Springer-Lehrbuch

Springer-Lehrbuch
Thomas Rieinger
Ubungsaufgaben
zur Mathematik
fu r Ingenieure
Mit durchgerechneten
und erklarten Losungen
3. Auage
Mit 39 Abbildungen
Prof. Dr. Thomas Rieinger
Fachhochschule Frankfurt a. M.
Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften
Nibelungenplatz 1
60318 Frankfurt a. M.
[email protected]
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Vorwort zur dritten Auage
An der Notwendigkeit, Mathematik nicht nur theoretisch zu verstehen, sondern auch praktisch zu u ben, hat sich nichts geandert. Auch in der dritten
Auage dieses Ubungsbuchs
mochte ich Ihnen die Gelegenheit geben, einerseits
selbst Aufgaben zu rechnen, andererseits aber bei Schwierigkeiten genau erklarte
Losungswege zur Verfugung zu haben und damit Ihre Probleme zu losen. Beim
Rechnen und beim Studieren der Losungen wunsche ich Ihnen viel Erfolg und
hoffentlich auch ein wenig Vergnugen.
Januar 2007
Thomas Rieinger
Vorwort zur 1. und 2. Auage
Vielleicht kennen Sie die Situation. Sie haben ein Lehrbuch u ber Mathematik
gelesen oder eine Vorlesung u ber Mathematik gehort, glauben nun, die Sache im
Groen und Ganzen verstanden zu haben, und wollen zur Ubung
die eine oder
andere Beispielaufgabe rechnen. Kaum haben Sie aber frohlich mit dem Rechnen
angefangen, stellen Sie fest, da Sie nicht so recht wissen, wie es nun weitergehen
soll. Oder { was fast noch unangenehmer ist { Sie rechnen tatsachlich ein Ergebnis aus und vergleichen es mit der angegebenen Losung, doch leider konnen
Sie sich mit Ihrem Dozenten oder dem Autor Ihres Lehrbuchs nicht auf einen gemeinsamen Wert einigen. Das ist besonders unangenehm, wenn in einem
Buch zwar die Aufgabenstellung ausfuhrlich beschrieben ist, aber im Losungsteil
dann kurz und schmerzlos so etwas wie x = 17\ als Losung mitgeteilt wird, so
"
da man sich verzweifelt fragt, wie um alles in der Welt der Autor wohl darauf
gekommen sein mag.
Dummerweise kann man es in einem Lehrbuch kaum anders machen. Wenn
Sie sich einmal ein sechshundert Seiten dickes Buch vorstellen, zu dem noch
zwei- oder dreihundert Seiten Losungsteil dazukommen, dann sollten Sie sich
an das Telefonbuch von New York oder einen Aktenordner mit Steuergesetzen
erinnert fuhlen, und wer will so etwas schon lesen? Der Umfang eines Lehrbuchs
sollte in einem vernunftigen Rahmen bleiben, damit man es auch wirklich problemlos handhaben kann. Nun habe ich aber vor einiger Zeit ein Lehrbuch mit
dem Titel Mathematik fur Ingenieure\ herausgebracht, das an dem gleichen
"
Problem leidet: naturlich gibt es darin Ubungsaufgaben,
aber im Losungsteil
mu sich der geplagte Leser mit den puren Ergebnissen zufrieden geben, ohne
Angabe des Losungsweges. Und selbst wenn ich von meinem eigenen Lehrbuch
absehe, schien es mir auf jeden Fall sinnvoll zu sein, da man eine Sammlung
von Aufgaben zur Verfugung hat, deren Losungswege detailliert und in aller
Ausfuhrlichkeit durchgerechnet werden, so da Sie genau verfolgen konnen, wie
man an bestimmte Aufgabentypen herangeht. Eine solche Aufgabensammlung
haben Sie mit diesem Buch in der Hand. Ich habe hier jede Aufgabe aus meinem
Lehrbuch durchgerechnet und die Rechenwege mit ausfuhrlichen Erklarungen
versehen, denn oft genug steht man vor einer Formel und wute nur zu gern,
wo sie wohl herkommen mag. Da die Aufgaben aus meinem eigenen Lehrbuch
stammen, heit aber nicht, da Sie erst das Lehrbuch lesen mussen, um mit der
Aufgabensammlung etwas anfangen zu konnen: es geht hier nicht nur um das
Durchrechnen von Losungen, sondern ich habe mich bemuht, auch die prinzipiellen Methoden, die bei den Aufgaben angewendet werden, an Hand der Beispiele
zu erklaren - naturlich nicht so umfassend wie in einem Lehrbuch, sonst waren
wir namlich wieder beim New Yorker Telefonbuch angelangt. Deshalb ˇnden Sie
VIII
Vorwort zur 1. und 2. Auage
auch in den ersten neun Kapiteln jeweils einige Aufgaben, die nicht im Lehrbuch
stehen und vielleicht etwas schwieriger sind als die Aufgaben des Lehrbuchs.
