minkowski-Raum nennt
man
Weltlinien.
Veranschaulichung:
ct
v=c
Weltlinie
eines
ruhenden
Körpers
Weltlinie eines
bewegten Körpers
→
r
Abbildung 3.1: Minkowski-Raum
Bemerkung:
Wegen
v<c
ist die kleinste mögliche Steigung
m
einer Weltlinie
m = 1.
Das Längenelement im Minkowski-Raum
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2
ist invariant unter Lorentz-Transformation. Da
ds2
nicht positiv denit ist, unterscheidet man:
(1)
raumartige Abstände:
ds2 > 0
(2)
null- oder lichtartige Abstände:
ds2 = 0
(3)
zeitartige Abstände:
ds2 < 0
Veranschaulichung:
ds² = 0
ds² = 0
Zukunft
ds² < 0
ds² > 0
Beobachter im
Ursprung
ds² > 0
Gegenwart
Gegenwart
→
r
ds² < 0
Vergangenheit
Abbildung 3.2: Längenelement im Minkowski-Raum
3.2 Vierergeschwindigkeit, Viererimpuls und Viererkraft
125
Für einen Beobachter im Ursprung sind Ereignisse mit
- raumartigen Abstand unerfahrbar, wegen
c<∞
- zeitartigen Abstand entweder in der Vergangenheit oder Zukunft
Bemerkung:
Je zwei Ereignisse im raumartigen Bereich des Minkowski-Raumes können in
einem geeignet gewählten Inertialsystem gleichzeitig beobachtet werden.
3.1.2 Die Eigenzeit
Um weitere Gröÿen im Minkowski-Raum sinnvoll einführen zu können, ist die Denition einer
Lorentz-invarianten Zeiteinheit
dτ
erforderlich. Dies erreicht man durch:
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2
: (−c2 )
r
r
ds2
1
⇒ dτ :=
− 2 =
dt2 − 2 [dx2 + dy 2 + dz 2 ]
c
c
v
"
u
2 2 2 2 #
2 2
u
dx
dy
dz
1
= dt t1 − 2
+
+
c
dt
dt
dt
r
v2
dt
= dt 1 − 2 =
Eigenzeit (eines Systems)
c
γ
Oenkundig ist
dτ
wegen der Lorentz-Invarianz von
ds2
und
c
ebenfalls invariant unter der
Lorentz-Transformation.
Bemerkung:
Die
Eigenzeit
dτ ist
dt.
im Ruhesystem
(v = 0 ⇒ γ = 1)
identisch mit der
Koordinatenzeit
Bemerkung:
Die Eigenzeit kann auch aus der Beziehung für die Zeitdilatation (siehe 2.2
oben) abgeleitet werden.
Bemerkung:
Mit Hilfe der Eigenzeit lassen sich die Naturgesetze in Lorentz-invarianter Form
formulieren, d.h. in allen Inertialsystemen gelten die (form-)gleichen Naturgesetze (Relativitätsprinzip).
3.2 Vierergeschwindigkeit, Viererimpuls und Viererkraft
Die Vierergeschwindigkeit
⇒
v
wird unter Verwendung der Eigenzeit
dτ
analog zur Newton'schen
Mechanik deniert:
⇒
⇒
v =
dr
=
dτ ⇒
d~r
dt
, ic
dτ
dτ
r = (~r, ict)
=
d~r dt
dt
, ic
dt dτ
dτ
=
γ(~v , ic)
dt
dτ
=γ
Vierergeschwindigkeit
3 Kovariante Formulierung
126
Ähnlich erfolgt die Denition des Viererimpulses:
⇒
⇒
p, imc)
p = m0 v = m0 γ (~v , ic) = (m~v , imc) = (~
|
m = m0 γ
Viererimpuls
Aus der letzten Gleichsetzung folgt für den dreidimensionalen Kongurationsraum:
p~ = m ~v = γ m0 ~v
d.h. die
Teilchenmasse
Bemerkung:
m = m0 γ ist geschwindigkeitsabhängig. m0
heiÿt
Ruhemasse.
Die Massenzunahme bewegter Teilchen wurde tatsächlich bereits 1902 von
Kaufmann experimentell nachgewiesen.
Auch die Denition der Viererkraft erfolgt in Analogie zur Newton'schen Mechanik:
⇒
⇒
dp
F =
dτ
Viererkraft
3.3 Viererstromdichte und Viererpotential
Die im Falle der Lorentz-Eichung gegebene Formgleichheit der Potentialgleichungen (vgl. II.5.2)
1 ∂2φ
c2 ∂t2
~
1 ∂2A
∆φ − 2
2
c ∂t
∆φ −
= −
ρ
ε0
= −µ0 ~j
legt die Zusammenfassung der Potentiale und Ladungs- und Stromdichte zu je einem Vierervektor nahe. Wie das zu erfolgen hat, folgt aus der Kontinuitätsgleichung, die infolge der
Ladungserhaltung in jedem Inertialsystem gelten muss.
Also:
∂ρ ~ ~
∂ρ
~ · ~j = 0
+∇·j =0 ⇒ c
+∇
∂t
∂(ct)
∂
~
·
c ρ , ~j = 0
,∇
∂(ct)
|
{z
}
⇒
4-dim. Divergenzoperator
Folglich ist
J := (c ρ, ~j)T
eine geeignete
Viererstromdichte. Damit und mit ε1
0
= c2 µ0
weiter:
φ ~
1 ∂2 φ ~
∆
,A − 2 2
, A = −µ0 (c ρ, ~j)
c
c ∂t
c
1 ∂2
⇔
∆ − 2 2 Ω = −µ0 J
c ∂t
⇒
mit dem
Ω = −µ0 J
Viererpotential
Potentialgleichungen in Vierervektornotation
~ T
Ω := (φ/c , A)
folgt
3.4 Der Feldstärketensor
Bemerkung:
127
Die obigen kovarianten Potentialgleichungen sind die kompakteste (und eleganteste?) Formulierung der Elektrodynamik.
Mit dem Viererpotential lautet die Loren(t)z-Eichung:
~ ·A
~+ 1
∇
c2
∂
⇔
,
∂(ct)
∂φ
=0
∂t ~ ·
∇
φ ~
,A
c
=0
und ist damit äquivalent zum Verschwinden der (4-dimensionalen) Divergenz des Viererpotentials - also eine relativistische Coulomb-Eichung.
Bemerkung:
Hier ist eine
andere Denition eines Vierervektors (als die in 3.1.1 verwendete)
erfolgt. In der Wahl des Vierervektors besteht in der Tat Freiheit, siehe z.B.
die Bücher von

