LDS - Übungsblatt 3. Aufgabe 18 (Logik). “Worin besteht das

LDS - Übungsblatt 3.
Aufgabe 18 (Logik). “Worin besteht das Geheimnis ihres langen Lebens?” wurde ein 100-jähriger gefragt. “Ich
halte mich streng an die folgenden Diätregeln: Wenn ich keinen Wein zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich
immer Fleisch. Immer, wenn ich Fleisch und Wein zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich auf Schokopudding.
Wenn ich Schokopudding habe oder Wein meide, dann rühre ich Fleisch nicht an”. Der Fragende fand diesen
Ratschlag ziemlich verwirrend, können Sie ihn vereinfachen?
Aufgabe 19 (Logisches Schliessen). Sie sind in geheimer Mission auf der Insel der Ritter und Schurken unterwegs. Die Ritter machen immer nur wahre Aussagen, die Schurken hingegen lügen immer. Sie müssen unbedingt
schnellstens einen Freund finden, dem sie immer vertrauen können (wohl am besten einen Ritter...) — und als sie
drei Inselbewohner treffen, nämlich Prof. C, Prof. E und Prof. L, ist ihre Chance gekommen: sie fragen zunächst
Prof. C: „Sind Prof. E und Prof. L beide Ritter?“. Prof. C antwortet mit JA. Sie fragen dann Prof. C, ob Prof. E
ein Ritter ist, Prof. C antwortet zu ihrer Überraschung mit NEIN. Ist Prof. L ein Ritter oder ein Schurke? (und
wer sollte ihr neuer Freund sein? – begründen sie ihre Antworten!)
Aufgabe 20 (Meta-Logik). Ihr neuer Freund hilft Ihnen, den Turm des Zauberes zu finden (der Zauberer kann ihnen möglicherweise bei ihrer Mission helfen). Der Zauberer hat gerade einen Termin mit dem Insel-Astrologen.
Als sie ins Arbeitszimmer des Zauberers treten, sehen sie dort zwei sonderbare Gestalten: die eine trägt einen
grünen kegelförmigen Hut, die andere einen blauen. Es läßt sich nicht erkennen, wer der Zauberer und wer der
Astrologe ist – sie stellen deshalb die folgende Frage: „Ist der Zauberer ein Ritter?“. Die Gestalt mit dem blauen
Hut beantwortet die Frage (er antwortete entweder mit JA oder NEIN!), und sie können daraufhin ENTSCHEIDEN, wer von beiden der Zauberer war. Welcher war es? (und warum – begründen sie bitte!)
Aufgabe 21 (Meta-Logik, die Zweite). Wenn sie weiter knobbeln möchten: hier noch eine schöne Aufgabe
Nachdem sie erfolgreich den Zauberer identifiziert haben, werden sie kurzzeitig als Richter ans Gericht der Insel
der Ritter und Schurken berufen. Der heutige Angeklagte heißt KAI. Er steht in dem Verdacht, eine Uhr gestohlen
zu haben. Hier ist das Protokoll des Prozesses:
SIE: Trifft es zu, dass du irgendwann nach dem Raub einmal behauptet hast, nicht der Täter gewesen zu sein?
KAI: Ja.
SIE: Hast du jemals behauptet, der Täter gewesen zu sein?
KAI antwortete daraufhin (mit JA oder NEIN) und SIE konnten entscheiden, ob KAI die Tat begangen hatte oder
nicht.
Hat KAI also die Uhr gestohlen oder nicht? (Mit Begründung, natürlich!)1
Aufgabe 22.
Konstruieren Sie eine Wahrheitstafel für F = ¬(¬A ∨ ¬(¬B ∨ ¬A)) (vereinfachen sie die Formel zu Übungszwecken bitte vorher nicht). Ist die Formel erfüllbar? Ist sie gültig?
Aufgabe 23 (Wahrheitstafeln).
Konstruieren Sie eine Wahrheitstafel für F = ¬((¬A ∨ ¬(¬B ∨ ¬A)) → (C ∨ (¬B ↔ A))). Ist die Formel
erfüllbar? Ist sie gültig?
Aufgabe 24 (Operatoren ersetzen).
Formen Sie die Formel F ∨ G so um, dass sie nur die Operatoren ¬ und ∧ enthält.
Aufgabe 25 (Bool’sche Funktionen, Wahrheitswertverläufe).