Sie ˇnden also im folgenden 155 Ubungsaufgaben
aus den verschiedensten
Bereichen der Mathematik, deren Losungen vorgerechnet und erklart werden.
Um unnotiges Blattern zu vermeiden, habe ich die Losung jeder Aufgabe direkt im Anschlu an die Aufgabe aufgeschrieben und keine Unterteilung in einen Aufgabenteil und einen Losungsteil vorgenommen. Trotzdem empfehle ich
naturlich, da Sie die Aufgaben zuerst einmal selbst angehen und erst dann, sobald Sie erfolgreich oder auch weniger erfolgreich gerechnet haben, die Losungen
durchlesen.
Und damit genug der Ansprache; wir fangen an.
Frankfurt im Fruhjahr 2004
Thomas Rieinger
Inhaltsverzeichnis
1
Mengen und Zahlenarten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1
2
Vektorrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
17
3
Gleichungen und Ungleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
51
4
Folgen und Konvergenz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
67
5
Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
85
6
Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion : : : : : : : : 117
7
Differentialrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135
8
Integralrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187
9
Reihen und Taylorreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 225
10 Komplexe Zahlen und Fourierreihen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 259
11 Differentialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 277
12 Matrizen und Determinanten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 325
13 Mehrdimensionale Differentialrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : 337
14 Mehrdimensionale Integralrechnung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 383
Literatur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 407
1 Mengen und Zahlenarten
1.1
Es seien
A = fx 2 Rjx 0g; B = fx 2 Rjx > 1g
und
C = fx 2 Rj0 x < 1g:
Bestimmen Sie A \ B, A [ B [ C, AnC und BnC.
Losung In Worte gefat, ist A die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner oder
gleich Null sind, also die Menge aller negativen Zahlen, erweitert um die Null. B
ist die Menge der reellen Zahlen, die groer als 1 sind, das heit B enthalt die 1
selbst nicht als Element, sondern nur die reellen Zahlen, die u ber der 1 liegen.
Schlielich ist C die Menge aller reellen Zahlen, die zwar groer oder gleich Null
sind, aber echt kleiner als 1. Die Menge C enthalt also die Null und dazu alle
reellen Zahlen, die groer als Null und gleichzeitig kleiner als 1 sind.
Die Mengenoperationen kann ich nun am besten ausfuhren, indem ich mich
erst einmal ganz formal nach den Deˇnitionen von Durchschnitt, Vereinigung
und Differenz richte. Damit wird:
A \ B = fx 2 R j x 2 A und x 2 Bg = fx 2 R j x 0 und x > 1g:
Der Durchschnitt von A und B enthalt also alle reellen Zahlen, die sowohl kleiner
oder gleich Null als auch groer als 1 sind. Das kommt aber einigermaen
selten vor, denn eine Zahl, die echt groer als 1 ist, wird es nicht fertigbringen,
gleichzeitig auch noch kleiner oder gleich Null zu sein. Daher ist:
fx 2 R j x 0 und x > 1g = ;:
Insgesamt ergibt sich also:
A \ B = fx 2 R j x 2 A und x 2 Bg = fx 2 R j x 0 und x > 1g = ;:
Auf die gleiche Art kann ich alle anderen geforderten Verknupfungen angehen. Mit A [ B [ C ist die Vereinigung der drei gegebenen Mengen gemeint,
also:
A [ B [ C = fx 2 R j x 2 A oder x 2 B oder x 2 Cg
= fx 2 R j x 0 oder x > 1 oder 0 x < 1g:
2
Mengen und Zahlenarten
In dieser Vereinigungsmenge sind also alle reellen Zahlen versammelt, die mindestens eines der drei Kriterien erfullen. Sie enthalt also auf jeden Fall alle Zahlen,
die kleiner oder gleich Null sind, also die negativen Zahlen und die Null. Sie
enthalt aber auch alle reellen Zahlen, die groer als 1 sind, also alle reellen Zahlen oberhalb der 1. Damit konnten bestenfalls die positiven Zahlen bis aufwarts
zur 1 der Vereinigungsmenge entgehen, aber auch die werden fast vollstandig
von ihr erwischt, denn A [ B [ C enthalt naturlich zusatzlich noch die Zahlen, die
gleichzeitg groer oder gleich Null und kleiner als 1 sind. Als letzte Lucke bleibt
daher nur noch die Zahl 1, die weder in A noch in B noch in C als Element
enthalten ist. Somit ergibt sich insgesamt:
A [ B [ C = fx 2 R j x 2 A oder x 2 B oder x 2 Cg
= fx 2 R j x 0 oder x > 1 oder 0 x < 1g
= Rnf1g:
Auch die Berechnung der beiden Differenzen erfolgt nach dem gleichen Schema.
