Übungen zur Thermodynamik und

Institut für Theoretische Physik
Sommersemester 2012
Prof. Dr. K. Richter
Übungen zur Thermodynamik und Quantenstatistik
Blatt 7
Aufgabe 1: Wärmekraftmaschinen
Eine Wärmekraftmaschine ist eine Vorrichtung, die den Wärmeuss in ein System hinein
oder aus einem System heraus benutzt, um Arbeit zu verrichten. Das einfachste Beispiel
ist die Ausdehnung eines Gases in einer Kammer, welche einen Kolben bewegt. Empirisch
wissen wir, dass bei Einleiten von Wärme in ein System, welches sich ausdehnen kann,
während die Temperatur konstant gehalten wird, die hierbei wirkende Kraft in Arbeit umgewandelt werden kann (zum Beispiel durch Anbringen eines Rads). In diesem einfachen
Beispiel arbeitet die Maschine allerdings nicht zyklisch (das System kehrt nicht zurück
in seinen Ausgangszustand). Wenn wir Arbeit extrahieren wollen, müssen wir kontinuierlich Wärme zuführen. Bemerkenswert ist es aber, dass so lange die Expansion langsam
verläuft, der gesamte Prozess reversibel in dem Sinne ist, dass bei langsam am System
verrichteter Arbeit und konstanter Temperatur, das System zurück in seinen Ausgangszustand gebracht werden kann. Auf dem Weg zurück erhalten wir einen Abuss von Wärme
aus dem System in dessen Umgebung. Solch eine triviale zyklischen Wärmekraftmaschine
benötigt die gleiche Menge Arbeit, die es bei seiner Ausdehnung verrichtet hat um wieder
in seinen Ausgangszustand überführt zu werden, so dass im Mittel keine Arbeit aus dem
System extrahiert werden kann. Die einfachste und fundamentalste nichttriviale zyklische
Wärmekraftmaschine ist der Carnot Prozess. Dieser besteht aus einem Gas in einem Be-
(p1 , Th , V1 )
hälter mit beweglichem Kolben, mit Anfangsdruck, Temperatur und Volumen
welches die folgenden aufeinanderfolgenden reversiblen Prozesse durchläuft:
•
Das System wird auf konstanter Temperatur gehalten (in Kontakt mit einem Reservoir der Temperatur
Th ),
darf aber frei expandieren von
(p1 , Th , V1 )
zu
(p2 , Th , V2 ).
Diese Art von Prozess nennt man isotherme Expansion und erzeugt Arbeit (das Gas
dehnt sich aus), dadurch dass Wärme aus der Umgebung aufgenommen wird.
•
Das System darf sich frei von
(p2 , Th , V2 )
nach
(p3 , Tl , V3 )
ausdehnen, ohne Wärme
mit der Umgebung auszutauschen. Das nennt man adiabatische Expansion. Arbeit
wird durch Erniedrigen der Temperatur des Gases von
•
Th
zu
Tl
erzeugt.
Indem man das System in Kontakt mit einem Reservoir der Temperatur
Tl
bringt
und Arbeit an ihm verrichtet (durch das Zusammendrücken des Kolbens), bringt
man es von
•
(p3 , Tl , V3 )
auf
(p4 , Tl , V4 ).
Schlieÿlich, durch die adiabatische Kompression des Gases (Arbeit wird am System
verrichtet und dessen Temperatur wird erhöht) gelangt man von
zu
•
(p1 , Th , V1 )
Der ganze Prozess beginnt von Neuem.
(p4 , Tl , V4 )
zurück
Im Gegensatz zur trivialen Maschine produziert der Carnot Zyklos Netto-Arbeit durch
einen Netto-Zuuss von Wärme. Wir wollen dies für den einfachen Fall zeigen, in welchem das Gas innerhalb des Einschlusses ein ideales Gas ist. Für dieses gilt an jedem
Punkt des Zyklus
pV = nRT,
und während eines adiabatischen Prozesses
dE = Cv dT
mit konstantem
Cv .
a) Zeichnen Sie die 4 Schritte des Carnot Prozesses in der
p−V
Ebene und
b) berechnen Sie die Arbeit und den Wärmezuuss für jeden Teilschritt des Zyklus.
c) Zeichnen Sie den Carnot Prozess in der
T −S
Ebene.
d) Berechnen Sie die gesamte aus dem System extrahierte Arbeit und den absoluten
Zu- oder Abluss von Wärme.
Die Frage nach der Existenz zyklischer Wärmekraftmaschinen aus denen wir Arbeit extrahieren können liegt im wesentlichen im Zweiten Hauptsatz. Der Carnot Zyklus kann
benutzt werden dessen unterschiedlichen Formulierungen zu veranschaulichen. Lesen Sie
in einem Buch nach und
e) setzen Sie den Carnot Prozess in jeweils in Beziehung zur Formulierung des zweiten
Hauptsatzes von Clausius und Kelvin-Planck.
Aufgabe 2: Thermische und kalorische Zustandsgleichung
(6 Punkte)
a) Verwenden Sie die Gibbsche Fundamentalform für eine extensive Variable (das Volumen
V ),
um zu zeigen dass die Zustandsgleichungen
p = p(T, V )
und
E = E(T, V )
durch folgende Beziehung verknüpft sind
∂p(T, V )
∂E(T, V )
+ p(T, V ) = T
.
∂V
∂T
b) Zeigen Sie, wenn die innere Energie nur von T abhängt, dass dies für eine Gleichung
−1
der Form p(T, V ) = V
f (T ) bedeutet, dass die Funktion f (T ) die Form f (T ) =
const. T
haben muss.
Aufgabe 3: Druck für das entartete Fermi-Gas
Für das sogenannte entartete Fermi-Gas lautet die innere Energie
(6 Punkte)
E
als Funktion von
(S, V, N )
E(S, V, N ) = a
worin
N 5/3
S2
+
b
,
V 2/3
V 2/3 N 1/3
a, b positive Konstanten sind. Führen Sie die Legendre-Transformation
F (T, V, N ) durch und bestimmen Sie den Druck p(T, V, N ).
Energie
zur freien
Aufgabe 4
Zeigen Sie die folgenden Relationen:
a)
b)
c)
∂H
∂p
= V (1 − αT ),
T,N
∂E
∂T p,N
∂E
∂p
= Cp − αpV ,
T,N
= κT pV − αT V .
Abgabe der Hausaufgaben (Nr. 2, Nr. 3) bis spätestens Freitag den 8. Juni, 9:30.