Wiederholung - Aufgaben aus Analaysis I, WS14/15

J. Knobloch
Funktionalanalysis
WS 17/18, Wdh. Ana I
Wiederholung - Aufgaben aus Analaysis I, WS14/15
Aufgabe 129 Seien (X, ∥ · ∥X ) und (Y, ∥ · ∥Y ) normierte Räume und sei L : X → Y eine
lineare Abbildung. Zeigen Sie: L ist stetig auf X ⇔ L ist stetig in x = 0.
Hinweis: Benutzen Sie für den Nachweis von “⇐” die Additivität von L.
Aufgabe 130 Seien (X, ∥ · ∥X ) und (Y, ∥ · ∥Y ) normierte Räume und sei L : X → Y eine
lineare Abbildung. Zeigen Sie: L ist stetig auf X ⇔ ∃ M : ∀x ∈ X gilt ∥L(x)∥Y ≤ M ∥x∥X .
Hinweis für den Nachweis von “⇒”: Angenommen, es existiert kein solches M . Überlegen
Sie, dass dann eine Folge (xn ) existiert, für die gilt ∥L(xn )∥Y ≥ n∥xn ∥X . Benutzen Sie
ξn := n∥xxnn∥X um zu zeigen, dass L nicht in x = 0 stetig ist.
Bemerkung: Existiert für die lineare Abbildung L eine Konstante M : ∀x ∈ X gilt
∥L(x)∥Y ≤ M ∥x∥X , so heißt L beschränkt - andernfalls unbeschränkt.
(
)
118 gegebene
Aufgabe 131 Betrachten Sie den Raum {0, 1}N , d , wobei d (die in Aufgabe
)
N
Metrik ist. Betrachten Sie weiter die Shift-Abbildung σ auf {0, 1} , d ; σ((xn )) = (yn ),
yn = xn+1 . Zeigen Sie, dass σ stetig ist.
(Aufgabe
)132 (Betrachten) Sie die in Aufgabe 131 definierte Shift-Abbildung σ als Abbildung
l∞ , ∥ · ∥∞ → l∞ , ∥ · ∥∞ . Zeigen sie, dass σ eine lineare stetige Abbildung ist.
Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 130.
(
)
(
)
Aufgabe 133 Betrachten Sie die Abbildung P i : Rm , ∥ · ∥ → Rm , ∥ · ∥ , (x1 , . . . , xm ) 7→
(0, . . . , 0, xi , 0, . . . , 0). Zeigen Sie:
a) P i ist linear und stetig.
( )2
b) P i = P i ◦ P i = P i .
Hinweis zu a): Benutzen Sie, dass die Maximumnorm auf Rm zu jeder Norm ∥ · ∥ auf Rm
äquivalent ist.
Bemerkung zu b): Abbildungen mit der angegeben Eigenschaft heißen idempotent. Idempotente lineare Abbildungen heißen Projektoren.
Aufgabe 134 Seien (X, ∥ · ∥X ) und (Y, ∥ · ∥Y ) normierte Räume, dim X < ∞ und sei
L : X → Y eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: L ist stetig.
Aufgabe 135 Sei (X, ∥ · ∥) ein unendlich dimensionaler normierter Raum (über R). Zeigen
Sie, dass eine lineare Abbildung f : X → R existiert, die nicht stetig ist.
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Hinweis: Zeigen Sie, dass eine entsprechende Abbildung f existiert, die unbeschränkt ist vgl. Bemerkung zur Aufgabe 130. Nutzen Sie dabei aus, dass es in X eine Menge bestehend
aus (abzählbar) unendlich vielen Elementen gibt.
Bemerkung: Lineare Abbildungen f : X → R heißen lineare Funktionale. Beachten Sie:
Lineare Funktionale R → R haben die Form x 7→ ax, a ∈ R, sie sind also immer stetig - vgl.
auch Aufgabe 134.
Aufgabe 136 Sei (X, ∥ · ∥) ein normierter Raum. Sei weiter U ⊂ X ein Unterraum mit
dim U < ∞. Zeigen Sie, dass U abgeschlossen ist.
(
)
Aufgabe 137 Sei ∥ · ∥ eine Norm auf Rm . Zeigen Sie: M ⊂ Rm , ∥ · ∥ ist kompakt ⇔ M
ist beschränkt und abgeschlossen.
Hinweis: Benutzen Sie, dass die Maximumnorm auf Rm zu jeder Norm ∥·∥ auf Rm äquivalent
ist.