Zunachst ist
AnC = fx 2 R j x 2 A und x 2
= Cg = fx 2 R j x 0 und nicht 0 x < 1g:
Das ist auf den ersten Blick eine etwas ungewohnliche Schreibweise, denn fur
das zweite Kriterium der Menge AnC habe ich angegeben, welche Bedingung
die Elemente nicht erfullen durfen: sie durfen auf keinen Fall gleichzeitig groer
oder gleich Null und kleiner als 1 sein. Das kann man aber leicht in eine positive
Beschreibung umsetzen, denn offenbar gilt genau dann nicht 0 x < 1, wenn
x < 0 oder x 1 gilt. Daher ist
fx 2 R j x 0 und nicht 0 x < 1g = fx 2 R j x 0 und: x < 0 oder x 1g:
Die Zahlen in AnC mussen also einerseits kleiner oder gleich Null sein und andererseits kleiner als Null oder aber groer oder gleich 1 sein. Das vereinfacht die
Sachlage, denn eine Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, kann nicht gleichzeitig
groer oder gleich 1 sein. Damit wird:
fx 2 R j x 0 und: x < 0 oder x 1g = fx 2 R j x 0 und x < 0g
= fx 2 R jx < 0g;
denn jede reelle Zahl, die kleiner als Null ist, mu naturlich auch kleiner oder
gleich Null sein. Insgesamt habe ich also erhalten:
AnC = fx 2 R j x 2 A und x 2
= Cg =
=
=
=
fx 2 R
fx 2 R
fx 2 R
fx 2 R
j x 0 und nicht 0 x < 1g
j x 0 und: x < 0 oder x 1g
j x 0 und x < 0g
jx < 0g:
Mengen und Zahlenarten
3
Die zweite Differenz lautet BnC und ist besonders einfach zu bestimmen, weil
ich hier eigentlich gar nichts tun mu. Laut Deˇnition gilt:
BnC = fx 2 R j x 2 B und x 2
= Cg = fx 2 R j x > 1 und nicht 0 x < 1g:
Das ist ausgesprochen praktisch, denn keine reelle Zahl, die echt groer als 1
ist, erfullt gleichzeitig die Bedingung 0 x < 1. Ich brauche also aus der Menge
B u berhaupt kein Element zu entfernen, weil sie kein Element mit C gemeinsam
hat. Daraus folgt:
BnC = fx 2 R j x 2 B und x 2
= Cg = fx 2 R j x > 1 und nicht 0 x < 1g
= B:
1.2
Es seien A und B Mengen. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke:
(i) A \ A ;
(ii) A [ ; ;
(iii) A \ (A [ B) ;
(iv) A \ (BnA) .
Losung
(i) Wenn man nichts u ber die zugrundeliegenden Mengen wei, auer da es
eben Mengen sind, dann bleibt einem nichts anderes u brig, als sich streng an
die Deˇnitionen der entsprechenden Operationen zu halten und zu hoffen,
da sich dadurch irgendetwas vereinfachen wird. In diesem Fall ist das nicht
weiter schwierig. Es gilt:
A \ A = fx j x 2 A und x 2 Ag = fx j x 2 Ag = A;
denn da ein Element gleichzeitig in A und auch noch in A ist, kann nur
bedeuten, da es ganz schlicht Element der Menge A ist. Das stimmt auch
mit dem Alltagsverstand u berein: wenn man eine Menge mit sich selbst
schneidet, dann bleibt die Menge so wie sie war.
(ii) Auch hier entstehen keine nennenswerte Probleme. Die leere Menge ist die
Menge, die keinerlei Elemente enthalt, und fur die Vereinigung mit A bedeutet das:
A [ ; = fx j x 2 A oder x 2 ;g = fx j x 2 Ag = A;
denn in der leeren Menge gibt es nun einmal keine Elemente, und daher
ist die Bedingung x 2 A oder x 2 ; gleichbedeutend mit der einfacheren
Bedingung x 2 A.
(iii) Hier wird es schon ein wenig schwieriger, weil der vielleicht aufkommende
erste Gedanke bei dieser Aufgabe in die Irre fuhrt. Sie konnten namlich
auf die Idee kommen, da der Ausdruck A \ (A [ B) ein ausgezeichnetes Beispiel fur eine Anwendung des Distributivgesetzes ist, das beschreibt,
4
Mengen und Zahlenarten
wie man auch bei Mengenoperationen Klammern ausmultiplizieren\ kann.
"
Allgemein lautet es fur drei beliebige Mengen K; M und N:
K \ (M [ N) = (K \ M) [ (K \ N):
Das pat gut zu unserer Situation: offenbar mu ich nur K = A, M = A
und N = B setzen und kann dann sofort loslegen. Das ergibt:
A \ (A [ B) = (A \ A) [ (A \ B) = A [ (A \ B);
denn A \ A hatte ich schon in (i) berechnet. Nun sieht der neue Ausdruck
zwar sicher etwas anders aus als der alte, aber wohl nicht sehr viel besser
oder gar einfacher, und es soll ja um eine Vereinfachung der Ausdrucke
gehen. Vielleicht kann aber das Distributivgesetz noch einmal helfen, denn
es gibt ja nicht nur ein Distributivgesetz, sondern zwei, und moglicherweise
nutzt das folgende Gesetz etwas:
K [ (M \ N) = (K [ M) \ (K [ N):
Fur meinen Fall bedeutet das:
A [ (A \ B) = (A [ A) \ (A [ B) = A \ (A [ B);
denn man kann sich schnell u berlegen, da A [ A = A gilt. Wie Sie feststellen werden, waren meine bisherigen Bemuhungen nicht sehr erfolgreich,
genau genommen habe ich mich nur einmal im Kreis gedreht und damit
meinen Ausgangspunkt wieder erreicht. Sie konnen daran sehen, da die
sture Anwendung der Rechenregeln nicht immer weiterhilft, wenn man ein
konkretes Problem zu losen hat.
