Potenzen mit reellem Exponenten

Mathematik (M4)
EF (Wieczorek)
11.04.2016
Zusammenfassung: Potenzen mit reellem Exponenten
In Klasse 9 wurden Potenzen mit ganzzahligen Exponenten behandelt, z.B.
25 =
2 · 2 · 2}
|2 · 2 ·{z
Der Faktor 2 kommt fünfmal vor
4−3 =
1
1
.
=
3
4
4·4·4
Im Ausdruck ab heißt a Basis und b Exponent. Es gelten die Potenzgesetze
ab
= ab−c
c
a
ab · ac = ab+c
ab
c
= ab·c .
Man kann auch Brüche sinnvoll als Exponenten verwenden. Dabei sollen die Potenzgesetze
weiterhin gültig sein. Beispielsweise soll gelten
1 3
1
2 3 = 2 3 ·3 = 21 = 2 .
1
1
2 3 soll daher die Lösung der Gleichung x3 = 2 sein, und damit gilt 2 3 =
√
3
2.
√
m
Man definiert a n = n am . Dabei ist a > 0, m ist eine ganze Zahl und n ist eine
positive ganze Zahl. Die Potenzgesetze gelten weiterhin.
√
Man kann sogar
weitergehen und auch irrationale Exponenten wie z.B. 2 = 1.41421 . . .
√
verwenden. 2 2 ist dann diejenige Zahl, der sich die Zahlen mit rationalem Exponenten
21 , 21.4 , 21.41 , 21.4142 , 21.41421 , . . .
als Grenzwert nähern. Mit dem Taschenrechner findet man
21
21.4
21.41
21.41
21.414
21.4142
..
.
√
2
2
2
2.63901582155
2.65737162819
2.65737162819
2.66474965018
2.66511908853
..
.
2.66514414269
Für a > 0 kann man für reelle Zahlen r sinnvoll die Potenz ar definieren. Die Potenzgesetze
gelten auch hier.
Für a > 0 und beliebige reelle Exponenten r, s gelten die Potenzgesetze
ar · as = ar+s
ar
= ar−s
s
a
(ar )s = ar·s .