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Einleitung
Das Thema des vorliegenden Buches sind die Grundlagen der Funktionalanalysis, die
im Wesentlichen im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts entwickelt wurden. Am Anfang dieser Periode stehen grundlegende Arbeiten von I. Fredholm (1900/03) und D.
Hilbert (1904/06) über lineare Integralgleichungen und unendliche lineare Gleichungssysteme, der Integralbegriff von H. Lebesgue (1902) und das Konzept einer Metrik
von M. Fréchet (1906), am Ende S. Banachs Buch Théorie des opérations linéaires“
”
(1932) mit einem Resümee der bis dahin entwickelten Konzepte und Resultate zu normierten Räumen und beschränkten linearen Operatoren sowie Untersuchungen von J.
von Neumann (1929/30) und M.H. Stone (1932) über unbeschränkte selbstadjungierte
Operatoren in enger Verbindung zur kurz zuvor entstandenen Quantenmechanik.
Als Leitfaden für die Lektüre dieses Buches formulieren wir ein Grundproblem der
Funktionalanalysis und skizzieren verschiedene Ansätze und Strategien zu seiner
Lösung. Dabei stellen wir wichtige Begriffe und Ergebnisse der Funktionalanalysis vor
und geben einige historischen Anmerkungen.
Problem. Gegeben sei ein linearer Operator T : E → F zwischen Vektorräumen
E, F über dem Körper der reellen oder dem der komplexen Zahlen. Zu untersuchen
ist die Struktur des Operators T , insbesondere die Frage nach Existenz, Eindeutigkeit
und Stabilität von Lösungen der Gleichung
Tx = y
(y ∈ F gegeben, x ∈ E gesucht).
Wichtige konkrete Beispiele sind Differential- oder Integraloperatoren zwischen geeigneten Funktionenräumen. Allgemeiner ist das soeben formulierte Problem natürlich
auch für nicht notwendig lineare Operatoren T : D → F interessant, die auf geeigneten Definitionsbereichen D ⊆ E erklärt sind. Auf die Nichtlineare Funktionalanalysis
gehen wir in diesem Buch in den Abschnitten 4.4–4.6 kurz ein.
Im Fall endlichdimensionaler Räume E, F kann man Konzepte und Methoden der
Linearen Algebra verwenden. In der Funktionalanalysis versucht man, ausgehend von
konkreten Gleichungen der Analysis, diese auf den unendlichdimensionalen Fall zu
erweitern. Dazu kombiniert man Konzepte und Methoden der Linearen Algebra mit
solchen der Analysis und der Topologie:
Normen. Diese Kombination erfolgt über Stetigkeitseigenschaften der zu untersuchenden Operatoren. Um von Stetigkeit“ sprechen zu können, benötigt man eine
”
Topologie oder mindestens einen Konvergenzbegriff. Beides wird durch eine Norm auf
einem Vektorraum induziert; das grundlegende abstrakte Konzept eines normierten
W. Kaballo, Grundkurs Funktionalanalysis,
DOI 10.1007/978-3-8274-2721-2 © Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011
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Einleitung
Raumes wurde 1920 von S. Banach und N. Wiener eingeführt, ausgehend von Beispielen konkreter Funktionenräume. Wesentliche Sätze über Operatoren auf normierten
Räumen benötigen deren Vollständigkeit; seit etwa 1928 werden vollständige normierte Räume als Banachräume bezeichnet.
Supremums-Normen beschreiben gleichmäßige Konvergenz; unter ihr sind Räume beschränkter und stetiger Funktionen vollständig. Lp -Integralnormen beschreiben Konvergenz im p -ten Mittel. Die Vollständigkeit der entsprechenden Lp -Räume beruht
wesentlich auf dem Lebesgueschen Integralbegriff; sie wurde 1907 von E. Fischer und
F. Riesz im Fall p = 2 und 1909 von F. Riesz für alle 1 ≤ p < ∞ gezeigt.
Integralnormen für Ableitungen auf Räumen differenzierbarer Funktionen liefern nur
dann vollständige Räume, wenn man den klassischen Differenzierbarkeitsbegriff erweitert. Dazu führte S.L. Sobolev 1936 schwache Ableitungen ein, die wir in Abschnitt 5.5
mit den zugehörigen Sobolev-Räumen vorstellen, allerdings nur für Funktionen einer
Veränderlichen. Auf Sobolev-Räume in mehreren Veränderlichen und die umfassendere
Theorie der Distributionen von L. Schwartz (1950) können wir in diesem Grundkurs
nicht eingehen.
Skalarprodukte und Fourier-Entwicklungen. Besonders wichtige und einfache
Banachräume sind solche, deren Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird. Dies
ist für den Raum 2 der quadratsummierbaren Folgen der Fall, den D. Hilbert seinen
Untersuchungen über unendliche lineare Gleichungssysteme seit 1904 zugrunde legte.
