1. ¨Ubungsblatt Mathematik II/2

PD Dr. A. Kalauch
Institut für Analysis
1. Übungsblatt Mathematik II/2
(4.4. – 8.4.2016)
Wiederholung: Metrische Räume, normierte Räume
Literatur für die erste Hälfte des Semesters
1. Fischer/Kaul: Mathematik für Physiker, Band 2
2. Goldhorn; Heinz; Kraus: Moderne mathematische Methoden der Physik
(Band 1, 2), Springer
3. Heuser: Funktionalanalysis; Teubner
4. Reed/Simon: Methods of Modern Mathematical Physics I; Academic Press
5. Schröder: Funktionalanalysis; Akademie Verlag
6. Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen, Springer
7. Werner: Funktionalanalysis; Springer
8. Halmos: Hilbert Space Problem Book.
Aufgaben
1. i) Wiederholen Sie folgende Begriffe in metrischen Räumen:
Konvergenz, Häufungspunkt einer Menge, offene Menge, abgeschlossene Menge.
ii) Welcher Zusammenhang besteht zwischen Vollständigkeit und Abgeschlossenheit
eines Teilraumes K eines metrischen Raumes (M, d) ?
2. Sei 1 ≤ p < ∞. Zeigen Sie:
i) Die `p -Räume und der Raum `∞ sind paarweise voneinander verschieden.
Welche Inklusionen gelten (z.B. für verschiedene p)?
ii) Der Raum d (=: c00 = VR der finiten Folgen = VR der abbrechenden Folgen) ist
dicht in jedem `p - Raum.
Ist d auch dicht in `∞ ? (Was ist der Abschluß von d in `∞ ?)
iii) Der Raum c (= Raum der konvergenten Folgen) ist abgeschlossen in `∞ .
Ist c auch vollständig?
(Es wäre schön, wenn Ihnen diese Frage seltsam vorkäme, warum? Hinweis: Teil iv )
Ist c0 (= Raum der Nullfolgen) abgeschlossen?
iv) Die `p -Räume und der Raum `∞ sind vollständig.
3. i) Zeigen Sie, dass in Cn die folgenden Normen äquivalent sind:
P
||x||∞ := max{|xi |; i ∈ {1, . . . , n}, ||x||p = ( ni=1 |xi |p )1/p , 1 ≤ p < ∞.
Zur Erinnerung: Zwei Normen k·k1 , k·k2 im VR V heißen äquivalent, wenn Konstanten C1 , C2 > 0 so existieren, dass ∀x ∈ V gilt
C1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ C2 kxk1 .
ii) Die gleichen Normen könnten Sie auch in d definieren. Sind sie dort auch
äquivalent?
Hinweis: Würde Ihnen unter Benutzung von 2i), 2ii) eine einfache Argumentation
einfallen?
Anmerkung: In der Analysis-Vorlesung haben Sie bereits gezeigt, dass alle Normen
in einem endlichdimensionalen Vektorraum äquivalent sind. Diesen Beweis können
Sie sich nochmals anschauen.
Im Hinblick auf die vor Ihnen liegenden mündlichen Prüfungen im Sommer sollen Ihnen in diesem Semester noch mehr Gelegenheiten geboten werden, kleine Beweise selbst
an der Tafel zu präsentieren. Dazu gibt es eine ganze Reihe sog. Vorführaufgaben“ .
”
Diese sollen in kleinen Gruppen von höchstens 3 Studenten vorbereitet und dann in der
Übung vorgestellt werden (in jeder Übung eine, höchstens zwei solcher Aufgaben). Damit
eine langfristige Vorbereitung möglich ist, werden in gewissen Abständen immer mehrere solcher Aufgaben gestellt. Die Organisation dieses Vorführens ist den Übungsleitern
überlassen. Sollte Ihrerseits kein Interesse bestehen, dann werden diese Aufgaben teilweise
mit in die Übungen integriert. Ich empfehle aber dringend, dieses Angebot wahrzunehmen (insbesondere solchen Studenten, die sich in den bisherigen Übungen zurückgehalten
haben).
Vorführaufgaben für die nächsten Übungen
1. Aufgabe:
Beweisen Sie die Höldersche, Minkowskische und Jensensche Ungleichung.
Literaturhinweis: z.B. Werner, Funktionalanalysis.
2. Aufgabe:
i) Sei (φn ) eine ONB im Hilbertraum H und sei J die folgende Abbildung:
J : φ 7→ (< φn , φ >) (jedem φ wird also die Folge der sog. Fourierkoeffizienten zugeordnet).
Zeigen Sie:
J ist eine isometrische Abbildung von H auf `2 .
Zur Erinnerung: J heißt isometrisch, falls für alle φ ∈ H gilt
kJφk`2 = kφkH .
ii) Ziel ist der Beweis, dass `∞ nicht separabel ist. Zeigen Sie dazu zuerst:
Sei E ein normierter Raum, der eine überabzählbare Teilmenge M besitzt mit der Eigenschaft, dass es ein c > 0 gibt, so dass für zwei beliebige verschiedene x, y ∈ M stets
kx − yk > c gilt. Dann ist E nicht separabel.
Um die Aussage über `∞ zu zeigen, muss man nun nur eine solche Teilmenge M finden.
Hinweis: Alle Folgen aus Nullen und Einsen!