INTA - Übungsblatt 3. Nicht alle Aufgaben sind gleich wichtig im

INTA - Übungsblatt 3. Nicht alle Aufgaben sind gleich wichtig im Hinblick auf die Klausur, wir gehen das am
Donnerstag durch.
Aufgabe 12 (Logisches Schließen). Sie sind in geheimer Mission auf der Insel der Ritter und Schurken unterwegs. Die Ritter machen immer nur wahre Aussagen, die Schurken hingegen lügen immer. Sie müssen unbedingt
schnellstens einen Freund finden, dem sie immer vertrauen können (wohl am besten einen Ritter...) — und als sie
drei Inselbewohner treffen, nämlich Prof. C, Prof. E und Prof. L, ist ihre Chance gekommen: sie fragen zunächst
Prof. C: „Sind Prof. E und Prof. L beide Ritter?“. Prof. C antwortet mit JA. Sie fragen dann Prof. C, ob Prof. E
ein Ritter ist, Prof. C antwortet zu ihrer Überraschung mit NEIN. Ist Prof. L ein Ritter oder ein Schurke? (und
wer sollte ihr neuer Freund sein? – begründen sie ihre Antworten!)
Aufgabe 13 (Meta-Logik). Ihr neuer Freund hilft Ihnen, den Turm des Zauberes zu finden (der Zauberer kann ihnen möglicherweise bei ihrer Mission helfen). Der Zauberer hat gerade einen Termin mit dem Insel-Astrologen.
Als sie ins Arbeitszimmer des Zauberers treten, sehen sie dort zwei sonderbare Gestalten: die eine trägt einen
grünen kegelförmigen Hut, die andere einen blauen. Es läßt sich nicht erkennen, wer der Zauberer und wer der
Astrologe ist – sie stellen deshalb die folgende Frage: „Ist der Zauberer ein Ritter?“. Die Gestalt mit dem blauen
Hut beantwortet die Frage (er antwortete entweder mit JA oder NEIN!), und sie können daraufhin ENTSCHEIDEN, wer von beiden der Zauberer war. Welcher war es? (und warum – begründen sie bitte!)
Aufgabe 14 (Meta-Logik, die Zweite). Nachdem sie erfolgreich den Zauberer identifiziert haben (hatten sie
doch, oder?), werden sie kurzzeitig als Richter ans Gericht der Insel der Ritter und Schurken berufen. Der heutige Angeklagte heißt KAI. Er steht in dem Verdacht, eine Uhr gestohlen zu haben. Hier ist das Protokoll des
Prozesses:
SIE: Trifft es zu, dass du irgendwann nach dem Raub einmal behauptet hast, nicht der Täter gewesen zu sein?
KAI: Ja.
SIE: Hast du jemals behauptet, der Täter gewesen zu sein?
KAI antwortete daraufhin (mit JA oder NEIN) und SIE konnten entscheiden, ob KAI die Tat begangen hatte oder
nicht.
Hat KAI also die Uhr gestohlen oder nicht? (Mit Begründung, natürlich!)1
Aufgabe 15 (Logik: Syllogismen).
Welche der folgenden syllogistischen Schlüße sind gültige Schlüße?
(1)
Alle Diamanten sind hart
Einige Diamenten sind Edelsteine
—————————————————Einige Edelsteine sind hart
(2)
Alle Katzen haben Flügel
Alle Hunde sind Katzen
—————————————————Alle Hunde haben Flügel
(3)
Alle Flageolets sind Flipple-Flutes
Alle Monauli sind Flageolets
—————————————————Alle Monauli sind Flipple-Flutes
(4)
Alle Säugetiere sind sterblich
Alle Hunde sind sterblich
—————————————————Alle Hunde sind Säugetiere
1 Ein
weiterer Klassiker des Logikers Raymond Smullyan in einer von mir leicht abgewandelten Variante.
