¨Ubungen Lineare Algebra II

Prof. Wolfram Koepf
Peter Horn
Übungen Lineare Algebra II
SS 2004
26.04.04
Blatt 1
K
Aufgabe 1 (Eigenwerte): Sei 0 6= A ∈ Mat(n × n, ) eine Matrix. A heisst nilpotent, wenn es ein m ∈
gibt mit Am = 0. A heisst idempotent, wenn A2 = A gilt.
a. Zeige: Ist A nilpotent, so sind alle Eigenwerte 0.
N
Lösung: Seien λ, v ein Eigenwert und ein Eigenvektor von A und m ∈ mit
andererseits ist Am · v = 0 · v. Da λ ∈ ein Körperelement ist, folgt λ = 0.
K
(
1
b. Zeige: Die Matrix A = (ai, j )1≤i, j≤n mit ai, j =
0
Lösung: Nachrechnen liefert für die Einträge bi, j
N
[2]
Am
= 0. Dann ist
Am · v
=
λm · v,
i = j+1
ist nilpotent.
sonst
von B := A2
[2]
(
1 i = j+2
. Damit ist An−1 = 0.
gerade bi, j =
0 sonst
c. Welche Eigenwerte kommen für idempotente Matrizen in Frage?
[2]
Lösung: Seien λ, v ein Eigenwert und ein Eigenvektor von A. Dann ist A2 · v = λ2 · v = A · v = λv. Also muss
λ2 = λ und damit λ = 1 für jeden Eigenwert von A gelten.
d. Zeige: Ist A singulär, so hat A mindestens einen Eigenwert 0.
[2]
Lösung: Sei v ∈ Kern(A). Dann ist A · v = 0, also ist v ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
e. Charakterisiere den Eigenraum zum Eigenwert 0.
[2]
Lösung: Der Kern ist gearde der Eigenraum zum Eigenwert 0.
[10]
Aufgabe 2 (Matrizen über Ringen): Wir können auch über einem allgemeinen kommutativen Ring R
Matrizen betrachten. Die Definition der Determinante überträgt sich wörtlich.
a. Zeige: Ist A ∈ Mat(n × n, R), so ist det A ∈ R.
[2]
Lösung: In der Definition der Determinante tauchen nur Additionen und Multiplikationen auf, bezüglich dieser
Operationen ist R aber abgeschlossen.
b. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Invertierbarkeit von A und det A?
[6]
Lösung: Im Beweis der Cramer’schen Regel werden nur Determinanten und genau eine Division benötigt, und
zwar wird durch die Determinante der Matrix geteilt. Damit ist eine Matrix invertierbar, wenn die Daterminante
eine Einheit in R ist.
c. Invertiere – wenn möglich – die Matrizen


1 2 3
A = 2 3 4 ∈ Mat(3 × 3, ),
1 2 5
Z


3̄ 2̄ 0̄
B = 0̄ 1̄ 5̄ ∈ Mat(3 × 3, /6 )
3̄ 3̄ 5̄
Z Z
über den entsprechenden Ringen.
[2]
Lösung: Die Determinanten sind beide nicht-Einheiten in den entsprechenden Ringen, also sind beide Matrizen
nicht invertierbar.
[10]
1
K-Vektorraum. Fixiere ein v ∈ V und definiere eine Abbildung
λv : V −→ K, x 7−→ hv, xi.
Aufgabe 3 (Skalarprodukt): Sei V ein
a. Zeige: λv ist linear, was ist die darstellende Matrix zu λv ?
[4]
Lösung: Nach der Definition des Skalarproduktes ist λv (x) = hv, xi = vT · x, damit ist λv eine Abbildung, die
durch Multiplikation mit der 1 × n-Matrix vT gegebn ist, und damit linear.
K
b. Sei A ∈ Mat(n × n, ) eine Matrix. Zeige: Die Abbildung
λA : V ×V −→
K,
(x, y) 7−→ xT · A · y
ist bilinear.
[4]
Lösung: Nachrechnen, wahlweise: λA (x, y) ist λx (Ay), das ist nach oben linear, analoge Argumentation für das
erste Argument, hier muss beachtet werden, dass Transponieren eigentlich nicht linear ist, aber Da wir nach
1 abbilden, macht das keine Probleme.
K
c. Zwei Vektoren u, w ∈ V heissen orthogonal, wenn hu, wi = 0 gilt. Zeige den Satz des Pythagoras:
kuk2 + kwk2 = ku − wk2 .
[2]
Lösung: hu − w, u − wi = hu, u − wi − hw, u − wi = hu, ui − hu, wi − hw, ui + hw, wi = hu, ui + hw, wi
[10]
Abgabe bis 3. Mai 2004 in den Kästen im zweiten Stock.
2
[30]