In diesem Fall hilft wieder nur die Besinnung auf die Deˇnitionen der Mengenoperationen. Es gilt:
A \ (A [ B) = fx j x 2 A und x 2 A [ Bg:
Wir haben es hier also mit den Elementen zu tun, die gleichzeitig in A und
in A [ B liegen. Wenn man aber gleichzeitig in A und in A [ B liegt, mu
man auf jeden Fall in A liegen. Liegt aber ein Element in der Menge A, dann
liegt es naturlich auch in A [ B und damit auch in A \ (A [ B). Deshalb ist
A \ (A [ B) = A:
Sie konnen sich diese Formel aber auch durch einen Blick auf Abbildung 1.1
veranschaulichen: wenn sie erst A mit B vereinigen, ergibt sich naturlich die
Vereinigung der beiden Ovale. Und wenn Sie diese Vereinigung dann wieder
mit A schneiden, dann bleibt genau A selbst u brig.
Mengen und Zahlenarten
)
5
*
Bild 1.1. A \ (A [ B) = A
(iv) Die Bestimmung von A \ (BnA) ist recht einfach, weil am Ende ziemlich
wenig u brigbleibt. Laut Deˇnition gilt:
A \ (BnA) = fx j x 2 A und x 2 BnAg:
Nun kann aber ein Element schwerlich gleichzeitig in A und auch noch in
BnA sein, denn in BnA ˇnden sich genau die Elemente, die zwar in B, aber
nicht in A liegen. Daher ist die Schnittmenge von A und BnA leer, und das
heit:
A \ (BnA) = fx j x 2 A und x 2 BnAg = ;:
1.3
Veranschaulichen Sie das Distributivgesetz
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C):
Losung Eine Regel fur den Umgang mit Mengen kann man am besten
veranschaulichen, indem man die Mengen als Diagramme aufzeichnet, und am
einfachsten sind dabei Kreise oder Ovale auf dem Papier. In Abbildung 1.2 sehen Sie auf der linken Seite drei Ovale, die die Mengen A, B und C darstellen
sollen. Sie sind so gezeichnet, da jede Menge jede andere Menge schneidet und
auerdem ein Bereich existiert, den alle drei Mengen gemeinsam haben. Nun
)
*
)
+
Bild 1.2. A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
*
+
6
Mengen und Zahlenarten
mu ich B \ C in dieser Graphik markieren, aber B \ C besteht aus genau den
Elementen, die gleichzeitig in B und in C sind, und in dieser Graphik sind das
die hellgrau unterlegten Bereiche. Da ich auf der linken Seite der Formel die
Menge B \ C noch mit A vereinigen mu, habe ich dann die Teile von A dunkelgrau unterlegt, die mir bisher gefehlt haben, so da also insgesamt die grau
unterlegten Teile der linken Graphik genau die Menge A [ (B \ C) darstellen.
Mit der rechten Seite der Gleichung gehe ich in der rechten Graphik genauso
um. Zunachst habe ich A [ B grau unterlegt und damit in der Graphik die Vereinigung der beiden oberen Ovale hervorgehoben. Anschlieend mute ich A [ C
markieren, und da A[C gerade aus der Vereinigung des linken oberen Ovals und
des unteren Ovals besteht, habe ich beide durch senkrechte Linien gekennzeichnet. Der Durchschnitt von A [ B und von A [ C besteht nun aus den Bereichen,
die in beiden Mengen gleichzeitig enthalten sind, also aus den Bereichen, die
gleichzeitig grau unterlegt und auch noch senkrecht liniert sind. Vergleicht man
nun die Ergebnismengen in beiden Graphiken, so stellt man fest, da es sich
beide Male um die gleiche Menge handelt. Also gilt das Distributivgesetz
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C):
1.4
Veranschaulichen Sie die Formel
An(B [ C) = (AnB) \ (AnC):
Losung Ich gehe hier wieder so vor wie in der Veranschaulichung des Distributivgesetzes aus Aufgabe 1.3: in der linken Seite des Mengendiagramms trage
ich durch farbige Hervorhebungen die linke Seite der Gleichung ein, und in
der rechten Seite des Diagramms entsprechend die rechte Seite der Gleichung.