x
 y 


 z ;
ict
Greiner:

ct
 x 


 y ;
z
Griths:

t
 x 
 
 y 
z



Jackson:
3.4 Der Feldstärketensor
Für das elektrische und magnetische Feld gilt bekanntlich:
~
~ = −∇
~ φ − ∂A
E
∂t
~ =∇
~ ×A
~
B
;
bzw. in Komponenten:
Ei
∂
−
=
c
∂xi
∂Ai
φ
+
c
∂(ct)
;
Bi =
∂Aj
∂Ak
−
∂xj
∂xk
Mit der Notation
kontravarianter Vektor:
kovarianter Vektor:
xµ
xµ
=
=
(x0 , x1 , x2 , x3 )
(−x0 , x1 , x2 , x3 )
=
=
(ct, x1 , x2 , x3 )
(−ct, x1 , x2 , x3 )
gilt für die Lorentztransformation von Vierervektoren:
0
x µ = Lµν xν
Bemerkung:
Diese Notation erlaubt die Darstellung
xµ xµ =
3
X
xµ xµ = −x20 + x21 + x22 + x23 = −c2 t2 + x21 + x22 + x23
µ=0
Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bedeutet
3
X
xµ xµ = 0 = x21 + x22 + x23 − c2 t2
µ=0
in allen Inertialsystemen (Kugelwellenfront!).
3 Kovariante Formulierung
128
Insbesondere ist
3
X
(∆ s)2 :=
(∆xµ ) (∆xµ ) = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + (∆x3 )2 − c2 (∆t)2
µ=0
das invariante Intervall oder der Abstand zweier Ereignisse im MinkowskiRaum. Es wird unterschieden:
(∆s)2 < 0:
zeitartiger Abstand
2
(∆s) > 0:
raumartiger Abstand
2
lichtartiger Abstand
(∆s) = 0:
Für
(∆s)2 < 0
gibt es ein Inertialsystem, in dem die beiden Ereignisse am
selben Ort stattnden. Für
(∆s)2 > 0
gibt es eines, in dem sie gleichzeitig
sind.
Da das Vektorpotential sich entsprechend transformiert, gilt:
µ
A :=
φ
, A 1 , A2 , A3
c
und damit lassen sich die obigen Gleichungen für die Felder (als 4-dimensionale Rotation)
schreiben:

