Theoretische Mechanik für LAK WS 16/17

W. Schweiger
Institut für Physik
FB Theor. Physik
KFU Graz
Theoretische Mechanik für LAK
WS 16/17
13. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 2.2.2017)
Aufgabe 35: Myonen haben in ihrem Ruhesystem eine Lebensdauer τ ≈ 2 ×
10−6 s. Sie werden in einer Höhe von etwa h ≈ 30 km durch kosmische
Strahlung produziert. Trotz dieser Höhe und ihrer kurzen Lebensdauer
(cτ ≈ 600 m) erreichen Sie zum grössten Teil die Erdoberfläche.
Wie klein darf die Abweichung ǫ = (c−v)/c der Geschwindigkeit des Myons
von der Lichtgeschwindigkeit höchstens sein, damit die Myonen auf der
Erdoberfläche beobachtet werden können?
Hinweis: Auf Grund der Zeitdilatation hängt die Zeitspanne ∆τ , die im
Ruhesystem IS ′ des Teilchens vergeht, mit der entsprechenden Zeitspanne
∆τ , die im IS vergeht, in dem sich das Teilchen mit Geschwindigkeit v
bewegt, mittels
1
∆t = γ ∆τ = p
∆τ
1 − v 2 /c2
zusammen.
Aufgabe 36: Definiert man für ein Teilchen mit Ruhemasse m einen (kontraµ
0
T
varianten) 4-Vektor
p als p = (p ) := (p , p~) mit dem relativistischen 0Impuls p~ = m~v / 1 − ~v 2 /c2 und der relativistischen Energie E = p c =
p
m2 c4 + p~ 2 c2 , so transformiert dieser Vektor unter Lorentztransformationen gleich wie der 4-Vektor (xµ ), d.h. pµ ′ = Λµν pν . Man bezeichnet (pµ ) auch
als “Viererimpuls”
des Teilchens. Das Skalarprodukt zweier Viererimpulse
P3
′
µ
p · p = µ=0 p gµν p′ν ist somit unabhängig vom Bezugssystem.
a) Zeigen Sie, dass p2 = p · p = m2 c2 .
b) Zeigen Sie, dass für v << c gilt, dass E ≈ mc2 +
m~v 2
.
2
c) Um in einem Beschleuniger durch Kollisisionen zweier Elementarteilchen mit Viererimpulsen p und p′ eine neues Teilchen der Masse M zu
erzeugen, muss (p + p′ )2 ≥ M 2 gelten.
Angenommen, die kollidierenden Teilchen haben beide dieselbe Masse
m, ein Teilchen ruhe (p = (mc , ~0) und das zweite Teilchen habe relativistischen Impuls p~. Wie groß muss p~ mindestens sein, damit ich ein
Teilchen der Masse M c2 erzeugen kann?
d) Angenommen, die kollidierenden Teilchen haben beide dieselbe Masse
m, aber beide Teilchen haben den gleich großen, aber genau entgegengesetzt gerichteten relativistischen Impuls (~p′ = −~p). Wie groß muss
dann p~ mindestens sein, damit ich ein Teilchen der Masse M erzeugen
kann?
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