1.6 Potenz und Wurzel

Zahlenmengen und Rechenregeln r 21
1.6
Potenz und Wurzel
Für die Multiplikation gleicher Faktoren und deren Umkehrung
werden als Begriffe eingeführt:
Potenzen
an heißt die n-te Potenz der Zahl a. a nennt man Grundzahl
oder Basis, n nennt man Hochzahl oder Exponent.
n ist entweder eine natürliche, eine ganze oder eine rationale
Zahl.
• n als natürliche Zahl: an = a ⋅ a ⋅ … ⋅ a
n Faktoren
a − n = 1n
a
• n als ganze Zahl:
,
a≠0
r
s
• n als rationale Zahl: a = s a r , a > 0, s ≠ 0
Man legt zudem fest:
a1 = a
a0 = 1, aber 00 ist nicht definiert.
1. 42 = 4 ⋅ 4 = 16
2. 3−3 =
1
33
=
1
3⋅3⋅3
=
1
27
5
3. 4 2 = 2 4 5 = 1 024 = 32
4. 121 = 12
5. 30 0 = 1
Potenzen können über die vier Grundrechenarten miteinander
verknüpft werden. Dabei ist genau darauf zu achten, wo welches
Rechenzeichen steht. Die Regeln werden als sogenannte Potenzgesetze formuliert.
22 r Zahlenmengen und Rechenregeln
Potenzgesetze
Für alle a, b ∈ 0+ und r, s ∈ 8 gelten folgende Potenzgesetze:
1. a r ⋅ a s = a r + s
a r ⋅ b r = (a ⋅ b) r
2. a r : a s = a r − s
a r : b r = (a : b) r =
( ab )
r
3. (ar)s = ars
4. r < s ⇔ ar < as für a > 1
r < s ⇔ ar > as für 0 < a < 1
Anmerkungen:
• Addition und Subtraktion sind nur für gleichartige Potenzen,
d. h. für Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten, definiert.
• Die Potenzgesetze 1 bis 3 gelten auch für negative Basiswerte, wenn die Exponenten ganze Zahlen sind.
• Für Grundzahlen gibt es das folgende Monotoniegesetz mit
a, b ∈ 0+ und n ∈ 7*:
a < b ⇔ an < bn
1. 22 · 25 = 22 + 5 = 27
34 · 24 = (3 · 2)4 = 64
2. 53 : 52 = 53 – 2 = 51 = 5
82 : 42 = (8 : 4)2 = 22
3. (4 4 ) 3 = 4 4 ⋅ 3 = 412
4. 2 < 5 ⇔
2<3 ⇔
6 2 < 65
( 12 ) > ( 12 )
2
3
⇔
1
4
>
1
8
Für Potenzen mit rationalen Exponenten benötigt man den Begriff der Wurzel. Das Wurzelziehen, auch Radizieren genannt,
ist die Umkehrung des Potenzierens.