1
(5)
Wenn es heute nacht einen Sturm geben wird,
dann fällt das Barometer
Das Barometer fällt nicht
—————————————————Es wird heute nacht keinen Sturm geben
(6)
Wenn Roman Liebig bereit ist auszusagen, dann
ist er unschuldig
Roman Liebig ist nicht bereit auszusagen
—————————————————Roman Liebig ist nicht unschuldig
(7)
Einige Neurotiker sind nicht angepaßt
Einige nicht angepaßte Personen sind nicht ehrgeizig
—————————————————Einige Neurotiker sind nicht ehrgeizig
(8)
Alle Logiker sind Mathematiker
Einige Philosophen sind keine Mathematiker
—————————————————Einige Philosophen sind keine Logiker
Aufgabe 16 (Wahrheitstafeln).
Konstruieren Sie eine Wahrheitstafel für F = ¬(¬A ∨ ¬(¬B ∨ ¬A)). Ist die Formel erfüllbar? Ist sie gültig?
(Machen sie es, wie in der Vorlesung: notieren Sie F komplett und tragen sie genau unter den Operatoren die
jeweiligen Wahrheitswertverläufe ein und nummerieren sie, der Reihenfolge entsprechend, die Operatoren).
Aufgabe 17 (Formelmengen, Erfüllbarkeit).
Geben Sie eine dreielementige Formelmenge M = {F1 , F2 , F3 } an, so dass jede zweielementige Teilmenge von
M erfüllbar ist, M selbst aber nicht.
Aufgabe 18 (Umformung mit Äquivalenzen).
Sind die Formeln F = ((A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B)) und A äquivalent? Hinweis: Beginnen Sie mit der Formel F
und formen Sie diese nach und nach unter Verwendung der “nützlichen Äquivalenzen” der Vorlesung und des
Ersetzbarkeitstheorem wie im Beispiel in der Vorlesung um.
Aufgabe 19 (Bool’sche Funktionen, Wahrheitswertverläufe).
Gegeben sind die atomaren Formeln A und B. Aus diesen können sie mit Hilfe der logischen Operatoren ¬,∨,∧,
→,↔ abzählbar unendlich viele Formeln bauen, z.B. (A ∨ B) → ¬(B ∧ ¬A) usw.
Wir wissen: die Wahrheitstabellen für all diese Formeln haben genau 2n Zeilen (hier ist n = 2, n ist die Anzahl
der atomaren Formeln). Jede Formel führt zu genau einem Wahrheitswertverlauf (=die Spalte unter der Formel),
hier wird zu jeder möglichen Belegung von A und B mit Wahrheitswerten (das entspricht den Zeilen) der Wahrheitswert angegeben, der sich für die jeweilige Formel aus der Semantik (also der Bedeutung) der Operatoren
ergibt, die in der Formel vorkommen. Es ist klar, dass für jede Zeile in der Spalte zu einer Formel genau einer
n
von zwei Werten stehen muß, also entweder 1 (für wahr) oder 0 (für falsch). Es gibt also genau 22 mögliche
Wahrheitswertverläufe für n atomare Formeln, für unser n also genau 16.
1. Geben sie eine Wahrheitstabelle an, die die 16 möglichen Wahrheitswertverläufe zeigt.
2. Geben sie zu jedem Wahrheitswertverlauf eine Formel an, die die oben angegebenen Operatoren enthalten
kann, und zu einem identischen Wahrheitswertverlauf führt.
2
Aufgabe 20 (Operatoren ersetzen).
Formen Sie die Formel F ∨ G so um, dass sie nur die Operatoren ¬ und ∧ enthält.
Aufgabe 21 (Induktion/Sparen von Operatoren).
Zeigen Sie mittels Induktion über den Formelaufbau, dass es zu jeder Formel F eine äquivalente Formel G gibt,
die nur die Operationen ¬ und → enthält. Hinweis: Diese Aufgabe sollten Sie unbedingt probieren, sie ist im
Hinblick auf die Klausur nicht unwichtig.
Aufgabe 22 (DNF (Wahrheitstafel), KNF (beide Methoden)).
Gegeben ist die Formel (¬A → B) ∧ ((A ∧ ¬C) ↔ B).