Nun besteht aber B [ C genau aus der Vereinigung des rechten oberen und des
unteren Ovals, und beide sind in der linken Graphik in Abbildung 1.3 farblos
geblieben. Geht man aber zu An(B [ C) u ber, so mu man aus der Menge A alle
Elemente entfernen, die in der Menge B [ C liegen. In der Graphik heit das:
)
*
+
Bild 1.3. An(B [ C) = (AnB) \ (AnC)
)
*
+
Mengen und Zahlenarten
7
Aus dem A darstellenden Oval mu ich alle Punkte herausnehmen, die zu einem
der anderen beiden Ovale gehoren, und dann bleibt die grau unterlegte Menge
der linken Graphik u brig.
Um auch die rechte Seite graphisch darzustellen, habe ich in der rechten
Graphik die Menge AnB mit hellgrau und schwarz gekennzeichnet. Dagegen
habe ich AnC mit den Farben hellgrau und dunkelgrau markiert. Sie sehen, da
der Bereich der gemeinsamen Elemente von AnB und AnC genau dem hellgrau
unterlegten Teil des Ovals A entspricht, und daher symbolisiert dieser Teil die
Menge (AnB)\(AnC). Auf beiden Seiten der Graphik werden die entsprechenden
Seiten der Gleichung also durch die hellgrau unterlegten Bereiche dargestellt. Da
diese Bereiche in beiden Graphiken gleich sind, gilt die Formel
An(B [ C) = (AnB) \ (AnC):
1.5
(i)
(ii)
(iii)
Berechnen Sie:
4
8
15 + 9 ;
3
1
17 2 ;
1
1
a+b + ab :
Losung Bei dieser Aufgabe handelt es sich um sehr einfache Ubungen
zur
Bruchrechnung, die allerdings oft auf dem Weg von der Mittelstufe der Schule
zur Hochschule irgendwo unterwegs in Vergessenheit gerat und verloren geht.
Daher kann es nicht schaden, die grundlegenden Methoden noch einmal aufzufrischen.
(i)
8
12 40
52
4
+ =
+
= :
15 9
45 45
45
Man addiert zwei Bruche, indem man sie auf den Hauptnenner bringt und
anschlieend die Zahler der beiden gleichnamig gemachten Bruche addiert.
In diesem Fall habe ich die Nenner 9 und 15, was viele eiige Rechner zu
der Annahme verleitet, der Hauptnenner sei 9 15 = 135. Dieser Nenner
ist zwar moglich, aber unnotig gro. Man mu zum Aufsuchen des Hauptnenners nicht rucksichtslos die beiden gegebenen Nenner multiplizieren,
sondern kann sich auf das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache der
beiden Nenner beschranken. Dieses kleinste gemeinsame Vielfache ist hier
45, denn erstens ist 45 sowohl Vielfaches von 9 als auch von 15, und zweitens
gibt es keine kleinere Zahl, die ein Vielfaches von 9 und von 15 ist. Daher
mu ich den ersten Bruch mit 3 und den zweiten Bruch mit 5 erweitern,
um in beiden Fallen den Nenner 45 zu erhalten. Da ich anschlieend nur
noch die beiden neuen Zahler addiert habe, mu ich kaum noch erwahnen.
(ii)
3
1
6
17
11
=
= :
17 2
34 34
34
8
Mengen und Zahlenarten
Hierzu ist fast nichts zu sagen. Als Hauptnenner kann man zwar immer das
kleinste gemeinsame Vielfache verwenden, aber das hilft Ihnen nicht viel,
wenn beispielsweise beide Zahlen Primzahlen sind und das kleinste gemeinsame Vielfache schlicht dem Produkt der Nenner entspricht. Sie mussen also
beide Nenner miteinander multiplizieren und erhalten daraus den Hauptnenner 34. Deshalb wird der erste Bruch mit 2 und der zweite mit 17 erweitert, was schlielich zu dem angegebenen Resultat fuhrt.
(iii)
1
1
ab
a+b
ab+a+b
+
=
+
=
a+b ab
(a + b)(a b) (a + b)(a b)
(a + b)(a b)
2a
=
:
(a + b)(a b)
Da die beiden Nenner a + b und a b keine Faktoren gemeinsam haben,
bleibt mir auch hier fur den Hauptnenner keine andere Wahl als das Produkt
der einzelnen Nenner. Daher lautet der Hauptnenner (a + b)(a b), und
ich mu den ersten Bruch mit a b erweitern, wahrend der zweite Bruch
mit a + b erweitert wird.
p
1.6 Zeigen Sie, da 3 eine irrationale Zahl ist.
Losung Ichpfuhre einen Widerspruchsbeweis, indem ich fur den Moment annehme, da 3 doch eine rationale Zahl ist, und nachweise, da das zu einem
Widerspruch fuhrt. Einfacher gesagt: ich nehme versuchsweise das Gegenteil von
dem an, was ich eigentlich zeigen will, schliee dann, da aus dieser Annahme
nur Unsinn folgt, und kann daraus die Folgerung ziehen, da die Annahme
nicht
p
stimmen kann. Bei dieser Aufgabe wird aus der Annahme, da 3 eine
ratiop
nale Zahl ist, eine unsinnige Folgerung entstehen, und deshalb kann 3 nicht
rational sein.
p
Angenommen, es gibt eine rationale Zahl pq , so da 3 = pq gilt. Dann kann
man den Bruch so lange kurzen, bis es nicht mehr geht, und das heit: bis p
und q keine gemeinsamen Teiler mehr haben. Ich kann also davon ausgehen,
da der Bruch bis zum bitteren Ende gekurzt wurde und Zahler und Nenner
keine gemeinsamen Teiler besitzen.