F µν :=
Dieser antisymmetrische
∂ Aν
∂ xµ
−
∂ Aµ
∂ xν

0
Ex /c Ey /c Ez /c
 −Ex /c
0
Bz
−By 

=
 −Ey /c −Bz
0
Bx 
−Ez /c By
−Bx
0
kontravariante Feld(stärke)tensor ist die relativistische Verall-
gemeinerung der elektrischen und magnetischen Felder, die somit beide in diese neue Gröÿe
vereinigt werden.
Bemerkung:
Die Felder werden also nicht einfach zu einem Vierervektor verallgemeinert
(was angesichts der
2×3
Komponenten ohnehin nicht möglich wäre), sondern
sind als Elemente eines Tensors aufzufassen.
Die Maxwell-Gleichungen lauten in dieser Notation:
P ∂ F µν
= µ0 J µ
∂ xν
ν
(
⇒
~ ·E
~ = ρ = µ0 c2 ρ
∇
0
~ ×B
~ − 12 ∂ E~ = µ0 ~j
∇
∂ Fµν
∂ Fνλ ∂ Fλµ
+
+
=0
λ
∂ xµ
∂ xν
∂x
Bemerkung:
c
(
⇒
~ ×E
~ + ∂ B~
∇
∂t
~ ·B
~ =0
∇
Fµν ergeben
µ = ν = 0!).
Die Komponenten des kovarianten Tensors
Vierer-Vektor (=
b Minuszeichen bei
∂t
sich analog zu einem
3.5 Die Lorentz-Transformation der Felder
129
3.5 Die Lorentz-Transformation der Felder
... ergibt sich aus der Tatsache, dass sie als Komponenten eines Tensors aufgefasst werden
müssen. Für die Transformation des Letzteren gilt

F 0mn = Lµm Lνn F µν
γ
−γβ

−γβ
γ
Lνn = Lµm =


0
0
0
0
;
gewählt
wie oben

0
0 

0 
1
0
0
1
0
Demnach gilt oenbar:
01
Ex0
= F0
= Lµ0 Lν1 F µν = γLν1 F 0ν − γβLν1 F 1ν
c
= −γ 2 βF 00 + γ 2 F 01 + γ 2 β 2 F 10 − γ 2 βF 11
Ex
Ex
− γ2β2
−0
= 0 + γ2
c
c
Ex 2
Ex
=
γ (1 − β 2 ) =
c
c
0
Ey
02
= F0
= Lµ0 Lν2 F µν = γLν2 F 0ν − γβLν2 F 1ν
c
Ey
− γβBz
= γF 02 − γβF 12 = γ
c
usw.
Also:
Bx0 = Bx
By0 = γ(By +
Bz0 = γ(Bz −
Ex0 = Ex
Ey0 = γ(Ey − vBz )
Ez0 = γ(Ez + vBy )
v
E )
c2 z
v
E )
c2 y
oder vektoriell:
0
E~k = E~k
0
~
E~⊥ = γ(E~⊥ + ~v × B)
d.h. also: die Anteile von
0
B~k = B~k
0
B~⊥ = γ(B~⊥ −
1
~v
c2
~
× E)
~ und B
~ sind in den verschiedenen Inertialsystemen i.A. verschieden.
E
Es gibt zwei interessante Spezialfälle, die das illustrieren:
(a) Mit
~ =0
B
folgt:
~ 0 = γ v (Ez ~ey − Ey ~ez )
B
c2
v
(E 0 ~ey − Ey0 ~ez )
c2 z
=
=
|
1
~ 0)
(~v × E
2
c
−
~v = v ~ex (b) Mit
~ =0
E
folgt:
~ 0 = −γv(Bz ~ey − By ~ez )
E
=
−v(Bz0 ~ey − By0 ~ez )
oder
werden.
~ 0 6= 0:
B
ein reines
~E
oder
~ -Feld
B
in
|
~0
~v × B
~
v
=
v
~
e
x
Wenn also in irgendeinem Punkt im Koordinatensystem
~ 0 6= 0
E
=
Σ
~ =0
ΣE
oder
~ =0
B
gilt, gilt in
kann niemals zu einem reinen Feld in
Σ0
Σ0
3 Kovariante Formulierung
130
Bemerkung:
Die Uminterpretation von
~
E
und
~ von einem Inertialsystem (Σ) in ein anderes
B
~0 · B
~0 = E
~ ·B
~ und
(Σ0 ) unterliegt Einschränkungen durch die Invariante E
02
2
02
2
2
2
~
~
~
~
~
~
E − c B = E − c B d.h. E und B sind in jedem Inertialsystem senkrecht
zueinander und es gilt in jedem Inertialsystem
E
B
= c.
Elektromagnetische
Wellen behalten also ihre grundsätzliche Struktur.
Bemerkung:
Die Maxwell-Gleichungen können noch tiefer gehend motiviert werden: es ist
möglich, sie aus einem Prinzip der extremalen Wirkung herzuleiten. Dann
wird die Lagrange-Funktion der klass. Mechanik auf eine Lagrange-Dichte
verallgemeinert (siehe z.B. Landau-Lifschitz oder Schlickeiser-Skript). Diese
Vorgehensweise führt dann in Richtung allgemeiner Quantenfeldtheorie.