Gegeben sind die atomaren Formeln A und B. Aus diesen können sie mit Hilfe der logischen Operatoren ¬,∨,∧,
1 Drei
Klassiker des Logikers Raymond Smullyan in einer von mir leicht abgewandelten Variante.
1
→,↔ abzählbar unendlich viele Formeln bauen, z.B. (A ∨ B) → ¬(B ∧ ¬A) usw.
Wir wissen: die Wahrheitstabellen für all diese Formeln haben genau 2n Zeilen (hier ist n = 2, n ist die Anzahl
der atomaren Formeln). Jede Formel führt zu genau einem Wahrheitswertverlauf (=die Spalte unter der Formel),
hier wird zu jeder möglichen Belegung von A und B mit Wahrheitswerten (das entspricht den Zeilen) der Wahrheitswert angegeben, der sich für die jeweilige Formel aus der Semantik (also der Bedeutung) der Operatoren
ergibt, die in der Formel vorkommen. Es ist klar, dass für jede Zeile in der Spalte zu einer Formel genau einer
n
von zwei Werten stehen muß, also entweder 1 (für wahr) oder 0 (für falsch). Es gibt also genau 22 mögliche
Wahrheitswertverläufe für n atomare Formeln, für unser n also genau 16.
1. Geben sie eine Wahrheitstabelle an, die die 16 möglichen Wahrheitswertverläufe zeigt.
2. Geben sie zu jedem Wahrheitswertverlauf eine Formel an, die die oben angegebenen Operatoren enthalten
kann, und zu einem identischen Wahrheitswertverlauf führt.
Ergänzende Information: die Relation ≡, die die semantische Äquivalenz von zwei Formeln festhält, ist eine
Äquivalenzrelation auf der Menge der Formeln – jede der Formeln, die sie oben gefunden haben, ist ein Repräsentant für seine Äquivalenzklasse und kann jede Formel aus seiner Äquivalenzklasse aus semantischer Sicht
perfekt ersetzen.
Aufgabe 26 (Minimale Mengen logischer Operatoren).
Zeigen Sie per Induktion, dass es zu jeder Formel H, die mit den Operatoren ¬, ∨ oder ∧ aufgebaut ist, eine
äquivalente Formel G gibt, die nur die Operatoren ¬ und → enthält.
Hinweis: Sie müssen rausfinden, wie sie ∨ und ∧ mittels → und ¬ ausdrücken können – das gibt in einer Klausuraufgabe schon mal einige der Punkte. Dann müssen sie das noch formal korrekt verpacken – es soll ja für JEDE
Formel gelten. Das geht per Induktion über den Formelaufbau. Hier der Weg, den sie noch vervollständigen
müssen:
Behauptung: Sei H eine beliebige Formel, die nur mit ¬, ∨ und ∧ aufgebaut ist. Dann gibt es eine zu H äquivalente Formel G, die nur mit ¬ und → aufgebaut ist.
Jetzt geht’s los mit dem Induktionsanfang: Sei H eine atomare Formel . . .
Dann der Induktionsschritt:
[Induktionsannahme] H1 und H2 seien Formeln, die mit ¬, ∨, ∧ aufgebaut sind und G1 bzw. G2 Formeln, die
nur mit ¬ bzw. → aufgebaut sind, und es gilt: H1 ≡ G1 bzw. H2 ≡ G2 .
[Induktionsbehauptung] Dann gibt es zur jeder Formel H der Bauarten ¬H1 , (H1 ∨ H2 ), (H1 ∧ H2 ) eine äquivalente Formel G, die nur ¬ und → enthält – das ist zu zeigen!
Nun arbeiten sie die Fälle ab. Machen wir mal den ersten Fall:
Gegeben H = ¬H1 . Gesucht ist ein G, nur mit ¬ und → aufgebaut, das äquivalent zu H ist (das brauchen sie
nicht hinzuschreiben, dass wissen wir aus der Behauptung oben). Nach Induktionsannahme gibt es ein G1 , das
bereits von der gesuchten Form und äquivalent zu H1 ist. Dann hat natürlich G = ¬G1 die gewünschte Form und
es gilt nach Ersetzungstheorem G ≡ H.
In den anderen Fällen haben sie es mit zwei Formeln zu tun...aber ansonsten geht das genauso – natürlich müssen
sie zuerst wissen, wie sie ∧ und ∨ durch ¬ und → ausdrücken können, fragen sie sich also, wie sie H1 ∨ H2 und
H1 ∧ H2 nur mit ¬ und → ausdrücken können.