Für diesen Raum bürgerte sich schnell der Name Hilbertraum ein, und dieser übertrug
sich auch auf L2 -Räume, die nach F. Riesz (1907) zu 2 isometrisch sind. Die abstrakte Definition eines (separablen) Hilbertraumes wurde erst 1930 von J. von Neumann
gegeben; jeder solche Raum ist isometrisch zu 2 .
Die nach J.B. Fourier benannten Reihen wurden von diesem bereits Anfang des 19.
Jahrhunderts in Verbindung mit Wärmeleitungsproblemen eingeführt. Grundlegende
Resultate zu Fourier-Reihen stellen wir in Kapitel 5 vor; in Abschnitt 6.2 untersuchen
s
wir mittels Fourier-Entwicklung Sobolev-Hilberträume H2π
periodischer Funktionen,
auch für nicht ganze Exponenten s ≥ 0 .
In Hilberträumen hat man Fourier-Entwicklungen nach beliebigen Orthonormalbasen,
und damit können lineare Operatoren durch unendliche Matrizen repräsentiert werden.
Mit Hilfe des Skalarprodukts lassen sich adjungierte Operatoren erklären, und Formeln
wie etwa R(T )⊥ = N (T ∗ ) liefern Informationen über die Gleichung T x = y . Wie in
der Linearen Algebra ergeben sich die interessanten speziellen Klassen der selbstadjungierten, normalen oder unitären beschränkten Operatoren. Eine Einführung in diese
Themen geben wir in den Kapiteln 6 und 7. Die Diagonalisierung selbstadjungierter
Matrizen mittels unitärer Transformationen wurde von D. Hilbert (1904/06) und J. von
Neumann (1929/1930) auf selbstadjungierte Operatoren in Hilberträumen erweitert; in
Einleitung
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diesem Grundkurs können wir darauf nur in Verbindung mit Kompaktheitsbedingungen
eingehen (Kapitel 12 und 13).
Prinzipien der Funktionalanalysis. Für lineare Operatoren zwischen allgemeinen
Banachräumen können wir an Stelle adjungierter Operatoren duale oder transponierte Operatoren betrachten. Dies beruht auf einem der drei Prinzipien der Funktionalanalysis, einem Fortsetzungssatz für stetige Linearformen, der nach Vorarbeiten von
E. Helly (1912) von H. Hahn (1927) und S. Banach (1929) bewiesen wurde. Dieser
Satz von Hahn-Banach impliziert eine gewisse Reichhaltigkeit des Dualraums X aller
stetigen Linearformen auf einem Banachraum X . Er ist der Ausgangspunkt für die
Dualitätstheorie von Banachräumen, die in den Kapiteln 9 und 10 behandelt wird.
Man hat eine kanonische Isometrie von X in den Bidualraum X , deren Surjektivität
die wichtige Klasse der reflexiven Banachräume charakterisiert. Wichtig für konkrete
Anwendungen ist eine explizite Darstellung der Dualräume von Funktionenräumen;
solche Darstellungssätze wurden bereits 1909 von F. Riesz für Räume stetiger Funktionen und für Lp -Räume bewiesen.
Die beiden anderen Prinzipien der Funktionalanalysis sind das Thema von Kapitel
8. Sie beruhen wesentlich auf Vollständigkeit und können aus einem abstrakt scheinenden topologischen Satz von R. Baire (1899) gefolgert werden. Das Prinzip der
gleichmäßigen Beschränktheit besagt, dass eine punktweise beschränkte Menge linearer
Operatoren auf einem Banachraum bereits in der Norm beschränkt ist; der Limes einer
punktweise konvergenten Folge stetiger linearer Operatoren ist wieder stetig. In dieser
Form stammt das Resultat nach Vorarbeiten früherer Autoren von S. Banach und H.
Steinhaus (1927). Das dritte Prinzip ist der Satz von der offenen Abbildung. Dieser
stammt von S. Banach (1929) und J. Schauder (1930) und besagt, dass eine surjektive
stetige lineare Abbildung zwischen Banachräumen eine offene Abbildung ist; im bijektiven Fall ist also der inverse Operator automatisch stetig. Beide Prinzipien haben eine
Reihe wichtiger Anwendungen in der Analysis; in Abschnitt 8.4 stellen wir solche auf
Fourier-Reihen vor.
Kompaktheit. Der Begriff der Kompaktheit bildet eine wichtige Brücke“ zwischen
”
endlichdimensionalen und allgemeinen unendlichdimensionalen Situationen. In Abschnitt 2 stellen wir diesen Begriff vor und charakterisieren die kompakten Teilmengen
von Räumen stetiger Funktionen. Der entsprechende Satz von Arzelà-Ascoli (1883) ist
für die Operatortheorie fundamental.