Im folgenden schreibe ich zuerst die Folgerungskette auf und erklare anschlieend die einzelnen Schritte.
p
p
p2
3=
) 3= 2
q
q
)
)
)
)
)
p2 = 3q2
p2 ist durch 3 teilbar
p ist durch 3 teilbar
es gibt ein n 2 N; so da p = 3n gilt
9n2 = p2 = 3q2
) 3n2 = q2
Mengen und Zahlenarten
9
) q2 ist durch 3 teilbar
) q ist durch 3 teilbar : Widerspruch!
p
Wenn man schon annimmt, da 3 eine rationale Zahl pq ist, dann darf
man auch sein Wissen daruber ausnutzen, was es heit, die Wurzel aus 3 zu
sein: sobald ich sie quadriere, mu naturlich 3 herauskommen. Deshalb ist 3 =
p2
uchen plagen zu mussen,
q2 . Nun ist es aber immer besser, sich nicht mit Br
und um den Bruch kann ich hier leicht herum kommen, indem ich mit q2
durchmultipliziere und die Gleichung p2 = 3q2 erhalte. Die naturliche Zahl p2
ist also das Dreifache der naturlichen Zahl q2 und mu somit durch
p 3 teilbar sein.
Das ist schon besser als nichts, aber eigentlich geht es ja um 3, und daher bin
ich eher an p selbst interessiert als an p2 . Wenn allerdings p2 durch 3 teilbar ist,
dann ist auch p selbst durch 3 teilbar - aber das ist ein etwas heikler Punkt, den
man nicht so ohne Weiteres einsieht und der eine genauere Erklarung verdient.
Fur p gibt es drei Moglichkeiten. Es kann gelten: p = 3n mit n 2 N, p = 3n+1
mit n 2 N oder p = 3n+2 mit n 2 N. Der nachste Fall ware p = 3n+3 = 3(n+1),
also ware wieder p das Dreifache einer naturlichen Zahl und man ist zum ersten
Fall zuruckgekehrt. Fur p = 3n + 1 ist p2 = (3n + 1)2 = 9n2 + 6n + 1, also kann
p2 infolge des letzten Summanden 1 nicht durch 3 teilbar sein. Fur p = 3n + 2
ist p2 = (3n + 2)2 = 9n2 + 12n + 4, also kann p2 infolge des letzten Summanden
4 nicht durch 3 teilbar sein. Daher bleibt nur p = 3n, also ist auch p durch 3
teilbar.
Da ich nun wei, da p durch 3 teilbar ist, kann ich es als p = 3n mit einer
naturlichen Zahl n schreiben. Erneutes Quadrieren liefert dann p2 = (3n)2 = 9n2 .
Ich hatte aber vorher schon eine andere Gleichung fur p2 , namlich p2 = 3q2 .
Daher mu 9n2 = 3q2 bzw. 3n2 = q2 gelten. So eine Situation hatten wir gerade
eben: q2 hat sich als durch 3 teilbar herausgestellt, also kann auch q selbst nicht
zuruckstehen und mu auch durch 3 teilbar sein.
Jetzt haben wir den Widerspruch gefunden, den wir brauchen. Ich hatte oben
herausbekommen, da p durch 3 teilbar ist. Jetzt stellt sich heraus, da auch
q durch 3 teilbar ist. Und ganz oben hatte ich festgestellt, da p und q keine
gemeinsamen Faktoren mehr enthalten. Ich habe also zwei Zahlen p und q,
die einerseits absolut nichts mehr haben, was man gegenseitig aus ihnen herauskurzen konnte, und andererseits doch noch den Faktor 3 haben, der auf das
Kurzen geradezu wartet.
Kurz gesagt: ich habe einen Widerspruch produziert.
p
Meine Annahme, 3 sei rational, fuhrt zu widerspruchlichen und unsinnigen
p
Aussagen, und deshalb kann sie nicht richtig gewesen sein. Daraus folgt: 3 ist
keine rationale Zahl.
1.7 Es seien M eine Menge und A; B; C Teilmengen von M. Stellen Sie fest,
ob die folgenden Gleichungen richtig sind.
(i) (AnB) \ C = (A \ C)nB;
(ii) AnB = A \ (AnB);
(iii) A = (AnB) [ B;
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Mengen und Zahlenarten
(iv) A [ B = (AnB) [ (BnA) [ (A \ B).