(
)
Aufgabe 138 Sei ∥ · ∥ eine Norm auf Rm . Zeigen Sie, dass Rm , ∥ · ∥ vollständig ist.
Hinweis: Benutzen Sie, dass die Maximumnorm auf Rm zu jeder Norm ∥·∥ auf Rm äquivalent
ist.
Aufgabe 139 Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume und sei f : X → Y . Zeigen Sie:
f ist stetig ⇔ ∀U ⊂ Y , U abgeschlossen, ist f −1 (U ) abgeschlossen.
Aufgabe 140 Sei (X, ∥ · ∥) ein normierter Raum und sei f : (X, ∥ · ∥) → R stetig. Seien
weiter x− , x+ ∈ X, f (x− ) < 0, f (x+ ) > 0. Zeigen Sie, dass f jeden Wert zwischen f (x− )
und f (x+ ) annimmt.
Hinweis: Benutzen Sie den Zwischenwertsatz für Funktionen R → R.
Aufgabe 141 Zeigen Sie, dass eine zu Aufgabe 140 analoge Aussage nicht für stetige Abbildungen von einem metrischen Raum nach R gelten. Geben Sie dafür ein Beispiel an.
Aufgabe 142 Sei (X, ∥ · ∥) ein normierter Raum. Zeigen sie, dass für alle x ∈ X und alle
r > 0 gilt cl K(x, r) = K[x, r].
Aufgabe 143 Zeigen Sie, dass sich die Aussage aus Aufgabe 142 nicht auf metrische Räume
übertragen läßt. Geben Sie ein Beispiel an - einen geeigneten Raum, ein geeignetes x und
einen geeigneten Radius r.
Aufgabe 144 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Zeigen Sie, dass (X, d) vollständig
ist.
Warum kann ein normierter Raum (X, ∥ · ∥), dim X ≥ 1 niemals kompakt sein?
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Aufgabe 145 Sei (X, ∥ · ∥) ein vollständiger normierter Raum, seien weiter K[xn , rn ] ⊂
X, n ∈ N, abgeschlossene Kugeln mit K[xn+1 , rn+1 ] ⊂ K[xn , rn ]. Zeigen Sie: Dann ist
∩ K[xn , rn ] ̸= ∅.
n∈N
Bemerkung: Vergleichen Sie Aufgabe 128.
Hinweis: Zeigen Sie wie im Beweis zu Aufgabe 128, dass (xn ) eine Cauchyfolfge ist.
Überlegen Sie dazu: K[x, r] ⊂ K[y, R], dann ∥x − y∥ + r ≤ R.
Aufgabe 146 Zeigen Sie, dass sich die Aussage aus Aufgabe 145 nicht auf vollständige
metrische Räume übertragen läßt. Geben Sie ein Beispiel für eine Kugelschachtelung (in
einem geeignet gewählten vollständigen metrischen Raum) an, deren Durchschnitt leer ist.
Hinweis: Betrachten Sie (X, d), X ⊂ l∞ , d ist die durch ∥ · ∥∞ erzeugte Metrik. Wählen
Sie X in der Form: Sei (ak ) ∈ l∞ .
X = {xn = (xn,k )k∈N , n ∈ N : xn,k = ak , k ≤ n und xn,k = 0, ∀k > n}.
Wählen Sie die Folge (ak ) geeignet. Vergleichen Sie Aufgabe 128!
Aufgabe 147 Betrachten Sie CLip [0, 1] ⊂ C[0, 1], den Unterraum aller auf [0, 1] Lipschitz
stetigen Funktionen. Definieren Sie:
∥ · ∥Lip : CLip [0, 1] → R+
0,
∥x∥Lip = |x(0)| + sup
s̸=t
|x(s) − x(t)|
.
|s − t|
Zeigen Sie:
a) ∥ · ∥Lip ist eine Norm.
b) ∥x∥∞ ≤ ∥x∥Lip , ∀x ∈ CLip [0, 1].
c) (CLip [0, 1], ∥ · ∥Lip ) ist vollständig.
Hinweis zu c): Sei (xn ) eine Cauchyfolge in (CLip [0, 1], ∥ · ∥Lip ). Zeigen Sie: dann ist (xn )
eine Cauchyfolge in (C[0, 1], ∥ · ∥∞ ). Sei xn −→ x̂. Zeigen Sie weiter x̂ ∈ CLip [0, 1] und
xn −→ x̂.
∥·∥∞
∥·∥Lip
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