Die Lösung von Variationsproblemen beruht oft auf Kompaktheitsargumenten. In einem unendlichdimensionalen Banachraum besitzt eine beschränkte Folge i. a. keine
konvergente Teilfolge, in einem reflexiven Raum aber doch eine schwach konvergente
Teilfolge. Schwach konvergente Folgen wurden von D. Hilbert 1906 eingeführt und zur
exakten Begründung des Dirichletschen Prinzips der Potentialtheorie verwendet. In
Kapitel 10 stellen wir diese Überlegungen für den einfacheren Fall von Randwertpro-
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blemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen vor.
Nach I. Schur (1921) ist in dem (nicht reflexiven) Raum 1 der summierbaren Folgen
jede schwach konvergente Folge bereits Norm-konvergent. Wir benutzen diese Tatsache in Abschnitt 10.4 zur Konstruktion nicht komplementierter abgeschlossener Unterräume von 1 .
Schwache Topologien auf Banachräumen verwenden wir in diesem Grundkurs nicht.
Dazu passt, dass diese und insbesondere schwache Kompaktheit erst seit den Dreißigerjahren des 20. Jahrhunderts studiert wurden, obwohl das Konzept eines topologischen
Raumes bereits 1914 von F. Hausdorff eingeführt worden war.
Störungstheorie. Eine wichtige Methode zur Untersuchung linearer (und nichtlinearer) Gleichungen ist die Störungstheorie. Die zu untersuchenden Operatoren besitzen oft eine Zerlegung T = E −S . Hierbei ist E ein einfach“ zu behandelnder linearer
”
Operator, z. B. die Identität oder ein invertierbarer Operator, und S eine kleine“ oder
”
kompakte Störung“.
”
Die Invertierbarkeit eines linearen Operators bleibt bei Störungen mit genügend kleiner Norm erhalten; dieses einfache und wichtige Resultat behandeln wir bereits in Abschnitt 4. Es beruht auf einer Operator-Version“ der geometrischen Reihe, die auf C.
”
Neumann (1877) zurückgeht. Damit lässt sich nach F. Riesz (1918) der wichtige Begriff
des Spektrums σ(T ) ⊆ C eines beschränkten linearen Operators T einführen, womit
der Eigenwert-Begriff der Linearen Algebra erweitert wird. Auf dem Komplement des
Spektrums ist die Resolvente RT : λ → (λI − T )−1 holomorph. Funktionentheoretische Methoden spielen eine große Rolle in der Spektraltheorie, worauf wir aber bis auf
wenige Ausnahmen in diesem Grundkurs nicht eingehen können.
Kompakte Operatoren zwischen Banachräumen untersuchen wir ab Kapitel 11; sie bilden beschränkte Mengen in relativ kompakte Mengen ab. Ein invertierbarer Operator
E bleibt unter einer kompakten Störung S i. a. nicht invertierbar, ist aber noch ein
Fredholmoperator, d. h. die Dimension seines Kerns und die Kodimension seines Bildes
sind endlich. Die Fredholm-Eigenschaft und der Index
ind T = dim N (T ) − codim R(T )
sind unter kleinen und kompakten Störungen stabil. Insbesondere ist für obigen Operator ind(E − S) = 0 , d. h. die Gleichung (E − S)x = y ist genau dann für alle y
lösbar, wenn die homogene Gleichung (E − S)x = 0 nur die Lösung x = 0 besitzt.
Diese Alternative wurde von I. Fredholm bereits 1900/03 für lineare Integralgleichungen bewiesen; der Begriff des Index wurde von F. Noether 1921 im Zusammenhang
mit singulären Integralgleichungen eingeführt.
Die Spektraltheorie kompakter Operatoren stammt von F. Riesz (1918) mit Ergänzungen von J. Schauder (1930): Das Spektrum eines kompakten Operators ist eine höchstens abzählbare Teilmenge von C , die sich nur in 0 häufen kann.
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Selbstadjungierte Operatoren. Besonders starke Resultate ergeben sich aus einer
Kombination von Kompaktheitsbedingungen mit solchen an den adjungierten Operator. Für selbstadjungierte, allgemeiner normale, kompakte Operatoren auf einem Hilbertraum gilt eine Spektralzerlegung
Sx =
∞
λj x|ej ej ,
x∈H,
j=0
mit der Nullfolge der Eigenwerte (λj (S)) und den orthonormalen Eigenvektoren {ej } ,
die auf D. Hilbert (1904) zurückgeht. Dieser Spektralsatz ist ein Hauptergebnis des
Buches und besitzt zahlreiche Anwendungen in der Analysis.