Losung Die Mengen, mit denen wir es hier zu tun haben, sind abstrakte Mengen, u ber deren Elemente ich nichts wei, und deshalb kann ich die Gleichungen
nur testen, indem ich auch ganz allgemein mit den Mengenoperationen hantiere.
Die Idee besteht dabei darin, mit Hilfe der Regeln fur die Mengenoperationen
zu versuchen, die linke Seite in die rechte Seite u berzufuhren, oder beide Seiten
so lange umzuformen, bis auf beiden Seiten identische Ausdrucke stehen. Falls
das gelingt, sind die beiden Seiten gleich und die Gleichung ist gultig. Geht es
aber schief, dann mu man nach Grunden dafur suchen, warum die Gleichung
nicht stimmt.
(i) Um die Gleichung (AnB) \ C = (A \ C)nB zu behandeln, mu ich zunachst
noch eine kleine Tatsache besprechen, die das Rechnen deutlich einfacher
macht. Es gilt namlich fur beliebige Mengen A und B:
AnB = A \ B;
wobei man unter B das Komplement von B versteht, also B = MnB. Der
Grund ist einfach einzusehen. In AnB ˇndet man alle Elemente von A, die
nicht in B sind. Anders gesagt: AnB besteht aus den Elementen, die gleichzeitig in A und in MnB liegen, denn alles, was nicht in B liegt, mu sich in
MnB aufhalten. Und daraus folgt:
AnB = A \ (MnB) = A \ B;
denn es gilt immer B = MnB. Jetzt aber an die Arbeit. Es gilt:
(AnB) \ C = (A \ B) \ C;
denn daruber habe ich gerade gesprochen. Da jetzt nur noch die Schnittoperation vorkommt, kann man die Klammern auch weglassen und erhalt:
(A \ B) \ C = A \ B \ C:
Auf der rechten Seite der gegebenen Gleichung steht aber C direkt nach A,
und das kann ich auch hier herstellen, da man die Reihenfolge des Schneidens beliebig variieren kann. Damit folgt:
A \ B \ C = A \ C \ B = (A \ C) \ B;
denn offenbar konnen die Klammern nicht schaden. Und wie wir uns gerade
u berlegt hatten, gilt:
(A \ C) \ B = (A \ C)nB;
so da sich jetzt endlich die Gleichung als richtig herausstellt. Etwas kurzer
gefat lautet der Nachweis:
(AnB) \ C = (A \ B) \ C = A \ B \ C = A \ C \ B = (A \ C)nB:
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(ii) Bei der Gleichung AnB = A\(AnB) sind nur zwei Mengen beteiligt, und das
macht sie etwas u bersichtlicher. Wie schon in (i) erwahnt, gilt AnB = A \ B,
und mehr lat sich mit der linken Seite der Gleichung nicht anstellen. Auf
der rechten Seite gilt:
A \ (AnB) = A \ (A \ B) = A \ A \ B;
denn sobald nur noch eine Operation im Spiel ist, kann man die Klammern
weglassen. Wegen A \ A = A folgt ergibt das:
A\A\B=A\B
und damit genau das Ergebnis der linken Seite der Gleichung. Da beide
Seiten somit gleich sind, ist die Gleichung gultig.
(iii) Auch die Gleichung A = (AnB) [ B sieht recht gut aus: wenn man aus A erst
B herausnimmt und dann anschlieend mit Hilfe der Vereinigung B wieder
dazugibt, dann sollte doch wohl wieder A herauskommen. Aber hier trugt
der Schein. Da ich auf der linken Seite nichts Nennenswertes manipulieren
kann, forme ich die rechte Seite auf die gewohnte Weise um und schreibe:
(AnB) [ B = (A \ B) [ B:
Jetzt hilft mir das Distributivgesetz weiter, das beschreibt, wie man auch
bei den Mengenoperationen Klammern ausmultiplizieren\ kann. Es gilt
"
namlich:
(A \ B) [ B = (A [ B) \ (B [ B):
Das ist praktisch, denn B [ B mu auf jeden Fall die gesamte Grundmenge
M ergeben: wenn man zu B noch alle Elemente hinzugibt, die zwar in M,
aber nicht in B sind, dann erhalt man ganz M. Folglich ist:
(A [ B) \ (B [ B) = (A [ B) \ M = A [ B;
da auch A [ B naturlich eine Teilmenge von M ist. Insgesamt habe ich also
herausgefunden, da
(AnB) [ B = A [ B
gilt, aber auf der linken Seite der ursprunglichen Gleichung stand leider ein
schlichtes A. Falls beispielsweise B auch nur ein Element enthalt, das nicht
in A enthalten ist, gilt aber A [ B 6= A. Daher kann die Gleichung nicht
immer richtig sein.
(iv) Der Nachweis der Gleichung A [ B = (AnB) [ (BnA) [ (A \ B) ist ein wenig
aufwendig. Da ich auf der linken Seite kein Unheil anrichten kann, wende
ich mich der rechten Seite zu und schreibe erst einmal alle Differenzen mit
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Mengen und Zahlenarten
Hilfe des Komplements. Dann folgt:
(AnB) [ (BnA) [ (A \ B) = (A \ B) [ (B \ A) [ (A \ B):
Nun steht sowohl in der ersten als auch in der dritten Klammer die Menge A,
was sich im Hinblick auf das Distributivgesetz als nutzlich erweisen konnte.