Probieren sie das und sprechen sie mit ihren Kommilitonen darüber. Es besteht eine gute Chance, dass eine
ähnliche Aufgabe in der Klausur dran kommt!
2
Aufgabe 27 (Üben: DNF (Wahrheitstafel), KNF (beide Methoden)).
Gegeben ist die Formel (¬A → B) ∧ ((A ∧ ¬C) ↔ B).
(a) Leiten Sie aus der Wahrheitstafel von F eine DNF von F ab.
(b) Leiten Sie aus der Wahrheitstafel von F eine KNF von F ab.
(c) Wenden Sie die Umformungsmethode aus der Vorlesung auf F an, um eine KNF von F zu erhalten. Gestalten Sie ihre Darstellung so, dass man die Anwendung der Umformungsmethode nachvollziehen
kann!
Aufgabe 28 (Üben: Folgerung, Formelmenge, Unerfüllbar).
Definition: Eine Formel G heißt genau dann Folgerung der Formeln F1 , . . . , Fk , wenn für jede Belegung A, die
sowohl zu F1 , . . . , Fk als auch zu G passend ist, gilt: Wenn A Modell von {F1 , . . . , Fk } ist, dann ist A auch
Modell von G.
Zeigen Sie: Die Aussage
G eine Folgerung von F1 , . . . , Fk
ist äquivalent zur Aussage
Vk
( i=1 Fi ) ∧ ¬G ist unerfüllbar.
Achtung: Hier muß man zwei Richtungen zeigen!
Ein möglicher Widerspruchsbeweis als Lückentext für die erste Richtung: Angenommen, G ist eine FolVk
Vk
gerung von F1 , . . . , Fk , aber ( i=1 Fi ) ∧ ¬G ist nicht ___________. Dann gibt es eine zu ( i=1 Fi )________
= H und damit zu __,F1 , . . . , Fk passende Belegung A, die H erfüllt. Nach Def. ∧ folgt mit A(H) = 1 aber
Vk
A( i=1 Fi )) = ___ und A(¬G) = ____, und damit A({F1 , . . . , Fk }) = ____ und A(G) = ___, im Widerspruch zur Annahme, dass __ eine __________ von F1 , . . . , Fk ist, also muß __ unerfüllbar sein.
Füllen Sie den Lückentextbeweis aus und versuchen Sie sich an der zweiten Richtung!
Hinweis: Dies ist eine sehr nützliche Aussage. Man untersucht sehr oft Aussagen auf Folgerungseigenschaft
(Standardfrage in den exakten Wissenschaften: Folgt ein neues “Gesetz” aus einer Mengen von bereits bewiesenen Gesetzen und vorgegebenen Axiomen?). Dass sie die Definition des Folgerungsbegriffs kennen, setze ich
auch für die Klausur voraus. Auch diese Aufgabe kann in sehr ähnlicher Form in der Klausur auftauchen!
Aufgabe 29 (Logik: Syllogismen).
Welche der folgenden sogenannten syllogistischen Schlüsse sind gültige Schlüsse? Ein Schluss ist gültig, wenn
sichergestellt ist, dass die Konsequnenz aus rein logischen Gründen wahr ist, falls die Prämissen wahr sind. Im
Nein-Fall begründen Sie bitte jeweils kurz.
(1)
Alle Diamanten sind hart
Einige Diamenten sind Edelsteine
—————————————————Einige Edelsteine sind hart
(2)
Alle Katzen haben Flügel
Alle Hunde sind Katzen
—————————————————Alle Hunde haben Flügel
(3)
Alle Flageolets sind Flipple-Flutes
Alle Monauli sind Flageolets
—————————————————Alle Monauli sind Flipple-Flutes
3
(4)
Alle Säugetiere sind sterblich
Alle Hunde sind sterblich
—————————————————Alle Hunde sind Säugetiere
(5)
Wenn es heute nacht einen Sturm geben wird,
dann fällt das Barometer
Das Barometer fällt nicht
—————————————————Es wird heute nacht keinen Sturm geben
(6)
Wenn Roman bereit ist auszusagen, dann ist er unschuldig
Roman ist nicht bereit auszusagen
—————————————————Roman ist nicht unschuldig
(7)
Einige Neurotiker sind nicht angepaßt
Einige nicht angepaßte Personen sind nicht ehrgeizig
—————————————————Einige Neurotiker sind nicht ehrgeizig
(8)
Alle Logiker sind Mathematiker
Einige Philosophen sind keine Mathematiker
—————————————————Einige Philosophen sind keine Logiker
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