3 Laplace-Wahrscheinlichkeiten

3 Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Nina: „Wenn wir diesen Spielstein bei
,Mensch ärgere dich nicht‘ als Würfel benutzen, können wir sogar eine 7 werfen!“
Ben: „Aber beim Würfel haben doch alle
Zahlen die gleiche Chance …“
Würdest du den neuen „Würfel“ benutzen wollen?
Ein Experiment, dessen Ergebnisse man nicht sicher vorhersagen kann, nennt man
Zufallsexperiment. Jedes Ergebnis eines Zufallsexperimentes tritt mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit ein. Addiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, so erhält
man stets den Wert 1 (bzw. 100 %).
Das Glücksrad ist in 10 gleich große Sektoren eingeteilt. Man nimmt daher an, dass
der Pfeil nach dem Drehen des Glücksrades auf jeden Sektor mit der gleichen
1
Wahrscheinlichkeit _
10   zeigt.
Alle Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind also gleich wahrscheinlich. Man
spricht in einem solchen Fall von einem
Laplace-Experiment.
Die Zahlen 2, 5, 9 und 10 stehen auf einem roten Feld. Diese vier Ergebnisse lassen sich
zu dem Ereignis E: „Der Pfeil zeigt auf ein rotes Feld“ zusammenfassen. Die Wahrschein4
lichkeit dafür, dass dieses Ereignis eintritt, beträgt _
10  , denn 4 von 10 Feldern sind rot
4
_
gefärbt. Dafür schreibt man kurz P (E) = 10   = 0,4 = 40 %.
Um bei Laplace-Experimenten die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E zu berechnen,
muss man also nur wissen, wie viele Ergebnisse der Zufallsversuch insgesamt hat und
wie viele dieser Ergebnisse
das Ereignis enthält.
_
Das
_ Gegenereignis E enthält alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören; deshalb gilt:
P (E ) = 1 – P (E).
Ein Zufallsexperiment, bei dem man annehmen kann, dass alle Ergebnisse gleich
wahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment.
Bei einem Laplace-Experiment erhält man die Wahrscheinlichkeit P (E) für das Eintreten
eines Ereignisses E, indem man die Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse (die „günstigen“ Ergebnisse) durch die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse dividiert:
P (E) =
_
Anzahl der günstigen Ergebnisse
___
Anzahl aller Ergebnisse
die nicht zum Ereignis E gehören.
Zum Gegenereignis E gehören alle Ergebnisse,
_
Es gilt:
P (E ) = 1 – P (E)
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Pierre Simon Laplace
(1749 – 1827)
Gegenereignis
im Bei_
spiel: E: „Der Pfeil zeigt
auf Feld,_ das nicht rot
ist.“; P (E ) = 1 – 0,4 = 0,6
IV Wahrscheinlichkeit
Beispiel Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In einer Lostrommel befinden sich Lose mit den Nummern 1000 bis 9999. Losnummern
mit drei Nullen bedeuten „Hauptgewinn“. Endet die Losnummer auf 3 oder 7, so gibt es
einen Trostpreis. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Ereignisse.
A: Man zieht einen Hauptgewinn.
B: Man zieht einen Trostpreis.
C: Man zieht eine Niete.
Lösung
Man nimmt an, dass alle Lose mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden.
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beträgt 9000, denn es gibt 9999 – 999 = 9000 Lose.
Die Anzahl der Hauptgewinne beträgt 9, nämlich die Lose 1000, 2000, 3000, …, 9000.
Die Anzahl der Trostpreise beträgt 1800. Dies sieht man so: Insgesamt enden 900 Lose
auf 3, nämlich die Lose mit den Nummern 1003, 1013, 1023, …, 9993, also jedes zehnte
Los. Ebenso enden 900 Lose auf 7.
P (A) =
P (B) =
9
9000
1800
_
9000
1
1000 = 0,001 = 0,1 %,
1
= _5 = 0,2 = 20 %,
200
1
1
1
_ – _ = 1 – _ – _
1000 5
1000 1000
_
P (C) = 1 –
=
_
=
799
1000
_
= 0,799 = 79,9 %,
denn die Nieten bilden das Gegenereignis zu den Hauptgewinnen und Trostpreisen.
Aufgaben
1 a) Fig. 1 zeigt das Netz eines Farbwürfels.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das
Werfen der einzelnen Farben.
b) Zeichne das Netz eines Farbwürfels, für
den gilt:
1
1
1
P („rot“) = _2 , P („blau“) = _3 , P („gelb“) = _6 .
Fig. 1
2 In einer Lostrommel liegen 20 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 20. Es wird eine Kugel
gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer Kugel mit
a) einer ungeraden Zahl,
b) einer Primzahl,
c) einer Zahl kleiner als 4,
d) einer Zahl größer als 3?
3 Aus einer Urne wird eine Kugel gezogen. Die Urne enthält
(1) 10 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 10, oder (2) 100 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 100.
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl auf der gezogenen Kugel
a) die Ziffer 5 nicht enthält,
b) durch 5 teilbar ist.
4 Bei einem Spiel werden ein roter und ein blauer Spielwürfel gleichzeitig geworfen. Zähle
zunächst alle Ergebnisse auf, die zum Ereignis gehören, gib das Gegenereignis an und
bestimme dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
a) Die Augensumme ist größer als 10.
b) Die Augensumme ist kleiner als 10.
c) Die Augensumme ist gerade.
d) Die Augensumme ist eine Primzahl.
e) Die Würfel zeigen einen Pasch.
f) Die Augensumme ist kleiner als 12.
g) Die Augenzahl des blauen Würfels ist um zwei größer als die des roten.
5 Handelt es sich um ein Laplace-Experiment? Begründe.
a) Ein Tetraeder wird geworfen.
c) Ein Reißnagel wird geworfen.
e) Ein Glücksschwein wird geworfen.
b) Ein Legostein wird geworfen.
d) Eine Münze wird geworfen.
f) Eine Roulettescheibe wird gedreht.
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