Ich vertausche deshalb die Reihenfolge der Klammern und schreibe:
(A \ B) [ (B \ A) [ (A \ B) = (A \ B) [ (A \ B) [ (B \ A):
Jetzt kann ich mit Hilfe des Distributivgesetzes die Menge A aus den ersten
beiden Klammern herausziehen. Das ergibt:
(A \ B) [ (A \ B) [ (B \ A) = (A \ (B [ B)) [ (B \ A):
Das ist aber ausgezeichnet, denn es gilt immer B [ B = M, was meinen
Ausdruck deutlich vereinfacht zu:
(A \ (B [ B)) [ (B \ A) = (A \ M) [ (B \ A) = A [ (B \ A):
Mit dem Distributivgesetz kann ich jetzt die Klammer ausmultiplizieren\.
"
Das ergibt:
A [ (B \ A) = (A [ B) \ (A [ A) = (A [ B) \ M = A [ B;
denn naturlich ist noch immer A [ A = M, und der Durchschnitt von A [ B
mit M ergibt wieder A [ B. Insgesamt hat sich also herausgestellt, da
(AnB) [ (BnA) [ (A \ B) = A [ B
gilt, und das war genau der Inhalt der behaupteten Gleichung. Man kann
sich bei etwas genauerem Hinsehen diese Gleichung allerdings auch ganz
ohne Rechnung klar machen. Um in A [ B zu liegen, gibt es fur ein Element
drei Moglichkeiten. Es kann in A liegen, aber nicht in B. Oder es kann in
B liegen, aber nicht in A. Oder es kann in A und B gleichzeitig liegen. In
Formeln u bersetzt heit das:
A [ B = (AnB) [ (BnA) [ (A \ B):
1.8 Es seien M eine Menge und A; B; C Teilmengen von M. Vereinfachen Sie
die folgenden Ausdrucke.
(i) An(AnB);
(ii) A \ (BnA);
(iii) A \ (BnA);
(iv) (AnB) \ ((A \ B) [ (AnC)).
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Losung In einfacherer Form ist diese Aufgabenstellung schon in Aufgabe 1.2
aufgetreten, nur da dort die zu vereinfachenden Ausdrucke deutlich u bersichtlicher waren. Da es sich auch hier um abstrakte Mengen handelt, u ber deren
Inhalt ich nichts wei, mu ich mich darauf beschranken, die Rechenregeln fur
die Mengenoperationen moglichst sinnvoll anzuwenden.
(i) Der Ausdruck An(AnB) schreit geradezu nach einer Anwendung der Formel
AnB = A \ B. Aus ihr folgt:
An(AnB) = An(A \ B) = A \ (A \ B);
denn auch der Klammerausdruck ist nur eine Menge, die von A abgezogen
werden soll, weshalb auch hier die angefuhrte Regel greift. Nun folgt aus
der de Morganschen Regel, da man ein Komplement in eine Klammer
hineinziehen kann, indem man den Querstrich u ber die einzelnen beteiligten
Mengen schreibt und die Operationen umandert: aus \ wird [, und aus [
wird \. Das bedeutet hier:
A \ (A \ B) = A \ (A [ B) = A \ (A [ B);
denn das Komplement eines Komplements ergibt wieder die Menge selbst.
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kann ich jetzt A in die Klammer hinein
ziehen und erhalte:
A \ (A [ B) = (A \ A) [ (A \ B) = ; [ (A \ B) = A \ B;
da eine Menge kein gemeinsames Element mit ihrem Komplement haben
kann und daher ihre Schnittmenge leer sein mu.
Insgesamt habe ich also herausgefunden, da
An(AnB) = A \ B
gilt, und weitere Veeinfachungen sind offenbar nicht moglich.
(ii) Den Ausdruck A\(BnA) kann man fast ohne Rechnen vereinfachen. BnA erhalten Sie, indem Sie aus B alles herausnehmen, was zu A gehort. Die Menge
BnA hat also mit A absolut nichts gemeinsam, so da im Durchschnitt der
beiden Mengen kein Element liegen darf. Daher ist A \ (BnA) = ;. Der
formale Weg ist allerdings auch nicht schwerer, wenn man wieder an den
Zusammenhang zwischen der Differenz zweier Mengen und der Komplementbildung denkt. In diesem Fall brauchen Sie nur die Formel BnA = B\A
zu verwenden und erhalten sofort:
A \ (BnA) = A \ (B \ A) = A \ B \ A = A \ A \ B = ; \ B = ;:
(iii) Die Vereinfachung des Ausdrucks A \ (BnA) mu man wohl oder u bel in
kleinen Schritten angehen. Zunachst schreibe ich wieder einmal die vorkom-