1. Leiten Sie aus der Wahrheitstafel von F eine DNF von F ab.
2. Leiten Sie aus der Wahrheitstafel von F eine KNF von F ab.
3. Wenden Sie die Umformungsmethode aus der Vorlesung auf F an, um eine KNF von F zu erhalten.
Gestalten Sie ihre Darstellung so, dass man die Anwendung der Umformungsmethode nachvollziehen
kann!
Aufgabe 23 (Folgerung, Formelmenge, Unerfüllbar).
Eine Formel G heiße Folgerung der Formeln F1 , . . . , Fk , falls für jede Belegung A, die sowohl zu F1 , . . . , Fk
als auch zu G passend ist, gilt: Wenn A Modell von {F1 , . . . , Fk } ist, dann ist A auch Modell von G. Zeigen
Sie:
Vk
Sei G eine Folgerung von F1 , . . . , Fk , genau dann, wenn (( i=1 Fi ) ∧ ¬G) unerfüllbar ist.
Aufgabe 24 (Markierungsalgorithmus). Gegeben ist die Formel
F = (A ∧ D ∧ ¬C) ∨ (E ∧ A) ∨ (¬(¬B ∨ ¬D) ∧ ¬E) ∨ A ∨ ¬B ∨ (B ∧ ¬D)
Wenden Sie den Markierungsalgorithmus an und bestimmen Sie ein minimales Modell für ¬F (sofern
eines existiert).
Hinweis: Negieren Sie F und bestimmen Sie die KNF. Bringen Sie diese in Implikationsform und wenden Sie den
Markierungsalgo an. Vergessen Sie nicht, anschließend ein minimales Modell anzugeben (wenn eines existiert)
oder klar zu sagen, dass es keines gibt!
Aufgabe 25. Bringen Sie die folgende Formel in Klauselform:
F = (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C).
Beachten Sie: Es gibt hier viele mögliche Lösungen, die alle semantisch äquivalent sind.
Aufgabe 26. Bestimmen Sie für die folgende Formel F die Mengen Res0 (F ), Res1 (F ) und Res2 (F ):
F = (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (B ∨ C) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) ∧ ¬C
[Wenn Ihnen Res2 (F ) zuviel wird, sie aber das Prinzip sicher verstanden haben, können sie sich auch mit
Res1 (F ) bescheiden. Übrigens: Ist F unerfüllbar?]
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Aufgabe 27. Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass
A∧B∧C
eine Folgerung (s. oben) aus der Klauselmenge
{{¬A, B}, {¬B, C}, {A, ¬C}, {A, B, C}}
ist. Beachten Sie: Sie können den Algorithmus aus der Vorlesung anwenden oder direkt eine Deduktion angeben.
Hinweis: Schauen Sie sich die Aufgabe zur Folgerung vom letzten Übungsblatt noch mal genau an (das ist
übrigens sogar eine Äquivalenz) – dort steht schon sehr schön, welche Formel sie auf Unerfüllbarkeit untersuchen
müssen, um die Gültigkeit der obigen Aussage überprüfen zu können. Prägen sie sich dieses Vorgehen ein, es ist
wichtig!
Aufgabe 28. Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode (s. auch vorstehende Erläuterung), dass
F = (¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B
eine Tautologie ist.
Aufgabe 29.
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgende Formel eine Tautologie ist:
(¬(A ∨ B) ∧ (B ↔ C)) ∨ ¬((C → ¬A) ∧ (A → C) ∧ (C → A))
Hinweis: Vorsicht, das kann ein bißchen aufwändig werden, ist aber zum Üben nicht verkehrt. Denken Sie daran,
dass man den Doppelpfeil auf zwei Arten ersetzen kann (eine ist hier recht gut, eine nicht so toll).
Aufgabe 30. Untersuchen Sie
F = (¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬B ∧ ¬D) ∨ (C ∧ D) ∨ B
mit DPLL auf Gültigkeit (also ¬F auf Unerfüllbarkeit – sie kennen ¬F schon, s. oben).
Gestalten sie ihre Darstellung nachvollziehbar!
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