Für beliebige kompakte Operatoren S zwischen Hilberträumen wird die Größe“ von
”
S durch die Folge (sj (S) := λj (S ∗ S)) der singulären Zahlen gemessen; dieses Konzept geht auf E. Schmidt (1907) zurück. Integraloperatoren mit quadratintegrierbaren
Kernen sind Hilbert-Schmidt-Operatoren, d. h. man hat (sj (S)) ∈ 2 . Durch die Bedingung (sj (S)) ∈ p “ für 0 < p < ∞ erhält man Operatorideale Sp , die 1946/48
”
von R. Schatten und J. von Neumann untersucht wurden. In Abschnitt 12.5 schließen
wir aus Glattheitsbedingungen an den Kern auf die Zugehörigkeit eines Integraloperators zum Ideal Sp ; dies verallgemeinert Abschätzungen in Abschnitt 6.2 für FourierKoeffizienten von periodischen Funktionen mit solchen Glattheitsbedingungen.
Im letzten Kapitel des Buches stellen wir unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren
in Hilberträumen vor. Dieses Konzept wurde von J. von Neumann um 1929 entwickelt; es ist grundlegend für eine mathematische Formulierung der Quantenmechanik
und für eine Spektraltheorie linearer Differentialoperatoren. Eine Erweiterung des Operatorbegriffs ist notwendig, da man weder die Heisenbergsche Vertauschungsrelation
P Q − QP = i I noch lineare Differentialoperatoren im Rahmen beschränkter linearer
Operatoren auf einem Hilbertraum (oder einem Banachraum) realisieren kann.
Auch für diese allgemeinen selbstadjungierten Operatoren gilt ein Spektralsatz, den
wir hier nur für den Spezialfall beweisen können, dass der Operator kompakte Resolventen bzw. einen kompakt in den Hilbertraum eingebetteten Definitionsbereich
besitzt. Wir wenden diese Version des Spektralsatzes auf reguläre Sturm-LiouvilleRandwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung an und beweisen mit Hilfe eines auf R. Courant, E. Fischer und H. Weyl (1912) zurückgehenden
MiniMax-Prinzips die Asymptotik λj ∼ j 2 für die Eigenwerte. Anschließend verwenden
wir den Spektralsatz zur Lösung von Evolutionsgleichungen, speziell von Diffusionsgleichungen. Im letzten Abschnitt des Buches skizzieren wir die Rolle der selbstadjungierten Operatoren in der Quantenmechanik und die Lösung von Schrödinger-Gleichungen.
Ausführlichere historische Bemerkungen enthalten z. B. die Lehrbücher [Schröder
1997], [Werner 2007] oder [Rudin 1973]. Eine ausführliche Schilderung der Entstehung
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Einleitung
der Funktionalanalysis findet man im Anhang von [Heuser 2006], einen umfassenden
Überblick über die Geschichte (und einen großen Teil) der Funktionalanalysis bis in
die neueste Zeit in [Pietsch 2007].
Dieses Buch enthält viel Stoff für eine einsemestrige Vorlesung. Die Kapitel 1-3 und
Abschnitte 5.1-5.3 haben vorbereitenden Charakter und können, bei entsprechenden
Vorkenntnissen der Studierenden, relativ zügig behandelt werden. Zum Kern einer
einführenden Vorlesung über Funktionalanalysis gehören sicher die Kapitel und Abschnitte 4.1-4.3, 6.1, 7, 8.1-8.3, 9.1-9.4, 11.1 und 12.1-12.2. Darüber hinaus kann man
a) das Studium von Banachräumen und/oder beschränkten linearen Operatoren vertiefen (Abschnitt 9.5 und die Kapitel 10 und/oder 11),
b) die Operatortheorie in Hilberträumen weiterentwickeln, etwa im Hinblick auf die
Quantenmechanik (Abschnitte 5.4 und 12.3-12.4 sowie Kapitel 13) oder
c) weitere konkrete Anwendungen auf Fourier-Reihen und lineare Integralgleichungen
behandeln (Abschnitte 5.4-5.5, 6.2, 8.4 und 12.3-12.5).
Die wesentlichen Abhängigkeiten der Kapitel und Abschnitte voneinander werden in
dem folgenden Diagramm angegeben:
5.1
1-3
4.1 - 4.3
5.2 - 5.3
4.4 - 4.6
5.4
5.5
8.1 - 8.3
6.2
9.1-9.4 9.5
6.1
8.4
7.4
10
7.1 - 7.3
11.1
12.1 - 12.2
11.2 - 11.4
13.1
13.4 - 13.6
12.5
12.3-12.4
13.2 - 13.3
http://www.springer.com/978-3-8274-2149-4